достоинство королей или Построение «иррациональных

1
Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2012
Точные науки (от 14 до 17 лет)
«Точность – достоинство королей
или
Построение «иррациональных» отрезков»
Автор: Саитгареева Алина, 15 лет
ученица 8 класса
Руководитель работы:
Баталова Оксана Владимировна,
учитель математики,
НРМОБУ «Сингапайская СОШ»
п. Сингапай Нефтеюганского района
ХМАО-Югра
2012 год
.
2
Введение
Актуальность. Как построить отрезок, длина которого выражена натуральным числом,
знает каждый ученик начальной школы. В средней школе с расширением понятия числа
возникает необходимость построения отрезков, длина которых выражена иррациональным
числом. В учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра – 8 класс» приведен пример построения
отрезка, длина которого равна √2. Способ же построения других «иррациональных» отрезков
(словосочетания «иррациональные отрезки» мы будем употреблять вместо фразы «отрезки,
длина которых выражена иррациональным числом») не был описан ни в учебнике алгебры,
ни в учебнике геометрии. Как, например, построить отрезок
АB длины √83? Можно
построить приближённо: АB≈9,1. Данный ответ не является точным, а проблема заключается
в построении «точного» отрезка длины √83 или любого другого отрезка, длина которого
выражена иррациональным числом.
Гипотеза: мы предполагаем, что можно найти и описать способы построения отрезков,
длина которых выражена иррациональным числом.
Цель: найти и описать способы построения отрезков, длина которых выражена
иррациональным числом.
Для реализации цели и проверки гипотезы мы поставили следующие задачи:
1.Изучить литературу по теме исследования.
2.Выявить различные способы построения отрезков.
3.Описать закономерности.
4. Провести эксперимент с целью апробации описанных способов построения отрезков среди
учащихся НРМОБУ «Сингапайская СОШ».
Методы: анализ, синтез, обобщение, эксперимент.
Теоретическая значимость работы: в работе описаны различные способы построения
отрезков, длина которых выражена иррациональным числом.
Практическая значимость работы: данные нашей работы можно применять при
возникновении
необходимости
в
построении
отрезков,
длина
которых
выражена
иррациональным числом.
Новизна: обобщены способы построения отрезков, длина которых выражена
иррациональным числом.
Глава I. Теоретическая часть
1. Что называется отрезком?
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих
между двумя данными ее точками, которые называются концами отрезка.
3
2. Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не
является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби
,
где m — целое число, n —натуральное число.
3. Построение отрезка, равного √2.
Пусть отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной которого служит единичный
отрезок (рис.1) Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат (рис.2). Из
рисунка 2 видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади единичного
квадрата. Значит, она равна 2. Так как отрезок ОК равен стороне нового квадрата, то длина
отрезка ОК равна числу, квадрат которого равен 2. При десятичном измерении отрезка ОК
получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Это
объясняется тем, что среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.
Рис.1
Рис.2
4. Построение прямоугольного треугольника.
Построение прямоугольного треугольника лучше всего начать с
построения прямого угла. Для этого построим две пересекающиеся
прямые. Возьмём прямую а и на ней точку М. На лучах прямой а,
исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. Затем
построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они
пересекаются в двух точках: P и Q. Проведём прямую QР через
точку М (см. рис. 3). Эта
прямая перпендикулярна к данной
Рис. 3
прямой а. Значит, угол PMB - прямой, а треугольник BMP –
прямоугольный.
Также в своей работе мы используем теорему о среднем пропорциональном отрезке:
высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее
пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
4
Глава II. Практическая часть
1. Построение «иррациональных» отрезков
На основе анализа литературы мы пришли к выводу о том, что иррациональные
отрезки проще всего строить, образуя прямоугольный треугольник. Для выявления
закономерностей нами была составлена таблица зависимости значения гипотенузы от длины
катетов. По вертикали и горизонтали в первой строчке и в первом столбике таблицы дана
длина катетов от 1 до 10, а на их пересечении - длина гипотенузы (Таблица №1). Мы взяли
такие значения катетов, потому что 1) данный интервал позволяет проследить некоторую
закономерность и 2) при этих значениях отрезок гипотенузы получается в пределах 14 см,
что легко изобразить в обычной школьной тетради.
