Устный счет – один из важных приемов

Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2013
Точные науки (от 14 до 17 лет)
Устный счет – один из важных приемов
при подготовке учащихся к ЕГЭ и ГИА по математике
Кисельман Екатерина, 16 лет
ученица 11 класса
Руководитель работы:
Нурисламова Маргарита Афанасьевна,
Учитель математики,
МБОУ «Гимназия №2»
г. Заозерный Красноярского края
2013год
Аннотация
Научиться быстро считать не так уж сложно, а учащимся, которым предстоит
сдавать ЕГЭ и ГИА по математике, просто необходимо владеть основными
приемами быстрого счета.
Работа состоит из четырёх частей: первая часть позволяет познакомиться с
компонентами вычислительной культуры учащихся, во второй части представлена
диагностика навыков быстрого счета
учащихся, в третьей части работы мы
знакомим с техникой вычислений, приемами
и способами быстрого счета, в
четвёртой части представлена повторная диагностика навыков быстрого счета.
В работе рассмотрены способы быстрого устного счета, рассчитанные на ум
"обычного" человека и не требующие уникальных способностей. Главное - более
или менее продолжительная тренировка.
Оглавление
Введение…………………………………………………………………………………. 4
1. Компоненты вычислительной культуры …………..………………………………...7
2. Диагностика навыков быстрого счета учащихся……………………………………10
3. Упрощённые приёмы устных вычислений………………………………………….15
3.1 Умножение двузначного числа на 11………………………………………………15
3.2 Умножение числа на 111, 1111 и т.д. ……………………………………………...17
3.3 Алгоритмы ускоренных вычислений.…………………………………………….18
3.4 Способы устного возведения в квадрат.…….……………………………………..21
3.5 Интересные способы устных вычислений…………………………………………24
3.6 Рекомендации для учащихся, желающих научиться быстро считать……………25
4. Повторная диагностика навыков быстрого счета учащихся……………………….26
Заключение……………………………………………………………………………….28
Список
литературы……………………………………………………………………29
4
Введение
Незнающие
пусть
научатся,
а знающие - вспомнят ещё
Античный
раз.
афоризм.
В повседневной жизни, когда дорога каждая минута, очень важным является
умение быстро и рационально произвести вычисления устно, не допустив при этом
ошибки и не используя при этом никаких дополнительных средств (калькулятор,
ручка и листочек). Школьники сталкиваются с такой проблемой повсеместно: и в
школе на уроках, и в домашних условиях, в магазине и т.п.
В связи с введением обязательного ЕГЭ и ГИА по математике возникает
необходимость научиться решать быстро и качественно задачи базового уровня.
При этом необыкновенно возрастает роль устных вычислений и вычислений
вообще, так как на экзамене не разрешается использовать калькулятор и таблицы.
Многие вычислительные операции, которые мы обычно записываем в ходе
подробного решения задачи, в рамках теста совершенно не требуют этого.
Гипотеза исследования заключается в следующем: изучив рациональные приемы
вычислений, учащиеся смогут более успешно сдать ЕГЭ и ГИА по математике.
Объект исследования: использование методов и приёмов быстрого счета для
математического развития школьников.
Предмет исследования: нестандартные приёмы и навыки быстрого счета при
подготовке к ЕГЭ и ГИА по математике.
Цель данной работы: изучить некоторые рациональные приемы вычислений
и научиться применять их при подготовке к ГИА и ЕГЭ по математике
повседневной жизни.
и в
5
Для достижения поставленной цели предполагается решение следующих задач:
1.
Изучить литературу по данной теме.
2.
Провести диагностику навыков быстрого счета у учащихся.
3.
Освоить различные приемы быстрого счета и научиться их использовать.
4.
Провести мастер-классы «Приемы быстрого счета».
5.
Опытным путем установить: способствуют ли знания рациональных приемов
быстроте вычислений.
В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера
умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни
в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом
гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления
вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в
профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика
для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в
кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Школьникам, которые из
урока в урок привыкли производить вычисления на калькуляторе, трудно
приходится на ЕГЭ и ГИА.
Именно поэтому, данную тему я считаю актуальной и, изучив все её аспекты,
я обязательно научу приемам быстрого счета всех желающих.
Термин «устные вычисления» не означает, что всякое из предложенных
упражнений следует выполнять только устно, важно большую часть
вычислительной работы делать без записей или при наименьшем возможном
их количестве.
Новизна
алгоритмов,
исследования
методов
и
заключается
приёмов
в
создании
вычислений,
системы
нацеленных
на
применения
повышение
вычислительной культуры учащихся, рациональность вычислений, подготовку к
успешной сдаче ЕГЭ и ГИА по математике. Кроме того, обучение устному счету
6
вносит вклад в развитие интеллектуальных способностей учащихся. Устные
вычисления способствуют развитию памяти, создают условия для развития
быстроты реакции и формируют стремление к поиску рациональных способов
решения, воспитывают умение сосредоточиться, что помогает в изучении других
дисциплин.
7
1.Компоненты вычислительной культуры
Счёт и вычисления – основа порядка в голове.
Иоганн Генрих Песталоцци
Всем
известно,
какую
роль
в
школьном
курсе
обучения
имеют
вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике,
химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычислений.
Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Ранее он
сводился в основном к вычислениям, поэтому за ним закрепилось название «устный
счет». Ярким примером тому является картина Николая Богданова-Бельского
«Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского».
8
Картина была написана в 1895г., то есть более 115 лет назад. Мальчики собрались
около классной доски и что-то рассматривают. Ясно, что эта картина не из нашей
школьной жизни. Вот и надпись на картине
61895 год – время старой
дореволюционной школы.
Все ребята решают пример, который предложил им учитель:
(10  10 + 11  11 + 12  12 + 13  13 +141  4): 365.
Как видно, каждое из чисел 10, 11, 12, 13, 14 нужно умножить само на себя,
результаты сложить, а полученную сумму разделить на 365.
Квадраты чисел 10, 11, 12, 13, 14 знает почти каждый ученик. Это: 100, 121, 144,
169, 196.Сложим первые три числа: 100,121, 144. Получим 365. Если сумму первых
трех чисел разделить на 365, получится один. Теперь сложим остальные два числа:
169 и 196, получим 365. Сумму последних двух чисел разделим на 365, получим
один. И в итоге получится два. Для решения этого примера надо знать, что сумму
можно делить не сразу всю, а каждое слагаемое в отдельности или же по
группам в два-три слагаемых, а потом уж сложить получившиеся результаты.
9
Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. Учитель –
это Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, доктор
естественных наук, профессор ботаники Московского университета. В 1868 г. С.А.
Рачинский решает «уйти в народ». На свои средства открывает школу для
крестьянских детей в Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его
ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы.
Это картина гимн учителю и ученику.1
Трудно, а может быть даже невозможно дать исчерпывающее определение
музыкальной культуры человека или его культуры мышления, да и вообще понятие
культуры вряд ли поддается однозначному определению. Можно лишь попытаться
выделить те элементы, наличие которых является необходимым признаком
культуры. Учитывая это, будем считать, что наличие у учащихся вычислительной
культуры характеризуется следующей совокупностью признаков:
 Прочное и осознанное знание законов арифметических действий;

