Дифференциальное исчисление

36
Часть 2. Дифференциальное исчисление
Глава 1. Производная и дифференциал
Дифференциальное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются производные и
дифференциалы функций. Оформление дифференциального исчисления в самостоятельную
математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница. Они сформулировали
основные положения дифференциального исчисления, с этого времени оно составляет основную часть
математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и
интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой
появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений,
дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Некоторые задачи дифференциального
исчисления были решены еще математиками Древней Греции, их работу продолжили Р.Декарт,
П.Ферма и другие ученые XVII века. Обобщив опыт математиков предыдущих столетий, И. Ньютон и
Г. Лейбниц совершенно независимо друг от друга создали основы дифференциального исчисления. И.
Ньютон подходил к нему с точки зрения физики, Г. Лейбниц – с точки зрения геометрии.
Задачи, приводящие к понятию производной
Задача о скорости. Пусть некоторая материальная точка совершает неравномерное движение
вдоль прямой. Путь пройденный телом зависит от времени по закону S  S (t ) . Зафиксируем некоторый
момент времени t 0 , за это время был пройден путь S  S (t 0 ) , за время t будет пройден путь S  S (t ) .
S
Тогда за время t  t  t 0 тело пройдет путь S  S (t )  S (t 0 ) . Отношение
– средняя скорость за
t
промежуток времени t  t  t 0 . Будем стремить t к нулю. В таком случае говорят о предельной
S
 v называют мгновенной скоростью тела в момент времени t 0 .
скорости и lim
t 0 t
Задача о касательной. Рассмотрим другую задачу, связанную с построением касательной к
кривой. На некоторой кривой зафиксируем точку M 0 . Возьмем некоторую произвольную точку M и
будем стремить ее по кривой в точке M 0 . Проведем секущую M M 0 . При движении M к M 0 секущая
будет поворачиваться вокруг точки M 0 и займет свое предельное положение, когда M  M 0 .
Определение 1. Касательной к данной кривой в данной точке называется предельное положение
секущей M M 0 при стремлении точки M к точке M 0 .
Рассмотрим случай, когда кривая задана функцией y  f (x) . (Рис. 29)
Придадим аргументу x 0 приращение x , тогда приращение
функции
составит
f
f  f ( x0  x)  f ( x0 ) . Очевидно, что когда M  M 0 , угол  стремится к углу  . tg 
, тогда
x
f
 lim tg  tg .
при x  0 получаем, что lim
x 0 x
x 0
Понятие производной
Пусть дана некоторая функция y  f (x) . Зафиксируем точку x 0 и придадим ей приращение x ,
которое будем выбирать таким, чтобы величина f ( x0  x) была определена. Соответственно
рассмотрим приращение функции y  f ( x0  x)  f ( x0 ) .
37
Определение 2. Производной функции y  f (x) в точке x 0 называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.
y
.
lim
x  0  x
Производную обычно обозначают как f ( x0 ) .
Данное определение можно записать несколько иным образом. Для этого введем обозначение
f ( x )  f ( x0 )
.
x  x0  x , x  x0 . Тогда производную можно определить так f ( x0 )  lim
x x0
x  x0
Если предел не существует, то говорят, что функция не имеет производной в точке x 0 .
Операцию нахождения производной называют дифференцированием. В некоторых случаях
df
производную обозначают следующим образом
.
dx
Дифференцируемость функции
y
 a   (x) , где a –
x
постоянное число, которое не зависит от x ,  (x) – бесконечно малая функция аргумента x .
Определение 3. Функция y  f (x) называется дифференцируемой в точке, если приращение  y
этой функции в точке можно представить в виде y  ax   (x)x .
Теорема 1. Для того чтобы функция y  f (x) была дифференцируемой в точке, необходимо и
достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f (x ) .
Из доказательства теоремы следует, что a  f ( x0 ) .
Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в точке равна
тангенсу угла наклона касательной, проходящей через данную точку. (Рис. 29)
Механический смысл производной: скорость есть производная пути, пройденного материальной
точкой, по времени.
По теореме о связи предела функции и бесконечно малой получаем, что
Производная и непрерывность функции
Между понятиями непрерывности и дифференцируемости функции существует тесная связь.
Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке x 0 , то она непрерывна в данной точке.
Правила дифференцирования
Отыскание производной по определению удобно только в случае простейших функций. Поэтому
рассмотрим правила, которые позволяют более просто вычислять производные.
Теорема 3. Константу можно выносить за знак производной.
Пусть функции u  u ( x), v  v( x) имеют производные в произвольной точке x .
Теорема 4. Производная суммы равна сумме производных.
Замечание 1. Данную теорему можно по методу математической индукции распространить на
любое конечное число слагаемых.
Замечание 2. Рассматривается алгебраическая сумма функций.
Теорема 5. Производная произведения функций находится по формуле (u  v)  u v  uv  .

