Задания и ключи

Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 4 класс.
В каждой задаче вам нужно написать правильный ответ в указанном месте.
Задача 1. Нарисуйте зеркальное отражение змейки справа от изображения:
Задача 2. Дети водят хоровод. Даша стоит от Коли четвёртой справа, и она же стоит от
Коли шестой слева. Сколько детей водят хоровод?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 3. Разделите фигуру по сторонам клеток на 3 части, равные по форме и размерам.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 4. В комбинации цифр 2015201520152015 вычеркните 7 цифр так, чтобы
получилось наибольшее из возможных чисел.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 5. Даша нанизала на нитку в ряд 3 синие и 2 красные бусины. Сколько разных
рядов могло у нее получиться?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 6. На универсиаде наши спортсмены завоевали 96 медалей, из них золотых и
бронзовых в сумме 65, а золотых и серебряных — 61. Сколько золотых, серебряных и
бронзовых медалей в отдельности они получили?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 7. У Пети есть четыре палочки, каждая длиной 60 см. Он хочет разломать их на
маленькие палочки длиной по 10 см. Сколько разломов ему придется сделать и сколько
10-ти сантиметровых палочек у него получится?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 8. В прямоугольной таблице 8 столбцов. В каждой клетке таблицы стоит число.
Сумма чисел в каждом столбце равна 10, а в каждой строке – 20. Сколько в таблице строк?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 9. В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидят дядя Федор, кот
Матроскин, пес Шарик и почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева, сядет
между Матроскиным и Федором, то дядя Федор окажется крайним слева. Кто где сидит?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 10. На чертеже изображён маршрут лыжной прогулки и некоторые расстояния (в
км) между поворотами. Найдите полную длину дистанции лыжников.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 11. Сумма 2015 натуральных чисел равна 2016. Чему равно их произведение?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 12. На яблоне выросло 100 яблок. Все эти яблоки разложили в коробки по 7 яблок
и по 8 яблок. Сколько получилось коробок, в которых по 7 яблок и сколько по 8 яблок?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 13. В 2015 году Артему исполнится столько лет, что его возраст будет равен сумме
цифр его года рождения. В каком году родился Артем? Найдите все варианты.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 14. Расставьте между цифрами знаки арифметических действий и, если нужно,
скобки так, чтобы получилось верное равенство: 1 2 3 4 5 6 7 8 = 9. Между каждой парой
соседних цифр должен стоять какой-то знак!
Ответ: _____________________________________________________
Задача 15. Плитка шоколада состоит из 12 квадратиков тёмного и
12 белого шоколада (как на рисунке). Карлсон хочет вырезать из
неё квадратик 2×2 так, чтобы белого и тёмного шоколада там
было поровну. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ: _____________________________________________________
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 5 класс.
В каждой задаче вам нужно написать правильный ответ в указанном месте.
Задача 1. Постройте зеркальное отражение змейки справа от изображения:
Задача 2. Когда на колесе обозрения кабина с номером 29 находится в верхней точке
колеса, то кабина с номером 6 находится в нижней точке. Сколько кабин на колесе
обозрения?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 3. Сколько среди первых 2015 натуральных чисел нечетных?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 4. В комбинации цифр 2015201520152015 вычеркните 8 цифр так, чтобы
получилось наименьшее из возможных чисел. (Цифра 0 не может стоять в начале числа)
Ответ: _____________________________________________________
Задача 5. Расставьте скобки в записи
выражение, равное 50.
4 · 12 + 18 : 6 + 3 так, чтобы получилось
Ответ: _____________________________________________________
Задача 6. Ученики одного класса съели 95 конфет, причем каждый мальчик съел 3
конфеты, а каждая девочка — 5 конфет. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек,
если всего в классе 25 человек?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 7. У Пети есть четыре палочки длиной 24 см и пять палочек длиной 36 см. Он
хочет разломать их на маленькие палочки длиной по 6 см. Сколько разломов ему придётся
сделать и сколько 6-ти сантиметровых палочек у него получится?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 8. В прямоугольной таблице 10 столбцов. В каждой клетке таблицы стоит число.
