Введение - Ya
реклама
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Артинского городского округа «Артинская средняя общеобразовательная школа №6» Исследовательский проект «Музыка чисел» Исполнители: Кетова Кристина Уткина Ольга Руководители: Кожевникова Лариса Евгеньевн а Шленчак Лариса Васильевна Оглавление Введение ................................................................................................................................................................. 3 1. Теоретическая часть .................................................................................................................................... 4 1.1 Числа в истории ...................................................................................................................................... 4 1.2 Математическая теория музыки .................................................................................................... 4 2. Исследовательская часть .......................................................................................................................... 6 2.1 Целые числа и музыка ......................................................................................................................... 6 2.1.1 Число 2 в музыке............................................................................................................................. 6 2.1.2 Число 3 в музыке............................................................................................................................. 7 2.1.3 Другие целые числа....................................................................................................................... 7 2.2 Дроби и музыка ....................................................................................................................................... 8 2.3 Музыка числа π ..................................................................................................................................... 10 2.4 Эксперимент .......................................................................................................................................... 11 Заключение ........................................................................................................................................................ 15 Источники ........................................................................................................................................................... 16 Приложения ....................................................................................................................................................... 17 2 Введение Оказывается, люди уже давно задумывались о связи музыки и математики.И уже тогда, в древнем мире, ученые - философы (пифагорейцы) считали, что музыка без математики не существует. Путем долгих, сложных исследований, с помощью математических правил и законов древним ученым все-таки удалось доказатьсвязь между музыкой и числами. Музыка и математика – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. И что если попробовать определенным образом переложить ноты на числа. Будет ли наблюдаться в этом числовом ряду закономерность? Если такая связь существует можно предположить обратное, что ряд чисел имеет свое музыкальное звучание в этом и актуальность нашего исследования. Тема: «Музыка чисел» нас привлекла тем, что два совершено разных предмета имеют связь между собой. Цель:выявление общих элементов и установление связи между музыкой и математикой. В соответствии с данной целью поставлены следующиезадачи: -выяснить, были ли в истории попытки связать музыку с математикой; -определить существует ли связь между такими несовместимыми предметами; -– эмоциональная отзывчивость на музыку с измерением пульса. Гипотеза проекта:мы предполагаем, что между музыкой и числами существует взаимосвязь. Планируемый результат: повышение интереса наших сверстников к связи двух предметов. В своей работе мы использовали следующиеметоды исследования: - изучение и анализ литературы по выбранной теме проекта; -наблюдение; -метод опроса; - практическая работа. Практическое значение нашего проекта мы видим в том, что материалы данного проекта могут быть использованы для проведения классных часов, уроков музыки, использоваться на факультативах уроков математики, расширение меж предметных связей. Реализуемыемежпредметные связи: - Математика; - Музыка. 3 1.Теоретическая часть Мы считаем, что любую форму можно описать числами. А поскольку наш мир — мир форм, то всё в нашем мире можно представить в виде числовых соотношений. 1.1 Числа в истории Издавна числа казались людям чем-то таинственным. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя и, вместе с тем, числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать... Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства. Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора – выдающегося математика, творца акустики, основоположника теории музыки, человека высокой нравственности, личности богатой, загадочной. (Приложение 1). Он и его последователи считали, что все в природе измеряется, все подчиняется числу, и познать мир – это значит познать управляющие им числа. Пифагорейцы разбили числа на четные и нечетные. Четные числа считались мужскими, нечетные – женскими. Одни числа считались счастливыми, несущими добро и радость, другие – несчастливыми, несущими зло и горе. Пифагор создал самую яркую и самую современную «религию»: воспитал в человечестве веру в могущество разума, уверенность в том, что ключом к тайнам мировоззрения является математика. 1.2 Математическая теория музыки Однимиз первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета - музыку и математику. Музыка, как одно из семи видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством. Именно здесь получила свое первоначальное оформление математическая теория музыки. Музыка для Пифагора стала даже не средством вдохновения, а предметом научных изысканий, и именно в музыке Пифагор нашел прямое доказательство своему знаменитому тезису: «Все есть число». Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат медные чаши. Не музыкантов готовила школа Пифагора, она готовила людей, которые искали гармонию мира, живущего в тени звезд. Искали в себе человека, искали музыку небесных сфер. В свою школу Пифагор принимал тех, кто очистил душу музыкой и тайной гармонией чисел. С Пифагора в математике стал господствовать греческий стиль мышления – это явилось главной причиной ее расцвета. 4 Пифагорический музыкальный старт, определивший на столетия судьбу европейской музыки – это математика. Создание равномерной 12тональной музыкальной школы – итог современной деятельности музыкантов и математиков. В XVIII в. создается музыкальная акустика. После создания точной математической теории струны, поняв, что любой музыкальный инструмент – всего-навсего «физико-акустический прибор», музыку уже не отделить от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония. Иоганн Себастьян Бах первым продемонстрировал достоинства темперированного строя (Приложение 2). Бах сочинил 48 прелюдий и фуг во всех возможных тональностях, помещенных в два сборника, которые называются «Хорошо темперированный клавир». (Клавир – старинное название клавесина). Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики. Математики постоянно проявляют интерес к музыке.Своё отношение к математике и музыке учёные высказывали в переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: «Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать». На что Гольдбах ему отвечает: «Музыка - это проявление скрытой математики». 5 2. Исследовательская часть 2.1 Целые числа и музыка Если мы при помощи компьютера или любого другого музыкального автомата воспроизведём какую-либо мелодию, то, при прослушивании, наш организм начнёт выделять ритмические пульсации, т.е. чередование сильных и слабых ритмических долей. Такие пульсации могут быть двухдолевые (первая доля — сильная, вторая — слабая), или трёхдолевые. Естественно, что ни одно музыкальное механическое устройство никаких ритмических долей сам по себе не выделяет. Эта способность — исключительное свойство человеческого организма. Тут мы сталкиваемся с первым скрытым свойством чисел в музыке — пробуждать в нас ритмические пульсации, без которых восприятие музыки невозможно. Сразу же отметим, что этим свойством обладают все числа. Но каждоечисло обладает своим уникальным набором воздействий на человека. И, хотя, эти воздействия и взаимосвязаны, но значительно отличаются от действия чисел 2 и 3. Более подробно это мы затронем позднее. А сейчас, мы попробуем более детально разобраться в свойствах ритмов, в основе которых лежат числа 2 и 3. 2.1.1 Число 2 в музыке Эточисло лежит, прежде всего, в основе всей маршеобразной музыки. Любой марш вызывает в каждом человеке конкретные ощущения, связанные с линейной цикличностью. Эти ощущения обостряют в человеке контрастные восприятия. В спокойном состоянии, человек вовсе не предрасположен к контрастным ощущениям. Человек находится в определённом эмоциональном равновесии, и не склонен впадать в крайности. Это состояние делает его устойчивым к внешним раздражениям, и свободным от желания подчиняться или руководствоваться внешними влияниями. Человек максимально независим от внешних раздражающих факторов. Маршеобразные же ритмы начинают «раскачивать» это равновесие, и, в определённый момент, меняют всю картину на противоположную. В результате разрушения внутреннего равновесия, в человеке возникает психологическая потребность сосредоточиться на какой-либо цели, чтобы сохранить внешнее равновесие духовных и физических сил. Такая цель вызывает необычайный подъём воодушевления и концентрации всех сил, и человек становится способным совершить необычайную работу, на которую, в нормальном состоянии, он практически не способен. Это свойство маршеобразных ритмов всегда использовалась в процессе массовых мероприятий (на парадах в армии, на массовых работах и т.п.). 