Начертательная геометрия: краткий конспект лекций по курсу НГ

Министерство образования Российской Федерации
Кемеровский технологический институт пищевой
промышленности
Л.В. Громова, Л.М. Лазарева, Г.М. Мяленко,
Л.П. Козлова, Е.В. Скрынник
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Краткий конспект лекций
Кемерово 2002
УДК:744 (075)
Печатается по решению Редакционно - издательского совета
Кемеровского технологического института пищевой промышленности
Рецензенты:
• доцент, зав. кафедрой прикладной механики Кемеровского
сельскохозяйственного института к.т.н. В.М. Радченко;
• доцент кафедры начертательной геометрии и графики
Кузбасского государственного университета
к.т.н. Т.А. Баздерова
Начертательная геометрия: краткий конспект лекций по курсу
НГ и ИГ
Л.В. Громова, Л.П. Козлова, Л.М. Лазарева, Г.М. Мяленко, Е.В.
Скрынник.
Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. Кемерово. 2002. - 136с.
ISBN 5 - 89289 - 084 - 8
Курс лекций предназначен для студентов технологических
специальностей дневной и заочной форм обучения.
В разработанном курсе лекций рассмотрены основные разделы курса "Начертательная геометрия". Лекции включают в себя
сведения о методах проецирования, о образовании проекций
точки, прямой линии, плоскости и их взаимном положении. Рассмотрены способы преобразования чертежа, построение многогранников и кривых поверхностей, пересечение кривых и гранных поверхностей прямой линией и плоскостью, Даны сведения
об аксонометрических проекциях.
Краткий конспект лекций содержит 168 ил. и 17 библ.
назв.
2004020000
Н
У 50(03)  2002
ISBBN 5 - 89289 - 084 – 8
©Кемеровский технологический
пищевой промышленности, 2002
институт
4
3
ВВЕДЕНИЕ
В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит начертательная геометрия. Некоторые идеи
начертательной геометрии были разработаны еще в 1б-17в.в., но
в самостоятельную науку начертательная геометрия оформилась
в конце 18в, в связи с возросшими потребностями инженерной
практики.
В 1798 году французский инженер Гаспар Монж опубликовал свой труд, «Начертательная геометрия» который лег в основу проекционного черчения.
В российских учебных заведениях систематическое преподавание начертательной геометрии началось с 1810 года, вначале
на французском, а затем и на русском языке, В 1821 году профессор Я,С. Севастьянов издает курс «Основания начертательной геометрии».
В 1855 году профессором А.Х.Ребером написана книга по
теории проекции с числовыми отметками.
Выдающийся вклад в теорию геометрии внесли русские математики Н И.Лобачевский (1792-1856 г.г.) и Л.Л.Чебышев
(1821-1894 г.г,). В дальнейшем развитие начертательной геометрии как науки и учебной дисциплины; принадлежит многим советским ученым и педагогам.
Предмет изучения начертательной геометрии - разработка
методов построения и чтения чертежей, а также методов решения на чертежах геометрических задач, связанных с оригиналом.
Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекции.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА
Для краткой записи геометрических предложений, алгоритмов решения задач и т.д. используется геометрический язык.
1. Точки обозначаются заглавными латинскими буквами:
A,B,C,D…
арабскими цифрами: 1, 2, 3,4…
последовательность точек: A1, A2, Аз.
2. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекции, обозначаются строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с, d...
3. Углы - строчными буквами греческого алфавита: ф, ц, р, .
4. Плоскости - строчными буквами греческого алфавита:.
5. Поверхности - прописными буквами русского алфавита:
цилиндр - Ц, конус - К...
6. Плоскости проекций
горизонтальная - Н, фронтальная - V, профильная - W,
7. Возможное обозначение плоскостей проекций - строчной буквой греческого алфавита -; горизонтальная - 1, фронтальная - 2.
профильная - 3.
8. Оси проекций - строчными буквами:
о- начало координат;
х- ось абсцисс;
у- ось ординат;
z- ось аппликат.
9. Проекции точек:
на горизонтальную плоскость Н- А', В', С',
на фронтальную плоскость V- А", В", С"...
на профильную плоскость W- А///, В///, С///...
10. Проекции линий - по проекциям точек, определяющих линию;кроме того, горизонталь- h; фронталь- f; профильная линия- р.
Символика
е - принадлежит (2N) два принадлежит N
- - включает, содержит (а - а) прямая а принадлежит плоскости 
 - объединение множеств |АВ|  ВС| - ломаная АВС
 - пересечение множеств
=>• импликация - логическое следствие (а // с и b // с) => а // Ь- [если
а // b и b // с, то а // b]
~- подобие
=- совпадают
|| - параллельны
 - перпендикулярны
- - скрещиваются
—>•- преобразуется: aa1
5
1. ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Существует несколько видов проецирования.
Проекции центральные, - когда задается плоскость проекции и центр проекции точки, не лежащей в этой плоскости(рис. 1.1).
Рис. 1.1
6
5) для построения проекции прямой достаточно спроецировать
две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию,
6) если точка  прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой; (рис. 1.3) точка К принадлежит прямой
(проекция К0 принадлежит проекции этой прямой),
7) если прямая (АВ) параллельна направлению проецирования,
то проекцией прямой является точка А°, она же В° (рис. 1.3),
8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций,
проецируется на эту плоскость в натуральную величину (CD
= C°D° , как отрезки параллельных прямых между параллельными прямыми), (рис. 1.3).
Рис. 1.2
1.1. Параллельное проецирование
Параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекции (рис. 1.2).
Параллельные проекции также называют цилиндрическими,
которые в свою очередь делятся на: косоугольные и прямоугольные.
В параллельных проекциях, так же как и в центральных:
1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем
случаеслужит плоскость, и поэтому прямая линия вообще
проецируется в виде прямой;
2) каждая точка и линия в пространстве имеют единственную
своюпроекцию;
3) каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией
множества точек, если через них проходит общая для них
проецирующая прямая;
4) каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них проецирующей плоскости;
Рис. 1.3
В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции (слово прямоугольные часто заменяют на
ортогональные, образованное от греческих слов прямой и угол).
Точка.
Точка относится к основным неопределяемым понятиям геометрии. Точка не имеет размеров; это основной геометрический
элемент линии и поверхности.
Положение точки (и любой геометрической фигуры) в пространстве может быть определено, если будет задана координатная система отнесения. Наиболее удобная является декартовая
система координат (французский философ, математик Декарт
1596 - 1650 г.) состоящая из трех взаимно перпендикулярных
плоскостей, при этом получается восемь октантов (рис. 1.4).
7
8
Фронтальная плоскость V изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н- горизонтальная плоскость в виде параллелограмма,, Наклонная сторона обычно проведена под углом 45° к
горизонтали.
Рис. 1.4
Рис. 1.5
Преобразование в эпюр осуществляется совмещением плоскостей путем вращения (рис. 1.5), Или условно можно принять
для построения одну из четвертей.
Рассмотрим принятую систему расположения плоскостей
проекций (рис. 1.6).
Условимся называть: плоскость - Н- горизонтальная плоскость проекции, V- фронтальная плоскость проекции, Wпрофильная плоскость проекции.
Рис. 1.7
Из точки А опускаем перпендикуляр на плоскости [АА'; АА"
- проецирующие лучи].
Точки А', А" (рис. 1.7) пересечений с плоскостями проекций
V и Н являются прямоугольными проекциями точки А, а полученная фигура в пространстве АА' АхА" - прямоугольник.
Если совместим плоскость Н с плоскостью V путем вращения вокруг линии пересечения плоскостей X, то получается комплексный (плоский) чертеж (эпюр Монжа) точки А.
Рис. 1.6
1.3. Проецирование точки на две плоскости проекции
Возьмем точку А и поместим в пространство двухгранного
угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями:
фронтальной- V и горизонтальной- Н (рис. 1.7).
Рис. 1.8
9
Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей
не указываются. Линия пересечения плоскостей V фронтали и Н
горизонтали называют осью проекции (рис, 1.9),
10
Если точка А — лежит на плоскости Н, то ее горизонтальная
проекция совпадает с точкой А, а фронтальная с осью х.
Соответственно точка В лежит на V плоскости, то ее фронтальная проекция совпадает с точкой В, а горизонтальная лежит
на оси х , Если точка С лежит на оси х, то проекции С', С" совпадают с точкой С.
1.5.Проецирование точки на три плоскости проекции
В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить
форму предмета, его проецируют на три плоскости (рис. 1.11),
т.е. вводится W- профильная плоскость, она перпендикулярна
двум имеющимся, (Н и V).
Рис. 1.9
Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям
проекций, называются проецирующими линиями, а основания
этих проецирующих линий точки А' и А"' - называются проекциямиточки А. А - горизонтальная проекция точки А и А"- фронтальная проекция точки А.
1.4. Расположение точек на комплексном чертеже
Расположение проекции точки на комплексном чертеже
зависит от положения точки в пространстве (рис. 1.10).
Рис. 1.11
Для получения комплексного чертежа точки А вращаем
плоскости вокруг осей х; z. Он будет выглядеть следующим образом, Расстояние (координата) точки А до плоскости Н будет
равна ОАх.
Координата точки А до V равна ОАу. Координата точки А до
W равна OAz. А=х,у; А" = x.z; А / = y,z.
По двум проекциям точки, находящихся в проекционной связи, можно определить все три координаты точки.
Рис. 1.10
11
Если заданы координаты точки А (ХА, YA, 2.л) то можно построить три проекции этой точки. На рис. 1,12 представлен комплексный чертёж точки А к рис. 1.11,
2.2.Положение прямой линии относительно плоскостипроекции
Рис. 1.12
2. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ
2.1 Проецирование прямой линии на две и три плоскости проекции.
Прямая линия в пространстве вполне определяется положением двух любых точек, принадлежащих этой прямой (траектория
перемещения точки), рис. 2.1.
Рис. 2.1
12
При проецировании прямой линии проецирующие лучи всех
точек прямой располагаются в одной плоскости, которую называют проецирующей. Эта плоскость пересекает плоскость проекции по прямой линии.
Для того, чтобы построить эпюр прямой линии, достаточнодостроить проекции двух лежащих на ней точек и провести через соответствующие проекции точек проекции прямой.
Если прямая не перпендикулярная, и не параллельная ни одной из плоскостей проекции, то такая прямая называется,прямой общего положения (рис.2.2),
В дальнейшем мы будем изображать пересечение координатных плоскостей только осями.
Рис. 2.2
Если прямая в пространстве параллельна какой - либо
плоскости проекции, то такая прямая называется прямой
частного положения.
Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций особые (частные) положения. Рассмотрим их по следующим двум признакам;
1.Прямая параллельна одной плоскости проекции (прямые уровня рис.2.3, 2.4, 2.5).
2.Прямая параллельна двум плоскостям проекции (проецирующие прямые рис.2.6, 2.7, 2.8).
Прямая параллельная горизонтальной тоскости проекции
(Н), называется горизонталью и обозначается h (рис.2.3.), (zconst).
Рис.2.3
13
Особенности горизонтали: все точки горизонтали удалены
на одинаковое расстояние от плоскости Н.
Фронтальная проекция прямой параллельна оси проекции и
горизонтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку А'В' = АВ – (натуральная величина), А»В'' параллельна оси
х А»'В'» параллельна оси у.
Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекции называется фронталью – f (рис.2.4), (y-const).
14
Профильная прямая р- прямая параллельная профильной
плоскости проекции W (x-const), рис. 2.5.
Профильная проекция отрезка прямой равна самому отрезку
E'"F"'= EF; E'F' параллельна оси у; E"F" параллельна оси z.
Проецирующими прямыми - называются такие прямые,
которые перпендикулярные плоскостям проекций (рис. 2.6, 2.7,
2.8). Прямая, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекции, называется фронтально - проецирующей прямой
(рис.2.6),
Рис. 2.4.
Фронтальная проекция отрезка прямой равна самому отрезку
(C'D"= CD).
C'D' параллельна оси х.
C'"D'" параллельна оси z.
Рис. 2.6.
Прямая перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекции называется горизонтально - проецирующая прямая
(рис.2.7).
Рис. 2.7.
Рис. 2.5.
15
Прямая перпендикулярная к профильной плоскости проекции называется профильно - проецирующая прямая (рис.2.8).
Рис. 2.8.
2.3.Взаимное положение двух прямых на комплексном
чертеже
Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную данной прямой LМ,то построение сводится к проведннию через точку А прямой, параллельной L"M", и через
точку А' прямой параллельной L'M', рис.2.9 а.
а)
Рис.2.9
16
В случае, изображенном на рис.2.9 б, параллельные прямые
расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл.Н, Поэтому горизонтальные проекции
этихпрямых расположены на одной прямой.
Если прямые пересекаются в точке К, то их проекции тоже
пересекаются, при этом проекции точки К' и К" расположены
на одном перпендикуляре (рис.2.10).
Действительно, если точка К принадлежит обеим прямым АВ
и CD, то проекция этой точки должна быть точкой пересечения
проекций данных прямых,
Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения, независимо от того, даны ли проекциина трех или двух плоскостях проекций, необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения
одноименных проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей оси проекций (рис.2.11) или. на
чертеже без оси проекций (рис.2,12), эти точки оказались бы
налинии связи установленного для нее направления. Но если однаиз данных прямых параллельна какой- либо из плоскостей
проекций, а на чертеже не даны проекции на этой плоскости, тонельзя утверждать, что такие прямые пересекаются между собой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие, например, в случае, данном на рис.2.13, прямые АВ и CD, из которых прямая CD параллельна плоскости W, не пересекаются
между собой; это может быть подтверждено построением профильных проекций или применением правила о делении отрезков в данном отношении.
б)
Рис.2.10
Рис.2.11
17
Если точка пересечения npoeкцuu прямых не расположены на
одном перпендикуляре к оси х, то прямые скрещиваются
(рис.2.14).
На рис.2.14, 2.15 изображены две скрещивающиеся прямые
общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются
между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены
линией связи, то есть прямые не пересекаются между собой.
18
Для установления натуральной величины отрезка АВ проводим на одной из проекций (горизонтальной) прямую параллельную оси х.
Полученный отрезок А2 откладываем на перпендикулярно
проведенном из точки А" отрезке и полученную точку А° соединяем с В". В результате построений получаем натуральную величину прямой АВ и угол 2, который равен истинному углу
наклона прямой АВ к плоскости V.
Отрезки линий уровня - фронтали, горизонтали, профильные
проецируются в натуральную величину, соответственно на
фронтальную, горизонтальную и профильные плоскости проекции. Во всех остальных случаях отрезки прямых проецируются с
искажением.
Рис.2.13.
Рис.2.14
Рис. 2.15
2.4.Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к
плоскостям проекций
Чтобы определить на эпюре истинную (натуральную) длину
отрезка прямой, можно воспользоваться способом прямоугольного треугольника (рис.2.16, 2.1.7),
Прямая АВ - общего положения (то есть, не параллельна и не
перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций). Поэтому
обе ее проекции А'В' и А"В" имеют искажения по сравнению с
натуральными размерами.
На рис.2.16 слева, длина отрезка АВ и угол, составленный
прямой АВ с плоскостью Н, определены из прямоугольного
треугольника, построенного на проекции А'В' при втором катете
В'В°,равном В" 1.АВ=А'В°.
Рис.2.16
Рис.2.17
Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как
острый угол между этой прямой и ее проекций на данную плоскость (рис. 2.17).
Этот угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для Н.В.
Если прямая имеет какую - либо проекцию, равную действительной ее длине, то на комплексном чертеже угол между проекцией этой прямой и плоскостью проекций будет действительным углом прямоугольного треугольника.
19
2.5. Точка на прямой. Проецирование прямого угла.
Следы прямой.
20
На рис.2.20 отрезок АВ параллелен плоскости Н. Угол АВС прямой (90°). Угол A'B'C' - прямой.
Рис.2.20
На рис 2.18 дана прямая с (общего положения), проходящая
через точку А. Точка В принадлежит этой прямой с и горизотальная проекция этой точки В' принадлежит горизонтальной
проекции прямой с (с'). Исходя из инвариантного свойства параллельных проекций (если точка принадлежит линии, то проекции точки принадлежат одноимённым проекциям этой линии)
находим В" следующим образом: проводим из точки В линию
связи до пересечения с с".
Одним из свойств параллельного проецирования является то,
что отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении и, следовательно, проекции этого отрезка делятся проекцией этой точки в том же отношении.
На рис. 2.19 дан пример деления отрезка в некотором заданном от ношении. Отрезок КМ разделён в отношении 2:4. Для
этого из точки К' проведена произвольная вспомогательная прямая, на которой отложено шесть (2 + 4) отрезков произвольной
длинны, но равных между собой. Проведя отрезок 6М' и параллельно ему через точку 2 прямую, получаем N', затем находим
N". Точка N поделила отрезок КМ в отношении 2:4.
При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется на плоскость проекции без искажения (прямым углом), если
одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая ей
не перпендикулярна.
Прямая общего положения пересекает все три плоскости
проекций. Точки пересечения прямой линии и плоскостей
проекций называют следами прямой. Соответствено, точку
пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекции Н
называют горизонтальным следом (1н); точку пересечения прямой I с фронтальной плоскостью проекций V называют фронтальным следом (lv); точку пересечения прямой I с профильной
плоскостью проекций W называют профильным следом (lw).
На рис,2.21а,б 1н', lv', lw' - горизонтальные проекции следов
1н,1v, 1w.
1н", 1v"; 1w" - фронтальные проекции следов 1н; 1v; 1w.
1н" , 1v'",1w'" - профильные проекции следов 1н; 1v; 1w.
Из рис.2.21 видно, что 1н =1H'; 1v = 1v" , 1w =1w"'.
Для построения на комплексном чертеже горизонтального
следа прямой I (рис.2.21 б) необходимо продолжить фронтальную проекцию 1" до пересечения с осью х, затем из этой точки
восстановить перпендикуляр к оси х до пересечения его с горизонтальной проекцией прямой 1(1').
