Если из нуля вычесть отрицательное число, то получим

История нуля
Дж. Дж. О’Коннор, Е.Ф. Робертсон
A history of Zero
J. J. O'Connor and E. F. Robertson
Перевод: Осмоловский Игорь Юрьевич
*******
Один из самых частых вопросов, задаваемых читателями этого архива, – это «Кто
открыл ноль?». Почему в таком случае статья о нуле не была одной из первых написанных
в архиве? Причина кроется в сложности дать удовлетворительный ответ. Если бы ктонибудь предложил концепцию нуля, которую каждый счел бы блестящим нововведением
в математике, то вопрос имел бы удовлетворительный ответ, даже если бы мы не знали
гения, предложившего её. История, однако, показывает достаточно разные подходы в этой
теории. Ноль таинственно появлялся, только чтобы исчезнуть вновь, кажется, как будто
все математики, которые вели его поиски, все же не осознавали его фундаментальную
важность, даже если и чувствовали её.
Первое, о чем нужно упомянуть, говоря о нуле, это два способа его
использования, каждый из которых чрезвычайно важен, но кое в чем они разнятся.
Во-первых, это индикатор пустого места в нашей разрядной системе счисления.
Так, при записи числа 2106 ноль используется для того, чтобы 2 и 1 стояли в
нужных разрядах. Очевидно, 126 не равно 2106. Во-вторых, ноль используется как
число само по себе. Существуют также разные аспекты в каждом из упомянутых
случаев, а именно: концепция, понятие и имя. (Например, слово «zero» образовано
от арабского sifr, от которого произошло слово «cipher» (цифра).)
Ни один из описанных выше способов нельзя легко объяснить исторически.
Не случилось так, что кто-то предложил идею и все согласно ей начали
использовать ноль. Справедливости ради надо сказать, что ноль как число далек от
интуитивного понятия. Математика ставила поначалу, скорее, «реальные» задачи,
чем абстрактные. Числа понимались как нечто более конкретное, чем отвлеченные
понятия, каковыми они являются в наши дни. Для того чтобы перейти от 5
лошадей к 5 «вещам», а потом и к абстрактной идее «пяти», необходимы огромные
интеллектуальные «шаги». Когда древние люди ставили задачу о том, сколько
лошадей им было нужно, они не могли при этом получить ответ 0 или -23.
Можно было бы ожидать, что когда появилась разрядная система счисления,
то ноль как индикатор пустого места появился вместе с нею, но все же вавилоняне
использовали разрядную систему без этого на протяжении более 1000 лет. Более
того, абсолютно неочевидно, что они испытывали какие-то неудобства, связанные
с неоднозначностью, которая имела место. Рассмотрим тексты дошедшие до нас со
времен вавилонских математиков. Вавилоняне писали клинописью на
необожженных глиняных табличках. Символы выдавливались на мягких глиняных
табличках косым краем стилуса и мели форму клина (отсюда название клинопись).
Сохранилось много табличек, датированных около 1700 года до н.э., на которых
можно прочесть оригинальные тексты. Кончено, понимание числа сильно
отличалось от нашего (в качестве основания использовалось 60, а не 10): говоря
современным языком, они не различали числа 2106 и 216 (но из контекста было
ясно, что имелось в виду). Так было примерно до 400 года до н.э., когда
Вавилоняне начали ставить два «клинышка» в числе, как мы сейчас ставим 0 на
месте некоторых разрядов.
Однако два «клинышка» не были единственным обозначением. На табличке
приблизительно 700 года до н.э., найденной в городе Киш (древний город
Междуречья на востоке Вавилона, ныне юг Ирака), используется другое
обозначение, а именно три «крючка». Есть одна общая черта в их использовании.
Состоит она в том, что эти символы никогда не встречаются в конце числа, но
всегда между двумя другими цифрами. Можно предположить, что былое «чувство
контекста», достаточное для понимания, все еще играло свою роль.
