МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
БРАТСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО-БУМАЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
для студентов второго курса специальности 151031 «Монтаж и техническая
эксплуатация промышленного оборудования»
Методические указания к практическим работам
2012г.
Составила (разработала)
Шевчук И.Н., преподаватель кафедры физико-математических дисциплин
и вычислительной техники
Рассмотрено на заседании кафедры физико-математических дисциплин и
вычислительной техники
«___________________20___г.
_______________________
(Подпись зав. кафедрой)
Одобрено и утверждено редакционно-издательским советом
____________________
(Подпись председателя РС)
«____» ________________20___г.
№ _______________________
2
Содержание
Введение………………………………………………………………………….. 5
Раздел 1. Элементы линейной алгебры………………………………………….6
1.1 Матрицы и определители. Операции над матрицами.
Определители, миноры, алгебраические дополнения. Обратная
матрица…………………………………………………………………………….6
1.2 Системы линейных уравнений, методы их решения: правило
Крамера, метод исключения неизвестных – метод Гаусса, матричный
метод……………………………………………………………………………...10
1.3 Задания к практической работе№1………………………………….12
1.4 Задания к практической работе №2…………………………………17
1.5 Задания к практической работе №3………………………………...20
Раздел 2. Основы дифференциального исчисления…………………………..24
2.1 Понятие производной. Правила и формулы дифференцирования.
Производная сложной функции………………………………………………...24
2.2 Применение производной к исследованию функций и построению
графиков …………………………………………………………………….. ….28
2.3 Задания к практической работе №4…………………………………32
2.4 Задания к практической работе №5………………………………...35
2.5 Задания к практической работе №6………………………………...37
Раздел 3. Основы интегрального исчисления………………………………….39
3.1 Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его
свойства. Основные табличные интегралы. Интегрирование функций……..39
3.2 Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона –
Лейбница. Вычисление определенных интегралов …………………………..46
3.3 Приложения определенного интеграла к вычислению площадей
плоских фигур……………………………………………………………………48
3.4 Задания к практической работе №7 ………………………………..51
3.5 Задания к практической работе №8 ……………………………….54
3.6 Задания к практической работе №9………………………………...56
Раздел 4. Основы дискретной математики…………………………………….57
4.1 Множества. Операции над множествами. Бинарные
отношения………………………………………………………………………..58
4.2 Задания к практической работе №10……………………………….61
Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики……...65
5.1 Элементы комбинаторики: размещения, перестановки,
сочетания…………………………………………………………………………65
5.2 Задания к практической работе №11……………………………….67
5.3 События и их виды. Операции над событиями……………………..69
5.4 Задания к практической работе №12………………………………72
5.5 Вычисление вероятностей простых и сложных событий…………..73
5.6 Задания к практической работе №13……………………………….76
5.7 Дискретные случайные величины ( ДСВ). Законы распределения
ДСВ. Числовые характеристики ДСВ………………………………………….77
3
5.8 Задания к практической работе №14 ………………………………80
Раздел 6. Основы теории комплексных чисел…………………………………82
6.1 Определение комплексного числа в алгебраической форме,
действия с комплексными числами…………………………………………….82
6.2 Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Решение
алгебраических уравнений……………………………………………………...84
6.3 Задания к практической работе №15………………………… …….88
Заключение …………………………………………............................................90
Список использованных источников…………………………………………...91
4
Введение
Данное методическое пособие содержит лекционный материал курса
«Математика» для студентов второго курса очного факультета, а также
дидактический материал по пятнадцати практическим работам.
В пособии особое внимание уделяется практическим задачам таких
разделов математики как, «Элементы линейной алгебры», «Основы
дифференциального исчисления», «Основы интегрального исчисления» и
«Основы теории вероятностей и математической статистики».
Методическое пособие поможет студентам восполнить пробелы в
знаниях, а преподавателям подготовиться к занятиям.
5
Раздел 1 Элементы линейной алгебры
1.1 Матрицы и определители. Операции над матрицами.
Определители, миноры, алгебраические дополнения. Обратная
матрица
Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.
aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.
Основные виды матрицы:
квадратная (это матрица с равным числом столбцов и строк);
транспонированная (можно получить, поменяв строки и столбцы
матрицы местами. Матрица A размера
при этом преобразовании
T
станет матрицей A размерностью
);
единичная (квадратная матрица, элементы главной диагонали которой
равны единице, а остальные равны нулю)
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи
систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом
случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а
количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение
систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Для матрицы определены следующие алгебраические операции:
сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую
столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);
в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу
матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем
матрицы).
Рассмотрим операции над матрицами более подробно.
1. Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все
элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов
матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
2. Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в
построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения
6
каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы
B равен
3. Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения
) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны
сумме произведений элементов в соответствующей строке первого
множителя и столбце второго
(умножение строки на
столбец).
Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством
строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность
, матрица B —
, то размерность их произведения AB = C есть
.
2 0 −1
1 −2 3
Пример 1: Найти А+2В, если А = (
),В=(
).
1 −3 4
0 4 −1
2 + 2 ∙ 1 0 + 2 ∙ (−2) −1 + 2 ∙ 3
Решение: А + 2В = (
)=
1 + 2 ∙ 0 −3 + 2 ∙ 4 4 + 2 ∙ (−1)
4 −4 5
=(
)
1 5 2
1
0
2 0 −1
Пример 2: Найти А ∙ В, если А = (
) , В = (−2 4 )
1 −3 4
3 −1
Решение: А ∙ В =
2 ∙ 1 + 0 ∙ (−2) + (−1) ∙ 3 2 ∙ 0 + 0 ∙ 4 + (−1) ∙ (−1)
−1
1
=(
)=(
)
1 ∙ 1 + (−3) ∙ (−2) + 4 ∙ 3 1 ∙ 0 + (−3) ∙ 4 + 4 ∙ (−1)
19 −16
Пример 3: Решить матричное уравнение: 2𝐷𝐴 − 3𝐴 = 2𝑋,
−1 0 2
−1 3
А=(
), 𝐷 = (
)
3 −4 5
4 6
10 −12 13
23 −24 20
Решение: 𝐷 ∙ 𝐴 = (
), 2𝐷𝐴 − 3𝐴 = (
), 𝑋 =
14 −24 38
19 −36 61
1
11.5 −12 10
∙ (2𝐷𝐴 − 3𝐴) = (
)
2
9.5 −18 30.5
Определение: Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А|
или ΔA.
Формула для вычисление определителя второго порядка:
(1)
Формулы для вычисление определителя третьего порядка:
а) разложение по элементам первой строке:
(2)
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31;
7
б) по правилу звездочки (или Саррюса)
Основные свойства определителей.
Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.
Замечание.
Следующие
свойства
определителей
будут
формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми
же свойствами будут обладать и столбцы.
Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на
некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.
Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.
Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.
Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны,
равен нулю.
Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается
на —1.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам
одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки,
умноженные на одно и то же число.
Определение 8. Минором, соответствующим данному элементу aij
определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка,
полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении
которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры
соответствующие данному элементу aij будем обозначать Mij.
Пример 4: минором M12, соответствующим элементу a12, будет
определитель
, который получается вычёркиванием из данного
определителя 1-ой строки и 2-го столбца.
Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя
называется его минор Mij, умноженный на (–1)i+j. Алгебраическое
дополнение элемента aij обозначается Aij.
Из определения получаем, что связь между алгебраическим
дополнением элемента и его минором выражается равенством
Aij = (–
i+j
1) Mij.
Например,
Пример 5: Дан определитель
. Найти A13, A21, A32.
8
Решение:
Определение. Если A – квадратная матрица, то обратной для неё
матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию
. (Это определение вводится по аналогии с умножением
чисел). Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.
Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:
1. Найти определитель матрицы A.
2. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице.
3. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы AТ и
составить матрицу, элементами которой являются числа Aij.
1
4. Умножить матрицу, полученную в пункте 3 на
∆А
1 −1 1
Пример 6: Найти обратную матрицу А , если А = (2 1 1) и
1 1 2
выполнить проверку.
1 −1 1
1 1
2 1
2 1
Решение: ∆𝐴 = |2 1 1| = 1 ∙ |
|—1 ∙ |
|+1∙|
|=
1 2
1 2
1 1
1 1 2
= (1 ∙ 2 − 1 ∙ 1) + (2 ∙ 2 − 1 ∙ 1) + (2 ∙ 1 − 1 ∙ 1) = 1 + 3 + 1 = 5
1 2 1
1 1
𝑇
А = (−1 1 1), 𝐴11 = (−1)1+1 ∙ |
| = (−1)2 (2 − 1) = 1, аналогично
1 2
1 1 2
𝐴12 = 3, 𝐴13 = −2, 𝐴21 = −3, 𝐴22 = 1, 𝐴23 = 1, 𝐴31 = 1, 𝐴32 = −2, 𝐴33 = 3
-1
1
̃
А = (−3
1
3 −2
1
1 ),
−2 3
А
−1
1
3
̃
= ∙ А = ∙ (−3 1
∆А
5
1 −2
1
1
Для проверки используется формула: А ∙ А−1
9
−2
1 )=
3
1
3
−2
5
−3
5
1
5
1
5
1
5
−2
5
3
5
(5
1 0 0
= Е, где Е = (0 1 0).
0 0 1
5
.
)
1.2 Решение систем линейных уравнений
Дана система:
1. Метод Гаусса. Часто вместо того, чтобы писать новую систему
уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу
системы, и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с
помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие
преобразования:
перестановка строк или столбцов;
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другие строки.
2. Матричный метод. Рассмотрим матрицу системы и матрицы
столбцы неизвестных и свободных членов:
,
получаем решение матричного уравнения
в виде X = A B
Пример 7: Решить систему методом Гаусса.
3𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 2
{4𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = 1
5𝑥 − 6𝑦 + 4𝑧 = 3
3 −3 2 2
(4 −5 2| 1) −(4⁄3)𝐼
5 −6 4 3 −(5⁄3)𝐼
3 −3
2
2
(0 −1 − 2⁄3| − 5⁄3)
0 −1 2⁄3 − 1⁄3 −𝐼𝐼
3 −3
2
2
(0 −1 − 2⁄3| − 5⁄3) ∙ 3
0 0 −4⁄3 − 4⁄3 ∙ 3
3 −3 2 2
(0 −1 −2| −5)
0 0 −4 −4
3𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 2
{ −𝑦 − 2𝑧 = −5 решая систему с конца, получим z=1, y=1, x=1
−4𝑧 = −4
Пример 8: Решить систему методом обратной матрицы
-1
10
11
1.3 Задания к практической работе №1
1 вариант
1. Даны матрицы:
−1 3 7
6
А= ( 0 1 5) и В= ( 7
−5 3 4
9
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
2 2
1 3)
1 0
2. Найти произведение матриц А∙В
2
3 2 8
а) А = (
) и В = ( 1)
1 −4 0
0
1 3 2
б) А= (5 2) и В= (
)
−3 0 1
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
1 3 −4
0 1 −2
А= ( 0 2 4 ) и В=(1 −3 4 )
−3 1 5
2 5
1
2 вариант
1. Даны матрицы:
−2 4 8
1
А= ( 1 2 6) и В= ( 2
−4 4 5
0
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
2. Найти произведение матриц А∙В
3
2 5 1
а) А = (
) и В = (−1)
2 −2 3
10
−1 0 1
б) А= (2 −2) и В= (
)
2 3 4
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
−2 3 0
1 0 −9
А= ( 5 6 1 ) и В=( 2 −1 3 )
1 2
6
1 1 −7
12
3 3
2 4)
2 1
3 вариант
1. Даны матрицы:
1
3 −2 5
А= ( 2 −1 3 ) и В= ( 4
−9
−3 0 4
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
2 3
8 9 )
1 0
2. Найти произведение матриц А∙В
1
1 3 5
а) А = (
) и В = (−2)
6 −6 9
3
−3 1 −2
б) А= (1 −5) и В= (
)
1 0 1
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
0 −2 10
1 6 −2
А= ( −6 1
2 ) и В= ( 2 3 4 )
3
1 −3
−2 5 −1
4 вариант
1. Даны матрицы:
0 −3 −7
−6 2
2
А= ( 10 −1 5 ) и В= ( 6 −1 3 )
−8 −3 4
1 −1 10
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
2. Найти произведение матриц А∙В
0
−2 −1 1
а) А = (
) и В= ( 1 )
2
0 2
−3
0 2 1
б) А= (−1 2) и В= (
)
−1 4 3
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
4 −7 0
1
2
А= ( 5 3
2 ) и В= ( 2
5
6 2 −5
−2 −5
−1
−4 )
1
13
5 вариант
1. Даны матрицы:
−4 3 7
1 2 5
А= ( 12 1 5 ) и В= ( 3 1 2 )
5 −3 4
9 −1 0
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
2. Найти произведение матриц А∙В
1 −1
2 −1
а) А = (2 −3) и В = (
)
1 −3
3 0
5 2 1
б) А= (1 2) и В= (
)
−1 2 0
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
6 2 0
1 1 −2
А= ( 3 3 9 ) и В= ( 1 −2 4 )
4 0 −7
2 5
0
6 вариант
1. Даны матрицы:
−2 2 7
−2 2
2
А= ( 1 2 −5 ) и В= ( 7 −1 3 )
−5 7 4
−1 11 −3
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
2. Найти произведение матриц А∙В
−2 1
3 −2 8
а) А = ( 1 3) и В = (
)
−1 4 0
0 1
1 3 0
б) А= (−10 1) и В= (
)
−2 2 1
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
10 −2 1
3 −1
А= ( 2
1
9 ) и В= ( −1 3
0
4 −7
−2 −5
14
2
4 )
2
7 вариант
1. Даны матрицы:
−9 3 7
−6 2 2
А= ( 0 5 5 ) и В= ( 1 1 3
5 3 1
1 1 4
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
2. Найти произведение матриц А∙В
2 1
1 9 2
а) А = (
) и В = (6 3 )
4 −2 0
4 −1
3 1 1
б) А= (−2 2) и В= (
)
−1 0 −3
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
−1 2 2
0 1 −2
А= ( −3 4 −2 ) и В= ( 4 −2 4 )
2 0 −1
2 9
1
8 вариант
1. Даны матрицы:
−1 3 7
6
А= ( 0 1 5) и В= ( 7
−5 3 4
9
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
2. Найти произведение матриц А∙В
2
3 2 8
а) А = (
) и В = ( 1)
1 −4 0
0
1 3 2
б) А= (5 2) и В= (
)
−3 0 1
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
1 3 −4
0 1 −2
А= ( 0 2 4 ) и В=(1 −3 4 )
−3 1 5
2 5
1
15
2 2
1 3)
1 0
)
9 вариант
1. Даны матрицы:
−2 4 8
1
А= ( 1 2 6) и В= ( 2
−4 4 5
0
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
3 3
2 4)
2 1
2. Найти произведение матриц А∙В
3
2 5 1
а) А = (
) и В = (−1)
2 −2 3
10
−1 0 1
б) А= (2 −2) и В= (
)
2 3 4
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
−2 3 0
1 0 −9
А= ( 5 6 1 ) и В=( 2 −1 3 )
1 2
6
1 1 −7
10 вариант
1. Даны матрицы:
1
3 −2 5
А= ( 2 −1 3 ) и В= ( 4
−9
−3 0 4
Найти: А+В; А-В; 7А-3В; А∙В; В∙А
2. Найти произведение матриц А∙В
1
1 3 5
а) А = (
) и В = (−2)
6 −6 9
3
−3 1 −2
б) А= (1 −5) и В= (
)
1 0 1
3. Решить уравнение 2А+Х-В=0, если
0 −2 10
1 6 −2
А= ( −6 1
2 ) и В= ( 2 3 4 )
3
1 −3
−2 5 −1
16
2 3
8 9 )
1 0
1.4 Задания к практической работе №2
Даны две матрицы А и В. Найти: А∙В; А-1; А∙А-1; |В|
1 вариант
2 вариант
3 вариант
4 вариант
17
5 вариант
6 вариант
7 вариант
8 вариант
18
9 вариант
10 вариант
19
1.5 Задания к практической работе №3
1 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
7х + 2у = 1
;
{
8х − 4у = 2
2.Решить систему матричным методом:
10х + у + 4𝑧 = 1
{𝑥 − 2𝑦 − 7𝑧 = −3 ;
2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 0
3. Решить систему методом Гаусса:
х−у−𝑧 = 0
{ 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 7
2 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
−5𝑥 − 𝑦 = 2
;
{
𝑥 + 2𝑦 = 35
2.Решить систему матричным методом:
5х − 3у + 2𝑧 = 19
{4𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 31 ;
3𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 = 31
3. Решить систему методом Гаусса:
х − 4у − 2𝑧 = 0
{3𝑥 − 5𝑦 − 6𝑧 = −21
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −4
3 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
8𝑥 − 11𝑦 = 1
;
{
−𝑥 + 2𝑦 = 11
2.Решить систему матричным методом:
2х − у + 2𝑧 = −3
{ 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4 ;
3𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 3
3. Решить систему методом Гаусса:
5х − 3у + 4𝑧 = 11
{ 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −6
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
20
4 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
9𝑥 + 12𝑦 = 5
;
{
𝑥−𝑦 =6
2.Решить систему матричным методом:
4х − у − 5𝑧 = 1
{ 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 6 ;
3𝑥 − 2𝑦 − 6𝑧 = −2
3. Решить систему методом Гаусса:
х + 2у + 𝑧 = 4
{3𝑥 − 5𝑦 + 3𝑧 = 1
2𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 = 8
5 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
25𝑥 − 𝑦 = 15
;
{
2𝑥 − 2𝑦 = 3
2.Решить систему матричным методом:
3х − 2у + 𝑧 = −3
{5𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 11 ;
𝑥+𝑦+𝑧 =1
3. Решить систему методом Гаусса:
4х − 3у + 𝑧 = 43
{ 𝑥+𝑦−𝑧 =3
2𝑥 + 𝑦
= 13
6 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
18𝑥 + 2𝑦 = 20
;
{
30𝑥 − 𝑦 = 3
2.Решить систему матричным методом:
3х + 2у + 𝑧 = 14
{2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 12 ;
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 11
3. Решить систему методом Гаусса:
5х + 3у + 3𝑧 = 48
{2𝑥 + 6𝑦 − 3𝑧 = 18
8𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 21
21
7 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
4𝑥 − 3𝑦 = 2
;
{
7𝑥 + 8𝑦 = 15
2.Решить систему матричным методом:
2х − 3у + 𝑧 = −3
{ 𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −1 ;
3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 11
3. Решить систему методом Гаусса:
х−у−𝑧 = 0
{ 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 7
8 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
40𝑥 − 12𝑦 = 18
;
{
3𝑥 + 5𝑦 = 10
2.Решить систему матричным методом:
4х + у − 2𝑧 = 10
{−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −1;
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 1
3. Решить систему методом Гаусса:
х − 4у − 2𝑧 = 0
{3𝑥 − 5𝑦 − 6𝑧 = −21
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −4
9 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
28𝑥 − 18𝑦 = 5
;
{
11𝑥 + 3𝑦 = 4
2.Решить систему матричным методом:
3х + 4у + 2𝑧 = 5
{5𝑥 − 6𝑦 − 4𝑧 = −3 ;
−4𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 1
3. Решить систему методом Гаусса:
5х − 3у + 4𝑧 = 11
{ 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −6
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
22
10 вариант
1. Решить систему по формулам Крамера:
−5𝑥 − 𝑦 = −3
;
{
3𝑥 + 2𝑦 = 8
2.Решить систему матричным методом:
5х + у − 2𝑧 = 5
{ 10𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 ;
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −11
3. Решить систему методом Гаусса:
х + 2у + 𝑧 = 4
{3𝑥 − 5𝑦 + 3𝑧 = 1
2𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 = 8
23
Раздел 2. Основы дифференциального исчисления
2.1 Понятие производной. Правила и формулы
дифференцирования. Производная сложной функции
Рассмотрим задачу: Точка движется по параболе неравномерно. Дана
парабола y x 2 и два промежутка (1; 2) и (3; 4). Найти скорость движения
точки по параболе в указанных промежутках.
Решение:
Vср
S S 2 S1
- средняя скорость движения точки на указанном
t t 2 t1
промежутке.
Найдем среднюю скорость движения точки на первом промежутке.
Рассмотрим рисунок 1. Здесь x1 1 и x2 2 . Подставив
эти значения в функцию y x 2 , получим y1 1 и y2 4 . Тогда
Vср
y2 y1 4 1
3.
x2 x1 2 1
Аналогично при x3 3 и x4 4 находим y3 9 и y4 16 . Тогда
Vср
y2 y1 16 9
7.
x2 x1
43
Рисунок1 - Движение точки по параболе
Чем меньше промежуток, тем точнее средняя скорость выражает
действительную скорость движения точки по параболе.
Значение скорости движения точки в общем виде выражают формулой:
S
S t - производная функции
t 0 t
V lim
Создатели: Лейбниц, Ньютон, Эйлер.
24
S S (t ) .
Определение: Производной функции называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю
y
f x x f x
y( x) lim
lim
x 0 x
x 0
x
Дифференцирование – это операция нахождения производной функции.
Пример: Найти производную функции y x 2 3 по определению.
Решение: Будем искать производную по определению
y
f x x f x
y( x) lim
lim
x 0 x
x 0
x
Получаем следующее выражение:
y
x x 2 3 x 2 3
y( x) lim
lim
x 0 x
x 0
x
x 2 2 x x x 2 3 x 2 3
2 x x x 2
x 2 x x
lim
lim
lim
x 0
x 0
x 0
x
x
x
lim 2 x x 2 x 0 2 x .
x 0
Дифференцирование состоит из двух этапов:
применение правил дифференцирования;
применение формул дифференцирования.
Правила и формулы дифференцирования.
С – const; u, v – функции
1. C u ' C u '
2. u v w ...' u'v' w'... –для конечного числа слагаемых
3. u v ' u'v u v'
u u 'v u v'
4. '
v2
v
Таблица 1 - Таблица производных
3.
1.
C ' 0
8. a x ' a x ln a
2.
x ' 1
9. e x ' e x
x ' n x
n
1
x
4. '
n1
1
x2
;
10. sin x ' cos x
25
13. ctgx '
14. arcsin x '
1
sin 2 x
1
1 x2
15.
arccos x '
1
1 x2
x ' 2 1 x
5.
ln x ' 1 ;
6.
7.
16. arctgx'
11.
cos x ' sin x
12. tgx '
x
lg x ' lg e 1
1
1 x2
17. arcctgx'
1
cos2 x
1
1 x2
x
Примеры:
1) y 2 x
Применяем правило: (C U ) C U , получим: y 2 x 2 1 2 , т.к. ( x) 1 ;
x
2
2) y
1
2
1
2
1
2
Применяем правило: (C U ) C U , получим: y x 1 , т.к. ( x) 1 ;
3) y 4 x
Применяем правило: (C U ) C U , получим: y 4 x 4 1 4 , т.к. ( x) 1 ;
4) y 2 x 3
Применяем правило: (k x b) k x b k 1 0 k , получим:
y 2 x 3 2 1 0 2 , т.к. ( x) 1 ;
5) y 3 5 x
Применяем правило: (k x b) k x b k 1 0 k , получим:
y 3 5 x 0 5 1 5 , т.к. ( x) 1 ;
Аналогично:
6) y 1 x , получим: y 1 ;
7) y x 2
По формуле y ( x n ) n x n1 , получим: y 2 x 21 2 x ;
Аналогично:
8) y x 3 , получим: y 3 x 31 3x 2 ;
9) y x 9 , получим: y 9 x 91 9 x8 ;
10) y 5x 4 2 x 3 x 2 4 x 1
По правилу u v w ...' u'v' w'... , получим:
y 5 x 4 2 x 3 x 2 4 x 1 20 x 3 6 x 2 2 x 4 ;
11) y x 3 1 2 x 2
Применяем правило: u v ' u'v u v' , получим:
y x 3 1 2 x 2 x 3 1 2 x 2 3 x 2 2 x 2 x 3 1 2 x
6 x2 5x4 2 x ;
12) y
7x 3
3 7x
26
u u 'v u v'
Применяем правило: '
, получим:
2
v
v
7 x 3 3 7 x 7 x 3 3 7 x 7 3 7 x 7 x 3 7
y
3 7 x 2
3 7 x 2
42
3 7 x 2 ;
Решите самостоятельно:
а) y 3 cos x 4 sin x 5e x ;
1
x
б) y ln x (по правилу умножения и по правилу частного)
Производная сложной функции
Пусть дана сложная функция y=g(u), где u=f(x).
Теорема 1. Если функция u=f(x) дифференцируема в некоторой точке x,
а функция y=g(u) определена на множестве значений функции f(x) и
дифференцируема в точке u=f(x), то сложная функция y=g(f(x)) в данной
точке x имеет производную, которая находится по формуле
𝑦𝑥´ = 𝑔´ (𝑢) ∙ 𝑓 ´ (𝑥) или 𝑦𝑥´ = 𝑦𝑢´ ∙ 𝑢𝑥´
(3)
Примеры:
1) Найти производную функции
𝑦 = (𝑥 3 − 5𝑥 + 7)9
Данная функция является сложной степенной функцией y= u9 , где
u = 𝑥 3 − 5𝑥 + 7. Поэтому получим:
𝑦 ´ = 𝑦 = ((𝑥 3 − 5𝑥 + 7)9 )´ = 9(𝑦 = (𝑥 3 − 5𝑥 + 7)8 ∙ (𝑥 3 − 5𝑥 + 7)´ =
9(𝑥 3 − 5𝑥 + 7)8 ∙ (3𝑥 2 − 5)
2) Найти производную функции
3
𝑦 = √(5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 )2
Эта функция также является сложной степенной функцией, а именно
2
2
𝑦 = 𝑢3 , где u=5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 . Поэтому 𝑦 ´ = ((5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 )3 )´ =
2
−1
= (5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 ) 3 ∙ ( 5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 )´ =
3
27
2(3−4𝑥)
3
3 √5+3𝑥−2𝑥 2
2.2 Применение производной к исследованию функций и
построению графиков
Признаки возрастания и убывания функции
Теорема. Если производная функции y=f(x) в данном промежутке
значений x положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а
если отрицательна, то функция убывает.
