eivax

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК.
На правах рукописи.
ИВАНЧЕНКО ЕВГЕНИЙ СЕРГЕЕВИЧ.
ПРЕЦИЗИОННЫЕ МОДЕЛИ УДАРНЫХ
АДИАБАТ И БАЗА ТЕФИС.
Специальность 05.13.18 – математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ.
Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук.
Научный руководитель:
Доктор физико-математических наук,
Член-корреспондент РАН
Н.Н. Калиткин.
Москва 2008
Иванченко Е.С.
2
Черновик.
Иванченко Е.С.
Оглавление
Оглавление .................................................................................................................................... 3
Глава 1.
Введение...................................................................................................................... 7
Параграф 1.
Возникновение задачи. ................................................................................... 7
Параграф 2.
Методики проведения экспериментов. ........................................................ 8
Смещение поршня. ............................................................................................................... 8
Алмазные наковальни (АН). ................................................................................................. 9
Изоэнтропическое сжатие. ................................................................................................. 10
Атомные пучки (АП). ........................................................................................................... 10
Ударные сжатия. ................................................................................................................. 11
Метод торможения. ............................................................................................................ 12
Метод 𝛄-репера [16]. .......................................................................................................... 12
Метод отражения. ............................................................................................................... 13
Сравнительная сжимаемость. ............................................................................................ 13
Двукратное ударное сжатие. ............................................................................................. 15
Уравнение состояния. ......................................................................................................... 16
Параграф 3.
Проблема анализа точности. ........................................................................ 16
Параграф 4.
Знакомство с базой ТЕФИС............................................................................ 17
Глава 2.
Термодинамика в базе ТЕФИС. ............................................................................... 21
Параграф 1.
Используемые модели. ................................................................................. 21
Параграф 2.
Модель Томаса-Ферми с квантовой и обменной поправками. ................ 22
Модель Томаса-Ферми. ...................................................................................................... 22
Квантово-статистическая модель (КСM). .......................................................................... 24
Решение. .............................................................................................................................. 28
Смеси элементов. ................................................................................................................ 29
Параграф 3.
Модель ионизационного равновесия. ........................................................ 29
3
Черновик.
Иванченко Е.С.
Флуктуирующее микрополе ............................................................................................... 29
Модель Хольцмарка и ее уточнения. ................................................................................ 30
Обобщенные уравнения Саха с учетом вырождения. ..................................................... 32
Термодинамические функции. .......................................................................................... 34
Параграф 4.
Глава 3.
Квазизонная интерполяция. ......................................................................... 36
Ударные адиабаты.................................................................................................... 40
Параграф 1.
Ударные адиабаты......................................................................................... 40
Параграф 2.
Квантово статистические ударные адиабаты. ............................................ 50
Параграф 3.
Расчет квантово-статистических ударных адиабат в пористых веществах.
51
Параграф 4.
Оценка экспериментальных данных. .......................................................... 51
Параграф 5.
Широкодиапазонные ударные адиабаты. .................................................. 52
Параграф 6.
Широкодиапазонные ударные адиабаты в пористых веществах. ............ 56
Глава 4.
Оценка экспериментальной точности. ................................................................... 59
Параграф 1.
Введение......................................................................................................... 59
Параграф 2.
Статистическая обработка............................................................................. 59
Параграф 3.
Метод повышения точности. ........................................................................ 64
Глава 5.
Архитектура комплекса. ........................................................................................... 67
Параграф 1.
Общая архитектура комплекса. .................................................................... 67
Параграф 2.
База данных. ................................................................................................... 68
Выбор базы. ......................................................................................................................... 69
Схема базы данных. ............................................................................................................ 70
Параграф 3.
Пользовательский интерфейс....................................................................... 73
Графический интерфейс. .................................................................................................... 73
Программный интерфейс. .................................................................................................. 77
Параграф 4.
Реализации моделей. .................................................................................... 78
Заключение. ................................................................................................................................. 80
Опубликованная литература. ..................................................................................................... 81
4
Черновик.
Иванченко Е.С.
Список литературы ...................................................................................................................... 82
Приложение................................................................................................................................. 88
5
Черновик.
Иванченко Е.С.
6
Черновик.
Иванченко Е.С.
Глава 1.
Введение.
Equation Chapter (Next) Section 1Возникновение задачи.
В середине прошлого столетия перед учеными было поставлено множество новых задач,
одна из которых – создание ядерного оружия, что было немыслимо без математического
моделирования. Эти задачи, помимо широчайшего спектра проблем так же потребовали
знания о поведении веществ в условиях, где давления и температуры достигают
фантастических величин. Для нахождения ответов на возникающие вопросы было
построено достаточное количество моделей, большинство из которых если и были
адекватны, то только в очень узком диапазоне интересующих условий. Естественно, что
сами по себе все эти модели были бы бессмысленны без сравнений с экспериментами,
что собственно и осуществлялось. Было проведено огромное количество
экспериментальных исследований по ударным сжатиям широкого ряда различных
веществ. Все это позволяло более детально понимать суть происходящих процессов.
Приобретенные знания так же позволили глубже проникнуть в суть процессов,
происходящих в недрах звезд и планет. И если большинство изучаемых астрофизикой и
физикой планет объектов находятся вне досягаемости человека, то, по крайней мере,
один из них – Земля – это тот объект, знания о котором человечеству необходимы. И
действительно, понимание процессов происходящих в недрах нашей планеты
необходимы для изучения движения материков, смещений магнитных полюсов, и
многого другого.
Стоит лишь добавить, что подобные условия встречаются еще и в ряде других процессов:
так, при сильноточных разрядах в плотных газах или электрическом взрыве проволочек
нередки температуры в 2—3 эВ и выше. Такие же температуры возникают в газах, сжатых
мощными взрывчатыми веществами. Ударные волны от мощных взрывчаток в твердых
телах создают давления до 10 Мбар, а при ударах космических пылинок об экраны — до
50 Мбар. Под действием лазерного излучения температуры в веществе достигают сотен
эВ, а давления – десятков и сотен мегабар. На практике ударные волны в десятки и МБар
используются в импульсных генераторах сильных магнитных полей и токов.
Современное изучение сложных объектов и явлений, подобных упомянутых выше, в
большой мере основано на методах математического моделирования. При этом
процессы в объекте описываются уравнениями магнитной гидродинамики,
теплопроводности, переноса фотонов или частиц и т. п.; эти уравнения численно
решаются на ЭВМ. Для правильного применения этого метода надо с хорошей точностью
7
Черновик.
Иванченко Е.С.
знать разнообразные свойства веществ, которые являются коэффициентами этих
уравнений: термодинамические функции, проводимость, теплопроводность, газовую,
электронную и ионную вязкости, коэффициенты диффузии разных сортов частиц, пробеги
фотонов, коэффициенты обмена энергией между компонентами смеси и ряд других.
Важно заметить, что требуются широкодиапазонные данные о свойствах веществ! В
принципе их следует получать экспериментальными или теоретическими методами.
Однако в экстремальных состояниях эксперименты очень трудны, а строгие теории не
удается создать. Поэтому свойства веществ приходится находить также методом
математического моделирования, т. е. строить более или менее полные модели.
Совершенно естественно, что все эти теории и модели потребовали проведения
огромного количества экспериментов для выяснения их адекватности по достаточно
представительному набору контрольных экспериментов. К настоящему времени
существует целый ряд моделей, с различной точностью описывающих поведение веществ
в различных диапазонах [1] условий
К сожалению, для некоторых диапазонов адекватных моделей до сих пор построить не
удается, а именно – для диапазонов малых давлений и температур. В этих условиях
основным источником знаний были и остаются эксперименты.
Проверка адекватности является ключевым звеном методологии математического
моделирования. Без такой проверки само построение модели является лишь
схоластическим упражнением, не представляющим серьезного физического интереса,
поскольку остается невыясненным, справедлива ли модель.
Параграф 2.
Методики проведения экспериментов.
Смещение поршня.
Первые эксперименты по изучению поведения веществ в условиях высоких давлений
были статическими: в них исследовалась изотермическая сжимаемость. Систематическое
изучение сжимаемости твердых тел методом смещения поршня предпринял Бриджмен
[1]. Исследуемое вещество помещалось в стальную трубу и сжималось вдвигаемыми в
нее поршнями (для хорошего прилегания образца к стенкам использовалась пластическая
«рубашка»). По смещению поршня находилось изменение объема, а по прилагаемой силе
— давление.
Так были измерены сжимаемости нескольких десятков элементов и соединений до
давлений 50—100 кБар и обнаружено много фазовых переходов I рода. Однако точность
экспериментов была низкой: приходилось вносить большие поправки на недостаточно
8
Черновик.
Иванченко Е.С.
известную сжимаемость трубки, поршней и «рубашки» и на трение поршней. Зачастую
измерения, выполненные на другой установке, давали сильно отличающиеся результаты
Позже был разработан многопуансонный метод «пояса Белла», позволивший достичь
давлений 0,5 Мбар. Однако удовлетворительной точности измерений не удалось
добиться.
Недавно предложен перспективный способ обработки
искусственно введенных скоростных переменных [2]:
D
P    0 
P
, U
0    0 
0
таких
экспериментов
в
(1.1)
Трафики сжимаемости в переменных D (и) становятся практически прямолинейными. Это
позволяет сгладить случайные ошибки методом наименьших квадратов (но, разумеется,
не устраняет систематических ошибок).
Сейчас методом смещения поршня при давлениях до 10 Кбар достигнута хорошая
точность и получены (для легко сжимаемых веществ) справочные данные. Это изотермы,
обычно соответствующие комнатной температуре; имеются измерения и при нескольких
сотнях градусов. Однако в диапазоне 10—100 Кбар точность остается невысокой,
справочных данных фактически нет, а имеющимися надо пользоваться с осторожностью.
Алмазные наковальни (АН).
В последнее десятилетие при статических сжатиях удалось получить гораздо большие
103 мм3 между миниатюрными
давления, помещая крупинку образца объемом
алмазными наконечниками [3]. Из-за хрупкости алмаза регулярные измерения ведут до
0,2—0,4 Мбар; но в отдельных опытах давления превышали 1 Мбар и приближались к
пределу текучести алмаза (~3 Мбар).
Давление в методе АН измеряют с точностью 1—4% по сдвигу флуоресцентной линии
рубинового индикатора, градуированному в ударно-волновых экспериментах. Труднее
измерить плотность сжатого образца.
Существует визуальный способ — образец наблюдают в микроскоп сквозь алмаз и
непосредственно измеряют его размеры. Однако из-за малых размеров образца
погрешность этого способа превышает 10% при Р~1 Мбар. Кроме того, эти измерения
можно начинать только с давлений ~10 кбар, когда образец хорошо заполнит «рубашку».
Надо знать плотность при этом давлении, а она не всегда хорошо известна.
Гораздо лучшую точность дает определение постоянных кристаллической решетки
образца с помощью рентгеновского или синхротронного излучения. Оно требует сложной
9
Черновик.
Иванченко Е.С.
аппаратуры и огромных времен экспозиции ~100 ч (увеличивать интенсивность излучения
опасно, образец может нагреться). Но можно добиться очень коротких экспозиций, если
регистрировать рассеянный свет в режиме счета отдельных квантов с помощью
координатно-чувствительных детекторов на основе микроканальных пластин [4]. Это
представляется
наиболее
перспективным
способом
постановки
высокоавтоматизированного эксперимента.
Статистическую обработку данных в методе АН также целесообразно проводить в
переменных (1.1). Пример обработки изотерм 5 К для водорода и дейтерия [5] приведен
на При давлении 70 Кбар для водорода и 100 Кбар для дейтерия видны изломы,
характерные для фазовых переходов II рода (хотя не исключена систематическая ошибка
эксперимента, например измерение разных частей кривой на разных образцах). На
исходных кривых P    заметить излом невозможно из-за разброса экспериментальных
точек [6].
Метод АН наиболее перспективен для изучения сжатий до 0,5 Мбар. Он позволяет
измерять изотермы до T~1000°С. Однако пока измерения проведены лишь для отдельных
веществ.
Изоэнтропическое сжатие.
Практический предел статическим сжатиям ставит прочность конструкционных
материалов. В описанных далее импульсных экспериментах прочность материалов не
играет роли, но кратность ударного сжатия не может превышать 5—6 раз. Поэтому
интересны импульсные безударные (изоэнтропические) сжатия, где оба ограничения
отпадают. Нагрев вещества при этом невелик.
Изоэнтропическое сжатие удалось осуществить, заключая исследуемое вещество в
металлическую капсулу и сжимая ее кумулятивным взрывом [7]. Такие эксперименты
позволили сжать твердый водород примерно в 20 раз при давлениях ~8 Мбар, что далеко
превосходит возможности других методов.
Эти эксперименты очень трудны и вряд ли станут массовыми. Диагностика их косвенная;
непосредственно измеряют лишь размер капсулы, а давление рассчитывают на основе
магнитогидродинамических уравнении, описывающих взаимодействие капсулы и
продуктов взрыва. Поэтому точность вычисления давлений и плотностей невелика, о ней
можно судить по заметному расхождению разных обработок одних и тех же измерений.
Атомные пучки (АП).
Сильное сжатие, т. е. тесное сближение атомов, традиционными методами
осуществлялось в макроскопических объемах. Однако такое же сближение легко
10
Черновик.
Иванченко Е.С.
реализуется в экспериментах по рассеянию быстрого пучка нейтральных атомов (E~1 кэВ)
на газовой мишени. При углах рассеяния 103  101 рад энергии парного взаимодействия
составляют 0,1—10 эВ, что эквивалентно давлению вещества 1—1000 Мбар [8]. Этому
методу посвящена одна из статей данного сборника.
Перечислим кратко основные идеи. Измеряя дифференциальное и интегральное сечения
рассеяния, можно (решая обратную задачу рассеяния) восстановить потенциал парного
взаимодействия атомов U(R). Ранее ошибка нахождения потенциала достигала 50%, что
было неудовлетворительно. Недавно удалось настолько усовершенствовать эксперимент
и методику его обработки, что ошибка упала до 2—5%.
Взаимодействие атомов в конденсированном веществе не является, вообще говоря,
парным. Однако для атомов с замкнутыми электронными оболочками в диапазоне
давлений 0,1—100 Мбар представляется разумной гипотеза ограниченной аддитивности:
соседние атомы взаимодействуют с парным потенциалом u(R), а не контактирующие
атомы не взаимодействуют. Тогда энергия (на атом) и давление холодного сжатия равны
E
1
E
u  R j , P  

