Расстояние между прямыми в пространстве. Определение. Расстоянием между двумя непересекающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым. Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться одним из приведенных ниже способов: 1. Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный обеим) и найти его длину. 2. Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от какой-нибудь точки второй прямой до построенной плоскости. 3. Заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные скрещивающиеся прямые, и найти расстояние между этими плоскостями. 4. Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию второй прямой. Призмы. Устно 1.В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми AB и CD1 D' C' A' B' Возможное решение: так как плоскость CDD1 , содержащая CD1 , параллельна AB , то расстояние между прямыми AB и CD1 равно AD 1 . D C A B 2. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми AB и B1 D1 D' C' A' B' D C A B 3. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 , ребра которого равны AB и C1 D1 Ответ: 2 2 , найдите расстояние между прямыми 4. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 , ребра которого равны AB и CB1 2 , найдите расстояние между прямыми D' Ответ:1 C' A' B' D C A B Работа в тетради 1. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и CB1 D' C' A' B' D C A B Решение. D1 C1 A1 B1 H P D A C O B Плоскость A1 DB , содержащая A1 B , параллельна B1C . Поэтому из любой точки прямой B1C опускаем перпендикуляр на плоскость A1 DB , находим расстояние HP . 1. A1 DB - равносторонний треугольник со стороной 2. 6 1 6 PO A1O 3 6 2 2 2. OH 2 A1O 3 1 1 2 3 3. PHO - прямоугольный: PH . Ответ: 3 2 6 6 3 2. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и AC D' C' A' B' D C A B Решение. D' C' A' B' Плоскость AD1C , содержащая прямую AC , параллельна A1 B . Продолжите построение: от любой точки прямой A1 B построить перпендикуляр на плоскость AD1C и найти его. Докажите, что ответ: D C A 3 . 3 B 3. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и AD1 Проведите решение самостоятельно и D' C' 3 докажите, что ответ: . 3 A' B' D C A B 4.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми CC1 и AB . C1 B1 A1 C B A Покажите, что ответ: 3 2 5. В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми CB1 и AB . C1 B1 A1 C B A Решение. C1 B1 M1 A1 H C B M A Плоскость CA1 B1 , содержащая прямую CB1 , параллельна прямой AB . Значит, искомое расстояние между прямыми CB1 и AB равно расстоянию между прямой AB и плоскостью CA1 B1 . Точка M - середина AB . MH A1CB1 . MH - искомое расстояние. 21 7 6.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BC и EE1 Вычисления проведите самостоятельно. Ответ: E1 Ответ: D1 3 C1 F1 A1 B1 E D C F A B 7. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB1 и C1 D1 E1 D1 Ответ: C1 3 2 F1 A1 B1 E D C F B A 8. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB1 и C1 D E1 D1 Ответ: C1 3 2 F1 A1 B1 E D C F B A 9. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB1 и CE1 E1 D1 C1 F1 A1 E B1 D C F A Решение. B E1 BC EC Ответ: 1 D1 C1 F1 A1 B1 E D C F B A 10. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB1 и DF1 Ответ: 1,5 E D 1 1 C1 F1 A1 E B1 D C F B A Домашнее задание. 1.В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и AC1 D' C' A' Ответ: 6 6 B' D C A B 2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 ...F1 , все ребра которой равны 1, 3 2 3.В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и B1 D1 найдите расстояние между прямыми BB1 и AD1 .Ответ: 3 3 Пирамиды. Устно Ответ: 1. В ABCDA1 B1C1 D1 , ребра которого равны DB1 D' 2 , найдите расстояние между прямыми AB и C' A' B' D C A B Решение. D' C' A' Ответ: 1 B' D C A B 2.В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и B1C1 Ответ: 1 C1 B1 A1 C B A 3.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 3 , найдите расстояние между прямыми BC и EF Ответ: 3 S D E C F B A Работа в тетради 1.