Как возрастающие, так и убывающие функции называются
монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает,промежутками монотонности.
Максимум и минимум функции
Значения аргумента, при которых значения функции являются
наибольшими или наименьшими, называются соответственно точками
максимума или минимума функции, а значение функции при этих значениях
аргумента – максимумом или минимумом (или экстремумами) ее.
Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е.
точки, принадлежащие области определения функции, в которых
производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Если при переходе через критическую точку 𝑥0 производная 𝒇′( 𝑥)
меняет знак, то функция 𝒇( 𝑥) имеет в точке 𝑥0 экстремум: минимум в том
случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда
с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку 𝑥0
производная 𝒇′( 𝑥) не меняет знака, то функция 𝒇( 𝑥) в точке 𝑥0 не имеет
экстремума.
Наименьшее и наибольшее значения функции
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции,
непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и
вычислить значения функции в этих точках;
2)найти значения функции на концах промежутка;
3)сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из
них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями
функции в рассматриваемом промежутке.
Выпуклость и вогнутость кривой и точки перегиба
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции
y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором
промежутке 𝒇′′( 𝑥) > 0, то кривая выпукла вниз (или вогнута) в этом
28
промежутке; если же 𝒇′′( 𝑥) < 0, то кривая выпукла вверх (или выпукла) в
этом промежутке.
Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости
и вогнутости этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки,
принадлежащие области определения функции y=f(x), в которых вторая
производная 𝒇′′( 𝑥) обращается в нуль или терпит разрыв.
Если при переходе через критическую точку 𝑥0 вторая производная
𝒇′′( 𝑥) меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )).
Примеры:
1) Найти промежутки монотонности функции f(x)=x2-8x+12
Решение. Находим производную: 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 8; имеем
2x-8=0
x=4
Последующие рассуждения представим в таблице 2.
Таблица 2- Нахождение промежутков монотонности
x
f´(x)
f(x)
-∞<x<4
_
4
4<x<∞
0
+
↘
↗
Таким образом, данная функция в промежутке -∞<x<4 убывает, а в
промежутке 4<x<∞ возрастает.
2) Исследовать на экстремум функцию f(x)=-x2+5x+6
Решение. Находим производную: 𝑓 ′ (𝑥) = −2𝑥 + 5
-2x+5=0
x=2,5
Составим таблицу 3.
Таблица 3 - Нахождение экстремумов функции
x
f´(x)
f(x)
-∞<x<2,5
+
↗
2,5
2,5<x<∞
0
-
Fmax=f(2,5)=0,25
29
↘
Графиком функции f(x)=-x2+5x+6 служит парабола, изображенная на
рис. 2.
y
A (2,5;0,25)
0
x
Рисунок 2 - График функции f(x)=-x2+5x+6
3) Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x)=x2-4x+3 в
промежутке 0≤ х≤3
Решение.
f ′(x)=2x-4
2x-4=0
x=2 – критическая точка. Находим f(2)=-1;далее вычисляем значения
функции на концах промежутка: f(0)=3, f(3)=0.
Итак, наименьшее значение функции равно -1 и достигается ею во
внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается
на левом конце промежутка (рис.3).
Рисунок 3 - График функции f(x)=x2-4x+3
4) Найти промежутки выпуклости кривой f(x)=x4-2x3+6x-4.
Решение. Находим
f ′(x)=4x3-6x2+6
f ′′(x)=12x2-12x=12x(x-1). Очевидно, что в промежутках -∞<х<0 и
1<х<∞ выполняется неравенство f ′′(x)>0,т.е. в этих промежутках кривая
выпукла вниз, а в промежутке 0<х<1 имеет место неравенство f ′′(x)<0, т.е. в
этом промежутке кривая выпукла вверх.
30
5) Найти точки перегиба кривой f(x)=6х2-х3
Решение. Находим
f ′(x)=12х-3х2
f ′′(x)=12-6х.
Полагая, что f ′′(x)=0, получим единственную критическую точку
х=2.Так как в промежутке -∞<х<2 имеем f ′′(x)>0, а в промежутке 2<х<∞
имеем
f ′′(x)<0, то при х=2 кривая имеет точку перегиба. Найдем ординату
этой точки: f(2)=16. Итак, (2;16) – точка перегиба.
31
3.3 Задания к практической работе №4
Найти производную функции.
Вариант № 1
1. y 10 x3 2 x 2 1
Вариант № 2
1. y 3x 4 2 7 x3
2. y 5 x x
3. y 2 cos x 3 sin x
1
4. y tgx 3ctgx
2
5. y 2 arcsin x 3arctgx
6. y x3 1 x
x
2
cos x
y
5 sin x
3
3
y tgx ctgx
4
y 4arctgx 3arcctgx
y x 2 x 2
2. y x
3.
4.
5.
7. y e x ln x
2x 1
8. y
2x 1
6.
1
x
2 3x
8. y
2 3x
7. y 7 x
Вариант № 3
1. y 7 x3 5 x 2 3
Вариант № 4
1. y 3x3 2 x 5
x
2 x
3
y 5 cos x 2 sin x
1
y 2tgx ctgx
3
y 3 arccos x 2arcctgx
y x 2 2 3 x
x
6 x
7
y 5 sin x 2 cos x
1
y 6tgx ctgx
4
y 7 arccos x 2 arcsin x
y x 4 2 x
2. y
2. y
3.
3.
4.
5.
6.
4.
5.
6.
7. y 4 x ln x
3x 1
8. y
3x 1
7. y 2 x e x
3x 4
8. y
3x 4
Вариант № 5
1. y 8 x5 3x 2 5 x
1
4. y ctgx 7tgx
2
5. y 2 arccos x 3arctgx
6. y x 4 1 2 x
2. y 2 x 5 x
cos x
3. y 2 sin x
5
7. y 4e x ln x
32
8. y
7x 1
1 7x
3.
Вариант № 6
1. y 3x5 4 x 2 10 x3
2.
3.
4.
5.
6.
4.
5.
8
x
y
x 2
sin x
y
9 cos x
3
tgx
y ctgx
5
y 9arcctgx 3arctgx
y x3 5 x 2
6.
7. y 4 ln x e x
7x 3
8. y
7x 3
Вариант № 9
1. y 7 x 5 x 2 9
2. y 6 x 9 x
1
x
5 4x
8. y
5 4x
7. y e x
3. y 7 cos x 9 sin x
tgx
4. y
8ctgx
3
5. y 7 arcsin x 8arctgx
6. y x5 2 x
7. y 5e x ln x
8x 1
8. y
8x 1
Вариант № 7
1. y 12 x 7 x 4 5 x 2 3
2. y e x 2 x
3. y 7 cos x
Вариант № 10
1. y 3x 4 2 x 6 x3
sin x
2
1
4. y 5tgx ctgx
4
5. y 12 arcsin x 5arcctgx
6. y x x 2 3
7. y 8 x ln x
8. y
1
4 x
7
y 14 sin x 3 cos x
ctgx
y 3tgx
4
y 9 arccos x 5arctgx
y 2 x3 1 7 x
2. y
2. y 7 x
x
2
cos x
sin x 1
2
1
4. y tgx 2ctgx 4
2
5. y 4 arctgx arcctgx
6. y x 2 3 x
2
7. y 6 x
x
2 7x
8. y
2 7x
3. y
9x 2
2 9x
Вариант № 8
1. y 15 x 2 9 x 5 x3
33
Вариант № 11
1. y 8 x3 5 x 3
Вариант № 12
1. y 4 x3 7 x 2 3 x
2. y 4 x 2 2 x
cos x
3. y
2 sin x
4
6
4. y 9tgx ctgx
5
arccos x 2arcctgx
5. y
7
6. y x 2x 2 3
7. y 8 x ln x
8. y
4 x
e
9
y 5 sin x 2 cos x
1
y 7tgx ctgx
7
y 7 arctgx arcsin x
y 5 x3 7 x
2. y
3.
4.
5.
6.
7. y ln x x
5x 3
8. y
1 3x
2 4x
4x 1
34
3.4 Задания к практической работе № 5
1 вариант
Найти производную следующих
функций:
1. 𝑦 = sin 6𝑥
2. 𝑦 = (𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5)3
1
3. 𝑦 =
3 5
4 вариант
Найти производную следующих
функций:
1. 𝑦 = 4cos 4𝑥
2. 𝑦 = ( 6𝑥 2 − 5𝑥)−6
1
3. 𝑦 =
5
4. 𝑦 =
4𝑥 + 6
4
5. 𝑦 = sin 𝑥
6. 𝑦 = ln 3𝑥
2
7. 𝑦 = 𝑒 −𝑥
4. 𝑦 = √𝑡𝑔𝑥
5. 𝑦 = cos 3 𝑥
6. 𝑦 = 72𝑥−1
7. 𝑦 = 𝑒 √𝑥
(1−𝑥 )
√𝑥 2 −
(𝑥−1)
2 вариант
Найти производную следующих
функций:
𝑥
1. 𝑦 = cos
3
2. 𝑦 = ( 1 − 5𝑥)4
1
3. 𝑦 =
2 5
5 вариант
Найти производную следующих
функций:
𝑥
1. 𝑦 = sin
2
3
2. 𝑦 = (𝑥 − 5𝑥 + 7)9
1
3. 𝑦 =
3 5
(1−𝑥 )
4. 𝑦 = √1 − 𝑥 2
5. 𝑦 = cos 6 𝑥
6. 𝑦 = ln(5 − 𝑥 3 )
7. 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥
(1−𝑥 )
3
4. 𝑦 = √(5 + 3𝑥 − 2𝑥 2 )2
5. 𝑦 = tg 4 𝑥
6. 𝑦 = ln √𝑥
2
7. 𝑦 = 6−𝑥
3 вариант
Найти производную следующих
функций:
1. 𝑦 = 2sin 3𝑥
2. 𝑦 = (𝑥 5 − 2𝑥 2 )8
3
3. 𝑦 =
2 8
6 вариант
Найти производную следующих
функций:
𝑥
1. 𝑦 = 2cos
3
2. 𝑦 = (2𝑥 3 + 5 )4
1
3. 𝑦 =
2 5
(1−𝑥 )
3
√𝑥 2 −
(1−𝑥 )
√𝑥 3 +
4. 𝑦 =
5
5
5. 𝑦 = sin 𝑥
6. 𝑦 = ln(𝑥 2 − 𝑥)
3
7. 𝑦 = 𝑒 𝑥
4. 𝑦 =
2𝑥
6
5. 𝑦 = ctg 𝑥
6. 𝑦 = ln(cos 4𝑥)
7. 𝑦 = 6ln 𝑥
35
7 вариант
Найти производную следующих
функций:
1. 𝑦 = sin 6𝑥
2. 𝑦 = (𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5)3
1
3. 𝑦 =
3 5
9 вариант
Найти производную следующих
функций:
1. 𝑦 = 2sin 3𝑥
2. 𝑦 = (𝑥 5 − 2𝑥 2 )8
3
3. 𝑦 =
2 8
4. 𝑦 =
4𝑥 + 6
4
5. 𝑦 = sin 𝑥
6. 𝑦 = ln 3𝑥
2
7. 𝑦 = 𝑒 −𝑥
4. 𝑦 =
5
5
5. 𝑦 = sin 𝑥
6. 𝑦 = ln(𝑥 2 − 𝑥)
3
7. 𝑦 = 𝑒 𝑥
(1−𝑥 )
√𝑥 2 −
(1−𝑥 )
3
√𝑥 2 −
8 вариант
Найти производную следующих
функций:
𝑥
1. 𝑦 = cos
3
2. 𝑦 = ( 1 − 5𝑥)4
1
3. 𝑦 =
2 5
10 вариант
Найти производную следующих
функций:
1. 𝑦 = 4cos 4𝑥
2. 𝑦 = ( 6𝑥 2 − 5𝑥)−6
1
3. 𝑦 =
5
(1−𝑥 )
4. 𝑦 = √1 − 𝑥 2
5. 𝑦 = cos 6 𝑥
6. 𝑦 = ln(5 − 𝑥 3 )
7. 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥
(𝑥−1)
4. 𝑦 = √𝑡𝑔𝑥
5. 𝑦 = cos 3 𝑥
6. 𝑦 = 72𝑥−1
7. 𝑦 = 𝑒 √𝑥
36
3.5 Задания к практической работе № 6
Исследовать функцию и построить график:
1 вариант
1) 𝑦 = 2𝑥 2 − 8𝑥;
2)𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 − 6
2 вариант
1) 𝑦 = −3𝑥 2 + 12𝑥;
2)𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 3
3 вариант
1) 𝑦 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 4;
2)𝑦 = 2𝑥 3 + 9𝑥 2 + 12𝑥 − 2
4 вариант
1) 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 15;
2)𝑦 = 𝑥 3 − 12𝑥 2 + 145
5 вариант
1) 𝑦 = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2;
2)𝑦 = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 − 10
6 вариант
1) 𝑦 = −𝑥 2 + 𝑥 + 6;
2)𝑦 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 8
37
7 вариант
1) 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥;
2)𝑦 = 2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 − 8
8 вариант
1) 𝑦 = 2𝑥 2 − 3;
2)𝑦 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥 + 8
9 вариант
1) 𝑦 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 12;
2)𝑦 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 − 1
10 вариант
1) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3;
2)𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2
38
Раздел 3. Основы интегрального исчисления
3.1 Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его
свойства. Основные табличные интегралы. Интегрирование
функций
Определение: Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на
промежутке a x b , если в любой точке этого промежутка её производная
равна f (x) :
F x f ( x), a x b
dF ( x) f ( x)dx
Отыскание первообразной функции по заданной её производной или по
дифференциалу есть действие, обратное дифференцированию –
интегрирование.