 u  u v  v u
Теорема 6. Производная частного находится по формуле   
.
v2
v
Замечание. Предполагается, что v( x)  0 в точке x .
38
Дифференцирование сложной функции
Рассмотрим сложную функцию y  f (t ) , t  g (x) .
Теорема 7. Если функция t  g (x) имеет производную в точке x 0 , а функция y  f (t ) имеет
производную в точке t 0  g ( x0 ) , то сложная функция y  f ( g ( x)) имеет производную в точке x 0
dy df dt

 .
dx dt dx
Данную формулу можно записать несколько иначе y ( x)  f ( g ( x))  g ( x) .
Производная обратной функции
Теорема 8. Если функция y  f (x) в некотором промежутке непрерывна, строго монотонна и
имеет производную в некоторой точке этого промежутка, то обратная функция также имеет

dx
dx
1  dy
 0,
 0  .
производную в этой точке и справедлива формула
, 

dy
dy dy  dx

dx
Производные некоторых элементарных функций
Найдем производные некоторых элементарных функций.

1. e x  e x .

2. a x  a x ln a .
 1
3. ln x   .
x
1

4. log a x  
.
x ln a

5. sin x   cos x .

6. cos x    sin x .
1

7. tg x  
.
cos 2 x
1

8. ctg x    2
sin x
1

9. arcsin x  
.
1 x2
1

10. arccos x   
.
1 x2
1

11. arctg x  
.
1 x2
Логарифмическое дифференцирование
 
 
В некоторых случаях прежде чем находить производную удобно прологарифмировать функцию.
y