6 2.1.2 Число 3 в музыке Число 3 — связано, прежде всего, с круговой цикличностью. Оно лежит в основе всех вальса образных ритмов. А эти ритмы вызывают в человеке ощущения вращения. Если число 2 связано с линейным движением (от «+» к «-»), то «тройка» связана с маятникообразным колебательным движением, где движение от одной крайности к другой всегда проходит через третью точку — точку равновесия, к которой оно тяготеет. Поэтому, действие числа 3 на организм человека скорее успокаивающе. Замечено, что когда человек слышит музыку с основой числа 2 (марш), то его мышцы невольно начинают линейно сокращаться. Когда же звучит музыка с основой числа 3 (вальс), мышцы сокращаются колебательно. Мы попробовали немного рассмотреть лишь некоторые свойства чисел 2 и 3, проявляющихся в музыкальном ритме, как бы в «отрыве» от их действия в мелодии и в аккомпанементе. В наше же время, в основе самой распространённой массовой музыки лежат числа 3 и 4. Если число 2 вызывает линейные резонансы, то число 4, являясь, как бы, следующей ступенью развития число 2, образует уже некое плоскостное пространство, внутри которого и функционирует «двойка». 2.1.3 Другие целые числа Могущество числа в древности не подвергалось сомнению. Основой мироздания Пифагор считал число. Эта мысль кажется созвучной современной науке, которая стремится формулировать все сведения о мире в виде цифр или количественных соотношений. Пифагорейство, однако, шло гораздо дальше использования числа для счета и измерения. Оно провозглашало число творящей силой природы, а также приписывало отдельным числам особый качественный смысл, благодаря которым разные числа приобретали особый характер и назначение. В качестве первичных, «основных» чисел фигурировали только целые числа до десяти. Остальные числа рассматривались как их производные, не представляющие самостоятельный интерес. Ключ к законам всеобщей гармонии Пифагор и его ученики видели в знаменитомТетраксисе. Он образуется числами 1, 2, 3, 4; составленные из них дроби дают идеально согласованные пропорции. Самый яркий пример этого мы видим в музыке: две одинаково натянутые струны с отношением длин 1:2 звучат приятно для слуха. Столь же гармоничный звук издают струны с отношением длин 2:3 и 3:4. На основе этих законов созвучий была построена пифагорейская гамма, в которой ноты «до», «фа», «соль» и «до» 7 второй октавы звучали на частотах, образующих именно такие пропорции. В современном строе во имя большей технологичности принято другое расположение нот в октаве, однако к пифагорейской гамме постоянно возвращаются композиторы и музыканты в поисках гармонии. Столь замечательное применение этого принципа в практике не могло оставить равнодушными античных философов, и закон гармоничных отношений распространяется в их учениях и на строение неба, и на человека. Так укрепляется представление о том, что «числа правят миром».А числа эти образуют соотношения, что и интервалы между различными ступенями гаммы. Названиями интервалов в музыке служат латинские числительные, которые указывают порядковый номер ступени: октава – 8 , квинта – 5, кварта – 4, терция – 3, секунда – 2 (Приложение 3).Любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности (Приложение 4).Этоозначает, что законы гармонии в виде отношений целых чисел заложены в самой структуре мира, отраженной также и в музыке. В Западной музыкальной культуре музыка строится по законам симметричных форм. Это означает, что основные цифровые соотношения внутри формы — чётные (кратные двум или трём). Сама же форма строится по принципу двухчастности (как песня), или трехчастности, где первая часть — «А», вторая — «Б», а третья — повторение первой («А»). Причём двух частная форма, как правило, повторяется тоже три раза. В инструментальной музыке, первая часть двух частной формы (А) может довольно значительно варьироваться и изменяться при повторах, образуя уже новую самостоятельную форму («А-Б» — «В-Б» — «Д-Б», где части «В» и «Д» являются варьированной или изменённой частью «А»). Эта форма в классической музыке получила очень широкое распространение в виде формы «рондо». Это главные элементы, по которым можно определить принадлежность какой-либо мелодии к Западной музыкальной культуре. Мы пытаемся описать общий механизм взаимодействия качеств чисел в музыке, при этом, хорошо понимая, что рамки этогоисследования позволяют задеть лишь «верхушку айсберга» музыки, ибо сущность чисел — одна из самых ёмких тем, требующая многотомных изложений. 2.2 Дроби и музыка Распространенным является мнение, что «поверить алгеброй гармонию нельзя», а если и можно, то это будет как бы бесчувственно, неполноценно и формально (А.С. Пушкин, "Моцарт и Сольери"). Как ни 8 парадоксально, именно алгебра, а точнее - отношения целых чисел, задающих звука высотные соотношения, и определяют то, что мы называем гармонией в том смысле, что одни комбинации звуков звучат «хорошо» (гармонично), а другие –«плохо». Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими. Мы знаем, что при записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность). Сопоставление целого числа и целой длительности. математика Целое число 1 Делим пополам 1/2 Музыка (длительность нот) целая нота( ) половинная( ) Делим целое на четыре части На восемь 1/4 На шестнадцать 1/16 четверная( ) 1/8 восьмая( шестнадцатая( ) ) Названия длительности служат одновременно и названиями чисел. Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Мы видим, что длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой ноты( ) на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа, например: = + В математике существуют противоположности: Отрицательное число – положительное число, Плюс – минус, Деление – умножение, Четное число – нечетное число, Больше – меньше, 9 Простое число – составное число и т.д. В музыке существует еще одна пара противоположностей: медленно – быстро. Эта пара играет очень важную роль в исполнении музыкальных произведений: ведь, например, существуют песни медленные и быстрые. Если изменить темп исполнения, то песня потеряет характер и смысл. Таким образом, искажая темп, можно исказить и все произведение. Есть в музыке еще одна противоположность – высокое и низкое. Это в большей степени относится к музыкальным инструментам. Высоким звучанием отличаются, например, флейта – пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба, контрабас.Противоположностей в музыке очень много: громкий – тихий, быстрый – медленный, длинный – короткий, многоголосие - соло, вокальное исполнение – инструментальное и т.д. 2.3 Музыка числа π Математикам известно число π, которое равно отношению длины окружности к диаметру. История этого числа шла параллельно с развитием всей математики. Это число – одна из постоянных, которая Число 𝛑 интересно не только тем, что с помощью него можно вычислить площадь круга. Данное «магическое число» является иррациональным, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Цифры десятичного представления числа π достаточно случайны, что дает повод для математических курьезов и околонаучных спекуляций. Например, можно смело утверждать, что в разложении p встретятся шесть подряд девяток, и действительно, в пятом столбце третья снизу строка их содержит. В каждой книге по занимательной математике вы непременно найдете историю вычисления и уточнения значения числа π. Сначала, в древних Китае, Египте, Вавилоне и Греции для расчетов использовали дроби, например, 22/7 или 49/16. В Средние века и Эпоху Возрождения европейские, индийские и арабские математики уточнили значение π до 40 знаков после десятичной точки, а к началу Эпохи Компьютеров усилиями многих энтузиастов количество знаков было доведено до 500. А теперь предлагаю всем прикоснуться к вершине достижения человеческого разума, впитавшего знания, энтузиазм и судьбы тысяч математиков-вычислителей за последние 4000 лет и, ощущая трепет, рассмотреть первые 1000 знаков числа π. 10 π = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 … Удивительно, но это число можно сыграть! (Приложение 5). Есликлавишам пианино присвоить цифры этого числа от нуля (До) до девяти (Ре следующей октавы) и «сыграть» последовательность определенного количества символов после запятой, то получится очень интересная мелодия. Прослушать ее можно на сайте http://pi.highsign.de/, задав количество цифр после запятой и выбрав инструмент. Мелодия будет монофонической. Музыкант Майкл Блейк (MichaelBlake) пошел дальше – он включил в последовательность аккорды, которым также присвоены цифровые значения, и параллельное звучание нескольких инструментов. Темп мелодии он определил в 157 ударов в минуту (314 разделить на 2). Хотя мелодия теоретически может звучать вечно, Блейк ограничился всего 31 знаком, повторяя эту последовательность. 2.4Эксперимент Следуя теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над всеми событиями, а значит, числа правят не только музыкой, но и человеком. В своих работах он утверждал, что музыка подчинена высшему закону (математике) и вследствие этого восстанавливает в организме человека гармонию. Про удивительное влияние музыки на человека говорил не только Пифагор, но и Аристотель, Платон. Древняя мудрость гласит: «Слушать 11 прекрасное и видеть прекрасное – самому становиться лучше». Звук – это энергия. Акустические волны, организованные в музыкальную структуру способны регулировать многие процессы в организме: сердцебиение, дыхание, пищеварение. Кроме того они значительно влияют на работу мозга, определяют психоэмоциональное состояние и интеллектуальные способности. Музыка влияет на сердечный ритм, пульс и кровяное давление. Ритм сердечных сокращений можно регулировать с помощью звуков и музыки. Сердцебиение реагирует на частоту, ритм и громкость, которые могут ускорять или замедлять сердечные ритмы. Чем быстрее музыка, тем быстрее бьется сердце; чем медленнее музыка, тем медленнее ритм сердечных сокращений. Все это, конечно, в разумных пределах. Как и с ритмом дыхания, более медленное сердцебиение успокаивает мозг и помогает организму само исцеляться. Музыку можно назвать «естественным миротворцем». Как было рассмотрено выше, существует теория о том, что марш «подчиняется» числу 2 и способствует необычайному подъёму воодушевления и концентрации всех сил. В основе вальса «лежит» число 3, которое действует на организм человека скорее успокаивающе. Мы решили проверить эту теорию и провести свойэкспертимент. Для эксперимента были выбраны учащиеся 5-х классов (Приложение 7). На первом этапе мы предложили учащимся самостоятельно замерить свой пульс в спокойном состоянии. После этогов течение 3-х минут прослушать марш И. Дунаевского, и снова замерить пульс.