2 j
V
(1.2)
где суммирование проводится по первой координационной сфере.
Кривые холодного сжатия (1.2) хорошо согласуются при давлениях 0,1—1 Мбар с
измерениями методами смещения поршня и алмазных наковален, а при 100 Мбар — с
наиболее надежными из теоретических моделей, описанных выше. Это подтверждает
гипотезу ограниченной аддитивности и позволяет доверять найденным кривым в
диапазоне 1—100 Мбар.
Правда, высказывались мнения о важной роли неаддитивности в этом диапазоне [9]. Но
они были основаны на использовании устаревших данных о парных потенциалах; их
большая систематическая погрешность принималась за вклад неаддитивности.
Методом атомных пучков найдены кривые холодного сжатия всех благородных газов,
водорода и некоторых других газов.
Ударные сжатия.
Взрывчатые вещества создают давления до 0,5 Мбар. Разгоняя металлическую пластину
продуктами взрыва, можно получить давление 5—10 Мбар при ее ударе о другое
вещество. В сверхсильных взрывах достигаются давления в сотни Мбар [10], [11], [12],
[13], [14], [15], [16]. Однако, в отличие от статических сжатий, здесь состояния вещества
лежат не на изотерме, а на ударной адиабате и характеризуются сильным нагревом.
11
Черновик.
Иванченко Е.С.
Если измерено начальное состояние вещества, скорость распространения ударной волны
D и массовая скорость вещества за фронтом волны u, то из законов сохранения массы,
импульса и энергии можно найти следующие параметры ударно-сжатого вещества:

