- МГТУ ГА

75.1.3.2
Разработка рекомендаций, научно-образовательных и научно –
информационных материалов для самостоятельной
подготовки учащихся к олимпиадам
«Крупное научное открытие дает
решение крупной проблемы, но и в
решении любой задачи присутствуют
крупицы открытия…. Если вы решаете
ее собственными силами, то вы сможете
испытать
ведущее
к
открытию
напряжение ума и насладиться радостью
победы»
Д. Пойя
Рекомендации по подготовке
и написанию олимпиад
Выбор профессии для молодого человека одна из важнейших задач,
которую он решает с переменным успехом. Интерес к будущей профессии
зарождается в школьные годы. В этот период проявляются и активно
развиваются склонности, способности, таланты.
Для решения олимпиадных задач, как известно, требуются знания и
умения, не выходящие за рамки школьной программы. Решение этих
задач, как правило, не связаны с необходимостью выполнять громоздкие
вычисления. В то же время для решения олимпиадной задачи недостаточно
умения применять широко известного алгоритма. Это надо хорошо
понимать. Олимпиадные задачи требуют от учащихся ясного понимания
основных законов физики, подлинно творческого умения применять эти
законы для объяснения физических явлений, развитого ассоциативного
мышления, да и достаточной сообразительности.
1.3.2_42
В
России
занимательными
много
школьников,
математическими
которые
и
всерьёз
физическими
увлекаются
заданиями,
головоломками, задачами на сообразительность, на логику. Для таких
интересующихся ребят и девушек и проводятся всевозможные олимпиады.
В наши дни доступно много книг и интернет-ресурсов с большими
подборками олимпиадных заданий. Тем не менее надо помочь школьнику
в выборе порядка и интенсивности подготовки к олимпиадам, степени
освоения каждой изучаемой им темы. Чтобы, с одной стороны, охватить
все возможные типы олимпиадных заданий, с другой, каждый этот тип
изучить довольно подробно, с рассмотрением всех нюансов, подводных
камней, которых так много в заданиях олимпиадного типа, на то они и
олимпиадные.
Именно поэтому самому школьнику сейчас довольно сложно
разобраться со всем многообразием источников олимпиадных заданий.
Целью рекомендаций является помощь школьнику во всесторонней и
глубокой подготовкой к решению олимпиадных заданий. Выработки у
него правильного хода рассуждений, мысли при решении подобных задач,
уверенности в своих решениях. А также, что не маловажно, в
психологическом
настрое
на
олимпиаду,
умении
собраться,
сконцентрироваться в нужный момент при попадании в нестандартную
ситуацию, и успешно справиться со всеми возникающими трудностями.
Школьникам, желающим успешно написать олимпиаду, надо
начинать подготовку к ней как можно раньше. У многих эта подготовка
начинается с младшей школы через решение задач повышенной сложности
и других нестандартных школьных задач. В основном же, школьники
начинаю задумываться о подготовке к олимпиаде текущего года в сентябре
– октябре, когда появляется первая информация об олимпиаде. Ну что ж,
цель поставлена, сразу за работу!
1.3.2_43
Но готовиться к олимпиаде, не значит целыми днями сидеть,
обложившись книгами, и зубрить решения всех задач, которые появлялись
ранее. Нужно просто держать себя в форме: быть в курсе основных типов
задач, методов их решения и время от времени проверять себя. Впрочем,
если школьник будет читать эти советы, уже говорит о том, что
математика ему интересна и что он следит за новостями из её мира.
В дальнейших материалах будут собраны задания по темам, типам,
сложности. Последовательно пытаясь решить их, разбирая некоторые
решения, школьник шаг за шагом будет повышать свой олимпиадный
уровень и будет готов решать всё более и более сложные задачи. Главное,
сразу после прочтения условия задачи столкнувшись с трудностью ее
решения не смотреть тот час же в ответ и решение, а всё же пытаться
решить её самому. Для этого желательно вспомнить решения предыдущих
заданий, может какие-то ранее встретившиеся методы пригодятся и в этой
задаче. К тому же, не надо на олимпиадную задачу отводить какое-то
определённое время. Вполне нормально решать задачу периодически
время от времени в течении недели или более, пока вы едете в транспорте
или идёте в школу.
Конечно, на самой олимпиаде не будет возможности подумать над
задачей недельку – другую, но сейчас-то идёт этап подготовки, накопления
методов решения, опыта. Так что это вполне нормально, что решение
задачи
будет
растягиваться
на
продолжительное
время.
Главное,
перебороть себя и своё желание заглянуть в решение, чтобы проверить
свой не совсем уверенный ответ. Тренируйте свою силу воли и в решение
заглядывайте лишь тогда, когда вы абсолютно уверены в ответе и ни в
каких других случаях. Постепенно, с течением времени, задачи будут
решаться всё быстрее и быстрее и на самой олимпиаде вы уже сможет
уложиться в отведенное время.
1.3.2_44
В
день
перед
олимпиадой
стоит
отдохнуть,
почитать
развлекательную книжку, погулять на свежем воздухе. Пусть накопленные
знания улягутся в голове, чтобы назавтра прийти вам на помощь в нужную
минуту. И, конечно же, перед олимпиадой нужно хорошенько выспаться.
На олимпиаду следует приехать заранее, чтобы не в последний момент не
бежать на неё и не нервничать, что опаздываете. Лучше приехать на часок
пораньше и погулять около здания.
На олимпиаде ведите себя спокойно. Помните, что все задачи
конкурса проходили отбор предметной комиссии, и нерешаемых среди них
нет. Внимательно читайте условия, убедитесь, что вы не упустили или не
додумали
самостоятельно
какие-то
факты.
Не
торопитесь
писать
окончательные решения и ответ, напишите их сначала на черновике.
Иногда можно воспользоваться тем, что некоторые олимпиады проводятся
в форме тестовых заданий: для части задач решение можно найти
перебором
вариантов. Не торопитесь сдавать работу до истечения
времени, лучше ещё раз всё проверьте, заново прочтите "неполучившиеся"
задачи, возможно, теперь вы их уже сможете решить или существенно
продвинуться в их решении. Если какие-то задачи не получаются и больше
нет никаких мыслей, просто посидите несколько минут и отдохните, затем
снова принимайтесь за решения, на этот раз у вас обязательно появятся
новые идеи по их решению.
После олимпиады возьмите свой листок с условиями и задайте эти
задачи родственникам и одноклассникам, не принимавшим в ней участие.
Результаты олимпиады, как правило, объявляются через неделю или
две после олимпиады. Информацию можно найти на сайте олимпиады, по
телефонам оргкомитета олимпиады. Также все вопросы по олимпиадным
заданиям можно задать на просмотре работ, который проводится через
неделю – две после олимпиады. Там же можно посмотреть свою работу,
подробно узнать о своих ошибках и о том, на что следует обратить
1.3.2_45
внимание при дальнейших занятиях занимательными и олимпиадными
задачами.
Методические материалы для самостоятельной подготовки
школьников к олимпиадам
Сначала можно осуществлять подготовку на тестовых заданиях, с
несколькими вариантами ответов. Подобные задания будут подробно
представлены в 4 этапе и во избежание повторов здесь не приводятся.
Затем переходить к решению заданий без вариантов ответов. Огромные
подборки интереснейших и полезнейших для подготовки к олимпиадам
заданий собраны на интернет-сайтах http://intelmath.narod.ru/kangarooproblems.html, http://e-ypok.ru/book/export/html/287, http://www.problems.ru.
Задачи собраны по темам. Сначала идут довольно легкие задачи, но
постепенно их сложность возрастает. Часть задач уже требует довольно
глубоких и основательных математических знаний.
Олимпиадные задания
1. Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a2 + b2 + c2 = d2.
Доказать, что число abc делится на 4.
Решение. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа
дает при делении на 4 остаток 1. Если числа a, b, c — нечетные, то d2
должен давать при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Если среди
чисел a, b, c два нечетных и одно четное, то d2 должен давать при делении
на 4 остаток 2, что также невозможно. Значит, среди чисел a, b, c есть два
четных числа, откуда произведение abc делится на 4.Такое возможно,
например, 32 + 42 + 122 = 132.
1.3.2_46
2.
Докажите, что в любой компании найдутся два человека,
имеющие равное число знакомых в этой компании (если A знаком с B, то и
B знаком с A).
Решение. Пусть в компании k человек. Тогда каждый человек может иметь
от нуля до (k – 1) знакомых. Предположим противное: количество
знакомых у всех разное. Тогда найдется человек без знакомых, найдется
человек с одним знакомым, и так далее, наконец, найдется человек, у
которого (k – 1) знакомых. Но тогда этот последний знаком со всеми, в том
числе и с первым. Но тогда у первого не может быть ноль знакомых.
Получили противоречие.
3. Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей,
числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?
Ответ: можно.
Например,
4. Доказать, что для любых положительных чисел
a
и
b
выполняется неравенство
2 a + 33 b  55 ab .
Решение.
Сделаем замену
x = b1/15,
y = a1/10.
Тогда доказываемое
неравенство приобретает вид
2y5 + 3x5  5y2x3.
Деля на y5 и обозначая t = x / y, получаем 3t 5 – 5t 3 + 2  0. Разложим
левую часть на множители. Последовательно получаем
f(t) = (3t 5 – 3t 3) – (2t 3 – 2)  0,
3t 3(t 2 – 1) – 2(t – 1)(t 2 + t + 1)  0,
1.3.2_47
(t – 1)(3t 3(t + 1) – 2(t 2 + t + 1))  0,
(t – 1)(3t 4 + 3t 3 – 2t 2 – 2t – 2)  0,
(t – 1)((2t 4 – 2t 2) + (t 4 – t) + (t 3 – t) + (2t 3 – 2))  0
(t – 1)(2t 2(t 2 – 1) + t(t 3 – 1) + t(t 2 – 1) + 2(t 3 – 1))  0,
(t – 1)2(2t 2(t + 1) + t(t 2 + t + 1) + t(t + 1) + 2(t 2 + t + 1))  0,
(t – 1)2(3t 3 + 6t 2 + 4t + 2)  0.
Для t > 0 выражение в первой скобке  0, во второй скобке > 0. В итоге,
f(t)  0 для всех t > 0. Равенство нулю достигается лишь при t = 1, т.е.
при x = y, т.е. при a3 = b2.
5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L.
Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения
BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF
равна площади четырёхугольника EKFL.
Решение.
D
L
E
A
C
F
K
B
Имеем SADK = SALK, так как они имеют общее основание AK и равные
высоты, совпадающие с расстоянием между параллельными прямыми AB
и DC. SADE = SADK – SAEK = SALK – SAEK = SKLE. Аналогично, SBCF =
SKLF. Таким образом, сумма площадей треугольников ADE и BCF
равна площади четырёхугольника EKFL.
1.3.2_48
6. Решить уравнение в целых числах:
(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30.
Решение. Преобразовав данное уравнение, получим:
3(x – y)(y – z)(z – x) = 30 или (x – y)(y – z)(z – x) = 10.
Значит, целые числа (x – y), (y – z), (z – x) — делители числа 10, сумма этих
делителей равна нулю. Не трудно убедиться, что таких делителей у числа
10 нет.
7. Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным
числом сделали то же самое и так далее, 100 раз. Доказать, что в
результате получится нуль.
Решение. Так как
– (a + b + c) = 9  (11a + b), то первая разность делится
на 9. Сумма ее цифр делится на 9, значит, вторая, и, аналогично, все
остальные разности будут делиться на 9.
Сумма цифр трехзначного числа, делящегося на 9, может быть равна 9, 18
или 27. Значит, за 100 операций число либо станет равным 0, либо
уменьшится не менее чем на 900. Поэтому, любое число, меньшее 900,
станет равным нулю.
Пусть число не менее 900. Тогда после первого хода получится число,
кратное 9, от 900 – 9 = 891 до 999 – 27 = 972. Таких чисел 9. Перебором
можно убедиться, что они также обратятся в 0 через 99 операций.
8. Существуют ли всюду определенные функции f(x) и g(у), что для
любых х и у выполняется f(x)  g(y) = x + y – 1?
Решение. Пусть такие функции существуют. Тогда при любом y
при x = 0: f (0)  g (y) = y – 1,
при x = 1: f (1)  g (y) = y.
1.3.2_49
Очевидно, что f (0) ≠ 0, f (1) ≠ 0, отсюда
.
Это равенство выполняется не при всех y (при y = 0 оно неверно), значит,
таких функций не существует.
9. Решить уравнение
1 1  1  1  1  1  1  1 0.
x x  2 x  4 x  6 x  8 x 10 x 12 x 14
Решение. Подстановка y = x + 7 делает рассматриваемое уравнение
симметричным:
1  1  1  1  1  1  1  1  0.
y  7 y  5 y  3 y 1 y 1 y  3 y  5 y  7
Сгруппируем следующим образом




1  1    1  1    1  1    1  1  = 0.
y  7 y  7   y  5 y  5   y  3 y  3   y 1 y 1 
Это даёт
2y  2y  2y  2y  0 ,
y2  49 y2  25 y2  9 y2 1
то есть






1  1  1  1   0,
2y

y2  49 y2  25 y2  9 y2 1 
откуда y = 0, т.е. x =  7, или (после подстановки z = y2)
1  1  1  1  0.
z  49 z  25 z  9 z 1
Группируем




1  1    1  1   0 .
z  49 z 1   z  25 z  9 
Это даёт
1.3.2_50
48
16

0.
2
2
z  50 z  49 z  34 z  225
Сокращая на 16 и приводя к общему знаменателю, получаем
3(z2 – 34z + 225) + (z2 – 50z + 49) = 0
и, разумеется, z  1, z  9, z  25, z  49. Приводя подобные, имеем 4z2 –
152z + 724 = 0, откуда, сокращая на 4, получаем z2 – 38z + 181 = 0.
Корнями этого уравнения являются
z  y2 19  6 5 ,
откуда y   19  6 5 и, наконец, x  y  7  7  19  6 5 , причём
возможны различные комбинации знаков.
О т в е т: x =  7, x  7  19  6 5 .
10. В выпуклом четырёхугольнике ABCD с внутренними углами <
180о
точка
E – точка пересечения диагоналей,
F1, F2 – площади
треугольников ABE, CDE, F – площадь четырёхугольника ABCD.
Доказать, что
F1  F2  F
. В каком случае возможно равенство?
Решение.
C
D
F2
F4
F3
E
F1
A
B
Имеем F = F1 + F2 + F3 + F4. Доказываемое неравенство равносильно
тогда неравенству
1.3.2_51
0 F  F  F F F F .
1
2
1 2 3 4
После возведения в квадрат получаем, что последнее равносильно
неравенству
2 F F  F  F .
1 2 3 4
Треугольники ABE и ADE имеют одинаковую высоту, следовательно,
F1 BE