Таблица№1. Таблица зависимости значения гипотенузы от длины катетов
Катеты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
√2
√5
√10 √17 √26 √37 √50 √65 √82
2
√5
√8
√13 √20 √29 √40 √53 √68 √85
3
√10 √13 √18 √25 √34 √45 √58 √73 √90
4
√17 √20 √25 √32 √41 √52 √65 √80 √97
5
√26 √29 √34
√41 √50 √61 √74 √89 √106
6
√37 √40 √45 √52 √61 √72 √85 √100 √117
7
√50 √53 √58 √65 √74 √85 √98 √113 √130
8
√65 √68 √73 √80 √89 √100 √113 √128 √145
9
√82 √85 √90 √97 √106 √117 √130 √145 √162
10
√101 √104 √109 √116 √125 √136 √149 √164 √181
10
√101
√104
√109
√116
√125
√136
√149
√164
√181
√200
Значения гипотенузы мы вычисляли по теореме Пифагора, а именно:
с=√А²-b², где А-гипотенуза; b,c-катеты
Чтобы вывести общую формулу по данной таблице, мы попытались изобразить
полученные значения на графике. Так как у нас три измерения (два катета и гипотенуза), две
из которых - независимые величины, а одна (гипотенуза) – зависимая, то графики следует
изобразить в пространстве. На оси абсцисс и ординат отложим значения катетов, а оси
аппликат – значения гипотенузы. В результате получим такой график:
5
По графику видно, что общий способ можно описать только для каждой строчки
таблицы.
- Для первой строчки применима формула А=n2 +1, где А – квадрат гипотенузы, 1 –
номер строки (один из катетов), а n – число, квадрат которого дополняет 1 до значения
квадрата гипотенузы. Например: 37=6²+1.
- Для второй строчки применима формула А=n2 +2², где А также квадрат гипотенузы, 2 –
номер строки (один из катетов), а n – число, квадрат которого дополняет 2² до значения
квадрата гипотенузы.
- Аналогично для третьей и к-той строки формулы А=n2 +3², А=n2 +к².
Таблица симметрична относительно серой диагональной линии, поэтому достаточно
рассматривать только одну её половину.
Итак, при построении отрезков, длина которых выражена иррациональным числом,
необходимо подобрать два числа, которые являются квадратами некоторых натуральных
чисел n и k, и в случае решения данной задачи числа n и k будут являться катетами
прямоугольного треугольника. Общую формулу определить не удается, так как мы имеем
дело с трёхмерной таблицей.
Однако не все числа можно представить в виде суммы квадратов натуральных чисел.
Второй способ построения отрезков иррациональной длины заключается в нахождении
квадрата натурального числа, получаемого при вычислении разности квадрата гипотенузы и
квадрата одного из катетов. Значение катета и гипотенузы выражены натуральными числами
от 1 до 20, что позволит найти и описать необходимые закономерности и изобразить данные
отрезки в тетради. Так как значение гипотенузы больше значения катета, то в таблице №2
синим цветом обозначены клеточки, в которых это условие не выполняется.
6
Таблица №2. Таблица зависимости значения одного из катетов от гипотенузы и длины другого катета
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Г
2
√3
К
А
Т
Е
Т
и
3
√8
√5
п
4
√15
√12
√7
о
5
√24
√21
√16
√9
6
√35
√32
√27
√20
√11
т
7
√48
√45
√40
√33
√24
√13
е
8
√63
√50
√55
√48
√39
√28
√15
9
√80
√77
√72
√65
√56
√45
√32
√17
н
10
√99
√96
√91
√84
√75
√64
√51
√36
√19
у
11
√120
√117
√112
√105
√96
√85
√72
√57
√40
√21
12
√143
√140
√135
√128
√119
√108
√95
√80
√63
√44
√23
з
13
√168
√165
√160
√153
√144
√133
√120
√105
√88
√69
√48
√25
а
14
√195
√194
√189
√182
√173
√162
√149
√132
√117
√98
√77
√54
√27
15
√224
√221
√216
√209
√200
√189
√176
√161
√144
√125
√104
√81
√56
√29
16
√255
√252
√247
√240
√231
√220
√207
√192
√175
√156
√135
√112
√87
√60
√31
17
√288
√285
√280
√273
√264
√253
√240
√225
√208
√289
√161
√145
√120
√93
√64
√33
18
√323
√320
√315
√308
√299
√288
√275
√260
√243
√224
√203
√180
√155
√128
√99
√68
√35
19
√360
√357
√352
√245
√336
√325
√312
√297
√280
√261
√240
√217
√192
√165
√136
√105
√72
√37
20
√399
√396
√391
√384
√375
√364
√351
√336
√319
√300
√279
√256
√231
√204
√175
√144
√111
√76
√39
7
Значения второго катета мы вычисляли по теореме Пифагора, а именно:
с=
A 2  b 2 , где А-гипотенуза; b,c-катеты
Выпишем в отдельную таблицу числа от 2 до 200 и зачеркнём те из них, которые попали
в таблицу №1 и №2 или значения корней которых равны целому числу. Таким образом,
получим числа, для которых не указан способ построения отрезков данной длины.