 ln f ( x)  . Откуда
Пусть y  f (x) , ln y  ln f ( x) . Возьмем производную от каждой из частей
y
y   y (ln f ( x)) . Такой прием называют логарифмическим дифференцированием.
39
Иногда нахождение производной затруднительно без применения логарифмического
дифференцирования. В частности, это справедливо для так называемой степенно-показательной
v( x)
функции y ( x)  u ( x)  , где u ( x), v( x) – некоторые функции.
Особые случаи дифференцирования
Так как существование производной связано с существованием двустороннего предела, особый
интерес представляет случай, когда двусторонний предел в конечном виде не существует. При этом
предполагается, что функция непрерывна в некоторой окрестности точки x0 .
1. Двусторонний предел не существует, но каждый из односторонних пределов существует и
конечен. В таком случае говорят об односторонней производной. В случае обычной производной
x  0 с двух сторон. Пусть x  0 , тогда можно говорить о правосторонней производной
f ( x0  x)  f ( x0 )
lim
 f ( x0  0) . Если x  0 , то рассматривают левостороннюю производную
x 0  0
x
f ( x0  x)  f ( x0 )
lim
 f ( x0  0) . К такому определению производной прибегают, когда
x 00
x
рассматривают функцию, определенную на некотором отрезке (Рис. 30).
y
O
a
b
x
Рис 30.
2. Хотя бы один из односторонних пределов не существует. В таком случае касательная в этой
точке параллельна оси Oy . В качестве примера можно рассмотреть функцию y  arcsin x . Производная
в точках  1, 1 равна бесконечности и касательная параллельна оси Oy (Рис. 31).
y
O
-1
1
x
Рис 31.
3. Предел не существует там, где функция непрерывна. В таком случае построение касательной в
такой точке не возможно.
Производная высших порядков
Механический смысл второй производной
Рассмотрим функцию y  f (x) , предположим, что данная функция имеет производную f (x) . В
общем случае ее можно считать функцией аргумента x . От полученной функции также можно взять
40
производную. В таком случае говорят, что функция y  f (x) имеет вторую производную. Обозначают
d2 f
.
dx 2
От второй производной в общем случае можно взять еще производную, получим производную
третьего порядка y  . Очевидно, что данный процесс можно продолжить.
Определение 4. Производной n -го порядка называется производная от производной n  1
порядка. Производная от функции называется производной первого порядка.
Производная n -го порядка обозначается y (n ) .
Известно, что тело движется по прямой и путь, пройденный телом, выражен функцией S  S (t ) .
Ранее было установлено, что скорость тела есть производная пути по времени. Выясним механический
смысл второй производной пути по времени. Для этого найдем производную V  V (t ) . Придадим
моменту времени t приращение t . Найдем изменение скорости за время t V  V (t  t )  V (t ) ,
тогда отношение изменения скорости к изменению времени есть среднее ускорение за время t
V
V
a ср 
. Будем стремить t к нулю, тогда получаем a  lim
– мгновенное ускорение в момент
x 0 t
t
dV
времени t . Таким образом a 
, т.е. мгновенное ускорение есть производная скорости по времени
dt
или вторая производная пути по времени.
вторую производную y , f ( x),
Понятие дифференциала
y
 y ( x0 ) . По теореме о
x 0 x
связи функции, ее предела и бесконечно малой y  f ( x0 )x   (x)x . Приращение функции
представляет собой сумму двух слагаемых f ( x)x и  (x)x , каждое из которых является бесконечно
малой, причем первое слагаемое есть бесконечно малая порядка меньше чем второе слагаемое, первое
слагаемое называется главной частью приращения функции.
Определение 5. Дифференциалом функции y  f (x) в точке x 0 называется главная часть ее
приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента. dy  f ( x0 )  x .
Дифференциал dy называют дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал
независимой переменной y  x . Так как y   x   1 , то dy  dx  x . Тогда дифференциал можно
записать следующим образом dy  f ( x0 )dx . Таким образом, дифференциал функции равен
произведению производной функции на дифференциал независимой переменной.
Пусть функция имеет в точке x 0 отличную от нуля производную lim
Геометрический и механический смысл дифференциала
Проведем к графику функции y  f (x) касательную MT в точке M x0 , y 0  и рассмотрим
ординату касательной для точки x  x (Рис. 32).
41
y
N
y0  y
y0
O
B
M
x0
dy
A
x0  x
x
Рис 32.
Из рисунка MA  x , AN  y , из прямоугольного треугольника MAB имеем: AB  tg  x .
Но согласно геометрическому смыслу производной получаем tg  f (x) , AB  f ( x)  x . Таким
образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции
в этой точке, когда точка получает приращение.
Механический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал пути равен
приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени t , точка
движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.
Правила и формулы нахождения дифференциала
Все правила и формулы нахождения дифференциала похожи на правила нахождения
производных, если вместо производной поставить du .
1. d cu   cdu ;
2. d u  v  du  dv ;
3. d uv   vdu  udv ;
 u  vdu  udv
4. d   
.
v2
v
5. Первый дифференциал от функции определяется одной и той же формулой не зависимо от того,