F4 DE
. Аналогично,
F3 BE

F2 DE
. Отсюда получаем
F1 F3

F4 F2
, так что F1F2 =
F3F4. Доказываемое неравенство сводится тогда к такому:
Это последнее неравенство очевидно, поскольку
( F3  F4 )2
F3 –
2 F3 F4  F3  F4 .
2 F3 F4
+ F4 =
 0.
Равенство достигается в случае F3 = F4. В свою очередь это равносильно
условию SABD = F1 + F4 = F1 + F3 = SABC. Но треугольники ABC и
ABD
имеют общее основание
AB,
следовательно, должны иметь
одинаковые высоты. А это выполняется в случае, когда AD параллельно
CD, т.е. когда ABCD – трапеция.
11. Докажите, что если котангенсы углов треугольника образуют
арифметическую прогрессию, то и квадраты сторон этого треугольника
образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Из теоремы косинусов: a2 – b2 = ac × cos B – bc × cos A.
Из теоремы синусов: bc = 2S / sin A, ac = 2S / sin B.
Из этих соотношений (и аналогичных им):
b2 – a2 = 2S × (ctg A – ctg B),
c2 – b2 = 2S × (ctg B – ctg C).
Так как котангенсы углов образуют арифметическую прогрессию, то
b2 – a2 = c2 – b2.
Значит,
квадраты
сторон
треугольника
образуют
арифметическую
прогрессию.
1.3.2_52
12. Доказать, что если натуральное число p = 100a + 10b + c делится
на 37, то и числа q = 100b + 10c + a и r = 100c + 10a + b также делятся на 37
(числа a, b, c — натуральные).
Решение. Пусть p = 100a + 10b + c = 37k.
Тогда q = 100b + 10c + a = 10p – 999a = 370k – 37 × 27a.
Значит, число q делится на 37.
Аналогично доказывается, что r = 100c + 10a + b делится на 37.
13. Найти наибольшее натуральное число n, для которого система
неравенств
1 < x < 2, 2 < x2 < 3, …, n < xn < n + 1
имеет решение. ( 6 баллов)
Решение. Ответ: n = 4.
Перепишем неравенства в виде:
В силу того, что рассматриваем положительные значения x, эта система
эквивалентна исходной.
Так как 35 > 63, то при n = 5 указанная система уже несовместна: интервалы
и
не пересекаются.
При n = 4 несложно подобрать значение x, удовлетворяющее всем четырем
неравенствам (например, x = 1,45).
1.3.2_53
14. Доказать, что для любых натуральных чисел m и n, больших
1, хотя бы одно из чисел
n;m и
m;n не превосходит
3;3 .
Решение. Ясно, что без ограничения общности можно считать, что m  n
 2.
m;n 
При этом
n;n .
В таком случае достаточно доказать
неравенство
n;n  3;3
или, другими словами, n1/n  31/3. Заметим, что для n = 2 неравенство 21/2
 31/3 верно, поскольку при возведении обеих частей в шестую степень
получаем
8 < 9.
неравенства
Вычисляя натуральный логарифм от обеих частей
Error! Reference source not found.,
достаточно доказать неравенство
функцию f(x) =
ln x
x
ln n
n

ln 3
3
получаем, что
для всех n  3. Рассмотрим
, x > 0. Имеем производную f (x) =
1  ln x
x2
. Если x  3
> e, то ln x > ln 3 > 1, следовательно, f (x) < 0. Это означает, что при x 
3 функция f(x) убывает, так что при n  3 выполняется f(n)  f(3), что
доказывает неравенство.
15. Доказать, что если все двугранные углы тетраэдра острые, то и
все плоские углы острые.
Решение.
Докажем сначала, что если все двугранные углы выпуклого
трёхгранного угла острые, то и все плоские углы острые. Доказываемое
утверждение будет следовать отсюда непосредственно. Действительно,
каждый плоский угол тетраэдра входит в какой-либо его трёхгранный
угол, все двугранные углы которого по условию острые. Следовательно, и
каждый плоский угол такого тетраэдра будет острым.
Пусть SABCD – данный выпуклый трёхгранный угол с вершиной S. Все
его плоские углы меньше 180, так как выпуклый трёхгранный угол
1.3.2_54
лежит внутри каждого своего двугранного угла. Двугранные углы B(SA)C
и B(SC)A – острые, поэтому проекция SH ребра SB на плоскость SAC
лежит между лучами SA и SC, т.е. внутри грани SAC (см. рис.).
B
S
A
H
C
Поскольку ASC <  180, то, по крайней мере, либо ASH < 90, либо
CSH < 90. Для определённости будем считать, что ASH < 90.
Через точку S проведём плоскость S SE, перпендикулярно прямой AS
(см. рис.).
S
D
S
B
E
A
H
Очевидно, трёхгранный угол SABH лежит внутри прямого двугранного
угла A(S S)E. Продолжим грань SBA до пересечения с плоскостью SSE
по прямой SD. Так как AS  SSE, то AS  SD, но ASB лежит внутри
прямого угла ASD. Следовательно, ASB – острый.
1.3.2_55
Таким образом, исходя из того, что ASC < 180 и ASH < 90, мы
получили, что ASB – острый. Повторяя эти рассуждения для ASB <
180, получим, что ASC < 90 и затем BSC < 90.
Для дальнейшей подготовки рекомендуется использовать материалы,
структурированные по конкретным олимпиадным темам. Во избежание
повторов и в методическом плане, множество подобных задач будут
приведены в третьем этапе.
1.3.2_56
Вариант отраслевой олимпиады МГТУ ГА
по математике
Когда школьники разберут большое число олимпиадных задач на
различные темы, у них уже сформируются довольно хорошие навыки
решения заданий олимпиадного типа. Далее, рекомендуется пробовать
решать целиком олимпиадные варианты, выделяя на решения этих задач
именно столько времени, сколько давалось на настоящей олимпиаде.
Причем обязательно надо выделить всё время целиком, не разбивая его на
отдельные части или дни. Всё положенное время надо использовать
полностью, не заканчивая написание варианта раньше, думая, что уже
больше ничего не решить. Если же все задачи сделаны ранее отведенного
времени, то оставшееся время необходимо посветить подробной проверке
всех задач, как и на настоящей олимпиаде.
В качестве примера предлагаем один из вариантов отраслевой
олимпиады МГТУ ГА. На решение предложенных задач отводится 3
астрономических часа.
Вариант по математике
1. В уравнении
( x5  2)  ( x  1)  ( x3 
)  ( x2  1)
одно число стерто и заменено точками. Найдите это число, если известно,
что один из корней уравнения равен единице.
2. В равенстве ( МГ + ТУ )  ГА = 2010 под русскими буквами
понимается одна из цифр от 0 до 9 включительно, причём одинаковым
буквам соответствуют одинаковые цифры, разным буквам соответствуют
разные цифры. Выражения МГ, ТУ, ГА, – это двузначные числа. Возможно
ли такое равенство?
1.3.2_57
3. Какой путь из точки (0;0) в точку (1;1) длиннее: по кривой
y  x2 , по кривой y  x или по кривой y  x3 ?
1.
После дождя муравей тащил две
прямые
палочки
в
муравейник.
Приблизившись к нему, муравей увидел,
что вокруг муравейника образовалась
канавка с водой в форме квадрата. Как
муравью переправиться через канавку,
используя только эти две палочки, если
ширина канавки 10 см, а длина
каждой палочки 9,5 см? Переплыть канавку на палочке не удастся, так
как в воде сидит голодная лягушка.
4. При каком наибольшем значении a выражение
a  2a  3a  4a  5a  6a 
 2009a  2010a
является квадратом натурального числа?
5. Федя шёл на встречу с Машей вниз по движущемуся эскалатору
метро. За время спуска Федя насчитал 20 ступенек. Спустившись вниз, он
вспомнил, что встретиться договорились сверху, и побежал обратно вверх
по этому же эскалатору (движущемуся вниз). За время подъёма Федя
насчитал 120 ступенек. Вверх он бежал в 4 раза быстрее, чем шёл вниз.
Сколько ступенек Феде пришлось бы пройти, если бы эскалатор стоял?
1.3.2_58
Решения и ответы варианта по математике
Задача 1
Заменив стертое число буквой a , получим уравнение:
( x5  2)  ( x  1)  ( x3  a)  ( x 2  1) .
По условию задачи число x  1 является корнем данного уравнения.
Подставим вместо переменной x единицу, получим уравнение на число a :
(15  2)  (1  1)  (13  a)  (12  1) ,
откуда,
3  2  (1  a)  2  a  2 .
Ответ: 2.
Задача 2
Разложим число 2010 на множители:
2010  2  3  5  67 ,
где числа 2, 3, 5, 67 – простые (натуральное число называется простым,
если оно имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и
самого себя).
По условию задачи число 2010 получается как произведение двух
чисел: МГ+ТУ и ГА. Если множитель 67 входит в разложение на
множители числа ГА, то число ГА равно именно 67, так число ГА должно
быть двузначным по условию задачи. Если множитель 67 входит в
разложение на множители числа МГ+ТУ, то число МГ+ТУ равно, либо
67 , либо 2  67  134 , так как число МГ+ТУ либо двузначно, либо
трехзначное с первой цифрой 1. Выпишем всевозможные варианты для
этих двух множителей с учетом вышесказанного:
1.3.2_59
МГ+ТУ
ГА
Разбор случая
30
67
Получаем, что Г=6, откуда, У=4 (сумма Г+У=30, то
есть оканчивается на 0), М=1, Т=1, а по условию М и Т
должны быть различными числами. Значит, этот
случай не подходит.
67
30
Г=3, отсюда, У=4 и, далее, МГ=13, ТУ=54, либо
МГ=53, ТУ=14.
134
15
Г=1, У=3. Здесь возможны 4 случая: МГ=41, ТУ=93,
либо МГ=91, ТУ=43, либо МГ=61, ТУ=73, либо
МГ=71, ТУ=63.
Итак, подходит один из следующих вариантов: МГТУГА = 135430,
419315, 531430, 617315, 716315, 914315.
Ответ: возможно.
Задача 3
Длины кривых y  x 2 и y  x от точки (0;0) до точки (1;1) равны,
так как данные функции являются обратными друг к другу в первой
координатной четверти и симметричны относительно прямой y  x .
Значит, для решения задачи достаточно сравнить длины кривых
y  x 2 и y  x3 .
При каждом значении переменной x от 0 до 1 расстояние по
пунктирной линии (см. рисунок) от точки на прямой y  x до кривой
y  x3 больше, чем расстояние от этой же точки по той же линии до
кривой y  x 2 .
1.3.2_60
Поэтому, путь из точки (0;0) в точку (1;1) по кривой y  x3
длиннее, чем путь по кривой y  x 2 .
Ответ: y  x3 .
Задача 4
Расстояние
по
диагонали
канавки
от
угла
до
угла
равно
CE  10  2  10 1,42  14,2 см. Первую палочку кладем наискосок,
образуя равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой
AB  9,4 (1 миллиметр ушел на то, чтобы палочка держалась на краях
канавки). Высота CD этого треугольника равна
9,4
 4,7 см. Расстояние
2
от середины D гипотенузы треугольника до угла островка, на котором
расположен муравейник, равно DE  14,2  4,7  9,5 . Значит, положив
вторую палочку по отрезку DE , муравей может перебраться.
1.3.2_61
Ответ: Предложенная на чертеже конструкция позволяет
муравью переправиться, объяснения в тесте.
Задача 5
Сумма первого и второго слагаемых равна  a , сумма третье и
четвертого слагаемых тоже равна  a и так далее. Всего пар слагаемых в
условии задачи
2010
 1005 . Поэтому вся сумма равна 1005a :
2
a  2a  3a  4a  5a  6a 
 2009a  2010a 
 (a  2a)  (3a  4a)  (5a  6a) 
 (a)  (a)  (a) 
 (2009a  2010a) 
 (a) 1005  (a)  1005a .
Вычисленная сумма должна равняться квадрату натурального числа,
то есть
1005a  N 2 , где N  1,2,3,4,5,...,
откуда,
N2
, где N  1,2,3,4,5,...
a
1005
1.3.2_62
При увеличении числа
N число a уменьшается (за счет знака минус
перед дробью), значит, наибольшее значение число a принимает при
12
1
.

N  1. Итак, наибольшее значение a  
1005
1005
Ответ: 
1
.
1005
Задача 6
Пусть Федя шёл вниз со скоростью x ступенек в минуту, эскалатор
ехал со скоростью y ступенек в минуту. На спуск Федя потратил
минут. За это время эскалатор проехал y 
20
x
20
ступенек. И еще 20 ступенек
x
Федя прошел. Значит, всего на эскалаторе было y 
20
 20 ступенек.
x
Вверх по эскалатору Федя бежал в 4 раза быстрее, чем шел вниз, то
есть со скоростью 4x ступенек в минуту. Скорость эскалатора не менялась
и составляла y ступенек в минуту. На подъём Федя потратил
За это время эскалатор проехал y 
было  y 
120
минут.
4x
120
ступенек. Значит, на эскалаторе
4x
120
 120 ступенек. Знак минус стоит из-за того, что Федя бежал
4x
вверх по движущемуся вниз эскалатору и ему пришлось преодолевать
некоторое дополнительное число "лишних" ступенек.
Итак, с одной стороны, на эскалаторе y 
другой,  y 
20
 20 ступенек, а с
x
120
 120 . Приравнивая последние два выражения, получаем
4x
уравнение
1.3.2_63
y
20
120
20
30
 20   y 
 120  y   20   y   120 
x
4x
x
x
 y
20
30
50
y
 y   120  20  y   100   2  y  2 x .
x
x
x
x
Подставляя полученную зависимость y  2 x в любое из выражений
для числа ступенек:
y
20
 20
x
или  y 
120
 120 ,
4x
получаем ответ 60 ступенек.
Ответ: 60.
1.3.2_64
Разработка рекомендаций и научно-образовательных
материалов для самостоятельной подготовки учащихся к
Олимпиадам по физике
Олимпиадные задания по физике отличаются от «обычных» задач
по
многим
параметрам.
Условия
задач
оригинальны
и
требуют
нестандартного мышления и высокого уровня эрудиции.
1-й тип задач использует условный мир идеализированных
моделей: материальных точек, невесомых и нерастяжимых нитей,
идеальных индуктивностей и емкостей и т. д. Кроме хорошего знания
законов физики, нужно еще знать маленькие хитрости, проявлять
изобретательность и смекалку, умение выбрать нетривиальный способ
рассуждения,
отказавшись
от
решения
«в
лоб»,
которое
или
нерационально, или вообще невозможно при использовании школьного
математического аппарата.
2-й тип — это задачи, приближенные к практике, родившиеся под
влиянием физического эксперимента, при наблюдении явлений природы и
т. п. В таких задачах рассматриваются реальные физические объекты.
Зачастую такие задачи носят оценочный характер. По существу, они
являются
небольшими
физическими
исследованиями,
прообразом
научного поиска. Для решения таких задач необходимо хорошо
ориентироваться в исследуемом явлении.
Для решения задач предлагавшихся на наших олимпиадах не
требуются сложных математических выкладок. Иначе обстоит дело на
международных олимпиадах.
3-й тип — экспериментальные задания. Экспериментальные
задания включаются на этапе областных олимпиад. К сожалению,
бедность наших физических кабинетов, которые не обновлялись десятки
1.3.2_65
лет, не позволяет качественно повысить знание при решении этого типа
задач.
По объективным причинам происходит селекция экспериментальных
задач, выполнение задания на простейшем оборудовании (что под рукой).
Вместе с тем простота задания и применяемых экспериментальных средств
часто оказывается достоинством, а не недостатком. Экспериментальное
задание предполагает несколько способов его выполнения, необходимо
провести анализ каждого их них, оценить точность полученных
результатов
и
выбрать
оптимальный
способ.
Тем
не
менее,
экспериментальные задачи международных олимпиад — это, как правило,
обширные
экспериментальные
современном
оборудовании
исследования,
с
выполняемые
использованием
на
современных
экспериментальных методик.
Совсем не легко давать какие-либо конкретные рекомендации по
подготовке к олимпиадам, воспитании олимпийца. Тем не менее, есть
несколько подходов при решении данной проблемы:

Успешная подготовка — это решение как можно большего
числа олимпиадных задач.

Успешная
подготовка
—
это
более
подробное
дополнительное изучение тем школьного курса. При этом не следует
решать сложные задачи. За сложностью решения может потеряться суть
явления. Сложные задачи можно подключить на заключительном этапе
подготовки.

Изучение различных методов решения задач.