Уверенное владение алгоритмами основных операций над рациональными
числами;

Умение эффективно сочетать устные, письменные вычисления;

Применение рациональных приемов вычислений;

Выработка потребности и умений осуществлять самоконтроль;

Умение по условию задачи определить, являются ли исходные данные
точными или приближенными.
Многие навыки, сопутствующие вычислениям, неизбежно требуются и в быту,
и в школьной практике. Так, нередко, может потребоваться замена числа, близким
ему числом, например 5740  6 тыс., представление числа в эквивалентной форме,
например 25% - это 0,25, то есть четверть, сравнение чисел на основе качественных
оценок.
1
Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике. М.: Мнемозина, 2006 г.
10
2. Диагностика навыков быстрого счета учащихся.
Практика
показывает,
что
многие
учащиеся
не
владеют
прочными
вычислительными навыками, допускают различные ошибки. То ли думать им лень
(зачем загружать себя лишней работой, если есть калькуляторы), то ли в свое время
их этому никто не научил. Приемов рациональных вычислений в учебниках
практически нет. Сложные формулы и алгоритмы школьной программы все дальше
и дальше уводят учеников от простых, понятных навыков устного счета.
Результаты проверки знаний школьников, проводимых Центром оценки
качества образования ИСМО РАО в различных регионах нашей страны, не радуют:
 почти четверть детей, окончивших начальную школу, ошибаются
при вычислении значений числовых выражений, например, 960 
60; 5708 : 18; (120 + 24) : (4  3);
 около 40% шестиклассников не могут округлять натуральные
числа и десятичные дроби; около 20% не осиливают вычислений с
дробями, например, 10,3 – 3  (0,4 + 2,8);
 почти 30% семиклассников неправильно определяют наименьшую
среди данных дробей, например, таких как:
3
8
, 0,7, , 0,8; ошибаются в вычислениях, например,
4
7
 1,5  1
; 3  (-0,4) – 10.
2,5
Как известно, особенно учащиеся старших классов, давно не упражнявшиеся в
устном счете, потеряли навык устных вычислений и не имеют возможности сделать
простые расчёты без помощи калькулятора, что негативно сказывается как на
результатах ЕГЭ, так и на самой успеваемости.
11
Мы попытались выяснить, как обстоят дела с вычислениями среди учащихся
нашей гимназии.
Проанализировав результаты экзаменов в форме ЕГЭ по
математике в 11 классах в 2011 и 2012 гг., мы выявили, что наибольшее количество
ошибок учащиеся допускают при выполнении заданий на вычисления и
преобразование алгебраических выражений (Задания В 1; В 2; В 3; В 4и др.) В 2011
году в тестировании приняли участие 22 ученика, в 2012 году – 24. На диаграммах
показано количество ошибок, допущенных учащимися.
Анализируя экзаменационные работы учащихся 9 классов, мы сделали вывод,
что многие ребята испытывают трудности в переводе числовой информации из
одной формы в другую, например,
3
1
1
 0,3 ( – это примерно 33%), 7 
= 0,06,
20
3
3
10-5 = 0,00007; редко используют потенциал преобразования числовых выражений
12
(свойства арифметических действий, основное свойство дроби и прочее). Из всего
сказанного
следует,
вычислительными
что
учащиеся
стратегиями
недостаточно
(сочетанием
уверенно
устных,
владеют
письменных
и
инструментальных вычислений), пренебрегают промежуточным контролем и
проверкой правдоподобия результата. Ошибки в расчетах сбивают с пути,
намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на
осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей,
связанных с вычислениями.
Нередко даже высокомотивированные учащиеся к выходу на итоговую
аттестацию утрачивают навыки устного счета, сформированные в начальной школе.
Не секрет, что в средних классах мало внимания уделяется выполнению заданий
устного характера, т. е многие учащиеся теряют вычислительные навыки.
Прежде всего, мы провели
проверку знания таблиц сложения,
вычитания,
умножения и деления (независимо от того, пятый это класс или одиннадцатый). Для
диагностики была выбрана группа ребят из каждого класса по 15 человек.
Форма проверки – устный счет по карточкам и таблицам.
Результаты получились следующими:
На диаграмме показано количество ошибок, допущенных учащимися.
13
Затем мы посмотрели, как ребята выполняют вычисления по темам: «Действия со
степенями»; «Решение квадратных уравнений»; «Корень n – ой степени»;
«Логарифмы».
Результаты оказались следующими:
На диаграмме показано количество ошибок, допущенных учащимися.
Еще одна проблема современных учащихся, которая напрямую связана с
вычислительной культурой, нерациональность вычислений. На это мы обратили
особое внимание.
Для того чтобы выяснить, знают ли учащиеся нашей гимназии другие способы
выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления
«уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос среди
учащихся 5 – 11 классов. Ребятам были предложены следующие вопросы:
1.
Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические действия с
натуральными числами в уме?
2.
Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий кроме
умножения, сложения, вычитания числа столбиком, деления «уголком»?
3.
Хотели
бы
вы
научиться
технике
быстрого
счёта,
рационализации
вычислений?
По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев
современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме
14
таких как сложение, вычитание, умножение и деление «уголком», так как редко
обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.
Проводимые исследования показывают, что большое количество учащихся не
владеют навыками вычислительной культуры, допускают различные ошибки в
вычислениях. Типичные ошибки, полученные учениками на итоговой аттестации,
связаны с невнимательностью и легкомысленным отношением к так называемым
“простым задачам”. Это сказывается на результатах ЕГЭ и ГИА по математике.
Так нужно ли тратить время на то, чтобы научиться считать быстро,
рационально? Этот вопрос обсуждать нет смысла, так как устный счет позволяет
сосредоточить внимание, заставляет ученика слушать объяснения своих товарищей,
чтобы понять, как выполняются задания, учащиеся не только отрабатывают
вычислительные навыки, но и запоминают алгоритмы выполнения простых заданий
до автоматизма. Это позволит им выполнять более сложные задания, не затрачивая
времени и умственной энергии на то, чтобы вспомнить простое. Все гимназисты
хотели бы научиться технике быстрого счёта, рационализации вычислений.
Проанализировав ситуацию с «устным счётом» у учащихся нашей гимназии, я
решила сама изучить рациональные способы вычислений, те приёмы устного счёта,
которыми не владею (хотя понимаю, что всё изучить невозможно), и провести
мастер – классы «Приемы быстрого счета» для учащихся 5, 7 «А», 9 «А», 9 «Б», 11
классов.
15
3. Упрощённые приёмы устных вычислений.
3.1. Умножение двузначного числа на 11.

Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо
мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.
72  11 = 7 (7+2) 2 = 792;
35  11 = 3 (3+5) 5 = 385;
 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо
мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а
затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить
без изменения.
78  11 = 7 (7+8) 8 = 7(15)8 = 858.
94  11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034;
 Умножение числа на 11 (по Трахтенбергу).2
Разберем на примере: 633 умножить на 11.
Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.
Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой
цифры результата
633  11
3
Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со
своим правым соседом и записывается в результат. 3 + 3 будет 6. Перед тройкой
2
Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1998 г.
16
записываем результат 6.
633  11
63
Применим правило еще раз: 6 + 3 будет 9. Записываем и эту цифру в
результате:
633  11
963
Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой
результата:
633  11
6963
Ответ: 6963.

Умножение числа на 11 (по Берману).3
Берман вывел, что при умножении на одиннадцать, число нужно умножить на
10 и прибавить само себя, то есть то число, которое мы умножаем.
Пример: 110  11 = 110  (10 + 1) = 110  10 + 110  1 = 1100 + 110 =1210
Ответ: 1210.
Пример: 123  11 = 123  (10 +1) = 123  10 + 123  1 = 1230 + 123 =1353
Ответ: 1353.
3
Берман Г. Н. Приемы счёта. М.: Физматгиз, 2006 г.
17
3.2. Умножение числа на 111, 1111, 11111 и т.д.
 Умножение числа на 111, 1111, 11111 и т.д., зная правила умножения
двузначного числа на 11
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть
цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее
количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда
меньше количества единиц на 1.
Пример:
24  111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов – 2)
24  1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов – 3)
При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов.
Эти вычисления можно легко произвести в уме.
72  111111 = 7999992 (количество шагов – 5)
Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.
Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.
61х 11111111 = 677777771
Эти вычисления можно легко произвести в уме.