Сумма чисел в каждом столбце равна 21, а в каждой строке – 35. Сколько в таблице строк?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 9. В очереди за пирожками стоят Аня, Кира, Оля, Паша и Толя. Аня стоит раньше
Киры, но после Толи. Оля и Толя не стоят рядом, а Паша не находится ни рядом с Толей,
ни с Аней, ни с Олей. В каком порядке стоят ребята?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 10. Некоторое число зашифровано словом АПЕЛЬСИНЧИК, при этом одинаковым
цифрам соответствуют одинаковые буквы, разным цифрам – разные буквы. Найдите
произведение цифр этого числа.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 11. У Васи есть кубик со стороной 6 см. Он его покрасил в синий цвет, а потом
распилил на кубики со стороной 1 см. Сколько получилось кубиков с двумя синими
гранями?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 12. Разделите фигуру по сторонам клеток на 3 части, равные по форме и размерам
Ответ: _____________________________________________________
Задача 13. В семье есть Иван Сидорович, Сидор Иванович, Сидор Петрович, Петр
Сидорович, Петр Петрович. Один из них сейчас смотрит телевизор, его отец дремлет, брат
читает газету, а дети ушли гулять. Как зовут того, кто смотрит телевизор?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 14. В каждый промежуток между цифрами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте знаки
сложения и умножения так, чтобы значение выражения стало равно 100. (Скобки
использовать нельзя).
Ответ: _____________________________________________________
Задача 15. Три гнома — Пили, Ели и Спали — нашли в пещере алмаз, топаз и медный таз.
У Ели капюшон красный, а борода длиннее, чем у Пили. У того, кто нашел таз, самая
длинная борода, а капюшон синий. Гном с самой короткой бородой нашел алмаз. Кто что
нашел, если каждый гном нашел один предмет?
Ответ: _____________________________________________________
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 6 класс.
В каждой задаче вам нужно написать правильный ответ в указанном месте.
Задача 1. Двое поделили между собой 25 рублей, причем одному досталось на 3 рубля
больше другого. Сколько кому досталось?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 2. Какое число в 9 раз больше своей последней цифры?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 3. Сколько среди чисел от 1 до 2015 таких, которые делятся на 3?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 4. Три курицы за три дня снесли пять яиц. Сколько яиц снесут 12 кур за 15 дней?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 5. Какое число надо поставить вместо квадратика, чтобы получилось верное
равенство?
3362 + 7 − 335 ∙ 337 +
□ = 22
Ответ: _____________________________________________________
Задача 6. Весы пришли в равновесие, когда на одну чашу поставили гири по 2 кг, а на
вторую — по 5 кг, всего вместе 14 гирь. Сколько двухкилограммовых гирь поставили на
весы?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 7. Имеется 20 трехметровых бревен и 10 двухметровых. Сколько распилов
придется сделать, чтобы распилить их все на полуметровые поленья? Пилить несколько
бревен одновременно нельзя.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 8. Вычислите
0,64 
1
25
4

0,3 :   1,25 
5

Ответ: _____________________________________________________
Задача 9. Корова в шесть раз дороже собаки, а лошадь вдвое дороже коровы. Собака, две
коровы и лошадь вместе стоят 200 рублей. Сколько стоит корова?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 10. Сколько всего треугольников можно найти на рисунке?
Ответ: ______________________________________________
Задача 11. Под крышкой каждой бутылки Нука-Колы нарисована одна из трех картинок:
звездочка, стрелочка или рожица. Если собрать две крышки с одинаковыми картинками,
то их можно обменять на шоколадный батончик. Какое наименьшее число бутылок надо
купить, чтобы гарантированно получить два шоколадных батончика?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 12. В каждый промежуток между цифрами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте знаки
сложения, вычитания, умножения или деления так, чтобы значение выражения стало
равно 111. (Скобки использовать нельзя).
