Вопросы к экзамену (в формате )

Вопросы к экзамену по курсу алгебры и геометрии для НП-1
1-й семестр
Комбинаторика. Размещения. Количество размещений. Сочетания. Количество сочетаний.
Перестановки. Количество перестановок.
1.2. Бином Ньютона.
2.
Комплексные числа. Построение поля. Тригонометрическая форма записи. Модуль и
аргумент комплексного числа. Свойства.
3.1.
Соответствия. Функции. Отношения. Композиция соответствий S1S2 , соответствие S -1 , A.
Функции. Образ подмножества A1A, прообраз подмножества B1B. Инъекция, сюръекция,
биекция. Группа биекций S(X).
3.2.
Подстановки. Транспозиции. Инверсии. Четность.
3.3.
Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества на непересекающиеся классы
и обратная. Фактор-множество Х/.
4.1.
Система линейных уравнений. Матрица системы линейных уравнений. Решение системы
линейных уравнений. Совместность. Несовместность. Определенность. Неопределенность.
Следствие системы. Равносильные системы. Отношение равносильности.
4.2.
Элементарные преобразования. Приведение матриц c помощью ЭП к ступенчатому виду.
4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу. Общее решение системы.
Теорема Кронекера-Капелли.
4.4.
Решение систем линейных уравнений по Жордану.
5.1.
Определитель матрицы. Минор. Полилинейность определителя по строкам. Кососимметричность (антисимметричность) определителя по строкам.
5.2.
Вычисление определителей. Элементарные преобразования.
5.3.
Обратная теорема об определителях.
5.4.
Разложение определителя по столбцам.
5.5.
Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
5.6.
Определитель транспонированной матрицы.
5.7.
Разложение определителя по строкам.
5.8.
Определитель матрицы с углом нулей.
5.9.
Теорема о полном разложении определителя.
5.10. Решение СЛУ по Крамеру.
5.11. Теорема Лапласа.
6. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ.
6.1.
Алгебраическая п-арная операция. Универсальная алгебра. Полугруппа. Моноид. Группа.
Кольцо. Примеры колец.
6.2.
Простейшие свойства колец.
6.4.
Кольцо классов вычетов. Поле классов вычетов. Примеры полей.
6.5.
Подполе. Надполе, расширение поля. Изоморфизм полей. Характеристика поля. Простое поле.
7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
1.1.
7.1.
Определения, примеры. Подпространства линейного пространства. Примеры. Пространство
Р n. Линейная комбинация элементов. Линейная зависимость и независимость векторов.
Размерность линейного пространства. Базис линейного пространства.
7.2.
Теоремы о базисах. dim P n. Теорема о дополнении любой линейно независимой системы
векторов до базиса. Координаты вектора.
7.3.
Изоморфизм линейных пространств. Простейшие свойства. Примеры. Теорема. Если dim L
= n, то L  P n.
7.4.
Пересечение подпространств.
Утверждение. Пусть L1, L2 – подпространства, и L1 L2 . Тогда dimL1 dimL2 , и если
dimL1 = dimL2 , то L1 = L2 .
Линейная оболочка системы векторов.
Утверждение. Линейная оболочка системы векторов {а1,…,аm} равна пересечению всех
7.5.
7.6.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
9.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
10.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
2
подпространств из L, содержащих эти векторы.
Утверждение. <а1,…,аm>= {1a1 +…+mam|1,…,m P}.
Образующие подпространства. Ранг системы векторов. Элементарные преобразования
системы векторов. Нахождение ранга системы векторов.
Теорема Кронекера-Капелли.
Решение однородных систем линейных уравнений.
Утверждение. Подмножество L1 = {x = x1e1+…+ xnеn  L |1x1 +…+nxn = 0} является
подпространством в L.
Фундаментальная система решений.
Определение ранга матрицы через миноры. Свойства ранга.
Утверждение. rk A = r.
Утверждение. rg At = rg A.
Применение понятия ранга к решению систем линейных уравнений.
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
Левая и правая обратная матрица, их свойства. Обратная матрица.
МАТРИЦЫ.
Операции над матрицами, их свойства.
Теорема. Множество квадратных матриц Мп(Р) является алгеброй над полем Р.