Умножение двузначного числа на 111, 1111, 11111 и т.д., сумма цифр
которого равна 10 или больше 104
Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого
множителя равна 10 или более 10.
Примеры:
4
http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224
18
48  111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328.
В этом случае к первой цифре надо прибавить 1. Получим 5.
Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.
56  11111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216
67 1111 = 6(6+7)…7 = 6(13)…7 = 74437
3.3. Алгоритмы ускоренных вычислений.

Умножение
на
числа близкие к 10, 20,30… справа и слева: 8, 9, 11, 12, 13; 18,19,21,22..
Примеры:
25 12=25 (10+2)=250+50=300;
11 36=36 (10+1)=360+36=396;
27 9=(30-3) 9=270-27=243,
27 9=(10-1)27=270-27=243.

Умножение чисел на 101 , 1001 и т.д.
Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа
это же число.
Примеры:
32  101 = 3232; 47  101 = 4747; 54  101 = 5454; 93  101 = 9393.
Интересным свойством обладает число Шехерезады. Оно является произведением
простых чисел 7, 11, 13. При умножении числа 1001 на любое трёхзначное число, в
ответе получается число, записанное дважды данным трёхзначным числом.
Пример. 1001 х 347 = 347 347.
На этом свойстве числа 1001 основаны многие математические «фокусы»
угадывания чисел.
19
Примеры:
324  1001 = 324 324; 675  1001 = 675 675; 869  1001 = 869 869.
Другие примеры:
6478  10001 = 64786478;
846932  1000001 = 846932846932.

Умножение чисел на 37.
Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и
таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить
на 3 и умножить на 111,
Примеры:
24  37 = (24:3)  37  3 = 8  111 = 888; 18  37 = 18 : 3  111 = 6  111 = 666.
быстрый счет умножение число

Умножение трехзначного числа на 999.5
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него
всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение:
первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а
остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9.
Например:
572
573  999 = 572 427
999

Умножение на 12 (по Трахтенбергу)
Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и
прибавлять к ней поочередно ее «соседа».
5
http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224
20
Пример: 63247  12
Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру
результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.
063247  12 дважды 7 будет = 14, переносим 1
4
063247  12 дважды 4 + 7 + 1 = 16, переносим 1
64
063247  12 дважды 2 + 4 + 1 = 9
964
Следующие шаги аналогичны.
Окончательный ответ : 063247  12
758964

Умножение на 12 (по Берману)
При умножении на 12 можно число умножить сначала на 6, а затем на 2.
6, в свою очередь, можно разбить на 2 множителя – это 3 и 2.
Пример : 136  12 = 136  6  2 = 816  2 = 1632 или
136  12 = 136  3  2  2 = 408  2  2 = 816  2 = 1632
21
3.4. Способы устного возведения в квадрат.
 Квадрат числа, оканчивающегося на 5.6
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 5, нужно отбросить эту
цифру 5, умножить полученное число на следующее натуральное число и к
полученному результату приписать 25.
Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат 95.
1. 9  10 =90
2. к числу 90 приписываем число 25, получаем 9025. Т.е. 952 = 9025;
Пример. 1352 → (13  14)→ к полученному результату припишем 25
Умножим устно 13 на 14 способом, описанным выше.
13  14= 17
+ 12
182→приписываем 25→18225, т.о. 1352=18225.
Пример. Аналогично и с десятичными дробями: 7,52 =56,25.
 Квадрат числа, близкого к 50.
При возведении в квадрат числа, близкого к 50, число 50 играет роль опорного
числа.
Алгоритм:
1. Определяется разность.
6
http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224
22
2. К этой разности прибавляется число 25.
3.
К полученному результату приписываются два нуля, а затем добавляется
квадрат разности.
Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат числа 47.
1. Число 50 - это опорное число. Тогда разность равна 47- 50= -3 <0. 25 + (3) = 22. Квадрат разности равен (-3)2=9.
2. 472=2200+9=2209.
Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат числа 64.
1. Число 50-это опорное число. Тогда разность равна 64- 50 = 14 >0.
2. 25 + 14 = 39. Квадрат разности равен 196. Следовательно,
642= 3900 + 196 = 4096.
 Квадрат числа, оканчивающегося на 1.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту
единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату
исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.
Пример. 712 = ?
71→70→702=4900→4900+70+71=5041=712.
 Квадрат числа, оканчивающегося на 6.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6
на 5, возвести новое число в квадрат (описанным ранее способом) и прибавить к
этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.
Пример. 562 =?
56→55→552=3025(5  6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 562.
23