0 D
D u
, P  P0  0 Du, E  E0 
1 1 
1
 P  P0    
2
  0 
(1.3)
т.е. получить одну точку ударной адиабаты.
Проводя измерения для ударных волн разной интенсивности, получают ударную
адиабату. Построение этой кривой облегчается наличием эмпирической закономерности:
зависимость скоростей практически прямолинейна D  c0  su , если отсутствуют фазовые
переходы (наличие фазовых переходов II рода приводит к изломам, а I рода — к
разрывам).
Скорость D измеряют непосредственно, регистрируя прохождение ударной волны через
разные слои образца с помощью электро-контактных или оптических датчиков. Массовую
скорость найти сложнее, для этого предложен ряд способов.
Метод торможения.
Ударник и мишень изготавливают из исследуемого вещества. Скорость полета ударника
измеряют датчиками, а массовая скорость после соударения и точно равна половине
скорости ударника. Этот метод основан на первых принципах и позволяет произвести
абсолютные измерения ударной сжимаемости.
Метод торможения используют для изучения веществ, выбранных в качестве эталонов.
Он позволил достичь давлений 5—10 Мбар для тяжелых металлов и 1—2 Мбар для
легких. Точность измерения скоростей доходит до 0,5—1%, поэтому погрешность
вычисления плотности по формуле (1.3) невелика при малых сжатиях, но существенно
возрастает при многократных сжатиях.
Давления, получаемые в методе торможения, слишком малы и не достигают нижней
границы применимости теоретических моделей. Следовательно, эти данные, несмотря на
их высокую надежность, не позволяют проверить модели.
Метод 𝛄-репера [16].
В исследуемое вещество запрессованы тонкие прослойки  -активного вещества. Датчики
регистрируют прохождение этих прослоек мимо коллимирующих щелей. Тем самым
непосредственно измеряется u. Метод основан на первых принципах и применим при
любых давлениях.
12
Черновик.
Иванченко Е.С.
Этим методом проведены измерения для Al при давлениях выше 10 Мбар. Пока
погрешности измерения скоростей в них составляют 2—3%, что приводит к 7—10%-ным
погрешностям плотностей. Это заметно больше, чем расхождения различных
теоретических моделей. Эти данные не позволяют проверить модели.
Метод отражения.
В этом методе измеряется не только скорость ударной волны, но в двух контактирующих
веществах: эталона ( D1 ) и исследуемого ( D2 ). Если известно уравнение состояния
эталона, то можно, решая газодинамическую задачу распада разрыва, вычислить по этим
двум скоростям величину u в образце.
Обычно для эталонного вещества неизвестно уравнение состояния, но надежно измерена
(например, методом торможения) ударная адиабата. Тогда в области, близкой к ударной
адиабате, строят приближенное уравнение состояния на основании модельных
теоретических соображений. Если состояние эталона при распаде разрыва мало
отклоняется от ударной адиабаты, эти модельные соображения приводят лишь к
небольшим поправкам и можно пренебречь их неопределенностью. Когда же модельные
поправки велики, то расчет скорости u становится ненадежным. Поэтому при давлениях
меньше 2 Мбар этот метод обычно дает хорошие результаты, около 5 Мбар —
удовлетворительные и выше 10 Мбар — плохие.
У этого метода есть разновидность — метод обратного отражения (метод разгрузки),
когда ударная волна проходит из исследуемого вещества в эталонное. Частный его случай
— разгрузка в вакуум; при этом регистрируется скорость разлета свободной поверхности
uсв при выходе на нее ударной волны. Для слабых волн u  12 uсв .
Метод отражения и его варианты являются основными, используемыми для массовых
измерений. На их основе созданы надежные справочные таблицы ударных адиабат для
нескольких сотен веществ, сплошных и пористых, в диапазоне давлений до 1—5 Мбар
[17], [18]. Однако этот диапазон непригоден для проверки моделей, хотя очень ценен для
построения интерполяционных уравнении состояния.
Сравнительная сжимаемость.
Существуют измерения по методу отражения при давлениях в десятки и сотни мегабар
[11], [12], [13], [14], [15], [16]; такие эксперименты называют измерениями сравнительной
сжимаемости. В этих условиях модельные поправки при описанном выше традиционном
способе обработке экспериментов настолько велики, что использование разных
модельных уравнений состояния эталона приводит к сильно различающимся ударным
адиабатам образца. Это означает, что результаты обработки фактически недостоверны, т.
13
Черновик.
Иванченко Е.С.
е. эксперименты по сравнительной сжимаемости не дают абсолютной информации об
ударной адиабате образца.
Однако диапазон давлений этих экспериментов особенно ценен для сравнения моделей,
тем более что точность измерения скоростей доходит до 0,5—1,0%. Поэтому был
предложен новый способ интерпретации таких экспериментов — метод сравнения
скоростей [2], заключающийся в следующем.
Зададим уравнения состояния обоих контактирующих веществ согласно проверяемой
теоретической модели. По экспериментальной скорости волны в первом веществе D1 и
данным уравнениям состояния решим задачу распада разрыва; при этом вычислим
скорость волны во втором веществе D2 . Сравним вычисленное значение D2 с
экспериментально измеренным. Если расхождение не превышает погрешности
эксперимента, то проверяемая модель не противоречит данному опыту; если заметно
превышает — то противоречит.
Рисунок 1.1 Прохождение слоев ударной волной.
Такое заключение о локальной адекватности исследуемой модели (т. е.
непротиворечивости данному эксперименту) основано только на первых принципах и
является бесспорным.
Разумеется, локальная адекватность необходима, но недостаточна. Для каждой пары
веществ надо проверить модель в широком диапазоне давлений, т. е. при разных
скоростях ударных волн. Такая проверка облегчается эмпирической закономерностью [2]:
для каждой пары зависимость D2  D1  практически линейна при отсутствии фазовых
переходов. Это позволяет производить статистическую обработку экспериментальных
графиков, что эквивалентно уменьшению случайной погрешности скоростей (реально до
0,3—0,7%).
14
Черновик.
Иванченко Е.С.
Затем надо проверить модель для возможно большего набора пар веществ. Если модель
не противоречит ни одному из экспериментов этой совокупности, ее можно считать
адекватной в целом.
Если же модель заметно противоречит каким-то экспериментам, это позволяет либо
очертить границы ее применимости, либо вообще отвергнуть эту модель.
Замечания.
1. В методе сравнения скоростей нет эталона и образца, оба вещества равноправны.
Это позволяет рекомендовать схему последовательного расположения минимум
трех веществ с регистрацией скоростей D1 , D2 , D3 Рисунок 1.1. Тогда по скорости
D2 можно вычислить D1 и D3 , решая задачи распада разрыва на обоих контактах.
Можно делать и более длинные цепочки, не ухудшая достоверности
интерпретации (при традиционном способе обработки это невозможно).
Это позволяет из одной экспериментальной сборки получать несколько
проверяемых соотношений. При уникальности подобных опытов такая экономия
существенна.
2. Метод сравнения скоростей не позволяет непосредственно найти абсолютное
положение ударных адиабат в отдельных экспериментах. Но если какая-то модель
оказалась адекватной в целом, то ее уравнение состояния и ударные адиабаты
можно принять для описания всех экспериментов (разумеется, при экстремальных
условиях).
3. В последние годы давления 20—100 Мбар реализованы при фокусировке
лазерного луча на микроскопических сборках [19]. Однако точность измерений
скоростей не превышает 3—5%. Отличие же скоростей, предсказываемых разными
моделями, нередко составляет 1—2%. Поэтому лазерные эксперименты пока
бесполезны для проверки моделей (обратное утверждение в [20] основано на
нереалистичных оценках).
Двукратное ударное сжатие.
Известно, что кратность ударного сжатия не может превышать  max 
 1
, где  —
 1
показатель политропы. Для большинства сплошных конденсированных веществ
 max  4  6 . Более высокие плотности можно получить при двукратном ударном сжатии;
такие эксперименты проводят в последние годы для легко сжимаемых веществ; жидкие
водород и гелий и т. п. [21], [22].
Обычно используют схему эксперимента, изображенную на Рисунок 1.1. Исследуемое
легкое вещество помещают между двумя тяжелыми эталонными. В каждом слое
регистрируют скорость ударной волны, последовательно проходящей все три слоя. На
границе 1-2 при распаде вправо идет ударная волна, влево — волна разгрузки. Зная
15
Черновик.
Иванченко Е.С.
величины D1 и D2 и уравнение состояния левого эталона, можно определить состояние
образца в ударной волне по методу отражения. При распаде разрыва на границе 2—3 в
обе стороны идут ударные волны, и образец повторно сжимается отраженной ударной
волной. Зная свойства правого эталона, можно рассчитать параметры этой ударной волны
методом обратного отражения.
Метод двукратного ударного сжатия в принципе позволяет сжать конденсированное
вещество в 20—30 раз. Однако этот метод использует модельные предположения о
свойствах эталонов и сложные расчеты; результаты чувствительны к погрешностям
измерения скоростей. Это приводит к существенному ухудшению точности. Поэтому пока
данные, полученные этим методом, уступают по точности результатам статических сжатий
на алмазных наковальнях и не превосходят их по степени сжатия.
Уравнение состояния.
Кривые холодного сжатия или ударные адиабаты — лишь отдельные линии в плоскости
T ,  . Однако статическими методами выполняют измерения даже при сравнительно
высоких температурах. Тем самым можно экспериментально получить семейство
изотерм, т. е. найти уравнение состояния в диапазоне T<1500.К и P<1-ЗМбар [23]. Однако
эта очень трудная работа не привлекает исследователей.
Имеются возможности для выхода за границы указанной области. Для многих веществ
измерены ударные адиабаты при разных начальных плотностях (например, для
сплошного вещества и порошков разной пористости). Известен метод обработки таких
экспериментальных данных [24], основанный на первых принципах бел использования
модельных соображений и позволяющий рассчитать уравнение состояния. В том
диапазоне температур и плотностей, где выполнено достаточное количество надежных
ударных измерений, это уравнение состояния будет иметь хорошую точность.
Экстраполяция за пределы этой области приводит к быстрому ухудшению точности; но
большой участок кривой холодного сжатия удается получить достаточно надежно.
Таким методом были построены уравнения состояния отдельных веществ [25]. К
сожалению, этот способ почти не используется, несмотря на его теоретические