Полученная точка является горизонтальной проекцией горизонтального следа 1н' и здесь же находится сам горизонтальный
след 1н. Так как 1н находится на горизонтальной плоскости проекций Н (т.к. 1  Н), то его фронтальная проекция 1н" находится
на оси х, профильная проекция 1н'" находится на оси у плоскости W.
21
Для построения фронтального следа прямой I необходимо
продолжить горизонтальную проекцию 1 до пересечения с осью
х, из этой точки восстановить перпендикуляр к оси до пересечения его фронтальной проекцией прямой 1 (1"). Полученная точка
является фронтальной проекцией фронтального следа 1v" и
здесь же находится сам фронтальный след lv. Так как 1v принадлежит фронтальной плоскости проекций V( 1  V), следовательно его горизонтальная проекция lv' находится на оси х; профильная проекция lv'" находится на оси Z.
а)
22
3. ПЛОСКОСТЬ
3.1 Задание и изображение плоскости на
чертеже
Плоскость - это простейшая поверхность.
Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремяточками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой иточкой, не принадлежащей данной прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми, д) любой
плоской фигурой.
В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана: а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой,
(А,В,С) (рис.3.1), б) проекциями прямой и точки взятыми внеэтой прямой, (а,А) (рис.3.2), в) проекциями двух пересекающихся прямых, (a  b) (рис.3.3), г) проекциями двух параллельных прямых, (а || b), (рис,3.4), д) проекциями плоской фигуры
(треугольника, окружности, квадрата,.,) (рис.3.5).
б)
Рис. 2.21
Для построения профильного следа прямой I необходимо
продолжить либо горизонтальную проекцию до пересечения её с
осью у плоскости W, либо фронтальную проекцию 1 до пересечения её с осью Z, затем из этой точки восстановить перпендикуляр, соответственно, либо к оси у плоскости W, либо к оси Z
до пересечения его с 1″′. Полученная точка является профильной
проекцией профильного следа lw'" и здесь же находится сам
профильный след lw. Так как lw принадлежит профильной плоскости проекций W (1  W), следовательно его фронтальная проекция lw'" находится на оси Z, а горизонтальная проекция находится на оси у плоскости Н.
Рис.3.1
Рис.3.2
Рис.3.3
Рис.3.4
Рис.3.5
Каждое из представленных заданий плоскости рис. (3.1-3,5)
может быть преобразовано в любое из них.
23
3.2 Следы плоскости
Более наглядно плоскость может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекции.
На рис. 3.6 некоторая плоскость  задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ. для построения прямой, по которой
плоскость р пересечет плоскость Н, достаточно построить две
точки, принадлежащих одновременно плоскостям а и Н. Такими
точками служат следы прямых АВ и СВ на плоскости Н, т.е.
точки пересечения этих прямых с плоскостью Н.
Рис. 3.6
Рис. 3.7
Рис. 3.8
Построив проекции этих следов и проведя через точки Mi' и
М2 'прямую, получим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей  и Н, Линия пересечения плоскостей  и V
определяется фронтальными следами прямых АВ и СВ.
Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает
плоскости проекций, называется следами этой плоскости на
плоскостях проекций.
Прямая, по которой плоскость  (рис. 3.7, 3,8) пересекает
горизонтальную плоскость проекций Н - горизонтальный след
плоскости  и обозначается н.
Прямая, по которой плоскость  пересекает фронтальнуюплоскость проекции V, - фронтальный след плоскости ,
который обозначается V. Точка пересечения н и V на оси Х
называется точкой схода следов и обозначается Х
24
След плоскости на плоскости проекции сливается со своей проекцией на этой плоскости, следовательно, н = н' , где н' горизонтальная проекция горизонтального следа плоскости ; фронтальная проекция этого следа располагается на оси X.
Фронтальный след плоскости  V- = v, где v'' - фронтальная проекция фронтального следа плоскости а; горизонтальная проекция этого следа располагается на оси X.
На чертеже плоскость может быть, задана проекциями ее
следов (рис. 3,9). Такой чертеж нагляден и представляет удобство при некоторых построениях.
Если рассматривать плоскость  в системе H,V,W, то в общем случае плоскость  пересекает оси X, Y, Z. Такая
плоскость называется плоскостью общего положения w - профильный
след плоскости 
w=w'"
Рис.3.9
Хо, Yo, Zo- точки схода следов
плоскости 
3.3 Взаимопринадлежность точки и прямой плоскости.
Прямые особого положения.
Из положения геометрии следует:
1) прямая принадлежит плоскости, если она проходит черездве точки, принадлежащие данной плоскости.
2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через
точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельна ей. Зададим
плоскость  двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ
(рис.3.10), плоскость  двумя параллельными прямыми DE и FG.
Согласно первому положению прямая, пересекающая прямые,
определяющие плоскость, находится в данной плоскости. Из
этого следует, что если тоскость задана следами, то прямая
принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости (рис, 3.11).
25
26
Из рис. 3.13 следует, что прямая принадлежит плоскости,
если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет
с другим следом общую точку, которая является одноименным
следом этой прямой.
Для построения на чертеже точки, лежащей в заданной
плоскости, сначала строят прямую, принадлежащую заданной
плоскости, затем на этой прямой берут точку.
Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D
и известно, что точка D принадлежит плоскости, заданной треугольником АВС (рис. 3,14). Сначала строят горизонтальную
проекцию прямой, принадлежащей данной плоскости и проходящей
Рис.3.10
Рис.3.11
Рис.3.12
Плоскости  и  заданы следами (рис.3.11, 3.12).
Прямая, проходящая через точки М и N, пересекает следы
плоскостей  и . Точка М является горизонтальным следом
прямой MN, точка N - фронтальный след прямой MN и, следовательно, прямая MN принадлежит плоскости  (рис.3.11) и плоскости  (рис. 3.12).
Рис3.14
через D'. Затем строят фронтальную проекцию той же прямой (А"М")
и на ее продлении находят D".
Среди прямых, принадлежащих плоскости, особое положение занимают горизонтали, фронтали и линии наибольшего наклона к
плоскостям проекций.
Горизонталями плоскости называют прямые, лежагцие в ней и
параллельные горизонтальной плоскости проекций.
Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником АВС.
Горизонталь построим через вершину А (рис.3.15).
Рис.3.15
Рис.3.16
Так как горизонталь плоскости параллельна плоскости Н, то
ее фронтальная проекция А"К" параллельна оси X, Строим горизонтальную проекцию точки К и проводим прямую через точки
А и К.
27
Рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной
следами (рис. 3.16).
Горизонтальный след плоскости является одной из ее горизонталей (нулевая горизонталь). Поэтому построение какой либо из ее горизонталей сводится к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному следу плоскости.
Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция горизонтали
параллельна оси X.
Фронталями плоскости называют прямые, лежащие в ней
и параллельные плоскости проекций V. Пример построения
фронтали в плоскости дан на рис.3.17. Построение выполнено
аналогично
28
или к ее профильной прямой. Линия наибольшего наклона к плоскости Н называется линией ската плоскости,
Эти линии определяют угол наклона плоскости к плоскостями,H,V,W.
Согласно правилам проецирования прямого угла горизонтальная проекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальная проекция линии ската строится после построения горизонтальной.
Рис. 3.19
Рис3.17
Рис.3.18
построению горизонтали (см. рис. 3,15), Пусть фронталь проходит через точку А. Так как фронталь параллельна плоскости V,
то А'К' параллельна оси X, затем строим фронтальную проекцию
К" и фронтальную проекцию фронтали А"К",
Построим фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис.3.18 устанавливаем, что прямая MB является
фронталью плоскости , она параллельна фронтальному следу
(нулевой фронтали) плоскости. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси X, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости v.
Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям
проекций Н, V, W называются прямые, лежащие в ней, и перпендикулярные или к горизонтали плоскости, или к ее фронтали,
Рис. 3.20
На рис. 3.19 изображена линия ската плоскости : ВК  h,
BKB' - линейный угол двугранного угла, образованного этой
плоскостью и плоскостью Н. Следовательно линия ската служит
для определения угла наклона этой плоскости к плоскости Н.
На рис,3,20 построены линии ската в заданных плоскостях.
Линейный угол между линией ската и ее горизонтальной
проекцией равен углу наклона заданной плоскости к плоскости Н.
Линейный угол между линией наибольшего наклона к плоскости V и ее фронтальной проекцией равен углу наклона заданой плоскости к плоскости V.
Линейный угол между линией наибольшего наклона к плоскости W и ее профильной проекцией равен углу наклона заданной плоскости к плоскости W.
29
30
3.4 Положение плоскостей относительно плоскостей проекций
линейным углом двугранного угла между горизонтально проецирующей плоскостью  и плоскостью V.
б) плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости
проекции. Такие плоскости называются фронтальнопроецирующими.
Возможны следующие положения плоскости относительно
плоскостей проекций H,V,W:
1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций;
2) плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций;
3) плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций.
1.Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей
проекций, является плоскостью общего положения (см,
рис. 3,1-3.5), Плоскость общего положения (см рис. 3.9)
,пересекает все плоскости проекций. Следы плоскости общего положения не перпендикулярны к осям проекций
2. Если плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей
проекций, то возможны три случая:
а) плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости
проекции. Такие плоскости называются горизонтально проецирующими (рис.3,21, 3.22).
Рис.3.21
Рис.3.22
На рис.3.21 плоскость задана проекциями треугольника АВС.
Горизонтальная проекция представляет собой отрезок прямой
линии. Угол ф2 равен углу между заданной плоскостью и плоскостью V. На рис. 3,22 изображена горизонтально проецирующая плоскость , которая задана следами. Фронтальный след
плоскости  перпендикулярен к плоскости Н и к оси проекций X.
Угол ф2 является
Рис.3.23
Рис.3.24
На рис, 3.23 фронтально - проецирующая плоскость задана
треугольником DEF, фронтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф1 равен углу между плоскостью DEF и плоскостью Н.
На рис.3,24 фронтально - проецирующая плоскость  задана
следами. Горизонтальный след н перпендикулярен к плоскости
V и к оси X. Угол ф1 равен углу наклона плоскости  к плоскости
Н;
в) плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Такие плоскости называются профильно- проецирующими,
На рис,3,25 профильно - проецирующая плоскость задана
треугольником АВС. Горизонталь этой плоскости перпендикулярна к плоскости W и представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф1 равен углу наклона плоскости треугольника АВС к
плоскости Н.
32
31
Рис.3.29
Рис.3.25
Рис.3.26
На рис.3.26 профильно - проецирующая плоскость  задана
следами. Угол ф1 равен углу наклона плоскости  к плоскости Н,
Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси Хи, следовательно, параллельны между собой.
3. Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то возможны три случая:
а) плоскость перпендикулярна к плоскостям V, W т.е. параллельна плоскости Н. Такие плоскости называют горизонтальными .
Рис.3.27
Рис.3.30
На рис.3.29 фронтальная плоскость задана треугольником
CDE, Горизонтальная проекция этой плоскости представляет
прямую линию, параллельную оси X.
На рис. 3.30 фронтальная плоскость  задана следами. Горизонтальный след этой плоскости параллелен оси X,
в) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и V, т.е. параллельна W. Такие плоскости называют профильными.
Рис.3.28
На рис.3.27 горизонтальная плоскость задана треугольником
АВС. Фронтальная проекция этой плоскости апробировалась в
прямую линию, параллельную оси Х.
На рис.3.28 горизонтальная плоскость задана следами. Фронтальный след этой плоскости параллелен оси X.
б) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и W, т.е. параллельна плоскости V. Такие плоскости называют фронтальными
Рис.3.31
Рис.3.32
На рис.3.31 профильная плоскость задана треугольником
EFG, Фронтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, параллельную оси Z
На рис.3.32 профильная плоскость  задана следами. Фронтальный и горизонтальный следы этой плоскости перпендикулярны к оси X.
33
3.5.1. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или двум плоскостям проекций
Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций проецируется на последнюю в виде прямой линии. На этой прямой
(проекции плоскости) должна находится соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая пересекает такую
плоскость. Эта точка также называется точкой встречи прямой с
плоскостью.
Рис.,3.33
Рис,3.34 Рис.3.35 Рис.З.З6
На рис. 3.33 плоскость, заданная треугольником CDE, перпендикулярна плоскости V. Она пересекает прямую АВ в точке
К. Фронтальная проекция которой К" находится в пересечении
С"Е" и А"В", так как треугольник CDE на фронтальную плоскость с проецировался в прямую линию. Найдя К", определяем
К'. Так как отрезок KB находится под плоскостью треугольника
CDE, то на горизонтальной проекции он будет невидим и наводится штриховой линией.
На рис.3.34 плоскость  является горизонтальной плоскостью, ее фронтальный след является фронтальной проекцией
плоскости у.
Проекция К" определяется в пересечении А"В" и у".
На рис. 3.3 5 плоскость а горизонтально - проецирующая
плоскость. Горизонтальная проекция точки К' является точкой
пересечения а' и А'В'.
На рис. 3,3 б рассматриваются две скрещивающиеся прямые
АВ и CD. Определяем видимость этих прямых на горизонтальной и на фронтальной проекциях методом конкурирующих точек.
Конкурирующие точки 1 и 2 расположены на одной, общей
34
для них, проецирующей прямой (линии связи), перпендикулярной к плоскости V, а конкурирующие точки 3 и 4 расположены
на проецирующей прямой, перпендикулярной к плоскости Н.
Точка пересечения горизонтальных проекций данных прямых А'В' и СD представляет собой слившиеся проекции двух
точек 3' и 4', из которых точка 4 принадлежит прямой АВ, точка
3 принадлежит прямой CD. Так как точка 3 расположена выше
точки 4 (3'3" > 4'4"), то видима относительно плоскости Н точка
3, точка 4 закрыта точкой 3(4' взята в скобки).
Так же и точка пересечения фронтальных проекций прямых
А"В" и C"D" представляет собой слившиеся проекции двух конкурирующих точек 1 и 2, Точка 1 принадлежит АВ, точка 2 принадлежит прямой CD. Так как точка 1 расположена ближе к нам,
чем точка 2 (1"1> 2'2"), то видима относительно плоскости V
точка 1, закрывающая точку 2 (2" взята в скобки).
3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей
Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двухплоскостей, определяется двумя точками, каждая из которых одновременно принадлежит обеим плоскостям.
На рис. 3.37 плоскость общего положения, заданную треугольником АВС, пересекает фронтально - проецирующая плоскость, заданная треугольником DEF, Так как треугольник DEF
проецируется на плоскость V в виде прямой линии D"F", то
фронтальная проекция линии пересечения обеих плоскостей
представляют собой отрезок K1"K2". Находим его горизонтальную проекцию и определяем видимость.
Рис.3.37
Рис.3.38
35
Горизонтально проецирующая плоскость а пересекает плоскость треугольника АВС (рис, 3.3 8), Горизонтальная проекция
линии пересечения этих плоскостей представляет из себя отрезок M'N', который определяется на следе оси'.
Если плоскости заданы следами на плоскостях проекций, то,
токи, определяющие прямую пересечения плоскостей} следует
выбирать в точках пересечения одноименных следов плоскостей
(рис.3.39); прямая, проходящая через эти точки, общие для обеих плоскостей, - их линия пересечения. Поэтому для построения
проекций линии пересечения плоскостей  и
 необходимо:
1) найти точку М' в пересечении следов н' и
н' и точку N" в пересечении  и , а по
ним проекции М" и N'.
2) провести прямые линии MN и M'N'.
На рис.3.40 пересекаются плоскости  и . Плоскость  плоскость
общего положения, Плоскость  - горизонтальная плоскость. Для построения линии пересечения необходимо:
1) найти точку N" в пересечении следов  и v;
2) провести через эту точку прямую, исходя из положения
плоскостей и их следов.
На рисунках (3.40 - 3.42) показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лишь одну точку
от
пересе-
Рис.3.39
Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей.
Рис.3.40
36
чения следов и, затем, провести через эту точку прямую, исходя из
положения плоскостей и их следов.
3.7.Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения выполняется по следующему алгоритму:
1) через данную прямую (MN) провести некоторую вспомогательную
плоскость ();
2} построить прямую (ED), линию пересечения данной плоскости
(АВС) и вспомогательной плоскости ();
3) определить положение точки (К) пересечения данной прямой (MN)
и построенной линии пересечения (ED);
4) определить видимость прямой (MN) относительно плоскостей Н и
V.
На рис.3.43 прямая MN пересекает плоскость, заданную треугольком АВС. Через прямую MN проводим
ником АВС. Через прямую MN проводим
37
горизонтально проецирующую плоскость
. Так как вспомогательная плоскость 
горизонтально - проецирующая, то и горизонтальной проекцией плоскости  и
треугольника АВС является прямая линия E'D'. Находим ее фронтальную проекцию E'D". Затем построим К",в которой E"D" пересекает M"N" и определяем
ее горизонтальную проекцию К'. Определяем видимость отрезков МК и
Рис.3.43
Рис.3.44
38
A'=B=K', Положение К" определяется при помощи горизонтали.
3.8. Пересечение двух плоскостей общего положения
Рассмотрим общий случай построения линии пересечения
двух плоскостей (рис.3.47).
KN используя конкурирующие точки
Рис.3.45
3.46
На рис.3.44 прямая АВ пересекает плоскость а общего положения. Проводим через прямую АВ горизонтально - проецирующую плоскость , находим линию пересечения плоскости а и
плоскости  (MN).
Определяем точку К" как точку пересечения M"N" и А"В".
Находим точку К' и определяем видимость.
На рис. 3.45 плоскость а задана следами. Прямая, пересекающая плоскость , является горизонталью, Через прямую АВ
проводим горизонтальную плоскость (||Н). Плоскость р пересекает плоскость а по горизонтали NK, принадлежащей плоскости  Затем определяем видимость. На рис. 3.46 плоскость а задана следами; прямая АВ, пересекающая плоскость а, горизонтально - проецирующая, на плоскость Н она проецируется в точку и, следовательно, горизонтальная проекция точки пересечения прямой АВ и плоскости (К) находится в этой точке.