Если эта связь с контекстом кажется Вам глупой, то стоит заметить, что мы до
сих используем контекст для интерпретации чисел. Если я еду на автобусе до
ближайшего города и спрашиваю, какова стоимость, то, получив ответ «три
пятьдесят», я понимаю, что речь идет о трех фунтах пятидесяти центах. Если же я
получу такой же ответ на вопрос о стоимости перелета из Эдинбурга в Нью-Йорк,
то, очевидно, будут подразумеваться триста пятьдесят фунтов.
Таким образом, мы видим, что изначально ноль не использовали как
самостоятельное число, но лишь как некий пунктуационный знак, помогающий
правильно интерпретировать число.
Древние греки начали развивать математику приблизительно в то же время,
когда вавилонские математики перешли к использованию ноля как индикатора
пустого места в разряде числа. Однако греки не переняли эту разрядную систему.
Этот факт кажется удивительным! Как могла Греция с её выдающимися
достижениями в области математики не принять вавилонской системы со всеми её
преимуществами? В действительности это очень тонкий вопрос, но если говорить
просто, то математика Древней Греции основывалась главным образом на
достижениях геометрии. Хотя Начла Евклида и содержат книгу по теории чисел, её
фундаментом является геометрия. Другими словами, у греческих математиков не
было необходимости называть числа, так как они работали с длинами отрезков.
Числа, требующие названия для записей, использовались купцами, но не
математиками, а потому не требовали строгой теории.
Тем не менее, были и исключения. Это математики, оперировавшие с
астрономическими данными. Здесь мы находим первое использование символа
ноля, каковым он является в наши дни, так как именно греческие астрономы
начали использовать символ 0. Существует множество версий, почему было
выбрано именно такое обозначение. Некоторые историки склоняются к тому, что
это омикрон, то есть первая буква греческого слова ничто – ouden. Нейгебауер
однако не соглашается с этим объяснением, так как греки уже использовали
омикрон для записи числа 70 (греческая числовая система основывалась на
алфавите). Согласно другим версиям, жизнь символу нуля дало слово «обол»,
монета, почти не имеющая ценности. Или же этот символ возникал, когда вели
подсчеты, используя песочную доску. Предполагается, что оставался отпечаток в
виде ноля после того, как монеты удалялись из песка.
Птолемей в Альмагесте (около 130 года н.э.) использует вавилонскую
шестидесятеричную систему, где на пустом месте разряда пишется 0. Птолемей
употребляет его как между другими числами, так и в конце, что приводит к мысли
о том, что ноль как символ пустого разряда окончательно утвердился. На самом
деле дело обстояло иначе. Лишь некоторые астрономы использовали это
обозначение, и оно появлялось и исчезало вновь прежде, чем успевало
самоутвердиться. Позже идея нуля - пустого места (который не выступал у
Птолемея как самостоятельное число, но как пунктуационный знак) возникает в
индийской математике.
Главным местом действия теперь становится Индия, где зародились цифры и
числовая системы, которые дали начало используемым в наши дни. Разумеется,
нельзя сказать, что индийцы ничего не переняли из более ранних систем, и многие
историки математики считают, что они позаимствовали ноль у греческих
астрономов. Наряду с историками, которые хотят чрезмерно умалить значение
индийских математиков, существуют и такие, которые заведомо преувеличивают.
К примеру Мукхерджи заявляет:
… математическое понятие ноля … появляется в спиритической форме в
Индии 17000 лет назад.
Можно сказать наверняка, что ноль как число начал использоваться в Индии
около 650 года н.э. Индийцы также использовали разрядную числовую систему, и
ноль использовался для обозначения пустого разряда. В действительности есть
доказательство использования ноля как индикатора пустого разряда, начиная с 200
года н.э., но некоторые историки считают их более поздними подделками. Давайте
сначала проследим историю этого его использования, так как это логически
продолжает наши рассуждения.
Около 500 года н.э. Ариабхата разработал разрядную числовую систему, все
еще не имевшую ноля. Он использовал слово «kha» в разрядах, которое
впоследствии стало производным слова «zero». Есть доказательства того, что в
ранних индийских манускриптах для обозначения пустого разряда ставили точку.
Любопытно, что в тех же текстах можно встретить точку как символ неизвестной
переменной, так же как икс в наши дни. Поздние индийские математики поразному называли ноль в разрядах чисел, но не обозначали его никаким символом.
