Иррациональные уравнения и неравенства Введение Иррациональными уравнениями и неравенствами называются такие уравнения и неравенства, в которых присутствует знак радикала ( ).Основной проблемой при решении такого рода задач является поиск кратчайшего пути, приводящего к более простой эквивалентной задаче, не содержащей радикалов. Определение 1 Задача Е1 называется эквивалентной (равносильной) задаче Е2, если множества их решений совпадают. В записи это обозначается так: Е1 Е2 В дальнейшем изложении мы будем рассматривать уравнения и неравенства, содержащие знак квадратного корня. Корни более высоких степеней встречаются на экзаменах крайне редко и только в специально подобранных задачах. Напомним определение квадратного корня: Определение 2 a 0 (1) (квадратный корень обозначает неотрицательное число) 2 (2) ( a ) = a (и такое, что его квадрат равен подкоренному выражению) Замечание 1 Наличие буквы a в правой части второго равенства показывает, что подкоренное выражение не может быть отрицательным. Поскольку это знают все старшеклассники, то указывать на это в тех местах, где есть знак радикала, не следует. Вообще, обращать внимание на область определения той или иной функции, входящей в исходную задачу, в процессе преобразований задачи нужно не раньше, чем тогда, когда исчез знак этой функции. Например, наличие знаменателя предполагает, что он не нуль, и указывать на это следует в том месте, где мы от него избавились (в исходной-то задаче он был!). Часть 1. Иррациональные уравнения. §1 Основное уравнение Это уравнение вида: (1) f ( x) g ( x ) Утверждение 1 Имеет место эквивалентность: (A) f ( x) g ( x ) ( ИУ 1) 1 (B) (C ) f ( x) g 2 ( x) g ( x) 0 Доказательство: Пусть число x 0 является решением уравнения (A). Тогда, во-первых, из равенства чисел следует равенство их квадратов, т.е. для x 0 выполняется (B), во-вторых, поскольку правая часть (A) равна левой части, а левая часть неотрицательна по определению, то имеет место неравенство (C). Таким образом, каждое решение исходного уравнения является также и решением системы. Обратно, пусть x 0 удовлетворяет системе. Перепишем её в эквивалентной форме: ( f ( x0 ) g ( x0 ))( f ( x0 ) g ( x0 )) 0 g ( x0 ) 0 Если x 0 таково, что f ( x0 ) g ( x0 ) , то всё доказано. Пусть f ( x0 ) g ( x0 ) 0 и g(x 0 ) 0, тогда очевидно, что и равенство (A) опять имеет место. f ( x0 ) g ( x0 ) 0 , Замечание 2 Предостерегаем читателя от распространённого заблуждения: “нуль, умноженный на что угодно, даёт нуль”. (Операция “нуль умножить на Ивана Семёновича”, точно так же, как 0 1 , не определены!). Поэтому в общем случае имеет место эквивалентный переход: f ( x) g ( x) 0 f ( x) 0 x Dg g ( x) 0 x D f Здесь D g и D f -- области определения соответствующих функций, а квадратная скобка обозначает совокупность, решением которой является объединение решений её составляющих Замечание 3 Поскольку правая часть уравнения (B) представляет полный квадрат, то все его решения x 0 удовлетворяют условию f ( x0 ) 0 , и соответствующая проверка – пустая трата времени. Замечание 4 Переход к следствию f ( x) g ( x ) f ( x) g 2 ( x) , с последующей проверкой равенства (A), часто не оправдан из-за затруднений, возникающих при этой проверке. 