Рис. 3.47
Одна из пересекающихся плоскостей () задана двумя пересекающимися прямыми (АВ  ВС). Вторая плоскость () задана
двумя параллельными прямыми (DE FG). В результате взаимного пересечения плоскостей  и  получена прямая K1K2
(== K1K2). Для определения положения точек K1 и К2 возьмем две вспомогательные фронтально - проецирующие плоскости 1 и 2 пересекающие и плоскость , и плоскость . При пересечении плоскостью 1 плоскости  образуется прямая с проекциями 1"2" и 12'. При пересечении плоскостью 1 плоскости 
образуется прямая с проекциями 3"4" и 3'4'. Пересечение линий12 и 34 определяет первую точку K1 линии пересечения
плоскостей  и .
Введя фронтально-проецирующую плоскость 2, получаем в
ее пересечении с плоскостями  и  прямые с проекциями 5
"б",5'б' и 7"8", 7'8'. Эти прямые, расположенные в плоскости 2,в
39
своем пересечении определяют вторую точку К2 линии пересечения  и . Получив проекции K1" и К2" находим на следах 1v"
и 2v"проекции K1" и К2". Проекции K1"К2 и K1'K2' являются
проекциями искомой прямой пересечения плоскостей  и .
3.9. Построение линии пересечения двух плоскостей по
точкам пресечения прямых линий с плоскостью
Этот способ заключается в том, что находят точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой
плоскостью. Следовательно, необходимо уметь строить точку
пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис.3.43).
На рис. 3,48 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF. Прямая K1K2 построена по точкам пересечения
сторон АС и ВС треугольника
АВС с плоскостью треугольника
DEF Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость 1
проведенная через АС, пересекает
треугольник DEF по прямой с
проекциями 1."2" и 1'2'; в пересечении проекций А'С' и 1'2' получаем горизонтальную проекцию точки K1' - пересечения
Рис.3.48
прямой АС и треугольника DEF.
Затем строим фронтальную проекцию K1//
Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость 2,
проведенная через ВС, пересекает треугольник DEF по прямой с
проекциями 3"4" и 3'4', В пересечении проекций 3'4' и В'С' получаем горизонтальную проекцию точки К2 - пересечения прямой
ВС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию
точки К2. Видимость на чертеже определяем методом конкурирующих точек (см, рис.3.36),
40
4. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
Задание прямых линии и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает
построения и решение задач, позволяет получить ответ или непосредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений. Такое частное взаимное расположение прямых
линий, плоских фигур и плоскостей проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа. Достигается это:
1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы
прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения
в пространстве, оказалась в каком - либо частном положении в
новой системе плоскостей проекций (способ перемены плоскостей проекций).
2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры,
путем поворота вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или
фигура оказалась в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ вращения и частный
случаи его способ совмещения).
3) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем перемещения их в частное, положение так, чтобы траектории перемещения их точек находились в параллельных плоскостях при неизменной системе плоскостей проекций (способ параллельного перемещения).
4.1 Способ перемены плоскостей проекций
Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение точек, прямых линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система Н, V дополняется плоскостями, образующими с Н или с
V, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных
плоскостей, принимаемых за плоскости проекций,
Каждая новая система выбирается таким образом, чтобы получить положение наиболее выгодное для выполнения требуемого построения.
41
4.1.1. Введение в систему Н, V одной дополнительной
плоскости проекции
В большинстве случаев дополнительную плоскость в систему
Н, V вводят согласно определенному условию, отвечающему цели построения. Примером может служить плоскость V1 на
рис.4.1.
Так как требовалось определить
величину отрезка АВ и угол
между АВ и плоскостью Н, то
плоскость Vi расположена перпендикулярно к плоскости Н
(образовалась система Н, V1) и
параллельно АВ
Рис.4.1
Следовательно в системе Н, V1 отрезок АВ является фронталью (А'В' || оси X1) и величина A1"B1" равна натуральной величине отрезка АВ, угол 1 равен углу наклона ка АВ к плоскости
Н.
Рис.4.2
Рис.4.3
На рис.4.2 выбор плоскости H1 также подчинен цели: определить угол между прямой CD и плоскостью V, а также натуральную величину отрезка CD. Поэтому плоскость H1 выбрана перпендикулярно V и в тоже время параллельно отрезку CD (ось
H1/V || C"D") Следовательно, в системе V, H1 отрезок CD является горизонталью
(C"D" оси V/H1), величина C1'D1' равна натуральной величине
отрезка CD , а угол ф2 равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.
42
В случае, изображенном на рис. 4.3, выбор плоскости H1
вполне зависит от задания.
Необходимо определить натуральный вид треугольника
АВС. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к плоскости V, то для изображения его без искажения необходимо ввести в систему H1, V дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: Н1,V
(для образования системы V,Н1) и H1 || АВС (H1 || А"В"С"), что
дает возможность изобразить треугольник АВС на плоскости
Hiбез искажения. Новая ось V/H1 || А"В"С". Для построения проекции A'1B1'C'1 от новой оси откладываем отрезки, равные расстояниям точек А', В', С' от оси V/H. Натуральный вид треугольника АВС выражается новой его проекцией A'1B'1C'1.
Введение дополнительной плоскости проекции дает возможность преобразовать чертеж таким образом, что плоскость общего положения, заданная в системе Н, V, становиться перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.
'с'
Рис.4.4
Рис.4.5
На рис.4.4 плоскость общего положения, заданная треугольником АВС в системе Н, V, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций V1. Для этого в треугольнике
АВС проведена горизонталь AD, Плоскость, перпендикулярная к
AD, перпендикулярна к АВС и в то же время к плоскости Н (так
как .ADН). Этому соответствует плоскость V1 и треугольник
АВС проецируется на нее в отрезок B"1C"1, Угол ф1 соответствует углу наклона треугольника АВС к плоскости Н.
43
Если же взять плоскость H1 (рис. 4.5), перпендикулярную к
плоскости V и плоскости, заданной треугольником АВС (для чего необходимо провести ось V/H1 перпендикулярно к фронтали
треугольника АВС), то определим угол ф2 - наклона плоскости
треугольника АВС к плоскости V.
4.1.2.Введение в систему H.V двух дополнительных плоскостей проекций
Рассмотрим следующий пример (рис.4.б, 4.7): прямую общего положения АВ, заданную в системе Н, V, требуется расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций.
44
На рис.4.8 дан пример построения натурального вида треугольника АВС.
Рис. 4.8
Рис.4.7
В этом случае придерживаемся такой схемы:
1) от системы H,V переходим к системе Н, V1 в которой дополнительная плоскость V1  Н и V1 || АВ,
2) от системы H,V1 переходим к системе V1H1 где H1V1 и
H1AB. Решение сводится к последовательному построению
проекций А1 и A1" точки .А, В1 и B1" точки В.
Прямая АВ, общего положения в системе H,V, становится
параллельной плоскости V1 в системе Н, V1 и проецируется в
точку на плоскости H1 в системе V1, H1 т.е. АВ  H1,
Решение такой задачи проводится по следующей схеме:
1) от системы H,V переходим к системе H,V1, в которой V1  Н и
V1  AD (AD - горизонталь треугольника АВС), V1  АВС.
2) от системы Н, V1 переходим к системе Vi, Hi, в которой H1 1
V1 и H1 || АВС,
В первой части задачи дополнительная плоскость V1 перпендикулярна плоскости треугольника АВС. Это построение повторяет показанное на рис, 4.4.
Во второй части построения на рис.4.8 сводятся к проведению оси V1/H1 C'1"A1"B1" т.е. плоскость H1 проведена параллельно плоскости АВС, что приводит к определению натурального вида, выражаемого проекцией C'1'A1'B1'.
45
4.2.Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к
плоскости проекций
При вращении вокруг некоторой, неподвижной прямой i (ось
вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в
плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). При этом точка перемещается по окружности, центр
которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (ценmр вращения). Радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если
какая-либо точка данной системы находится на оси вращения i,
то при вращении системы эта точка считается неподвижной. Ось
вращения может быть, задана и выбрана. Если ось вращения выбирается, то ее выгодно располагать перпендикулярно к одной
из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения.
4.2.1.Вращение вокруг заданной оси
Рис.4.9
Рис.4.10
Пусть точка А вращается вокруг оси i, перпендикулярной к
плоскости Н (рис.4.9). При вращении точка А описывает окружность радиуса R, плоскость которой находится в плоскости  и
перпендикулярна к плоскости V, а, следовательно, параллельна
плоскости Н Величина радиуса R выражается длиной перпендикуляра, проведенного из точки А на ось вращения. Окружность,
описанная в пространстве точкой А, проецируется на плоскость
Н без искажения, Так как плоскость а перпендикулярна к V, то
проекции точек окружности на плоскость V расположатся на v"
, т.е. на прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции
46
оси вращения. Нарис.4.9 справа: окружность, описанная точкой
А при вращении ее вокруг оси i, спроецирована без искажения
на плоскость Н. Из центра О проведена окружность радиуса
R=OA. На плоскость V эта окружность спроецировалась в виде
отрезка прямой, равного 2R,
На рис,4.10 изображено вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости V. Окружность, описанная точкой
А, спроецирована без искажения на плоскость V. Из точки О
проведена окружность радиуса R==OA". На плоскости Н эта
окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.
Из этого следует, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций, одна из
проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения.
4.2.2.Вращение вокруг выбранной оси
В ряде случаев ось вращения может быть выбрана. При этом,
если ось вращения выбрать проходящей через один из концов
отрезка, то построение упрощается, так как точка,, через которую проходит ось, будет неподвижной и для поворота отрезка
необходимо будет построить новое положение проекции только
одной точки - другого конца отрезка.
Рис.4.11
Рис.4.12
На рис. 4.11 необходимо определить натуральную величину
отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н. Ось вращения i
выбрана перпендикулярно к плоскости Н и проходит через точку А. Поворачивая отрезок АВ вокруг оси i переводим его в положение,
47
параллельное плоскости V (т.е. АВ становится фронталью). Величина
А В равна натуральной величине отрезка АВ, а угол А//В//В// равен
углу наклона отрезка АВ к плоскости Н.
Аналогично определяется натуральная величина отрезка CD и
угол наклона его к плоскости V (рис.89). Ось вращения i выбрана
перпендикулярно к плоскости V и проходит через точку С. Поворачивая отрезок CD вокруг оси i переводим его в положение, параллельное плоскости Н (т.е. CD становится горизонталью). Величина С
D равна натуральной величине отрезка CD и угол С/D равен углу
наклона отрезка CD к плоскости V.
Рис.4.13
На рис 4.13 необходимо определить натуральный вид треугольника АВС и угол наклона его к плоскости Н. Т.к.. плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, то данную
задачу решаем по схеме:
1 Вращением вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости Н и
проходящей через точку С, переводим треугольник АВС из общего
положения в положение фронтально - проецирующей плоскости.
48
2.Вращением вокруг оси i1, перпендикулярной к плоскости V
и проходящей через точку А, переводим треугольник АВС из положения фронтально- проецирующей плоскости в положение
плоскости, параллельной плоскости Н.
Для того, чтобы треугольник АВС перевести в положение
фронтально- проецирующей плоскости, в плоскости треугольника АВС проводим горизонталь плоскости СК, Ее фронтальная
проекция С//К// параллельна оси X. Горизонтальная проекция С/К/
равна натуральной величине отрезка СК. Ось вращения i выбираем перпендикулярно Н и проводим через точку С, Плоскость
АВС становится в положение фронтально- проецирующей плоскости, если горизонталь данного треугольника (СК) займет положение, перпендикулярное к плоскости V и, следовательно, отрезок СК станет перпендикулярен к оси X, а фронтальная проекция С//К// проецируется в точку. Из центра i/С/ радиусом, равным
С/К/, проводим дугу и строим новую проекцию К .Т.к. при вращении любой точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
проекций, траектория перемещения точки расположена в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, то проекция К// расположена на прямой К// К// , параллельной оси X.
Методом засечек находим В/ и А/. Фронтальная проекция В''
лежит на прямой В//В// и параллельной оси X, фронтальная проекция А/ лежит на прямой А/А/, параллельной оси X. В результате
данного вращения плоскость АВС стала фронтально проецирующей и угол (р равен углу наклона плоскости АВС к плоскости
Н.
Ось вращения i1 выбираем перпендикулярно V и проводим
через точку А . Вращаем точку К и точку С радиусом А К , точку
В радиусом А В до тех пор, пока плоскость АВС не займет положение, параллельное плоскости Н и, следовательно, отрезок
А1//К1//В1// параллелен оси ОХ. Т.к. траектории перемещения точек С ,В и К при этом на горизонтальную плоскость Н с проецировалась в прямые, параллельные
оси X,. то
С/ лежит на прямой С/С/,
В/1 лежит на прямой В/В/1,
К/1лежит на прямой К/К/1.
Проекция A/B/C/ определяет натуральный вид треугольника
АВС.
49
4.3. Способ параллельного перемещения
При параллельном перемещении траектории перемещения каждой точки геометрической фигуры находятся в параллельных плоскостях, причем эти плоскости (носители траекторий) параллельны
плоскостям проекций. Траектория перемещения – произвольная
плоская линия.
50
Пример 2. Отрезок АВ (общего положения) перевести
в положение, перпендикулярное V (рис. 4.15).
Пример 1. Отрезок АВ прямой общего положения, перевести в
положение, параллельное V (рис.4.14).
Отрезок АВ перемещаем в положение фронтали (АВ // V ), поэтому новая горизонтальная проекция А1 В1 должна быть параллельна оси Х, причем АВ=А1В1.
Так как при решении данной задачи используем метод параллельного переноса ,то, следовательно, траектория перемещения точки
А является плоской линией, через которую можно провести плоскость а // Н, которая на фронтальную плоскость проекций V спроецируется в прямую а\- , параллельную оси X.
Проводим линию связи и находим A1 . Аналогично определяем
B1, Траектория перемещения .точка В находится в плоскости  // Н,
 //  // Н. Проводим линию связи и находим B1".,
[A1" B1 ] - натуральная величина отрезка АВ.
Рис.4.14.
Рис.4.15.
Для перевода отрезка из общего положения в проецирующее, необходимо последовательно выполнить два перемещения :
1.) перевести отрезок АВ в положение, параллельное Н
(аналогично примеру 1),
2.) переводим отрезок в положение, перпендикулярное
V.
Пример 3. Определить натуральную величину (Н.В.)
треугольника АВС (рис. 4.16).
Так как треугольник АВС является плоскостью общего
положения, то в этом случае необходимо выполнить два перемещения:
1.) перемещаем треугольник АВС в положение, перпендикулярное V.
2.) перемещаем треугольник АВС в новое положение,
параллельное Н.
Для решения первой части задачи в треугольнике АВС
проводим через точку А горизонталь. Перемещаем треугольник АВС параллельным переносом в положение перпендикулярное V. Следовательно горизонталь треугольника
АВС должна быть перпендикулярной V. Проводим новую
проекцию горизонтали A1' Д1 перпендикулярно оси Х,
52
51
причем A1Д1=АД
Затем методом засечек
(привязываясь к A1 и H1) строим A1, B1, Д1, (аналогично рис 4.14)
Рис.4.16.
Так как треугольник АВС стал перпендикулярен V, то его фронтальная проекция (A1 B1 Д1 C1)- прямая линия.
Выполняя вторую часть задачи плоскость треугольника из положения фронтально-проецирующей плоскости параллельным переносом переводим в положение горизонтальной плоскости уровня, следовательно фронтальная проекция этой плоскости С2 А2 В2 параллельна оси X.
Новую горизонтальную проекцию точек А,В,С находим аналогично (рис. 4.15)
Полученная проекция А2В2С2 равна натуральной величине треугольника АВС.
5.ПОВЕРХНОСТЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЗАДАНИЕ И
ИЗОБРАЖЕНИЕ НАЧЕРТЕЖЕ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
ПОВЕРХНОСТИ. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ
ПОВЕРХНОСТИ. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ.
В начертательной геометрии пользуются кинематическим способом образования поверхностей.
При этом способе поверхность рассматривается как
совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.
Линия при своем движении может оставаться неизменной или непрерывно меняться.
На всякой поверхности Ώ можно провести два таких семейства линий 1 и m (рис 5.1),которые будут удовлетворять
следующему условию: никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой и, наоборот, каждая линия одного семейства пересекают все линии другого семейства. В этом случае поверхность Ώ может быть, образована
движением линии 1, называемой образующей, по неподвижным линиям m, которые называются направляющими.
Рис.5.1
53
Каждая поверхность может быть, образована различными способами. Так поверхность прямого кругового цилиндра (рис 5.2) может
быть, образована вращением прямолинейной образующей 1 вокруг
оси, ей параллельной, или движением образующей окружности m
,центр которой 0 перемешается по оси цилиндра, а плоскость окружности остается все время перпендикулярной к оси, либо вращением
около оси произвольной образующей k, нанесенной на поверхность
цилиндра.
Из всех способов образования поверхностей необходимо выбирать
такие, которые являются наиболее простыми и удобными для решения задач.
Поверхность считается заданной, если по
одной проекции точки на поверхности, можно
построить ее вторую проекцию, т.е. на поверхности достаточно иметь такие элементы, которые позволяют построить каждую ее точку.
Совокупность элементов позволяющих однозначно задать поверхность и выделить ее из
других называется определителем поверхности.
В число элементов, входящих в состав определителя, должны
быть, включены:
Рис 5.2
1. Геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощью
которых, может быть, образована поверхность;
2. Алгоритмы формирования поверхности.
Итак; определитель поверхности состоит из двух частей: из совокупности геометрических фигур (первая часть) и дополнительных
сведений о характере изменения формы образующей и законе ее перемещения (вторая часть). Определитель произвольной поверхности
будет иметь следующую структурную форму Ф (Г) [А ], где (Г) геометрическая часть, [А ]- алгоритмическая часть. Например, определителем цилиндрической поверхности вращения будет: Ф (а, m), [А
], где а- прямая, m- ось вращения. При этом прямая а задает
54
образующую, а ось m и словесное добавление, что цилиндрическая поверхность является поверхностью вращения - определяет закон движения образующей а .