Квадрат числа, оканчивающегося на 9.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру
9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из
этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.
Пример. 592 =?
59 → 60→602=3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 592.
 Квадрат числа, оканчивающегося на 4.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4
на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и
число, полученное заменой 4 на 5.
Пример. 842=?
84→85→852=7225(8  9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =842.
*При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой
(а  b)2=а2+b2  2аb.
Пример.
412 = (40+1)2=1600+1+80=1681.

Возведение в квадрат чисел, состоящих только из 1.
Вот несколько интересных образцов умножения, которые легко запоминаются и
могут быть использованы на ГИА и ЕГЭ.
11  11 =121
111  111 = 12321
1111  1111 = 1234321
11111  11111 =123454321
24
111111  111111 = 12345654321
1111111 1  111111 = 1234567654321
11111111  11111111 = 123456787654321
111111111  111111111 = 12345678987654321
3.5. Интересные способы устных вычислений

Чтобы умножить число на 1,5; 15; 150, нужно это число умножить
соответственно на 1; 10; 100 и к полученному произведению прибавить его
половину.
Пример. Найдем произведение чисел 66 и 1,5.
66  1,5 = 66 + (66 / 2) = 99.

Чтобы умножить какое-то число на 5; 50; 500, его нужно умножить
соответственно на 10; 100; 1 000 и полученное произведение разделить на 2. Число
нулей в произведении равно числу цифр в целой части множителя.
Пример. Найдем произведение чисел 74 и 50.
74  50 = (74  100) / 2 = 7400 / 2 = 3 700.

Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.
Пример. 214  4 = (214  2)  2 = 428  2 = 856
537  4 = (537  2)  2 = 1074  2 = 2148

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.
Пример. 124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31
2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное
число.
25
Пример. 241  9 = 2410 – 241 = 2169
847  9 = 8470 – 847 = 7623

Чтобы разделить число на 8,надо трижды разделить его на 2.

Чтобы умножить число на 25, надо умножить его на 100 и разделить
полученное произведение на 4.
3.6. Некоторые рекомендации для учащихся, желающих научиться быстро и
рационально считать:
 Возьмите себе за правило для начала 5-7 или даже менее вычислений в день, но
старайтесь выполнять их с улыбкой и неукоснительно! Не увеличивайте
нагрузку чаще раза в неделю. Попробуйте сделать эти вычисления фоном для
других занятий. При спокойном и положительном эмоциональном фоне
скорость и объем вычислений возрастут достаточно быстро сами собой.

Для лучшего и плавного привыкания к особенностям нагрузки при устном
счете советуем сначала проделать это упражнение так: записываем на бумаге
условия конкретного вычисления (скажем, 35*12), глядя на него, производим
устный расчет, и записываем итог на бумагу (для возможности проверки). При
таком подходе на начальном этапе легче набирать объем вычислений в расчете на
день (неделю и т.п.).

Важный признак и критерий - завершайте ваши занятия, когда еще
сохраняется "аппетит" на их продолжение. Это весьма и весьма способствует
созданию здорового психологического настроя в работе. Если вы будете ему
следовать, каждый миг занятий сможет стать для вас творчеством, познанием,
увлекательной игрой, в которую хочется играть все больше и больше... По
окончании вычислений желательно определиться по направленности занятий на
следующий день. Эти приемы весьма активно использовал и пропагандировал в
своей писательской деятельности Э. Хемингуэй.7
7
Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1989 г.
26