Правда, возможен и комбинированный способ.
Задача любого учебного заведения - не только подготовить учащихся
к самостоятельному овладению знаниями, но и выработать потребность в них.
В ходе учебного процесса необходимо научить школьников приобретать эти
знания, так как современное производство требует такого количества
1.3.2_66
дополнительных знаний, которые можно приобрести лишь по мере
необходимости через справочники, специальную литературу и другие
документы в процессе самообразования.
Стратегическим направлением модернизации образования является
оптимизация системы управления учебной работой школьников, а также
процессами воспитания самостоятельности, ответственности и развития
творческих
способностей
в
рамках
организационной
структуры
профессионального образования.
Анализ педагогических исследований позволяет сделать вывод полноценные профессиональные умения формируются в процессе специально
организованной деятельности на основе приобретенных знаний. Только
активная самостоятельная деятельность учащихся создает условия для
развития личности будущего специалиста и профессиональных умений.
Школьники в процессе обучения должны получать задания, в которых они
сами определяют цель деятельности, выбирают необходимые средства и
методы для ее достижения, а так же осуществляют контроль и самоконтроль,
вносят необходимые коррективы.
Самостоятельность обучения является одним из средств повышения
эффективности обучения. Это связано с тем, что учебный материал по физике
за последние годы увеличился в 2-3 раза, а время на его изучение сократилось
в 1,5-2 раза. Соответственно, увеличено время, предусмотренное для
самостоятельной учебной работы. Школьникам предоставлена возможность
учиться в оптимальном для каждого темпе по индивидуальному графику
работы. Поэтому умело организованное самостоятельное изучение части
курса физики является необходимым условием полноценного изучения
физики.
Самостоятельная работа некоторых школьников, часть из которых не
приучены к ней и не имеют навыков поиска нужной информации,
обязательно должна осуществляться под руководством преподавателя и им
1.3.2_67
контролироваться. Для этого необходимо учитывать такие обязательные
структуры учебного процесса, как:
- обеспечение наличия всего необходимого учебно-методического и
справочного материала и доступа нему. Данный материал должен быть и в
печатной и в электронной версии;
- создание и внедрение системы регулярного контроля качества
выполняемой самостоятельной работы студентами (например, система
тестирования);
- реализация системы мобильной обратной связи: учащийся - учитель
(например, согласовывать работу со школьниками по результатам текущего
тестирования);
- разработка и внедрение обоснованной системы учета качества
выполняемой текущей работы в четверти при выставлении результирующей
оценки по дисциплине.
Организация учебного процесса, которая управляет самостоятельной
работой школьников, способствует формированию у них уверенности в своих
силах и способности к реальной самооценке. Учащиеся, получив свободу при
распределении собственного времени, имеют все необходимое для того, чтобы
эффективно распорядится этим временем.
Управление
самостоятельной
работой
учащихся
необходимо
реализовать за счет использования современных информационных технологий
и изменения характера работы учителя. Для развития у школьников
мотивации
к
самостоятельной
работе
нужны
современные,
научно
обоснованные учебные и методические пособия как средства, с помощью
которых они могут выстроить индивидуальную траекторию самообучения в
процессе самостоятельной деятельности.
Современные
реализовать
новый
инновационные
способ
технологии
организации
позволяют
учебного
учителю
процесса
и
профессионального общения, где текущий, итоговый и промежуточный
1.3.2_68
контроль знаний школьников проводится с помощью тестовых заданий в
компьютерном варианте. Теоретический материал, варианты задач, решение
и анализ предшествующих заданий, лабораторный практикум по физике
должны быть представлены не только в печатном, но и в электронном
варианте. Владея подобной информацией, учащийся получает возможность
сознательно и целенаправленно выбирать доступные средства и выстраивать
их в той последовательности, которая будет способствовать наиболее
эффективному выполнению задания.
Самостоятельная работа перестанет быть формальным звеном целого
педагогического процесса, когда она будет осознаваться самим школьником, в
качестве необходимого элемента собственного развития. Для этого при
организации самостоятельной работы, необходимо исходить из степени
готовности к ней каждого обучающегося и выстраивать систему заданий так,
чтобы в конечном итоге это привело к самоуправлению познавательной
деятельности самого учащегося.
Компьютерный контроль и тестирование являются современным
средством
повышения
эффективности
самостоятельной
работы
школьников. Как известно, в современной дидактике различаются понятия
«самостоятельная работа» и «самостоятельная деятельность».
В повседневной педагогической практике под самостоятельной
работой часто подразумевается изучение материала учащимся по учебному
пособию без всякого управления. В дидактике такая форма работы
называется самостоятельной деятельностью.
Под
самостоятельной
познавательную
деятельность
работой
в
дидактике
учащегося,
понимают
осуществляемую
под
опосредованным управлением преподавателя [*].
*
Давыдков
В.В.
Сущность
дидактического
понятия
"самостоятельная работа" // Научная организация учебного процесса. Вып.
124/2 / Новосибирский эл.-техн.ин-т. - Новосибирск, 1988. -С.3-9.
1.3.2_69
Таким образом, самостоятельная деятельность и самостоятельная
работа являются совершенно разными формами учебной деятельности,
каждая из которых имеет своё место в структуре учебного процесса.
Экспериментально доказано, что самостоятельная деятельность
целесообразна после того, как учащийся в процессе самостоятельной
работы или работы под непосредственным руководством преподавателя
усвоил не менее 70% подлежащей усвоению информации. Лишь после
прохождения этого уровня учащийся способен самостоятельно решить, что
важно, а что второстепенно и, в результате, самостоятельно достичь
требуемого уровня подготовки.
Также
экспериментально
доказано,
что
самостоятельная
деятельность на более ранних этапах вызывает у учащегося ложное
ощущение понимания изучаемой учебной информации задолго до
возникновения
ориентировочной
основы.
В
результате
школьник
прекращает занятия, не изучив должным образом необходимый раздел.
Узнает же об этом учащийся лишь при встрече с преподавателем, либо
когда пытается применить на практике получаемые знания.
Решить эту проблему можно, предоставив учащимся возможность
надлежащего самоконтроля в ходе изучения учебного материала.
Одной из форм самоконтроля может служить компьютерное
тестирование, которое позволяет достаточно объективно оценить качество
усвоения учебного материала.
Тестирование, осуществляемое в ходе изучения предмета, является
элементом опосредованного управления познавательной деятельностью
ученика, которое абсолютно необходимо на начальном этапе усвоения
учебной информации. Другими словами, тестирование, осуществляемое в
ходе изучения предмета, является важным элементом, способствующим
организации
самостоятельной
работы
и,
безусловно,
способствует
повышению её эффективности.
1.3.2_70
При этом тестирование можно эффективно использовать как для
промежуточного, так и для итогового контроля качества знаний
школьников.
Для
этого
необходимо
организовать
программу
усовершенствованной методики организации самостоятельной работы и
оценки деятельности школьников, ориентированную на то, что она
изначально ставит обучаемых в условия индивидуальных темпа обучения,
уровня обученности и контроля деятельности.
Например, в НГТУ основой такой методики является трехуровневая
система
сложности
заданий,
предлагаемых
при
обучении,
и
соответствующая ей трехуровневая система тестов, используемая для
оценки результатов деятельности школьников. Эти уровни можно
обозначить как 1) минимальный, 2) средний и 3) высокий. Каждый из них
практически
соответствуют
трем
уровням
усвоения:
1)
уровню
представлений, 2) уровню воспроизведения и 3) уровню трансформации.
Выполнение учащимся заданий определенного уровня позволяет оценить
результаты его деятельность некоторым баллом, максимальное значение
которого на первом уровне соответствует оценке «удовлетворительно», на
втором - «хорошо», на третьем - «отлично». Набор вопросов позволяет
формировать тесты самого различного назначения - тесты для защиты
лабораторных работ, тесты для самоконтроля и самообучения (т.е. для
самостоятельной работы), тесты для итогового контроля, тесты для
контроля остаточных знаний.
Физика является фундаментальной мировоззренческой дисциплиной,
методологической
специальных
основой
знаний,
приобретения
общепрофессиональных
социально-профессионального
опыта
и
и
формирования естественнонаучной культуры специалиста. В этой связи
развитие
существующих
и
поиск
новых
научно-методологических
подходов в преподавании курса общей физики на различных этапах
1.3.2_71
образования личности остается актуальной задачей общей и инженерной
педагогики.
Рациональное
сочетание
в
открытой
системе
непрерывного
физического образования традиционных и новых форм подачи учебного
материала с использованием компьютерных технологий
активизировать творческий
позволяет
потенциал личности ученика и студента,
предоставить широкий доступ субъектам образовательного пространства к
информации
научно
учебно-методического
характера,
эффективно
реализовать процедуры дистанционного и личное ориентированного
обучения.
Современный
уровень
развития
IT-технологий
и
средств
телекоммуникации дает возможность педагогической практике перейти от
автоматизированных
обучающих
систем,
локализованных
на
образовательное пространство отдельного учреждения (школы, техникума,
вуза), к созданию информационно-обучающей инфраструктуры поддержки
всех уровней системы непрерывного образования.
В рамках решения обозначенной задачи необходимо провести работу
по организации и обеспечению взаимодействия между образовательными
учреждениями всех типов с целью создания открытой информационной
среды
единого
образовательного
пространства
города
и
региона,
отвечающей требованиям федеральных стандартов нового поколения.
Основными приоритетами и задачами данного целевого проекта
являются:
1. Реализация моделей непрерывного физического образования с
использованием
современных
Web-технологий
и
процедур
дистанционного обучения.
2. Активное использование электронных образовательных ресурсов
(ЭОР) при реализации образовательных программ по дисциплине
«Физика»
в
учреждениях
начального,
общего,
среднего
1.3.2_72
профессионального и высшего образования с целью создания условий для:
• активной самостоятельной работы над учебными материалами,
позволяющей обучаемо выбирать удобную для него образовательную
траекторию;
• работы с моделями изучаемых объектов и физических явлений;
• автоматизированного поиска информации и оперативного доступа
к ней;
• проектирования учебного курса преподавателем посредством
выбора или создания блока электронных учебных модулей для локального
или всеобщего использования.
3. Использование
в
физическом
образовании
школьников
и
студентов рейтинговых процедур – дистанционных олимпиад, тестовых
технологий диагностики и контроля знаний.
4. Внедрение мониторинга эффективности и качества обучения
субъекта
на
всех
уровнях
системы
непрерывного
физического
образования.
5. Обеспечение
получению
равного доступа школьников и студентов
качественного
образования,
снижение
к
социальной
дифференциации, повышение образовательной мобильности субъектов
системы.
Обоснование приоритетов физического образования партнеров
(субъектов
обучения) определило
отечественных и зарубежных
необходимость проведения анализа
источников, посвященных проблеме
проектирования и создания учебных материалов нового поколения,
позволило
сформировать
типовую
структуру
учебно-методических
комплексов, составляющих единого образовательного пространства:
1. Введение в дисциплину (цель и задачи изучения, актуальность,
взаимосвязь с другими науками и дисциплинами, учебная программа
курса).
1.3.2_73
2.Теоретический материал, структурированный по разделам и темам.
3.Практические
задания
и
методические
указания
по
самостоятельному изучению курса.
4.Материалы для самоконтроля, тренинга по темам и разделам,
итогового тестирования.
5. Хрестоматия по дисциплине (выдержки из учебников, научнопопулярной литературы, учебно-методические материалы).
6. Справочный материал, список основной и дополнительной
литературы, каталог тематических сетевых ресурсов.
Содержательную основу учебно-методических комплексов среды,
организованной на основе принципа системы открытой архитектуры,
составляют электронные образовательные ресурсы, контент которых
варьируется в зависимости от уровня физического образования (средняя
школа, техникум, вуз). Унифицированный ЭОР включает в себя
следующие электронные учебные модули для получения информации,
выполнения практических и лабораторных работ, контроля полученных
знаний:
• справочный (СМ) - информация о целях и задачах курса, учебная
программа, справочные таблицы, ссылки на тематические сайты;
• информационный
(ИМ)
теория
-
(электронный
учебник),
видеофрагменты или анимации, учебно-методические разработки;
• практический (ПМ) - лабораторные работы, практикум по
решению задач, творческие задания, компьютерные модели, задания для
самостоятельной работы;
• аттестационный (АМ) - тесты различного уровня сложности,
контрольные работы, тематические кроссворды
• научный (НМ) - данные научно-популярного характера, темы
научных
участников
исследований
научного
коллектива
кружка,
педагогов,
доклады
рефераты,
научных
работы
конференций,
1.3.2_74
олимпиадные задачи.
Структурная
схема
проектируемой
модели
информационной
поддержки системы непрерывного физического образования приведена на
Портал ресурсного центра
WWW
Колледж
ЭОР-11
Школа
ЭОР-1
СМ
ИМ ПМ
АМ
НМ
Обучаемые
СМ
АМ
ИМ ПМ
НМ
ВШ
ЭОР-111
СМ
АМ
ИМ ПМ
НМ
рисунке.
Реализация проекта позволит обеспечить качественно новую
содержательную основу информатизации учебного процесса по физике,
преемственность между различными уровнями системы непрерывного
физического образования, повысит его доступность, индивидуальность и
качество.
Как показала практика проведения олимпиад, они представляет
большую сложность для большинства школьников. За отведенное время
они объективно не могут решить все задачи на различные темы курса
общей физики. Для решения задач недостаточно теоретических знаний по
предмету. Необходимы специальные знания по методике решения задач.
Психолого-педагогический анализ процесса решения учебной задачи
позволяет выделить следующие основные этапы этого вида учебной
деятельности:
1.3.2_75
1. представление
задачи
-
понимание
школьником
условия
поставленной задачи;
2. поиск решения - исследование возможных стратегий решения;
3. решение - действия в соответствии с этими стратегиями;
4. оценка полученных результатов.
Первый этап решения задачи является наиболее важным. Когда
школьник представляет задачу, он рассматривает данные в конкретной
ситуации, составляющей условие задачи, видит цель и может определить
свои действия по достижению цели. Он также в состоянии оценить
препятствия и ограничения, которые нужно преодолеть. Однако уже с этим
этапом многие школьники не справляются. В некоторых случаях задачи не
могут быть представлены, потому что соответствующие знания не были
приобретены. В других случаях задачи не могут быть представлены
адекватно, так как школьники не могут извлечь ранее изученную
информацию. Затруднения
с представлением задачи могут также
возникнуть, когда формулировка условия будет отличаться по внешним
признакам от ранее решаемой задачи такого же логического типа
Если все же первый этап преодолен - задача представлена правильно,
школьник может подойти к решению задачи, активизируя в памяти
необходимые алгоритмы решения. Причем эти алгоритмы должны быть
сформированы в памяти путем решения большого числа аналогичных
задач. Физические задачи труднее поддаются алгоритмизации, чем
математические. Большинство школьников не способны применить
методы решения ранее разобранных задач к задачам аналогичного типа.
Многие знания хранятся в памяти в виде декларативного, а не
процедурного знания, поэтому, когда школьники получают задачу, они не
могут преобразовать извлекаемые из памяти знания в процедуры,
имеющие отношение к решению задач.
1.3.2_76
Второй этап - этап поиска решений - подразумевает применения
метода проб и ошибок. Совсем необязательно, что первый пришедший на
ум алгоритм приведет к правильному решению задачи. Столкнувшись с
неудачей, следует искать другие варианты решения. Это нормальный
процесс исследования возможных стратегий. Однако, к такому подходу
наши
школьники
не
приучены.
Экономя
драгоценное
время
на
практических занятиях, преподаватели сразу выводят школьников на
правильное решение, не прививая им навыков поиска. К тому же у многих
школьников плохо развиты волевые качества, они не проявляют
настойчивости в поиске решения. На олимпиадах это связано также с
ограниченностью времени.
Большое число задач в тестах предполагает работу с графиками.
Следует отметить, что многие школьники не освоили графического
представления физических величин, не умеют читать и анализировать
графики. Таким образом, на уроках по физике следует больше времени
уделять работе с графическим представлением информации
Как этапу представления задачи, так и этапу поиска решения
значительно помогает объем специальных знаний. Глубокая и обширная
база знаний по курсу физики и навыки решения физических задач,
необходимы для успеха на олимпиаде. Формирование базы знаний и
приобретение навыков решения задач невозможно в режиме только
самостоятельных занятий школьников, какие бы хорошие методические
пособия не были разработаны. Эта задача может быть решена только при
сочетании таких занятий с занятиями под руководством преподавателя.
Во время проведения олимпиады, сразу после того, как вы получите
задание, внимательно прочтите условия всех задач. Затем определите
порядок их решения. Рекомендуется, как правило, вначале решить те
задачи,
которые
вам
представляются
наиболее
простыми.
1.3.2_77
«Освободившись» от них, вы можете спокойно оставшееся время
посвятить трудным задачам. Такая тактика всегда обеспечит вам
получение нескольких баллов. Противоположная тактика (от сложных к
простым) зачастую приводит к «нулевому» результату.
Помните, что решение должно быть максимально подробным. Ни в
коем случае нельзя ограничиваться записью последовательности формул.
Словесное сопровождение решения (т. е. объяснение хода решения)
совершенно необходимо. Решение без объяснения не считается полным и
не оценивается максимальной отметкой, даже если оно правильное.
Решение задач – это творческий процесс. Подходов к той или иной
задаче значительно больше, чем самих задач. Для того чтобы научиться
решать задачи, следует придерживаться более или менее систематического
порядка действий. Мы предлагаем участникам олимпиад и абитуриентам
такой порядок:
1. Внимательно прочитайте задачу и математически запишите
условие, проследите, чтобы все заданные величины были выражены в СИ.
2. Обдумайте условие задачи. Выясните, о каких физических
процессах (явлениях) в ней идет речь, каким закономерностям эти
процессы (явления) подчиняются. Наметьте примерный путь решения; при
этом искомые величины – это «маяки», к которым Вас зовут заданные и
табличные величины.
3. Сделайте чертеж, схему, рисунок с обозначением данных и
искомых величин; помните при этом, что любое построение – это не
самоцель (кроме специальных задач на построение), а помощь в решении
задачи. Ошибка в построении неизбежно ведет к ошибке в решении
задачи.
4. Используя
математические
записи
физических
законов,
отвечающих содержанию конкретных задач, запишите уравнение или
систему уравнений, содержащих явно искомую или искомые физические
1.3.2_78
величины. Помните, что решение задач следует сопровождать краткими,
но исчерпывающими пояснениями.
5. Решите задачу в общем виде, т. е. получите математическое
выражение (рабочую формулу), в левой части которого находится искомая
величина, а в правой – заданные в условии задачи и взятые из таблиц
величины.
6. Произведите проверку размерности искомой величины. Если в
результате получена верная размерность, то это, конечно, не гарантия
верного решения; однако неверная размерность - прямое указание на
допущенную ошибку.
7. Подставьте в рабочую формулу числовые значения заданных и
табличных величин, выраженные в СИ, и произведите вычисления,
руководствуясь правилами приближенных вычислений.
8. Оцените (там, где это возможно) правдоподобность числового
ответа. В ряде случаев такая оценка поможет Вам обнаружить
ошибочность полученного результата. Например, коэффициент полезного
действия не может превышать 100% или единицу; электрический заряд не
может быть меньше элементарного заряда е = 1,6∙10-19 Кл; скорость тела не
может быть больше скорости света в вакууме и т. д.
Помните, умение решать задачи приобретается длительными и
систематическими упражнениями. Чтобы подготовиться к конкурсным
экзаменам, Вам следует сначала повторить очередной раздел программы,
затем внимательно разберите примеры решения типовых задач в одном из
рекомендуемых пособий и решите специально подобранные «Задачи для
самостоятельного решения». Самоконтроль осуществляйте при решении
контрольных задач.
Олимпиада рассчитана как на очень талантливых, так и на обычных