В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние между прямыми AD и BC D E C A H B Решение. Точка H - середина ребра BC . Плоскость ADH BC EH BC . ADH - равнобедренный с основанием AD . Так как точка E - середина AD , то HE AD . HE - общий перпендикуляр к AD и BC . 3 2 2 1 HE AE , AH .Ответ: 2 2 2 2 2.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и AC . S D C A Решение. B Объясните, почему OH - искомое расстояние и найдите его. Ответ: 0,5 S D C H O A B 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и AD . S D C A B Решение. Почему MH - искомое расстояние? Вычислите его самостоятельно. 6 Ответ: 3 S D H M C N A B 4.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AF . S D E C F A Решение. B Прокомментируйте чертеж и вычислите расстояние. 3 Ответ: 2 S D E C O F H A B 5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AC . S Решение. Решите самостоятельно 3 Ответ: 4 D E C F A B Домашнее задание. 1. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и DF . S 3 3 Ответ: 4 D E C F A B 2.В пирамиде DABC известны длины ребер: AB AC DB DC 10 , BC DA 12 . Найдите расстояние между прямыми DA и BC .Ответ: 2 7 3.В тетраэдре ABCD известно, что AC BD 14, BC AD 13, AB CD 15 . Найдите расстояние между прямыми AC и BD .Ответ: 3 11 4.Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 8 3 , высота пирамиды DO 6 . Точки A1 ,C1 - середины ребер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA1 и AC1 Ответ: Самостоятельная работа Вариант 1 36 259 259 В правильном тетраэдре PABCD с ребром 1 точки M и K - середины ребер соответственно BP и CP , точка O - центр основания ABC . Найдите расстояние между 3 прямыми MK и OP .Ответ: 12 Вариант 2 В правильном тетраэдре PABCD с ребром 1 точки M и K - середины ребер соответственно BP и CP , точка O - центр основания ABC . Найдите расстояние между 2 прямыми MK и AB .Ответ: 2 Вариант 3 Дан единичный куб MNPQM 1 N1 P1Q1 . K - середина ребра N1 P1 . Найдите расстояние между прямыми QQ1 и M 1 K Ответ: 2 5 5 Вариант 4 Дан единичный куб MNPQM 1 N1 P1Q1 . K - середина ребра N1 P1 . Найдите расстояние между прямыми NP и MK Ответ: 2 2 Вариант 5 Дан единичный куб MNPQM 1 N1 P1Q1 . K - середина ребра N1 P1 . Найдите расстояние между прямыми NQ и MK Ответ: 2 17 17 Вариант 6 Дан единичный куб ABCDA1 B1C1 D1 . K - середина ребра B1C1 . Найдите расстояние между 2 5 5 Векторный метод решения. 1.Дан единичный куб ABCDA1 B1C1 D1 . Найти расстояние между диагональю куба BD1 и диагональю грани AB1 . прямыми DD1 и A1 K Ответ: Z X D' C' A' B' M N c D C a A b B Y Введем прямоугольную систему координат. Пусть MN - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD1 и AB1 . Искомое расстояние - MN . Пусть AD a , AB b , AA1 c , тогда a b c 1, a b a c b c 0 AB1 b c , D1 B a c b c a D1 M MN NA 0 MN yAB1 a xD1 B c MN y b c a x a c b c 1 x a x y b y x 1c MN AB1 0 Вектор MN AB1 и MN D1 B , поэтому имеем MN D1 B 0 Первое условие системы: 1 x a x y b y x 1c b c 0 x y b 2 y x 1c 2 0 1 x y y x 1 0 y 2 Второе условие системы: 1 x a x y b y x 1c a c b 0 1 x a 2 y x 1c 2 x y b 2 0 2 1 x y x 1 x y 0 x 3 2 1 2 1 2 MN 1 ; ; 1 3 2 3 2 3 1 1 1 MN ; ; 3 6 6 1 1 1 1 6 MN 9 36 36 6 6 2. Дан единичный куб ABCDA1 B1C1 D1 . K - середина ребра B1C1 . Найти расстояние между прямыми AK и BD . D' C' K A' B' K M D c C a A b N B Решение. MN - искомое расстояние 1 DB a b AK b a c ; xAK MN yDB b 0 2 1 1 MN b x b a c y a b x y a 1 x y b x c 2 2 1 x y a 1 x y b x c a b 0 2 1 x y a 1 x y b x c b 1 a c 0 2 2 2 1 2 1 x y a 1 x y b 0 x y 1 x y 0 2 2 ; 2 1 1 1 1 1 x y b x y a 2 xc 2 0 1 x y x y x 0 4 2 2 2 MN DB 0 M N A K 0 1 2 x 2y 1 0 9 1 x y 1 0 2 4 7 4 4 x 4y 2 x 4y 2 x 4 y 2 y 17 6 ; MN ; ; 17 17 17 9 x 2 y 4 0 94 y 2 2 y 4 0 34 y 14 0 x 6 17 2 2 2 68 2 17 4 4 6 MN . 289 17 17 17 17 3. Дан единичный куб MNPQM 1 N1 P1Q1 . K - середина ребра N1 P1 . Найти расстояние между прямыми QK и MP1 .Ответ:0