преимущества и наличие обширного экспериментального материала в [17], [18].
Параграф 3.
Проблема анализа точности.
Из сказанного выше следует, что для проверки моделей наиболее ценны следующие
эксперименты. Для конденсированных газов это холодное сжатие на алмазных
наковальнях и, в меньшей мере, изоэнтропическое сжатие и двукратное ударное сжатие.
Для тяжелых твердых тел это эксперименты по сравнительному ударному сжатию.
Наконец, это кривые холодного сжатия, полученные методом молекулярных пучков
16
Черновик.
Иванченко Е.С.
Основной проблемой экспериментов является не только цена и сложность – но так же – я
бы так сказал: неточность получаемых результатов.
Все это приводит к тому, что из-за цены и сложности невозможно несколько раз
повторить один и тот же эксперимент при тех же самых условиях и, как положено,
усреднить результаты, оценить точность и т.п.
Для примера на графике приведен участок ударной адиабаты для меди, с пористостью
единица. Видно, что разброс экспериментальных данных огромен, и по этому облаку
затруднительно что либо сказать об общем поведении кривой.
Таким образом, появляется двоякая задача – эксперименты нужны и для верификации
различных моделей, но с другой стороны необходимо каким-то образом контролировать
точность самих экспериментальных данных.
Для решения этой проблемы может быть предложено два основных направления:
1. Оценка точности на основе совокупной обработки экспериментальных данных.
Другими словами – статистический анализ точности эксперимента на основе
массива уже имеющихся данных.
2. Вычисление точности проведенного эксперимента на основе сверки с моделью,
для которой заранее известно, что она адекватно описывает исследуемый
диапазон.
Однако гораздо более выгодно использовать объединение этих подходов.
Необходимо строить метод анализа точности на основе как модельных расчетов (для тех
областей в которых мало точек) так и по совокупной обработке экспериментальных
данных.
Собственно отсюда вытекает постановка задачи:
Первое - нам необходимо построить модели, позволяющие с хорошей точностью
описывать как можно более широкий диапазон условий.
Второе - нам нужны методы, позволяющие проводить склейку теоретически рассчитанных
кривых с результатами экспериментов.
И наконец, нам необходимо создать хранилище, где могли бы храниться результаты
экспериментов.
Параграф 4.
Знакомство с базой ТЕФИС.
Стоит отметить, что создание подобных баз данных было важной задачей, которой
уделяется серьезное внимание большинством исследователей.
17
Черновик.
Иванченко Е.С.
Исторически впервые задачи по исследованию поведений веществ в экстремальных
условиях были поставлены в США, там начиная с 1945, в лабораториях Лос Аламоса [26]
начались проводиться эксперименты по ударным сжатиям.
Конечным итогом любых экспериментов является обработка полученных результатов.
Изначально каждое подразделение проводило исследования, опираясь только на свои
данные, что приводило к существенным различиям в характеристиках веществ,
полученных разными лабораториями. И основной причиной этих разногласий были не
систематические погрешности, а именно относительная узость исследуемого диапазона.
Например на Рисунок 1.2 приведен участок ударной волны меди. Из предоставленных
данных становится совершенно неочевидным более широкодиапазонное поведение
адиабаты. Для преодоления этой проблемы в лабораториях Ливермора в 1949 под
руководством Эдварда Теллера [27] была заложена база данных по теплофизическим
свойствам веществ, получившая название СЕЗАМ. В эту базу вошли многолетние
результаты работ Лос Аламоса [18], Ливермора [17], и лабораторий военно-морского
флота САНТИЯ.
На сегодняшний день это наверняка крупнейшая база данных, но есть одна загвоздка:
большая часть данных сосредоточена в закрытой части этой базы, к которой естественно
мы доступа не имеем. Помимо закрытой части СЕЗАМ содержит так же и открытую часть,
в которой содержится множество экспериментальных данных и огромное количество
модельных предположений. Однако в открытой части содержится достаточно большое
количество неточностей, и подчас даже противоречивых данных (Возможно внесенных
туда специально).
Cu
21
20
D км/с
19
18
17
16
15
14
7
8
9
U км/с
10
11
12
Рисунок 1.2 Участок ударной адиабаты меди.
18
Черновик.
Иванченко Е.С.
Параллельно с исследованиями в США, в СССР начиная 1946 года, в ядерном центре в
Сарове (известным так же как Арзамас-16) при содействии таких выдающихся ученых как
А.Д. Сахаров, Д.А. Франк-Каменецкий, Е.И. Забабахин, в своем роде лидеров новой
научной дисциплины – физики высоких плотностей, были также основаны лаборатории
по исследованиям поведений веществ в экстремальных состояниях. За более чем
полувековую историю у нас было проведено огромное количество экспериментов. В свою
очередь в Сарове, под руководством Альтшулера [28] началось создание собственного
объединенного компендиума [29].
Важно заметить, что результаты работ отечественных и западных ученых не
взаимоисключающие, так как разные лаборатории проводили эксперименты для разных
начальных условий, для разных веществ с различными пористостями. И если принять во
внимание что на сегодняшний день имеются результаты для сжатия более чем 670
веществ, то тридцать тысяч экспериментов не покажутся таким уж большим количеством.
Соответственно возникает важная задача объединения всех доступных источников в
единую базу данных, специально предназначенную для упрощения их последующей
обработки.
Создание подобной базы – это весьма трудоемкий проект. Одной из таких реализаций
является база данных Института Теплофизики Экстремальных Состояний [30]. В эту базу
уже включена большая часть данных из большинства упомянутых ранее источников.
Однако при проведении сверок с последними редакциями оригинальных компендиумов
выяснилось наличие пробелов в данных, ошибок и просто опечаток. Подобного рода
недочеты могут влиять на результаты последующих обработок.
Ударно волновой раздел базы ТЕФИС включил в себя все доступные на сегодняшний день
компендиумы, устранив недочеты базы ИТЭС, позволяя вести расчеты в широчайшем
диапазоне условий для огромного количества веществ.
Для создания ударно-волнового раздела базы ТЕФИС так же широко использовалась база
данных Института Теплофизики Экстремальных Состояний [30], в этом хранилище уже
собрана большая часть информации из приведенных ранее источников. Однако, при
проведении сверок с последними изданиями оригинальных компендиумов, выяснилось,
что в базе данных ИТЭС присутствуют пробелы в данных, некоторые неточности и
опечатки. При занесении данных в ТЕФИС эти недостатки были устранены. Для полного
составления этого раздела в рамках этой работы потребовалось перевести несколько
десятков тысяч точек из различных форматов и носителей (в том числе и бумажных [29],
[31], [32] и [33]) в строго определенный формат базы данных ТЕФИС, который был
разработан мною специально под эти нужды. Таким образом, на сегодняшний день в
19
Черновик.
Иванченко Е.С.
базе описано порядка 670 материалов, для которых имеется чуть больше 23000
экспериментальных точек.
Как я уже упоминал, помимо значимого раздела с экспериментальными данными, ТЕФИС
включает в себя не менее важный раздел, посвященный модельным расчетам,
применимым для вычисления широко ряда характеристик веществ, таких как
термодинамические функций, ударные адиабаты и другие характерные кривые, а также
таблицы электронно-транспортных коэффициентов. Но самое главное, это то, что ТЕФИС
это единая интегрированная система, позволяющая вести расчеты, не основанные не
только экспериментальных данных, но и на основе высокоточных моделей. Для этого
предусмотрена интерфейсная часть, из которой возможно проводить выборку данных по
различным критериям, также, предусмотрена возможность добавления новых данных,
как новых материалов, так и экспериментальных данных.
В дополнение к экспериментальным данным база ТЕФИС содержит также таблицы с
уровнями ионизации, необходимые для работы моделей ионизационного равновесия.
20
Черновик.
Иванченко Е.С.
Глава 2.
Термодинамика в базе ТЕФИС.
Equation Chapter (Next) Section 1Используемые модели.
Эта глава имеет в основном справочный характер, в поверхностном изложении описывая
модели, используемые в комплексе ТЕФИС для расчета термодинамики. Смысл главы –
ответить на возможные вопросы о применимости результатов и об источниках
термодинамических величин, используемых для построения широкодиапазонных
ударных адиабат.
Как уже отмечалось во введении, до сих пор не создано математических моделей
адекватно описывающих термодинамику во всем интересующем диапазоне. Существует
целый арсенал математических моделей, с разной степенью адекватности позволяющие
описать ту или иную область на плоскости температура-давление. Подробное сравнение
этих моделей дано в [34]. Для расчета термодинамики в базе ТЕФИС нами реализован
целый набор моделей.
В области, где давление сказывается сильнее температуры, нами выбрана разновидность
квантово-статистической модели – модель Томаса-Ферми с квантовой и обменной
поправками [34], [35], [36], [37], [38], [39] и [40]. Подробнее об этой модели будет
рассказано в Параграф 2.
В областях же где давление играет существенно меньшую роль, чем температура,
используется усовершенствованная в [41], [42], [43], [44], [45], [46], [47] при выполнении
работы над диссертацией Козлитина И. А. [48] специально для ТЕФИС модель
ионизационного равновесия [49], [50]. В Параграф 3 дано описание этой модели.
Гораздо сложнее дело обстоит с областью, где давление и температура играют примерно
одинаковые роли – это зона так называемых квазизонных эффектов. Рассуждение об этой
модели дано в Параграф 4
Схематически диапазоны применения моделей изображены на (Рисунок 2.1).
21
Черновик.
Иванченко Е.С.
Рисунок 2.1 Диапазоны применимости моделей в базе ТЕФИС
Итак, перейдем к описанию самих моделей.
Параграф 2. Модель
поправками.
Томаса-Ферми
с
квантовой
и
обменной
Модель Томаса-Ферми.
Модель Томаса-Ферми (ТФ) первоначально была сформулирована для нулевой
температуры, а в 1948 г. обобщена Фейнманом, Метрополисом и Теллером на
произвольные температуры. Она учитывает неоднородность электронного газа в
самосогласованном сферически-симметричном поле U (r ) . Предполагается, что
электроны образуют квазиклассический газ, фазовая плотность которого в каждой точке
имеет фермиевское распределение:
2 
    