учащихся. Задания имеют разные уровни сложности, и практически
каждый может выполнить некоторые задания - особенно тестовые, а также
1.3.2_79
первоначальные части заданий в каждой модели. Но имеются и сложные
задания. С ними могут справиться считанные единицы участников. Для
выполнения таких заданий требуются не только знания и умения, но и
большие творческие способности.
Рассмотрим методические вопросы, связанные с самостоятельной
проработкой школьниками некоторых тем при подготовке к олимпиадам.
1.3.2_80
Механическая работа
В
механике
работа,
совершаемая
постоянной
силой
при
перемещении тела на величину , равна произведению модулей силы и
перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и
перемещения:
A = F·s·cos α.
Такое понятие не всегда соответствует обыденному представлению о
работе. Например, штангист, удерживающий груз на поднятых руках, или
носильщик, несущий
тяжелый
чемодан, механической
работы не
совершают (объясните — почему?).
Когда действующая на тело сила не постоянна (меняется ее модуль
или направление), работу такой силы можно найти следующим образом.
Разобьем все перемещение тела на такие малые участки
, чтобы на
каждом из них силу можно было считать постоянной и равной
соответственно
. Затем найдем работу на каждом участке:
A1 = F1·s1·cos α1,
A2 = F2·s2·cos α2, …
An = Fn·sn·cos αn,
a полная работа будет равна сумме работ на отдельных участках:
A = A1 + A2 + … + An.
В тех случаях, когда известно, как изменяется
от точки к точке проекция силы на направление
перемещения Fs = F·cos α, работу можно найти
графически. Полная работа на участке ВС численно
равна площади фигуры BDEC.
1.3.2_81
Задача 1. Чему равна работа по равномерному подъему однородной
гладкой цепочки на гладкий горизонтальный стол? Первоначальное
положение цепочки указано на рисунке а; ее длина l = 6 м; масса m = 3 кг.
а
б
в
Решение.
В начальный момент на цепочку действует сила тяжести m·g, и для
ее удержания требуется сила F = m·g.
По мере поднятия цепочки на стол сила, необходимая для поднятия,
будет уменьшаться. Обозначим длину части цепочки, уже лежащей на
столе, через x (рис. б). В этот момент к цепочке надо приложить силу
Построим график зависимости F = F(x) (рис. в). Тогда работа,
которую совершит эта сила при равномерном подъеме всей цепочки, будет
численно равна площади заштрихованного треугольника:
Заметим, что совершенная работа равна работе по подъему центра
тяжести цепочки. Поскольку в начальный момент он находится на
расстоянии l/2 от поверхности стола, потребуется работа
.
Задача 2. К точкам В и С, находящимся на одной горизонтали,
подвешены однородная цепочка длиной 2l и система из двух стержней,
соединенных шарниром, каждый из которых имеет длину l (рис. А). Масса
1.3.2_82
цепочки равна массе обоих стержней. Какой из центров тяжести —
цепочки или системы стержней — находится ниже?
А
В
Решение.
Подействуем на цепочку таким образом, чтобы ее положение
совпало с положением системы стержней (рис. В). Очевидно, что в этом
случае центры тяжести цепочки и стержней тоже совпадают. Поскольку
для того чтобы перевести цепочку в новое положение потребовалось над
ней совершить некоторую работу, можно утверждать, что ее новое
положение центра тяжести выше прежнего.
Следовательно, первоначально центр тяжести цепочки находился
ниже центра тяжести системы стержней.
Задача 3. В первом опыте пружину, имеющую жесткость k и длину в
недеформированном состоянии l0, растягивают до длины l. Во втором
опыте эту пружину сначала разрезают на две равные части, затем берут
одну из них и растягивают ее тоже до длины l. Определите работу,
которую надо совершить в первом и во втором опытах.
Решение.
Согласно закону Гука, при растяжении пружины на величину x
возникает сила упругости Fyпр = –k·x (знак «минус» говорит о том, что сила
упругости стремится вернуть пружину в исходное состояние). Для того
1.3.2_83
чтобы растянуть пружину, к ней надо приложить внешнюю силу , равную
по модулю силе упругости, но противоположную ей по направлению:
F = –Fyпр = k·x.
Построим график зависимости F =
F(x) (см. рис.) и по нему найдем работу,
которую должна совершить внешняя сила
для
растяжения
недеформированной
пружины на величину x:
В случае, когда пружина уже была
растянута на величину x1, а теперь ее надо
растянуть до x2, работа внешней силы будет
равна (см. рис.)
.
Теперь вернемся к нашей задаче. В первом опыте для растяжения
целой пружины с жесткостью k из недеформированного состояния до
длины l необходимо совершить работу
Во втором опыте до той же длины l растягивают лишь половину
пружины так, что удлинение
. Кроме того, жесткость половины
пружины не такая, как жесткость целой пружины: она в два раза больше
(покажите это самостоятельно). Поэтому во втором опыте необходимо
совершить работу
.
1.3.2_84
Механическая энергия
В
механике
принято
различать
кинетическую
энергию,
обусловленную движением, и потенциальную, определяемую взаимным
расположением тел системы или частей одного и того же тела.
Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ,
равна
Потенциальная энергия тела, находящегося в поле тяжести на высоте
h над нулевым уровнем, равна
Ep= m·g·h,
а потенциальная энергия упруго деформированного тела равна
Между понятиями «механическая работа» и «механическая энергия»
есть тесная связь. Работа равнодействующей сил, приложенных к системе,
равна изменению кинетической энергии системы:
A= Ek2 – Еk1.
Работа сил тяжести или упругости, действующих в системе, равна
взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии
системы:
А = –(Еp2 – Еp1).
Задача 4. На рогатке закреплена длинная (по сравнению с размерами
рогатки) резина с жесткостью k. Найдите максимальную
скорость камня массой m, выпущенного из рогатки, если
предварительно его оттянули на расстояние x( см.рис.).
1.3.2_85
Решение.
Поскольку резина длинная, можно считать, что на камень действуют
две параллельные силы упругости резины
. При оттягивании камня на
расстояние x суммарное удлинение пружины будет 2x, и модуль силы
упругости F = k·(2x) = 2k·x.
При возвращении в исходное недеформированное состояние резины
силы упругости, действующие на камень, совершат работу
.
За счет этой работы камень приобретет кинетическую энергию
Таким образом,
откуда
Задача 5. Какая работа будет совершена силой F = 30 H при подъеме
тела массой m = 2 кг на высоту h = 20 м?
Решение.
Согласно определению, работа приложенной к телу силы равна
A = F·h = 600 Дж.
С другой стороны, при подъеме тела на высоту h против силы
тяжести m·g совершается работа
A' = m·g·h = 400 Дж.
Конечно
же,
ничего
странного
в
расхождении
полученных
результатов нет. Дело в том, что А' — это минимальная работа, которую
нужно совершить для поднятия тела. За счет этой работы увеличивается
его потенциальная энергия в поле тяжести Земли:
ΔEp= m·g·h = 400 Дж.
1.3.2_86
Остальная же часть работы идет на увеличение кинетической
энергии тела (тело движется с ускорением, а почему?):
ΔEk = A – A' = 200 Дж.
Задача 6. На невесомой конструкции из стержней, соединенных
шарнирно, подвешен груз массой m (см. рис.). Чему равно натяжение
нити?
Решение.
Мысленно уменьшим длину нити на величину x,
настолько малую, чтобы изменением силы натяжения нити
можно было пренебречь. Тогда груз поднимется на высоту 2x
(покажите это).
Работа силы натяжения нити при этом будет равна
A = Fн·x,
а потенциальная энергия груза в поле тяжести Земли изменится на
ΔEp = m·g·(2x) = 2m·g·x.
Таким образом,
Fн·x = 2m·g·x,
откуда
Fн = 2m·g.
1.3.2_87
Закон сохранения механической энергии
Энергия принадлежит к тем немногим физическим величинам, для
которых выполняются законы сохранения.
В частности, если система тел замкнута и тела взаимодействуют друг
с другом только силами тяготения и упругости, то полная механическая
энергия системы (то есть сумма кинетической и потенциальной энергий)
остается постоянной. Действие же силы, трения приводит к тому, что часть
механической энергии превращается во внутреннюю энергию системы. Но
и в этом случае сумма всех видов энергии системы сохраняется
неизменной.
Задача 7. Мальчик на коньках разгоняется до скорости υ и
вкатывается на горку, покрытую льдом. До какой высоты, считая от
основания горки, он сможет подняться, если коэффициент трения μ, а угол
наклона горки к горизонту α?
Решение.
В начальный момент мальчик обладает кинетической энергией
,
а в конечный момент — потенциальной энергией m·g·h (здесь m — масса
мальчика, h — искомая высота подъема). За счет уменьшения полной
механической
энергии
совершается
работа
против
силы
трения
Отсюда находим искомую высоту h:
1.3.2_88
Задача
8.
Камень
массой
m
соскальзывает с гладкой горки высотой Н.
Рассмотрим этот процесс в двух различных
инерциальных системах отсчета. С точки
зрения наблюдателя в неподвижной системе потенциальная энергия камня
m·g·H переходит в кинетическую энергию
, так что после
соскальзывания с горки камень имеет скорость υ (см. рис.) Наблюдатель,
находящийся в системе отсчета, движущейся со скоростью υ вправо,
скажет, что вначале у камня есть потенциальная энергия m·g·H и
кинетическая энергия
, а в конце нет ни той, ни другой. Куда же
«пропала» энергия?
(Аналогичные вопросы подробно разбираются в статье В. А. Орлова
«Парадокс «большого» тела», опубликованной в третьем номере журнала
«Квант» за 1978 год.
Решение.
Сразу же скажем, что закон сохранения энергии выполняется и в
этом случае. Причина сформулированного в условии парадокса в том, что
рассуждения проводились для незамкнутой системы — одного камня, а
Земля, с которой камень взаимодействует, не учитывалась. Исправим эту
ошибку.
а) В неподвижной системе отсчета (связанной с центром масс
системы камень — Земля) в начальный момент камень и Земля покоятся, и
вся энергия равна потенциальной энергии системы. В конечный момент
камень приобретает скорость , а Земля — скорость , которую можно
найти из закона сохранения импульса:
откуда
1.3.2_89
где М — масса Земли.
Согласно закону сохранения энергии,
Поскольку масса камня ничтожно мала по сравнению с массой
Земли, величиной m/М по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда
получим
что целиком соответствует условию задачи.
б) В движущейся системе отсчета в начальный момент общая
энергия системы равна
а в конечный она равна
. Из закона сохранения импульса
получаем
и
Тогда из закона сохранения энергии имеем
или, пренебрегая величиной m/M по сравнению с двойкой,
— тот же самый результат, что и с точки зрения неподвижного
наблюдателя!
1.3.2_90
Упражнения для самостоятельной работы
1. Тело массой M = 990 г лежит на горизонтальной плоскости. В него
попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью υ =
100 м/с, и застревает в нем. Какой путь пройдет тело до остановки, если
коэффициент трения между ним и плоскостью μ = 0,05?
Ответ:
2. В вагоне равномерно идущего поезда
стоит человек, натягивающий пружину с
силой . Поезд прошел путь l. Какую работу
при этом совершил человек в системе отсчета,
связанной с поездом, и в системе отсчета, связанной с Землей?
Ответ: В обеих системах отсчета A = 0.
1.3.2_91
Импульс
В школьной программе по физике изучаются два закона сохранения:
импульса и механической энергии, которые на самом деле необходимо
трактовать как законы изменения. Законы сохранения получаются как частные
случаи законов изменения при выполнении соответствующих условий.
Закон изменения импульса, как фундаментальный закон механики в
школе «вытекает» из законов динамики Ньютона. Но поскольку понятие
импульса более фундаментально, чем классическая механика, даже в
рамках школьной программы закон изменения импульса предстает в
различных аспектах, являясь основой рассмотрения самых различных
явлений.
«Магистральное» развитие темы изменения импульса механической
системы в школьной физике представлено деревом логических связей в
конце текста. Чёрными стрелками указано именно магистральное
направление, белыми - боковые «ветви» дерева. Оттуда видно, что
«область влияния» закона простирается от импульса частицы до основного
уравнения МКТ идеального газа.
Основными узлами представленного дерева знаний являются
следующие:
• Понятие удара как очень кратковременного взаимодействия тел,
составляющих незамкнутую систему. Импульс сохраняется тогда и только
тогда, когда можно пренебречь изменением положения соударяющихся
тел.
• Взаимодействие частицы и поверхности, которая трактуется как
поверхность,
принадлежащая
телу,
масса
которого
значительно
превосходит массу частицы. В результате с точки зрения импульса
скоростью тяжёлого тела после удара в системе центра масс пренебрегать
нельзя, с точки зрения энергии - пренебрегать необходимо. Таким образом,
импульс «уходит» в поверхность, энергия остаётся на поверхности.
1.3.2_92
• Понятие потока частиц, как количества частиц, попадающих на
поверхность в единицу времени:
JN 
N .
t
• Производное от потока частиц понятие потока импульса, который
равен импульсу, передаваемому поверхности со стороны частиц в единицу
времени. Это понятие крайне важно, поскольку поток импульса является
силой, действующей на поверхность со стороны падающих частиц. Таким
образом, осуществляется выход на реактивную силу и на давление.
1.3.2_93
1.3.2_94
Первое начало термодинамики
Путаница в понятиях и смысле величин возникает у школьников и
при изучении первого начала термодинамики. Отсюда и сложности его
применения в задачах олимпиадного типа. Смысл постулата первого
начала заключается в сохранении энергии Вселенной. В любых процессах
энергия не исчезает и не появляется, а только превращается из одного вида
в другой. Закон сохранения энергии Вселенной, сформулированный как
один из постулатов термодинамики, выходит за её пределы и является
фундаментальным законом, с которым должны быть согласованы законы
всех физических дисциплин. Тем не менее, в каждом из разделов физики
закон сохранения энергии может быть сформулирован в специфической
форме. Необходимо ясно понимать, как эта форма отражает суть закона.
В курсе физики рассматриваемые термодинамические процессы
ограничиваются только работой и теплообменом. Процессы массобмена,
как правило, исключаются из рассмотрения. В начале изложения
термодинамики вводятся понятия тепла Q как количества энергии,
полученной системой при теплообмене её с окружением, а также работы А,
как количества энергии переданной системой окружению в процессе
совершения работы над ним. В этом случае формула первого начала
термодинамики принимает вид:
U  Q  A.
Возникают два вопроса. Причём здесь закон сохранения энергии
Вселенной и что такое U. Здесь нужно разобраться.
Во-первых, формула описывает процесс передачи энергии от
окружения термодинамической системе. Иными словами, вся Вселенная
делится на две части: систему и окружение, ничего третьего в мире нет. А
во-вторых, в этой формуле заложено сразу два постулата, объединение
1.3.2_95
которых и даёт постулат сохранения энергии в любом термодинамическом
процессе.
Вспомним, что работа окружения над системой А = -А'. При этом Q –
тепло, переданное от окружения системе. Тогда правая часть формулы –
это энергетические потери окружения в термодинамическом процессе. Для
сохранения
энергии
в
процессе
необходимо
постулировать,
что
энергетические потери окружения равны энергетическим приобретениям
системы. Итак:
энергия, полученная системой =
Q  A.
Но этого мало. Можно принять деньги под роспись, занести их в
избу, а затем, выйдя обратно, заявить, что они в этом гиблом месте исчезли
без следа. Поэтому закон сохранения должен включать в себя описание
того, как воспринятая системой энергия оставляет в ней след, т.е. изменяет
её состояние.
Второй постулат 1-го начала утверждает, что существует особая
функция термодинамического состояния, изменение которой в точности
равно энергии, полученной системой. Она называется внутренней энергией
U. Поскольку это функция состояния, то изменение состояния всегда будет
отражено в изменении внутренней энергии, а изменение U будет означать
изменение состояния системы. Следовательно, второй постулат имеет вид:
U
= энергии, полученной системой.
Объединение обоих постулатов даёт математическое выражение 1-го
начала термодинамики, приведённое выше. А мы можем сделать вывод,
что 1-е начало термодинамики возникло благодаря открытию новой
функции состояния U.
1.3.2_96
Упражнения для самостоятельной работы
1. В калориметр, содержащий m1 = 250 г воды при температуре t1 =
15 °C, бросили m2 = 20 г мокрого снега. Температура в калориметре
понизилась на Δt1 = 5 °C. Сколько воды было в снеге? Теплоемкостью
калориметра пренебречь.
Ответ: m = 7 г
2.
Кусок свинца неупруго ударяется о препятствие со скоростью
350 м/с. Какая часть свинца расплавилась, если все количество теплоты,
выделившееся при ударе, поглощается свинцом? Температура свинца
перед ударом t1 = 27 °C, удельная теплоемкость свинца c = 130 Дж/(кг×°С),
удельная теплота плавления свинца λ = 25 кДж/кг, температура плавления
свинца tпл = 327 °C.
Ответ: α = 0,89
3. На плите стоит кастрюля с водой. При нагревании температура
воды увеличилась от 90 °C до 95 °C за одну минуту. Какая доля теплоты,
получаемой
водой
при
нагревании,
рассеивается
в
окружающем
пространстве, если время остывания той же воды от 95 °C до 90 °C равно
9,0 минутам?
Ответ: α = 0,1
4. В комнате на столе стоят два одинаковых стакана. Температура в
комнате 20 °C. В первый стакан быстро наливают воду температурой t = 0
°C, а во второй кладут кусочек льда массой Δm = 10 г и той же
температуры и наливают m − Δm = 190 г воды температурой 0 °C.
Температура воды в первом стакане через время t1 = 2 мин увеличилась на
Δt = 1 °C. Через какое время после заполнения второй стакан нагреется до
той же температуры? Удельная теплота плавления льда λ = 336 Дж/г,
теплоемкость воды c = 4,2 Дж/(г×К). Теплоемкостью стаканов пренебречь.
1.3.2_97
Ответ: τ2 = 10 мин
5. Кусок льда с вмерзшими в него свинцовыми дробинками общей
массой 200 г осторожно опускают в стакан калориметра, доверху
наполненный водой. Часть воды при этом выливается и в дальнейшем
теплообмене не участвует. Когда система пришла в состояние теплового
равновесия, оказалось, что температура воды в калориметре 20 °С.
Начальные температуры воды – 40 °С, льда – (−20 °С). Масса воды в
калориметре была 1,2 кг. Определите объемное содержание свинца в куске
льда. Теплоемкостью калориметра пренебречь. Удельная теплоемкость
воды 4,2×103 Дж/(кг×°C), льда 2,1×103 Дж/(кг×°C), свинца 138 Дж/(кг×°C).
Плотность льда 900 кг/м3, свинца 11,3×103 кг/м3. Удельная теплота
плавления льда 3,35×105 Дж/кг.
Ответ: η ≈ 0,8 %
1.3.2_98
Напряжение, ЭДС и разность потенциалов
Понимание школьниками многих электродинамических процессов (в
том числе и посредством решения задач) требует усвоения ими таких
важных понятий, как электрическое напряжение, электродвижущая сила
(ЭДС) и разность потенциалов. В случае однородного участка цепи у
школьников, как правило, не возникает проблем. Если же участок цепи
неоднородный, то школьники затрудняются отличить напряжение от
разности потенциалов. К сожалению, в учебно-методической литературе и
для учащихся и для учителей нет единого подхода к трактовке этих
понятий.
Так
в
одних
учебниках
разность
потенциалов
всегда
отождествляется с напряжением, а в других разность потенциалов и
напряжение рассматриваются как различные понятия для неоднородного
участка цепи. На наш взгляд наиболее детальный и исчерпывающий
анализ этих понятий приведен в учебном пособии Яворский Б. М.
Основные вопросы современного школьного курса физики. - М.:
Просвещение, 1980. - 318 с. В любых случаях напряжение равно
произведению силы тока на сопротивление этого участка.
Для решения задач по электродинамике школьники должны усвоить
как минимум следующее:
1. Разность потенциалов и напряжение являются тождественными
понятиями для электростатического поля и для однородного участка цепи
постоянного тока.
2. Для неоднородного участка цепи постоянного тока напряжение
является суммарной работой электростатических и сторонних сил по
переносу единичного положительного заряда на данном участке цепи и
равно произведению силы тока на сопротивление этого участка.
3. Неоднородным участком цепи является не только участок,
содержащий источник тока, но и участок, содержащий электродвигатель,
1.3.2_99
4. При
существовании
в
идеальном
колебательном
контуре
свободных электромагнитных колебаний мгновенное значение разности
потенциалов на обкладках конденсатора равно мгновенному значению
ЭДС самоиндукции в катушке. Если катушка неидеальная, то мгновенное
значение разности потенциалов равно сумме мгновенного значения ЭДС
самоиндукции и мгновенного значения напряжения на катушке.
5. Для существования в проводнике постоянного электрического
тока в проводнике должно существовать или только электрическое, или
одновременно поле электростатических и сторонних сил, или поле только
сторонних сил, а не разность потенциалов на концах проводника, как это
обычно утверждается.
1.3.2_100
Олимпиадные задания по темам физики
Механика
1. Вентилятор гонит струю воздуха через отверстие в стене. Во
сколько раз необходимо увеличить мощность вентилятора, чтобы
перегоняемое в единицу времени количество воздуха увеличилось в два
раза? Плотность воздуха считать постоянной.
Ответ: 8.
2. Какая мощность затрачивается насосом для перекачки воды по
трубе на высоту H = 2м? Площадь сечения трубы S = 1,5 см2. Насос за t =
1 с перекачивает объем V = 0,4 л воды. Трением пренебречь.
Ответ: 9,26 Вт.
3. С помощью веревки тело равномерно
поднимают вверх по наклонной плоскости. Веревка
направлена вдоль наклонной плоскости. При каком
угле при основании  затраченная мощность будет
максимальна? Коэффициент трения между телом и
наклонной плоскостью k =