Для придания чертежу большей наглядности в большинстве случаев строят на нем еще и очерк поверхности. Очерком поверхности называется граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекции. Так фронтальным очерком прямого кругового конуса, ось которого перпендикулярна плоскости Н,
является треугольник, а горизонтальным очерком - окружность.
Поверхность, которая может быть, образована прямой
линией, называется линейчатой поверхностью. Линейчатая поверхность представляет собой геометрическое место
прямых линий.
Поверхность с криволинейной образующей называется
нелинейчатой поверхностью. Примеры линейчатых поверхностей даны на рис.5.3. Поверхность образована прямой
линией A1A2, которая оставаясь постоянно параллельной
прямой S1S2, перемещается по неподвижной линии Т1 Т2 Т3
которую называют направляющей. Нетрудно видеть, что
это поверхность цилиндра.
55
Поверхность конуса (рис 5.4) образуется движением прямолинейной образующей 1 по криволинейной направляющей m, при этом образующая постоянно проходит через одну и ту же точку S. Точка S
называется вершиной конической поверхности,
Примером нелинейчатой поверхности служит:
а) сфера (образующая- кривая линия, в данном случае окружность). Сфера образуется вращением окружности вокруг диаметра;
б) тор, образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в
плоскости окружности, но не проходящей через ее центр.
5.1. Гранные поверхности.
Чертежи призмы и пирамиды.
Грани призм и пирамид ограничиваются ребрами, являющимися
прямолинейными отрезками, пересекающимися между собой. Поэтому
построение чертежей призм и пирамид сводится по существу к построению проекций точек (вершин) и отрезков прямых - ребер.
Призматическая поверхность на чертеже может быть, изображена
проекциями фигуры, полученной при пересечении боковых граней
призмы плоскостью, и проекциями ребер призмы. Пересекая призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, получают основание призмы. На чертеже основания призмы
удобно располагать параллельно плоскости проекций. Чертеж
56
призмы с проекциями треугольных оснований а΄΄ б΄΄ с΄΄,
а΄б΄с΄ и d΄΄ e΄΄ f΄΄, d΄e΄f.΄, параллельных плоскости Н, приведен на рис 5.5. Одноименные проекции ребер призмы параллельные между собой. Для изображения поверхности
пирамиды на чертеже используют фигуру сечения боковых
граней пирамиды плоскостью и точку их пересечения вершину. На чертеже пирамиду задают проекциями ее основания, ребер и вершины, усеченной пирамиды проекциями обоих оснований и ребер.
Изображая пирамиду, удобно ее основание располагать
параллельно плоскости проекций. На рис 5.6 приведен чертеж неправильной треугольной пирамиды с проекциями S΄',
S' вершины и основанием, проекции которого b΄΄ c΄΄ d΄΄ и b΄
с΄ d΄, лежащим в плоскости проекций Н.
Призмы и пирамиды в трех проекциях, точки на поверхности
Изображения призм и пирамид, имеющих широкое применение в качестве основных элементов деталей машин и
приборов, приведены на рис. 5.7 На приведенных чертежах
ребра проецируется в виде отрезков прямых или в виде точек. Например, фронтальные и профильные проекции боковых ребер призм и пирамид - отрезки прямых. Горизонтальные проекции тех же боковых ребер призм.
57
Профильные проекции ребер оснований призм - точки 2΄΄΄ (3΄΄΄ ),
(5΄΄΄ )6΄΄΄ на рис.5.7,а, точка 1"(3"') на рис 5.7, б, в.
Рис 5.7
Грани призм, пирамид, которые перпендикулярны к плоскостям
проекций, проецируются на них в виде отрезков прямых линий. Так,
например, боковые грани призм (рис 5.7,а, б) на горизонтальной проекции изображаются в виде отрезков прямых линий, образующих
шестиугольник, в виде отрезков прямых линий проецируются на
профильную плоскость проекций передняя и задняя грани призмы на
рис. 97,а, задняя грань призмы и пирамиды на, рис 5.7,6, в. Основания
58
изображенных тел проецируются в отрезок прямой линии на фронтальную и профильную плоскости проекций.
Построение недостающих проекций точек на поверхности призм и пирамид по заданным фронтальным проекциям
на рис 5.7 показано стрелками и соответствующими координатами.
Профильные проекции а",с'" построены с помощью координат YA,YC, определяемых по горизонтальным проекциям.
Горизонтальная d' и профильная (dпроекции точки D
на грани S-1-2 пирамиды (рис 5.7,в) построены с помощью
проекций 2 - 4', 24 отрезка на этой грани. Аналогично
с помощью профильной проекции 15 отрезка на грани S1-2 пирамиды (рис 5.7,г) построена профильная проекция
f . Горизонтальная проекция f построена с помощью горизонтали той же грани, про ходящей через проекцию 6 на
проекции ребра S-1. Горизонтальная проекция е построена
с помощью координаты YE, определенной по профильной
проекции е.
В рассмотренных примерах координаты YA, YE заданы
относительно плоскостей R(Rh, Rw), Yc - относительно
плоскости Т(Тh Тw).
5.2.Поверхсности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой- либо кривой, в частности прямой,(образующей) при ее вращении вокруг неподвижной оси.
Образующая может быть как плоской, так и пространственной
кривой. Поверхность вращения определяется заданием своей образующей 1 и оси i (рис 5.8).
Каждая точка образующей 1 при вращении описывает окружность с центром на оси i. Эти окружности называются параллелями. Наименьшая и наибольшая параллели называются соответственно горлом и экватором. Параллели h2, h5 .- эквато-
ры, а параллель h3- горло,
59
60
стороны, распространенность вращательного движения,
а с другой стороны - простота обработки поверхности вращения.
5.3.Точка и линия на поверхности
Рис 5.8
При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже
обычно поверхность располагают так, чтобы ее ось i была перпендикулярна к плоскости проекций. Если ось i перпендикулярна плоскости проекций Н, то все параллели проецируются на плоскость Н без
искажения. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения,
пересекают данную поверхность по меридианам. Меридиан, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения
на плоскость V. Этот меридиан называется главным меридианом, он
определяет фронтальный очерк поверхности.
Поверхности вращения получили широкое применение в деталях
механизмов и машин. Основными причинами этого является, с одной
Выше было сказано, что поверхность считается заданной, если
по одной проекции точки на поверхности можно построить ее
вторую проекцию. Так же ранее было дано определение принадлежности точки плоскости (частный случай поверхности). Точка
принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности. Причем линии, проведенные через
точку на данной поверхности должны быть геометрически простейшими (прямыми или окружностями). Положение точки на
поверхности вращения определяют с помощью окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения. В случае линейчатых поверхностей для этой цели возможно применение и
прямолинейных образующих.
На рис 5.9 показано построение
точки К принадлежащей поверхности
тора. Следует отметить, построение
выполнено для видимых горизонтальной проекции К и фронтальной проекции К .Для построения К по заданной
проекции К", через К" проводим параллель, которая на фронтальную плоскость проецируется в прямую линию, а
на горизонтальную плоскость в окружность, на которой находим К'.
На рис 5.10 показано построение по заданной фрактальной
проекции m" точки на поверхности
Рис 5.9
сферы ее горизонтальной m и
61
профильной m'" проекцией. Проекция
m построена с помощью
окружности - параллели, проходящей
через проекцию m . Ее радиус - O'-l' . Проекция т" построена с помощью окружности, плоскость которой параллельна профильной плоскости проекций, проходящей
через проекцию m'. Ее радиус - О -m".
5.4.0бщие сведения о способах построения линии взаимного
пересечения двух поверхностей
Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на
две и более части. Эти части могут быть, в частности кривыми.
Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным точкам. Общим способом построения этих точек является способ поверхностей- посредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью, и определяя линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получим точки, принадлежащие искомой линии пересечения.
Наиболее часто в качестве поверхностей- посредников применяют
плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие
способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:
способ вспомогательных плоскостей и способ вспомогательных
сфер. Применение того или иного способа зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения.
Способ вспомогательных секущих плоскостей следует применять
тогда, когда обе поверхности возможно пересечь по графически
простым линиям некоторой совокупностью проецирующих плоскостей или, в частности, совокупностью плоскостей уровня.
62
Способ вспомогательных сфер можно применять при построении линии пересечения таких поверхностей, которые имеют
общую плоскость симметрии, расположенную параллельно какой
либо плоскости проекций. При этом каждая из поверхностей
должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут
пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей. Способ вспомогательных секущих сфер можно применять
при построении линии пересечения двух поверхностей вращения,
оси которых пересекаются и параллельны какой- либо плоскости
проекций.
Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии
необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения двух поверхностей различают точки опорные и
случайные.
В первую очередь определяют опорные точки, так как они
позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними имеет смысл определять случайные точки для более точного построения линии пересечения,
Определение видимости линии пересечения производят отдельно для каждого участка, ограниченного точками видимости,
при этом видимость всего участка совпадает с видимостью какой- либо случайной точки этого участка.
При построении линии пересечения необходимо иметь в виду, что ее проекции всегда располагаются в пределах площади
наложения одноименных проекции пересекающихся поверхностей.
Рис 5.11 дает наглядное представление о решении задачи по
определению линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения а и р с помощью вспомогательных сферических
поверхностей,
5.5.Пересечение поверхностей, когда одна из них проецирующая
К проецирующим поверхностям относятся:
1) цилиндр, если его ось перпендикулярна плоскости проекций;
63
64
Рис 5.11
2) призма, если ребра призмы перпендикулярны плоскости проекций,
Проецирующая поверхность проецируется в линию на плоскость проекций. Все точки и линии, принадлежащие боковой поверхности проецирующего цилиндра или проецирующей призме проецируются в линию на ту
плоскость, которой ось цилиндра или ребро призмы перпендикулярно. Линия пересечения поверхностей принадлежит обеим поверхностям одновременно и, если одна из этих поверхностей проецирующая, то для построения
линии пересечения можно использовать следующее правило:
Если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то одна
проекция линии пересечения есть на чертеже в готовом виде и совпадает с
проекцией проецирующей поверхности ( окружность, в которую проецируется цилиндр или многоугольник, в который проецируется призма). Вторая
проекция линии пересечения строится исходя из условия принадлежности
точек этой линии другой непроецирующей поверхности.
Пример: Построить линию пересечения сферы и цилиндра. На рис5.12 горизонтальная проекция линии пересечения прямого кругового цилиндра и сферы совпадает
с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальная и
профильная проекции линии построены по их принадлежности сфере с помощью проекций вспомогательных
линий на сфере. Отметим характерные (опорные) точки
линии пересечения, пользуясь горизонтальной проекцией, Высшая и низшая точки (их проекции 2, 2, 2 и 1,
1 1) лежат в плоскости симметрии фигуры, проходящей
через центр сферы с проекциями 0,0' и ось цилиндра с
проекциями O1O1, Горизонтальная проекция плоскости
симметрии- прямая, проходящая через проекции 0'и O1.
В пересечении этой прямой с проекцией цилиндра отмечаем горизонтальные проекции 2 и 1 высшей и низшей
точек линии пересечения. Заметим, что точка 2 - ближайшая к высшей точке сферы, а точка 1 - наиболее удаленная
65
ния поверхностей:
66
от нее, точки 3 и 4 - крайние левая и правая на фронтальной и
горизонтальной проекциях, их профильные проекции 3''',4 на
проекциях образующих, совпадающих с проекцией оси цилиндра.
Точки 5 и 6 находятся на главном меридиане сферы, их фронтальные
проекции 5 и 6 - на фронтальном очерке сферы, профильные 5 и
6 - на профильной проекции вертикальной оси сферы. Точки 7 и 8 ближайшая к плоскости V и наиболее удаленная от нее, их фронтальные проекции 7 и 8 - на проекции оси цилиндра, а профильные 7 и
8 - на крайних левой и правой проекциях образующих. Точки 9 и 10
имеют проекции 9 и 10 на фронтальной проекции вертикальной оси
сферы, проекции 9 и 10'"- на профильной проекции очерка сферы.
Рассмотренные особенности характерных точек позволяют легко
проверить правильность построения линии пересечения поверхностей,
если она построена по произвольно выбранным точкам. В данном случае десяти точек достаточно для проведения плавных проекций линии
пересечения. При необходимости может быть построено любое количество промежуточных точек.
Проекция 1 низшей точки построена с помощью проекций параллели сферы. Проекция 2 высшей точки построена с помощью проекции окружности радиуса 0 d на поверхности сферы, плоскость которой параллельна плоскости V. Аналогичные построения остальных
проекций точек линии пересечения ясны из чертежа.
Построенные точки соединяют плавной линией с учетом особенностей их положения и видимости.
5.6. Способ вспомогательных секущих плоскостей
На рис 5.13 показано, что две криволинейные поверхности А и В
пересекаются третьей секущей вспомогательной плоскостью Q, Находят линии пересечения KL и MN вспомогательной поверхности с каждой из заданных. Точка Т пересечения построенных линий KL и MN
принадлежат линии пересечения заданных поверхностей А и В.
Повторяя такие построения многократно с помощью других вспомогательных поверхностей, находят необходимое число общих точек
двух поверхностей для построения линии их пересечения.
Сформулируем общее правило построения линии пересече-
выбирают вид вспомогательных поверхностей;
строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;
находят точки пересечения построенных линий и соединяют их
между собой.
Рис 5.13
Вспомогательные секущие плоскости выбираем таким образом,
чтобы в пересечении с заданными поверхностями получались геометрически простые линии (прямые или окружности).
Пример. Построить линию пересечения конуса вращения и сферы
(рис 5.14 ). Алгоритм решения;
1) К,СфТ(Q)
2) KTv=n;
3) Сф=m;
4) mn= 6-5
Выбираем вспомогательные секущие плоскости. Чаще всего, в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают проецирующие плоскости, в частности, плоскости уровня. При этом необходимо учитывать линии пересечения, получаемые на поверхности, в
результате пресечения поверхности плоскостью. Так конус является
наиболее сложной поверхностью по числу получаемых на нем линий.
Только плоскости, проходящие через вершину конуса или перпендикулярные оси конуса, пересекают его соответственно по прямой
линии и окружности (геометрически простейшие линии). Плоскость,
проходящая параллельно одной образующей пересекает его по параболе, плоскость параллельная оси конуса пересекает
его
67
по гиперболе, а плоскость, пересекающая все образующие и
наклонные к оси конуса, пересекает его по эллипсу.
Рис 5.14
На сфере, при пересечеиии ее плоскостью, всегда получается
окружность, а если пересекать ее плоскостью уровня, то эта
окружность проецируется на плоскости проекции соответственно в прямую линию и окружность.
Итак, в качестве вспомогательных плоскостей выбираем горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают и конус, и
сферу по окружностям (простейшие линии).
Построение начинают обычно с отыскания проекций характерных точек. Проекции 1 высшей и 2 низшей точек являются
точками пересечения фронтальных проекций очерков, так как
центр сферы и ось конуса лежат в плоскости, параллельной
плоскости V. их горизонтальные 1, 2 и профильные 1''',2" проекции находят в проекционной связи. Проекции 3",3',3"' и
4//,4/,4/'', лежащие на экваторе
68
сферы, находят с помощью горизонтальной плоскости Q(Qv),
проходящей через центр сферы 0(0 ). Она пересекает сферу по
экватору и конус по окружности радиуса rq, в пересечении горизонтальных проекций которых и находят горизонтальные проекции 3 и 4 точек искомой линии пересечения. Горизонтальные
проекции 3 и 4 этих точек являются границами видимости
участков линии пересечения на этой проекции. Проекции промежуточных точек, например 5,5',5 и 6,6,6, находят с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Т (Тv). Их
построение ясно из чертежа. Аналогично построены другие точки. Профильные проекции точек линии пересечения строят по
их фронтальной и горизонтальной проекциям, точки с проекциями 7,7,7 и 8,8,8" являются границами видимости участков
профильной проекции линии пересечения. Ниже проекций 7 и
8"' профильная проекция линии пересечения видима.
5.7.Способ вспомогательных секущих сфер с постоянным
центром
Известно, что если центр сферы находится на оси какойнибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью
вращения и в их пересечении получаются окружности AB,CD,
EF, КL(,рис5.15 ).
Рис 5.15.
69
Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности
вращения и положено в основу способа концентрических сфер,
который применяют при следующих условиях:
1.0бе пересекающиеся поверхности- поверхности вращения.
2. Оси поверхностей пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных, (концентрических) сфер.
3.Плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость
симметрии), должна быть, параллельна плоскости проекции.
Если это условие не соблюдается, то чтобы его достигнуть, прибегают к способам преобразования чертежа.
Пример. Определить линию пересечения двух конических
поверхностей с пересекающимися осями (рис 5.16).
70
Построение начинаем с определения характерных точек А, В, С
D, которые лежат во фронтальной плоскости, проходящей через
плоскость симметрии поверхностей. Их фронтальные проекции
А",В ,С ,D определяются пересечением главных меридианов.
Далее определяем сферы R min и R max. Сфера R min определяется двумя способами:
1.Если образующие пересекающихся поверхностей прямые линии, то из центра 0 проводим перпендикуляры к образующим
заданных поверхностей. Наибольший из этих перпендикуляров
будет являться R min.
2. Если образующая хотя бы одной поверхности кривая линия,
то R min находится подбором, т.е. сфера R min должна быть,
вписана в одну поверхность и описана вокруг другой.
Сфера R max - это расстояние от центра 0' до наиболее удаленной от него точки линии пересечения. В нашем случае это
0"В.
Величина радиуса вспомогательных сфер для определения
линии пересечения находим в пределах от R min = (О'М) до R
max = (О В). Точка М определяется как точка касания
окружности, проведенной к главному меридиану m2 из центра
О. Для определения линии L2-Rmax=О"С", R min =ОМ.
Для определения точек N1 и N2, принадлежащих линии 12 находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус  и сфера R min, и находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус  и
сфера R min . на пресечении этих линий находим точки N1и N2.
Построив несколько сфер с центром в точке О, в промежутке,
между R min и R max находим точки, принадлежащие линии пересечения
Рис.5.16
Вторую проекцию линии пересечения строят исходя из условия принадлежности точек этой линии той или другой поверхности.