Таблица №3. Таблица чисел от 2 до 200.
√11
√21
√31
√41
√51
√61
√71
√81
√91
√101
√111
√121
√131
√141
√151
√161
√171
√181
√191
√2
√12
√22
√32
√42
√52
√62
√72
√82
√92
√102
√112
√122
√132
√142
√152
√162
√172
√182
√192
√3
√13
√23
√33
√43
√53
√63
√73
√83
√93
√103
√113
√123
√133
√143
√153
√163
√173
√183
√193
√4
√14
√24
√34
√44
√54
√64
√74
√84
√94
√104
√114
√124
√134
√144
√154
√164
√174
√184
√194
√5
√15
√25
√35
√45
√55
√65
√75
√85
√95
√105
√115
√125
√135
√145
√155
√165
√175
√185
√195
√6
√16
√26
√36
√46
√56
√66
√76
√86
√96
√106
√116
√126
√136
√146
√156
√166
√176
√186
√196
√7
√17
√27
√37
√47
√57
√67
√77
√87
√97
√107
√117
√127
√137
√147
√157
√167
√177
√187
√197
√8
√18
√28
√38
√48
√58
√68
√78
√88
√98
√108
√118
√128
√138
√148
√158
√168
√178
√188
√198
√9
√19
√29
√39
√49
√59
√69
√79
√89
√99
√109
√119
√129
√139
√149
√159
√169
√179
√189
√199
√10
√20
√30
√40
√50
√60
√70
√80
√90
√100
√110
√120
√130
√140
√150
√160
√170
√180
√190
√200
Таблица№4. Числа, не вошедшие в таблицу №1 и №2
√6
√66
√102
√126
√147
√167
√187
√14
√67
√103
√127
√148
√170
√188
√22
√70
√107
√129
√150
√171
√190
√30
√71
√110
√131
√151
√172
√191
√38
√78
√111
√134
√152
√174
√193
√42
√79
√114
√137
√154
√177
√197
√43
√83
√115
√138
√157
√178
√198
√46
√86
√118
√139
√158
√179
√199
√47
√92
√122
√131
√159
√183
√59
√94
√123
√142
√163
√184
√62
√124
√146
√166
√185
√186
Анализируя данные числа, мы пришли к выводу о том, что отрезки данной длины
невозможно построить с помощью предложенных выше способов.
Для построения некоторых из них используем теорему о среднем пропорциональном.
Чтобы построить отрезок, равный
6=
6 , разложим число 6 на два множителя: 2 и 3. Тогда
2  3 . Начертим прямую и от точки А, принадлежащей этой прямой, отложим в разные
8
стороны отрезки длины 2 и 3. Найдём центр этого отрезка для построения окружности
радиуса 5:2=2,5. Из точки А восстановим перпендикуляр к данной прямой и найдём точку
пересечения этого перпендикуляра с окружностью. По теореме о среднем пропорциональном
отрезок АВ равен
6.