Элементарные матрицы.
Определитель произведения матриц.
Обратная матрица. (АВ) t = В tА t.
Теорема. А-1   |A|  0. Присоединенная матрица.
Теорема. Если |A|  0, то А-1 , и А-1=(1/|A|)А*.
Решение матричных уравнений АХ = В и YA = В.
Ранг произведения матриц.
Теорема. Пусть А – (т,п)-матрица, В - (п,k)-матрица. Тогда rg(AB)  min(rgA, rgB).
АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ.
Построение алгебры многочленов.
Теорема. ст.(fg) = ст.f + ст.g.
P[x1,…,xn].
Деление многочленов (и натуральных чисел) с остатком. Теорема Безу. Следствия.
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
Теорема. Если М - общее кратное для f и g, а т - наименьшее общее кратное, то т | M.
Следствие. Любые два наименьших общих кратных для f и g отличаются на ненулевой
множитель из Р и наоборот.
Взаимно простые многочлены.
Теорема. 1) Если т – наименьшее общее кратное для f и g, то D =(fg)/m – их наибольший
общий делитель. 2) Если d - общий делитель многочленов f и g, а D – их наибольший общий делитель, то d |D.
Следствия.
1. Если D – наибольший общий делитель многочленов f и g, то {aD | a  P, a  0} – множество всех наибольших общих делителей многочленов f и g .
2. Если f и g – взаимно простые многочлены, то fg является их наименьшим общим кратным.
Аналогичные теоремы для N.
Алгоритм Евклида.
Утверждение 1. Если D - наибольший общий делитель для f, g  P[x], то  u, v P[x] такие,
что D = uf + vg .
Утверждение 2. В выражении D = uf + vg можно выбрать u, v так, что ст.и  ст.g, ст.v 
ст.f.
Алгоритм Евклида для N, аналогичные утверждения.
Однозначность разложения на простые множители в P[x] и в N.
Простые элементы, квазиоднозначное разложение на простые множители.
10.6.
10.7.
10.8.
10.9.
10.10.
11.
11.1.
11.2.
12.
13.
13.1.
13.2.
Теорема. В кольце P[x] разложение на простые многочлены существует.
Лемма. Пусть h и f - взаимно простые, и h | (fg). Тогда h | g.
Теорема. В кольце P[x] разложение на простые многочлены квазиоднозначно.
Сформулировать и доказать существование и однозначность разложения на простые множители в N.
Производная. Свойства производной.
Кратные корни многочлена. Кратность множителя p(x) в разложении f(x).
Теорема. Если кратность простого множителя p(x) в разложении f(x) равна k, то кратность
p(x) в разложении f(x) равна k – 1.
Теорема. У f(x) существуют кратные простые множители тогда и только тогда, когда f и f
не взаимно простые.
Освобождение от кратных множителей (освобождением от кратных корней).
Алгебраически замкнутое поле. Основная теорема алгебры. Следствие.
Формулы Виета.
Разложение многочлена на простые множители в С[x] и в R[x].
ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
Построение поля отношений. Поле рациональных чисел Q. Поле рациональных функций
P(x).
Поле рациональных функций. Простейшая дробь.
Теорема о разложении рациональной функции на простейшие дроби.
2-й семестр
ПРЯМЫЕ СУММЫ ПОДПРОСТРАНСТВ.
Теорема 1. L1 + L2 = L1  L2  L1 L2 = {0}.
L1 +…+Lk = L1 …Lk (L1 +…+Li ) Li+1 = {0}  i =1,2,…,k-1.
Теорема 2. L1 + L2 = L1  L2  {e1 ,…,ek} {ek+1 ,…,em} – базис подпространства L1 + L2.
L1+…+Lk = L1…Lk  объединение базисов всех подпространств Li является базисом
подпространства L1 +…+Lk .
Следствие. dim(L1  L2) = dim L1 + dim L2.
Теорема 3. dim(L1 + L2) + dim(L1 L2)= dimL1 + dim L2 .
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Линейное отображение и его матрица. Примеры. Изоморфизм линейных пространств.
Простейшие свойства линейных отображений.
Матрица линейного отображения.
