Магнитное поле

Магнитное поле
Из ранее изученного материала известно, что электрический ток это направленное
движение электрически заряженных частиц. Токи могут взаимодействовать между
собой. Это взаимодействие осуществляется посредством поля, называемое магнитным
полем. Это явление впервые исследовал Эрстед. Он поднёс виток проволок, через
который был пропущен электрический ток, к магнитной стрелке, вращающейся на игле.
Под действием тока стрелка поворачивалась перпендикулярно к проводнику. Если ток
менял своё направление, то стрелка поворачивалась в противоположную сторону току
(см рис 1).
Рис 1. Опыт Эрстеда
Из этого опыта следует, что магниное поле имеет направленный характер и должно
характеризоваться векторной величиной. Силовые линии магнитного поля замкнутые и
направлены от северного поля к южному.
⃗ - это магнитная индукция, силовая характеристика магнитного поля. Магнитное поле
В
существует вокруг движущегося заряда, вокруг постоянного магнита, вокруг
проводника с током.
Силовые линии вокруг проводника с током имеют форму окружности. Направление
силовых линий определяется по правилу Буравчика: вращаем буравчик вдоль линии
тока, направление вращения рукоядки буравчика даст направление магнитного поля (см
рис 2).
Рис 2. Правило Буравчика
Сила Ампера
Если проводник с током поместить в магнитное поле, то на него начинает действовать
сила Ампера (см рис 3):
Рис 3. Проводник с током в магнитном поле
⃗ 𝐼𝑑𝑙 sin 𝛼, где
𝑑𝐹 = 𝐵
𝑑𝐹 - сила Ампера, действующая на элемент проводника с током
⃗ - магнитная индукция
𝐵
𝑑𝑙 - элемент длина проводника
𝛼 - угол между направлением магнитной индукции и силой тока
Если из этой формулы выразить магнитную индукцию, то получим:
⃗ = 𝑑𝐹 . Магнитная индукция - это сила, с которой магнитное поле действует на
𝐵
𝐼𝑑𝑙 sin 𝛼
проводник с током.
Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: силовые линии входят
в ладонь, 4 пальца показывают направление тока, тогда большой палец покажет
направление силы.
1𝐻
Единица измерения магнитной индукции: [𝐵] = 𝐴∙м = 1Тл (тесла).
Магнитный момент контура с током
Возмём виток провода и пропустим через него ток. Получим замкнутые контур с током
(см рис 4).
Рис 4. Магнитные момент контура с током
Вокруг контура появляется магнитное поле. Магнитная индукция направлена
перпендикулярно витку. Контур характеризуется магнитным моментом: 𝑝𝑚 .
Магнитный момент равен произведению силы тока на площадь витка: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝𝑚 = 𝐼 𝑆,
[𝑝𝑚 ]: 1А ∙ м2 .
Принято, что вектор магнитного момента перпендикулярен к поверхности витка и
проходит через его центр и направлен вдоль вектора магнитной индукции.
Контур с током в магнитном поле
Если контур с током поместить в магнитное поле, то на него начнёт действовать
⃗⃗⃗ , который равен: 𝑀
⃗⃗ = 𝑝𝑚 ∙ 𝐵
⃗ sin 𝛼. Единица измерения:
механический момент М
[М]: 1Н ∙ м.
Механический момент поворачивает контур так, чтобы по крайчайшему пути соединить
⃗ (см рис 5).
𝑝𝑚 с 𝐵
Рис 5. Контур с током в магнитном поле
Напряжённость магнитного поля
А
⃗ , [𝐻]: 1 .
Вторая характеристика магнитного поля - это напряжённость 𝐻
м
⃗
⃗ = 𝐵 ,где
𝐻
𝜇𝜇
0
𝜇0 = 4𝜋 ∙ 10−7
Гн
м
- магнитная постоянная
𝜇 - магнитная проницаемость среды, которая показывает насколько увеличивается
магнитное поле внутри вещества вследствии его намагничивания. В зависимости от
магнитных свойств материлы делятся на:

диамагнетики (𝜇 < 1)

парамагнетики (𝜇 > 1)

ферромагнетики (𝜇 ≫ 1)