3.
3
Ответ: 600.
4. Груз массой m = 0,5 кг падает с некоторой
m
высоты на покоящуюся плиту массой M = 1 кг,
укрепленную на пружине жесткостью k = 980 Н/м.
Определить максимальное сжатие пружины после
абсолютно неупругого удара, если в момент удара
груз обладал скоростью V = 5 м/с.
Ответ: 0,082 м.
1.3.2_101
5. Межпланетный корабль, имеющий площадь лобового сечения S =
25 м2 и скорость V = 10 км/с, попал в облако космической пыли. В одном
кубическом метре облака содержится 20 пылинок массой по 1 мг. Какой
должна быть сила тяги двигателя корабля, чтобы его скорость не
изменялась. Удары пылинок об обшивку корабля считать абсолютно
неупругими.
Ответ: 50 кН.
6. На виток цилиндрической спирали, ось которой вертикальна,
надевают маленькое колечко массой m = 5 г. Колечко без трения начинает
скользить по спирали. С какой силой будет давить на спираль колечко
после того, как оно пройдет 8 полных витков? Радиус витка R = 16 см, а
расстояние между соседними витками h = 1 см.
Ответ: 69 мН.
7. Телу массой m = 1 кг, лежащему на длинной горизонтальной
платформе покоящейся тележки, сообщили скорость V = 10 м/с. Какой
путь пройдет тележка к тому моменту, когда тело остановится на ней, если
коэффициент трения между телом и платформой k = 0,2. Масса тележки M
= 100 кг, тележка катится без трения.
Ответ: 0,25 м.
8. Покоящаяся доска длиной L = 1 м и
массой M = 2 кг может скользить без трения по
m
F
горизонтальной поверхности. На краю доски
лежит брусок массой m = 1 кг. Коэффициент
трения между доской и бруском k = 0,2. К бруску
приложили горизонтальную силу F = 4 Н,
направленную к другому концу доски. Через
какое время брусок упадет с доски? Размерами
бруска пренебречь.
1.3.2_102
Ответ: 1,37 с.
9. Под каким углом к горизонту произведен выстрел, если дальность
полета снаряда в 4 раза превышает максимальную высоту полета?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 450.
10.
Тело
движется
равномерно
по
F
горизонтальной поверхности под действием силы F.
Коэффициент трения тела о поверхность k =
3.
3
Какой угол  с горизонтом должна составлять сила,
чтобы ее значение было минимальным?
Ответ: 300.
11. Искусственный спутник Земли вращается по круговой орбите, в
плоскости которой находятся оба ее полюса. На какой высоте h от
поверхности Земли должна проходить его орбита, чтобы за сутки он
пролетел над каждым полюсом по 10 раз? Принять радиус Земли Rз= 6370
км.
Ответ: ≈ 2700 км
12. Космонавт массой М = 100 кг находится на поверхности
шаровидного астероида радиусом R = 1 км и держит в руках камень массой
т = 10 кг. С какой максимальной скоростью υ космонавт может бросить
камень по касательной к поверхности астероида, не рискуя превратиться в
спутник астероида? Средняя плотность астероида ρ = 5·103 кг/м3.
Ответ: 12 м/с.
13. Мальчик бросает мячи один за другим вверх с одинаковой
скоростью, каждый следующий в тот момент, когда предыдущий
находится
на
полпути
к
наивысшей
точке
подъема.
На
какую
максимальную высоту поднимаются мячи, если мальчик бросает два мяча
в секунду.
1.3.2_103
Ответ: 14,3 м.
14. За предпоследнюю секунду тело прошло треть пути. С какой
высоты падало тело?
Ответ: 105 м.
15. С воздушного шара, опускающегося вниз со скоростью 2 м/с,
бросили вверх камень со скоростью 18 м/с относительно земли. Какое
расстояние будет между шаром и камнем, когда камень достигнет
максимальной высоты подъема? Через какое время камень пролетит мимо
шара, падая вниз?
Ответ: 20 м; 4,1 с.
1.3.2_104
Статика и гидростатика
1. Если к нижнему концу вертикально висящей пружины прикрепить
груз, то ее длина станет равной 20 см. Если к середине пружины
дополнительно прикрепить еще такой же груз, то длина пружины
возрастет до 22 см. Найти длину пружины в недеформированном
состоянии. Массой пружины пренебречь.
Ответ: 16 см.
2. Тяжелый стержень согнули под углом  = 900 в