Недостаток метода сфер
1) При построении должна соблюдаться графическая точность.
2) Линия пересечения строится на одной плоскости проекций.
71
72
5.8. Некоторые особые случаи пересечения поверхностей
В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пресечения никаких сложных построений не требуется. К ним
относятся пересечение цилиндров с параллельными образующими,
конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы.
5.8.1. Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы
В этом случае линиями пересечения поверхностей второго порядка являются две плоские кривые второго порядка, изображаемые на
плоскости, параллельной осям поверхностей, в виде прямолинейных
отрезков.
Примеры изображения линии пересечения поверхностей вращения,
описанных вокруг одной сферы рассмотрены на (рис 5.17).
В случаях (ряс 5.17 а,б ) поверхности двух цилиндров, конуса и
цилиндра пересекаются по двум эллипсам с проекциями 12 и 34.
В случае (; рис.5.17,в) пересечения конусов с вершинами S1 и S2, у
которых имеются две параллельные образующие, линии пересечения из эллипс с проекцией 12 и парабола с вершиной в точке с проекцией 3.
Рассмотренные примеры пересечения двух поверхностей
вращения, описанных вокруг одной сферы, являются частными
случаями,
следующими теоремы Монжа: две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка
(или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, плоскости которых проходят чрез прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.
Пример, Построить линию пересечения конуса и цилиндра,
описанных вокруг общей сферы ( рис 5.18 ).В соответствии с
теоремой Г. Монжа линии пересечения конуса и цилиндра будут
плоскими кривыми - эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми АВ и CD.
Для решения этой задачи необходимо:
1) найти линию касания цилиндра и сферы (окружность, которая
на плоскость V проецируется в прямую линию).
2) найти линию касания конуса и сферы (окружность, которая на
плоскость V проецируется в прямую линию).
3) находим точку пересечения построенных линий.
4) проводим прямые, проходящие через точки пересечения
очерковых образующих и точку пересечения линий касания
заданных поверхностей с поверхностью сферы.
Вторую проекцию линии пересечения строим исходя из
условия
принадлежности точек этой линии поверхности цилиндра
или поверхности конуса.
Проекция линии касания (окружность) сферы и цилиндра
Проекция
линии касания
(окружность)
сферы и конуса.
Рис.5.18.
73
74
6.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЯМИ
6.1.Общие сведения о пересечении поверхности плоскостью.
При пересечении любого тела е плоскостью получается некоторого
вида плоская фигура, называемая сечением. Под сечением понимают
ту часть секущей плоскости, которая находится внутри рассеченного
тела и ограничена линией сечения. Линией сечения тела плоскостью
является контур этого сечения,
Плоскости, с помощью которых получается сечение, называют секущими.
Фигура сечения многогранника — многоугольник, число сторон
которого равно числу граней, пересекаемых плоскостью. Вершинами
этого многоугольника являются точки пересечения ребер с секущей
плоскостью, а сторонами — линии пересечения граней с секущей
плоскостью. Плоские сечения многогранников — замкнутые фигуры.
В пересечении кривой поверхности плоскостью в общем случае
получается плоская кривая линия (окружность, эллипс и т. п.). При
пересечении линейчатых поверхностей плоскостями могут получаться, в частности, и прямые линии, если секущая плоскость направлена вдоль образующих (цилиндра, конуса и др.).
Основным способом построения точек линии пересечения поверхности с плоскостью является способ вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает секущую плоскость по
прямой, а заданную поверхность по некоторой кривой или прямой линии. Точки пересечения этих линий и будут искомыми точками, принадлежащими поверхности и секущей плоскости.
Построение проекций линии сечения поверхности плоскостью
значительно упрощается, если секущая плоскость проецирующая. В
этом случае одна из проекций линии сечения уже имеется на чертеже:
она совпадает с проекцией плоскости. Остается лишь найти другие
проекции этой линии.
пирамиды с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер
с данной плоскостью или строят линии пересечения граней пирамиды с этой плоскостью.
На рис.6.1 показано построение проекции линии сечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью  Фронтальная
проекция линии сечения совпадает с фронтальной проекцией v
секущей плоскости. Горизонтальная и профильная проекции сечения находятся с помощью линий связи проведённых из точек
1 ... б до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих рёбер пирамиды.
6.2.Пересечение пирамиды с плоскостью
Плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику. Если плоскость параллельна основанию пирамиды, в сечении получается фигура, подобная основанию. При построении линии пересечения
Рис 6.1
75
76
Натуральная величина сечения определена способом замены
плоскостей проекции. Так как сечение имеет фронтальную ось симметрии, при построении его натурального вида эта ось проведена параллельно v.
Для построения точек 1о...6о данного сечения использованы их
размеры у.
6.3. Пересечение призмы с плоскостью
При построении линии пересечения призмы с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью. Эту линию
можно также построить, определяя линии пересечения отдельных граней призмы с плоскостью. В результате пересечения поверхности
призмы плоскостью может быть получен прямоугольник (рис.6.2а ),
если эта плоскость параллельна боковым рёбрам призмы, или различного вида многугольники (рис.6.2 б,в.), если плоскость не па параллельна им
параллельная плоскости о, и на эту плоскость спроецированы
На рис 6.3 показано построение проекций линии сечения
треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью 
В сечении получен четырёхугольник ABCD, фронтальная проекция которого совпадает с фронтальной проекцией v секущей плоскости. Точки А,В являются точками пересечения боковых рёбер призмы
с плоскостью , а отрезок CD - линия пересечения верхнего основания
призмы с этой плоскостью.
Натуральный вид сечения Ао Во Со Do построен способом замены
плоскостей проекций, для этого введена новая плоскость проекций,
точкиA,B,C,D. Из проекций А, В", С D проведены линии связи, перпендикулярные к следу v, и на свободном поле чертежа
проведена линия Ао Do, параллельная v. Эта линия принята за
базу отсчёта размеров у на фигуре сечения потому, что прямая
AD принадлежит фронтальной плоскости задней грани призмы,
которую принимают за базовую. Точки Во и Со построены с помощью размеров ув и ус.
6.4. Пересечение цилиндра с плоскостью
При пересечении цилиндра плоскостью фигура сечения будет зависеть от угла наклона плоскости по отношению к оси
вращения.
77
Если секущая плоскость параллельна оси вращения (рис 6.4
а ), в сечении цилиндра получится прямоугольник. Если плоскость перпендикулярна оси вращения (рис 6.4 , б), в сечении
получится окружность.
Когда секущая плоскость расположена под углом к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс (рис 6.4 в) или
его часть ( рис 6.4', г).
V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо  A2B2, малая - отрезок
CoDo  d. Эллипс может быть построен по его большой и малой осям.
78
Рис 6.4
На рис 6.5 показано построение проекций линии сечения цилиндра фронтально - проецирующей плоскостью  (v).
Линией пересечения является эллипс. Большая ось эллипса АВ = А' 'В'/, малая ось CD = СD - диаметр цилиндра.
Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости Н. Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с
плоскостью а(а ) проецируется на плоскость Н в окружность, на
ней отмечают горизонтальные проекции точек А, 1, С, 2, В',
D', 2', 1' эллипса, расположив их равномерно по окружности. В
проекционной связи строят фронтальные проекции А, \", С,
В, 2//, В на фронтальном следе v секущей плоскости.
Профильные проекции точек строят по их горизонтальной и
фронтальной проекциям на линиях связи. Профильная проекция
линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс,
большая ось CD которого в данном случае равна диаметру
цилиндра , а малая ось АВ - профильная проекция отрезка
АВ. Натуральный вид сечения построен способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости
6.5. Пересечение конуса с плоскостью
В зависимости от направления секущей плоскости в сечении
конуса вращения могут получиться различные линии, называемые вершину конуса, в его сечении получается пара прямых образующие конуса ( рис 6.6, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается
окружность (рис 6.6, б).
79
Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не
проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться парабола (рис.6.6. в), гипербола (рис.6.6, г) или эллипс (рис.6.6.д,е).
Если углы  (угол наклона образующей конуса к его оси) и  (угол
наклона секущей плоскости к оси конуса) равны, т.е. секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рис.6.6, в). В этом случае секущая плоскость a(av) пересекает все образующие, кроме одной, которой она параллельна.
Если секущая плоскость а (a v), направленная под углом к оси
вращения конуса, пересечет его так, что угол  будет меньше угла ,
то в сечении получится гипербола (рис.6.6.г). В этом случае секущая
плоскость параллельна двум образующим конуса.
Эллипс получается в том случае, когда угол  между секущей
плоскостью  () и осью вращения больше, чем угол  между осью
вращения и образующей конуса (рис.6.6. д, е), т.е. когда плоскость
пересекает все образующие конуса.
На рис.6.7 дано построение проекций линии сечения конуса фронтально - проецирующей плоскостью , когда в сечении получается
эллипс. На фронтальной плоскости проекций V фигура сечения - эллипс - изобразится в виде прямой АВ, совпадающей с фронтальной
проекцией  секущей плоскости. Эта прямая будет большой осью
эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой и проходит
через ее середину. Отрезок АВделят пополам и получают фронтальную проекцию малой оси в виде точки CD". Для нахождения горизонтальной проекции малой оси через нее проводят параллель, которая проецируется на горизонтальную
плоскость проекции окружностью радиуса ОТ. Точки 1 и 1 сечения
принадлежат профильным очерковым образующим конуса. Они отделяют видимую в профильной проекции часть l-C-A "'-D"'-1'//
сечения от невидимой 1-В -1///.
Натуральная величина сечения AoBoCoDo построена способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо 
А2В2, малая - отрезок CoDo  d. Наряду с построением эллипса
по точкам возможно построение его по большой и малой осям.
80
Рис 6.6
81
и профильная
82
проекции этой окружности представляют собой эллипсы, длины
больших осей которых СD и C D'" равны величине диаметра
окружности (А В''), малые оси эллипсов АВ' и А В'" получают
проецированием.
Построение начинают с характерных точек. Точки А и В линии сечения принадлежат главному фронтальному меридиану,
точки 2 и 2 находятся на экваторе сферы, точки 3 и 3 принадлежат главному профильному меридиану. Горизонтальные проекции Аи B/ построены в проекционной связи на горизонтальной проекции главного фронтального меридиана по фронтальным проекциям А В
Горизонтальные проекции 2 и 2построены в проекционной
связи на
горизонтальной проекции экватора. Проекции З'" и 3
строят по фронтальной проекции. Горизонтальные проекции
(Cи D построены с
Рис 6.7
6.6. Пересечение сферы с плоскостью
Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, окружность
сечения проецируется на эту плоскость проекций без искажения.
Если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей
проекций, проекциями окружности являются эллипсы.
На рис 6.8 изображена сфера, пересеченная фронтально проецирующей плоскостью ( ), которая пересекает сферу по
окружности диаметра АВ = А В с центром в точке O1 (проекция O1 точка пересечения v с перпендикуляром, опущенным
из проекции О" центра сферы на плоскости }. Горизонтальная
83
помощью параллели KF радиуса ОК Горизонтальные проекции
промежуточных точек 1 и 4 также построены с помощью параллелей. Профильные проекции точек построены по горизонтальным и фронтальным проекциям соответствующих точек. На
горизонтальной проекции часть эллипса невидима. Точки 2 и
2 , отделяющие видимую часть эллипса от невидимой, находятся на экваторе. На профильной проекции видимость эллипса
определяется с помощью проекций 3" и З ", которые находятся
на фронтальной проекции профильного очерка.
Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью
общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей
плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.
6.7. Пересечение тора с плоскостью
В пересечении тора с плоскостью могут быть получены различного рода кривые линии. Если плоскость проходит через ось вращения
тора, в сечении получаются две окружности - образующие, если плоскость перпендикулярна к оси вращения, в сечении получаются две
окружности - параллели.
Кривые Персея
а
б
в
г
Рис.6.9
84
Все другие плоскости пересекают поверхность по кривым,
они имеют общее название - кривые Персея (Персей - геометр
Древней Греции). Вид кривых зависит от величины расстояния
от секущей плоскости до оси тора.
На рис 6.9 изображены кривые Персея, полученные в пересечении тора плоскостями А- А ( рис 6.9 , а). Б- Б ( рис 6.9 б). В- В
( рис 6.9, в), Г- Г (РИС 6-9 , г).
Кривую линию пересечения тора плоскостью в общем случае
строят с помощью вспомогательных плоскостей, пресекающих
тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т.е. расположены перпендикулярно оси тора или проходящей через его ось.
На рис.6.10.показано применение вспомогательных плоскостей y1 (y1) и y2 (y2), перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью а (а"').
Рис 6.10
85
Top имеет два изображения — фронтальную проекцию и половину
профильной проекции. Полуокружность радиуса R2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью у2 касается проекции плоскости а (следа а"''). Тем самым определяются профильная проекция 3 (О 3  а' ) и по ней фронтальная проекция 2"
одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R1 - профильная проекция линии пересечения тора
вспомогательной плоскостью у1. Она пересекает профильную проекцию плоскости а (след а'") в двух точках 5 и 7 — профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения,
можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения
натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью,
параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния /1 и /2 на фронтальной проекции для
нанесения точек 5о, 7о и Зо. Точки 6о, 8о и 4о построены как симметричные.
86
казана. Поскольку полученная фигура сечения симметрична, в
подстроении ее использована ось симметрии. На чертеже эту ось
лучше располагать параллельно следу секущей плоскости. Тогда
все размеры, выражающие длину фигуры сечения (I) и ее частей,
могут быть непосредственно с помощью линий проекционной
связи перенесены с фронтальной проекции на указанную ось.
Размеры, относящиеся к ширине фигуры сечения (/; и др.), взяты
с горизонтальной проекции.
Величина большой оси эллипса, как проекции линии сечения
цилиндра наклонной плоскостью, определена по фронтальной
проекции. Малая ось равна диаметру цилиндрического отверстия.
Фигуру сечения детали можно размещать и не в проекционной связи с фронтальной проекцией, в том числе и с ее поворотом.
6.8. Примеры построения чертежей деталей, усеченных проецирующими плоскостями
Иногда на практике возникает необходимость в построении фигуры сечения не на проекциях детали, а отдельно на чертеже, на- пример
с целью определения истинной величины этой фигуры. Если при этом
секущая плоскость наклонена к плоскостям проекций, сечение называют наклонным
Пример наклонного сечения детали дан на рис 6.11 Как видно из
чертежа, фигура сечения детали фронтально-проецирующей пло- скостью состоит из прямоугольника (результат пересечения наруж- ной
поверхности детали — многогранника) и эллипса (результат пересечения плоскостью цилиндрического отверстия). Кроме того, в плоскость
сечения попали прямоугольный вырез, идущий вдоль основания детали, два цилиндрических отверстия, из них одно сквозное, и вырез в
верхней части детали. Цилиндрические отверстия изображаются в
форме прямоугольников, так как секущая плоскость направлена вдоль
образующих этих поверхностей.
Истинная величина фигуры сечения определена способом замены
плоскостей проекций. Ось проекций новой системы на чертеже не по
Рис 6.11
87
7. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Метрическими называются задачи, в которых приходится
определять значения измеряемых величин - измерять величину
угла между' двумя прямыми и расстояние между двумя точками.
К метрическим относятся также задачи на построение угла и
отрезка с наперед заданным соответственно градусной и линейной величины.
В основе алгоритма решения любой метрической задачи лежит свойство плоской фигуры, параллельной плоскости проекций: она (фигура) проецируется на эту плоскость в конгруентную фигуру;
фаФаФ.
В задачах на построение проекций угла, равного 90°, используется теорема о частном случае проецирования прямого угла:
прямой угол проецируется ортогонально без искажения, если
одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а вторая
сторона не перпендикулярна к этой плоскости:
([АВ] [ВС])([АВ] ,ВС)АВВС
Рис 7.1
При определении расстояния между двумя точками или построении отрезка заданной длины можно использовать как методы преобразования ортогональных проекций, так и пользоваться построением прямоугольного треугольника.
Отметим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов
(доказательства рассмотреть самостоятельно).
88
прямой. 1 Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то
угол проецируется на эту плоскость с искажением.
2. Если хотя бы одна сторона тупого, прямого или острого угла параллельна плоскости проекции, то проекцией угла на эту плоскость
будет угол с тем же названием, что и сам угол:
а) проекция острого угла будет меньше проецируемого угла;
б) прямой угол проецируется без искажения;
в) проекция тупого угла больше проецируемого угла,
3.Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекции, то
на эту плоскость он проецируется без искажения.
4.Проекции острого и тупого углов могут проецироваться на плоскость без искажения не только при условии параллельности сторон
угла плоскости проекции.
5. Если стороны угла параллельны плоскости проекции или одинаково
наклонены к ней, то деление пополам проекции угла соответствует
его делению пополам в пространстве.
Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона, параллельная плоскости проекции, равна прямому углу, то и проецируемый угол
также
7.1 Определение действительной величины плоского угла но его
ортогональным проекциям
Решение задачи сводится к перемещению плоскости общего положения, которой принадлежит угол, в положение, параллельное какойлибо плоскости проекции. Такое перемещение можно осуществить с
помощью методов преобразования ортогональных проекций.
Наиболее рациональный путь решения задачи по переводу плоскости угла в положение, параллельное плоскости проекции, достигается
путем вращения плоскости угла вокруг линии уровня.
В этом случае для получения ответа на поставленную задачу достаточно произвести поворот только одной точки вокруг горизонтали
или фронтали плоскости угла.
При использовании других способов преобразования нам пришлось бы дважды менять плоскости проекции либо дважды осуществлять перемещение (вращение), параллельное плоскости проекции, т.е. в обоих случаях потребовалось построение двух вспомогательных проекций,
89
Приведенные ниже примеры иллюстрируют использование
способа вращения вокруг линии уровня для решения задачи
определения действительной величины плоского угла.
Пример 1: Определить угол между пересекающимися прямыми а и Ь.
Поворачиваем
плоскость
(а  b)вокруг ее
горизонтали h в
новое положение,
параллельное горизонтальной
плоскости. Точки А
(А э а) и В
(Вэ b) принадлежат
оси вращения h (A,
B)h, поэтому при вращении плоскости а вокруг оси h они не
изменяют своего положения.