Аналогичным способом можно построить отрезок
14 =
22 =
30 =
38 =
42 =
46 =
62 =
66 =
70 =
78 =
92 =
72
102 = 6  17
152 = 8  19
11 2
65
2  19
14  3
2  23
31 2
6  11
35  2
39  2
46  2
110 = 11 10
5  23
154 = 11 14
170 = 17  10
171 = 9  19
174 = 29  6
2  61
184 = 23  8
4  31
186 = 6  31
21 6
187 = 11 17
6  23
21 7
190 = 19  10
198 = 6  33
111 =
114 =
115 =
122 =
124 =
126 =
138 =
147 =
150 =
3  37
6  19
15  10
Таблица№5. Числа, которые неудобно построить в тетради, используя теорему о среднем
пропорциональном, так как среди них есть простые и числа, один из множителей которых
представлен достаточно большим числом.
√43
√47
√59
√83
√86
√94
√118 √123 √127 √129 √131 √134 √137
√139
√142 √146 √148
√151 √157 √158 √159 √163 √167 √166
√172
√177 √178 √179
√183 √185 √188
√67
√71
√79
√103 √107
√191 √193 √197 √199
Для чисел из таблицы мы можем предложить следующий способ построения отрезков
данной длины.
Для построения, например, отрезка, равного √43, необходимо:
1. Определить два слагаемых, сумма которых равна 43, при этом одно из них должно
быть
квадратом ближайшего к 43 числа с недостатком. По теореме Пифагора
получим:
43 = 36  7 = 6 2 
 7
2
.
2. Далее на одной из сторон прямого угла отложить катет, равный 6. На другой стороне
необходимо отложить отрезок, равный
7.
3. Ищем способ, как легче построить 7 . Можно использовать теорему о среднем
пропорциональным представив число 7 в виде двух множителей 1 и 7. Однако
8
удобней использовать теорему Пифагора, представив число 7 в виде разности
7 = 4 2  32 .
квадрата гипотенузы и катета:
4. Для этих построений используем дополнительный чертёж, на котором указанным
выше способом по гипотенузе и катету находим отрезок равный, равный
7.
5. С помощью циркуля отмечаем отрезок, равный 7 , на другой стороне прямого угла.
Проводим гипотенузу, которая в нашем случае равна
43 .
Аналогичный способом можно построить любой отрезок, длина которого выражена
иррациональным числом.
2. Эксперимент
На следующем этапе перед нами стояла задача экспериментально проверить
эффективность описанных выше способов построения «иррациональных» отрезков.
Для этого мы решили провести эксперимент в два этапа:
- на первом этапе пригласить способных к занятием математикой учащихся 8-10 классов
НРМОБУ
«Сингапайская
СОШ»
и,
не
объясняя
способов
построения
отрезков
«иррациональных» отрезков, предложить выполнить заданные построения;
- на втором этапе предоставить информацию по результатам исследовательской работы и
повторить задание.
В эксперименте приняли участие 12 человек, из которых 7 человек (4 девочки и 3
мальчиков) из 8-х классов и 5 человек (4 девочки и 1 мальчик) из 10 класса.
Начальный этап состоялся 10 февраля 2012 года. Каждому ученику предлагалось решить
3 задания с помощью циркуля и линейки:
1. Построить отрезок, равный 5 см.
2. Построить отрезок, равный
2.
3. Построить отрезок, равный
43 .
Результат 1 этапа:
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Имя Ф.
Миша Н.
Полина М.
Антон Ш.
Женя Д.
Дима С.
Вероника С.
Полина Ш.
Альбина С.
Артём Б.
Диана С.
Класс
8а
8а
8а
8а
8а
8б
8б
10
10
10
Пол
м
ж
м
ж
м
ж
ж
ж
м
ж
1 задание
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2 задание
+
+
-
3 задание
+
-
9
Лена Д.
Надя Т.
11
12
ж
ж
10
10
* + - задание выполнено полностью,
+
+
+
+
- - задание не выполнено
С 1 заданием справились все, построить
2 смогли 3 человека из 10 класса, а
43
построили 2 десятиклассника: Артём и Надя. Построение заняло у них примерно 15-20
минут.
Повторный этап эксперимента состоялся 5 апреля 2012, на котором присутствовали все
ученики, принимавшие участие в начальном этапе эксперимента. В начале всем была
предложена презентация различных способов построения «иррациональных» отрезков с
помощью циркуля и линейки, после чего каждому ученику предлагалось решить 4 задания:
1. Построить отрезок, равный
14 .