точке, делящей его длину в отношении 1:1. Стержень
подвесили на шарнире за один из концов. Чему равен

тангенс угла , образуемого этой частью с вертикалью при
равновесии?
Ответ: 0,33.
3. Насколько отстанут часы с математическим маятником за 2 суток,
если их перенести с полюса на экватор? Считать, что на полюсе часы шли
правильно. Принять ускорение свободного падения на полюсе равным 9,8,
а на экваторе - 9,7 м/с2.
Ответ: 884 с = 14,73 мин.
4. Платформа совершает гармонические колебания в горизонтальном
направлении с частотой
v = 0,25 Гц. На платформе лежит груз,
коэффициент трения которого о платформу равен 0,31. Какова может быть
максимальная
амплитуда
колебаний
платформы,
чтобы
груз
не
соскользнул по ней?
Ответ: 1,232 м.
5. На какую часть начальной длины надо укоротить математический
маятник, чтобы период его колебаний на высоте H = 1000 км был равен
1.3.2_105
периоду его колебаний на поверхности Земли? Радиус Земли принять
равным 6400 км.
Ответ: 0,25.
6.
Металлический
стержень,
к
верхнему
концу
которого прикрепили динамометр, медленно погружают в
цилиндрический сосуд с водой. Площадь дна сосуда равна 20
см2. Насколько изменится показание динамометра в тот
момент, когда уровень воды в сосуде изменится на h = 5
см? Плотность воды о=1000 кг/м3.
Ответ: 0,98 Н.
7. На горизонтальной плите находится груз. Плита совершает
гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом Т = 0,1
с. При каких значениях амплитуды колебаний груз оторвется от
поверхности плиты?
Ответ: 2,5 мм.
8. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в
воду, пока уровень воды в цилиндрическом сосуде не изменится на Δh = 10
см. Показания динамометра при этом изменяются на ΔF = 1 Н. Определить
площадь поперечного сечения сосуда. Плотность воды ρв = 1000 кг/м3.
Ответ: 0,001 м2
9. Два одинаковых шарика связаны невесомой нерастяжимой
нитью, перекинутой через невесомый блок, причем один из
шариков погружен в сосуд с жидкостью. С какой установившейся
скоростью
будут
двигаться
шарики,
если
известно,
что
установившаяся скорость падения одиночного шарика в той же
жидкости равна 0,1 м/с? Считать, что сила сопротивления жидкости
пропорциональна скорости шарика. Плотность жидкости ρо = 1000
кг/м3, плотность материала шариков ρ = 2700 кг/м3.
Ответ: 5,9 см/с
1.3.2_106
10. Тело объемом V = 10-4 м3 находится под водой так, что его
верхняя часть расположена на глубине h = 5 м. Плотность тела равна 3000
кг/м3. Какую надо совершить работу, чтобы медленно поднять тело до
поверхности воды? Плотность воды ρв = 1000 кг/м3.
Ответ: 9,8 Дж
11. Стальной шарик радиусом r = 2 см лежит на дне реки глубиной h
= 3 м. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поднять
шарик на высоту Н = 2 м над поверхностью воды? Плотность воды ρо =
1000 кг/м3, плотность стали ρ = 7800 кг/м3.
Ответ: 11,8 Дж
12. Стеклянный шарик объемом V = 0,2 см3 равномерно падает в
воде. Какое количество теплоты выделится при перемещении шарика на
расстояние h = 6 м? Плотность воды ρо = 1000 кг/м3, плотность стекла ρ =
2400 кг/м3.
Ответ: 16,5 мДж
13. Между одинаковыми брусками квадратного
сечения, лежащими на горизонтальной плоскости (см.
рисунок), вставлен гладкий клин такой же массы с
сечением в виде равностороннего треугольника. При
каком коэффициенте трения брусков о плоскость они
начнут разъезжаться?
Ответ: 3 / 3
14. Два одинаковых цилиндра массой 12 кг каждый
подвешены так, что угол между нитями равен 2 (см.
2
рисунок). Какой максимальной массы цилиндр можно
положить между ними, чтобы цилиндры не разошлись?
М
Радиус третьего цилиндра вчетверо меньше радиуса М
1.3.2_107
первых двух. Трением пренебречь. Принять tg = 0,1.
Ответ: 12 кг
15. Однородный стержень массой 2 кг прикреплен к
вертикальной стене посредством шарнира под углом  =
600 с помощью нити, образующей со стержнем угол  =
300. Определить величину и направление силы реакции на

стержень со стороны шарнира.
Ответ: 9,8 Н; 300 к горизонтали.
1.3.2_108

Молекулярная физика и термодинамика
1. В сосуде находится кислород при температуре T = 248 К и
давлении P = 10 кПа. Определить среднее расстояние между молекулами
кислорода в сосуде.
Ответ: 7 нм.
2. Стеклянный стакан вместимостью V = 70 см3 и массой m = 100 г
погружают в воду, держа его вверх дном. На какой глубине он перестанет
всплывать и начнет погружаться самостоятельно? Считать температуру
воздуха в стакане постоянной, атмосферное давление P0= 100 кПа,
плотность воды равна 1000 кг/м3, плотность стекла 2500 кг/м3.
Ответ: 1,7 м.
3. Найти число ходов поршня, которое необходимо сделать, чтобы
поршневым воздушным насосом откачать воздух из сосуда емкостью V =
10 л от давления P1= 1 МПа до давления P2= 10 кПа, если емкость камеры
насоса равна 1 л. При расчетах учесть, что lg1,1 = 0,0414.
Ответ: 48.
4. В вертикально расположенном цилиндре под тяжелым
поршнем находится газ массой m = 2 г. Его молярная масса равна
0,028 кг/моль. Поршень соединен с дном сосуда пружиной
жесткостью k = 1 кН/м. При температуре Т = 273 К поршень
расположен на расстоянии h = 10 см от дна. До какой
температуры надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до
высоты H = 15 см?
Ответ: 418 К.
5. В цилиндре под поршнем площадью S = 100 см2 находится m = 1 г
воды при температуре 0 0С. Цилиндр нагревают до 200 0С. На какую
высоту поднимется поршень с лежащим на нем грузом массой M = 102 кг?
1.3.2_109
Атмосферное давление Р0 = 0,1 МПа, давление насыщенных паров воды
при 200 0С равно 1,6 МПа. Молярная масса воды равна 0,018 кг/моль.
Ответ: 0,11 м.
6. Воздушный шар сделан из материала, квадратный метр которого
имеет массу 1 кг. При каком минимальном радиусе шар поднимет сам
себя, если он наполнен гелием? Температура гелия и окружающего шар
воздуха t = 0 0С, давление P =100 кПа. Молярная масса гелия равна
4кг/кмоль, воздуха 29 кг/кмоль.
Ответ: 2,72 м.
7. В теплоизолированном сосуде объемом V = 30 л находится m = 2
кг воды при температуре 280 К. Воздух из сосуда удален. В дно сосуда
впаяна проволока с электрическим сопротивлением R = 100 Ом, по
которой течет ток I = 2 А. Определить время, в течение которого в сосуде
установится температура 100 0С. Изменением объема воды пренебречь.
Удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/кг, удельная теплота
парообразования 2,25 МДж/кг, давление насыщенного пара воды при 100
0
С принять равным 100 кПа. Теплоемкостью сосуда пренебречь.
Ответ: 34,1 мин.
8. Чтобы изотермически уменьшить объем газа в цилиндре под
невесомым поршнем в 2 раза, на поршень поставили груз массой m = 1 кг.
Какой груз следует добавить, чтобы изотермически уменьшить объем газа
еще в 3 раза?
Ответ: 4 кг.
9. Воздух в стакане, имеющем высоту h = 10 см и площадь дна S =
25 см2, нагрет до температуры t1= 87 0С. Стакан погружен в воду вверх
дном так, что его дно находится на уровне поверхности воды. Какой объем
воды войдет в стакан, когда воздух в стакане примет температуру воды t2=
17 0С? Атмосферное давление Р0 = 0,1 МПа, плотность воды равна 1000
кг/м3.
1.3.2_110
Ответ: 51,5 см3.
10. Определить подъемную силу воздушного шара с эластичной
оболочкой, заполненной водородом. Масса водорода m1= 2 кг, масса
оболочки m2= 10 кг, молярная масса воздуха равна 29 кг/кмоль, водорода 2
кг/кмоль.
Ответ: 167 Н.
11. В вертикальном сосуде в воде плавает кусок льда массой m1 = 5
кг, в который вмерз кусок свинца массой m2 = 0,1 кг. Какое количество
теплоты надо сообщить этой системе, чтобы остаток льда со свинцом
начал тонуть? Температура воды в сосуде равна 0 ˚С. Удельная теплота
плавления льда равна 333 кДж/кг, плотность воды ρ0=1000 кг/м3, льда
ρл=900 кг/м3, свинца ρсв=11300 кг/м3.
Ответ: 1,39 МДж
1.3.2_111
Электричество и магнетизм
1. Через двухэлектродную лампу с плоскими электродами идет ток I
= 0,1 А. Напряжение между электродами U = 100 В. С какой силой
действуют на анод лампы попадающие на него электроны? Принять, что
начальная скорость электронов покидающих катод равна нулю.
Ответ: 3,4 мкН.
2. Однослойная проволочная катушка диаметром d = 5 см помещена
в однородное
магнитное поле, параллельное ее оси. Индукция поля
равномерно изменяется со скоростью равной 0,01 Тл/с. Катушка содержит
1000 витков медной проволоки с площадью поперечного сечения S = 0,2
мм2. Удельное сопротивление меди равно 17,5 нОм.м. Концы проволоки
замкнуты накоротко. Определить тепловую мощность, выделяющуюся в
катушке.
Ответ: 28 мкВт.
3. Однослойная катушка диаметром d = 5 см помещена в однородное
магнитное поле, параллельное ее оси. Индукция поля ежесекундно
возрастает на B = 0,01 Тл. Катушка содержит 1000 витков медной
проволоки и к ее концам подключен конденсатор емкостью C = 10 мкФ.
Определить заряд на нем.
Ответ: 196 нКл.
4. Два металлических стержня расположены вертикально
и замкнуты вверху третьим горизонтальным проводящим
стержнем. По вертикальным стержням может скользить без
L
трения перемычка длиной L = 0,5 см и массой m = 1 г.
m
Конструкцию поместили
в однородное
магнитное поле
перпендикулярное плоскости рамки. Его индукция B = 0,01 Тл.
1.3.2_112
Установившаяся скорость движения перемычки V = 1 м/с.
Найти ее электросопротивление. Сопротивлением стержней
пренебречь.
Ответ: 255 нОм.
5. По предположению Резерфорда электроны в атомах движутся по
орбитам. Найти скорость движения электронов в атоме гелия, считая, что
оба его электрона движутся по одной круговой орбите, находясь в
диаметрально противоположных точках. Принять радиус орбиты R = 0,05
нм, заряд ядра гелия q = +2 е , где е - заряд электрона.
Ответ: 2700 км/с.
6. Горизонтальное магнитное поле с индукцией В =
0,52 Тл направлено параллельно наклонной плоскости, с
которой соскальзывает с постоянной скоростью υ = 5 м/с
заряженное тело массой m = 2 мг. Найти заряд этого тела,

B

α
если угол наклона плоскости к горизонту равен 30˚, а коэффициент трения
тела о плоскость k = 0,5.
Ответ: 1 мкКл
7. Между каждыми двумя из 24 точек включено сопротивление R = 2
Ом. Какая мощность будет выделяться в этой цепи, если к двум из этих
точек подсоединить источник, ЭДС которого равна 10 В, а внутреннее
сопротивление r = 2 Ом.
Ответ: 49 Вт.
8. Плоский воздушный конденсатор емкостью C = 0,02 мкФ
зарядили от источника, ЭДС которого равна 10 кВ. Затем источник
отключают и пластины раздвигают так, чтобы величина зазора между
пластинами увеличилась вдвое. Определить работу, совершенную при
увеличении зазора.
Ответ: 1 Дж
1.3.2_113
9. Частица массой т = 6∙10-14 кг и зарядом q = 3∙10-10 Кл движется в
однородном магнитном поле с индукцией В = 10 Тл. Кинетическая энергия
частицы Ек= 10-8 Дж. Какой путь пройдет частица за время, в течение
которого ее скорость изменит направление на угол α = 1800? Магнитное
поле перпендикулярно скорости частицы.
Ответ: 3,6 см
10. Электрон влетает перпендикулярно направлению магнитного
поля с индукцией В = 2,85∙10-2 Тл со скоростью V = 106 м/с. Определить
изменение скорости электрона за промежуток времени ∆t = 2,1 ∙10-10 с.
Ответ: 1 Мм/с
11. Шарики А и В массами 0,1 кг каждый имеют
О
одинаковые по модулю и противоположные по знаку заряды,
равные 10 мкКл. Шарик А подвешен на непроводящей пружине
А
жесткостью 9,8 Н/м над шариком В (см. рисунок). В начальном
В
положении сила кулоновского взаимодействия между шариками
С
равна 4mg. Верхнгий конец пружины медленно поднимают. На
сколько надо переместить точку О, чтобы натяжение шелковой нити ВС
стало равным нулю?
Ответ: 18 см
12. Шарик массой 2 г и зарядом 0,2 мкКл вращается на
непроводящей нити длиной 20 см вокруг вертикальной оси так,
l
что нить составляет с вертикалью угол 300 (см. рисунок).
Определить период обращения маятника и силу натяжения q
нити, если на той же вертикали на расстоянии 20 см от шарика
внизу находится неподвижный заряд такой же величины и
l
q
знака.
Ответ: 1,78 c; 23 мН.
1.3.2_114
13. На гладкую замкнутую непроводящую нить длиной 60 см
нанизаны три бусинки с зарядами q, q/4 и q/9. Система находится в
равновесии. Найти силу натяжения нити, если q=20 мкКл.
Ответ: 10 Н.
1.3.2_115
Оптика, фотоны, волны
1.
Пловец
рассматривает из-под
воды
светящийся
предмет,
находящийся над его головой в воздухе на расстоянии Н = 75 см от
поверхности воды. Каково будет кажущееся расстояние от поверхности
воды до предмета? Учесть, что показатель преломления воды равен 4/3 и
при малых углах выполняется условие tg   Sin .
Ответ: 100 см.
2. На некотором расстоянии d от линзы на главной оптической оси
находится светящаяся точка. Колебательное движение линзы с амплитудой
а в направлении поперек главной оптической оси приводит к колебаниям
действительного изображения точки с амплитудой А1 = 1,6 см, а
поперечные колебания точки с той же амплитудой а вызывают колебания
ее изображения с амплитудой А2 = 1,5 см. Определить расстояние d, если
расстояние от линзы до экрана равно 960 см.
Ответ: 64 см
3. Цилиндрический пучок света диаметром D = 4 см направляется на
собирающую линзу параллельно ее главной оптической оси. За линзой
находится экран, на котором пучок образует пятно диаметром d = 2 см.
Расстояние от линзы до экрана меньше фокусного расстояния. Каким
будет диаметр пятна на экране, если собирающую линзу заменить
рассеивающей с тем же фокусным расстоянием?
Ответ: 6 см.
4. Луч света падает на стеклянную плоскопараллельную пластину
толщиной d = 2 см под углом  = 300. После преломления и отражения от
нижней поверхности луч снова выходит через верхнюю поверхность,
пройдя путь L в пластине. Найти L, если показатель преломления стекла n
= 1,5.
1.3.2_116
Ответ: 4,2 см.
5.
В
жидкости
с
показателем
Поверхность воды
преломления n = 1,8 на достаточно большой
глубине помещен точечный источник света
h
S. На каком максимальном расстоянии h над
S
источником надо поместить диск диаметром
d = 2 см, чтобы свет не вышел из жидкости в
воздух?
Ответ: 1,5 см.
6. Какова толщина стеклянной плоскопараллельной пластины, если
царапину на задней поверхности пластины наблюдатель видит на
расстоянии
L
=
5
см
от
передней
поверхности?
Луч
зрения
перпендикулярен к поверхности пластины. Показатель преломления стекла
равен 1,6. Учесть, что для малых углов tg  Sin.
Ответ: 8 см.
7.
Луч
стеклянную
света
падает
на
плоскопараллельную
пластинку
с

