26x - LanCats

Методика введения понятий предела функций в точке и непрерывности функции.
Понятие предела – одно из важнейших понятий курса математического анализа. Однако
исторически теория пределов сформировалась позднее в 19 в, чем дифференциальное и
интегральное исчисление (17в).
Определение предела чрезвычайно сложно, поэтому в общеобразовательной школе можно
обойтись без строгой его формулировки. Но не зависимо от того, на каком уровне
вводиться понятие надо соблюдать следующее:
- Проводить мотивацию изучения, например, с помощью примеров из физики, используя
генетический подход, внутренние потребности самой математики.
- Везде где это возможно вводить определение, сформулировать свойства и т.д., исходя из
геометрически наглядных соображений, использовать графики функции.
Тема начинается с изучения понятия предела числовой последовательности.
Мотивацией могут служить внутренние потребности математики, так как ранее учащиеся
уже сталкивались с термином предел, предельный переход. Поэтому настало время дать
четкое определение этому понятию.
Актуализация должна включать следующие упражнения:
1). повторение формул нахождения расстояния между 2 точкам на числовой прямой
х1(х1) х2(х2)
d(x1, x2) = |x1-x2|
2) показать на числовой оси множество точек удовлетворяющие равенству
а) |x-a|=b
б) |x-a|<b
где a и b – фиксированные числа.
3). Решить неравенство |x – a| < b (b > 0)
-b < x-a < b
-b+a < x < b+a - запись окружности вокруг точки а радиуса b
Далее на основе решения последних упражнений вводится понятие окружности числа
(точки). Окрестность т.а радиуса b.
Затем рассматривается последовательность:
аn=(2n-1)/n
- Выпишем несколько первых членов последовательности
a1=…=1
а2=…=3/2
a3=…=5/3 ….
- Изобразите полученные числа на числовой прямой (рисуем)
- Можно ли указать сотый (тысячный) член этой последовательности, a1000 ? (да)
a100 =1,99
a1000=1,999
- можно ли их изобразить на числовой прямой? (Можно, изображаем)
- существует ли число, к которому приближаются все члены последовательности с
возрастанием номера? (да к 2)
- итак, при возрастании номера n члены последовательности приближаются к числу 2.
Значит, расстояние между числами и числом 2 уменьшается. Найдем, например, d(a50,2)
d (a50 ,2)  a50  2 
2  501
1
2 
50
50
аналогично d(a100,2)
- Можно ли решить обратную задачу, т.е. найти такой член последовательности (его номер
n0), что d(an0, 2) < 1/200
|a0 – 2| < 1/200
,
,
,
.
т.о. n0 =201, 202 ,…
- Можно ли для данного расстояния найти номер? В этом случае говорят, что члены
последовательности с номерами больше, чем 200 будут находиться, в окружности числа 2
с радиусом 1/200.
Это записывается
,
.
.
- Т.о. в этой окружности содержится бесконечное, число членов последовательности, а вне
этой окружности – конечное множество членов, т.е. какое бы малое положительное число
ε мы не задали, обязательно найдется такое число N(номер), что все члены
последовательности с номерами больше, чем N будут находиться в заданной окружности
числа 2 с радиусом ε. В этом случае говорят, что число 2 является пределом
последовательности an.
Далее рассматривается еще одна аналогичная последовательность, например:
Выполняется аналогичная работа с этой последовательностью. Фактически еще раз
проговаривается определение, которое далее формулируется в двух видах.
На языке окрестностей:
Число А называется пределом числовой последовательности xn при n→∞, если какую бы
окружность числа не взяли, то все члены последовательности, начиная с некоторого
номера, попадают в эту окружность.
На языке ε-N:
Число А называется пределом числовой последовательности xn при n→∞, если для любого
сколь угодно малого ε>0 найдет такой номер N, что для всех n>N выполняется
неравенство | xn - A|<ε
Выполняется упражнение на осознание и осмысление определения при рассмотрении
конкретных числовых последовательностей. К уроку, на котором будет изучаться
определение предела функций в точке, учащимся надо предложить выполнить следующее
задание:
1) доказать, что lim(n-1)/3n=1/3 и т.д.