2 § 2 Примеры записи решений основной задачи Пример 1.Решить уравнение: x 1 x Решение: x 1 x x (1 x)2 1 x 0 D 32 4 5 3 5 3 5 x1 , x2 2 2 x 2 3x 1 0 1 x 0 3 5 x 2 3 5 x 2 x 1 x 3 5 2 Ответ: 3 5 . 2 Пример 2 Решить уравнение: x 3 3 x 2 Решение: x3 3 x2 ( x 3)2 9 ( x 2) x3 0 D 9 36 45 3 45 3 45 x1 , x2 2 2 x 2 3x 9 0 x3 0 3 45 x 2 3 45 x 2 x 3 0 3 3 45 x 2 3 45 x 2 3 45 3 45 Ответ: , . 2 2 Пример 3 2x x2 x 1 Решить уравнение: Решение: 2x x2 x 1 2 x x 2 ( x 1) 2 x 1 0 D 22 2 4 2 2 2 2 x1 , x2 2 2 2 x 4 x 1 0 x 1 0 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 2 2 2 2 Ответ: 1 Пример 4 2 2 . x 2 3x 2 x 2 Решить уравнение: Решение: x 2 3x 2 x 2 x 2 3x (2 x 2)2 x 1 3x 2 5 x 4 0 x 1 Ответ: решений нет. D 25 48 0 4 Пример 5 2 x2 4x x 1 Решить уравнение: Решение: 2 x2 4x x 1 2 4 x 16 x ( x 1)2 x 1 Из теоремы Виета видно, что корни разных знаков. D 7 2 3 52 4 7 52 7 52 x1 , x2 3 3 3x 2 14 x 1 0 x 1 x 7 52 3 Ответ: x 7 52 . 3 § 3 Задачи с двумя радикалами Наиболее распространёнными задачами этого типа являются следующие три: (I) f ( x) g ( x ) (II) f ( x) g ( x) c (III) f ( x) g ( x) c , где с - положительная константа. Утверждение 2 Имеют место эквивалентности: f ( x) g ( x ) f ( x) g ( x) (или g ( x) 0 , смотря, что проще) f ( x) 0 ( ИУ 2) f ( x) g ( x) c 2 f ( x) g ( x) c2 f ( x) g ( x) 2 f ( x ) g ( x ) c 2 f ( x ) g ( x ) f ( x) 0 g ( x) 0 ( ИУ 3.1) 5 Замечание 5 Тождественный переход f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) , выполняемый слева направо, может расширить область определения задачи, из-за чего могут возникнуть посторонние корни. После такой замены следует восстановить ограничения f ( x) 0 , g ( x) 0 , имевшие место в исходной задаче. Однако в некоторых случаях этого делать не надо. Например, левая и правая части тождества x a b x ( x a)(b x) , имеют одинаковые области определения. x a Здесь слева , а справа ( x a)(b x) 0 , что то же самое. x b Возможен другой путь: f ( x) g ( x) c f ( x) c g ( x) f ( x) (c g ( x)) 2 , c g ( x) 0 ( ИУ 3.2) и задача сводится к основному типу. f ( x) g ( x) c ( ИУ 4) f ( x) ( g ( x) c) Доказательства мы предоставляем читателю в качестве самостоятельной работы. 2 § 4 Примеры записи решений задач с двумя радикалами Пример 6. Решить уравнение: x2 2 x x 1 Решение: x2 2 x x 1 x2 2x x 1 x 1 0 3 5 x 2 3 5 x 2 x 1 x 3 5 2 Ответ: 6 3 5 . 2 Пример 7. Решить уравнение: x x 1 3 Решение: x x 1 3 2 x 1 2 x x 1 9 x 0 x 2 x 4 x x 0 x 2 x x 2 8 x 16 4 x 0 x 0 9 x 16 0 x 4 16 x= x 9 Ответ: Пример 8. 16 . 9 Решить уравнение: 5 2x x 1 2 Решение 5 2x x 1 2 5 2 x x 1 2 5 2 x x 1 4 2 (5 2 x)( x 1) x 4(5 x 2 x 2 5 2 x) x 2 x0 D 14 2 9 20 4(7 2 9 5) 4 4 4 14 4 14 4 x1 , x2 9 9 9 x 2 28 x 20 0 x0 7 10 x 9 x 2 x 0 Ответ: 10 ; 2. 