Лемма 1. Линейное отображение : Ln  Lm полностью и однозначно определяется образами базисных векторов  e1 ,…, en .
Лемма 2. Пусть e={e1,…,en} – базис в Ln, {a1,…,an} – произвольная система векторов в Lm. Тогда  линейное отображение : Ln  Lm такое, что  ei= ai, i=1,…,n.
Следствия.
Важные частные случаи линейных отображений.
Матрица композиции линейных отображений.
Утверждение.      : Ln  Ls - линейное отображение с s n-матрицей [  ] = [ ]  [ ] .
e , e
e, e
e , e
13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
13.4. Умножение линейного отображения на элемент поля.
13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры матриц.
Теорема. < Ф(Ln),+,  ,  P > - алгебра.
Изоморфизмом универсальных алгебр.
Следствие. dim Ф(Ln) = dim Мn(Р) = n2.
14.
МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ.
14.1. Изменение координат вектора при изменении базиса.
14.2. Изменение матрицы линейного отображения при изменении базисов.
Лемма. Для линейного оператора  : Ln  Lп det[  ] не зависит от базиса. det.
е
3
14.3. Эквивалентные матрицы.
Если АВ, то detA = detB и rgA = rgB.
15.
ОБРАЗ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ.
Теорема 1.
Im - подпространство в L.
Ker - подпространство в L.
Теорема 2. Образы и прообразы подпространств при линейных отображениях являются подпространствами.
Теорема 3.  - инъекция  Ker = {0}.
Ker - мера неинъективности отображения
Теорема 4 (структура Im).
Im = < е1,…, еn>,
dim Im = rg[].
Теорема 5. rg + def = n = dimLn.
Следствие.
Теорема 6. Для линейного оператора  : Ln  Ln эквивалентны 10 условий…
Невырожденный линейный оператор.
16.
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА.
Определение. Примеры.
16.1. Свойства инвариантных подпространств.
Утверждения.
1. Сумма -инвариантных подпространств -инвариантна.
2. Пересечение -инвариантных подпространств -инвариантно.
Связь существования у линейного оператора  инвариантного подпространства со свойствами его матрицы.
16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств. Свойства матрицывэтом случае.
16.3. Прямая сумма линейных операторов.
Теорема.  ! линейный оператор  : Ln  Ln такой, что  L =  i .
i
16.4. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.Примеры. Нахождение
собственных векторов. Характеристический многочлен.
Теорема. Характеристические многочлены эквивалентных матриц совпадают.
16.5. Теорема Гамильтона – Кэли.
16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы. Существование и единственность. Аннулятор л.о.
Утверждение. Если f  Ann , то f | f.
16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над R и над С.
Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем С, п >1,  : Ln  Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует одномерное -инвариантное подпространство.
Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем R, п >1,  : Ln  Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует -инвариантное подпространство размерности  2.
17.
ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие диагонализируемости).
Лемма. Собственные векторы л.о. , соответствующие различным собственным значениям,
линейно независимы.
Теорема 2 (достаточное условие диагонализируемости).
Теорема 3. Пусть Ln – линейное пространство над полем Р,  : Ln  Ln - линейный оператор,
0 – корень характеристического многочлена (t) кратности k  1. Тогда число линейно независимых собственных векторов оператора  с собственным значением 0 не превосходит k
18.
ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
18.1. Определения, примеры. Простейшие свойства. Длина вектора. Ортогональность векторов.
18.2. Свойства евклидовых пространств.Теорема Пифагора. Следствие.
4
19.
19.1.
19.2.
20.
20.1.
20.2.
20.3.
20.4.
21.
21.1.
21.2.
Теорема 2. Пусть х, у  Е, х  0. Тогда   R такое, что у = х + z, где z  x. Неравенство
Коши-Буняковского. Следствия. Неравенство треугольника.
Теорема. Если ненулевые векторы а1,…,аk  E такие, что аi  аj при i  j, то а1,…,аk – линейно независимы.
Теорема 5. L - подпространство в Е, и Е = L  L.
Теорема 6. Пусть dimE = n. Тогда в Е существует ортогональный базис {e1,…,en }, то есть такой базис, что (ei ,ej)= 0 при i  j.
Теорема 7. В Е существует ортонормированый базис.
