A4: стержни

1
Лекции:
Уравнения движения криволинейных стержней. Нить, как частный случай стержня.
Рассмотрим некоторую параметрически заданную пространственную кривую
 
r  r (s ),
(1)
или
(1’)
x1  x1 ( s), x2  x2 ( s), x3  x3 ( s),
где s  длина дуги от выбранной точки отсчета.
Тогда единичный вектор, касательный к кривой равен

 dr

,
(2)
ds
производная касательного вектора (2) направлена по нормали к кривой


d 1 
 n  k  n,
ds R
где R  радиус кривизны кривой, k  1 R  кривизна кривой.
Введем бинормаль к кривой
  
b    n,
(3)
тогда


 

db
1  dn
 n 
n,
 b  k,
(4)
ds
Rk
ds
где величина   кручение пространственной кривой, Rk  радиус кручения.

Вектор, ортогональный вектору
n и равный


 d

d


    k b ,
ds d (V  t )
называется вектором Дарбу. Это угловая скорость вращения натурального триэдра при
его движении, как жесткого тела вдоль пространственной кривой с единичной скоростью
V  1, V  t  s.
В силу этого мы можем воспользоваться формулой Эйлера для любого единичного
вектора

de  
   e.
(5)
ds
Таким образом производная любого единичного вектора выражается при помощи вектора
Дарбу.
Будем считать, что пространственная кривая является осевой линией стержня.
Тогда сам стержень можно образовать движением некоторой плоской фигуры вдоль
осевой линии так, что в каждом положении геометрический центр тяжести фигуры
находится на осевой линии, а плоскость фигуры перпендикулярна оси.
Введем в каждом сечении локальную систему координат с началом в

геометрическом центре тяжести сечения так, что координатный орт e10 направлен по
 
касательной к осевой линии, а орты e20 , e30 вдоль главных центральных осей инерции
сечения. В общем случае введенный триэдр повернут относительно естественного триэдра
на некоторый угол  0 , т.е.
 


 


e10  , e20  cos 0 n  sin 0b , e30   sin 0 n  cos 0b.
Вектор угловой скорости для данного триэдра вычисляется, как сумма вектора Дарбу и
вектора, направленного вдоль первой оси



0     0 e10 .
Тогда проекции этого вектора на введенные оси будут соответственно равны:
2
 
01    e10     0  10 ;
 
 
(6)
02    e20  kb  e20  k sin 0  k 20 ;
 
 
03    e30  kb0  e30  k cos 0  k30 .
 
 
В формулах (6) k 20 , k 30  кривизны оси стержня в плоскостях e10 , e30 и e10 , e20
соответственно. Угол  0 называется углом естественной крутки стержня, а
 0  естественной круткой стержня.
Пусть на стержень действуют приведенные к оси распределенные внешние силы и
 
моменты с линейными плотностями q , m . Внутренние силы в поперечном сечении


приводятся к главному вектору Q и главному моменту M . Тогда для выделенного
элемента стержня длины dS 0 можно выписать условия равновесия
 

dQ  qdS 0  0;



 


1 
dM  mdS 0  e10  (Q  dQ)dS 0  (e10  q )dS 02  0.
2
Откуда после деления на dS 0 и предельного перехода dS 0  0 получим уравнения
равновесия:

dQ  
 q  0;
dS 0
(7)

 
dM  
 m  e10  Q  0.
dS 0
Уравнения равновесия (7) замыкаются уравнениями состояния, которые в случае малых
упругих деформаций
(8)
M 1  A11 (1  10 ), M 2  A22 (k 2  k 20 ), M 3  A33 (k3  k30 ).
В формулах (8) величины A11  жесткость при кручении, A22 , A33  жесткость при изгибе.
Рассмотрим в качестве примера пространственный стержень прямоугольного сечения
(a  b, a  b) (рис.1). В этом случае
A11  G b 3 a , где   коэффициент Сен-Венана;
A22  EJ 3c  E ab 3 12 ;
A33  EJ 2c  Ea 3b / 12.
Рис.1 Взаимное расположение главных осей сечения и осей натурального триэдра.
Рассмотрим пружину круглого сечения радиуса a . Считаем что радиус самой пружины
равен R , а шаг пружины h . Параметрическое представление осевой линии
x  R cos , y  R sin , z  h  2.
3
h2
Длина дуги соответственно равна ds  dx  dy  dz  ( R  2 )d 2  l 2 d 2 . Отсюда
4
переходя к параметру s , получим:
s
s
x  R cos , y  R sin , z  h s 2l .
l
l
Получим векторы натурального триэдра

R
s R
s h
  ( sin ; cos ;
);
l
l l
l 2l

 1 R
d
s R
s
R
 kn  ( cos ; sin ;0);  k  2 ,
ds
l
l
l l
l
l

s
s
n  (cos ; sin ;0);
l
l
  
h
s
h
s R
b  n  (
sin ;
cos ; 2 ).
2l
l 2l
l l
 
dn
1
s
s
h
s
h
s R
h

 b  (sin ; cos ;0)  (
sin ;
cos ; 2 ) 
.
ds
l
l
l
2l
l 2l
l l
2l 2
2
2
2
2
2