Было заметно, как у всех приподнялось настроение от ритмичной музыки. И если посмотреть в таблицу, то можно увидеть, что количество сердечных ударов в минуту участилось (Приложение 6). На следующем этапе эксперимента звучал вальс. Музыка спокойная, светлая, нежная. Известно, что спокойная музыка используется для релаксации, то есть расслабления и благоприятно влияет на человека.Спокойная музыка успокаивает человека, понижается кровяное давление, пульс становится реже. После прослушивания вновь измерили пульс и увидели, что сердцебиение стало спокойнее (Приложение 7). По данным эксперимента мы построили диаграмму. 12 Результаты измерения пульса во время эксепримента в 5 а классе 300 250 200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6 7 Пульс до прослушивания 8 9 10 Слушая марш 11 12 13 14 Слушая вальс Результаты измерения пульса во время эксепримента в 5 б классе 300 250 200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6 7 Пульс до прослушивания 8 9 Слушая марш 13 10 11 12 13 Слушая вальс 14 Средние значения по классам 160 140 120 100 80 5б 60 5а 40 20 0 Пульс до прослушивания Слушая марш Слушая вальс Выводы: в ходе эксперимента мы выяснили, что музыка может влиять на поведение и настроение человека. При прослушивании ритмичной музыки сердечный пульс учащается, а при прослушивании спокойной музыки сердечный пульс становится спокойнее. Наше теоретическое исследование было подтверждено и практическим экспериментом. Мы видим, что взаимосвязь музыки и чисел было подтверждено и нашим организмом.В организме нет стихии, там все четко взаимосвязано.Пульс не делает ошибок. 14 Заключение Работая над темой проекта«Музыка чисел», поставленная цель, выявление общих элементов и установление связи между музыкой и математикой нами достигнута. Определили связь между предметами, провели эксперимент и доказали, что музыка влияет на настроение и пульс человека. В данной исследовательской работе мы выдвинули гипотезу о том,что между музыкой и числами существует взаимосвязь. По изложенному материалу в работе, мы доказали что между музыкой и числами существует взаимосвязь. Значит, данная гипотеза доказана. Связь музыки и математики – тема довольно емкая. Нам еще предстоит постичь многие тайны обеих, рассмотренных в данной работе, сфер человеческого творчества – математики и музыки. Однако материал, с которым мы познакомились, убедил нас в том, что «математика и музыка сестры», которые не могут существовать отдельно. И если «математика ум в порядок приводит», то музыка воспитывает уважение к числу, формирует нравственные качества человека, помогает нам понять окружающий мир и научиться более тонко его чувствовать. В этом и состоит величайшая сила музыки. Таким образом, о взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы. Этот исследование показало нам, что связь между музыкой и математикой гораздо глубже, чем кажется на первый взгляд. Можно более подробно изучить связь на примере параллелей и прогрессий, что может послужить следующей исследовательской работой. 15 Источники 1. Число «Пи» - http://pages.marsu.ru/chla/pi.htm 2. Диплан И.Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005г. 3. Шарапкина Е.П. Гармония математики и музыки/П.Е.Шарапкина. 4. Энциклопедический словарь юного музыканта Э68/сост.В.В.Медушевский, О.О.Очаковская. – М.:Педагогика, 2007. 5. Электронное издание «Человек без границ», http://www.manwb.ru/articles/science/natural_science/NumberSound_AlChul/ 6. Музыка и тайна чиселhttp://toldot.ru/tora/articles/articles_4619.html 7. Музыкальный словарьhttp://www.music-dic.ru/ 8. Пифагор и пифагорейцы, число и огоньhttp://proza.ru/2013/08/09/208 16 Приложения Приложение 1 Приложение 2 17 Приложение 3 Приложение 4 18 Приложение 5 Исполняет Уткина Оля. 19 Приложение 6 Измерение частоты пульса. 5 «А» класс № Ф.И. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Кашина Настя Бойко Лера Алексеева Саша Просвирнина Ксюша Коротких Лена Власова Ирина Хрущева Катя Рухмалева Настя Кустова Алена Лобанова Ирина Крючкова Лиза Мангилева Марина Хрущева Лена Иванова Ирина Пульс до прослушивания 70 68 63 56 65 82 83 56 73 71 82 42 59 52 922 Слушая марш 81 73 69 70 72 84 85 62 76 78 39 80 70 96 1035 Слушая вальс 75 61 49 54 82 97 75 49 85 66 45 69 69 90 966 Пульс до прослушивания 80 78 88 70 56 65 67 90 84 64 55 61 66 77 1001 Слушая марш 89 78 92 72 49 42 85 87 81 76 73 49 82 84 1039 Слушая вальс 5 «Б» класс № Ф.И. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Мелкозеров Саша Омельков Дима Петухов Сотников Асо Лягаев Саша Сыропятов Петухов Денис Ершов Романенко Антон Жуков Саша Овчинников Галин Андрей Поткин Костя Широков Витя 20 90 84 67 82 37 72 75 85 85 56 64 61 50 70 977 Приложение 7 21