Изоморфизмом евклидовых пространств.
Теорема 8. Если Е – евклидово пространство и dim E= п, то Е  Rn.
Утверждение. L - подпространство.
Теорема 9. Еп = L  L.
Теорема 10. L1 L2= (L1 + L2).
Доказать, что L2  L1  L2  L1.
Доказать, что ( L1) = L1.
Доказать, что L1 + L2= (L1 L2).
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
Определение. Свойства.
Утверждение 1. Если  - ортогональный оператор, то  - невырожденный.
Утверждение 2. Если  - ортогональный оператор, то  -1 - ортогональный оператор.
Теорема 1. Для ортогонального оператора  : Еn  Еn эквивалентны следующие 15 условий…
Следствие. Если  - ортогональный оператор, то det  = 1.
Ортогональная матрица.
Ортогональная группа О(Еn). Группы SО(Еn), O(n), SO(n).
Теорема 2.
1. О(Еn) – группа, 2. O(n) – группа, 3. О(Еn)  O(n), 4. SО(Еn) – подгруппа в О(Еn), 5. SO(n) –
подгруппа в O(n).
19.3. Структура ортогонального оператора.
Лемма. Пусть  : Е Е - ортогональный оператор, Е L - -инвариантное подпространство.
Тогда L - -инвариантное подпространство.
Структурная теорема. Структурная теорема на языке матриц.
САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Сопряженное линейное пространство L*. Сопряженный (или двойственный, или дуальный)
базис. Канонический изоморфизм линейных пространств Еп и (Еп)*.
Сопряженные линейные операторы.
Теорема. Для линейных операторов  и * на Еп эквивалентны следующие 5 условий…
Самосопряженные линейные операторы.
Теорема. Для самосопряженного линейного оператора  на Еп эквивалентны следующие 5
условий…
Структура самосопряженного оператора.
Лемма. Пусть  : Еп Еп - самосопряженный оператор, Еп L - -инвариантное подпространство. Тогда L - -инвариантное подпространство.
Структурная теорема. Структурная теорема на языке матриц.
*УНИТАРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Определения, примеры. Следствия из определения. Матрица Грама. Длина вектора. Ортогональность векторов.
Свойства унитарных пространств.Теорема Пифагора. Следствие.
Теорема 2. Пусть х, у  Н, х  0. Тогда   С такое, что у = х + z, где z  x. Неравенство Коши-Буняковского. Следствия. Неравенство треугольника.
Теорема. Если ненулевые векторы а1,…,аk  Н такие, что аi  аj при i  j, то а1,…,аk – линейно независимы.
Теорема 5. L - подпространство в Н, и Н = L  L.
5
22.
22.1.
22.2.
22.3.
23.
23.1.
23.2.
23.3.
23.4.
24.
24.1.
24.2.
24.3.
Теорема 6. Пусть dimН = n. Тогда в Н существует ортогональный базис {e1,…,en }, то есть
такой базис, что (ei ,ej)= 0 при i  j.
Теорема 7. В Н существует ортонормированый базис.
Изоморфизмом унитарных пространств.
Теорема 8. Если Н – унитарное пространство и dim Н= п, то Н  Сn.
Утверждение. L - подпространство.
Теорема 9. Нп = L  L.
Теорема 10. L1 L2= (L1 + L2).
Доказать, что L2  L1  L2  L1.
Доказать, что ( L1) = L1.
Доказать, что L1 + L2= (L1 L2).
УНИТАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
Определение. Свойства.
Утверждение 1. Если  - унитарный оператор, то  - невырожденный.
Утверждение 2. Если  - унитарный оператор, то  -1 - унитарный оператор.
Теорема 1. Для унитарного оператора  : Нn  Нn эквивалентны следующие 14 условий…
Следствие. Если  - унитарный оператор, то |det  | = 1, то есть det - комплексное число, у
которого модуль равен 1.
Унитарная группа U(Hn). Группы SU(Hn), U(n), SU(n)
Теорема 2. 1. U(Hn) – группа, 2. U(n) – группа, 3. U(Hn)  U(n), 4. SU(Hn)– подгруппа в
U(Hn), 5. SU(n) – подгруппа в U(n).