Первая общепризнанная работа, использовавшая ноль, датируется 876 годом.
Мы видим надпись на каменной табличке, которая содержит дату,
соответствующую 876 году. Речь идет о городе Гвалиор (400 км на юг от Дели), где
были разбиты сады 187 на 270 хаст, которые должны были обеспечивать
достаточное количество цветов для ежедневного возложения 50 венков в местный
храм. Оба числа – 270 и 50 – записаны так же, как и сейчас, хотя ноль несколько
меньше и слегка приподнят.
Итак, мы понемногу приблизились к вопросу о появлении ноля как
самостоятельного числа. Сразу отметим, что ноль не является в каком бы то ни
было смысле естественным «кандидатом» в числа. С древних времен числа суть
слова, обозначающие некоторое количество предметов. Конечно же, понятие числа
становилось все более и более абстрактным, и именно эта абстракция позволяет
ввести ноль и отрицательные числа, которые не возникают естественным образом
при описании свойств наборов объектов. Разумеется, возникает одна проблема,
когда пытаются рассматривать ноль и отрицательные числа как числа: насколько
корректно они введены относительно арифметических операций сложения,
вычитания, умножения и деления. В трех фундаментальных работах индийские
математики Брахмагупта, Махавира и Бхаскара попытались преодолеть это
затруднение.
Брахмагупта в 7 веке н.э. сделал попытку увязать понятия ноля и
отрицательных чисел с арифметическими операциями. Он объяснил, что если из
числа вычесть само же это число, то получим ноль, и привел следующие правила
сложения с нулем:
Сумма нуля и отрицательного числа – число отрицательное, нуля и
положительного – положительное, сумма нуля и нуля равна нулю.
Вычитание несколько сложнее:
Если из нуля вычесть отрицательное число, то получим положительное, если
вычтем из нуля положительное, то получим отрицательное. Если вычтем из
отрицательного числа ноль, то получим отрицательное число, если вычтем из
нуля положительное число, то получим положительное число. Если из нуля
вычесть ноль, получим ноль.
Брахмагупта утверждает, что любое число, умноженное на ноль, даст ноль, но
встречает трудности, когда речь заходит о делении:
Положительное или отрицательное число, деленное на ноль, есть дробь с
нулем в знаменателе. Ноль, деленный на положительное или отрицательное число,
есть ноль, что можно выразить как дробь с нулем в числителе и ограниченной
величиной в знаменателе. Ноль, деленный на ноль, дает ноль.
На самом деле Брахмагупта говорит очень немногое, когда предлагает n,
деленное на ноль, считать дробью n/0. Очевидно, здесь он прилагает большие
усилия. Разумеется, он заблуждается, когда говорит, что ноль, деленный на ноль,
есть ноль. Однако это первая блестящая попытка человека, известная нам,
расширить арифметику до отрицательных чисел и нуля.
В 830 году, примерно через 200 лет после того, как появился шедевр
Брахмагупты, Махавира написал Ганита Сара Самграха, которая являлась
доработкой книги Брахмагупты. Махавира справедливо утверждает, что
… число, умноженное на ноль, есть ноль, и число не изменится, если из него
вычесть ноль.
В то же время, кажется, его рассуждения о делении на ноль привели его к
ошибке. Он пишет:
Число не меняется при делении на ноль.
Так как это утверждение заведомо ложно, то фраза «кажется … привели его к
ошибке» может несколько смутить. Причина именно такой формулировки состоит
в том, что некоторые комментировавшие труды Махавиры пытались найти
оправдание этому неверному утверждению.
Бхаскара написал свой труд более 500 лет спустя после Брахмагупты.
Несмотря на столь длительный промежуток времени, он также затрудняется в
объяснении деления на ноль. Так, он пишет:
Величина, деленная на ноль, становится дробью с нулем в знаменателе. Эта
дробь называется бесконечной величиной. Эта величина состоит из величины,
имеющей ноль в качестве делителя, она постоянна, несмотря на то, что к ней
можно многое добавить и многое из нее извлечь, так же как бесконечен и
неизменен Бог даже тогда, когда создаются или прекращают существовать
целые миры и множество существ поглощается либо «извергается».