является ли ее аргумент зависимым или нет. Это свойство называют свойством инвариантности
дифференциала.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Известно, что y  f ( x0 )x   (x)x , отбрасывая последнюю часть получаем, что y  dy ,
данное приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше будет x . Заменим приращение
разностью функций и получим f x0  x   f ( x)  f ( x0 )x или f x0  x   f ( x)  f ( x0 )x .
Последняя формула используется для вычисления приближенных значений функции.
Дифференциалы высших порядков
Пусть некоторая функция y  f (x) дифференцируема. Следовательно она имеет дифференциал
dy  f ( x)dx , где x – независимая переменная. Если данная функция дважды дифференцируема, то
тогда d (dy)  d ( f ( x)dx)  ( f ( x)dx)dx  f ( x)dx 2 . Очевидно, что данный процесс можно продолжить.
42
Определение 6. Дифференциалом n -го порядка называют дифференциал от дифференциала
n  1 -го порядка.
Иначе дифференциал n -го порядка можно записать следующим образом d n y  f ( n ) ( x)dx n .
dy
dx (по свойству инвариантности
В том случае, когда y  f ( x), x  g (t ) , получаем dy 
dx
дифференциала). Тогда
d 2 y  d (dy)  d ( f ( x)dx)  d ( f ( x))dx  f ( x)d (dx))  f ( x)dx 2  f ( x)d 2 x .
43
Глава 2. Основные свойства дифференцируемых функций
Производная и дифференциал находят широкое практическое применение, одной из основных
задач, которая будет рассмотрена далее, можно считать задачу исследования функции.
Касательная и нормаль к графику функции
Из геометрического смысла производной получаем, что угловой коэффициент касательной
k  tg  f ( x0 ) . Из геометрии известно, что уравнение прямой, проходящей через точку x0 ; y0  , с
угловым коэффициентом k имеет вид y  y0  k ( x  x0 ) . Тогда, используя геометрический смысл
производной получаем, что уравнение касательной имеет вид y  y0  f ( x0 )( x  x0 ) .
Определение 1. Нормалью к графику в точке x0 ; y0  называется прямая, проведенная через
точку касания перпендикулярно касательной.
Известно, что угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением
1
. Таким образом,
k1  k 2  1, откуда получаем, что угловой коэффициент нормали равен 
f ( x0 )
1
( x  x0 ) .
уравнение нормали имеет вид y  y 0 
f ( x0 )
Теорема Ферма
Определение 2. Говорят, что функция принимает на промежутке X наибольшее значение в
точке x 0 , если для каждого значения x  X справедливо неравенство f ( x)  f ( x0 ) .
Определение 3. Говорят, что функция принимает на промежутке X наименьшее значение в
точке x 0 , если для каждого значения x  X справедливо неравенство f ( x)  f ( x0 ) .
Теорема 1. Пусть функция y  f (x) определена на некотором промежутке X и во внутренней
точке x 0 этого промежутка имеет наибольшее или наименьшее значение. Если при указанных условиях
в точке x 0 существует конечная производная, то она равна нулю.
Замечание. Геометрический смысл теорема Ферма заключается в том, что в точке x 0 с
указанными свойствами касательная к кривой параллельная оси Ox (Рис. 33).
y
y  f (x)
O
a
x0
b
x
Рис 33.
Теорема Ролля
Теорема 2. Пусть на отрезке a, b функция y  f (x) обладает свойствами:
1. y  f (x) непрерывна на a, b;
2. существует конечная производная на a, b  ;
3. f (a )  f (b) .
44
Тогда внутри отрезка a, b найдется такая точка c , что f (c)  0 .
Замечание 1. Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что если функция
обладает на a, b указанными в теореме свойствами, то всегда имеется некоторая точка c , в которой
касательная параллельна оси Ox (Рис. 34).
y
y  f (x)
O
с
a
b
x
Рис 34.
Замечание 2. В заключении теоремы не оговаривается, что точка единственная, таких точек
может быть несколько, но хотя бы одна существует непременно.
Замечание 3. Может показаться, что условие 1 излишнее и обеспечивается условием 2 (из
дифференцируемости следует непрерывность), однако следует помнить, что если функция непрерывна
на a, b , то это не означает непрерывности на концах отрезка a, b.
Следствие. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b, имеет производную хотя бы на
интервале a, b  и точки a, b являются корнями функции, то между этими точками содержится по
крайней мере один корень производной данной функции.
Теорема Лагранжа
Теорема 3. Пусть на отрезке a, b функция y  f (x) обладает свойствами:
1. y  f (x) непрерывна на a, b;
2. существует конечная производная на a, b  .
f (b)  f (a )
 f (c) .
Тогда внутри a, b найдется такая точка c , что
ba
Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что на кривой найдется точка в
которой касательная параллельна секущей, соединяющей концы кривой (Рис. 35).
y
y  f (x)
O
a
с
b
x
Рис 35.
Применение производной к исследованию функции на монотонность
Следует отметить, что производная может использоваться при исследовании функции на
монотонность. Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
45
Теорема 4. Если дифференцируемая на интервале a; b  функция f (x) возрастает (убывает), то
f ( x)  0  f ( x)  0 .
Геометрически это означает, что касательные к возрастающей функции образуют острые углы с
положительным направлением оси Ox (Рис. 36).
y
y  f (x)