показателем
преломления n = 1,7 под углом ,
для которого Sin = 0,8. Вышедший
из
пластинки
луч
смещенным
h
оказался
относительно
b
падающего луча на расстояние b = 2
см. Найти толщину пластинки.
Ответ: 4,17 см.
Луч света падает на стеклянную плоскопараллельную пластинку с
показателем преломления n = 1,7 под углом , для которого Sin = 0,8.
1.3.2_117
Вышедший из пластинки
луч оказался
смещенным относительно
падающего луча на расстояние b = 2 см. Найти толщину пластинки.
Ответ: 4,17 см.
8. На дно сосуда положили плоское зеркало и налили слой воды
толщиной Н = 8 см. Над водой, на расстоянии h = 2 см от поверхности
расположен точечный источник света. Каково кажущееся расстояние от
поверхности воды до изображения источника в зеркале, если наблюдатель
смотрит по вертикали вниз и показатель преломления воды равен 4/3?
Учесть, что для малых углов tg  Sin.
Ответ: 14 см.
9. При изменении тока в катушке индуктивности на величину 1 А за
время 0,6 с в ней возникла ЭДС, равная 0,2 мВ. Какую длину будут иметь
электромагнитные волны, излучаемые генератором, колебательный контур
которого состоит из этой катушки и конденсатора емкостью С = 14 нФ?
Ответ: 2440 м.
10. Электрический колебательный контур состоит из катушки
индуктивности L = 0,2 мГн и двух конденсаторов емкостью по 4 мкФ
каждый, соединенных последовательно. Определить период колебаний,
максимальный заряд и максимальное напряжение на каждом конденсаторе,
если максимальный ток в цепи контура равен 0,1 А.
Ответ: 0,126 мс, 2 мкКл, 0,5 В.
11. Электромагнитное излучение с длиной волны  = 50 нм
вырывает в вакууме с поверхности титана фотоэлектроны, которые
попадают в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. Найти
радиус окружности, по которой начнут двигаться электроны, если их
скорость перпендикулярна линиям индукции магнитного поля, а работа
выхода электронов с поверхности титана равна 4 эВ. Элементарный заряд
e = 1,6·10-19 Кл, постоянная Планка h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света c =
3·108 м/с.
1.3.2_118
Ответ: 154 мкм
12. Однократно ионизированный атом бора под действием разности
потенциалов  = 100 В приобретает скорость V = 49,1 км/с. Порядковый
номер бора в периодической системе элементов 5.Определить число
нейтронов в данном изотопе бора.
Ответ: 3.
13. Капля воды массой m = 0,2 мкг нагревается светом с длиной
волны  = 0,75 мкм, поглощая 10 миллиардов фотонов за 1 с. Через какое
время температура капли повысится на T = 1 К? Потерями пренебречь,
удельная теплоемкость волы с = 4,19 кДж/кг.К.
Ответ: 3,66 суток.
1.3.2_119
Олимпиадные задания по физике
Вариант 1
1
Сколько фотонов ежесекундно испускает нить электрической лампы
полезной мощностью Р = 1 Вт, если длина волны излучения,
соответствующая средней энергии фотона, равна 1 мкм? Постоянная
Планка h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.
2
Тело объемом V = 10-4 м3 находится под водой так, что его верхняя
часть расположена на глубине h = 5 м. Плотность тела равна 3000 кг/м3.
Какую надо совершить работу, чтобы медленно поднять тело до
поверхности воды? Плотность воды ρв = 1000 кг/м3.
3
Вокруг неподвижного положительного точечного заряда Q = 5 нКл
равномерно вращается по окружности под действием силы притяжения
маленький, отрицательно заряженный шарик. Чему равно отношение
заряда шарика к его массе, если период обращения равен 1 с, а радиус
окружности равен 3 см? Электрическая постоянная ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.
4
Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а плотность
0,74 плотности Земли. Найти ускорение свободного падения на Марсе.
Радиус Земли равен 6400 км.
5
В вертикальном сосуде в воде плавает кусок льда массой m1 = 5 кг, в
который вмерз кусок свинца массой m2 = 0,1 кг. Какое количество теплоты
надо сообщить этой системе, чтобы остаток льда со свинцом начал тонуть?
Температура воды в сосуде равна 0 ˚С. Удельная теплота плавления льда
1.3.2_120
равна 333 кДж/кг, плотность воды ρ0 = 1000 кг/м3, льда ρл = 900 кг/м3,
свинца ρсв = 11300 кг/м3.
Вариант 2
1
Балку длиной 10 м и массой 900 кг поднимают с постоянной
скоростью в горизонтальном положении на двух параллельных тросах.
Найти силы натяжения тросов, если один из них укреплен на конце балки,
а другой – на расстоянии 1 м от другого конца.
2
Вокруг неподвижного заряда величиной 10 нКл движется по
окружности радиусом 1 см заряд противоположного знака. Один оборот
заряд совершает за 2 секунд. Найти отношение заряда к массе для
движущегося заряда. Электрическая постоянная ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.
3
Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше
соответствующего периода обращения Земли. Считая орбиты планет
круговыми, найти, во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца
превышает расстояние от Земли до Солнца.
4
Свинцовая пуля пробивает деревянную стенку, причем скорость ее
меняется от 400 м/с вначале до 100 м/с в момент вылета. Какая часть пули
расплавилась, если на ее нагревание идет 60% потерянной механической
энергии? Температура пули до удара была равна 50 ˚С, температура
плавления свинца 327 ˚С, удельная теплоемкость свинца суд = 125,7 Дж/кг
К, удельная теплота плавления свинца  = 26,4 кДж/кг.
1.3.2_121
5
На
поверхность
металлического
электрода
в
вакуумном
фотоэлементе падает поток света с длиной волны  = 0,4 мкм, мощность
которого Р = 5 мВт. Определить силу фототока насыщения в этом
фотоэлементе, если 5% всех падающих фотонов выбивают из металла
электроны. Элементарный заряд e = 1,6·10-19 Кл, постоянная Планка h =
6,63·10-34 Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.
Вариант 3
1
Источник монохроматического света мощностью 40 Вт испускает
1,2.1020 фотонов в секунду. Определить длину волны излучения.
Постоянная Планка h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.
2
Стальной шарик радиусом r = 2 см лежит на дне реки глубиной h = 3
м. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поднять шарик на
высоту Н = 2 м над поверхностью воды? Плотность воды ρо = 1000 кг/м3,
плотность стали ρ = 7800 кг/м3.
3
Согласно теории Резерфорда-Бора электрон в атоме водорода
движется по круговой орбите радиусом R = 0,05 нм. Какова в этом случае
его скорость? Масса электрона me = 9,11·10-31 кг, элементарный заряд e =
1,6·10-19 Кл, электрическая постоянная ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.
4
Звездная система состоит из двух одинаковых звезд, находящихся на
расстоянии 500 млн. км друг от друга. Масса каждой звезды равна 1,5.1034
кг. Найти период обращения звезд вокруг общего центра масс.
Гравитационная постоянная G = 6,67·10-11 м3/(кг·с2).
5
1.3.2_122
В алюминиевый чайник налили 2 л воды при температуре t = 20 ˚С и
поставили на электроплитку с КПД = 75%. Мощность плитки N = 2 кВт,
масса чайника М = 500 г. Через какое время масса воды в чайнике
уменьшится на ∆m = 100 г? Удельная теплота испарения воды равна 2,25
МДж/кг, ее удельная теплоемкость – 4190 Дж/кг, удельная теплоемкость
алюминия – 900 Дж/кг.
Вариант 4
1
На каком расстоянии от центра Луны тело притягивается к Земле и к
Луне с одинаковой силой? Принять, что масса Луны в 81 раз меньше
массы Земли, а расстояние между их центрами равно 380 тыс. км.
2
Из однородного диска радиусом 105,6 см вырезан
квадрат, как показано на рисунке. Определить положение
центра масс диска с таким вырезом.
3
Газ находился в сосуде под давлением P = 0,2 МПа при температуре
t = 127 ˚С. Затем 1/6 часть газа выпустили из сосуда, а температуру
оставшейся части газа понизили на t = 10 ˚С. Каким стало давление
оставшегося газа?
4
Определить длину волны фотона, имеющего энергию, равную
кинетической энергии электрона, ускоренного разностью потенциалов 
= 2 В. Элементарный заряд e = 1,6·10-19 Кл, постоянная Планка h = 6,63·1034
Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.
1.3.2_123
5
Горизонтальное магнитное поле с индукцией В
= 0,52 Тл направлено параллельно наклонной
плоскости, с которой соскальзывает с постоянной

B

α
скоростью υ = 5 м/с заряженное тело массой m = 2
мг. Найти заряд этого тела, если угол наклона плоскости к горизонту равен
30˚, а коэффициент трения тела о плоскость k = 0,5.
Вариант 5
1
К средней точке натянутого горизонтально невесомого провода
длиной 40 м подвешен груз массой 17 кг. Вследствие этого провод провис
на 10 см. Определить силу натяжения провода.
2
Шарик массой m = 4 г, несущий заряд q1 =
278 нКл, подвешен на нити. При приближении к
нему второго заряда q2 противоположного знака
нить отклонилась на угол α = 45˚ от вертикали (см.

r
q2
q1
рисунок). Найти величину второго заряда, если
расстояние между зарядами r = 6 см. Электрическая
постоянная ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.
3
Считая орбиты планет круговыми, найти отношение
линейных
скоростей движения Земли и Юпитера вокруг Солнца υЗ : υЮ. Период
обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего
периода обращения Земли.
1.3.2_124
4
Паровой молот массой М = 10 т падает с высоты h = 2,5 м на
железную болванку массой m = 200 кг. Сколько раз он должен упасть,
чтобы температура болванки поднялась на ∆t = 40 ˚С? На нагревание
болванки
идет
60%
энергии,
выделенной
при
ударах.
Удельная
теплоемкость железа равна 460 Дж/кг.
5
Электромагнитное излучение с длиной волны  = 50 нм вырывает в
вакууме с поверхности титана фотоэлектроны, которые попадают в
однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. Найти радиус
окружности, по которой начнут двигаться электроны, если их скорость
перпендикулярна линиям индукции магнитного поля, а работа выхода
электронов с поверхности титана равна 4 эВ. Масса электрона me = 9,11·1031
кг, элементарный заряд e = 1,6·10-19 Кл, постоянная Планка h = 6,63·10-34
Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.
1.3.2_125
Решения Олимпиадных заданий по физике
Вариант 1
1. Сколько фотонов ежесекундно испускает нить электрической
лампы полезной мощностью Р = 1 Вт, если длина волны излучения,
соответствующая средней энергии фотона, равна 1 мкм? Постоянная
Планка h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.
Дано:
СИ
Р = 1 Вт
N
t=1c
λ = 1 мкм
Решение:
Pt
 5,03  1018
hc
10-6 м
h = 6,63·10-34 Дж·с
c = 3·108 м/с
N–?
Ответ: 5,03.1018
2. Тело объемом V = 10-4 м3 находится под водой так, что его верхняя
часть расположена на глубине h = 5 м. Плотность тела равна 3000 кг/м3.
Какую надо совершить работу, чтобы медленно поднять тело до
поверхности воды? Плотность воды ρв = 1000 кг/м3.
Дано:
СИ
Решение:
V = 10-4 м3
0 x : F  FA  mg  0
h=5м
F  Vg  вVg
ρ = 3000 кг/м3
A  Fh     в Vgh  9,8 Дж
ρв = 1000 кг/м3
g = 9,8 м/с2
A–?
Ответ: 9,8 Дж
1.3.2_126
3. Вокруг неподвижного положительного точечного заряда Q = 5
нКл равномерно вращается по окружности под действием силы
притяжения маленький, отрицательно заряженный шарик. Чему равно
отношение заряда шарика к его массе, если период обращения равен 1 с, а
радиус окружности равен 3 см? Электрическая постоянная ε0 = 8,85·10-12
Ф/м.
Дано:
СИ
Решение:
Q = 5 нКл
5·10-9
0 x : F  man
T=1c
Кл
qQ
4 2 R
 2 m 2 ,
R
T
R = 3 cм
κ = 9·109 м/Ф
q 42 R 3

 23,7  106 Кл/кг
2
m QT
0,03 м
Ответ: 23,7 мкКл/кг
q
-?
m
4. Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а плотность
0,74 плотности Земли. Найти ускорение свободного падения на Марсе.
Радиус Земли равен 6400 км.
Дано:
СИ
Rм = 0,53 Rз
ρм = 0,74 ρз
Rз = 6400 км
g0 = 9,8 м/с2
gм – ?
6,4·106 м
Решение:
4
4
м Rм3
з Rз3
M
g м  G 2м  G 3 2
 G 3 2  0,74  0,53 ,
Rм
Rм
Rз
gм  G
Mм
 0,74  0,53  0,39 g 0  3,84 м/с2
2
Rм
Ответ: 3,84 м/с2
5. В вертикальном сосуде в воде плавает кусок льда массой m1 = 5 кг,
в который вмерз кусок свинца массой m2 = 0,1 кг. Какое количество
теплоты надо сообщить этой системе, чтобы остаток льда со свинцом
1.3.2_127
начал тонуть? Температура воды в сосуде равна 0 ˚С. Удельная теплота
плавления льда равна 333 кДж/кг, плотность воды ρ0=1000 кг/м3, льда
ρл=900 кг/м3, свинца ρсв=11300 кг/м3.
Дано:
СИ
Решение:
m1 = 5 кг
0 y : FA  mg  0 ,
m2 = 0,1 кг
m m 
0  2  л  g   m2  mл  g  0 ,
 св л 
t = 0 ˚С
λ
=
273 К
333

0 
1 

св 

mл  m2
,
 0

  1
 л

кДж/кг
ρ0 = 1000 кг/м3
ρл = 900 кг/м3
ρсв=11300
Q  mл    m1  mл 


0  
1





св

   1,39  106 Дж
Q    m1  m2

 0


1



 л


кг/м3
Q–?
Ответ: 1,39 МДж
Вариант 2
1. Балку длиной 10 м и массой 900 кг поднимают с постоянной
скоростью в горизонтальном положении на двух параллельных тросах.
Найти силы натяжения тросов, если один из них укреплен на конце балки,
а другой – на расстоянии 1 м от другого конца.
Дано:
L = 10 м
СИ
Решение:
b=1м
 F  F2  mg  0
0 y : 1

L
0 z :  F2  L  b   mg  0

2
g = 9,8 м/с2
F1  mg
F1 - ? F2 – ?
Ответ: 3,92 кН; 4,90 кН
m = 900 кг
L  2b
;
2 L  b
F2  mg
L
2 L  b
1.3.2_128
2. Вокруг неподвижного заряда величиной 10 нКл движется по
окружности радиусом 1 см заряд противоположного знака. Один оборот
заряд совершает за 2 секунд. Найти отношение заряда к массе для
движущегося заряда. Электрическая постоянная ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.
Дано:
СИ
Решение:
Q = 10 нКл
10-8 Кл
0 x : F  man
0,01 м
qQ
4 2 R
 2 m 2 ,
R
T
T = 2π c
R = 1 cм
q 42 R 3

 11  109 Кл/кг
2
m QT
κ = 9·109 м/Ф
Ответ: 11нКл/кг
q
-?
m
3. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше
соответствующего периода обращения Земли. Считая орбиты планет
круговыми, найти, во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца
превышает расстояние от Земли до Солнца.
Дано:
Tю = 12Tз
СИ
Решение:
0 x : F  man
 mю M с
42 Rю
 mю
G
Rю2
Tю2
Rю3 Tю2

, 3  2

2
Rз Tз
m
M
4 Rз

з
с
G

m
з

Rз2
Tз2

Rю
Tю2
3


 5,2
Rз
Tз2
Rю: Rз– ?
Ответ: ≈ 5,2
1.3.2_129
4. Свинцовая пуля пробивает деревянную стенку, причем скорость ее
меняется от 400 м/с вначале до 100 м/с в момент вылета. Какая часть пули
расплавилась, если на ее нагревание идет 60% потерянной механической
энергии? Температура пули до удара была равна 50 ˚С, температура
плавления свинца 327 ˚С, удельная теплоемкость свинца суд = 125,7 Дж/кг
К, удельная теплота плавления свинца  = 26,4 кДж/кг.
Дано:
СИ
t = 50 ˚С
323 К
Решение:
 m12 m22 

