Материал для ученика

1
История появления циклоиды
<…> Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564–1642) –
знаменитый итальянский астроном, физик и просветитель. Он же придумал
название «циклоида», что значит: «напоминающая о круге». Сам Галилей
о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают
ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие. Торичелли –
известный физик, изобретатель барометра – уделял немало времени
и математике. В эпоху Возрождения не было узких ученых-специалистов.
Талантливый человек занимался и философией, и физикой, и математикой
и всюду получал интересные результаты и делал крупные открытия. Немного
позже итальянцев за циклоиду принялись французы, назвавшие ее «рулеттой»
или «трохоидой». В 1634 году Роберваль – изобретатель известной системы
весов – вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и ее основанием.
Подробнее об этом, а также об открытиях других ученых, связавших свое имя
с циклоидой, мы расскажем ниже. А сейчас уделим немного места, так сказать,
предыстории циклоиды, – замечательным исследованиям древних мудрецов;
мы увидим, что эти исследования имели к циклоиде известное отношение.
Великий античный философ – «отец логики» – Аристотель из Стагиры
(384 – 322 годы до н. э.), занимаясь логическим обоснованием понятия
движения, рассматривал, между прочим, следующий парадокс. Пусть кружок,
изображенный на рис. 9 жирной линией, катится по прямой АВ.
Рис. 9. Парадокс Аристотеля.
Когда кружок этот сделает полный оборот, точка М вернется на прямую АВ
и займет положение М1. При этом, как мы знаем, отрезок ММ1 будет равен
длине «жирной» окружности. Рассмотрим начерченный кружок с центром О,
изображенный тонкой линией. Когда точка М придет в положение M1, этот
маленький кружок тоже сделает полный оборот и его точка К придет
в положение К1. При этом в каждый момент времени какая-то одна
единственная точка маленькой окружности совмещается с единственной же
точкой отрезка КК1. Каждой точке окружности соответствует единственная
точка отрезка и каждой точке отрезка – единственная точка окружности.
Поэтому напрашивается вывод: длина маленькой «тонкой» окружности равна
2
длине отрезка KK1 = ММ1, т.е. равна длине большой («жирной») окружности.
Итак, круги различных радиусов имеют окружности одинаковой длины!
В этом и состоит парадокс Аристотеля.
Ошибка здесь в следующем. Из того, что каждой точке окружности
радиуса ОК соответствует единственная точка отрезка КК1, вовсе не следует,
что длина этой окружности равна КК1. Так, например, на рис. 10 точки отрезка
АВ приведены при помощи лучей, проходящих через точку D, во «взаимно
однозначное» соответствие с точками вдвое большего отрезка СЕ, но никому
в голову не придет утверждать, что отрезки АВ и СЕ имеют одинаковую длину!
Это же относится не только к отрезкам прямых, но и кривых линий. Парадоксу
Аристотеля можно придать следующую, более грубую, а потому и более ясную
форму: рассмотрим две концентрические окружности (рис. 11). На них
«поровну» точек: соответствующие точки соединены на рис. 11 прямыми
линиями (радиусами). И все же никто не станет утверждать, что длины этих
окружностей одинаковы.
3
Рис. 9. Парадокс Аристотеля.
Сравнение рисунков 6 и 9 приводит нас к очень важному выводу.
Возможны два типа качения окружности по прямой. Один тип имеет то
свойство, что в любой момент времени (при любом положении производящего
круга) длина дуги К1А1 на рис. 6 равна длине отрезка КА1. Для другого типа
качения, изображенного на рис. 9, где малый круг радиуса ОК катится по
прямой КК1, это свойство не выполняется. В первом случае говорят, что
окружность катится по прямой без скольжения. Во втором говорят, что
окружность не только катится, но и скользит пo прямой АВ. Чтобы получить
циклоиду, нужно рассматривать качение без скольжения. О кривых, которые
получаются при качении со скольжением, мы расскажем позже.
Аристотель рассматривал именно то движение, которое через 1900 лет
привело Галилея к открытию циклоиды; но он не заинтересовался кривыми,
которые вычерчиваются точками окружности катящегося круга. Выдающийся
астроном античности, живший позже, – Птолемей Александрийский (II век н.э.)
– подошел к одной из «родственниц» циклоиды (так называемой
«эпициклоиде») значительно ближе.
4
Посмотрим теперь, какими нам представляются движения планет,
например Марса, по небесному своду. Когда Земля и Марс расположены, как
показано на рис. 12, и Земля из положения З переходит в положение З', а Марс
– из положения М в М', то наблюдателю на Земле будет казаться, что Марс
перемещается между звездами в направлении, обратном движению часовой
стрелки. Именно так обычно и выглядит движение Марса. Но в противостоянии
(рис. 13), когда Земля из положения З переходит в положение З', а Марс – из
положения М в положение М′, создается впечатление, что Марс движется среди
звезд по часовой стрелке. Эго «попятное» движение планет было известно
астрономам уже в глубокой древности.
Знал о нем и Птолемей. Но он считал Землю неподвижным центром
Вселенной и считал, что все планеты равномерно вращаются вокруг Земли.
В его времена считалось величайшим кощунством приписывать светилам
некруговое и неравномерное движение. Как же согласовать равномерное
круговое движение с фактически наблюдаемым время от времени (близ
противостояний) «попятным» движением планет? Хитроумный Птолемей
нашел следующий выход из положения.
Рис. 14. Птолемеева система мира.
Он допустил, что каждая из планет движется равномерно по небольшому
кружку, который он назвал «эпициклом» (слово «эпицикл» можно перевести порусски «надкруг»). Центр эпицикла в свою очередь движется равномерно
вокруг Земли. На рис. 14 изображена птолемеева система мира. Подбирая
радиусы эпицикла и большого круга («деферента»), Птолемей сумел хорошо
согласовать свою теорию с данными наблюдения. Даже полторы тысячи лет
спустя Коперник, поместивший в центр планетной системы Солнце, не решился
отказаться от равномерных вращений: и у него планеты двигались по
эпициклам, но центры эпициклов двигались не вокруг Земли, а вокруг Солнца.
Только очень тщательные наблюдения и измерения Тихо Браге показали
5
несостоятельность теории равномерных круговых движений и привели Кеплера
к открытию неравномерного эллиптического движения планет.
Что же представляли собою пути планет с точки зрения Птолемея? Это
были кривые, очень близкие к циклоиде.
Рис. 15. Эпициклоида Птолемея.
В случае циклоиды точка равномерно вращается по окружности, а центр
окружности, в свою очередь, движется по прямой (читатель сообразит сам, что
при этом получится та же самая циклоида, что и при качении окружности по
прямой). У Птолемея точка движется по окружности, а ее центр движется также
по окружности. Ясно, что получится кривая, близкая по своим свойствам
к циклоиде. Эту кривую называют эпициклоидой (рис. 15) Мы о ней еще будем
говорить. <…>
Источник: Берман, Г.Н. Циклоида / Г.Н. Берман.– М.: Наука, 1980.– 116 с.