f ( p) 
1  exp 

3 
(2) 
 T 
1
(2.1)
Где,

1 2
p  U (r )
2
(2.2)
есть энергия электрона в самосогласованном поле. Такое предположение игнорирует
оболочечную структуру связанных электронов, т.е. оно эквивалентно гипотезе о полном
«размазывании» оболочек.
Интегрируя распределение (2.1) по импульсам, получим плотность электронов в данной
точке ячейки:
22
Черновик.
Иванченко Е.С.

 (r )  4  f (r , p) p 2 dp 
0
 U (r )   
T 3/2 I1/2 


T


2
2
(2.3)
Самосогласованное поле по своему определению должно подчиняться уравнению
Пуассона; поскольку заряд электрона e0  1 , оно имеет вид
U  4 (r ) 
 U (r )   
T 3/2 I1/2 


T


4 2
(2.4)
Граничные условия для этого уравнения принимают форму
rU (r ) |r 0  Z ,
dU
dr
 0,
U ( R)  0
(2.5)
r R
Они обеспечивают соответственно переход самосогласованного поля в поле ядра вблизи
последнего, электронейтральность атома и правильный выбор начала отсчета
потенциала. Все термодинамические величины выражаются через электронную
плотность. Например, давление, как и для ОЭГ,
P
2 2 5/2   
T I 3/2  
3 2
T 
(2.6)
Доказано, что давление, энергия и энтропия в модели ТФ удовлетворяют всем
термодинамическим соотношениям точно, несмотря на приближенный характер модели.
Такие модели будем называть согласованными.
Нетрудно видеть, что (2.4)(2.5) есть задача на собственное значение для нелинейного
обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка (ОДУ-2), где собственным
значением является  . Она имеет единственное решение. Если вычислять его
алгоритмами общего назначения, то модель ТФ окажется быстрой. Но уравнения (2.4)
(2.5) имеют подобие по Z . Вместо давления P , энергии E , энтропии S , температуры
T , объема V , химического потенциала  для конкретного элемента подставим в них
нормированные величины
P / Z 10/3 , E / Z 7/3 , S / Z ,  / Z 4/3 , T / Z 4/3 , Z , V ;
тогда из уравнений и граничных условий исчезает Z , т.е. они перейдут в уравнения для
водорода.
Это позволило один раз рассчитать таблицы термодинамических функций для Z  1 и
затем пользоваться ими для любого элемента (расчеты таких таблиц провел Лэттер (1955
г.)); сами таблицы не публиковались, и были доступны лишь графики Такое вычисление
23
Черновик.
Иванченко Е.С.
интерполяцией по таблицам является сверхбыстрым алгоритмом (правда, неудобным в
качестве подпрограммы из-за большого объема таблиц.
Точки, соединенные тонкими линиями, экспериментальные данные; жирные точки 
модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера (МХФС); кружки  модель" Хартри;
жирные кривые статистические модели
Представление о точности модели ТФ дает
показаны теоретические и
экспериментальные зависимости атомных объемов от Z при фиксированном давлении и
нулевой температуре. Отклонение модели ТФ от эксперимента имеет две составляющие:
осциллирующую по Z и монотонную. Первая связана с неучетом оболочечной структуры;
вторая, гораздо бóльшая,  с использованием нулевого квазиклассического приближения.
Величины обеих составляющих убывают с ростом давления. Теоретические оценки и
экспериментальные данные показывают, что монотонная составляющая холодного
давления примерно равна
1/5
 P / PТФ  0.18PТФ
(T  0);
(2.7)
амплитуда осциллирующей составляющей вдвое меньше. Это означает, что при
P  1а.е.  300 Мбар модель ТФ завышает холодное давление в среднем на 20% (для
разных элементов  от 10 до 30%). Заметим, что при P  0 модель ТФ дает объемы
V ( Z )   ; в этой модели не существует холодного несжатого твердого тела, что является
качественным недостатком модели.
Для газоплазменного состояния картина аналогична. Правда, при ненулевых
температурах нет простых оценок границ применимости модели ТФ. Для монотонной
составляющей отклонения можно получить теоретическую оценку
 P / PТФ  2.1PТФT 3 (V  )
(2.8)
Но здесь осциллирующая составляющая может стать заметно большей, особенно при
малых плотностях.
Ранее модель ТФ широко использовалась в газодинамических приложениях. Сейчас она
практически вытеснена описанной ниже моделью ТФП.
Квантово-статистическая модель (КСM).
Модель ТФ недостаточно хороша не только количественно, но и качественно. В частности,
в ней вещество не бывает конденсированным, ибо не учитываются обменные силы,
которые в основном определяют конденсацию. Для устранения этого и других
недостатков вводились разные поправки: Амальди, Дирака (модель ТФД), Вейцзеккера.
24
Черновик.
Иванченко Е.С.
Наиболее удачным оказалось одновременное введение так называемых квантовой и
обменной поправок.
Модель ТФ можно формально вывести из квантово-механических уравнений
Хартри заменой оператора импульсов pˆ  i  на скаляр, что эквивалентно нулевому
приближению квазиклассики. Построим более точное первое квазиклассическое
приближение, причем для более полных уравнений Хартри-Фока (ХФ), учитывающих
обмен.
Для этого учтем отличие оператора p̂ от скаляра в первом приближении теории
возмущений по технике, развитой Д.А. Киржницем (1957 г.). Это эквивалентно
разложению операторных квантово-механических выражений по степеням
его к выражению свободной энергии
1
F   Sp ˆ  TSp  ln 1  ˆ    Sp(Wˆ ˆ )
2

 

ˆ  1  exp Hˆ   / T
1
2
. Применим
(2.9)
где Ĥ  гамильтониан, Ŵ  оператор обмена, а взятие шпура включает интегрирование
по координатам и импульсам и суммирование по проекциям спинов электронов.
Ограничиваясь членами O( 2 ) , получим квантово-статистическую свободную энергию
F  Fk  Fp  Fq  Fex ;
Fp  
Fq  
Fex  
2
2
2
24 2
3
2

2
T
5/2

 dr  (r ) I
T 3/2  dr I1/2 ( )[U (r )  Z / r ],
2
2
Fk 
T
3/2
 dr[2 I 
1/2

T
2
 dr  [ I 
1/2
1/2
2

( )  I 3/2 ( )  ,
3

(2.10)
 ( )( ) ],
( )  I1/2
2
( )]d .

Здесь Fk и Fp  кинетический и потенциальный квазиклассические члены; их выражения
совпадают с моделью ТФ. Квантовая поправка к кинетическому члену Fq связана с
отличием p̂ от скаляра. Обменная поправка Fex получается при вычислении обменного
члена из (2.9) в квазиклассическом приближении. Самосогласованный потенциал
выражается через электронную плотность:
U (r ) 
Z
 (r)

dr
r
| r  r |
(2.11)
25
Черновик.
Иванченко Е.С.
а также связан с ней соотношением
 (r ) 
2

2
T 3/2 I1/2 ( (r )),
 (r ) 
1
[U ( r )   ]
T
(2.12)
Химический потенциал определяется из условия нормировки
  ( r ) dr  Z
(2.13)
Свободная энергия есть термодинамический потенциал относительно переменных
T , V , Z . Формулы (2.10)-(2.13) определяют ее как функционал от электронной плотности.
Минимизируя этот функционал по вариации  ( r ) , или, что то же самое, по вариации  ( r )
, получим уравнение для электронной плотности:
 ( ) ( ) 2 I1/2
 ( )
 I1/2
2T


 T  (r )  U (r ) 
I  ( )  
 ( )
 ( )
12 I1/2
24 I1/2
 1/2
(2.14)
Первые два члена в левой части образуют квантовую поправку к уравнению ТФ, а
последний является обменным потенциалом. (При T  0 он переходит в известную
обменную поправку Слэтера). Граничное условие для сферически-симметричной
электронейтральной ячейки радиуса R также найдем минимизацией функционала (2.10)
по вариации  ( R) ; оно имеет вид ( )r  R  0 . Существуют также формулы для
несферической атомной ячейки.
Затем, дифференцируя (2.10) по V и T , получим выражения давления, энтропии и
энергии, точно удовлетворяющие всем термодинамическим соотношениям. Например,
давление
P  Pk  Pex  Pq ,
Pex  
Pq  
Pk 
2 2 5/2
T I 3/2 (  / T ) ,
3 2
 /T

2T 2 

 ( )]2 d  ,
I
(

/
T
)
I
(

/
T
)

[ I1/2
1/2
3  1/2

 


2
12
2
(2.15)
 ( ) / I1/2
 ( ) r  R
T 3/2  I1/2 ( ) I1/2
состоит из кинетического, обменного и квантового слагаемых; выражение последнего
можно приближенно упростить с помощью квазиклассического соотношения (2.16).