Q=0,6ΔE ; cm  tпл  t   m1  0,6 

2
2 
600 К

tпл = 327 ˚С
2
2
m1 0,3 1  2   c  tпл  t 

 0,38
m

 = 26,4 кДж/кг
с = 125,7 Дж/кг·К
υ1 = 400 м/с
υ2 = 100 м/с
Q =0,6ΔE
Ответ: 0,38
m1
–?
m
5.
На
поверхность
металлического
электрода
в
вакуумном
фотоэлементе падает поток света с длиной волны  = 0,4 мкм, мощность
которого Р = 5 мВт. Определить силу фототока насыщения в этом
фотоэлементе, если 5% всех падающих фотонов выбивают из металла
электроны.
Дано:
Р = 5 мВт
η = 0,05
λ = 0,4 мкм
h = 6,63·10-34 Дж·с
СИ
Решение:
I
q Ne
Pt
; N  0,05

t
t
hc
N  0,05
Pe
 80 мкА
hc
c = 3·108 м/с
e = 1,6·10-19 Кл
N-?
Ответ: 80 мкА
1.3.2_130
Вариант 3
1. Источник монохроматического света мощностью 40 Вт испускает
1,2.1020 фотонов в секунду. Определить длину волны излучения.
Постоянная Планка h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.
Дано:
СИ
Р = 40 Вт
Решение:
Pn
hc

n
hc
 5,9 107 м
P
n = 1,2.1020 1/c
h = 6,63·10-34 Дж·с
c = 3·108 м/с
λ=?
Ответ: 5,9.10-7 м
2. Стальной шарик радиусом r = 2 см лежит на дне реки глубиной h =
3 м. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поднять шарик
на высоту Н = 2 м над поверхностью воды? Плотность воды ρо = 1000
кг/м3, плотность стали ρ = 7800 кг/м3.
Дано:
СИ
Решение:
r = 2 см
0,02
A  F1h  mgH
h=3м
м
4
0 x : F1  FA  mg  0 ; F1  Vg  0Vg ; V  r 3
3
H=2м
ρ = 7800 кг/м3
ρ0 = 1000 кг/м3
4
A  r 3 g    0  h  H   11,8 Дж
3
g = 9,8 м/с2
A-?
Ответ: 11,8 Дж
1.3.2_131
3. Согласно теории Резерфорда-Бора электрон в атоме водорода
движется по круговой орбите радиусом R = 0,05 нм. Какова в этом случае
его скорость? Масса электрона me = 9,11·10-31 кг, элементарный заряд e =
1,6·10-19 Кл, электрическая постоянная ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.
Дано:
СИ
Решение:
R = 0,05 нм
0 x : F  me an
κ = 9·109 м/Ф
e2
2
 2  me ;
R
R
e = 1,6·10-19 Кл
e2
 
 2,25  106 м/с
me R
mе = 9,1·10-31 кг
υ–?
Ответ: 2250 км/с
4. Звездная система состоит из двух одинаковых звезд, находящихся
на расстоянии 500 млн. км друг от друга. Масса каждой звезды равна
1,5.1034 кг. Найти период обращения звезд вокруг общего центра масс.
Дано:
СИ
d = 500 млн. км
5·1011 м
M = 1,5.1034 кг
Решение:
0 x : F  man ;
G = 6,67·10-11 м3/(кг·с2)
T
T–?
2
G
d
2,
2
4 2
M
M
d2
T
2 2 d 3
 15,7  105 с
GM
Ответ: 1,6·106 с
5. В алюминиевый чайник налили 2 л воды при температуре t = 20 ˚С
и поставили на электроплитку с КПД = 75%. Мощность плитки N = 2 кВт,
масса чайника М = 500 г. Через какое время масса воды в чайнике
уменьшится на ∆m = 100 г? Удельная теплота испарения воды равна 2,25
МДж/кг, ее удельная теплоемкость – 4190 Дж/кг, удельная теплоемкость
алюминия – 900 Дж/кг.
1.3.2_132
Дано:
СИ
Решение:
V=2л
2·10-3 м3
N   Q ,
N   c0V  tk  t   cAM  tk  t   r m
t = 20 ˚С
tk = 100 ˚С

η = 0,75
 c0V  cAM  tk  t   r m  621 с
N
N = 2 кВт
М = 500 г
∆m = 100 г
r = 2,25 МДж/кг
с
=
4120
Дж/кг·К
сA = 900 Дж/кг·К
ρ0 = 1000 кг/м3
τ–?
Ответ: 10 мин 21 с
Вариант 4
1. На каком расстоянии от центра Луны тело притягивается к Земле и
к Луне с одинаковой силой? Принять, что масса Луны в 81 раз меньше
массы Земли, а расстояние между их центрами равно 380 тыс. км.
Дано:
81Mл = Mз
L = 380 тыс.
км
СИ
Решение:
F1  F2 ,
L
l
1
l–?
Mз
Mл
G
mM л
mM з

G
2
l2
L  l
=
L
= 38 тыс.км
10
Ответ: 38 тыс. км
1.3.2_133
2. Из однородного диска радиусом 105,6 см вырезан
квадрат, как показано на рисунке. Определить положение
центра масс диска с таким вырезом.
Дано:
СИ
Решение:
R = 105,6 см
1,056 м
 M  h  R 2  a 2 
;

2
m  ha

Mgx  mg
R
;
2
x
a2 
R2
2
R
 0,1 м
2  2  1
Ответ: 10 см слева от центра круга
x-?
3. Газ находился в сосуде под давлением P = 0,2 МПа при
температуре t = 127 ˚С. Затем 1/6 часть газа выпустили из сосуда, а
температуру оставшейся части газа понизили на t = 10 ˚С. Каким стало
давление оставшегося газа?
Дано:
СИ
Решение:
t = 127 ˚С
400 К
t = 10 ˚С
10 К
m

PV

RT

P  m  m T  T 
M
; k 

mT
 PV  m  m R T  T  P
k

M
P = 0,2 МПа
∆m = m/6
Pk  P
Pk – ?
 m  m T  T   0,16 МПа
mT
Ответ: 0,16 МПа
1.3.2_134
4. Определить длину волны фотона, имеющего энергию, равную
кинетической энергии электрона, ускоренного разностью потенциалов 
= 2 В. Элементарный заряд e = 1,6·10-19 Кл, постоянная Планка h = 6,63·1034
Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.
Дано:
СИ
 = 2 В
Решение:
Eф  Ee ;
e = 1,6·10-19 Кл
h = 6,63·10-34 Дж·с

c = 3·108 м/с
λ–?
hc
 e

hc
 6,21 107 м
e
Ответ: 621 нм
5. Горизонтальное магнитное поле с индукцией
В = 0,52 Тл направлено параллельно наклонной
плоскости, с которой соскальзывает с постоянной

B

α
скоростью υ = 5 м/с заряженное тело массой m = 2
мг. Найти заряд этого тела, если угол наклона плоскости к горизонту равен
30˚, а коэффициент трения тела о плоскость k = 0,5.
Дано:
СИ
Решение:
υ = 5 м/с
0 x :  mg sin   Fтр  0

0 y :  N  Fл  mg cos   0 ;
m = 2 мг
Fтр  kN
В = 0,52 Тл
k = 0,5
α = 30˚
q
Fл  qB
mg  sin   k cos  
 106 Кл
k B
g = 9,8 м/с2
q-?
Ответ: 1 мкКл
1.3.2_135
Вариант 5
1. К средней точке натянутого горизонтально невесомого провода
длиной 40 м подвешен груз массой 17 кг. Вследствие этого провод провис
на 10 см. Определить силу натяжения провода.
Дано:
СИ
m = 17 кг
h = 10 см
0,1 м
L = 40 м
Решение:
0 y : 2 F sin   mg  0 , sin  
F
g = 9,8 м/с2
F–?
2h
L
mgL
 16660 Н
4h
Ответ: ≈17 кН
2. Шарик массой m = 4 г, несущий заряд q1 =
278 нКл, подвешен на нити. При приближении к нему
второго заряда q2 противоположного знака нить

r
отклонилась на угол α = 45˚ от вертикали (см.
q2
q1
рисунок). Найти величину второго заряда, если
расстояние между зарядами r = 6 см. Электрическая
постоянная ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.
Дано:
СИ
Решение:
m=4г
4·10-3 кг
0 x :  Fэ  T sin   0
;

0 y : T cos   mg  0
q1 = 278 нКл
α = 45˚
r = 6 см
6·10-2 м
Fэ  
q1q2
r2
mgr 2
q2 
tg   56,4  109 Кл
q1
κ = 9·109 м/Ф
g = 9,8 м/с2
q2 – ?
Ответ: 56,4 нКл
1.3.2_136
3. Считая орбиты планет круговыми, найти отношение линейных
скоростей движения Земли и Юпитера вокруг Солнца υЗ : υЮ. Период
обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего
периода обращения Земли.
Дано:
СИ
Решение:
0 x : F  man
Tю = 12Tз
 mю M с
2ю
 mю
G
Rю2
Rю
2з Rю

,
;



2
2

R
ю
з
з
 mз M с
G

m
з

Rз2
Rз



υЗ : υЮ – ?
2R
T
R
T
2
з
T
 3 ю  2,3
ю
Tз
Ответ: ≈ 2,3
4. Паровой молот массой М = 10 т падает с высоты h = 2,5 м на
железную болванку массой m = 200 кг. Сколько раз он должен упасть,
чтобы температура болванки поднялась на ∆t = 40 ˚С? На нагревание
болванки
идет
60%
энергии,
выделенной
при
ударах.
Удельная
теплоемкость железа равна 460 Дж/кг.
Дано:
М = 10 т
h = 2,5 м
m = 200 кг
СИ
Решение:
nE  Q , nMgh  cmt
n
cmt
 25
Mgh
∆t = 40 ˚С
1.3.2_137
η = 0,6
с = 460 Дж/кг·К
g = 9,8 м/с2
n–?
Ответ: 25
5. Электромагнитное излучение с длиной волны  = 50 нм вырывает
в вакууме с поверхности титана фотоэлектроны, которые попадают в
однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. Найти радиус
окружности, по которой начнут двигаться электроны, если их скорость
перпендикулярна линиям индукции магнитного поля, а работа выхода
электронов с поверхности титана равна 4 эВ. Элементарный заряд e =
1,6·10-19 Кл, постоянная Планка h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света c =
3·108 м/с.
Дано:
СИ
λ = 50 нм
hc
me 2
;
 A

2
В = 0,1 Тл
А = 4 эВ
mе = 9,1·10-31 кг
h
=
6,63·10-34
Дж·с
c = 3·108 м/с
Решение:
6,4·10-19 Дж
me 2
0 x : F  me an ; eB 
R
 hc

2me   A 
m


R e 
 154  106 м
eB
eB
e = 1,6·10-19 Кл
R–?
Ответ: 154 мкм
1.3.2_138
Вариант отраслевой олимпиады МГТУ ГА по физике
1.
На рисунке 1 показан график
колебаний силы тока в колебательном
контуре с антенной.
электромагнитной
Определите длину
волны,
излучаемой
антенной.
2.
На
сколько
клеточек
и
в
каком
направлении следует переместить глаз наблюдателя,
чтобы изображение стрелки в зеркале (рис.2) было
видно глазу полностью?
3.
По
поверхности
стола
движется
с
постоянной скоростью υ черная доска. По доске
движется кусок мела, запущенный по ней так, что в
начальный момент скорость мела относительно
стола u перпендикулярна скорости доски (рис.3). Какой формы след
оставит мел на доске?
4.
Имеются
четыре
тонкие
проволочные
спирали
с
сопротивлениями 10, 20, 30 и 40 Ом. Как из этих спиралей составить
нагревательный элемент с сопротивлением 25 Ом?
5.
Для дальней космической связи используется спутник объемом
V = 1000 м3, наполненный воздухом, находящимся при нормальных
условиях. Оцените время, через которое давление внутри спутника
изменится на 1%, если в корпусе спутника появится отверстие площадью
S =1 см2. Температуру воздуха считать неизменной.
6.
Атмосфера Земли может рассматриваться как гигантская
тепловая машина, в которой роль нагревателя и холодильника играют
экваториальная зона и зоны полюсов, а источником энергии является
солнечная радиация. Считая, что полный поток солнечной энергии,
1.3.2_139
поступающий на Землю, равен Q = 1,7 1017 Вт, а коэффициент полезного
действия
(КПД)
рассматриваемой
«машины»
на порядок
меньше
максимально возможного, оценить среднюю мощность, расходуемую на
образование ветров, в расчете на 1м2
земной поверхности. Обсудить
физические причины, вследствие которых реальный КПД намного меньше
максимально возможного. Считать, что радиус Земли Rз = 6400 км.
Температуру
в
экваториальной
зоне
и
зонах
полюсов
задать
самостоятельно.
1.3.2_140
Решения задач отраслевой олимпиады по физике.
Из рисунка 1 определяется
1.
период колебаний  = 4 10 6 с. Так как
длина излучаемой волны  связана со
скоростью
света
и
c
частотой
1
 соотношением c =    , а  = , то  =

c  . Ответ:  =1,2* 103 м.
Ответ: Глаз следует переместить в
любую точку области, заштрихованной на
рисунке 2.
Указание: если учащийся указывает
какую-то
конкретную
заштрихованной
точку
области,
то
из
это
надо
считать правильным ответом и выставлять
за такой ответ наивысший балл.
В системе координат, движущейся с той же скоростью v , что и
2.
доска,
мел
имеет
скорость
u  u  v , где u - скорость мела
сила
трения
направлена
вектору
u ,
мела
о
доску
противоположно
то сила трения
U
U
относительно стола. Так как



Рис. 3
направление скорости мела и,
1.3.2_141
соответственно, направление его движения
изменять не будет. Это
означает, что мел прочертит прямую линию, идущую под углом   arctg
u
v
к вектору - v (рис.3)
3.
Для
того
чтобы
общее
сопротивление
нагревательного
элемента было 25 Ом, нужно составить схему, состоящую из двух
параллельно соединенных участков. Первый участок должен состоять из
последовательно соединенных спиралей с сопротивлениями 10 и 40 Ом, а
второй – из последовательно соединенных спиралей с сопротивлениями
20 и 30 Ом.
4.
Число молекул, которые за время  проходят через отверстие
площадью S , перпендикулярное оси x , направленной перпендикулярно
n
2
плоскости отверстия, равно Z  Vx S , где n - концентрация молекул, Vx среднее значение модуля проекции скорости молекул на ось x .. При этом
число молекул в единице объема изменяется на n 
 2
Z n SVx

, Откуда
V 2 V
n V
.
n SVx
По условию задачи температура воздуха в спутнике остается
неизменной. Как следует из уравнения Менделеева-Клапейрона, в этом
случае давление пропорционально плотности газа и, соответственно,
концентрации молекул. Поэтому
p n

 0, 01 .
p
n
Для оценки можно считать, что 3 Vx 2  U 2 , где U - модуль средней
скорости движения молекул, поэтому Vx 
масса воздуха. Следовательно,   2
pV
pS

RT
1
U
3
RT

где  - молярная
 70 0с.
6. Принимая ориентировочно (школьники, естественно могут
выбрать несколько иные цифры) температуру на экваторе эк около 40
1.3.2_142
градусов Цельсия (примерно 313К), а для разности температур между
тропической и полярной областями   50K , получаем по теореме Карно
max =

 0,16.
 эк
Мощность N , преобразуемая ежесекундно в энергию
ветров, определяется из соотношения N =


Q =0,1 max 2 Q  5 106 Вт / км 2
2
4 Rз
4 Rз
.
В качестве причин различия  и max можно рассмотреть поглощение
солнечной энергии в областях высоких широт, избыточное тепловое
излучение (то есть превышающее среднее) из области низких широт,
теплопроводность,
неполное
поглощение
солнечного
излучения
в
атмосфере и др.
1.3.2_143