Пример:
Дана
функция
yx .
2
Её
первообразная
x3
,
F ( x)
3
т.к.
x3
1
F ( x) 3x 2 x 2 . Очевидно, что первообразными будут также любые
3
3
x3
x3
функции F ( x) C , т.к. c const и c 0 F ( x) c x 2 f ( x) .
3
3
Совокупность всех первообразных для функции f (x) или для дифференциала
f ( x)dx
называется неопределенным интегралом и обозначается:
f ( x)dx F ( x) C ,
(4)
где f (x) - подынтегральная функция; f ( x)dx - подынтегральное выражение; C
- произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла:
1) Постоянный множитель выносится за знак интеграла:
a f ( x)dx a f ( x)dx .
2) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от
слагаемых функций
f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx .
Для вычисления интегралов используют таблицу интегрирования
элементарных функций
1. dx x C
2. x n dx
3.
x n 1
C
n 1
dx
ln x C
x
39
ax
x
4. a dx
C
ln a
5. e x dx e x C
6.
7.
8.
9.
sin xdx cos x C
cos xdx sin x C
tgxdx ln cos x C
ctgxdx ln sin x C
10.
dx
2 tgx C
cos x
11.
dx
2 ctgx C
sin x
12.
dx
x
arcsin C
a
a2 x2
13.
dx
ln x x 2 a 2 C
x2 a2
14.
16.
cos x ln tg 2 4 C
17.
sin x ln tg 2 C
dx
1
x
arctg C
a
a
a2 x2
dx
1
ax
15.
ln
C
ax
a 2 x 2 2a
dx
x
dx
x
x
a2
x
2
2
2
2
18. a x dx a x
arcsin C
2
2
a
x
a2
2
2
2
2
19. x a dx x a
ln x x 2 a 2 C
2
2
Непосредственное интегрирование
1) 5dx 5 dx 5 x c
2)
x3
1 3
1 x4
x3
dx
x
dx
c
c
4
4
4 4
16
40
3) 5 x x3 x 1dx 5 x 2 5 x x 4 x3 dx 5 x 2dx 5 xdx
x3
x 2 x5 x 4
4
3
2
4
3
x dx x dx 5 x dx 5 xdx x dx x dx 5 5
c
3
2
5
4
3
dx
1
x
x
dx 3 2
3 arctg C arctg C
2
3
3
3
x 9
x 3
4dx
dx
x
5)
4
4 arcsin C
4
16 x 2
42 x 2
6x
x
x
6) 4 6 dx 4 6 dx 4
C
ln 6
7) e x 1 dx e x dx dx e x x C
4)
2
4
dx
dx cos xdx 4
sin x 4 (ctgx) C
8) cos x
2
2
sin x
sin x
sin x 4 ctgx C
x2
2
2
2
9) 2 x dx 4 2 x x dx 4 dx 2 xdx x dx 4 x 2
2
x3
x3
C 4x x2
C
3
3
Интегрирование методом замены переменной (методом
подстановки)
Найти неопределенные интегралы.
t 2 x 10
1
5
(2 x 10) dx dt 2dx
dx
2
dt
2
t5
dt 1 2
1 t6
(2 x 10) 6
t dt c
c
2 2
2 6
12
t 3x 2
dx
1 4
1 t 3
1
4
4 dt
(3x 2) 4 (3x 2) dx dt 3dx t 3 3 t dt 3 3 c 9t 3 c
dt
dx
3
1
c
9(3 x 2) 3
41
t 7 2x
3
1
1 2 3
1
dt
7 2 x dx dt 2dx t t dt
t c
2
2 3
3
2
dt
dx
2
2dx
7 2 x 3
1
4
5
9 x
2 9 x
1
2
1
t 9 x
t2
dx
2 t 2 dt 2 c 4 t c 4 9 x c
1
dt dx
2
t 4 3x
1
5
1
4 3x dx 4 3x dx dt 3dx 3 t
5
dx
x
1 x 2 dx dt 2 xdx
xdx
7
8
9
dt
2
t 5 x2
3
2
1
1 t
1 3
1
t dt c
t c
2
2 3
3
3
2
4
xdx
1 x
4
1 x
2 3
1
t x2
xdx
1 x2
dt
2
dt
1
1
dt 2 xdx 2 2 arctgt c arctgx 2 c
2
2
1 t
dt
xdx
2
1
x
1
11
1 t
5
dt c 5 t 6 c
6
3
18
5
3 3
3 t 3
9
dx
dt
2
xdx
3
t
dt
c
c
3 5 x2
23 t 4 2
2
1
3
2
2
5
x
dt
3
xdx
2
dt
t 1 x2
x
1 dt
1
1
2
2
1 x 2 dx dt 2 xdx t 2 t 2 ln t c 2 ln 1 x c
dt
3x
t
10
6
5
35
4 3x 6 c
18
t 1 x2
6
dt
3
1
5
1
1
1
t
t
x 2 e x dx dt x 2 dx e (dt ) e c e x c
1
dx dt
x2
arcsin 2 xdx
1 x2
t arcsin x
dt
1
1 x2
t3
arcsin 3 x
t dt c
c
dx
3
3
2
42
c
c
t arctgx
dt
12
2 t c 2 arctgx c
1
2
1 x arctgx dt
t
2
1 x dx
t cos x
t8
cos 8 x
7
13 sin x cos xdx dt sin xdx t 7 dt c
c
8
8
sin xdx dt
dx
14
3 cos xdx t sin x
dt
3t 1
3
3
2
3
3
t
dt
c c
c
sin 2 x dt cos xdx t 2
1
t
sin x
t 5 2 cos x
3 sin xdx
3 dt
3
3
15
dt 2 sin xdx ln t c ln 5 2 cos x c
5 2 cos x
2 t
2
2
dt
sin xdx
2
t x
e
dx
2
2
2
dx dt
e t dt e t c e
16
3
3
3 x
2 x 3
dx
2dt
x
x
x
c
t x4
dx
dx
dx
dx
2
2
2
2
2
8x 7
x 8 x 16 9
x 4 3
x 4 3 dt dx
dt
1 t 3
1 x43
1 x 1
2
ln
c ln
c ln
c
2
6 t 3
6 x43
6 x7
t 3
t x 1
dx
dx
dx
dt
2
18 2
2
2
( x 2 x 5)
x 2 x 1 4 x 1 2 2 dt dx
t 22
1
t
1
x 1
arctg c arctg
c
2
2
2
2
17
x
2
t 2 cos x
1
1
1
dt
sin xdx dt 2 sin xdx e t e t dt e t c e 2 cos x c
2
2
2
2
dt
sin xdx
2
3 cos xdx t sin x
dt
1
t
sin x
3 2 2 3 arctg c arctg
c
20
2
3
3
3
9 sin x dt cos xdx
3 t
19 e
2 cos x
t x 2 25
dt
4x 3
4 xdx
dx
dx
3
x
21 2
dx 2
3 2
dt 2 xdx 4 2 3 2
2 ln t arctg c
2
t
5
5
x 25
x 25
x 25
5 x
dt
xdx
2
43
t x3
t 32 dt t 2 6t 9 dt t 6 9 dt tdt 6 dt 9 dt
x2
22
dx dt dx
t
t
x3
t
t
x t 3
x 3 6( x 3) 9 ln x 3 c
t2
6t 9 ln t c
2
2
2
t 2x 3
dt 2dx
t 3 dt
1
1
1
1 t 3
1 2
3 2
3 2
2
2
1 dt t dt t dt t dt
4
4
4
4
t
t2
xdx
dx dt
2
t 3
x
2
1 2 3 3
1
2 x 33 3 2 x 3 c
t 2 t c
4 3
4
6
2
t x2
dx
dx
dx
dt
24 2
2
2
2
x 4 x 4 3
x 4x 7
t 3
x 2 3 dt dx
23
2x 3
x 22 3 c
ln t t 2 3 c ln x 2
t 4 2x
1
3
4
3
dt
5
5 t
25 5 x 2 3 4 2 x 3 dx dt 6 x 2 dx 5 3 t t dt c
dt
x dx
6
6
2
53 4
5
t c 3 4 2x3
6
8
4
6
6 4
3
c
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Формула интегрирования по частям имеет вид: u dv uv vdu
u ln x, dv xdx
1
x ln xdx
2
ln x
x2
x2 1
x2
1
dx
ln x xdx
2
2 x
2
2
1
x
dx, v xdx
x
2
2
2
2
2
x
1 x
x
x
ln x
c
ln x
c
2
2 2
2
4
u arctgx, dv xdx
x2
x2
dx
x2
1
x2
2
arctgx
arctgx
2 xarctgxdx
dx
x
2 1 x2 2
1 x 2 dx
2
2
du
,
v
2
1 x2
du
x2
1 x2 1 1
x2
1 x2 1
1
x2
1
arctgx
dx
arctgx
dx
arctgx dx
2
2
2
2
2
2
2 1 x 1 x
2
2
1 x
44
1
dx
x2
1
arctgx x c arctgx
2
2 1 x
2
2
u 2 x 5, dv e 3 x dx
1 3 x
1 3 x
3 2 x 5e 3 x dx
1 3 x 2 x 5 e e 2dx
du 2dx, v e
3
3
3
1
2
1
2 1
1
2
2 x 5e 3 x e 3 x dx (2 x 5)e 3 x e 3 x c (2 x 5)e 3 x
3
3
3
3 3
3
9
4
2
x sin xdx
u x 2 , dv sin xdx
x 2 ( cos x) ( cos xdx) 2 xdx x 2 cos x 2 x cos xdx
du 2 xdx, v cos x
u x, dv cos xdx
x 2 cos x 2 x sin x sin xdx x 2 cos x 2( x sin x ( cos x))
du dx, v sin x
x 2 cos x 2 x sin x 2 cos x c
u arccos, dv dx
5
arccos xdx
du
dx
1 x2
t 1 x2
dt 2 xdx x arccos x
xdx
dt
2
dx
x arccos x x
2
,v x
1 x
xdx
x arccos x
1 x2
dt
2 x arccos x 1 dt x arccos x 1 2 t c
2 t
2
t
x arccos x 1 x 2 c
u e x , dv cos xdx
u e x , du sin xdx
x
x
6 e x cos xdx
sin
xe
e
sin
xdx
du e x dx, v sin x
du e x dx, v cos x
e x sin x (e x ( cos x) ( cos x)e x dx) e x sin x e x cos x e x cos xdx
e cos xdx e sin x e cos x e
2 e cos xdx e (sin x cos x) 2c
x
x
x
e
x
cos xdx
x
x
cos xdx
x
1 x
e (sin x cos x) c
2
45
3.2 Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона –
Лейбница. Вычисление определенных интегралов
Рисунок 4 - Функция y=f(x), графиком которой является произвольная
кривая
Рассмотрим функцию y=f(x), графиком которой является произвольная
кривая (рис.3 ). Она определена и непрерывна на a; b . Разобьем a; b на n
одинаковых отрезков. Фигуру АВСД назовем криволинейной трапецией. При
указанном построении трапеция разбилась на несколько фигур, называемых
также криволинейными трапециями. Представим их прямоугольниками:
возьмем i- отрезок, тогда длина данного прямоугольника xi xi xi 1 .
Выберем произвольную точку Ci xi 1 ; xi и вычислим значение функции
f (Ci ) - ширина прямоугольника. Для вычисления площади прямоугольника
нужно найти произведение его длины на ширину: S f (Ci ) xi . Тогда
площадь все прямоугольников криволинейной трапеции равна: S n
n
f (C1 ) x1 f (C2 ) x2 f (C3 ) x3 ... f (Cn ) xn f (Ci ) xi - интегральная
i 1
сумма.
Определение: Если предел lim
n
f (Ci ) xi
n i 1
существует и не зависит от
выбора точек Ci , то функция f(x) называется интегрируемой на a; b , а такой
предел называется определенным интегралом от функции f(x) на a; b и
обозначается:
n
lim
n i 1
b
f (Ci ) xi f ( x)dx - определенный интеграл, где a и b – нижний
a
и верхний пределы интегрирования соответственно.
46
Основные свойства определенного интеграла.