 ( R)  4 2T /  I1/2 (  / T )
(2.16)
26
Черновик.
Иванченко Е.С.
Такой способ построения согласованных моделей сжатого горячего вещества из
функционала термодинамического потенциала, впервые проведенный Калиткиным (1968
г.), сейчас стал общепринятым.
Математически система (2.11), (2.12), (2.14) образует интегродифференциальное
уравнение. Оно сводится к нелинейному очень плохо обусловленному
дифференциальному уравнению 4-го порядка. С учетом краевых условий для него
ставится задача на собственные значения. Численное ее решение общим методом
дополненного вектора является сравнительно медленным алгоритмом; но для нее
разработан и специальный быстрый алгоритм.
Численные расчеты по этой модели были проведены только для T  0 Калиткиным и
Кузьминой (1969г.). Были вычислены кривые холодного сжатия P( R) выборочно для 22
элементов периодической системы в диапазоне 1  Z  100 (полные таблицы этих
расчетов не публиковались). При P  1 а.е. результаты близки к модели ТФ. При малых
давлениях имеются существенные отличия; в частности, в КСМ существует холодное
несжатое вещество, т.е. P( R) обращается в 0 при конечном R , зависящем от Z .
На рис.3 показаны кривые атомных объемов для КСМ при T  0 и 3-х различных
давлениях. В этой модели зависимость объема от Z монотонная, так что она не может
передать осцилляции периодической системы. Однако видно, что при P  0 кривая КСМ
является хорошим осреднением осцилляций; она существенно лучше модели ТФД,
учитывающей лишь обменную поправку. С повышением давления различие между этими
моделями быстро уменьшается.
В описанной выше модели КСМ отсутствует подобие по Z ; поэтому расчеты приходится
проводить для каждого элемента. Но существует другой вариант  так называемая
модель ТФ с квантовыми и обменными поправками (ТФП), которая основана на
выделении всех поправочных членов в отдельное уравнение, она предложена
Киржницем (1957 г.). Теоретически она менее совершенна, но дает почти такие же
значения термодинамических величин и обладает подобием по Z . Для поправок к
термодинамическим функциям безразмерными являются величины
DP / Z 8/3 ,
DE / Z 5/3 ,
DS / Z 1/3 ,
D / Z 2/3
Остальные величины нормируются согласно модели ТФ. Полные величины для
произвольного Z формируются через стандартные таблицы для водорода ( Z  1)
следующим образом:
27
Черновик.
Иванченко Е.С.
PТФП ( Z )  Z 10/3 PТФ ( Z  1)  Z 8/3 DP(Z  1),
EТФП ( Z )  Z 7/3 EТФ (Z  1)  Z 5/3 DE (Z  1) и т.п.
(2.17)
Таблицы термодинамических функций ТФП для Z  1 были рассчитаны Калиткиным и
Кузьминой (1975 г.); они содержат таблицы модели ТФ и таблицы квантово-обменных
поправок к ним.
Первые таблицы соответствуют рис.2, а представление о таблицах поправок дает рис.4.
Расчет для вещества с любым Z по указанным таблицам с помощью подобия можно
рассматривать как сверхбыстрый алгоритм.
Характер погрешности модели КСМТФП виден из рис.3. По сравнению с моделью ТФ
исчезла монотонная составляющая ошибки; отсюда следует, что квантовые и обменные
поправки порядка 4 и выше уже не требуется учитывать (сравнение с моделью ТФД, где
введена только обменная поправка, показывает необходимость учета квантовой
2
поправки
, хотя вклад последней в термодинамику в 2-3 раза меньше обмена).
Сохранилась осциллирующая составляющая ошибки, связанная с игнорированием
оболочечной структуры; при T  0 она значительно меньше монотонной составляющей.
Поэтому модель КСМТФП обеспечивает хорошую точность для нулевой температуры
уже при P  300 Мбар. Правда, для разреженного вещества осциллирующая
составляющая превосходит монотонную, так что в плазменной области модель ТФП
немногим лучше ТФ.
Благодаря своей простоте и неплохой точности вариант модели ТФП широко используется
в современных газодинамических приложениях.
Решение.
Как уже отмечалось решение модели ТФП – достаточно сложная задача с вычислительной
точки зрения, и для преодоления вычислительных сложностей активно используются
заранее просчитанные таблицы [32] для водорода (Z=1) на заранее определенной сетке
[51]. Прецизионное интерполирование табулированных значений термодинамических
величин – так же достаточно важная задача для получения прецизионных ударных
адиабат. Подробно методе двойного периода рассказывается в . Именно этот метод
позволяет получать точные аппроксимации термодинамических величин в комплексе
ТЕФИС. Так же используется подобие модели по атомарному номеру Z, что позволяет
использовать заранее просчитанные таблицы для водорода для любого заранее
определенного вещества.
28
Черновик.
Иванченко Е.С.
Смеси элементов.
В предыдущих разделах этого параграфа была описана модель Томаса-Ферми с квантовой
и обменной поправками исключительно для совокупности одинаковых атомов, т.е. для
элемента. Пусть вещество является смесью элементов с атомными номерами Z j , весами
A j и относительными концентрациями x j . Тогда в статистических моделях обычно
используют приближение усредненного элемента. Считают вещество одним элементом с
характеристиками
Z   xjZ j ,
A   x j Aj ,
 x
j
 1
(2.18)
при этом V  средний объем на одну тяжелую частицу, а R  радиус соответствующей
сферы. Усредненный атомный номер Z (2.18) может при этом быть нецелым числом.
Такое приближение позволяет пользоваться достаточно простыми уже существующими
программами расчета электронных компонент.
Параграф 3.
Модель ионизационного равновесия.
Флуктуирующее микрополе
Каждая заряженная частица в плазме создает вокруг себя электрическое поле. Суммарное
поле всех заряженных частиц называют плазменным микрополем. Из-за хаотического
движения зарядов это поле будет флуктуирующим. Микрополе определяет многие
свойства плазмы: ширины спектральных линий и порогов фотоэффекта, заселенность
уровней и т.п. Поэтому аккуратное нахождение функции распределения микрополя p( E )
весьма важно.
Первое выражение для функции распределения микрополя получено Хольцмарком [52].
Оно использовало гипотезу невзаимодействия зарядов, что естественно при высоких
температурах. Это распределение разумно согласовывалось с экспериментами по
оптическим свойствам разреженной плазмы [53]. Поэтому его не подвергали сомнению.
Однако оставался незамеченным серьезнейший недостаток распределения Хольцмарка.
Оно имеет асимптотику p( E )
E 5/2 при E   . Поэтому плотность энергии микрополя
 E 2  оказывается бесконечной, что физически недопустимо.
Для плотной плазмы начинает сказываться взаимодействие зарядов. Было разработано
много моделей учета взаимодействия [54], [55], [56], [57], [58], [59]. Были и прямые
расчеты методом молекулярной динамики [55], [56], [57], [58], [59], которые теоретики
считают наиболее надежными. Однако все эти подходы также давали медленно
затухающую асимптотику p( E ) , т.е. бесконечную энергию микрополя.
29
Черновик.
Иванченко Е.С.
Кроме того, все эти модели весьма сложны, а их уравнения явно неразрешимы. Они
требуют трудоемких численных расчетов для каждого состава плазмы и внешних условий,
а ответ имеет форму численных таблиц. Это серьезно затрудняет практическое
использование таких моделей.
Единственным исключением является модель простых гармонических осцилляторов (SHO
- Simple Harmonic Oscillators), разработанная для сверхплотной плазмы [59]. В ней p( E )
экспоненциально затухает при E   и энергия поля конечна. Но эта модель во-первых
неприменима к плазме меньших плотностей. Во-вторых, в формулы SHO входит пробный
заряд z0 , в окрестности которого ищется микрополе. Если z0  0 , то характерная
напряженность E0   , что физически бессмысленно.
Модель Хольцмарка и ее уточнения.
Первой моделью микрополя была модель Хольцмарка [52]. В ней частицы плазмы
движутся свободно и некоррелированно. Все конфигурации частиц плазмы считаются
равновероятными и вносят одинаковый вклад в распределение микрополя.
В общем случае вероятность того, что напряженность электрического поля в начале
координат находится в интервале E , E + dE , определяется соотношением
N
rj
j 1
rj3
W0 (E)   ...  (E   E j ) P(r1 , r2 ,..., rN )dr1dr2 ...drN , E j   z j
,
(2.19)
где N - число частиц, z j - заряд частицы, а P(r1 , r2 ,..., rN ) - вероятность реализации
конфигурации, задаваемой радиус-векторами r1 , r2 , r3 ,..., rN . В модели Хольцмарка все
конфигурации равновероятны, поэтому P(r1 , r2 ,..., rN )  V  N , где V - объем системы. Без
ограничения общности можно выбрать V  1. Тогда для случая модели Хольцмарка (2.19)
примет вид:
N
W0 (E)   ...  (E   E j )dr1dr2 ...drN .
(2.20)
j 1
Интеграл (2.20) зависит только от
E . Поэтому можно говорить о плотности
распределения вероятности для модуля микрополя
W ( E )  4 E 2W0 (E).
(2.21)
30
Черновик.
Иванченко Е.С.
Функция W ( E ) вычисляется переходом к преобразованию Фурье в (2.20) и последующим
выполнении обратного преобразования [53]. В итоге получается следующее выражение
для W ( E ) :
W ( E )  Eh1 H (  ),
(2.22)
где   E / Eh - безразмерная напряженность поля и
H ( ) 
2