O
a
x0
x
b
Рис 36.
Теорема 5. Если функция f (x) дифференцируема на a; b  и f ( x)  0  f ( x)  0 для всех
x  a; b , то функция возрастает (убывает) на интервале a; b  .
Определение 4. Точка x 0 называется точкой минимума функции, если существует такая  окрестность данной точки, что для всех x  x0 из этой окрестности выполняется неравенство
f ( x)  f ( x0 ) .
Определение 5. Точка x 0 называется точкой максимума функции, если существует такая  окрестность данной точки, что для всех x  x0 из этой окрестности выполняется неравенство
f ( x)  f ( x0 ) .
Точки минимума и точки максимума называют точками экстремума функции. Определим
необходимые и достаточные условия существования экстремума.
Теорема 6. (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция y  f (x) имеет
во внутренней точке x 0 экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю.
Геометрический смысл данной теоремы заключается в том, что в точке экстремума касательная к
данной функции параллельна оси Ox (Рис. 37).
y
y  f (x)
O
a
x0
b
x
Рис 37.
Замечание. Следует отметить, что функция может иметь экстремум и в тех точках где
производная не существует.
Определение 6. Точки, где производная равна нулю или не существует, называют критическими.
Таким образом, функция может иметь экстремумы только в критических точках. Однако
обратное утверждение в общем случае не верно. Возможен случай, когда производная функции в точке
равна нулю, но не имеет в ней экстремума.
Следовательно равенства нулю производной во внутренней точке или отсутствия производной в
точке не достаточно, чтобы функция имела в ней экстремум. Возникает вопрос, каким образом
46
установить, что в критической точке имеется экстремум и каков его тип. Сформулируем теорему, в
которой укажем достаточные условия существования экстремума.
Теорема 7. (достаточное условие экстремума) Если непрерывная функция удовлетворяет
следующим условиям:
1. дифференцируема в некоторой  -окрестности критической точки x 0 за исключением возможно
самой точки, где данная функция непрерывна;
2. слева и справа от точки x 0 производная функции имеет тот или иной определенный знак.
Тогда, если производная при переходе слева направо меняет знак с положительного на
отрицательный, то в точке будет максимум, если производная меняет знак с отрицательного на
положительный, то в точке будет минимум, если знак при переходе не меняется, то экстремума в точке
нет.
Замечание 1. Критические должны принадлежать области определения.
Замечание 2. Требование непрерывности является существенным, в том случае, когда оно не
выполняется, функция может не иметь экстремума в точке.
При нахождении экстремумов можно пользоваться следующим алгоритмом:
1. Найти критические точки функции.
2. Исследовать знак производной на получившихся промежутках.
3. В соответствии с теоремой сделать вывод о существовании экстремума.
Теорема Коши
Теорема 8. Пусть на a, b заданы функции f ( x), g ( x) , причем
1. они непрерывны на a, b;
2. дифференцируемы на a, b  , g ( x)  0 .
f (b)  f (a) f (c)
Тогда внутри отрезка a, b найдется такая точка c , что
.