1) Интеграл
не
зависит
от
обозначения
b
b
b
a
a
a
переменной:
f ( x)dx f (t )dt f ( z )dz
a
2)
f ( x)dx 0
a
b
3)
C dx C b a
a
Примеры:
3
3
x3
33 03
909
1) x dx
3 0 3 3
0
2
3 3dx
3 dx
3
3 ctgx 3 3 ctg ctg 3 3
2)
2
2
3
4
sin x sin x
4
4
4
3
3)
sin xdx cos x 03
0
1
(cos
1
1 1
cos 0) 1
3
2
2 2
1
1
3dx
dx
1
3 x
1 3 1
3 0
3
3
ln
ln
ln
4)
2
2
2
2
3
3
x
2
3
1
3
0
0
0 x 9
03 x
1
1
1
ln 2 ln 1 ln 2 0 ln 2
2
2
2
2
2
5dx
dx
x2
2
0
5
5 arcsin
5 arcsin arcsin
5)
20
2
2
2
2
2
0 4 x
0 2 x
5
5 arcsin 1 arcsin 0 5 0
2
2
4
4
dx 1 dx 1
1
1
ln x 14 ln 4 ln 1 ln 4
6)
7x 7
x 7
7
7
1
1
47
3.3 Приложения определенного интеграла к вычислению площадей
плоских фигур
Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой
y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = в, где а≤ х≤ в, f(x)≥0 (рис.5)
Рисунок 5 - Криволинейная трапеция
Так как дифференциал переменной площади S есть площадь
прямоугольника с основанием dx и высотой f(x), т.е. dS=f(x)dx, то,
интегрируя это равенство в пределах от а до в, получим
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Если криволинейная трапеция прилегает к оси Oy так, что c≤y≤d,
x=φ(y)≥0 (рис.6),
Рисунок 6 - Криволинейная трапеция прилегает к оси Oy
то дифференциал переменной площади S равен dS=f(y)dy, откуда
𝑑
𝑆 = ∫𝑐 𝜑(𝑦)𝑑𝑦
(5)
В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой
y=f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = в, лежит под осью Ох (рис.7),
48
Рисунок 7 - Криволинейная трапеция лежит под осью Ох
площадь находится по формуле
𝑏
𝑆 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥
(6)
Если фигура, ограниченная кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = в,
расположена по обе стороны от оси Ох (рис.8),
Рисунок 8 - Криволинейная трапеция расположена по обе стороны от
оси Ох
то
𝑐
𝑏
𝑆 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥
(7)
Пусть, наконец, фигура 𝑆 ограничена двумя пересекающимися
кривыми y=f1(x) и y=f2(x) и прямыми х = а и х = в, где a≤x≤b и f1(x)≤ f2(x)
(рис.9).
49
Рисунок 9 - Фигура 𝑆 ограничена двумя пересекающимися кривыми
y=f1(x) и y=f2(x)
Тогда ее площадь находится по формуле
𝑏
𝑆 = ∫𝑎 [𝑓2 (𝑥) − 𝑓1 (𝑥)]𝑑𝑥
50
(8)
3.4 Задания к практической работе №7
Найти интегралы.
Вариант 1
𝑥2
1.∫ 𝑑𝑥
3
3.∫(1 − 2 cos 𝑥)𝑑𝑥
3
5.∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +81
5
2.∫ 𝑥 2 (𝑥 3 − 3𝑥)𝑑𝑥
4.∫ 3 ∙ 5𝑥 𝑑𝑥
3
6.∫
𝑑𝑥
√1−𝑥 2
𝑑𝑥
7. ∫ 𝑐𝑜𝑠 sin 𝑥 𝑑𝑥
8. ∫
9. ∫(1 − 𝑥)3 𝑑𝑥
10. ∫ 𝑥 2 cos 𝑥𝑑𝑥
√3𝑥+1
Вариант 2
1.∫ 25𝑥 4 𝑑𝑥
8
3.∫
𝑑𝑥
√49−𝑥 2
5. ∫
7.∫
5
2.∫(4 + 𝑥)(𝑥 3 + 5)𝑑𝑥
4.∫(4𝑥 − 𝑥 4 )𝑑𝑥
𝑑𝑥
64+𝑥 2
√3𝑥 2 −
1 𝑥 𝑑𝑥
6.∫ 9𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥
2𝑑𝑥
8.∫
3𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥
𝑑𝑥
9. ∫ 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥
10.∫
(1−2𝑥)3
Вариант 3
2.∫(𝑥 − 2)2 𝑑𝑥
4.∫(cos 𝑥 + 2 sin 𝑥)𝑑𝑥
3
6.∫
𝑑𝑥
2
1.∫ 4𝑥 𝑑𝑥
3.∫(3 − 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥
2
5.∫
𝑑𝑥
2
9+𝑥
7. ∫ 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥
9.∫
2
1+𝑥
2√36−𝑥
8. ∫ sin 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
10.∫
√1−𝑥
Вариант 4
𝑥
1.∫ 𝑑𝑥
2
2.∫(
3.∫ 7 ∙ 7𝑥 𝑑𝑥
5
4
−
3
)𝑑𝑥
4.∫
√25−𝑥 2
6.∫(1 + 𝑥)2 𝑑𝑥
5.∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +16
7.∫ 𝑥 3 ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
9. ∫ 𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥
2
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
2 𝑑𝑥
8.∫ √1 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
10.∫
√1−𝑥
51
Вариант 5
6
1.∫ 3𝑥 𝑑𝑥
5
3.∫( 2 − 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
2.∫
𝑑𝑥
49+𝑥 2
4.∫(8 − 3𝑥 )𝑑𝑥
4
5.∫
𝑑𝑥
9−𝑥 2
7.∫ 𝑒 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥𝑑𝑥
6.∫
8. ∫
𝑥 2 𝑑𝑥
3
√𝑥 2 −16
𝑑𝑥
2𝑥𝑑𝑥
√16+𝑥 2
10. ∫(2𝑥 − 5) ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
9.∫
3+2𝑥 3
Вариант 6
1.∫ 9𝑥 2 𝑑𝑥
3.∫(𝑥 − 𝑥 3 )(2 − 𝑥)𝑑𝑥
5.∫(𝑥 − 3)2 𝑑𝑥
𝑥 5 𝑑𝑥
2.∫(4 − √𝑥)𝑑𝑥
4.∫(2𝑥 2 + sin 𝑥)𝑑𝑥
5
6.∫
𝑑𝑥
√25−𝑥 2
7.∫ 6
7𝑥 +1
9. ∫(1 − 𝑥)3 𝑑𝑥
𝑑𝑥
8.∫
√3𝑥+1
10. ∫(3𝑥 − 4) ∙ ln 𝑥𝑑𝑥
Вариант 7
1.∫ 10𝑥 𝑑𝑥
3.∫(1 + 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥
3
5.∫
𝑑𝑥
49+𝑥 2
2. ∫(𝑥 3 − 3)(𝑥 2 + 4)𝑑𝑥
4.∫(𝑥 2 + 2𝑥 )𝑑𝑥
4
6.∫
𝑑𝑥
√64−𝑥 2
7∫ √4 − 𝑥 2 𝑥𝑑𝑥
8.∫
3𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥
9. ∫ 𝑥 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥
10.∫
(1−2𝑥)3
2𝑑𝑥
𝑑𝑥
Вариант 8
3
1.∫ 𝑑𝑥
2
3.∫(3 − 2 sin 𝑥)𝑑𝑥
3𝑑𝑥
5.∫ 2
𝑥 +25
7. ∫ 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥
9.∫
2
1+𝑥
2.∫(𝑥 + 2)2 𝑑𝑥
8
4.∫
𝑑𝑥
√4−𝑥 2
6.∫(4𝑥 − 2𝑥 3 )𝑑𝑥
8. ∫ sin 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
10.∫
√1−𝑥
52
Вариант 9
1.∫ 8𝑥 𝑑𝑥
8
3.∫ 2
𝑑𝑥
𝑥 +16
2.∫(𝑥 − 1)2 𝑥 𝑑𝑥
4.∫(𝑒 𝑥 − 7)𝑑𝑥
5.∫ 2
𝑥 +9
6.∫
3𝑑𝑥
7.∫ cos 5𝑥 𝑑𝑥
9. ∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥
5
√25−𝑥 2
𝑑𝑥
8.∫ √1 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
10.∫
√1−𝑥
Вариант 10
4
1.∫ 𝑑𝑥
𝑥
3.∫ 2 ∙ 5𝑥 𝑑𝑥
3
5.∫ 2 𝑑𝑥
𝑥 −1
7.∫ cos 10𝑥 𝑑𝑥
𝑥 2 𝑑𝑥
9.∫
3+2𝑥 3
2.∫(𝑥 2 − 1)(𝑥 + 2)𝑑𝑥
4.∫(2 + 3 sin 𝑥)𝑑𝑥
2𝑑𝑥
6.∫
𝑑𝑥
2
√16−𝑥
2𝑥𝑑𝑥
8. ∫
√16+𝑥 2
10. ∫ 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥
53
3.5 Задания к практической работе №8
Вычислить интегралы:
1 вариант
п
2
а) ∫0 cos 𝑑𝑥
3
г) ∫√2
б)
2 2𝑑𝑥
∫1 𝑥 2−9
𝜋
2
𝜋
−
2
в) ∫ (cos х − sin х)dx
𝜋
х
𝜋
д) ∫02 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
х2 −1
е) ∫06 е𝑠𝑖𝑛 х ∙ 𝑐𝑜𝑠 х
2 вариант
𝜋
4 𝑑𝑥
𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
3
𝜋
2
а) ∫
б)
1
∫0 3𝑒 𝑥 𝑑𝑥
2
г) ∫0 sin 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥
д)
𝜋
2
𝜋
6
в) ∫ cos х𝑑𝑥
𝜋
2
3 𝑑𝑥
∫2 3𝑥+4
е) ∫0
sin 𝑥
3
√𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
dx
3 вариант
𝜋
4
𝜋
−
3
а) ∫ sin 𝑑𝑥
г)
б)
1 2𝑑𝑥
∫0 1+𝑥 2
𝜋
3
3
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4
в) ∫
𝜋
3
𝜋
4
1 ех
∫0 ех +5
д) ∫ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
dx
𝜋
𝑥
е) ∫𝜋 cos 𝑑𝑥
2
2
4 вариант
𝜋
3 𝑑𝑥
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4
2𝜋
𝑥
3
1 4𝑑𝑥
а) ∫
б) ∫0
𝑥 2 −4
𝜋
sin 𝑥𝑑𝑥
2
г) ∫0 cos 𝑑𝑥
д) ∫0
4
√cos 𝑥
0
в) ∫−1(х2 + 2х)𝑑𝑥
𝜋
3
е) ∫0 𝑒 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥𝑑𝑥
5 вариант
а)
2
∫1 (4𝑥 3
1
г)∫0 (𝑥 2
2
б)
− 6𝑥 + 2𝑥 + 1)dx
3
+ 1) 𝑑𝑥
𝜋
3 sin 𝑥
𝜋
1−cos 𝑥
2
д)∫
𝑑𝑥
9 𝑑𝑥
∫4 𝑥
√
𝜋
2
𝜋
21
𝜋
2
4
в) ∫
е) ∫0 𝑒 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
54
cos 𝑥𝑑𝑥
6 вариант
а)
3
∫2 (3𝑥 2
б)
− 4𝑥 − 1)𝑑𝑥
1
4 𝑑𝑥
г)∫0 (2𝑥 3 + 1)4 𝑥 2 𝑑𝑥 д)∫2
𝑥−1
𝜋
2
3
𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
6
1 𝑑𝑥
∫0 𝑥 2 −1
в) ∫
𝜋
𝑑𝑥
е)∫02 √2 sin 𝑥 + 1 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
7 вариант
п
2
а) ∫0 cos 𝑑𝑥
г)
б)
𝜋
2
3
х
∫√2 х2−1
𝜋
2
𝜋
−
2
2 2𝑑𝑥
∫1 𝑥 2−9
в) ∫ (cos х − sin х)dx
𝜋
6
2
е) ∫0 е𝑠𝑖𝑛 х ∙ 𝑐𝑜𝑠 х
д) ∫0 3𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
8 вариант
𝜋
4 𝑑𝑥
𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
3
𝜋
2
а) ∫
б)
1
∫0 3𝑒 𝑥 𝑑𝑥
2
г) ∫0 sin 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥
д)
𝜋
2
𝜋
6
в) ∫ cos х𝑑𝑥
𝜋
2
3 𝑑𝑥
∫2 3𝑥+4
е) ∫0
sin 𝑥
3
√𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
9 вариант
𝜋
4
𝜋
−
3
а) ∫ sin 𝑑𝑥
г)
б)
1 2𝑑𝑥
∫0 1+𝑥 2
𝜋
3
𝜋
4
1 ех
∫0 ех +5
𝜋
3
3
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4
в) ∫
д) ∫ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ cos 𝑥𝑑𝑥
dx
𝜋
𝑥
е) ∫𝜋 cos 𝑑𝑥
2
2
10 вариант
𝜋
3 𝑑𝑥
𝜋
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4
2𝜋
𝑥
3
а) ∫
г) ∫0 cos 𝑑𝑥
4
1 4𝑑𝑥
б) ∫0
𝑥 2 −4
𝜋
д) ∫02
sin 𝑥𝑑𝑥
√cos 𝑥
0
в) ∫−1(х2 + 2х)𝑑𝑥
𝜋
е) ∫03 𝑒 cos 𝑥 ∙ sin 𝑥𝑑𝑥
55
dx
3.6 Задания к практической работе № 9
Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:
1вариант
1) y 1 x, х 1; х 2; y 0.