  exp( x3/2 ) sin(  x) xdx
(2.23)
0
- распределение Хольцмарка.
Масштаб хольцмарковского микрополя Eh вычисляется следующим образом:
 8 
Eh   
 25 
1/3
zh
,
R2
(2.24)
где

zh    x j z j
 j
3/2



2/3
(2.25)
- хольцмаковский заряд. Здесь R  (3 / (4 N ))1/3 - межчастичное расстояние, z j - заряд
частиц j - того сорта, а x j - их концентрация. В сумму (2.25) логично включить и
электроны, так как при расчете микрополя необходимо учитывать влияние всех
заряженных частиц.
Традиционно считается, что приближение Хольцмарка верно для горячей разреженной
плазмы. Это подтверждается оптическими экспериментами по определению спектра
такой плазмы. Модель Хольцмарка дает правильную величину полуширины спектральных
линий. Это значит, что район максимума микрополя передается в этой модели разумно.
Асимптотическое поведение распределения Хольцмарка при больших напряженностях
микрополя неверно, так как большие поля соответствуют близким пролетам частиц, а в
этом случае считать движение частиц некоррелированным и пренебрегать их
взаимодействием уже нельзя. К сожалению, оптические эксперименты не позволяют
выяснить правильную асимптотику распределения микрополя, так как «хвосту»
распределения микрополя соответствуют «крылья» спектральных линий, форму которых
определить затруднительно, поскольку они сливаются с непрерывным фоном.
31
Черновик.
Иванченко Е.С.
Другой серьезной проблемой модели Хольцмарка является бесконечность плотности
энергии. Распределение (2.23) убывает как E 5/2 , поэтому у него не существует второй
начальный момент, соответствующий плотности энергии микрополя. Такой результат
абсурден с точки зрения физики и дополнительно свидетельствует о грубой ошибочности
асимптотики распределения Хольцмарка. Кроме того, бесконечность плотности энергии
микрополя в этой модели не позволяет учесть энергию микрополя при описании
термодинамики плазмы.
В модели Хольцмарка частицы плазмы считаются невзаимодействующими. В дальнейшем
были созданы модели, которые учитывали взаимодействие частиц плазмы как между
собой, так и с пробной частицей, на которой определялась напряженность микрополя.
Микрополя, создаваемые электронами (электронная компонента) и ионами (ионная
компонента), вычислялись по разным моделям.
При вычислении ионного микрополя для учета экранировки ионов электронами в (2.19)
вместо кулоновской напряженности электрического поля E j использовалась производная
потенциала Дебая-Хюкеля. Корреляции между движением различных ионов учитывались
с помощью множителя P(r1 , r2 ,..., rN ) , задающего вероятность реализации различных
конфигураций частиц плазмы. При учете ион – ионных корреляций также использовались
результаты теории Дебая-Хюкеля [60]. Различные модели в разной степени учитывают
взаимодействие частиц плазмы с пробным зарядом и между собой. При учете
межчастичного взаимодействия могут рассматриваться как лишь парные корреляции
частиц, так и множественные корреляции.
Одной из последних и наиболее совершенных моделей этого типа является APEX. В ней
учитывается взаимодействие частиц плазмы с пробной частицей и, в меньшей степени,
взаимодействие частиц плазмы между собой. При этом учитывались не только парные, но
и множественные корреляции [56], [57], [58].
Общим для всех моделей такого типа будет, очевидно, хольцмарковский предел для
случая горячей разреженной плазмы. Поэтому, независимо от используемого способа
учета взаимодействия, все рассмотренные модели имеют те же недостатки, что и модель
Хольцмарка при применении к такой плазме.
Обобщенные уравнения Саха с учетом вырождения.
Рассмотрим плазму, состоящую из ионов различной кратности и свободных электронов,
находящуюся в локальном термодинамическом равновесии. Пусть плазма образовалась
из смеси i - х элементов, относительные концентрации которых по числу атомов равны xi
. При нагревании появляются k - кратные ионы i -ых элементов и электроны с
32
Черновик.
Иванченко Е.С.
концентрациями xik и xe (значение k  0 соответствует нейтральным атомам). Эти
концентрации должны удовлетворять балансным соотношениям
zi
 xik  xi ,
k 0
 xi  1,
i
zi
 kx
i
k 0
ik
 xe ,
(2.26)
где zi - атомные номера элементов.
Для получения полностью согласованных выражений следует строить модель, исходя из
какого-нибудь термодинамического потенциала. Если в качестве независимых
переменных выбираются температура и объем, то следует использовать свободную
энергию. Плазму будем считать двухтемпературной. Температуру ионов обозначим через
T , а электронную – через t .
Среднюю свободную энергию, приходящуюся на одну атомную ячейку, представим в
следующем виде [61], [62]:
zi
F  Fe   xik Fik  F .
i
(2.27)
k 0
Здесь Fe - свободная энергия электронного газа, Fik - энергии разных сортов ионов, и F
- поправка на взаимодействие.
Поскольку электроны при больших плотностях могут стать вырожденными, то
воспользуемся для них выражением свободной энергии идеального Ферми-газа:
Fe 

 2
  
t 5/2V  I1/2    I 3/2    ,

t  3
 t 
t
2
(2.28)
2
где

 d
1  exp(   )
0
I v ( )  
есть функции Ферми-Дирака. Электронный химический потенциал
(2.29)

связан с
концентрацией электронов уравнением
xe 

t 3/2VI1/2   .

t 
2
2
(2.30)
Атомы и ионы даже при очень больших плотностях плазмы остаются классическими.
Поэтому их свободная энергия имеет вид
33
Черновик.
Иванченко Е.С.
k
 eVGik  M iT 3/2 
Fik   ik  T ln 

  ,  ik   iq , e=2.71828...,
q 1
 xik  2  
(2.31)
где Ai - атомные веса, M i  1822.887 Ai - массы атомов, измеренные в электронных
массах, а  ik - энергии основного состояния ионов, отсчитанные от основного состояния
нейтрального атома (очевидно,  i 0  0 ), ik - потенциалы k - кратной ионизации i - того
сорта частиц, Gik - статистические суммы атомов и ионов.
Состояние равновесия соответствует минимуму свободной энергии (2.27) по всем
концентрациям при условии соблюдения балансных соотношений (2.26). В результате
минимизации получим следующее обобщение уравнений Саха:
  T ln(
Gi ,k 1 xik
Gik xi ,k 1
)  ik  ik  ik  0, 1  k  zi , 1  i  J ,
 

 
ik  


 F ,
 x
 ik xi ,k 1 xe 
J
zj
(2.33)
 

 


 ln G jq .
 xik xi ,k 1 xe 
ik  T  x jq 
j 1 q 1
(2.32)
(2.34)
Здесь ik - снижение потенциалов ионизации, вызванное взаимодействием частиц, ik
- дополнительные сдвиги потенциалов ионизации, вызванные обрезанием статистических
сумм, J - число элементов в плазменной смеси.
Термодинамические функции.
Их можно получить из термодинамического потенциала (2.26) по фундаментальным
термодинамическим соотношениям в статистической физике, дифференцируя по объему
и температуре. При дифференцировании надо учитывать только явную зависимость F от
V , T , t . Существует еще косвенная зависимость через концентрации xe , x jk , зависящие от
этих параметров; но соответствующие члены
концентрации удовлетворяют уравнению (2.32).
точно
сокращаются,
поскольку
Этим способом получаем давление в двухтемпературном случае:
34
Черновик.
Иванченко Е.С.
P
Pе 
F
 Pе  Pи  Pи  P,
V
2 2 5/2

t I 3/2   ,
2
3
t
P  
F
,
V
Pи 
T
,
V
(2.35)
P  T  x jk ( ln G jk / V );
j
k
Стат-суммы G jk зависят от V только через форм-факторы  (заметим, что электронное
давление зависит от электронной температуры, а ионное – от ионной).
Энтропия получается из свободной энергии дифференцированием по температуре.
Но температур две: T и t . При этом можно считать, что G jk зависят только от T ; но F в
некоторых моделях могут зависеть от обеих температур. Поэтому
 F F 
S  

  Sе  Sи  S  S ,
 T t 
 
  
3/2  5
t
V
I

I
3/2
1/2


    Sе ,

2
t t
 t 
3
Zj
VG  M T 3/2 
5
jk
j
Sи    x jk ln 

   Sи  S ,
2 j k 1
 x jk  2  


 ln G jk
F
F
Sе  
,
Sи  
,
S  T  x jk
.
t
T

T
j k
Sе 
2
(2.36)
Главные члены электронной и ионной компонент зависят только от своих температур; но
обусловленные взаимодействием поправки S могут зависеть одновременно от обеих
температур. Значения G jk в поправке S зависят от температуры через больцмановскую
экспоненту.
Аналогично строится выражение для энергии:
E  F  tSе  TSи  Eе  Eи  E  E ,

Eе  2 t VI3/2   ,

t
2
5/2
E  F  t Sе  T Sи ,
Z
j
k
3
Eи  T   x jk   jq ,
2
j k 1
q 1
E  T
Zj
2
 x jk
j k 1
 ln G jk
T
(2.37)
.
35
Черновик.
Иванченко Е.С.
Здесь также главные члены зависят только от своих температур, а обе температуры могут
входить только в поправку на взаимодействие.
Для горячей неплотной плазмы электроны становятся классическими,
взаимодействием можно пренебречь, а G jk  g jk 0  const . В этом случае формулы (2.35)(2.37) переходят в следующие:
P  ( xet  T ) / V ,
Zj
Vg  M T 3/2 
5
jk 0
j
S    x jk ln 