2. Построить отрезок, равный
85 .
3. Построить отрезок, равный
27 .
4. Построить отрезок, равный
46 .
Результат 2 этапа:
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Имя Ф.
Класс
Пол
1 задание
2 задание
3 задание
4 задание
Миша Н.
8а
м
+
+
+
+
Полина М.
8а
ж
+
+
Антон Ш.
8а
м
+
+
+
+
Женя Д.
8а
ж
Дима С.
8а
м
Вероника С.
8б
ж
+
+
Полина Ш.
8б
ж
+
+
+
Альбина С.
10
ж
+
+
+
+
Артём Б.
10
м
+
+
+
+
Диана С.
10
ж
+
+
+
+
Лена Д.
10
ж
+
+
+
+
Надя Т.
10
ж
+
+
+
+
Первое задание все успешно решили, применив теорему о среднем пропорциональном.
Второе задание решили все, представив подкоренное выражение в виде суммы полных
квадратов двух катетов (теорема Пифагора), третье задание решили двумя способами: 4
человека, применив теорему Пифагора, рассмотрев гипотенузу и катет 3 человека,
представив число
27
в виде
52 
 2
2
и выполнив дополнительное построение. С
четвертым заданием справились 8 человек.
Заключение
10
Вывод. В ходе исследовательской работы мы описали следующие способы построения
отрезков, длина которых выражена иррациональным числом:
 представить число в виде суммы полных квадратов (два катета и использовать
теорему Пифагора);
 представить число в виде разности полных квадратов (гипотенуза и катет и
использовать теорему Пифагора);
 разложить
число
на
два
множителя
(использовать
теорему
о
среднем
пропорциональном);
 определить два слагаемых так, чтобы одно из них было квадратом ближайшего к
данному иррациональному числу числа с недостатком и построить дополнительный
чертёж два второго слагаемого, используя при этом любой из вышеперечисленных
способов.
Таким образом, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.
Перспективы работы. В ходе данного исследования мы столкнулись с проблемой
точного построения отрезков, длина которых
связанна с числом
.
Решению этого
вопроса будет посвящено наше следующее исследование.
Рекомендации по использованию результатов работы.
Данная работа может быть полезна:
 ученикам, увлекающимся математикой;
 учителям математики;
 а также другим людям, желающим «ум в порядок привести», поскольку в работе
приведена некоторая система рассуждений при построении отрезков, длина которых
выражена иррациональным числом.
Список использованной литературы
1. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Ю. Н. Макарычев, Н.
Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова: под ред. С. А. Теляковского.- 18-е изд. - М.:
«Просвещение», 2010.- 271 с., с. 64.
2. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, В. Ф.
Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-19-е изд. - М.: «Просвещение», 2009.-384 с., с. 47; с.148.
3. Геометрия 10-11. Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, В. Ф.
Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-20-е изд. - М.: «Просвещение», 2011.-225 с., с. 103.
11
4. Иррациональное число. Википедия
http://ru.wikipedia.org/wiki/%C8%F0%F0%E0%F6%E8%EE%ED%E0%EB%FC%ED%EE%
E5_%F7%E8%F1%EB%EE (Дата: 12.10.2011)
5. Исследование в психологии: методы и планирование / Дж. Гудвин. — 3-е изд. —СПб.:
Питер, 2004. — 558 с: ил. — (Серия «Мастера психологии»).
6. Основы геометрии. http://www.terver.ru/otrezok.php (Дата: 09.10.2011)
7. Среднее геометрическое. Википедия
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%F0%E5%E4%ED%E5%E5_%E3%E5%EE%EC%E5%F2
%F0%E8%F7%E5%F1%EA%EE%E5 (Дата: 17.12.2011)
8. Толковый словарь. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И., Федин Н.Г.
9. Что такое квадратный корень http://www.egesdam.ru/page260.php (Дата: 12.10.2011)
10. Я познаю мир. Детская энциклопедия. Математика. Сост. А. Савин, В. Станцо, А.
Котова, Изд-во: АСТ, Серия: Я познаю мир; 2008 г., 469 с.