Ответ: _____________________________________________________
Задача 13. У 6 школьников одного кружка спросили, сколько лампочек на потолке в
кабинете, где проходит кружок. Получили такие ответы: Первый: больше одной, второй:
больше двух, третий: больше трех, четвертый: больше четырех. Пятый: меньше четырех,
шестой: меньше трех. Сколько лампочек может быть в кабинете, если ровно половина
школьников сказала правду? Требуется привести все возможные ответы!
Ответ: _____________________________________________________
Задача 14. Разрежьте фигуру по сторонам клеток на 4 части, равные по форме и размерам,
так, чтобы в каждой части был кружок.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 15. Друг с другом последовательно соединены 5 зубчатых колёс. У первого 40
зубьев, у второго — 16, у третьего — 12, у четвёртого — 15, а у пятого зубчатого колеса
10 зубьев. Размеры зубьев одинаковы. Первое колесо совершило полный оборот. Сколько
оборотов сделало пятое колесо?
Ответ: _____________________________________________________
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 7 класс.
В каждой задаче вам нужно написать правильный ответ в указанном месте.
Задача 1. 18 месяцев назад Тане было ровно 15 лет, а Мише будет ровно 18 лет через 15
месяцев. Кто из них старше и на сколько?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 2. В коробке лежат 16 шаров — белых, красных и черных, причем белых в 8 раз
больше, чем красных. Сколько в коробке черных шаров?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 3. Сколько среди чисел от 1 до 2015 таких, которые делятся на 3, но не делятся на
5?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 4. У Вани и Равиля были две одинаковые прямоугольные карточки. Каждый из них
разрезал свою карточку на два прямоугольника. Сумма периметров прямоугольников,
которые получились у Вани, равна 40, а у Равиля — 50. Чему равен периметр исходной
карточки?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 5. Сумма цифр двузначного числа N равна 14. Если к этому числу прибавить 48, то
получится число, произведение цифр которого равно 10. Найдите число N.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 6. За круглым столом сидели 4 олимпиадника. Химик сидел напротив Данилова
рядом с биологом. Математик сидел рядом с Волковым. Соседи Бугрова — Титов и физик.
Какая профессия у Данилова?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 7. Сумма пяти последовательных натуральных чисел равна 2015. Найдите эти
числа.
Ответ: _____________________________________________________
Задача 8. Вычислите
1 1


 0,6    0,125 
4 15

  24 .
4
1
  0,4  
15 
3
Ответ: _________________________________________
Задача 9. Лошадь в восемь раз дороже собаки. Собака и две коровы вместе стоят 100
рублей. Корова и две лошади вместе стоят 205 рублей. Сколько денег потребуется, чтобы
купить одну лошадь, одну корову и одну собаку?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 10. Михаил сделал по 3 выстрела в каждую из четырех одинаковых мишеней.
Известно, что на первой мишени он выбил 26 очков, на второй — 40, на третьей — 44.
Сколько очков он выбил на последней мишени? (Попадание в каждое кольцо мишени
стоит определенное число очков).
Ответ: _____________________________________________________
Задача 11. На острове рыцарей и лжецов в очереди стоят 15 человек. Каждый, кроме
первого, заявил, что прямо перед ним в очереди стоит лжец. Сколько лжецов могло быть в
этой очереди? Укажите все возможные ответы!
Ответ: _____________________________________________________
Задача 12. В каждый промежуток между цифрами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте знаки
сложения, вычитания, умножения или деления так, чтобы значение выражения стало
равно 200. (Скобки использовать нельзя).
Ответ: _____________________________________________________
Задача 13. Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сушеные — 15% воды. Сколько
получится сушеных грибов из 34 килограмм свежих?
Ответ: _____________________________________________________
Задача 14. Разрежьте фигуру на рисунке на буквы «Т».