2) построить графики функций
а)y=2x+1
b)y=(2x2-x-1)/(x+1), получим y=2x+1, x≠1
в) у=система: (2x2-x-1)/(x+1) при х≠1
2, при х=1
г) у=система: 2x+1, при x<1
2-x, при x 1
На уроке вспоминается определение предела числовой последовательности и что означает
неравенство |Хn - A| < ε
- имеется ε-окружность точки А
- А-ε < Хn < A+ε
- расстояние между точками Xn и А меньше ε
Мотивация.
Рассматривается пример из физики:
- Если масса груза m увеличивается незначительно, то длина нити l мало изменяется. Но
если масса груза близка к некоторой критической предельной массе m* (пределу прочности
нити), то происходит обрыв нити.
Изобразим это графически:
Такие процессы в физике встречаются довольно часто, поэтому перед
нами стоит математическая задача:
Найти математический аппарат (модель) с помощью которого можно
описать эти процессы.
Разрыв графика связан с пределом функции в точке. Рассмотрим график новой функции y =
2x+1 из д/з (строим)
- С какой бы стороны (лево, право) мы по оси Ох не двигались при х →1, f(x)→3.
Рассмотрим существуют ли такие значения х при которых
|2x + 1 – 3| < 0,1; |2x – 2| < 0,1; 2 – 0,1 < 2x < 2 + 0,1; 1,9 < 2x < 2,1
0,95 < x < 1, 05 – получилась окружность числа 1 по оси Ох.
Аналогично решаются неравенства: |f(x) – 3| < 0,001, |f(x) – 3| < 0,0001
Т.е. при рассмотрение любой ε-окрестности числа 3 по оси Оу обязательно найдутся такие
числа х из окрестности числа 1 по оси Ох, что будет выполнятся неравенство |f(x) – 3| < ε.
(Иллюстрируют на рисунке).
В этом случае говорят, что существует предел функции в точке
Аналогично показывается по графику другой функции.
y=(2x2-x-1)/(x+1), получим y=2x+1, x≠1 (рисуем, (1, 3) – выколота).
Рассуждая аналогично, получаем
у=система: (2x2-x-1)/(x+1) при х≠1
2, при х=1
(рисуем, (2, 3) – выколота). Аналогично рассуждая полчим тот же вывод.
у=система: 2x+1, при x<1
2-x, при x 1
(рисуем, (1, 3) – выколота).
- Пусть х →1. Можно ли указать значение к которому стремится у? (Нет, нельзя, т.к.
зависит от того, с какой стороны двигаемся по оси Ох).
В этом случае говорят, что не существует предела функции в точке. Анализируя примеры
формулируем определение.
На языке ε-окресностей :
Число b называется пределом функции у = f(x) при x→a , если любая ε-окрестности точки b
найдется такая δ-окрестности точки а, что для всех х из этой окрестности, кроме быть
может самой точки а, значения функции f(x) лежит в ε-окрестности точки b .
На языке ε-δ:
Число b называется пределом функции у = f(x) при x→a, если для любой ε>0, существует
δ>0 ,что при всех х ≠ а, удовлетворяющих неравенству |x-a| < δ выполняется неравенство
|f(x) - b|<ε.
- Из приведённых определений следует, что для существования предела функции в точке,
надо чтобы функция была определена во всех точках некоторой окружности данной точки,
кроме быть может самой заданной точки.
Для осознания и осмысления решаются задачи:
1) вставить пропущенные слова в определении
2) указать предел функции в точке
3) доказать, что функция не имеет предела в заданной точке (методом от противного).
Далее по имеющимся графикам функций отвечаем на вопросы:
1) определена ли функция в точке х=1. Если да, то найти f(1)
2) существует ли предел при х→1, f(х). Если да, то указать его.
3)выполняется ли равенство lim f(x)=f(1) при x→1
Следовательно только для функции y=2x+1 все ответы на данные вопросы
положительные. И только ее график можно построить, не отрывая мел от доски. такая
функции называется непрерывной, остальные разрывные.
Опр. Функция y=f(x) называется непрерывной в некоторой точке а, если lim f(x) = f(a) при
x→a
Функция называется непрерывной на промежутке, если непрерывна в каждой точке
промежутка.
В учебнике Ш.А.Алимова и др. данное подробно не рассматривается, поэтому учитель
сам решает в зависимости от уровня класса, на сколько углубляется в изучение данной
темы.