9 Пример 9. Решить уравнение: 2x 1 x 1 Решение: 2x 1 x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 1 2 x x2 x 2 x 4x x 0 x 4 Ответ: 0 ; 4. Пример 10. Решить уравнение: 3x x 2 Решение: 3x x 2 2 x 3 1 2 2 x( ) ( 3 1) 2 4 2 3 3 1 Ответ: 4 2 3. (этот пример показывает, что в стандартной задаче решение может быть более простым, если учесть специфику данной конкретной задачи). §5. Использование монотонности функций при решении уравнений. В этом параграфе мы обращаем внимание читателя на совершенно законный метод решения задач, базирующийся на следующем утверждении. 8 Утверждение 3. Уравнение f (x)=0, где f(x)-строго возрастающая или строго убывающая на некотором множестве М функция, не может иметь на этом множестве более одного решения. Для доказательства достаточно заметить, что возрастающая (убывающая) функция в различных точках принимает различные значения. Отсюда следует, что если удаётся угадать или быстро подобрать один корень подобного уравнения и показать проверяющим, что Вы понимаете, почему других корней нет, то можно писать ответ. Пример 11. Решить уравнение x 2 x Решение: x 2 x xx2 Очевидно, что x 1 - корень уравнения, и, поскольку левая часть возрастает (как сумма возрастающих функций), то других решений нет. Ответ: 1. Пример 12. Решить уравнение: 2x 5 8 x 1 Решение: Левая часть этого уравнения является возрастающей, а правая часть- убывающей функцией, и, значит, уравнение имеет не более одного решения. Очевидно, что x 10 годится. Ответ: 10. (Для сравнения попробуйте решить это уравнение по стандартной схеме ИУ 3.2!) Замечание 6!!! Мы предлагаем читателю решение всякой задачи начинать с выяснения вопроса: «А нельзя ли использовать монотонность, что бы избежать длинных выкладок?» Просматривая экзаменационные задачи, читатель может сам убедиться в том, что количество задач, допускающих такое решение, значительно! 9 § 6. Задачи для самостоятельного решения: 1. x 7x Ответ: 2. x 1 3 x Ответ: 3. x 2 x 2x 3 Ответ: 4. 5. 6. 7. 2 x 24 x x 2 Ответ: 3x 1 x 11 Ответ: 2x 2 2x 3 x 2 x 1 2 Указание: сделайте замену x x t 9 x 4 x 2 Ответ: Ответ: x x2 4 15 29 . 2 2. 11 13 . 6 18 2; . 5 16. 1; 2. 63 . 16 7. 3x 5 4 x 1 Ответ: Ответ: 3. 10. x 20 x 22 Ответ: 4; 4. 11. 12. 2 x 2 8x 7 x 2 2x 4 x 5 1 Ответ: Ответ: 1. 20. 3; 5. 8. 9. 2 2 § 7. Контрольные задания 1. x 2 9 2x 6 Ответ: 2. x 1 x Ответ: 3. 24 x x 12 Ответ: 4. 2 x x2 Ответ: 5. 5 3x x 1 2 Ответ: 6. 7. x x Ответ: Ответ: 4 x 1 3x 2 5 1 5 . 2 15. 2; 1. 3 ; 1. 2 . 2. 13 2 43 13 2 43 , . 3 3 8. 2 x 2 6x x 1 Ответ: 9. x 2 2x x 2 2x 2 4 4x 2x 2 Ответ: 10. 2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 2 Ответ: 0; 2 . 1 2 ; 1 . Ответ: 7 2 11 . 11. 1 5 x 1 2x 12. 1 x x 2 24 x 1 Ответ: 0; 5 . 13. 1 1 x x 2 24 x Ответ: 14. x x 1 x 1 Ответ: 7. 16 . 