2
2) y x 3x, y 0.
3) y 3 x, x 3; x 5; y 0.
2вариант
1) y 2x, x 1; x 3; y 0.
2
2) y 3x x , y 0.
3) y 3 x, x 3; x 0; y 0.
3вариант
1) y 2x, x 0; x 2; y 0.
3
2) y x , х 1; х 3; y 0.
2
3) y x 3,
x 2; x 0; y 0.
4вариант
1) y x 1, x 2; x 3; y 0.
3
2) y x , x 0; x 2; y 0.
2
3) y x 3,
x 1; x 2; y 0.
5вариант
1) y x, x 3; x 0; y 0.
2
2) y 5 x , x 1; x 0; y 0.
2
3) y x 1, x 1; x 2; y 0.
56
6вариант
1) y x 1, x 1; x 2; y 0.
2
2) y 3x 6 x, y 0.
2
3) y 9 x ,
x 0; x 2; y 0.
7вариант
1) y x, x 1; x 3; y 0.
2
2) y x 4, x 0; x 1; y 0.
2
3) y x x,
x 1; x 0; y 0.
8вариант
3
, x 1; x 2; y 0.
x
2
2) y 4 x , x 1; x 1; y 0.
2
3) y x 1, x 2; x 1; y 0.
1) y
9вариант
3
, x 2; x 3; y 0.
x
2
2) y x 4 x, x 1; x 3; y 0.
2
3) y x 4 x, x 3; x 0; y 0.
1) y
10 вариант
1) y x 3, x 1; x 2; y 0.
2
2) y 4 x x , x 0; x 2; y 0.
2
3) y 3x 1,
x 2; x 1; y 0.
57
Раздел 4. Основы дискретной математики
4.1 Множества. Операции над множествами. Бинарные
отношения
Множество – совокупность элементов, обладающих каким-то одним
общим свойством.
Предметы, составляющие множество, называются его элементами.
Говорят, что они принадлежат множеству. Символически это
записывается так: а∈А.
Множества будем обозначать загл. буквами (А,В,С), а элементы –
маленькими (а,в,с). Запись а∉А означает, что элемент а не принадлежит
множеству А.
Пример 1. Пусть А – множество делителей числа 12. Тогда 2 ∈А, а 5
∉А.
Если каждому элементу множества можно присвоить номер и этот номер
не повторяется, то такое множество называется счетным или конечным.
Если такого номера для каждого элемента не существует, то такое
множество называется бесконечным.
Бесконечное множество часто называют континуумом (например:
совокупность точек на плоскости).
Если можно пересчитать все число элементов в счетном множестве, то
эта сумма называется мощностью множества.|А|
2. Множества можно задать следующим образом.
Перечислением всех входящих в него объектов.
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - множество десятичных цифр.
Описанием свойств, которыми должны обладать элементы
множества. Например, множество четных чисел, меньших 10,
можно задать в след. виде: М={2,4,6,8} или {𝑚/𝑚 = 2𝑛, где 𝑛 −
целое, 1 ≤ 𝑛 ≤ 4}, причем справа от наклонной черты указано
свойство элементов этого множества. Этот способ называется
аналитическим.
Любую часть множества А, выбранную по определенному признаку,
называют подмножеством, и обычно обозначают буквой со штрихом,
т.е. А́:
А́ ⊂ А, где ⊂ - символ включения.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и
обозначают ∅.
Свойства счетных множеств
1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно
Подмножеством множества А называется множество А` все элементы
которого принадлежат множеству А
A` A
58
Пример: N R
2. Сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств
есть конечное или счетное множество.
3. Множество всех рациональных чисел счетно.
4. Алфавитом называется любое непустое множество.
Элементы множества под названием АЛФАВИТ называют буквами
(символами).
Символом в данном алфавите любая конечная последовательность букв.
Для каждого множества А существуют множества, элементами которого
являются только все его подмножества.
Такое подмножество называют семейством множеств А или булеаном.
(обозначается В(А))
Основные операции над множествами
1. Включение
Множество А входит (включено) в множество В, или А является
A B
подмножеством В.
Если всякий объект, обладающий свойством , также обладает свойством ,
то говорят, что свойство включает свойство , т.е.
2. Объединение
Сумма множеств А и В есть множество С, включающее в себя все элементы
множество А и В.
Объект входит во множество C A B A B если он входит во множество А
или во множество В.
C A B ci ci A или ci B
3. Пересечение
Пересечением множество А и В называется новое множество С. Элементы
множества С принадлежат множеству А (обладают его свойствами) и
множеству В (обладают его свойствами).
C A * B A B ci ci A и ci B
4. Разность
Разность множеств А и В есть множество С, элементы которого обладают
свойствами множества А и не обладают свойствами множества В или
принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
C A \ B ci ci A и ci B
5. Дополнение
Если имеется некоторое универсальное множество (универсум) U и все
рассматриваемые множества есть его подмножества, то дополнением A
называется такое множество, элементы которого не входят в А, но
принадлежат U.
59
Таблица 4 - Связь между логическими операциями и операциями над
множествами.
Отрицание
Конъюнкция
Дизъюнкция
Импликация
Дополнение
Пересечение
Объединение
Разность
Будем называть вектором (кортежем) упорядоченный набор элементов и
обозначать его A a1 ; a2 ;...; an , заметим, что в отличие от множества,
элементы в векторе могут повторяться. Эти элементы называются
координатами или проекциями.
Количество элементов в векторе называется его длиной, если в векторе 2
элемента, то - пара , если n элементов, то - n-ка.
5. (Диаграммы Эйлера - Венна)
А
В
Рисунок 10 - A B
А
В
Рисунок 11 - A B
А
В
Рисунок 12 - A \ B
̅
А
U
А
А
̅
Рисунок 13 - А
60
Декартово произведение (прямое) множеств А1,А2,…Ап назыв.
множество А1×А2×…Ап, состоящее из всех кортежей ⟨а1 , а2 , … ап ⟩ длины к.
Например, декартовым произведением множеств А={0,1} и В={Х, 𝑌, 𝑍} будет
являться множество пар А×В =⟨(0, 𝑋), (0, 𝑌), (0, 𝑍), (1, 𝑋), (1, 𝑌), (1, 𝑍)⟩
4.2 Задания к практической работе №10
1 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={3,2,1,5,9}, В={5,9,7}
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
((X∪𝐴̅)\B)∪(X∩A)
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={4,7,9}∪{2,3,4,5}
4. Сравнить кортежи.
10
3
⟨32 , , √64⟩ и ⟨√272 , √25, 43 ⟩,
2
5. Найти декартово произведение множеств.
А×В и В×А, если А={1,2,3} , В={ " ∶ }
2 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={ 6,9,2,3,4}, В={ 1,4,6}
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ (X ∩ B)
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={4,5,6,7} ∩ {2,3,4,5}
4. Сравнить кортежи.
40
3
⟨42 , , √625⟩ и ⟨√1252 , √100, 24 ⟩,
4
5. Найти декартово произведение множеств.
А×В и В×А, если А={0,4} , В={%, @, # }
3 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={ 4,5,1,3,8}, В={ 4,1,5,9}
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝑋∪(X∩𝐵̅)
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={1,2,4,6}\{2,3,5,7}
4. Сравнить кортежи.
61
100
3
⟨100,
, √100⟩ и ⟨√10002 , 2 ∙ √625, 2 ∙ √25⟩,
2
5. Найти декартово произведение множеств.
А×В и В×А, если А={ы, ь} , В={§,△, ♡ }
4 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={ 9,4,6,8,3}, В={ 1,4,9}
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
̅̅̅̅̅̅̅
(X ∩ B) ∪ (A\B) ∪ 𝐴
∪𝑋
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={4,7,9}△{2,3,4,5}
4. Сравнить кортежи.
3
5
⟨80, √32, 53 ⟩ и ⟨16 ∙ 5, √1253 , √4⟩,
5. Найти декартово произведение множеств.
А×В и В×А, если А={∀,⊕} , В={а, б, в}
5 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={ 1,9,5,6,4}, В={ 5,1,3,0}
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
̅̅̅̅̅̅̅
(X∩B)∪𝑋
∪𝐴
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={4,5,7}∩{2,3,4,5}
4. Сравнить кортежи.
⟨1,2,3⟩ и ⟨3,2,1⟩,
5. Найти декартово произведение множеств
А×В и В×А, если А={§, 𝛥} , В={ 1,3,5}
6 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={ 9,8,0,6,2 }, В={8,4,2,6}
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
(B∩X)∪(𝑋̅ \(A∩B))
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={1,2,5}∪{2,3,4,5}
4. Сравнить кортежи.
24
3
⟨52 , , √144⟩ и ⟨√1252 , √16, 4 ∙ 3⟩
6
5. Найти декартово произведение множеств.
А×В и В×А, если А={1,2} , В={§, @,⊕ }
62
7 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={8,7,0,6,2}, В={8,4,2,6}
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
(A△B)∪(X∩B)
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={2,3,4,5}△{2,3,4,5}
4. Сравнить кортежи.
30
3
900
⟨ , 45, √27000⟩ и ⟨ , 5 ∙ √81, 1⟩
4
30
5. Найти декартово произведение множеств.
А×В и В×А, если А={1,7} , В={ ∀, ∍, ♠ }
8 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={3,1,8,6,5}, В={3,1,2,6}
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
(𝐵̅∩𝑋̅)∪(B∩A)
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={4,7,9}∪{2,3,4,5}
4. Сравнить кортежи.
10
3
⟨32 , , √64⟩ и ⟨√272 , √25, 43 ⟩,
2
5. Найти декартово произведение множеств.
А×В и В×А, если А={1,2,3} , В={ " ∶ }
9 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={3,2,1,5,9}, В={5,9,7}
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
((X∪𝐴̅)\B)∪(X∩A)
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={4,5,6,7} ∩ {2,3,4,5}
4. Сравнить кортежи.
40
3
⟨42 , , √625⟩ и ⟨√1252 , √100, 24 ⟩,
4
5. Найти декартово произведение множеств.
А×В и В×А, если А={0,4} , В={%, @, # }
10 вариант
1. Выполнить операции над множествами: А∪В, А∩В, А\В, А△В
А={ 6,9,2,3,4}, В={ 1,4,6}
63
2. Даны множества: U={a,b,c,d,e,f,p,q}, A={a,c,e,p}, B={b,d,f,p}, X={a,d,f,q}
Найти:
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ (X ∩ B)
3. Выполнить действия над множествами и определить мощность
полученного множества.
А={1,2,4,6}\{2,3,5,7}
4. Сравнить кортежи.
100
3
⟨100,
, √100⟩ и ⟨√10002 , 2 ∙ √625, 2 ∙ √25⟩,
2
5. Найти декартово произведение множеств.
А×В и В×А, если А={ы, ь} , В={§,△, @ }
Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической
статистики
5.1 Элементы комбинаторики: размещения, перестановки,
сочетания
Основная задача комбинаторики – пересчет и перечисление элементов
в конечных множествах.
Если нас интересует, сколько элементов принадлежащих данному конечному
множеству обладают некоторым свойством, то это задача пересчета.
Если необходимо выделить все элементы множества, обладающие
заданными свойствами, то это задача перечисления.
Рассмотрим следующие элементы комбинаторики, позволяющие
решать вышеупомянутые задачи. К таким объектам относятся:
1. перестановки (с повторением и без них);
2. размещения (с повторением и без них);
3. сочетания (с повторением и без них);
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же
элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех
возможных перестановок обозначается
Pn n! (без повторений)
(9)
Перестановки с повторениями вычисляются по формуле:
P(n1 , n2 , … , nk ) =
(𝑛1+ 𝑛2 +𝑛3 +⋯+𝑛𝑘 )!
𝑛1 !𝑛2 !𝑛3 !…𝑛𝑘 !
(10)
где 𝑛1 𝑛2 , 𝑛3 , … , 𝑛𝑘 - число повторений элементов каждого вида.
Пример 39. Определим, сколько различных слов можно составить из
слова «литература».
64
В слове «литература» п1=1 буква «л», п2=1 буква «и», п3=2 буквы «т», п4=1
буква «е», п5=2 буквы «р», п6=2 буквы «а», п7=1 буква «у».
Тогда из слова «литература» можно составить Р(п1,п2,п3,п4,п5,п6,п7)=
(1+1+2+1+2+2+1)!
(𝑛1+ 𝑛2 +𝑛3 +𝑛4 +𝑛5 +𝑛6 +𝑛7 )!
10!
=
=
= 453600 различных слов.
𝑛1 !𝑛2 !𝑛3 !𝑛4 !𝑛5 !𝑛6 !𝑛7 !