4.Повторная диагностика навыков быстрого счета учащихся
В своей работе мы рассмотрели лишь некоторые нестандартные приёмы устных
вычислений, способствующих развитию памяти и повышению математической
культуры учащихся.
Были проведены мастер-классы «Приемы быстрого счета» для учащихся 5,
7 «А», 9 «А», 9 «Б», 11 классов. В течение двух месяцев ребята на уроках и на
занятиях факультативов
(по договорённости с учителем) отрабатывали навыки
алгоритмов ускоренных вычислений, способы устного возведения в квадрат. После
чего была проведена повторная диагностика навыков быстрого счета у учащихся.
Для диагностики была выбрана группа ребят из каждого класса по 15 человек.
Результаты получились следующими:
На диаграмме видно, что количество учащихся, допустивших ошибки, стало гораздо
меньше.
Хочется ещё раз акцентировать внимание на том, что термин «устные
вычисления» означает применение рациональных приемов, алгоритмов ускоренных
вычислений, важно большую часть вычислительной работы делать без записей или
при наименьшем возможном их количестве. На основании исследований мы
сделали вывод о том, что знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся
необходимым
даже
при
полной
механизации
всех
наиболее
трудоёмких
вычислительных процессов. Работа, проведенная нами, доказывает, что знание этих
27
приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда учащийся не имеет в
своём распоряжении таблиц или калькулятора.
Мы создали подборку различных таблиц для устного счёта (в электронном
варианте) по большинству тем школьного курса математики и с большим
удовольствием поделимся данным материалом со всеми желающими.
28
Заключение
Математика – наука интересная и сложная, поэтому нельзя упускать ни одной
возможности, чтобы сделать ее более доступной. Возрастание роли математики в
современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и
активному участию в нем необходимо быть математически грамотным человеком.
Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно
разработанная система. Раз есть система, значит, ее можно изучать, ей можно
следовать, ею можно овладеть.
В процессе исследования была проделана следующая работа:
 Проведена диагностика навыков быстрого счета учащихся.
 В
результате анализа
различные
подобранной литературы найдены и
изучены
рациональные приемы вычислений.
 Проведены мастер-классы «Приемы быстрого счета» для учащихся 5,
7 «А», 9 «А», 9 «Б», 11 классов.
 Опытным
путем
установлено,
что
знание
рациональных
приемов
способствуют быстроте вычислений.
Я выбрала тему «Устный счет – один из важных приемов
при подготовке
учащихся к ЕГЭ и ГИА по математике» потому, что я хотела бы научиться считать
быстро и рационально, не прибегая к использованию калькулятора. В заключение
хочется сказать, что изучив некоторые рациональные приемы вычислений и
научившись применять их, можно более успешно подготовиться к сдаче ГИА и ЕГЭ
по математике, а также это необходимо и в повседневной жизни.
Как же справедливы слова Иоганна Гёте: «Счёт является, правда, низкой, но уже
идеальной деятельностью человека, и с помощью него столь многое осуществляется
в обыденной жизни»…
29
Список литературы
1. Балаян.Э.Н.1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике.
Ростов – на - Дону: Феникс,2005 г.
2. Берман Г. Н. Приемы счёта. М.: Физматгиз, 2006 г.
3. Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948.
4. Коликов А.Ф. Изобретательность в вычислениях. М.: Дрофа, 2003 г.
Сорокин А. С. Техника счёта. М.: Знание, 2010 г.
5. Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике. М.:
Мнемозина, 2006 г.
6. Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала ХIХ
столетия. М.: Наука, 2003г.
7. Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1989 г.
8. Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры.
Донецк: Сталкер, 2001 г.
9. Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.:
Учпедгиз.- 1998 г.
Интернет-ресурсы
1.http://karmanform.ucoz.ru/index/0-21
2.http://www.bymath.net/linktous/linkstous.html
3.http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224
4.http://sbiryukova.com/Met_pos/4_15_21.htm
5.http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/priemy-bystrogo-scheta-na-urokakh-
matematiki
6.http://www.5port.ru/perelman/bistriy_schet
30