25 15. x 1 1 x x 8 Ответ: 10 8. Часть II. Иррациональные неравенства. Основные неравенства. §1. Это неравенства видов: (1) f x g x и (2) f x g x Утверждение 4 Имеют место эквивалентности: I II (A1) f x g x (B1) (C1) (D1) f x g 2 x f x 0 g x 0 ( А 2) f x g x ( B 2) ( C 2) ( D 2) g ( x) 0 f ( x ) 2 0 f ( x ) g ( x ) (В случае нестрогих исходных неравенствах (А1) и (А2) все неравенства (В1), (В2)и (D2) заменяются нестрогими неравенствами). Доказательство: I. Пусть x 0 - решение (А1), тогда неравенства (С1) и (D1) очевидно имеют место, а из них и (А1) следует (В1). Опять же, пусть для x 0 выполняются все три неравенства системы. Извлекая квадратный корень из неотрицательных левой и правой частей (В1) и учитывая, что при g(x 0 ) 0 имеет место равенство g 2 ( x0 ) g ( x0 ) , получаем (A1). II. Пусть для x 0 имеет место (А2). Здесь возможны два случая: (1) правая часть (А2) отрицательна, а левая - определена, т. е. (В2) и (С2); (2) правая часть (А2) неотрицательна, а левая – определена, но тогда имеет место (D2). Значит x 0 входит в решение совокупности. Опять же, пусть x 0 - решение совокупности. Если для x 0 имеет место система (В2), (С2), то из неё, очевидно, следует (А2). Если же x 0 удовлетворяет (D2), то тогда либо g(x 0 ) 0, и, извлекая корень из левой и правой части, получаем (А2), либо в (D2) g(x 0 ) 0 , и, извлекая корень из левой и правой части, получаем (А2), либо в (D2) g(x 0 )<0, но тогда имеет место система (В2), (С2). 11 §2.Примеры записи решений основных неравенств. Пример 1. Решить неравенство: x 1 x Решение: x 1 x x0 x 1 x (1 x ) 2 x 3x 1 0 0 x 1 2 3 5 x 2 3 5 x 2 0 x 1 0 x 3 5 2 Ответ: [0; Пример 2. 3 5 ). 2 Решить неравенство: Решение: x33 x2 x3 0 2 ( x 3) 9( x 2) x3 0 2 x 3x 9 0 x3 0 3 45 x 3 45 2 2 3 45 3 45 x 2 2 12 x +3 3 x 2 3 3 5 3 3 5 ; Ответ: . 2 2 Пример 3. Решить неравенство: 2x x2 x 1 Решение: 2x x2 x 1 2x x2 0 x 1 0 2 x x 2 x 12 0 x2 x 1 2 x 2 4 x 1 0 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 2 2 x2 2 2 ; Ответ: 1 2 1 Пример 4. 2 Решить неравенство: Решение: x 1 x x0 1 x 02 x 1 x x 1 3 5 x 3 5 2 2 13 x 1 x x 3 5 2 3 5 2 ; . Ответ: Пример 5. Решить неравенство: 2 x 2 4x x 1 Решение: 2 x 2 4x x 1 x 1 0 2 x 4x 0 2 2 4x 4 x x 1 3x 2 x 1 x 4 x 0 14 x 1 0 x0 7 52 x 3 x 7 52 3 x0 7 52 x 3 ; 0 7 Ответ: Пример 6. Решение: 52 3 ; Решить неравенство: x 2 3x 2 x 2 x 1 0 2 x 3x 0 2 2 x 3 x 4 x 8 x 4 x0 3 x 2 5 x 4 0 x0 14 x 2 3x 2 x 2 Ответ: ; 0 . §3.Неравенство с двумя радикалами. Утверждение 5. Имеют место следующие эквивалентности, упрощающие задачи с двумя радикалами. f x g x f ( x) g ( x) f x 0 I. II. (а) f x g x c (буква «с» обозначает положительную константу) 2 f ( x) g ( x) c 2 f ( x) g ( x) 2 f ( x ) g ( x ) c 2 f ( x ) g ( x ) f ( x) 0 g ( x) 0 Возможен другой путь: f x g x c f ( x) c g ( x) f x c g x f x 0 c g x 0 (б) 2 f x g x c 2 f x g x c 2 f x g x 2 f x g x c 2 f ( x) g ( x) f x 0 g x 0 Возможен другой путь: 15 f x g x c f x c g x f ( x) c g ( x) c g ( x) 0 2 f x g x c I. (a) f x g x c f x g x c f x 0 2 f x g x c (б) f ( x) f ( x) g ( x) c g ( x) c 2 Возводить разность радикалов в квадрат, даже с правильным учетом всех случаев, не советуем, т. к. этот путь явно проигрывает в сравнении с вышеуказанным. Доказательства эквивалентностей оставляем на усмотрение читателя §4.