Структура унитарного оператора.
Лемма. Пусть  : Н Н - унитарный оператор, Н  L - -инвариантное подпространство.
Тогда L - -инвариантное подпространство.
Структурная теорема. Структурная теорема на языке матриц.
ЭРМИТОВЫ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
Сопряженное линейное пространство. Канонический полуизоморфизм линейных пространств Нп и (Нп)*.
Сопряженные линейные операторы.
Теорема. Для линейных операторов  и * на Нп эквивалентны следующие 5 условий
Эрмитовы линейные операторы.
Теорема. Для эрмитова линейного оператора  на Нп эквивалентны следующие 5 условий…
Следствие. Если А – эрмитова матрица, то det A  R.
Структура эрмитова оператора.
Лемма. Пусть  : Нп Нп - эрмитов оператор, Нп  L – -инвариантное подпространство.
Тогда L - -инвариантное подпространство.
Структурная теорема. Структурная теорема на языке матриц.
Нормальные операторы.
БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
Определение билинейной функции. Общие свойства. Следствия из определения. Примеры.
Матрица билинейной формы.
Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
Следствие. det [ f ] = det [ f ] (det T)2.
e
e
24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и
ранг квадратичной формы. Симметричная билиненая форма (функция).
Утверждение. Если charP  2, то соответствие f  F между симметричными билинейными
и квадратичными формами является биекцией.
24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
Утверждение 1. f ~ g  в L существуют базисы e и e такие, что [ f ]  [ g ] . Соответственe
e
но, f  g  в L - существуют ортонормированные базисы e и e такие, что [ f ]  [ g ] .
e
Утверждение 2. Если f ~ g, то rg f = rg g.
6
e
24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
Теорема. В L существует f-ортогональный базис.
Случай Р = С.
Случай Р = R. Классификация форм по знаку.
24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
Положительный и отрицательный индекс инерции.
Упражнение. Посчитать количество классов эквивалентных форм.
24.8. Критерий Сильвестра.
25.
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
25.1. Приведение формы ортогональным преобразованием координат.
Теорема. Следствия. Характеристический многочлен. Нахождение канонического вида и соответствующего ортонормированного базиса.
25.2. Приведение пары форм. Характеристический многочлен пары форм. Нахождение канонического вида и соответствующего базиса.
26.
*ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ.
26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм. Примеры.
Матрица полуторалинейной функции. Полуторалинейная форма. Эрмитовы формы. Необходимое и достаточное условие эрмитовости полуторалинейной формы. Эрмитовы матрицы.
Эрмитовы квадратичные функции. Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы формы при изменении базисов.
Следствия. 1. det [ f ] = det [ f ] |detT|2. 2. Если det [ f ]  R, то sign(det [ f ] )= sign(det [ f ] ).
e
26.2.
27.
27.1.
27.2.
28.
28.1.
28.2.
28.3.
28.4.
28.5.
e
e
e
e
Ранг формы.
Теорема. Полуторалинейная форма f является эрмитовой тогда и только тогда, когда соответствующая f квадратичная форма F принимает на L только действительные значения,
то есть  x L
F(x) = f(x, x)  R.
Нормальный вид эрмитовых форм.
Теорема. В L существует f-ортогональный базис.
Теорема. В линейном пространстве L над полем С для любой эрмитовой формы F существует базис, в котором форма имеет нормальный вид F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2. Соответствующая эрмитова полуторалинейная форма f имеет нормальный вид
f(z, w) =
z1w1+…+zsws – zs+1ws+1-…- zs+tws+t.
Классификация форм по знаку. Закон инерции. Критерий Сильвестра.
ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
Теорема. Следствия. Нахождение канонического вида и соответствующего базиса.
Приведение пары форм.
Теорема. Характеристический многочлен пары форм. Нахождение канонического вида и соответствующего базиса.
*ГРУППЫ.
Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
Факторгруппа. Нормальная подгруппа.
Морфизмы групп. Простейшие свойства. Ядро морфизма.
Утверждение. Ker - нормальная подгруппа в G1.
Утверждение.  - инъекция  Ker = {1}.
Теорема о разложении морфизма. Следствия.
Циклические группы.
7