Итак, Бхаскара пытался разрешить задачу, написав n/0=∞. На первый взгляд,
кажется, что он прав, но, разумеется, это не так. Если бы это было верным, то тогда
0 раз по ∞ равнялось бы любому числу n и все числа были бы равны между собой.
Индийские математики не могли прийти к заключению, что на ноль делить нельзя.
Бхаскара, тем не менее, корректно определил другие свойства нуля, а именно: 02 =
0 и √0 = 0.
Возможно, следует отметить, что существовала еще одна цивилизация,
создавшая разрядную систему с нулем. Речь идет о народе Майя, жившем в
Центральной Америке на территории нынешних Южной Мексики, Гватемалы и
Северного Белиза. Это древняя цивилизация, наивысший расцвет которой
пришелся на период между 250 и 900 годами н.э. Известно, что к 665 году у них
была разрядная числовая система с основанием 20 и символом для нуля. Однако же
ноль начал использоваться значительно раньше, чем появилась эта система. Это
величайшее достижение, которое, к сожалению, не оказало никакого влияния на
другие народы.
Блестящие работы индийских математиков перешли мусульманам и арабам
далеко на запад. Аль-Хорезми написал труд Книга об индийской арифметике, в
которой описывается индийская система чисел, использовавшая 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 и 0. Это была первая работа, в которой арабы применили ноль в качестве символа
пустого разряда. Ибн Эзра в 12 веке написал три трактата о числах, которые
помогли некоторым ученым Европы обратить внимание на индийские символы и
идею десятичных дробей. В Книге о числе описана десятичная система для целых
чисел, с возрастанием разрядов слева направо. Ибн Эзра использует ноль, называя
его «галгал» (что означает колесо или круг). Немного позже Аль-Самавал писал:
Если из нуля вычесть положительное число, то получим такое же
отрицательное. …если из нуля вычесть отрицательное число, то получим такое
же положительное.
Идеи индийских математиков распространились как на восток в Китай, так и
на запад в исламские страны. В 1247 году китайский математик Чин Чиу-Шао
написал Математический трактат в 9 частях, в котором мы встречаем 0 в
качестве символа нуля. Некоторое время спустя, в 1303 году, Жу Шиджи написал
работу Нефритовое зеркало четырех элементов, в которой вновь встречается
такой символ.
Фибоначчи сыграл значительную роль в том, чтобы эти новые идеи Индии
дошли до Европы. О нем пишут:
Важным звеном между индо-арабской числовой системой и европейской
математикой является итальянский математик Фибоначчи.
В Книге абака около 1200 года он описал индийские символы и ноль, но после
этого они еще долгое время не получали распространения в Европе. Удивительно,
что Фибоначчи не хватило смелости рассматривать ноль в качестве
самостоятельного числа, как остальные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Так, при
упоминании нуля, он употребляет слово «знак», тогда как остальные символы он
называет числами. Хотя и предельно ясно, что появление индийских чисел в
Европе имело огромное значение, очевидно, что Фибоначчи не проникает в
понятие нуля так глубоко, как индийцы Брахмагупта, Махавира и Бхаскара или
арабские математики, такие как Аль-Самавал.
Казалось бы, что начиная с этого времени развитие системы чисел в целом и
нуля в частности должно было бы быть равномерным. Тем не менее, все обстояло
иначе. Кардан сумел решить кубическое и квадратное уравнения, не прибегая к
помощи нуля. Его вычисления были бы настолько более простыми, будь в его
рассуждениях ноль! К 1600-ым годам ноль вновь предпринимает попытку
широкого распространения, все еще наталкиваясь на массу трудностей.
И конечно, проблемы, связанные с нулем, до сих пор дают о себе знать.
Недавно, 1-го января 2000-го года, миллионы людей встретили новое тысячелетие.
Но очевидно, что отмечали прошествие 1999 лет со дня утверждения календаря,
нулевого же года не существовало. Даже если об этом и забыть, все равно
удивляет, почему большинство людей, кажется, не понимает, что третье
тысячелетие и 21-ый век начинаются первого января 2001 года! Ноль все еще
усложняет нашу жизнь!