Примеры записи решений задач с двумя радикалами Пример 7. Решить неравенство: Решение: x 2 2x x 1 x 2 2x x 1 2 x 2x 0 x 2 3x 1 x 1 x 2 x 0 16 x 2 2x x 1 2 x Ответ: 3 5 2 3 5 . 2; 2 Пример 8. x x 1 3 Решить неравенство: Решение: x x 1 3 2 x x 1 9 x x 1 2 x x 1 8 2 x x0 x x 1 4 x 2 0 x4 9 x 16 0 x 4 0 x Ответ: 16 9 16 0 ; 9 . Пример 9. Решить неравенство: 2x 1 x 1 2x 1 x 1 Решение: 2x 1 x 1 2x 1 x 1 2 x (наличие x обеспе ч и в а е т неравенство 2 x 1 0 ) x2 x 17 ( поскольку 4 x в этом неравенст в е неотрицательно, то x в левой части тоже неотрицателен) x 2 4x ( x 4) x 0 0 x 4 Ответ: 0 ; 4. Пример 10. Решить неравенство: 5 2x x 1 2 Решение: 5 2x x 1 2 2 5 2 x x 1 4 5 2 x x 1 2 5 2 x x 1 x 5 2 x x 1 0 x0 x 1 x 4 5 2 x D 14 2 9 20 47 2 9 5 4 4 4 14 4 14 4 x1 ; x2 9 9 2 9 x 5 1 x 2 x0 28 x 20 0 10 x 2 9 10 Ответ: ; 9 Пример 11. 2. 3 x x3 1 Решить неравенство: Решение: 3 x x3 1 3 x x 3 1 9x x 3 1 2 x 3 18 8x 4 2 x 3 4x 2 x3 4 x 2 2 x 3 1 x 2 16 x 2 17 x 1 0 1 x 2 x 1 1 x 16 1 x 2 x 1 Ответ: ( 1 ; ) . § 5. Использование монотонности функций при решении неравенств. В §5 части I мы описываем один из «нестандартных» приёмов, позволяющих в ряде задач получить ответ без большой технической работы в том случае, когда уравнение приводилось к эквивалентному виду f(x)=0, где f(x)-строго возрастающая или строго убывающая на рассматриваемом множестве функция. При решении неравенств в ряде случаев можно воспользоваться тем же приёмом. Утверждение 6. Пусть f(x) возрастает на своей области определения D f , тогда имеют место эквивалентности: f ( x) 0 x x0 x D f ( где x 0 корень уравнения f ( x ) 0) Если же f(x) убывает на D f , то f ( x) 0 x x0 x D f (неравенства противоположного знака разбираются аналогично). 19 Пример 12. x 2x Решить неравенство: Решение: x 2x x x 20 Левая часть возрастает на множестве x 0 и при x 1 равна нулю, значит, 0 x 1. Ответ: 0 ; 1). 4x 1 2x 3 4 Пример 13. Решить неравенство: Решение: Поскольку левая часть возрастает на области определения ( x соответствующего уравнения, то 3 ), и x 2 - корень 2 3 x2. 2 3 Ответ: ; 2 . 2 (Сравните это решение с «честным»!). 13 x x 1 Пример 14. Решить неравенство: Решение: Левая часть является убывающей функцией как разность убывающей и возрастающей. Нетрудно заметить, что при x 4 левая и правая части равны. Значит, решением неравенства будет пересечение множеств x 4 и 0 x 13 . Ответ: 0; 4 . § 6. Задачи для самостоятельного решения. Решите неравенства: 1. x 7 x Ответ: 15 29 ; . 2 2. x 1 3 x Ответ: 1; 2 3. x 2 x 2x 3 Ответ: ; 0 1; 11 20 13 . 6 4. 2 x 24 x x 2 5 Ответ: 2 18 ; 4 . 5. 3x 1 x 11 Ответ: 0 ; 16 6. 