воздух, вакуум 𝜇 = 1
Закон Био-Савара-Лапласа
Пусть дан проводник с током произвольной формы (см рис 6).
Рис 6.
Проводник создаёт вокруг себя магнитное поле. Рассмотрим элемент длины этого
проводника. Требуется найти магнитное поле, создаваемое элементом проводника в
данной точке пространства. Расстояние до этой точки определяется радиусом вектором.
⃗ = 𝐼𝑑𝑙 sin2 𝛼, где
𝑑𝐻
4𝜋𝑟
𝐼 - сила тока в проводнике
𝛼 - угол между радиусом-вектором и элементом длины проводника
𝑟 - радиус - вектор.
С помощью этого закона можно решать частные задачи: магнитное поле прямого
проводника с током, магнитное поле гругового тока итд. Рассмотрим некоторые случае
подробнее.
Магнитное поле прямого проводника с током
Возмём прямой провод и пропустим через него ток. Определим магнитное поле,
создаваемое проводником в точке О на расстоянии 𝑟0 от проводника. Для этого провод
поделим на элементарные отрезки для которых будем использовать закон Био-СавараЛапласа (рис 7).
Рис 7.
Если находимся в точке О, то одна сторона провода будет видна под углом 𝛽1, другая
под углом 𝛽2, причём угол 𝛽1 отрицательный. Магнитное поле, создаваемое элементом
провода в точке О равно:
⃗ = 𝐼𝑑𝑙 sin2 𝛼 = 𝐼𝑑𝑙 cos2 𝛼 , где 𝛼 = 90 − 𝛽.
𝑑𝐻
4𝜋𝑟
4𝜋𝑟
Для того, чтобы найти магнитное поле, создаваемое проводником вцелом, то надо взять
интеграл:
𝛽 𝐼𝑑𝑙 cos 𝛼
𝐻 = ∫𝛽 2
1
4𝜋𝑟 2
𝐼
= 4𝜋𝑟 (sin 𝛽2 − sin 𝛽1 ).
0
Магнитное поле кругового тока
Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым током (см рим 8). Определим
магнитное поле в центре.
Рис 8.
⃗ = 𝐼𝑑𝑙 sin2 𝛼 , где 𝛼 = 900 и 𝑟0 = 𝑟.
𝑑𝐻
4𝜋𝑟
Чтобы найти поле всего кругового тока, то надо взять интеграл по всей длине
окружности:
𝐼
𝐼
𝐼
𝐻 = 4𝜋𝑟 2 ∮ 𝑑𝑙 = 4𝜋𝑟 2 2𝜋𝑟0 = 2𝑟 , где ∮ 𝑑𝑙 = 2𝜋𝑟0 − длина окружности.
0
0
0
Магнитное поле соленоида
Магнитное поле соленоида - это сумма магнитных полей, создаваемых отдельными
круговыми токами. С внешней стороны поле равно 0, внутри соленоида равно:
𝑛
𝐻 = 𝑙 𝐼 = 𝑛0 𝐼, где
𝑛 - количество витков соленоида
𝑙 - длина соленоида
𝑛0 - количество витков на единичной длине соленоида
𝐼 - сила тока
Магнитный поток
Общее количество силовых линий, проходящее через данную поверхность называется
магнитным потоком (см рис 9). Обозначение потока Ф, единица измерения 1 Вб
(вебер).
Рис 9.
Для определения потока поверхность делим на элементарные участки (см рис 10):
Рис 10.
Если поверхность перпендикулярна магнитному потоку, то
𝑑Φ = 𝐵𝑑𝑆⊥ , если поверхность находится под углом α к магнитному потоку, где угол α это угол между силовыми линиями В и нормалью к поверхности n (перпендикуляр). В
этом случае магнитный поток определяется по формуле:
𝑑Φ = 𝐵𝑑𝑆 cos 𝛼. Магнитный поток через всю поверхность равен: Φ = ∮ 𝐵𝑑𝑆 cos 𝛼.
Cила Лоренца
Сила Лоренца - это сила с которой магнитное поле действует на движущую частицу.
Рассмотрим поведение частицы в магнитном поле (см рис 11).
Сначала часицу ускоряют в электрическом поле с помощью разности потенциалов. На
частицу действует электрическая сила F = Eq. Потом частица летит дальше, допустим
перпендикулярно силовым линиям магнитного поля со скоростью v.
Рис 11. Частица в магнитном поле
Раз заряд движется в каком-то одном направлении, то создаётся электрический ток.
Сопоставим с зарядом элемент длины проводника 𝑑𝑙 . В этом проводнике сила тока
будет равна: 𝐼 = 𝑞𝑛0 𝑆𝑣, где
𝑛0 - количество зарядов в единице объёма проводника
𝑆 - площадь поперечного сечения проводника
𝑣 - средняя скорость зарядов.
Так как проводник с током находится в магнитном поле, то на него действует сила
Ампера:
𝑑𝐹 = 𝐵 ∙ 𝐼 ∙ 𝑑𝑙 sin 𝜑, подставив силу тока, получим:
𝑑𝐹 = 𝐵 ∙ 𝑞𝑛0 𝑆𝑣 ∙ 𝑑𝑙 sin 𝜑 = 𝐵𝑞𝑛0 𝑑𝑉𝑣 = 𝑞𝐵𝑣,
так
как
в
начале
доказательства
использовали один заряд и sin 𝜑 = 1, так как частица летит перпендикулярно силовым
линиям.
⃗ 𝑣 sin 𝜑.
Общий вид силы Лоренца: 𝐹 = 𝑞𝐵
Так как скорость заряда и сила взаимодействия перпендикулярны, то заряд должен
двигаться по окружности: если положительный заряд, то по часовой стрелке, если
отрицательный - то против (см рис 12).
Рис 12.
Можно определить радиус окружности по которой вращается частица. Так как в
магнитном поле на частицу действует сила Лоренца, она же и придаёт частице
центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона можно записать:
𝑞𝐵𝑣 = 𝑚𝑎 → 𝑞𝐵𝑣 = 𝑚
𝑣2
𝑟
→→ 𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
, где 𝑟 - радиус окружности.
Скорость движения частицы можно поделить на две компоненты: в направлении
магнитного поля и ему перпендикулярно. В направлении магнитного поля на частицу не
дуйствует сила, перпендикулярно магнитному полю на частицу действует сила
Лоренца, в результате чего частица движется по окружности. В итоге, объединяя две
компоненты скорости, частица движется по спирали (см рис 13).
Рис 13.