g (b)  g (a) g (c)
Следствие. Если дополнительно потребовать, что f (a)  g (a)  0 , то формула Коши принимает
f (b) f (c)
вид
.

g (b) g (c)
Формула Тейлора
Установим важную формулу математического анализа, так называемую формулу Тейлора.
Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки x 0 производные до порядка n  1
включительно. Тогда для некоторой точки x из этой окрестности справедлива формула
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n  Rn1 ( x) ,
Rn1 ( x)
где
–
1!
2!
n!
остаточный член, поскольку такой многочлен лишь приближенно может заменить функцию.
Остаточный член может быть записан различным образом. Рассмотрим форму остаточного члена в
f ( n1) (c)
следующем виде Rn1 ( x) 
( x  x0 ) n1 . Такую форму остаточного члена называют остаточным
(n  1)!
членом в форме Лагранжа.
Выпуклость графика функции, точки перегиба
При исследовании функции часто требуется определить в какую сторону выгнут график
функции.
47
Определение 7. График дифференцируемой функции y  f (x) называется вогнутым в точке x 0 ,
если в некоторой проколотой окрестности этой точки разность между значением функции и ординатой
касательной, вычисленными при некотором значении x , отрицательна.
Определение 8. График дифференцируемой функции y  f (x) называется выпуклым в точке x 0 ,
если в некоторой проколотой окрестности этой точки разность между значением функции и ординатой
касательной, вычисленными при некотором значении x , положительна.
Определение 9. Функция называется выпуклой (вогнутой) на некотором промежутке, если она
выпукла (вогнута) в каждой точке этого промежутка.
Определение 10. Точка M ( x0 ; f ( x0 )) называется точкой перегиба, если существует такая
окрестность точки x 0 , что для всех значений аргумента из промежутка x0   ; x0  функция выпукла
(вогнута), а для всех x из промежутка x0 ; x0    функция вогнута (выпукла).
Установим достаточные условия выпуклости (вогнутости) функции на некотором промежутке.
Теорема 9. Если функция y  f (x) имеет в некоторой окрестности данной точки x 0
производную, а в самой этой точке еще и вторую производную, причем отличную от нуля, то кривая,
являющаяся графиком данной функции, вогнута в точке x 0 , если f ( x0 )  0 и выпукла, если
f ( x0 )  0 .
Теорема 10. Если вторая производная f (x) равна нулю в некоторой точке x 0 или не
существует в ней и при переходе через нее меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.
Замечание. Предполагается, что в данной точке касательная к графику функции должна
существовать.
Применение производной к раскрытию неопределенностей
Следует отметить, что дифференциальное исчисление можно эффективно применять для
0
раскрытия различных неопределенностей. Рассмотрим неопределенность вида .
0
Теорема 11. Пусть функции f ( x), g ( x) удовлетворяют условиям:
1. имеют в некоторой окрестности точки a производные (за исключением может быть самой
точки), и g ( x)  0 ;
2. являются бесконечно малыми в точке a , т.е. lim f ( x)  0 , lim g ( x)  0 ;
xa
xa
f ( x)
 k (конечный или бесконечный).
g ( x)
f ( x)
f ( x)
Тогда существует предел lim
 lim
k.
x a g ( x)
x a g ( x)
Замечание 1. Равенство, доказанное в теореме, образует так называемое правило Лопиталя, его
можно сформулировать следующим образом:
Предел отношения двух бесконечно малых при x  a можно заменить пределом отношения
производных этих функций.
Замечание 2. В некоторых случаях применение правила Лопиталя приводит к неопределенности
0
. Тогда можно попытаться к полученному результату также применить правило Лопиталя. Таким
0
образом, раскрытие неопределенностей может потребовать повторного применения данного правила.
Замечание 3. При доказательстве рассматривались два односторонних предела и для каждого из
них данное утверждение было доказано, следовательно правило Лопиталя применимо и для случая
одностороннего предела.
Правило Лопиталя остается справедливым и в том случае, когда x   .
3. существует предел отношения lim
xa
48
Если данные функции являются бесконечно большими, то справедлива теорема, которая также
образует правило Лопиталя.
Теорема 12. Пусть функции f ( x), g ( x) удовлетворяют условиям:
1. имеют в некоторой окрестности точки a производные (за исключением может быть самой
точки), и g ( x)  0 ;
2. являются бесконечно большими при x  a , т.е. lim f ( x)   , lim g ( x)   ;
xa
xa
f ( x)
3. существует предел отношения lim
 k (конечный или бесконечный).
x  a g ( x )
f ( x)
f ( x)
Тогда существует предел lim
 lim
k.
x a g ( x)
x a g ( x)
Замечание. По аналогии с предыдущим случаем, данную теорему можно распространить на
случай, когда x   .
0 
Неопределенности вида 0   или    можно свести к неопределенностям , .
0 

