Разработка урока по теме «Квадратные уравнения (методы решения) » Шевелева Валентина Евдокимовна, учитель математики. Цели урока: 1) обучающие: обобщение и систематизация знаний по теме, ликвидация пробелов в знаниях учащихся; 2) развивающие: расширение кругозора учащихся, пополнение словарного запаса, развитие мышления, внимания, умения учиться, воспитание общей культуры Ход урока: 1.Организационный момент: приветствие учащихся; проверка готовности к уроку; сообщение темы урока ; «Квадратные уравнения. Методы решения». Учитель: как вы думаете, как можно формулировать цель нашего урока исходя из его темы? ( Речь идет о методах, значит их много, надо вспомнить каждый из методов и проиллюстрировать его примером.). Иными словами надо обобщить и сисстематизировать опыт решения уравнений по изученной теме. 2. Актуализация знаний: Учитель: прежде всего вспомним, какие уравнения называются квадратными? (Уравнения вида ах 2+bх+с = 0, где х – переменная, а,b, c – числа, а≠0). Уравнение, заданное таким видом, называется стандартным видом квадратного ураванения. Как называются числа а,b,c? (а – старший коэффициент (или первый коэффициент), b – второй коэффициент, с - свободный член). Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов? а) Первый вид квадратных уравнений - неполные квадратные уравнения. С этим видом квадратных уравнений мы познакомились в начале изучаемой темы ( на первых уроках). Вспомним виды неполных квадратных уравнений и способы их решений (таблица): Неполные квадратные уравнения 1. ах2=0 х=0 𝑏 2. ах2+bх = 0, (b ≠0) Х=0; х = а с 3. ах2+с = 0, (с ≠ 0) если - < 0, то корней нет а с с а а если - > 0, то х = ±√− b) квадратные уравнения, записанные в стандартном виде: По формуле 4. ах2+bх+с = 0 D<0 D = b2 - 4ас D=0 D> 0 4. корней нет −𝑏 х= х= ах2+bх+с = 0, b=2к (четное число) 𝑏 2 𝐷1 = ( ) − а𝑐 2 х= 2а −𝑏±√𝐷 2а 𝑏 а (− )±√𝐷1 а (√𝐷1 ≥ 0) в) решение квадратных уравнений по теореме Виета: 6. Теорема Виета Если х1 и х2 – корни уравнения х2+ pх + q = 0, ( D>0), Если х1 и х2 – корни уравнения ах2+bх+с = 0 𝑏 то ( D>0), то х1 + х2 = (− ) а х1 + х2 = -p с х1 ּ х2 = х1 ּ х2 =q а 3. Работа по теме урока а) Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы решения. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности и оценим его «перспективы». Специальные методы Пример. Решить уранение: 7. Метод выделения квадрата двучлена Цель: Привести уравнение общего вида к неполному х2 -6х+8 = 0 квадратному уравнению. Решение: ((х2 -2хּ3 +32) -32 +8) = 0 Замечание: метод применим к любому квадратному (х-3)2-9 + 8=0 уравнению, но не всегда удобен в использовании. (х-3)2 = 9-8 Используется для доказательства формулы корней (х-3)2 = 1 квадратного уравнения х-3 = 1 или х-3 = -1 х = 4 или х = 2 Ответ: 2 ; 4 На основании теорем: 8. Если в квадратном уравнении а+b+с = 0, то один из корней равен 1, а второй корень по теореме Виета с равен а 9. Если в квадратном уравнении а+ с =- b, то один из с корней равен 1, а второй по теореме Виета равен а Решите уравнение: 4х2 -12х – 7 = 0 Пример. Решить уравнение: 137х2 +47х – 184= 0 −177 40 т.к. 137+47 + (-184) = 0,то х1=1, а х2 = = -1 137 40 Ответ: 1; -1 137 Решите уравнение: 11х2 +42х – 53 = 0 Пример. Решить уравнение: 1003х2 +1099х + 96 = 0 т.к. 1003+96 = 1099, то х1=1, х2= Ответ: - 137 96 . 1003 96 .; 1003 1. Решите уравнение: 2999х2 +13х – 2985 =0. Рассмотрим общие методы решения квадратных уравнений Общие методы решения квадратных уравнений 10. Метод разложения на множители: Цель: привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х) ּ В(х) = 0, где А(Х) и В(Х) - многочлены относительно х. Способы: Вынесение общего множителя за скобки; Использование формул сокращенного умножения; Способ группировки. Пример. Решить уравнение: 3х2+2х -1 =0, 2х2+х2 +2х - 1=0 (2х2+2х) +( х2-1) =0 2х(х+1) + (х+1) (х-1) = 0 (х+1) ּ (2х+х-1)=0, (х+1) (3х-1)=0, х+1=0 или 3х-1=0, х=-1 или 3х=1, 1 х= 1 3 Ответ: -1; . 3 Решите уравнение: (3х-2) (х-1)=4(х-1)2 11. Метод введения новой переменной Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной Пример. Решите уравнение: (5х+3)2 = 3(5х+3) -2 (5х+3)2 - 3(5х+3) +2=0, 5х+3 = у, тогда у2-3у+2 = 0 1+2+(-3)=0, то у1=1, у2= 2, а значит 5х+3= 1 или 5х+3 = 2 2 1 х= - ; х= - . 5 12. Функционально – графический метод Для решения уравнения f(х) = g(х) необходимо построить графики функций у= f (х), у= g(х) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения Замечание: Функционально – графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества. 2 1 5 Ответ: - ; - . 5 5 Решите уравнение: (х2+3х-25) – 6(х2+3х-25) = -8. Пример. Решите уравнение: √х = х2 В прямоугольной системе координат строим графики функций левой и правой частей уравнения. Парабола (график функции у=х2 и ветвь параболы (график функции у= √х пересекутся в одной точке с координатами (;1) , Поэтому решением уравнения будет абсцисса х=1. Ответ х=1 Решите уравнение: х2= х+2 Историческая справка. Посмотрите на многообразие методов решения квадратных уравнений. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…. И чтобы ответить на них в качестве одного из домашних заланий вам предстоит найти ответ на данный вопрос. 4. Итог урока: Сегодня мы с вами обобщили опыт решения квадратных уравнений и пришли к выводу, что решать квадратные уранения можно разными способами. Для решения квадратных уравнений применяются не только традиционные и специальные способы решения, но и общие методы решения. Попытались применять наиболее рациональные из них при решении задач. 5.В качестве домашнего задания : Решить уравненгие х2+6х -16 = 0 4– мя способами. Решите уравнение (х2 –х) 2 -14(х2 –х) +24 = 0 – методом введения новой переменной… Историческая справка «Возникновение теории решения квадратных уравнений».