1!1!2!1!2!2!1!
8
Сочетанием называются такие комбинации элементов, которые
отличаются между собой в каждой группе только самими элементами (но не
порядком их расположения в группе).
C nm
n!
(без повторения)
m!n m !
(11)
𝑚
̅̅̅̅
𝐶𝑛𝑚 = 𝐶𝑛+𝑚−1
(с повторением)
(12)
Пример 40. В почтовом отделении продаются открытки п=5 видов.
Определим число способов покупки т=7 открыток.
Число способов покупки открыток равно числу сочетаний с повторениями из
11!
7
п=5 элементов по т=7 элементов и равно С75+7−1 = С11
=
=
7!(11−7)!
8∗9∗10∗11
= 330.
Размещением называются такие комбинации элементов, которые
отличаются между собой или самими элементами или порядком их
расположения в группе.
24
Anm
n!
(без повторения)
n m!
𝑚
̅̅̅̅
А𝑚
𝑛 = 𝑛 (с повторением)
(13)
(14)
Пример 41. Определим, сколько четырехзначных чисел можно составить
из цифр 3,5,6,7,8.
Составление четырехзначных чисел из пяти цифр – размещение из п=5
элементов по т=4 элемента с повторениями. Тогда всего можно составить
̅̅̅
А45 = 54 = 625 чисел.
65
5.2 Задания к практической работе №11
1 вариант
1 Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами
можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день недели
должно быть 4 различных урока?
2.Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «зебра»?
3.Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся
пяти?
4. Проверить равенство
2 вариант
1 Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 при
условии, что ни одна цифра не повторяется?
2.Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «лодка»?
3.Сколькими способами можно распределить три путёвки в дома отдыха
между восемью желающими?
4. Проверить равенство
3 вариант
1. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на
три должности?
2. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
3.Сколькими способами можно создать бригады по 5 человек из имеющихся
15?
4. Проверить равенство
4 вариант
1. 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего
было роздано фотокарточек?
2. Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12
учебных кабинетов?
3. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на
определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
4. Решить уравнение:
5 вариант
1. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идёт за
золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали
могут быть распределены между командами?
2. Сколькими способами можно разместить 12 лиц за столом, на котором
поставлено 12 приборов?
3. В спортивной секции занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть
организовано тренером разных стартовых пятёрок?
4. Решить уравнение:
66
6 вариант
1. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков вдень. Сколькими
способами могут быть распределены уроки в один день?
2.Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 7 местам?
3. Из группы, насчитывающей 25 человек, выбирают троих для поездки на
соревнование. Сколькими способами это может быть сделано?
4. Решить уравнение:
7 вариант
1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,
при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
2. К кассе за получением денег подошли одновременно 4 человека.
Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?
3. Сколькими способами можно из 30 человек назначить председателя и
секретаря?
4. Решить уравнение:
8 вариант
1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,8,9 так, чтобы в
каждом числе не было одинаковых цифр?
2. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого
стола?
3. В классе 38 мест. Сколькими способами можно рассадить в нём 35
учащихся?
4. Решить уравнение:
9 вариант
1 Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами
можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день недели
должно быть 4 различных урока?
2.Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «зебра»?
3.Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся
пяти?
4. Проверить равенство
10 вариант
1 Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 при
условии, что ни одна цифра не повторяется?
2.Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «лодка»?
3.Сколькими способами можно распределить три путёвки в дома отдыха
между восемью желающими?
4. Проверить равенство
67
5.3 События и их виды. Операции над событиями
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая
закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории
вероятностей является понятие случайного события (или просто события).
Событием называется любой факт, который в результате опыта может
произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение
шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического
устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С
событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень
объективной возможности появления этих событий, называемые
вероятностями событий.
К понятию «вероятность» существует несколько подходов.
Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим
множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент
будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством
элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной
трактовке есть некоторое подмножество множества Ω:
.
Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.
Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта
произойти не может.
Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут
произойти одновременно.
Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB)
называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя
бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.
Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB)
называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба
события A и B вместе.
Противоположным к событию A называется такое событие
, которое заключается в
том, что событие A не происходит.
События Ak (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно
несовместны и в сумме образуют достоверное событие.
68
При преобразовании выражений можно пользоваться следующими
тождествами:
.
Примеры:
1. Пусть испытание - бросание кубика. Событие А - выпадение четного
количества очков, В - нечетного, С - выпадение очков менее 4-х. Тогда
событие А+В- выпадение четного или нечетного количества очков, т.к. эти
события несовместны; событие C+В(совместные события)- выпадение
нечетных очков или выпадение очков менее 4-х, или одновременное
наступление событий C и В - выпадение 3-х или одного очка.
2. Испытание - бросание кубика. События: А - выпадение четного
количества очков, В - выпадение очков, кратных трем. Тогда событие АВ выпадение шести очков.
Используя операции сложения и умножения событий можно сложное
событие разложить на более простые и наоборот.
3. Пусть некоторый прибор состоит из трех независимо работающих
элементов. Испытание -работа элементов прибора в течении некоторого
отрезка времени. Обозначим события: А1- поломка первого элемента в
течение указанного времени, А2- поломка второго, А3- поломка третьего.
Рассмотрим противоположные им события : А , А , А - бесперебойная
1
2
3
работа соответственно первого, второго и третьего элементов. Записать с
помощью операций событие: а) только второй элемент выйдет из стоя за
время работы; б) только один элемент выйдет из строя; в) какие-либо два
элемента выйдут из строя; г) все элементы выйдут из строя; д) ни один
элемент не выйдет из строя; е) хотя бы один элемент выйдет из строя.
Решение: а) Это событие означает совместное наступление трех событий:
А1 -бесперебойная работа первого элемента и А2 -поломка второго и - А3
работа третьего. Этому событию соответствует выражение - А А А
1
2
3
б) Это событие означает поломку или первого, или второго , или третьего.
Поломка первого-А А А ; поломка второго-А А А ; поломка третьего1
2
3
1
2
3
А1А2 А3 Событие- только один элемент выйдет из строя- это сумма
описанных событий, являющихся несовместными, ему соответствует
выражение
69
А1А2 А3+А1А2 А3+А1А2 А3.
в) Это событие можно представить как сумму несовместных событий :
произошла поломка первого и второго, а третий - работает А А А ; поломка
1
2
3
первого и третьего и работа второго А А А ; поломка второго и третьего и
1 2
3
работа первого А А А . Искомое событие - А А А + А А А +А А А .
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
г) Это совместное наступление событий - поломка первого и второго и
третьего, а значит их произведение : А1А2А3;
д) Это совместное наступление событий - работа первого и второго и
третьего, а значит их произведение
А1А2 А3.
е) Это событие означает поломку или одного, или двух, или всех трех
элементов. Этому событию соответствует выражение: А1+А2+А3 или А А
1
2
А3+ А1А2 А3+А1А2 А3+ А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3+А1А2А3. Но это событие
является противоположным событию - ни один элемент не выйдет из строя,
тогда его можно записать в виде:
70
5.4 Задания к практической работе №12
1. Найти среди событий Аi достоверные и невозможные:
А1 – «появление 10 очков при бросании игральной кости»;
А2 – «появление 10 очков при бросании трех игральных костей»;
А3 – «появление 20 очков при бросании трех игральных костей»;
А4 – «наугад выбранное двузначное число не больше 100»;
А5 – «появление двух гербов при бросании двух монет».
2. Являются ли несовместными события А1 и А2:
1) испытание – бросание монеты; события: А1 – «появление герба»,
А2 – «появление цифры»;
2) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – «появление
трех очков», А2 – «появление нечетного числа очков»;
3) испытание – бросание двух монет; события: А1 – «появление герба
на одной из монет», А2 – «появление герба на второй монете»?
3. Являются ли равновозможными события А1 и А2:
1) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – «появление
двух очков», А2 – «появление пяти очков»;
2) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – «появление
двух очков», А2 – «появление четного числа очков»;
3) испытание – два выстрела по мишени, события: А1- «промах при
первом выстреле», А2 – «промах при втором выстреле»?
4. Найти сумму событий:
1) испытание – два выстрела по мишени, события: А- «попадание с
первого выстрела», В – «попадание со второго выстрела»;
2) испытание – бросание игральной кости; события: А – «появление
одного очка», В – «появление двух очков», С – «появление трех очков»;
3) испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А –
«выигрыш 10 рублей», В – «выигрыш 20 рублей», С – «выигрыш 25 рублей».
5. Найти произведение событий:
1) испытание – два выстрела по мишени, события: А - «попадание
первым выстрелом», В – «попадание вторым выстрелом»;
2) испытание – бросание игральной кости; события: А – «непоявление
трех очков», В – «непоявление пяти очков», С – «непоявление нечетного
числа очков».
6. Назовите противоположные события для событий:
А – «выпадение двух гербов при бросании двух монет»;
В – «появление белого шара», если опыт состоит в извлечении одного
шара из урны, в которой имеются белые, черные и красные шары;
С – «пять попаданий при пяти выстрелах»;
D – «не более трех попаданий при пяти выстрелах»;
Е – «хотя бы одно попадание при пяти выстрелах».
71
5.5 Вычисление вероятностей простых и сложных событий
Вероятность события
В повседневной жизни в разговоре часто используется слово
"вероятный". Например, " завтра, вероятно, пойдет дождь", "вероятнее всего
команда выиграет матч" и т.д. При употреблении этого слова интуитивно
оценивают возможность того или иного события. При такой оценке помогает
здравый смысл и жизненный опыт. Но встречаются события, сравнить или
оценить возможность наступления которых, основываясь на чисто
интуитивных соображениях, трудно. Например, события - герб появился три
раза при пятикратном бросании монеты, или появилась цифра. У монеты две
стороны, появление герба и цифры - равновозможные события. Поэтому
заранее с большей уверенностью сказать какое же событие вероятнее трудно.
Поэтому необходима некоторая оценка события. Такой оценкой является
вероятность.
Определение: Вероятность события - это численная мера объективной
возможности его появления.
Таким образом, каждому событию в соответствие ставится число - его
вероятность. Пусть имеется, полня группа событий попарно несовместных и
равновозможных. Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как
отношение числа исходов (элементарных событий), благоприятствующих
наступлению события А к общему числу исходов испытания. Если N общее
число исходов испытания, а М число благоприятствующих исходов, то
вероятность события А равна
(15)
Эта формула называется классической формулой вероятности.
Примеры:
Пример1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что
сумма выпавших очков равна 8?
Подсчитаем сначала общее количество исходов: каждый из двух кубиков
может упасть любой из шести граней. Бросание кубиков осуществляем
последовательно, тогда по правилу умножения всего возможных исходов 36.
Перечислим благоприятствующие нашему событию исходы. Составим
таблицу 5:
72
Таблица 5. Благоприятствующие событию исходы
Число очков на 1ом кубике
2
3
4
5
6
Число очков на 2ом кубике
Сумма очков
6
5
4
3
2
8
8
8
8
8
Всего благоприятствующих исходов пять. По классической формуле
получаем, что вероятность события равна Р=5/36 ~ 0,14.
Пример 2. В урне 7 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают 3 шара.
Какова вероятность того, что: а) все шары белые; б) два черных и один
белый.
Общее количество исходов это количество сочетаний из 7+5=12 по 3:
Количество благоприятствующих исходов для события -все шары
белые- это число сочетаний из 7 по 3:
Тогда вероятность этого события равна Р=35/220 ~ 0,16.
Количество благоприятствующих исходов для события - два черных и
один белый: первое действие - выбор черных шаров, можно выполнить С 2
7
способами, второе действие - выбор одного черного шара можно выполнить
5 способами. По правилу умножения количество благоприятствующих
исходов равно
Тогда вероятность этого события рвана Р=105/220 ~ 0,48.
73
Рассмотрим свойства вероятности:
1.
Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, если
событие достоверное, то любой исход является
благоприятствующим , тогда N=M, а значит Р=1.
2.
Вероятность невозможного события равна 0 . Действительно,
любой исход не будет благоприятствующим, т.е. М=0, тогда
Р=0/N=0.
3.
Вероятность события А удовлетворяет неравенству
Достоинством классического определения вероятности является
возможность вычислить вероятность события непосредственно, т.е.
не прибегая к опытам, их заменяют логическими рассуждениями.
74
5.6 Задания к практической работе №13
1. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность
того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.
2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не
умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном
порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».
3. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность
того, что среди них окажутся 2 дамы.
Игральный кубик бросают дважды. Найти вероятность того, что сумма
выпавших очков не превосходит 4.
4.На карточке спортлото написаны числа от 1 до 49. Какова вероятность того,
что наугад зачеркнутое число на этой карточке кратно 6?
5. Выбирают наугад число от 1 до 100. Определить вероятность того, что в
этом числе не окажется цифры 3.
6. Определить вероятность того, что квадрат наудачу взятого
двузначного числа оканчивается единицей.
7. На десяти одинаковых карточках написаны различные цифры от 0 до 9.
Определить вероятность того, что образованное с помощью данных карточек
двузначное число делится на 5.
8. На карточках написаны буквы А, Б, В, Г. Наугад берут две карточки.