Следовательно, для определения нового положения плоскости 1 Н достаточно осуществить поворот только одной точки
К. Для этого проводим через К' прямую, перпендикулярную h (
с этой прямой будет совпадать горизонтальная проекция окружности, по которой перемещается точка при ее вращении вокруг
горизонтали). Далее определяем положение центра вращения 0 и
величину радиуса вращения R для точки К. Положение точки К1
совместно с А и В определяют новые проекции a'1 и b1 (прямых а и b),
углу °
Пример 2, Определить величину углов треугольника АВС.
Повернем плоскость треугольника АВС вокруг фронтали и этого
треугольника в положение, параллельное плоскости V. Через
вершину А треугольника АВС проводим фронталь u(uu'). Точки
А и D, как принадлежащие оси вращения, не изменяет своего
положения в процессе преобразования. Поэтому, как и в предыдущем примере, достаточно повернуть только одну точку.
На рис 7.3 в качестве такой точки взята вершина В треугольника АВС. Вершина треугольника С при вращении вокруг фронтали будет перемещаться по дуге окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения ; поэтому фронтальная
проекция этой окружности перпендикулярна  и новое положение точки С1 определяется в точке пересечения этого перпендикуляра с новым положением (B1 D). После такого поворота плоскость
треугольника переведена
в
положение параллельное
фронтальной плоскости
V.
Следовательно, на основании свойства о проецировании плоской фигуры,
параллельной плоскости
проекции ( изложено в
п.7) углы при вершинах
А"В1 и C'1 проецируются в натуральную величину.
90
задающих плоскость 1 Н. Поэтому А К' В' равен искомому
91
Рис.7.3.
7.2 Перпендикулярность прямых, прямой
и плосксти. Перпендикулярность плоско-
стей
7.2.1 Взаимно перпендикулярные прямые.
Пример: Через точку А провести прямую m, перпендикулярную горизонтали h ( рис 7.4 ).
Так одна из сторон h прямого угла, параллельна плоскости H, то на эту плоскость спроецируется без искажения. Поэтому через А проводим горизонтальную
проекцию mh'. Отмечаем точку M= m
 h. Затем находим М(M"h ), Точки
М11 и А определяют m.
Если вместо горизонтали будет задана
фронталь и, то геометрические построения по проведению прямой mlu аналогичны только что рассмотренному случаю, с той лишь разницей,
что построение неискаженной проекции прямого угла следует
начинать с фронтальной проекции.
7.2.2.Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость
Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим
данной плоскости.
Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся
прямые, а горизонталь и фронталь, то появляется возможность и
в этом случае воспользоваться известной теоремой о проецировании прямого угла,
Пример 1. Восстановить
в
вершине А перпендикуляр
AD к плоскости треугольника
АВС (рис 7.5 ).
92
Рис.7.5.
Рис.7.6
Для того, чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали h и фронтали  плоскости
треугольника АВС. Затем в точке А восставляем перпендикуляр
к h, a в А' перпендикуляр к ,
Пример 2. Из точки А опустить перпендикуляр АВ на плоскость  заданную следами (рис 7.6 ).
Для решения этой задачи достаточно из А провести горизонтальную проекцию AВ, а из А - ее фронтальную проекцию
A" Вv.
7.2.3. Взаимно перпендикулярные плоскости
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них
содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.
Поэтому построение плоскости , перпендикулярной к плоскости , можно осуществить двумя путями;
1. Проводим прямую m, перпендикулярную к плоскости  (или
), затем прямую m заключаем в плоскость  (или ).
93
2. Проводим прямую n, принадлежащую или параллельную
плоскости  (или ), затем строим плоскость  (или), перпен-
дикулярно к прямой n.
Так как через прямую m можно провести множество плоскостей (первый путь решения), то задача имеет множество решений. То же самое происходит и при решении по второму пути ( в
плоскости или параллельно ей можно провести множество прямых n). Чтобы конкретизировать задачу, необходимо указать дополнительные условия.
Пример 1. Чрез данную прямую а провести плоскость ,
перпендикулярную к плоскости , заданной параллельными
прямыми 1 и f (рис.7.7.).
Рис 7.7
1. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости . для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали h' и фронтальную проекцию фронтали ,
2. Из проекции произвольной точки Аеа проводим проекции
перпендикуляра m'h' и m. Плоскость , т.к m
94
Пример 2.Через данную точку А провести горизонтально про95
ецирующую плоскость , перпендикулярную к плоскости , заданной
следами (рис.7.8)
Искомая плоскость рдолжна проходить перпендикулярно к прямой,
принадлежащей плоскости  В связи
с тем, что плоскость  должна быть
горизонтально проецирующей, то
прямая, перпендикулярная к ней ,
должна быть параллельна плоскости
H, т.е. являться горизонталью плоскости а или (что тоже самое) горизонтальным следом этой плоскости н. Поэтому через горизонтальную проекцию точки А проводим
горизонтальный след НН, фронтальный след vоси X.
7.3. Определение действительной величины угля между прямой
и плоскостью. Между двумя плоскостями
Углом между прямой и плоскостью называется угол
между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость
(прямая не перпендикулярна плоскости).
Пространственная геометрическая модель, иллюстрирующая
это определение, показана на рис 7.9 .
План решения задачи может быть,
записан:
1 .Из произвольной точки А
опускаем перпендикуляр на плоскость;
2. Определяем точку встречи этого перпендикуляра с плоскостью
(точка А ортогональная проекция точки А на плоскость );
3.Находим точку пересечения прямой  с плоскостью а (точка
А- след прямой а на плоскости );
4.Проводим (А°А)- проекдию прямой а на плоскость ;
5.Определяем действительную величину ААА,т.е.0. Решение этой задачи может быть значительно упрощено, если
определять не 0между
прямой и плоскостью, а дополнительный до 90° ° В
этом случае отпадает необходимость в определении
точки А и
проекции аЗная величину
у0 , вычисляем— 0=90-0.
Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный
угол, образованный двумя прямыми — сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру.
Дня построения линейного угла, являющегося мерой двухгранного угла, необходимо выполнить следующие графические
построения, показанные на рис 7.10 в определенной последовательности,
1. Определяем прямую n - линию пересечения данных плоскостей  и  (п= );
2. Проводим плоскость n (эта плоскость будет перпендику-
7.4.1. Параллельные прямые.
Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные
проекции также параллельны между собой.
аbа b; а b; а b
Причем, если в пространстве прямые а , b занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то для выяснения
по эпюру вопроса о параллельности прямых достаточно убедиться, будут ли параллельны между собой их одноименные
проекции только на двух плоскостях.
Параллельность проекции на третьей плоскости в этом случае
автоматы чески удовлетворяется.
Если прямые параллельны какой- либо плоскости (хотя бы
плоскости W), то условие параллельности на третьей плоскости
может не выполняться, В этом случае, для выяснения вопроса
будут ли прямые параллельны в пространстве, условие параллельности их одноименных горизонтальных и фронтальных проекций будет необходимым, но недостаточным. Для получения
ответа следует убедиться в параллельности их профильных проекций.
На рис 7.11 показаны два возможных варианта взаимного
расположения прямых АВ и CD.
лярна также и к плоскостям и ;
3. Определяем прямые a= и b=  ;
4. Находим действительную величину ° между прямыми а и b
. 0- искомый угол
Рис 7.11
96
7.4.Паралельность прямых, прямой и плоскости.
Параллельность плоскостей.
97
98
На рис.7.13 плоскость  задана пересекающимися
прямыми m n (m
ab; nl)
7.4.2.Параллельность прямой и плоскости
Прямая т параллельна плоскости , если в плоскости 
можно провести прямую п, параллельную т.
m,если mn (n)
Пример: Через заданную точку А провести плоскость , параллельную данной прямой f ( рис 7.12).
Решение: 1. Через проекции точки А' и А' проводим проекции прямой а (а; а ), соответственно параллельные одноименным проекциям fи f;
2. Через проекции точки А(А; А) в произвольном направлении проводим проекции прямой b( b1; b"),
Плоскость  проходит через точку А и параллельна прямой f,
так как плоскость (а и аf).
Рис.7.12
7.4.3.Параллельность плоскостей
Две плоскости параллельны, если две произвольные пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Пример: Провести через точку А плоскость , параллельную
данной плоскости , заданной двумя параллельными прямыми а
и b (рис 7.13).
Рис.7.13.
7.5.0пределение действительной величины отрезка по его
ортогональным проекциям
Отрезок прямой проецируется в натуральную величину
лишь в том случае, когда он параллелен плоскости, на которую он проецируется.
Во всех остальных случаях он проецируется на плоскость проекции с искажением.
Для установления зависимости между действительной величиной отрезка прямой и его проекциями рассмотрим рис 7.14
99
В прямоугольной трапеции ABB'А' (углы при вершинах А и
В' — прямые) боковыми стор ими являются действительная величина отрезка [АВ] и его горизонтальная проекция [А В ], а
основаниями [АА] и [ВВ ] по величине равные удалению концов отрезка А и В от горизонтальной плоскости Н.
АА=Z (. )А;ВВ=Z( . )В
Через точку А, в плоскости трапеции, проводим АВ1АВ,
получим прямоугольный треугольник ABB1, у которого катет
АВ1[АВ']. Поэтому геометрическая зависимость между действительной величиной отрезка и его горизонтальной проекцией
может быть установлена с помощью прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен горизонтальной проекции
А В, а другой - разности аппликат котлов отрезка BB-
АА Гипотенуза этого треугольника /АВ/ равна действительной величине.
Зависимость между действительной величиной отрезка и его
фронтальной проекцией также видна на чертеже.
Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка достаточно построить прямоугольный треугольник, взяв за один его катет горизонтальную^ (
фронтальную, профильную) проекцию отрезка, а за другой катет разность удаления концов отрезка от горизонтальной ( или
соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции.
На (рис 7.15) показано определение действительной величины
АВ путем построения треугольника АВВо. На этом же
чертеже приведен второй вариант
решения задачи: построение треугольника А'"В "Ао на базе фронтальной проекции отрезка.
101
100
С помощью прямоугольного треугольника можно решать задачу
по построению на эпюре проекции отрезка на перед заданной
длины.
7.6.0пределение расстояния между точкой и прямой.
Между двумя параллельными прямыми
Расстояние от точки до прямой определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую:
Из чертежа видно (рис.7.16), что определение расстояния от точки до прямой достигается минимальным количеством
геометрических построений;
(m, m) - фронталь: А"М  m Находим
горизонтальную проекцию точки М - M',
Методом прямоугольного треугольника
определяем натуральную
величину искомого расстояния AM,
Расстояние между параллельными
прямыми определяется величиной
перпендикуляра, опущенного из точки,
взятой на одной прямой, на другую
прямую.
На прямой n (рис.7.17) отмечаем произвольную точку N. Вращаем прямые тип
вокруг оси i H(iN) до положения параллельного фронтальной плоскости проекций (n1n1) и (m1m1). Из точки N''
опускаем перпендикуляр NM на прямую m1. Определяем действительную
величину [MN].
7.7.Определение расстояния от точки до плоскости, между
плоскостями
Расстояние от точки до плоскости определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Пример1_0пределить расстояние от точки А до фронтально
проецирующей плоскости  (рис 7.18)
Через А проводим горизонтальную проекцию перпендикуляра mн через А - его
фронтальную проекцию mv. Отмечаем
точку M=mv. Так как [АМ]V, то
[А''М''] =AM = d
Рис.7.18.
Пример2_0пределить расстояние от точки К до плоскости,
заданной треугольником АВС (рис 7.19).
102
1 .Переводим плоскость треугольника АВС во фронтально- проецирующее положение. Для этого переходим от системы
Х
V

H
X
V
1
1
; выбираем направление оси X1 h
H
2.Проецируем треугольник АВС на новую фронтальную плоскость
V1 (плоскость треугольника АВС спроецируется в [С1В1];
3.Проецируем на ту же плоскость К K1;
4.Через точку К i проводим (К1M1) [С1 В1]. Искомое расстояние d=К1М1
Расстояние между плоскостями определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной плоскости, на другую плоскость.
Исходя из определения, алгоритм решения задачи по нахождению
расстояния между плоскостями  и может быть выполнен:
1. Взять в плоскости  произвольную точку А (А);
2. Из точки А опустить перпендикуляр m на плоскость (mА); m;
3. Найти точку М пересечения перпендикуляра m с плоскостью 
(M=m);
4. Определить действительную величину [AM]. ( d-=AM), На практике целесообразно, прежде всего перевести плоскость в проецирующее положение. Этим упрощается решение задачи. Пример:
Определить расстояние между плоскостями а и р (рис.7.20).
Решение: Переходим от системы Х( V/H) —>X1( V1/H). По отношению к новой плоскости V1 плоскости  и  занимают проецирующее
положение, поэтому расстояние d между их фронтальными сле-
дами  и  является искомым.
Рис.7.20.
103
8. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. РАЗВЕРТКИ
ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
ВРАЩЕНИЯ
Для изготовления деталей, получаемых путем свертывания и изгиба листового или полосового материала, необходимо иметь заготовки развертки будущих деталей.
Разверткой (выкройкой) поверхности тела называется плоская
фигура, полученная путем совмещения всех точек данной поверхности с плоскостью без разрывов и складок.
Развертками поверхностей пользуются на практике для изготовления моделей разных сооружений, форм для металлических отливок,
фасонных деталей и устройств в кровельном и котельном деле и т.п.
Эти развертки обычно делают по специальным чертежам. Для построения разверток поверхностей в основном используют следующие графические способы;
а) способ нормальных сечений;
б) способ раскатки;
в) способ триангуляции,(способ треугольников) Рассмотрим построения разверток данными способами на примерах:
104
V/H -W/H1; H1 II Ф (X1 II Ф ) => l121З1 - натуральная величина
нормального сечения.
2. На продолжении проекции Ф плоскости Ф ( на прямой k ) построим развертку 3 ; 2 ; 3 линии нормального сечения. Через
полученные точки проведем перпендикуляры к прямой k. На
этих перпендикулярах будут находиться проекции ребер поверхности на плоскости развертки.
3. Мысленно разрежем данную поверхность по ребру CF, и будем последовательно совмещать с плоскостью развертки боковые грани призмы. При этом концы А, В, С, D, Е, F ребер будут
совмещаться в плоскостях, параллельных секущей плоскости Ф.
Эти плоскости будут проецироваться на V в прямые, параллельные проекции Ф .
8.1,Способ нормальных сечений
1 .Поверхность пересекают плоскостью, перпендикулярной к ее образующим (ребрам), рис 8.1 . Рассечем заданную призматическую поверхность фронтально - проецирующей плоскостью Ф, перпендикулярной к ребрам поверхности.
По теореме о проецировании прямого угла (если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения) фронтальные проекции ребер и секущей плоскости будут взаимно перпендикулярны, так как ребра являются в
данном примере фронталями. В сечении получим треугольник 1-2-3
(1 2;3;1; 2; 3). Натуральную (действительную) величину сторон
треугольника можем определить любым из ранее изученных мето-
дов. В данном случае проще использовать метод замены плоскостей проекций:
4. В пересечении соответствующих проекций ребер и этих плоскостей получим точки Во, Ао, Со. Соединив эти точки ломаной линией,
получим развертку боковой поверхности. В общем случае развертка
поверхности данной призмы может быть, выполнена на любом месте
листа чертежа. Для этого прямуюk проводим в любом месте (^рис8.2))
и на ней строим развертку Зо2о1о3о нормального сечения поверхности
призмы.
Через полученные точки проводим перпендикуляры к прямой k и
откладываем на них размеры соответствующих ребер, зная, что на
плоскость проекции V они проецируются без искажения: loA0=l A'';
105
2oBo=2// В";, , .Соединив точки Со, Во, ... Fo ломаной линией,
получим развертку боковой поверхности призмы. Чтобы получить полную развертку призмы необходимо к развертке боковой
поверхности пристроить основания призмы
8.2.Способ раскатки
Рис.8.3 В этом случае используется частное положение ребер
призмы (боковые ребра
- фронтали, а ребра оснований - горизонтали)
и теорема о проецировании прямого угла
(приведена в п. 8.1).
Рис. 8.2
106
При развертывании способом раскатки концы А, В, С, ребер поверхности
будут перемешаться в плоскостях, перпендикулярных этим ребрам (ребра
будут осями вращения этих точек), в данном примере - во фронтально —
проецирующих плоскостях. Фронтальные проекции ФА, Фв, Фс этих плоскостей будут перпендикулярны к фронтальным проекциям ребер и пройдут
через фронтальные проекции А", В , соответствующих точек.
Разрежем (мысленно) поверхность по ребру CF и будем поочередно совмещать (раскатывать) грани с плоскостью развертки. При совмещении грани
CFEB положение точек С и F не изменится. Положение Во точки В на развертке определяется тем, что она отстоит от точки С на расстоянии ВоС
=ВС, равном длине отрезка ВС (ВС в данном случае - горизонталь), и принадлежит проекции Фв плоскости ФБ (в которой она вращается). Используя
циркуль, находим точку Во на развертке. Аналогично находим остальные
точки - Ао, Со,... Соединив найденные точки соответствующими прямыми,
получаем развертку боковой поверхности призмы заданной поверхности. Для
получения полной развертки призмы достаточно к развертке боковой поверхности пристроить основания призмы треугольник АоВоСо и треугольник
DoEoFo/
Развертки деталей, ограниченных плоскостями или развертывающимися
кривыми поверхностями, могут быть развернуты и совмещены с плоскостью
точно, В этом случае на развертке сохраняются точки и длины линий, лежащих на поверхности, причем каждой точке и отрезку прямой на развертке
соответствует вполне определенная и единственная точка (или отрезок прямой) на поверхности и наоборот.
Развертки деталей, ограниченных не развертывающимися поверхностями, строят приближенно (например, поверхность сферы).
8.3.Способ триангуляции (способ треугольников)
Способ треугольников (способ триангуляции) используется для
построения развертки боковой поверхности пирамиды, а так же
для построения боковой поверхности линейчатых поверхностей.