Буква «Т» тоже изображена на рисунке, их можно
поворачивать как угодно
Ответ:
Задача 15. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на
пары и начали кататься. В каждой паре кавалер выше дамы, и никто не катается со своей
сестрой или братом. Самый высокий из компании — Юра Воробьёв, следующий по росту
— Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Серёжа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов,
Инна Крымова и Аня Воробьёва. Кто с кем катался?
Ответ: _____________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 8 класс.
1. Коля придумал себе развлечение: он переставляет цифры в числе 2015, после чего
ставит между любыми двумя цифрами знак умножения. При этом ни один из
получившихся двух сомножителей не должен начинаться с нуля. Затем он
вычисляет значение этого выражения. Например: 150 · 2 = 300, или 10 · 25 = 250.
Какое наибольшее число у него может получиться в результате такого вычисления?
2. Петя разрезал лист бумаги на 6 кусков. Некоторые из этих кусков он снова разрезал
на 6 кусков и т.д. Может и Петя таким образом получить 2015 кусков бумаги?
3. Имеет ли решение ребус ДО ●ЧЬ = МАМА?
4. Известно, что для натуральных чисел х, у и z выполняются два равенства 7x2 - 3y2
+ 4z2 = 8 и 16x2 – 7y2 +9z2 = - 3. Найдите значение выражения x2 +y2 +z2.
5. В равностороннем треугольнике АВС точка D – середина стороны ВС. Из
произвольной точки О, лежащей на стороне ВС, опущены перпендикуляры ОК и
ОМ на стороны АВ и АС . Найдите периметр четырехугольника АМОК, если
периметр треугольника АСD равен p.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 9 класс.
Задача 1:
Решите уравнение:
+2015x-2016 =0
Задача 2:
Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999.
Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль.
Задача 3.
Постройте график уравнения − =
, то есть изобразите на
координатной плоскости все точки, координаты (x, y) которых
удовлетворяют этому уравнению.
Задача 4.
Одна сторона параллелограмма в
раз больше другой стороны. Одна
диагональ параллелограмма в
раз больше другой диагонали. Во сколько
раз один угол параллелограмма больше другого угла?
Задача 5.
Квадрат 10 Ч10 разрезали на прямоугольники, по линиям сетки, площади
которых различны и выражаются натуральными числами. Какое наибольшее
число прямоугольников получится? Пример
Олимпиада по математике. 11 класс. Школьный этап.
1. Докажите неравенство:
2. Вычислите значение суммы sin200  sin800  sin1400.
3. Имеется 100 гирь весом 1 г, 2 г, 3 г, ... , 100 г. Гирю весом 51 г заменили
гирей весом 101 г. Можно ли получившийся набор гирь разделить на две
группы, равные по весу и по количеству гирь?
4. Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные
перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются на биссектрисе угла
E.
5. Решите уравнение: (x 1)5 (x 2)5  ... (x 2015)5 0 .
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 4 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 2 балла, если не оговорено иное!
Задача 1.
Задача 2. 10 детей
Задача 3. Проверять ответ. Один из вариантов разрезания:
Задача 4. 552152015
Задача 5. 10
Задача 6. 30 золотых, 31 серебряных, 35 бронзовых
Задача 7. 20 разломов, 24 палочки
Задача 8. 4.
Задача 9. Слева направо: Шарик, дядя Федор, Матроскин, Печкин.
Задача 10. 32 км
Задача 11. 2.
Задача 12. 4 коробки по 7 яблок и 9 коробок по 8 яблок.
Задача 13. В 1993 году или в 2011 году.
Если указан только один верный ответ – 1 балл. Если 1 верный + 1 неверный – 0 баллов.
Оба верных ответа при отсутствии неверных – 2 балла. Два верных и один неверный –
1 балл. Два верных и два неверных – 0 баллов.
Задача 14. Внимательно проверять ответ! Вариантов много, один из них:
1·2+3+4+5-6-7+8 = 9. ЛЮБОЙ верный ответ стоит два балла. Отсутствие верного ответа – 0
баллов.