Определить вероятность того, что буквы, написанные на этих карточках,
будут соседними по алфавиту.
9. Определить вероятность того, что взятое наудачу трехзначное число
делится на пять.
10. В кармане 3 пятикопеечные монеты и 7 десятикопеечных монет. Наугад
берется одна за другой две монеты. Вторая оказалась десятикопеечной.
Определить вероятность того, что и первая десятикопеечная.
75
5.7 Дискретные случайные величины ( ДСВ). Законы распределения
ДСВ. Числовые характеристики ДСВ
Случайной величиной называют такую переменную величину, которая
под воздействием случайных факторов может с определенными
вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества
чисел.
Случайная величина Х называется дискретной, если результаты наблюдений
представляют собой конечный или счетный набор возможных чисел.
Законом распределения дискретной случайной величины называют
соотношение, устанавливающее связь между отдельными значениями
случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Соответствие между возможными значениями x1, x2,…,xn случайной
величины Х и их вероятностями p1, p2,…,pn называется законом
распределения случайной величины Х.
Закон распределения случайной величины может быть представлен в
виде таблицы:
Таблица 6 - Закон распределения случайной величины
Х
Р
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
Сумма вероятностей равна единице, т.е. p1+ p2+…+pn=1.
Биномиальное распределение. Пусть случайная величина Х- число
появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых
вероятность появления события А равна p, а непоявления – q=1-p. Очевидно,
что Х может принимать значения 0,1,2,…,n, вероятности которых
определяются по формуле Бернулли:
𝒎 𝒏−𝒎
𝑷𝒏 (𝒎) = 𝑷(𝑿 = 𝒎) = 𝑪𝒎
, m=1,2,3…n.
𝒏𝒑 𝒒
(16)
Закон распределения случайной величины Х, имеющий вид (табл.7):
Таблица 7 - Биномиальное распределение случайной величины Х.
Х
Р
…
0
1
2
𝑪𝟎𝒏 𝒑𝟎 𝒒𝒏
𝑪𝟏𝒏 𝒑𝟏 𝒒𝒏−𝟏
𝑪𝟐𝒏 𝒑𝟐 𝒒𝒏−𝟐
называется биномиальным распределением.
76
m
𝒎 𝒏−𝒎
𝑪𝒎
𝒏𝒑 𝒒
…
n
𝑪𝒏𝒏 𝒑𝒏 𝒒𝟎
Пример.
Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех
выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.
Решение. Случайная величина Х – число попаданий в цель при четырех
выстрелах – может принимать значения 0,1,2,3,4, а соответствующие им
вероятности находим по формуле Бернулли:
𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝑪𝟎𝟒 𝟎, 𝟗𝟎 𝟎, 𝟏𝟒
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝑪𝟏𝟒 𝟎, 𝟗𝟏 𝟎, 𝟏𝟑
𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝑪𝟐𝟒 𝟎, 𝟗𝟐 𝟎, 𝟏𝟐
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝑪𝟑𝟒 𝟎, 𝟗𝟑 𝟎, 𝟏𝟏
𝑷(𝑿 = 𝟒) = 𝑪𝟒𝟒 𝟎, 𝟗𝟒 𝟎, 𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏;
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟔;
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟖𝟒;
= 𝟎, 𝟐𝟗𝟏𝟔;
= 𝟎, 𝟔𝟓𝟔𝟏
Итак, искомый закон распределения имеет вид (табл.8):
Таблица 8 - Закон распределения числа попаданий в цель при четырех
выстрелах
Х
Р
0
0,0001
1
0,0036
2
0,0486
3
0,2916
4
0,6561
Математическое ожидание. Среди числовых характеристик ДСВ
весьма важной является математическое ожидание, которое указывает, какое
среднее значение случайной величины следует ожидать в результате
испытаний или наблюдений.
Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х
называется сумма произведений всех ее возможных значений на их
вероятности:
M(X)=𝒙𝟏 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐 𝒑𝟐 + 𝒙𝒏 𝒑𝒏 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒑𝒊
(17)
Пример.
Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон
распределения (табл.9):
Таблица 9 - Закон распределения ДСВ
Х -1
Р 0,2
0
0,1
1
0,25
По формуле находим
77
2
0,15
3
0,3
М(Х)=-1∙0,2+0∙0,1+1∙0,25+2∙0,15+3∙0,3=1,25
Дисперсия.
Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата ее
отклонения:
D(X)=M(X-M(X))2
(18)
Более удобной для вычисления является формула:
D(X)=М(Х2) – (М(Х))2
(19)
Пример.
Дискретная случайная величина распределена по закону (табл.10):
Таблица 10 - Закон распределения ДСВ
Х
Р
-1
0,2
0
0,1
1
0,3
2
0,4
Найти D(X).
Находим сначала
М(Х)=-1∙0,2+0∙0,1+1∙0,3+2∙0,4=0,9, а затем
М(Х2)=1∙0,2=0∙0,1+1∙0,3+4∙0,4=2,1.
D(X)=2,1-0,92=2,1-0,81=1,29
Среднее квадратическое отклонение ДСВ.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х
называется квадратный корень из дисперсии.
σ(Х)=√𝐃(𝐗)
(20)
78
5.8 Задания к практической работе №14
Вариант 1
1. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что
выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?
2. Проводится три независимых опыта, в каждом из которых событие А
появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина Х –
частота появления события А в трёх опытах. Найдите закон распределения
случайной величины Х, её математическое ожидание и дисперсию.
Вариант 2
1. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что два
первых наугад выбранных билетов будут выигрышными?
2. По многим статистическим данным известно, что вероятность рождения
мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины Х
– числа мальчиков в семье, имеющей четверых детей. Найдите
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Вариант 3
1. В партии из 10 деталей имеются 4 бракованных. Какова вероятность того,
что две окажутся бракованные?
2. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в
срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа
возвращённых в срок кредитов из пяти выданных. Найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Вариант 4
1. В ящике 20 шаров, из них 12 белых, остальные голубые. Извлекают 2
шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
2. Вероятность того, что студент найдёт в библиотеке нужную ему книгу,
равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он
посетит, если в городе четыре библиотеки. Найти математическое ожидание
и дисперсию этой случайной величины.
Вариант 5
1. В ящике 20 шаров, из них 12 белых, остальные голубые. Извлекают 2
шара. Найти вероятность того, что оба шара голубые.
2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не
более четырёх выстрелов. Составить закон распределения числа промахов,
если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
79
Вариант 6
1. Среди 25 деталей, подвергаемых проверке, 21 точная. Какова вероятность
того, две наудачу взятых детали окажутся точными?
2. Торговый агент имеет пять телефонных номеров потенциальных
покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку
товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ,
равна 0,4. Составить закон распределения телефонных разговоров, которые
предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию
этой случайной величины.
Вариант 7
1. В урне находятся 5 шаров белого цвета, 7 – синего и 8 – желтого. Наудачу
берут 3 шара. Найти вероятность того, что все они будут цветными.
2. Составить закон распределения числа попаданий в цель при пяти
выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти
математическое ожидание и дисперсию.
Вариант 8
1. В урне находятся 5 шаров черного цвета, 3 желтого и 7 зеленого. Наудачу
вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что первым будет вынут желтый
шар, затем черный.
2. Вероятность безотказной работы одной ячейки доильной установки равна
0,9. Составить закон распределения случайной величины Х(числа безотказно
работающих ячеек доильной установки) во время дойки 6 коров. Найти М(Х)
и Д(Х).
80
Раздел 6. Основы теории комплексных чисел
6.1 Определение комплексного числа в алгебраической форме,
действия с комплексными числами
Во множестве действительных чисел нельзя решить уравнение
Расширяя действительные числа, введем число
. Тогда, уравнение будет иметь решение
.
- мнимая единица:
.
Алгебраическая форма комплексного числа
Определение. Комплексным числом называется число
, где x называется действительной частью комплексного числа и обозначается
;
называется мнимой частью комплексного числа и обозначается
. Такая запись комплексного числа называется алгебраической
формой комплексного числа.
Пример.
.
,
.
Определение. Модулем комплексного числа
называется величина
.
Определение. Аргументом комплексного числа
называется число:
. Главное значение аргумента обозначается:
или
arg z=
.
Пример.
Определение. Два комплексных числа
равными
, если
,
.
81
,
называются
Определение. Комплексное число
Определение. Число
числу
Пример.
равно 0, если
и
.
называется сопряженным комплексному
,причем
.
;
.
Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам
сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что
и т.д.
Пусть
.
Замечание.
82
6.2 Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Решение
алгебраических уравнений
Геометрическое изображение комплексных чисел
Рисунок 14– Геометрическое изображение комплексного числа
Комплексное число z изображается точкой (x, y) на комплексной плоскости
или радиус-вектором этой точки.
Модуль и аргумент комплексного числа
Модулем комплексного числа
действительное число
называется неотрицательное
|𝑧| = √𝑥 2 + 𝑦 2
(21)
Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора,
изображающего число z, или полярный радиус точки (x, y).
Аргумент комплексного числа z — это угол между положительным
направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это
полярный угол точки (x, y)).
Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула
𝑡𝑔𝜑 =
𝑦
(22)
𝑥
причем, при определении угла по его тангенсу обязательно нужно
учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z:
83
Решение квадратных уравнений
Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться
разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения
x2 = – 1.
Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных
чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение
разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение x2 = – 1 имеет два решения:
x1 = i, x2 = – i.
Это нетрудно установить проверкой:
i•i = i2 = – 1, (– i)•(– i) = i2 = – 1.
Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения.
Квадратным уравнением называют уравнение вида:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),
где x – неизвестная, a, b, c – действительные числа, соответственно первый,
второй коэффициенты и свободный член, причем a ≠ 0. Решим это уравнение,
выполнив над ним ряд несложных преобразований.
· Разделим все члены уравнения на a № 0 и перенесем свободный член в
правую часть уравнения:
К обеим частям уравнения прибавим выражение
с тем, чтобы
левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых:
Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения:
Найдем значения неизвестной:
84
Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения
подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного
уравнения. Если b2 – 4ac > 0, то
есть
действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни.
Если же
число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.
– мнимое
Результаты исследования представлены ниже в таблице11:
Таблица 11 - Решение квадратных уравнений
Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию
квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое
квадратное уравнение.
Примеры:
1. Решите уравнение x2 – 2x – 8 = 0.
Решение. Найдем дискриминант D = b2 – 4ac = (– 2)2 – 4•1•(– 8) = 36 > 0;
85
Уравнение имеет два действительных корня:
2. Решите уравнение x2 + 6x + 9 = 0.
Решение. D = 62 – 4•1•9 = 0, уравнение имеет два равных действительных
корня:
;
3. Решите уравнение x2 – 4x + 5 = 0.
Решение. D = 16 – 4•1•5 = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни:
86
6.3 Задания к практической работе №15
1 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= 4-i ; z2=8+3i
2.Решить уравнение:
2 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= -5+4i ; z2=3-2i
2. Решить уравнение:
3 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= 1+10i ; z2=3-7i
2. Решить уравнение:
4 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= 2+5i ; z2=3i
2. Решить уравнение:
5 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= 8-i ; z2=5+2i
2. Решить уравнение:
87
6 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= 3-i ; z2=5+4i
2. Решить уравнение: х2+1=0
7 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= -8-i ; z2=1-i
2. Решить уравнение: х2+4=0
8 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= 5+i ; z2=8-i
2. Решить уравнение: х2-2х+10=0
9 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= 7-4i ; z2=4-2i
2. Решить уравнение: х2-6х+18=0
10 вариант
1. Выполнить операции (z1+z2; z1-z2; z1∙z2; z1:z2) над комплексными числами,
заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы,
указав четверть:
z1= 11+i ; z2=-3i
2. Решить уравнение: х4-6х2+25=0
88
Заключение
В данных методических рекомендациях мы кратко изложили
теоретический материал, вошедший в программу изучения дисциплины
«Математика» для специальности 151031 «Монтаж и техническая
эксплуатация промышленного оборудования» (по отраслям) по новым
ФГОС.
В каждый раздел были включены примеры решения задач по теме и
задачи для самостоятельного решения, которые дают возможность студенту
основательно подготовиться к практической работе, зачету и экзамену.
89
Список использованных источников
1. Дадаян А.А. Математика. Учебник. – М., ИД «ФОРУМ»: ИНФРА –
М,2006.
2. Григорьев С.Г. Математика. Учебник для студенческих средне
профессиональных учреждений. – М., Издательский центр « Академия»,
2005.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Учебное пособие
для средне профессиональных учебных заведений. – М., «Высшая школа»,
2009.
4. Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов на базе
средней школы. Учеб. Пособие. – 2-е изд. – М., Наука., 1990 – 576 с.
5. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, части 1и 2.
Учебник под ред. Яковлева Г.Н.,1986.
6. Щипачев В. С Высшая математика. Учебник для немат. спец.
вузов/Под ред. акад. А.Н. Тихонова. – М., Высш. шк., 1985.
7. http://www.webmath.ru, (решения задач);
8. http://e-science.ru, (Портал Естественных Наук).
90
