Четвертая математическая олимпиада - orange Тур 3. Ответы и

Четвертая математическая олимпиада - orange
2003-2004 гг
Тур 3.
Ответы и краткие решения.
4-5 классы.
1. Квадрат разрезан на 4 прямоугольника и квадрат (см.
рисунок). Высота верхнего правого прямоугольника равна
7, а ширина - 5. В нижнем левом прямоугольнике высота
равна 6, а ширина - 4. Найдите сторону большого
квадрата.
5
7
6
4
Решение. Пусть a сторона большого квадрата, b –
малого. Тогда b+a=6+7=13, b-a=5+4=9. Сложив эти уравнения,
получим 2b=22 значит b=11.
Ответ: 11.
2. Выпишите в строку все числа от 1 до 20 так, чтобы разность между
любыми двумя соседними была бы или 2, или 3. (Каждое число нужно
использовать ровно 1 раз).
Решение:
Например, 1 4 2 5 3 6 9 7 10 8 11 14 12 15 13 16 19 17 20 18
(возможны другие решения)
3. Дан квадрат 3  3 . В центральной клетке записан знак
умножения «».
Внесите 4 различных знака действий (+ , - ,  , : )
в треугольники и 4 различных числа: 1 , 2 , 3 или 4
в кружочки так, чтобы сумма всех шести результатов
(в двух строчках, в двух столбиках и по двум диагоналям)
получилась как можно большей. Чему равна эта сумма?
3  4
+  :
2 - 1
4. На столе стоят в ряд в некотором порядке: бутылка, чашка, стакан и
кувшин. В них налиты: кола, чай, вода и апельсиновый сок. Рядом с
соком, с двух сторон от него, стоят вода и чашка. А рядом с бутылкой, с
двух сторон от нее, стоят кола и стакан. Чай не в кувшине. Что налито в
кувшин?
Ответ: кола
5. Разрежьте этот прямоугольник на 4 одинаковых по форме и размеру
фигуры так, чтобы разрезы проходили по границам клеток и чтобы
каждая фигура содержала ровно один крестик.
См. ниже
6-7 классы.
5
1. Квадрат разрезан на 4 прямоугольника и квадрат
(см.
рисунок).
Высота
верхнего
правого
7
прямоугольника равна 7, а ширина - 5. В нижнем
левом прямоугольнике высота равна 6, а ширина - 4. 6
Найдите сторону большого квадрата.
4
Решение. Пусть a сторона большого квадрата, b –
малого. Тогда b+a=6+7=13, b-a=5+4=9. Сложив эти уравнения,
получим 2b=22 значит b=11.
Ответ: 11.
2. Выпишите в строку все числа от 1 до 20 так, чтобы разность
между любыми двумя соседними была бы или 2, или 3. (Каждое
число нужно использовать ровно 1 раз).
Решение:
Например, 1 4 2 5 3 6 9 7 10 8 11 14 12 15 13 16 19 17 20 18
(возможны другие решения)
3. В классе 35 учеников. Известно, что в любой группе из 18
учеников этого класса найдется по крайней мере два мальчика, а в
любой группе из 22 учеников этого класса найдется по крайней
мере 3 девочки. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?
Ответ: 19 мальчиков, 16 девочек.
Решение: По первому условию не может быть больше 16 девочек,
а по второму не может быть больше 19 мальчиков. Поскольку
19+16=35, тп это единственный вариант.
4. Четыре монеты, среди которых есть как фальшивые, весом по 8
граммов, так и настоящие, весом по 7 граммов, выложены в ряд.
Известно, что каждая настоящая монета лежит правее любой
фальшивой. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах
без гирь определить все настоящие монеты? (Если да, то
обьясните, как это сделать, если нет – обьясните почему).
Ответ: Можно.
Решение: На левой чашке весов - две средних монеты, на правой
– две крайних. Если левая чашка тяжелее, то фальшивых монет 3.
Если легче, то 1. Если чашки равны по весу, то фальшивых монет
2.
5. Чтобы записать все числа от 1 до N, потребовалось 2004
цифры. Чему равно N?
Ответ: 704
Решение: Прямой подсчет
6. Разрежьте этот прямоугольник на 4 одинаковых по форме и
размеру фигуры так, чтобы разрезы проходили по границам клеток
и чтобы каждая фигура содержала ровно один крестик.
Примеры различных решений:
   
   
   
   
   