Задача 15. 12 способов.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 5 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 2 балла, если не оговорено иное!
Задача 1.
Задача 2. 46 кабин
Задача 3. 1008
Задача 4. 10012015
Задача 5. Проверять ответ! Скорее всего, он будет такой: 4 · 12 + 18 : (6 + 3) = 50. Если
дети найдут другой верный ответ, его необходимо зачесть.
Задача 6. 15 мальчиков, 10 девочек
Задача 7. 37 разломов, 46 палочек
Задача 8. 6.
Задача 9. Толя, Аня, Оля, Кира, Паша.
Задача 10. 0.
Задача 11. 48.
Задача 12. Проверять разрезание! Один из вариантов:
Любой другой верный ответ тоже зачесть!
Задача 13. Петр Сидорович.
Задача 14. Внимательно проверять ответ! Вариантов много, один из них:
1·2·3·4+5+6+7·8+9=100. ЛЮБОЙ верный ответ стоит два балла. Отсутствие верного ответа
– 0 баллов.
Задача 15. Алмаз нашёл Пили, топаз — Ели, а медный таз — Спали.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 6 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 3 балла, если не оговорено иное!
Задача 1. 14 и 11.
Задача 2. 45
Задача 3. 671
Задача 4. 100
Задача 5. 14
Задача 6. 10.
Задача 7. 130
Задача 8. 2.
Задача 9. 48 рублей
Задача 10. 18
Задача 11. 6
Задача 12. Внимательно проверять ответ! Вариантов много, один из них:
1+2+3−4−5+6·7+8·9=111. ЛЮБОЙ верный ответ стоит 3 балла. Отсутствие верного ответа –
0 баллов.
Задача 13. 2, 3 или 4.
Если указан только один верный ответ при отсутствии неверных – 1 балл. Два верных
ответа при отсутствии неверных – 2 балла. Три верных ответа при отсутствии
неверных – 3 балла. При наличии верных и неверных ответов количество баллов равно
разности между количеством верных и количеством неверных, но не меньше 0.
Задача 14. Единственный ответ:
Задача 15. 4
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 7 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 3 балла, если не оговорено иное!
Задача 1. Миша старше на 3 месяца
Задача 2. 7
Задача 3. 537
Задача 4. 30
Задача 5. 77
Задача 6. Математик
Задача 7. 401, 402, 403, 404, 405.
Задача 8. 25.
Задача 9. 135 рублей
Задача 10. 33
Задача 11. 7 или 8.
Если указан только один верный ответ при отсутствии неверных – 1 балл. Два верных
ответа при отсутствии неверных – 3 балла. Два верных и один неверный – 1 балл. Если
неверных ответов не меньше, чем верных – 0 баллов.
Задача 12. Внимательно проверять ответ! Вариантов много, один из них:
1−2·3−4+5·6·7+8−9=200. ЛЮБОЙ верный ответ стоит 3 балла. Отсутствие верного ответа –
0 баллов.
Задача 13. 4 кг.
Задача 14. Единственный ответ:
Задача 15. Люся Егорова с Юрой Воробьёвым, Оля Петрова — с Андреем Егоровым, Инна
Крымова — с Серёжей Петровым, Аня Воробьёва — с Димой Крымовым.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 8 класс.
Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 7 баллов.
1.Ответ : 1050
Решение: Заметим факты: при максимальном произведении в каждом из
сомножителей цифры идут в порядке убывания.( то есть 0 должен стоять в
конце одного из сомножителей). Без разницы, в конце, какого из двух
сомножителей поставить 0, произведение от этого не изменится. Поэтому
можно переставить его так, чтобы оба сомножителя стали двузначными.
После этого останется перебрать три варианта:
21 · 50 = 1050, 52 · 10 = 520, 51 · 20 = 1020
2. Ответ: нет
Решение: После каждого разрезания исчезает один «большой» листок и
появляются 6 «маленьких», поэтому каждая такая операция приводит к
появлению 6-1 = 5 новых кусочков, т.е. количество листков будет 5n + 1
(при делении на 5 дает в остатке 1). Значит число кусков никогда не
может быть равным 2015.