0
0
Для случая неопределенностей 1 , 0 ,  можно воспользоваться следующим приемом. Введем
обозначение y  ( f ( x)) g ( x ) , прологарифмируем указанное выражение. Тогда ln y  g ( x) ln f ( x) , затем
вычислим предел lim ln y  k , тогда в силу непрерывности функции ln t , получаем окончательно, что
xa
lim y  e .
k
x a
Асимптоты графика функции
Определение 11. Прямая называется асимптотой для кривой y  f (x) , если расстояние от точки,
лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении точки вдоль кривой в
бесконечность.
Определение 12. Говорят, что прямая x  a является вертикальной асимптотой графика
функции, если lim f ( x)   .
xa
Обычно такими асимптотами являются точки разрыва второго рода.
Определение 13. Говорят, что кривая имеет горизонтальную асимптоту, если lim f ( x)  k . Такая
x 
асимптота имеет уравнение y  k .
Наклонную асимптоту обычно ищут в виде y  kx  b . Условия ее существования выражены
следующей теоремой.
Теорема 13. Чтобы прямая y  kx  b была асимптотой кривой y  f (x) , необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие lim ( f ( x)  kx  b)  0 .
x 
f ( x)
, b  lim ( f ( x)  kx) .
x 
x 
x
Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то функция наклонной
асимптоты не имеет. Горизонтальную асимптоту можно считать частным случаем наклонной при k  0 .
На практике ее коэффициенты ищут следующим образом k  lim
49
y
M
y

y0
M0

x
O
План исследования функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
x0
x
Рис 29.
Найти область определения функции.
Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
Исследовать функцию на непрерывность.
Найти точки пересечения с осями координат.
Найти промежутки знакопостоянства функции.
Найти асимптоты графика.
Найти промежутки монотонности, экстремумы функции.
Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Найти дополнительные точки, если они необходимы.
Функции, заданные параметрически
Рассмотрим в некоторой области T систему следующего вида:
 x   (t ),
 t  .

 y   (t ),
Будем рассматривать пару чисел x и y , вычисленных при одном значении t как точку на
координатной плоскости, в таком случае, с изменением t , точки x, y  образуют на координатной
плоскости некоторое множество точек. Возникает вопрос, можно ли такое множество считать графиком
функции, а систему – функцией.
Для ответа на данный вопрос рассмотрим теорему
 x   (t ),
  t   определяла функцию y  f (x) ,
Теорема 14. Для того чтобы система 
 y   (t ),
достаточно, чтобы функция x   (t ) имела на области определения t обратную функцию.
Замечание. Указанное условие не является необходимым.
С другой стороны в условиях данной теоремы не всегда возможно найти обратную функцию
1
t   ( x) в явном виде, т.е. существование функции y  f (x) , заданной параметрически, доказано, но
явного аналитического выражения она может не иметь.
 x   (t ),
  t   , называется заданной параметрически.
Функция, определенная системой 
 y   (t ),
Очевидно, что всякую функцию y  f (x) можно параметризировать, т.е. задать в
параметрическом виде.
50
 x   (t ),
В общем случае система 
  t   определяет на плоскости некоторую кривую,
 y   (t ),
уравнения системы называют параметрическими уравнениями данной кривой. Если функции системы
непрерывны на данном промежутке, то такую кривую называют кривой Жордана.
Установим правило вычисления производной функции, заданной параметрически.
Теорема 14. Пусть x   (t ), y   (t ) имеют производные, причем  (t )  0 . Тогда производную
dy  (t )
функции можно вычислить по следующей формуле
.

dx  (t )
Для нахождения производных высших порядков можно воспользоваться следующим приемом,
dy
рассмотреть вспомогательную функцию z (t ) 
и найди по указанной формуле первую производную
dx
для функции z  z (t ), x  x(t ) , что даст вторую производную для функции y  y (t ), x  x(t ) . Данную
процедуру можно применять для отыскания производной требуемого порядка.