   
Классы 8-9.
1. На уроке математики решали задачу про треугольник. Таль
сказал: «Этот треугольник прямоугольный». Мири сказала: «Этот
треугольник равнобедренный». А Коби сказал: «В этом
треугольнике есть угол в 45». Затем учитель заявил: «Из трех
этих утверждений верны только два». Найти углы этого
треугольника.
Ответ. 45, 67.5, 67.5
Решение. Если бы Таль сказал правду, то утверждения Коби и
Мири были бы эквивалентны. Но тогда верных утверждений было
бы 1 или 3, противоречие. Значит Таль ошибся, а Мири и Коби
сказали правду. Значит есть угол в 45 и он находится в вершине
равнобедренного треугольника (т.к. Таль ошибся).
2. Вычислить 333,333,333,333,333  666,666,666,666,666,666,666 .
Ответ. 222,222,222,222,221,999,999,777,777,777,777,778
Решение.
333,333,333,333,333  666,666,666,666,666,666,666 =
= 222,222,222,222,222  999,999,999,999,999,999,999 =
= 222,222,222,222,222  (1,000,000,000,000,000,000,000 –1) =
= 222,222,222,222,222,000,000,000,000,000,000,000 –
– 222,222,222,222,222 =
= 222,222,222,222,221,999,999,777,777,777,777,778
3. По дороге в школу Йоси заметил, что в автобусе сидят 13
человек, а 9 сидений полностью свободны. Через несколько
остановок в автобусе сидело 10 человек, а 6 сидений были
полностью свободны. В автобусе имеются одноместные и
двухместные сиденья. Сколько сидений могло быть в автобусе?
Ответ. 16
Решение. Оценивая первую ситуацию, мы видим что в автобусе
по крайней мере 16 сидений. А оценивая вторую, видим, что не
более чем 16. Ч.т.д.
4. Запишите 2004 как сумму нескольких последовательных
натуральных чисел. Укажите все возможные способы.
Ответ. 2004=667+668+669=247+248+…+254=72+73+74+…+94+95
Решение. Пусть F первое из чисел, L последнее. Тогда:
2004=(L-F+1)(L+F)/2 то есть 8 . 3 . 167 = 4008 = (L-F+1)(L+F).
У чисел L-F+1 и L+F различная четность, значит одно из них
нечетно, а дригое делится на 8.
Простой множитель 167 должен содержат-ся в большем из них,
т.е. в L+F, а множители 8 и 3 в любом из них. Итак, получается 4
варианта (в одном из которых только одно слагаемое 2004).
5. Разрезать квадрат на
выпуклые пятиугольники.
Пример решения (далеко
не единственный):
6. 10 монет, среди которых есть как фальшивые, весом по 8 г, так
и настоящие, весом по 7 г, выложены в ряд. Известно, что каждая
настоящая монета лежит правее любой фальшивой. Можно ли за
два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все
настоящие монеты? (Если да, то обьясните, как это сделать, если
нет – обьясните почему).
Ответ: Можно.
Решение: На левой чашке весов – монеты 1 и 10, на правой – 4 и
7.
Тогда за первое взвешивание мы точно узнаем, какие из монет 1,
4, 7 и 10 фальшивые.Тогда мы сможем указать 4 монеты с
последовательными номерами, самая правая из которых
настоящая, а самая левая – фальшивая, и у нас останется еще
одно взвешивание. Мы прихдим
к ситуации, эквивалентной
ситуации в задаче 4 по младшим классам (см. выше).
Классы 10-12.
1. Запишите 2004 как сумму нескольких последовательных
натуральных чисел. Укажите все возможные способы и докажите,
что других нет.
Решение: см. Задачу 4 по предыдущим классам.
 x 5

2. Решить уравнение: 
 x 8 


2


  x 5 
 x 8 


2
2
 10  x2  25
3 x  64
.
Ответ: x=4, -4, 10, -10
Решение:
y
x5
x 5
10
, z
 y 2  z 2  yz  0
x 8
x 8
3
5
54
1
5
y / z     1 
 3,
3
3
3
3
x 5 x 8
1

=3,
Тогда
x8 x5
3
2
а значит x  3x  40=3  x 2  3x  40  или x 2  3x  40=3  x 2  3x  40  . Итак,
2
0=2x 2  12 x  80 , т. е. 0=x2  6 x  40   x  10  x 4  . Ч.т.д.
3. Разрезать квадрат на
выпуклые пятиугольники.
Пример решения (далеко
не единственный):
4. В треугольнике АВС А = 45, В = 60. На продолжении
стороны АВ за точку В отложен отрезок BD = 2AB. Найти BDC.
Ответ: 15
Решение: Пусть Е – точка пересечения BC с перпендикуляром к
AB в точке А. Тогда углы треугольника АВЕ – 90, 60, 30 .
Если построить треугольник АЕF с углами 90, 60, 30, то С в нем
будет точкой пересечения биссектрис, а ВЕ биссектриссой.
Сторона ЕF в два раза больше чем АЕ, значит, по свойству
биссектрисы, BF в два раза больше чем АВ, значит точки D и F
совпадают.
Мораль: угол EDA=30, а DC биссектриса этого угла, значит угол
CDA в два раза меньше.
5. Квадрат натурального числа заканчивается на три одинаковые
цифры, отличные от нуля. Чему может быть равна последняя
цифра? Укажите все варианты, и докажите, что других нет.
Ответ: 4
Решение: 2, 3, 7,8 не может быть последней цифрой квадрата.
Если последняя цифра квадрата 1, 5, 9 то последняя цифра
исходного числа 1, 9, 5, 3 или 7. Но тогда легко проверить что
предпоследняя цифра этого числа четна, что нам не подходит.
Аналогично для цифры 6 – тогда последняя цифра исходного
числа 4 или 6, а предпоследняя цифра квадрата обязательно
нечетно. Итак, ни одна цифра кроме 4 не подойдет.
А 4 подходит: 1444 = 382 .
6. 10 монет, среди которых есть как фальшивые, весом по 8 г, так
и настоящие, весом по 7 г, выложены в ряд. Известно, что каждая
настоящая монета лежит правее любой фальшивой. Можно ли за
два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все
настоящие монеты? (Если да, то обьясните, как это сделать, если
нет – обьясните почему).
Решение: см. Задачу 6 по предыдущим классам.