Пример. Построить развертку боковой поверхности пирамиды
SABC(рис 8.4,).
Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников - граней пирамиды. Поэтому построение развертки поверхности пирамиды сводится к
Рис 8.3
107
определению действительной величины ребер пирамиды и построению по трем сторонам треугольников - граней пирамиды.
На рис 8.4 определение действительной длины ребер пирамиды
выполнено с помощью вращения их вокруг оси i (iS и iH). Путем
вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью (плоскость
 V и i). Определив действительные величины ребер [S А2], [S
B2], [S C2], приступаем к построению развертки. Из произвольной
точки So проводим произвольную прямую а, откладываем на ней от
точки So[SoA0][S А2]. Из точки Ао проводим дугу радиусом
г1=[AB] , а из точки So- дугу радиусом Ri=[S B2]. В пересечении дуг полусаем вершину Во треугольника S.0AoBo (треугольник SoAoBoS треугольника SAB - грани пирамиды). Аналогично находятся точки So и Ао. Соединив точки AoB.oC0AoSo, получим развертку боковой поверхности пирамиды SABC.
При развертке линейчатых ( поверхности, образованные
движением прямой линии, называют линейчатыми), развертывающихся поверхностей последние рассматривают как состоящие из очень большого числа бесконечно малых плоских элементов, иначе говоря, заменяют эту поверхность многогранной
108
поверхностью (аппроксимируют). Развертку поверхности строят как
суммы разверток треугольных граней вписанной многогранной поверхности.
Заменяя плавную кривую ломаной, следует разбить эту кривую на
такие дуги, длины которых возможно мало отличаются от сторон ломаной, В этом случае стороны многоугольников будут очень мало отличаться от другой развернутой кривой. Этот способ построения разверток называется способом триангуляции - развертываемая поверхность аппроксимируется многогранной поверхностью с треугольными
гранями.
Пример. Построить развертку полной поверхности (боковой поверхности, поверхности основания и сечения) усеченного конуса вращения, рис 8.5
1. Делим основание конуса на 12 равных частей.
2. Соединяем эти 12 точек с вершиной (12 образующих). Строим
их фронтальные проекции. Затем строим горизонтальную проекцию
сечения. Построение видно из чертежа.
3. Боковая поверхность конуса вращения развертывается в сектор
круга с углом
=360°*D/2L,
где D - диаметр окружности основания конуса, а L - величина образующей конуса.
4. Затем откладываем на дуге 12 отрезков, равных 1/12 длины
окружности - основание конуса. Разрежем (мысленно) конус по образующей наибольшего размера.
На развертке необходимо откладывать истинные размеры образующих конуса, поэтому следует их определить. На фронтальной проекции только крайние образующие, проходящие через точки 1 и 7,
проецируются без искажений.
Чтобы не загромождать чертеж, рядом, с фронтальной проекцией
конуса чертим образующую S1 7i, равную образующей S"7 и параллельную ей.
На этой образующей отмечаем параллельно основанию конуса
точки пересечения образующих конуса с наклонной секущей плоскостью (кроме точек 1 и 7),
Далее на образующих развертки от точек 1,2,3,..., 12 откладываем размеры образующих конуса h1,h2,h3 ,h12.
109
Натуральную величину сечения строим прежде изученными
методами. В данном примере использован метод замены плоскостей проекций.
К развертке боковой поверхности усеченного конуса пристраиваем круг - основание конуса и эллипс - основание конуса
наклонной плоскостью.
Таким образом, получили полную развертку усеченного конуса методом триангуляции.
110
9. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
9.1. Общие сведения
Во многих случаях при выполнении технических чертежей
оказывается необходимым наряду с комплексным чертежом
оригинала давать более наглядное изображение, обладающее
свойством обратимости.
С этой целью применяют чертеж, состоящий только из одной параллельной проекции данного оригинала, дополненный
проекцией пространственной системы координат, к которой
предварительно отнесен изображаемый оригинал. Такой чертеж
называется аксонометрическим или аксонометрией. Слово аксонометрия означает «измерение по осям».
Рассмотрим построение аксонометрической проекции. Выберем какую - нибудь плоскость проекций Р и спроецируем на
нее по направлению S заданную точку А вместе с осями прямоугольных (натуральных) координат, к которым она отнесена в
пространстве (рис 9.1 ). Плоскость Р называют тоскостъю аксонометрических проекций (эту плоскость называют также картинной плоскостью).
Рис 8.5
Проекция А' называется аксонометрической проекцией точки А,
а точка А1 - вторичной проекцией точки А, В дальнейшем аксонометрическую проекцию A/ условимся обозначать так же, как '
в пространстве, буквой А.
112
111
Проекция OAxA1A называется аксонометрической координатной ломаной..
Отрезки О Ax, Ax А1 и А 1А , соответственно параллельные осям х,
у и z - аксонометрическими отрезками координат.
Проекция O'x'y'z называется аксонометрической системой координат.
Она состоит из аксонометрических осей х, у, z, пересекающихся в точке О',
называемой аксонометрическим началом координат.
Проекции х, у, z осей х, у и z называются аксонометрическими осями
координат.
Проекции е'я e'y, ё'г натурального масштаба е называются аксонометри
ческими масштабами.
9.2. Показатели искажения
Отношения аксонометрических координат к натуральным (при одной и
той же натуральной единице е) называются показателями искажения по
ослы.
Обозначим через и показатель искажения по оси х, через v - показатель
искажения по оси .у, через w - показатель искажения по оси г, тогда
1
1
x
u
V 
y
y
x
1


1
1
oA
OA
X

e
X
1
1
X
1
X
1
A A
A A
X
;
e
1

e ;W
y
e

z
z
1
1

1
1
1
1
AA
AA

e
Z
e
Если все три показателя искажения по осям равны между собой:
и = v = w, то аксонометрическая проекция называется изометрией.
Если два показателя искажения равны между собой и отличаются от третьего показателя, то аксонометрическая проекция называется диметрией.
При этом и = v  w, или v = w и, или w = и  v.
Если все три показателя искажения по осям различны; uv; vw, wu, то
аксонометрическая проекция называется триметрией.
В зависимости от наклона изображаемого предмета к плоскости аксонометрических проекций и угла, образуемого проецирующими лучами с аксонометрической плоскостью, получают аксонометрические проекции различного типа. Если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций, проекции называют прямоугольными; если проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций, проекции называют косоугольными.
Все виды аксонометрических проекций обладают следующими свойствами:
113
114
- любому чертежу в аксонометрических проекциях должен предшествовать чертеж выполненный в ортогональных проекциях;
- ось г проецируется всегда вертикально;
- все измерения делаются только по осям или параллельно
осям;
- все прямые линии, параллельные между собой или
параллельные осям симметрии на ортогональном чертеже, остаются параллельными в аксонометрии.
9.3. Стандартные аксонометрические проекции
Для единого правила выполнения аксонометрических изображений разработан ГОСТ 2,317-69.
К числу стандартных прямоугольных аксонометрических проекций относятся изометрическая проекция (\ рис 9;2а ,);
диметрическая проекция ( рис 9.26 ).
К числу стандартных косоугольных аксонометрических проекций относятся фронтальная изометрическая проекция ( рис 9.2в );
горизонтальная изометрическая проекция ( рис 9.2г ); фронтальная диметрическая проекция ( рис 9.2 , д).
На практике коэффициенты искажения принимают равными
единице. В этом случае изображение предмета получается
увеличенным, при этом коэффициент приведения m 
1,0
=1,22
0,82
Действительные коэффициенты искажения называют точными, а увеличенные - приведенными и обозначают их, в отличие от точных, прописными буквами: U = V = W = 1. На рис 9.4
показано построение изометрических осей без измерения углов
транспортиром. Первый способ (РИС 9.4.а) основан на делении
окружности на шесть равных частей. Выбрав на оси z точку О,
проводим дугу произвольного радиуса; она пересечет ось z' в
точке А, Из этой точки тем же радиусом проводим вторую дугу.
Точки В пересечения дут используем для проведения осей x и
у.
На Рис(9,4,б) показан второй способ построения изометрических осей. Наклон оси в 30° получается при соотношении длин
отрезков 3:5 (например, 3 и 5 клеток).
9.3.1. Прямоугольная изометрическая проекция
Она образуется, когда оси координат одинаково наклонены к картинной
плоскости Р (рис 9.1). Следовательно, аксонометричес- кие оси в прямоугольной изометрии образуют между собой углы по 120° (рис.9.3).
Зная основную формулу прямоугольной аксонометрии и2 + v2 + w2 = 2 и равенство коэффициентов искажения изометрической проекции
и = v = w, можно определить коэффициенты
искажения:
3u2=2; u= 3 0,82; u=v=w=0,82
Рис. 9.3
2
Следовательно, при построении прямоугольной изометрической проекции
натуральные размеры вдоль координатных осей сокращаются в  0,82 раза.
а)
Рис.9.4.
б)
9.3.2. Прямоугольная диметрическая проекция
Наиболее простую и распространенную диметрию получают,
u
если и = w и v = Вычислим показатели искажения. Из
2
116
115
соотношения u + v + w = 2 имеем u
2
тогда w = 0,94; v =
2
2
2
u
+
2
4
+ u2 = 2, откуда и =
2 2
0,94,
3
2
0,47.
3
В практике применяют приведенные коэффициенты искажения U == W =
1 и V = 0,5, При этом коэффициент приведения
m
U
1
1,06 Таким

u 0,94
образом, изображение предмета получается увеличенным в 1,06 раза.
Расположение аксонометрических осей
в диметрической проекции показано на
рис 9.5, Оси х'у встроят по тангенсам
углов. Так tg 7010=
1
7
; tg41025=
8
8
Продолжение оси у' за центр О является биссектрисой угла XOZ, что также
может быть использовано для построения оси у'
В практике черчения ГОСТ 2,317 - 69 разрешает использовать и
еще одну косоугольную проекцию - горизонтальную изометрическую
проекцию (в литературе иногда такую проекцию называют зенитной
изометриеи). Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют
без искажения по осям х', у', z' (рис 9.2 , г).
9.4. Аксонометрические проекции окружности
Окружность в аксонометрической проекции представляет собой
эллипс, Построение эллипса сравнительно сложно, поэтому его заменяют овалом. Овал - это кривая, по очертанию похожая на эллипс, но
строится при помощи циркуля.
9.4.1. Окружность в прямоугольной изометрии
Окружности, вписанные в грани куба ( рис 9.6а ), проецируются в
эллипсы, В прямоугольной изометрии все три эллипса одинаковы по
форме, равны друг другу, но расположены различно (рис 9.6.б) . Их
малые оси всегда располагаются по направлению отсутствующей в
данной плоскости аксонометрической оси, а большая ось к ней перпендикулярна.
Большая ось=1,22D
9.3.3. Косоугольные аксонометрические проекции
ГОСТ 2.317 - 69 рекомендует использовать косоугольную диметрию. В практике черчения наиболее часто используется такая косоугольная диметрия, у которой коэффициент искажения по оси у' принимается равным 0,5, а угол, составленный этой осью с другими осями - 135° (рис 9.2 д). Согласно ГОСТ 2,317 - 69, такую аксонометрическую проекцию называют фронтальной биометрической проекцией
(в литературе ее иногда называют кабинетной).
Косоугольная фронтальная диметрическая проекция предпочтительна в тех случаях, когда окружности лежат в плоскостях, параллельных плоскости V,
ГОСТ 2.317 - 69 также рекомендует использовать и другую косоугольную проекцию - фронтальную изометрическую проекцию. В литературе ее иногда называют кавальерной перспективой (рис 9.2в,).
Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения
по осям х уz
а
рис.9.6
б
117
118
9.4.2. Окружность в прямоугольной диметрии
Существует несколько способов построения окружности в
изометрической проекции.
Первый способ. Строят ромб со стороной, равной D окружности. Точки А и В - центры больших дуг радиуса R, Точки С и
Е - центры малых дуг радиуса г. Точки 1, 2, 3. 4 - точки сопряжения дуг (рис 9.7а ).
Второй способ. Проводят две окружности, одна - диаметром,
равным большой оси овала (АВ = 1,22 D), вторая - диаметром, равным малой оси (СЕ = 0,71 D). Точки Oi и Oi - центры больших дуг
овала, а точки Оз и 04 - центры малых дуг. Точки 1, 2, 3, 4 - точки сопряжения дуг (|рис 9.7i, б).
На рис 9-8 показан графический способ определения большой и малой осей изометрического эллипса. Для определения
малой оси эллипса соединяем точки 1 и 2. Отрезок 1 - 2 - малая
ось эллипса. Из точек 1 и 2, как из центров, описываем дуги радиусом 1 - 2 до их взаимного пересечения. Отрезок 3 - 4 - большая ось эллипса.
б
В прямоугольной диметрической проекции так же, как в прямоугольной изометрии, малые оси всех трех эллипсов расположены по
направлению той аксонометрической оси, которая отсутствует в
плоскости, содержащей эллипс.
На рис.9.9 показаны эллипсы, принадлежащие отдельнмм координатным
плоскостям, и указаны размеры их осей. У эллипса,
расположенного в плоскости x'0'z', большая ось равна 1,06 D., малая - 0,94 D.
Эллипсы, принадлежащие
координатным плоскостям
xОy и z'Oy' по величине и
Рис 9.9
форме одинаковы. Большие
оси этих эллипсов равны
1,06 D, малые - 0,35 D.
На риc.9.9 дано построРис.9.9
ение диметрического овала для окружности диаметра D, расположенной в плоскости x'Oz
Проводят оси диметрической проекции xyz, затем через точку О
проводят прямую, перпендикулярную к оси у', и на ней откладывают
большую ось эллипса АВ. Малую ось эллипса CD откладывают на оси
у! Отрезки ОМ = ON = OK = ОЕ равны радиусу данной окружности.
Точки М, N, К и Е будут точками сопряжения дуг овала. Точки Oi, Oi,
Оз и 04 будут центрами дуг радиусов окружностей, из которых состоит овал.
На рис.9.10 приведено построение диметрических овалов, заменяющих эллипсы, для окружностей, расположенных в плоскостях Н и
W, Эти овалы одинаковы по форме и величине. Малая ось имеет
направление той аксонометрической оси, которая отсутствует в плоскости, содержащей эллипс, большая ось к ней перпендикулярна.
119
120
Последовательность построения такая
(рис 9.11, а): от центра О' на продолжении малой оси эллипса откладываем размер 1,06 D (величину большой
оси). Получаем точку O1- центр нижней дуги радиуса R, Из точки О2 этим
же радиусом проводим верхнюю дугу
овала. От точек А и В откладываем
9.4.3. Окружность в косоугольной фронтальной диметрии
На рис.9.12 изображен куб,
выполненный в косоугольной
фронтальной диметрии. В каждую грань куба вписана окружность. Одна из них, расположенная в плоскости V, проецируется
без искажения; две другие - в виде эллипсов, где большая ось
равна 1,07D, a малая - 0,33 D.
Большие оси эллипсов перпендикулярны недостающим аксонометрическим осям плоскости,
в которой они расположены.
Рис 9.10
размеры малой оси, уменьшенной в четыре раза, т.е. EF / 4. Из
полученных центров Оз, О4 проводим дуги радиуса R1= O'E/2.
Точки сопряжения 5 и 6 находим, соединяя прямой точки O1 и
О4(О2 и О4) и
продолжая эту прямую до пересечения с дугой.
Построение овала в плоскости W (рис 9.11 б) аналогично построению овала в плоскости Н.
Рис. 9.12
Способ построения этих овалов такой же, как в прямоугольной
диметрии.
9.5. Примеры построения стандартных аксонометрий
а
Рис.9.11
Аксонометрическую проекцию точки А строят по ее координатам
ХА, уA, ZA. На рис 9.13, а даны две проекции осей координат и точки.
Чтобы построить изометрию точки, от точки О' на оси х' откладывают координату ХА ( рис 9.13 б). Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси у' и откладывают на ней координату уА Отмечают вторичную проекцию А1 точки А, затем откладывают координату ZA, параллельно оси z. Полученная точка А изометрическая проекция точки. Итак, любую аксонометрическую
проекцию точки можно получить, построив в аксонометрии трехзвенную координатную ломаную линию, определяющую положение этой точки относительно начала координат.
121
122
Рис.9.13
Аксонометрические проекции прямых, кривых строят по координатам их точек. На рис 9.14 показано построение отрезка АВ,
на рис 9.15 показано построение плоской кривой, а на рис 9.16 пространственной кривой в изометрической проекции
Рис.9.15
Построение
шестигранной
призмы
по
данному
чертежу
начинают
с
плоской
фигуры
основания
(рис
9.171).
Основание
призмы
строят
по
координатам
его точек. На изометрической оси г' откладывают высоту Н,
проводят линии, параллельные осям х 'и у.' Отмечают на линии,
параллельной оси х,' положение точек 1 и 4.
Для построения точки 2 определяют координаты этой точки
на чертеже - х2; и у2; и, откладывая эти координаты на аксонометрическом изображении, строят точку 2. Таким же образом
строят точки 3, 5 и 6.
Построенные точки верхнего основания соединяют между
собой. Боковые ребра призмы являются горизонтально - проецирующими
123
прямыми, поэтому на горизонтальную плоскость проекции Н
они проецируются в виде точек. Из точки 1 проводят ребро до
пересечения с осью х! затем - ребра из точек 2, 3, 6. Нижнее ос-
нование призмы проводят параллельно верхнему. Невидимые
ребра призмы следует проводить штриховой линией.
метром D является окружность, диаметр которой равен 1,22 D
(изометрия) или 1,06 D (диметрия) по приведенным коэффициентам искажения. На рис.9.19 а изображена прямоугольная изометрия сферы с вырезом одной восьмой его части. На рис.9-19,
б - прямоугольная диметрия сферы с вырезом одной восьмой
его части. Три эллипса на изображении - проекции сечения шара координатными плоскостями.
124
Рис.9.17
Рис.9.18
Построение аксонометрической проекции прямого кругового конуса начинают с его основания (рис 9.18).