3.Ответ: нет
Решение: Заметим, что МАМА = МА ● 101. Так как 101 простое число
и на него делится произведение ДО ● ЧЬ, то одно из этих чисел должно
делиться на 101. Но двузначное число не может делиться на
трехзначное. Поэтому данный ребус не имеет решений.
4. Ответ: 165
Решение: Умножим первое равенство на 7, а второе на - 3 и сложим
полученные
равенства. Получим, что x2 + z2 =65.Учитывая, что x и z - натуральные
числа,
перебором находим, что
х =1
х=8
или
z =8
х=4
или
z=1
х=7
или
z=7
z=4
Подставим полученные результаты в любое из данных равенств.
1)
2)
3)
4)
Если х =1, z = 8, то у2 = 85, у – не натуральное;
Если х =8, z = 1, то у2 = 148, у – не натуральное;
Если х =4, z = 7, то у2 = 100, в этом случае x2 +y2 +zz = 165;
Если х =7, z =4, то у2 = 148, то у – не натуральное.
5. Ответ: периметр четырехугольника АМОК равен p.
Решение:
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 9 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 7 баллов.
Задача 1.
Т.к 1+2015-2016=0, то х1=1, а по теореме Виета х1х2=-2016, то х2= -2016
Ответ: -2016;1
Задача 2 :
Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет
нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда.
Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа.
Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа,
т.е. это число оканчивается на 20.
Таких чисел 9: 120, 220, .........., 920.
Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то
соответствующее трехзначное число начинается на 20.
Таких чисел 10: 200, 201, .........., 209.
Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.
Задача 3
Найдем ОД.З.
-18х +81
0;
0;
;
; х=9, у=9 или у=- 9.График уравнения – две точки: (9;-9),(9;9)
Задача 4.
Пусть x — меньшая сторона параллелограмма, тогда
x — большая сторона. Пусть y —
меньшая диагональ, тогда
у— большая диагональ. Имеем: 2 + 2
х=у. Получаем: острый угол параллелограмма равен 30°, тупой — 150°.
= +
, откуда
Ответ: в 5 раз
Задача 5.
Площадь квадрата равна 100. Если представить 100 в виде суммы натуральных чисел, то число
слагаемых будет наибольшим, если разность между числами равна одному. Возьмем
прямоугольники площади 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Их суммарная площадь равна 55. Значит, сумма
площадей остальных прямоугольников равна 45. Заметим, что если площадь прямоугольника
больше 10, то она не может быть простым числом, иначе такой прямоугольник имеет сторону
больше 10 и не помещается в квадрат 10 Ч 10. Составными числами больше десяти являются
числа 12, 14, 15, 16, 18,,… Любые четыре из них в сумме дают число больше 45. Сумму, равную 45,
дают, например, такие три числа: 12,15,18 или 14,15,16. Получаем, что число прямоугольников
меньше или равно 13.
Школьная олимпиада по математике. 2015 год. 11 класс. Ответы.
Правильный ответ на каждую задачу стоит 7 баллов.
1.
Представим
левую
часть
как
.
Легко
заметить,
что
.
2. sin200sin800sin1400= -sin20sin80-sin40=sin80 - (sin40+
sin20)=
= cos10-2cos10sin30= cos10 (1-2sin30)=0
3. Да, можно.
Например в первой группе 25,26,…,49, 53,54,…,77. Их сумма 2550. Во
второй все остальные.
4. Пусть прямые AE и ВС пересекаются в точке К, а ВС и ED в точке
М. Тогда, серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD являются
биссектрисами углов К и М соответственно, и пересекаются на
биссектрисе угла Е.
5. Заметим, что x=-1008 является корнем уравнения. Данная в левой
части уравнения сумма, монотонно возрастающая функция и имеет с
осью абсцисс единственную точку пересечения. Следовательно корень
x=-1008 единственный.