2x 2 2x 3 x 2 x 1 Ответ: 1 5 1 5 8; ; 2 2 9x 4x 2 Ответ: 63 ; . 16 Ответ: 2 ; 7 . Ответ: 3; 4 . . 7. 8. x x 2 4 9. 3x 5 4 x 1 10. x 2 20 x 2 22 Ответ: ; 4 4 ; . 11. 2 x 2 8x 7 x 2 Ответ: 2 ;2 1; . 2 12. 2x 4 x 5 1 Ответ: 20 ; . § 7. Контрольные задания 1. x 2 9 2x 6 Ответ: 3 5; . 2. x 1 x Ответ: 1 5 2 ; . 3. 24 x x 12 Ответ: 15; 24. 4. 2 x x2 Ответ: 5. 5 3x x 1 2 Ответ: 6. x x Ответ: 7. 4 x 1 3x 2 5 Ответ: 8. 3 1; . 2 0; . 2; . 2 x 2 6x x 1 Ответ: ; 9. ; 2 1; 2 . x 2 2x x 2 2x 2 4 4x 2x 2 13 2 43 3 Ответ: 21 13 2 43 ; . 3 0; 2 . Часть III. Задачи, предлагавшиеся на экзаменах в МГУ. СПИСОК СОКРАЩЁННЫХ НАЗВАНИЙ ФАКУЛЬТЕТОВ. ММ - механико-математический, ВМК - вычислительной математики и кибернетики, Ф - физический, X - химический, Б - биологический, ПЧ - почвоведения, ГГ - географический, ГЛ - геологический, Э - экономический, ПС - психологический, ИСАА - институт стран Азии и Африки, СОЦ – социологический. Решите уравнение (или неравенство): 13 2 x 5 x 1. (ГГ-93) 2. (ГГ-82) 3. 4. 5. 7. (ГГ-96) (Х-98) (СОЦ-99) (ПЧ-77) 8. (ПЧ-97) 9. (ГЛ-95) 10. (ГЛ-96) 11. (ПС-86) 2 x 2 8x 7 x 2 28 6 x x 2 7 x 3 5 x x 1 6 x 2 x 5 x 2 x 8x 9 5x 6 x 4 3x 5 x 11 35 5 x 9 2 x 12. (ПС-96) 2 x 2 21x 4 2 11x 13. (ГГ-99) 2 x 2 8x 5 x 2 14. (ГГ-95) 2 x2 x 1 15. (Э-83) x 2 11 x 2 11 42 16. (ВМК-89) 8 12 16 x 16 x 2 4 x 4 x 2 33 x4 x20 17. (ВМК-91) 18. (Ф-88) 4 6x x 2 x 4 19. (Э-90) 5 1 x 2 1 3 5x 3 20. (ГЛ-83) x 1 21. (ГЛ-94) 22. (ПС-97) x 2 2 x 2 3x 4 4 3x 0 x 3 5 2x 23. (ГГ-99) x 2 14 x 47 1 x 7 1 24. (Ф-80) 16 x 17 x 1 8 x 23 3 log 3 x log 3 3x 1 0 22 25. (Ф-85) 26. (Ф-93) x 4 2x 5 1 x log 2 x 2 log 2 x 1 27. (Х-79) 28. (Х-96) x 3 x 1 29. (Ф-79) x 2 5x 4 x 2 30. (Б-80) 31. (ПЧ-81) 32. (ПЧ-87) x 2 6x 5 8 2x 4x 8 x 5 2x 3 x 33. (ГЛ-84) 2x 2 6x 4 x 2 x5 7 x 34. (Э-95) 2x 5 x 2 x 6 35. (ПС-88) 2 x 11 2 36 x 2 36. (ПС-89) x 2a 2 3ax a 2 0 37. (ГЛ-01) x 2 8x 12 x 5 2x 2x 1 3 14 7 4 38. (Э-99) 2x 1 2x x 3 3 x 6 39. (ВМК-94) 40. (ГГ-01) x 6 3x 1 5 41. (Б–83) 8 6 3 x 5 x 42. (ПЧ-98) x 1 4x 3 1 43. (ПС-01) x 2 8 x 15 44. (ИСАА-91) 3x 5 4 x 1 45. (ПС-93) 1 x x 46. (ММ-98) 3 1 3 x 1 3 x 2 2x 3 47. (Ф-97) 5 log 5 x 2 log 1 x 2 5 48. (Х-78) 2 5 x 24 5 x 7 5 x 7 49. (ГЛ-94) 4x 3 x 2 0 50. (Э-88) x 2 x 6 3x 13 1 x5 51. (ВМК-82) 2 x 4x 3 2 x 23 52. (ММ-90) 1 x3 1 x 1 x 53. (ПС-98) 4 x 7 3x 5 0 16 3x 2 22 x 54. (ВМК-84) 7 log 2 x 2 log 2 x 4 4 55. (ММ-88) 1 cos 2 x sin x 56. (ММ-82) 5 sin x cos 2 x 2 cos x 0 1 35 34 sin x 6 36 4 cos 2 x 2 sin 2 x 2 cos x 58. (ММ–91) 59. (ВМК-87) 2 3 cos 2 x 2 cos 2 x 3 sin x 3 2 sin x 1 0 1 cos 4 x sin x 2 sin 60. (ВМК-92) 4 3 cos x 1 sin x 0 61. (Х-88) 2 57. (ММ-85) 6 sin x 62. (Х-94) 63. (ПЧ-82) 64. (ПЧ-96) sin 2 x cos x sin x 1 2 3 cos 2 x sin x x sin x x sin 2 x 2 x 2 66. (ПС-95) 3 3 cos x cos 3x 4 4 2 sin x 2 cos x 0 67. (СОЦ-00) 11 8 cos 4 x 4 sin x cos x 3 sin x cos x 65. (ПС-87) 68. (ВМК-99) 69. (Х-92) 1 sin 2 x 3 sin x cos x 8 sin x cos x 6 10 cos x 4 sin x sin x cos x 70. (ВМК-00) x 24