Аксонометрической проекцией основания будет эллипс,
расположенный в плоскости Н. Далее из центра эллипса откладывают высоту конуса. Полученную точку - вершину конуса соединяют двумя касательными с основанием. На | рис9.18а дано изображение конуса в прямоугольной изометрии, на рис.9.18
б - в прямоугольной диметр ии.
Прямоугольной аксонометрической проекцией сферы диа-
а
б
Рис.9.19
126
125
На рис.9.20 изображена
прямоугольная диметрия
части тора. Сначала строят ось поверхности в виде
овала, затем радиусом образующей сферы проводят окружности, равномерно располагая их по
направляющей.
Рис.9.20
Для изображения кольца проводят плавную касательную ко
всем окружностям. Чтобы спроецировать любую поверхность
вращения (рис.9.21) вписывается в неё произвольные сферы,
при этом 01=01и т.д. Плавная касательная ко всем окружностям представляет собой контур изображения .При построении
ксонометрии по приведенным показателям искажения радиусы
вписываемых сфер увеличиваются в изометрии в 1,22 раза, в
диметрии - в 1,06
Рис. 9.21
10. МАШИННАЯ ГРАФИКА
Одно из замечательных достижений человеческого гения в последние десятилетия -быстрое развитие электроники и вычислительной техники.
Электроника и вычислительная техника используется в различных
областях человеческой деятельности,
Слово компьютер означает вычислитель. В первой половине 19 века английский математик Чарльз Бэббидж попытался построить универсальное вычислительное устройство - Аналитическую машину,
которая должна была выполнять вычисления без участия человека, с
помощью перфокарт. Но Бэббидж не смог довести до конца свою машину т.к. она оказалась слишком сложной для того времени.
К этому времени потребность в такой машине была очень велика,
что над ее созданием работали многие ученые того времени.
В"1°45 году к работе был привлечен знаменитый математик Джон
фон Нейман, который сформулировал общие принципам функционирования универсальных вычислительных устройств, т.е. компьютеров.
Первый компьютер, в котором были воплощены принципы фон
Неймана, был построен в 1949 году. С той поры компьютеры стали
более мощные, но подавляющее большинство из них сделано в соответствии с теми принципами, которые предложил Джон фон Нейман.
Прежде всего, компьютер должен иметь следующие устройства:
1) арифметическое - логическое устройство;
2) устройство управления; (организует программы)
3) запоминающее устройство; (память)
4) внешнее устройство, (ввод информации)
Следует заметить, что схема устройства современных компьютеров несколько отличается от приведенных выше.
В частности, арифметическое - логическое устройство и устройство управления, как правило, объединены в единое устройство - центральный процессор.
Программы для первых компьютеров писали на машинном языке,
т.е. в кодах, что было очень кропотливой и сложной работой,
В 50 - х годах были разработаны программы с использованием
мнемонических обозначений машинных команд, имен точек
127
программ, так называемый язык ассемблера. Однако написание
программ и на этом языке трудоемко. Поэтому, после ассемблеров появились языки программирования высокого уровня.
Первый коммерческий используемый язык программирования высокого уровня Фортран был разработан в 1958 году в
фирме IBM под руководством Джона Бэкуса.
Сейчас широкое распространение получили лишь немногие
языки, в частности Си, Паскаль, Бейсик, Лого, Форт, Лисп, Пролог и др.
С помощью ЭВМ сейчас решаются многие задачи геометрического характера, в машине синтезируются простые и сложные
геометрические образы - поверхности, тела, структуры.
Переходя к общению с ЭВМ на уровне графических изображений, схем, фигур, графиков, чертежей, можно значительно повысить эффективность использования вычислительной техники.
Чертеж называют языком техники. Поэтому понятен тот интерес к
машинной графике, который сейчас наблюдается во многих странах и
активные разработки в этой области.
Развитие машинной графики позволило создать специализированные системы автоматизированного изготовления чертежей. В последние годы для этих целей стали широко использовать персональные
ЭВМ. Они просты и удобны в использовании, обеспечивают достаточную точность, необходимое качество чертежей и легкость внесения
изменений.
При автоматизированном изготовлении чертежей конструктор создает «Электронный» эквивалент чертежа, используя вместо карандаша и бумаги экран графического дисплея и устройство ввода. Подготовленный чертеж вводится на принтер или графопостроитель. Для
выполнения графических работ существует множество прикладных
компьютерных программ. Одна из них AutoCAD предназначена для
выполнения автоматизированных чертежных работ. Она позволяет
создавать любые чертежи, корректировать их, компоновать из сделанных ранее и многое другое.
Постоянно развиваясь Auto CAD стал мошной системой автоматизации проектных работ, представляя пользователю принципиально
новые возможности.
128
Сегодня он является международным стандартом для подготовки
конструкторской документации. Работа в системе AutoCAD открывает
новые возможности.
Название системы образовано сокращениями от «Automated Computers Aided Desing», означающего в переводе с английского языка «
Автоматизированное компьютерное проектирование».
Auto CAD широко распространен в мире, разработчиком системы и
ее юридический владелец - фирма AUTODESK Ltd. Первая версия
программы появилась на рынке в 1982 году, Сегодня уже существует
Auto CAD версия 14,
Система Auto CAD позволяет выполнять графические работы в этой
области, где в составе проекта есть чертежи: автомобилестроения, судостроение, самолетостроение, гражданское, промышленное и транспортное строительство, радиоэлектроника, приборостроение, архитектура и т.д.
Черчение в системе Auto CAD не только удобно, но при определенных знаниях и навыках ускоряет процесс вычерчивания чертежа в
2 - 4 раза. Технология послойного построения, чертежа, позволяет
вводить ранее заготовленные варианты деталей, проектировать варианты застройки и т.д. Подробней остановимся на девятой версии Auto
CAD,
Начиная с 1 по 12 версию программный комплекс Auto CAD, работает в системе DOC. ACADnMeer встроенный компилятор языка Auto
LISP.
Для работы в системе Auto CAD необходимы:
1. Совместимый с IBM PC персональный компьютер 386 / 486,
2. Операционная система MS - DOS / PC - DOS версия 5.0 и выше.
3. Объем оперативной памяти 8 Мбайт.
4. Свободное место на жестком диске.как минимум 12 Мбайт.
5. Плоттер или принтер,
6. манипулятор «мышь».
Система Auto CAD построена таким образом, что практически все
действия пользователя может выполнять только мышью, не прибегая
к помощи клавиатуры.
Система AutoCAD запускается файлом acad, exe, acad bat, либо
набором с клавиатуры acad при этом появляется меню Auto CAD, при
выборе одной из позиций, входим в рабочее окно acad, которое принадлежит графическому редактору и содержит четыре зоны (Рис.10.1)
129
Рис 10.1 Рабочее окно Auto CAD.
Зона 1 - рабочий лист.
Зона 2 - справка состояния или падающее меню.
Зона 3 - экранное меню.
Зона 4 - справка команд и сообщений.
Auto CAD работает, выполняя команды своего внутреннего языка.
Их можно вводить с клавиатуры, хотя более удобно и быстрей выбрать команду на экране из меню системы.
Наиболее часто используемым меню является так называемое
экранное меню. Можно считать его главным меню. Если работать в
версии поставляемой фирмой AUTODESK Ltd, но часто существует
уже переведенная версия и в ней лучше использовать падающее меню,
которое находится в зоне 2 (т.к. оно полностью переведено на русский
язык).
Если вы вошли в команду, выбрав ее в зоне 2, то в экранном меню
(или его еще называют боковое меню), команда дублируется, но ее
название пишется на английском языке, При работе, если вы забыли, в
какой команде находитесь, в боковом меню окна поддерживается постоянно пункты отмеченные эта команда.
130
пункты без отметок - группа команд. Сами команды могут находиться в подменю второго и даже третьего уровня.
Общение между пользователем и программой происходит в
зоне 4, которая так и называется зоной команд и сообщений.
Здесь выводятся команды, выбранные пользователем из меню или набранные на клавиатуре, а также все сообщения системы.
В нижней «командной» строке выводится текущая команда
система ведёт протокол диалога, записывая его в специальный
файл на диске.
Для того чтобы увидеть диалог можно нажать клавишу
F1,повторное нажатие возвращает систему в рабочее окно графического редактора.
Как уже говорилось выше, мышь имеет большое значение
для данной программы.
С помощью её мы вызываем команды, работаем на рабочем
поле чертежа как курсором, который имеет вид двух 1 линий. Он
служит для многих функций, указать объект, точки, место открытие окон и т.д.
Две ортогональные линии графического курсора // координатным осям если повернуть координатные оси на угол, то и
курсор повернётся на соответствующий угол,
Если вы работаете, в какой либо команде, для того чтобы
прервать действие, не выходя из команды, надо нажать правую
клавишу мышки и левую для продолжения данной команды,
Программа ACAD постоянно перерабатывается, дополняется, и постоянно появляются новые версии. Если у вас что либо
не получается, не спешите, посмотрите внимательно, всё ли вы
сделали правильно; если все таки не получается что либо, в Auto
CAD всегда есть несколько вариантов, чтобы достигнуть результата.
Приведенные материалы, разумеется, дают лишь предварительное представление о больших возможностях интенсификации процесса обучения начертательной геометрии и графики с
использованием компьютерных графических систем.
131
132
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
СОДЕРЖАНИЕ
1. БрилингН.С., БалягинС.Н. Черчение: Справочное пособие.- М,:
Введение……….……………
Стройиздат, 1994,- 421с :ил,
2. Виниградов.В.Н. Начертательная геометрия. -М.: Просвещение
1989.
3. ВласовМ.П. Инженерная графика, - М,: Машиностроение, 1979.
4. ВяткинГ.П,, АндрееваА.Н., БалтухинА.К, и др. под ред. ВяткинаГ.П,
Машиностроительное черчение.: Учебник для студентов машиностроительных и приборостроительных специальностей вузов. 2-е
изд., перераб. и доп. - М.:
Машиностроение, 1985. -368с.
5. ГордонВ.О... Семенцов - ОгиевскийМ.А. Курс начертательной геометрии. - М. «Наука».: Главная редакция физико - математической
литературы, 1988.
6. ДружининН.С., ЧувиковН.Т. Черчение: Учебник для техникумов. М.: Высшая школа, 1982 - 244, с., ил.
7. ЛантухА., ВысоковичВ. Введение в AutoCAD. - М.: ЭКОМ, 1997.
8. Ломоносов!". Г, Инженерная графика. -М,:недра, 1984,
9. МанцетоваИ.В., МаянцД.Ю., ГамеченкоК.Я, ЛяшевичК.К. Проекционное черчение с задачами, - Минск: Высшая школа, 1978.
10. ПосвянскийА.Д. Краткий курс начертательной геометрии. - М.:
Высшая школа, 1974.
11. РойтманИ.А.. практикум по машиностроительному черчению. - М.:
Просвещение, 1976.
12. Словарь - справочник по черчению: кн. для учащихся / Виноградова.Н., ВасиленкоЕ.А., АлохименокА.А. и др. - М,:
Просвещение, 1993 - 159с.:ил.
13. ТовминА.М, ШаловГ.С., Нартова А.Г., ПолозовВ.С., Якунин; B.C.
Курс начертательной геометрии, - М,: 1983.
14. ФигурновВ.Э. IBM PC для пользователя. - Уфа: ПК Дегтярев и
сын.1993.
15. ФроловС.А. Начертательная геометрия. - М.: Машиностроение
1978.
16. ЧекмаревА.А. Начертательная геометрия. - М.: Просвещение, 1987.
17. ЧекмаревА.А, Инженерная графика. - М.: Высшая школа, 1988.
18. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение - М • Вчадос
1999,
Условные обозначения и символика………..
3
1. Виды проецирования……………………….
5
1.1. Параллельное проецирование………………..
5
1.2. Точка……………………………………..
б
1.3. Проецирование точки на две плоскости проекций……………………………………………….
7
1.4. Расположение проекций точек на комплексном
чертеже..................................................…….....
9
1.5. Проецирование точки на три плоскости проек
ций…………………………………………………..
10
2. Проецирование отрезка прямой линии ..................
11
2.1. Проецирование прямой линии на две и три плоскости……………………………………………….
11
2.2. Положение прямой линии относительно плоскостей проекций ........................................………….......
12
2.3. Взаимное положение двух прямых на комплексном чертеже .,..........................……………..........:....
15
2.4. Построение на чертеже натуральной величины
отрезка прямой общего положения и углов на
клона прямой к. плоскостям проекций..........……....
17
2.5. Точка на прямой. Проецирование прямого угла.
Следы прямой………………………
19
3. Плоскость…………....…………...................................
22
3.1. Задание и изображение плоскости на чертеже..
22
3.2. Следы плоскости…………………………..
23
3.3. Взаимопринадлежность точки и прямой плоскости. Прямые особого положения……………......
24
3.4. Положение плоскостей относительно плоскостей
проекций.....………………….........…………….
29
3.5. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или двум плоскостям проекций ...............................................……………...........
33
3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей 34
3.7. Пересечение прямой линии с плоскостью общего
положения……………………………………..
36
3
133
3.8. Пересечение двух плоскостей общего положения
38
3.9. Построение линии пересечения двух плоскостей
по точкам пересечения прямых линий с плоскостью
39
4. Способы преобразования чертежа ……………………………
40
4.1 .Способ перемены плоскостей проекций ...............
40
4.1.1. Введение в систему H,V одной дополнительной
плоскости проекций…………………………………...,
41
4.1.2. Введение в систему H,V двух дополнительных
плоскостей проекций…………………………………..
43
4.2. Способ вращения вокруг оси перпендикулярной к
плоскости проекций.....……………..................................
45
4.2.1.Вращение вокруг заданной оси…………………………
45
4.2.2.Вращение вокруг выбранной оси..……………………..
46
4.3 .Способ параллельного перемещения...........…………......
49
5.Поверхность: определение, задание и изображение на чертеже .
Определитель поверхности. Принадлежность точки и линии поверхности. Построение линии пересечения поверхностей…………… …………………………………….....
52
5.1 .Гранные поверхности ...........……………................
55
5.2.Поверхности вращени.........……………............………..
58
5.3.Точка и линия на поверхности…………………….
60
5.4.Общие сведения о способах построения линии
взаимного пересечения поверхностей..........………….....
61
5.5.Пересечение поверхностей, когда одна из них прое
цирующая. .………………................................................
62
5.6.Способ вспомогательных секущих плоскостей..,
65
5.7. Способ вспомогательных секущих сфер с посто
янным центром.....................................……………………....
68
5.8.Некоторые особые случаи пересечения поверхностей.…………………………………………………………..
71
5.8.1, Пересечение поверхностей описанных вокруг одной сферы ...……………………...........................
71
6. Пересечение поверхности с плоскостями……………………
73
6.1.Общие сведения о пересечении поверхности с
плоскостью……………………………………………………….,
73
6.2.Пересечение пирамиды с плоскостью..,........……………....
73
6.3 .Пересечение призмы с плоскостью ................
75
6.4 .Пересечение цилиндра с плоскостью ,...,...,....
76
134
6.5.Пересечение конуса с плоскостью…………………....
78
6.6.Пересечение сферы с плоскостью..................
81
6.7.Пересечение тора с плоскостью,,.,,...,............
83
6.8.Примеры построения чертежей деталей, усечен
ных проецирующими плоскостями.........……………….....
85
7. Метрические задачи ……………………………………….
87
7.1. Определение действительной величины плоского
угла по его ортогональным проекциям……………………
88
7.2. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости,
перпендикулярность плоскостей .....................
91
7.2.1. Взаимно перпендикулярные прямые ……………………
..91
7,2.2,Взаимдо перпендикулярные прямые и плоскости…
.91
7.2.3.Взаимно перпендикулярные плоскости .....……………....
92
7.3. Определение действительной величины угла между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями...... ...........................…………………………......................
94
7.4. Параллельность прямых, прямой и плоскости, параллельность плоскостей....................…………………........ ..
96
7.4.1. Параллельные прямые,................………………............
96
7.4.2. Параллельность прямой и плоскости.,,.,,...,…………....
97
7.4.3. Параллельность плоскостей....................……………..
97
7.5. Определение действительной величины отрезка
по его ортогональным проекциям,,..,,,,,.,…………….......,,
98
7.6. Определение расстояния между точкой и прямой,
между двумя параллельными прямыми…………................ 100
7.7. Определение расстояния от точки до плоскости,
между плоскостями.........................………………............... 101
8. Развертки поверхностей, развертки гранных поверхностей и поверхностей вращения……………………… ... 103
8.1. Способ нормальных сечений......………….....................…. 103
8.2. Способ раскатки..………………………………………….. 105
8.3. Способ триангуляции…………….……………………….., , 106
9. Аксонометрические проекции.................………………......... 110
9.1. Общие, сведения.………………………………………....... 110
9.2. Показатели искажения.....................……………................. 111
9.3. Стандартные аксонометрические проекции.....…………..... 113
9,3.1 .Прямоугольная изометрическая проекция,,.....…………... 113
9.3.2. Прямоугольная диметрическая проекция......………......... 114
9.3.3. Косоугольные аксонометрические проекции.…....……... 115
135
9.4. Аксонометрические проекции окружности.....
9.4.1. Окружность в прямоугольной изометрии..……….…….
9.4.2. Окружность в прямоугольной диметрии......….…….…...
9.4.3. Окружность в косоугольной фронтальной иметрии…....
9.5 .Примеры построения стандартных аксонометрий….…
10 Машинная графика ....................…………………...................
Список литературы ………………………………………….,
116
116
118
120
120
126
131
Громова Людмила Валентиновна
Лазарева Любовь Михайловна
Мяленко Галина Матвеевна
Козлова Людмила Павловна
Скрынник Елизавета Владимировна
Начертательная геометрия
Краткий конспект лекций
Подписано к печати 27.11.2002г.
Объем 8,5 уч.- изд.л. Цена 34руб.
Тираж 1200 экз.
Заказ №237.Отпечатано на ризографе.
Кемеровский технологический институт пищевой
промышленности
650060, г. Кемерово,60, б-р Строителей ,47.
Отпечатано в лаборатории множительной техники
КемТИППа
650010, г. Кемерово, 10, ул. Красноармейская,52.