 ,
2 j k 1
 x jk  2  


(2.38)
Zj
E  3 / 2( xet  T )    x jk  jk .
j k 0
Параграф 4.
Квазизонная интерполяция.
В [63] проводиться детальные анализ ширины зоны адекватности для моделей КСМ и
МИР. Возникает вопрос как поступать на границе этих двух моделей? Несмотря на
огромное количество нерешенных проблем, можно построить уравнение состояния с
учетом оболочечных и квазизонных эффектов, обеспечивающее хорошие количественные
результаты в очень широком диапазоне температур и плотностей [64]. Это делается на
основе моделей ИР и КСМ.
В [63] было показано, что модель КСМ хорошо описывает термодинамику вещества, если
ширина квазизоны   для наружного электрона ионного остова близка к его потенциалу
ионизации или превышает его. Иными словами, фактор квазизонности должен быть


Iz
1
(2.39)
Для свободных электронов потенциалы ионизации будут меньше, а фактор квазизонности
больше. Квазизоны этих электронов полностью перекрываются, образуя сплошной спектр.
Заметим, что для внутренних электронов остова, особенно близких к ядру, квазизоны
могут не перекрываться. Это не препятствует применимости КСМ, ибо глубокие
электроны, практически не влияют на термодинамические свойства вещества.
36
Черновик.
Иванченко Е.С.
Рисунок 2.2 Изолинии фактора квазизонности (сплошные линии) и параметра неидеальности (штриховые) для Pb.
Около кривых указаны значения соответствующих величин.
На Рисунок 2.2 показаны изолинии фактора квазизонности на примере свинца. Их
наклонный ход в области высоких температур означает, что модель КСМ применима,
образно говоря, если плотность преобладает над температурой. При этом вещество
находится в закритической области, где переход жидкость — пар является плавным, а не
скачкообразным, т.е. формального различия между жидкостью и газом нет. Но по
существу его следует считать конденсированным.
Заметим, что для низких температур и малых плотностей, где вещество является слабо
ионизованным газом, изолинии  имеют противоположный наклон. Действительно, в
этих условиях оболочечные эффекты проявляются весьма четко, а модель КСМ плохо
применима.
37
Черновик.
Иванченко Е.С.
Для неплотного вещества наилучшей является модель ИР. При увеличении плотности ее
точность ухудшается из-за неопределенности, вносимой теми или иными нестрогими
поправками на неидеальность плазмы (достаточно строго обоснованных поправок пока
не найдено). Лучшие из предложенных до сих пор поправок ориентировочно применимы
при значениях параметра неидеальности

EПОТ
 0.3
EКИН
(2.40)
более простые при   0.1 ; а приближение идеальной плазмы при   0.01 .
Изолинии  , рассчитанные по методу [61], нанесены на Рисунок 2.2. Качественно они
похожи на изолинии  ; поэтому можно сказать, что модель ИР справедлива, если
температура преобладает над плотностью (а также для низкотемпературного слабо
ионизованного газа). При использовании других поправок на неидеальность качественная
картина сохраняется, а изолинии для малых  , соответствующих областям применимости
этих поправок, практически не сдвигаются; разумеется, при больших  положение
изолиний зависит от вида поправки.
Видно, что области применимости моделей ИР и КСМ не перекрываются. Между ними
остается неширокий коридор, в котором каждая модель позволяет производить расчеты,
но дает недостаточную точность. Для заполнения этого коридора надо исследовать
природу погрешности каждой модели.
Таким образом, из Рисунок 2.2 и всего вышесказанного мы можем сделать вывод, что
области применимости моделей ИР и КСМ разделены нешироким коридором.
Существующие расчеты таблиц термодинамических функций выполнены для большого
числа веществ по обеим моделям [65], [61], причем таблицы для каждой модели
составлены не только в области ее применимости, но покрывают коридор между
моделями и заходят довольно далеко в область применимости другой модели.
Используется стандартная сетка узлов по температуре и плотности [51], что обеспечивает
точное совмещение узлов таблиц.
Возникает естественная мысль — построить гладкую интерполяцию между моделями ИР
и КСМ . Очевидно, коэффициент интерполяции  должен зависеть только от тех величин,
которые ограничивают применимость моделей: фактора квазизонности  (2.39) и
параметра неидеальности  (2.40). Для каждой термодинамической функции f T ,V 
формула квазизонной интерполяции (КЗИ) приобретает вид
38
Черновик.
Иванченко Е.С.
f КЗИ T ,V  
f МИР T ,V     ,   f КСМ T ,V 
1    ,  
(2.41)
Чтобы обеспечить правильный переход в каждую модель в области ее применимости,
должно быть  1 при  1 , к  1 , если одновременно  1 и  1 . Конкретный
же вид зависимости   ,   обуславливается принятыми моделями расчета ширины
квазизон и учета неидеальности плазмы.
Опишем зависимость, ориентированную на работу с раелизациями моделей из Параграф
2 и Параграф 3. Вклад фактора  в  , пока он не очень велик, должен быть близок к
линейному. Точной линейности требовать не следует, поскольку ширины квазизон сейчас
вычисляются дополнительно по сравнительно грубым моделям. Мы используем модель
неидеальности ОКП; ее погрешность есть O   2  при малых  , и очень быстро растет при
 > 0,5, давая при  > 2 несуществующий в природе плазменный фазовый переход.
Аналогично должен вести себя вклад  в  . Из этих соображений была принята
зависимость
2


1     1
2
  ,    exp  

2

(2.42)
причем под f T ,V  подразумеваются логарифмы давления, энергии и других термодинамических величин, как это принято в стандарте [51].
Упомянем существенную деталь. Для вычисления  нельзя пользоваться моделью
среднего атома: она слишком груба и приводит к преувеличенным псевдо-оболочечным
эффектам. Мы вычисляли квазизонный фактор по формуле


x
I
(2.43)
ik ik
i ,k
используя распределение ионов по кратностям, рассчитанное по методам [61]. Параметр
неидеальности  также вычислялся этим комплексом.
39
Черновик.
Иванченко Е.С.
Глава 3.
Ударные адиабаты.
Equation Chapter (Next) Section 1Ударные адиабаты.
Термодинамические методы, о которых рассказывалось в предыдущей главе, позволяют
получать заданные на сетке LgN (концентрации) LgT (температуры) таблицы
термодинамических величин, таких как P (давление), E (энергия), S (энтропия) и X
(электронная концентрация).
Как известно, ударные адиабаты определяются законами сохранения массы, импульса и
энергии. Если вещество перед ударной волной покоится, эти законы имеют вид:
  0 D / ( D  U ), P  P0   DU ,
(3.1)
E  E0  0.5( P  P0 )(1/ 0  1/  ).
(3.2)
Где D есть скорость фронта ударной волны, а U есть массовая скорость вещества за
фронтом. Величины с индексом 0 – это начальное состояние вещества. Для множества
веществ данные о начальных значениях уже введены в базу, для остальных – занесение
этих характеристик находиться в планах по совершенствованию программы. Если заданы
функции E (T ,  ) и P(T ,  ) , то соотношение (3.2) становится уравнением, связывающим T
и  ; тем самым, оно определяет зависимость  (T ) или T (  ) вдоль ударной адиабаты.
Подставляя эту зависимость в термодинамические функции, а последние в соотношения
(3.1), можно найти все величины на ударной адиабате как функции T или  .
Принципиально описанный способ прост. Однако, рассмотрим современные требования
к точности такого расчета. Конкурирующие модели уравнения состояния в тех диапазонах
давлений, где имеются эксперименты и можно ожидать применимости моделей,
приводят к плотности ударно сжатого вещества, различающегося нередко на 2-3%. Чтобы
это различие не маскировалось ошибками численного расчета, погрешность вычислений
плотности не должна превышать   0.5% , что соответствует  lg   0.002 . На самом
деле, в дальнейших расчетах нам понадобиться ещё большая точность – порядка 0.1%.
Если уравнение состояния задано аналитически, то такую точность при решении
уравнения (3.2) нетрудно обеспечить. Переход к таблично заданному уравнению
состояния кардинально меняет ситуацию. Даже подробные, по нынешним меркам,
таблицы имеют шаг сетки  lg   0.25 ; это в 125 раз больше допустимой погрешности.
40
Черновик.
Иванченко Е.С.
Для ряда моделей сетка еще реже. Поэтому вопрос прецизионной интерполяции
табулированных термодинамических величин приобретает первостепенное значение.
Характерный вид ударной адиабаты на плоскости T -  показан на Рисунок 3.1, где для
наглядности изображена типичная сетка термодинамических таблиц. Видно, что при
интерполяции между узлами таблиц вдоль линии   const (то есть по переменной T )
большинство отрезков не пересекает ударную адиабату, и поэтому непригодно для ее
нахождения. Только жирные точки можно получить такой интерполяцией. Видно, что
число таких точек невелико.
Кроме того, ударная адиабата ионизирующегося и диссациирующего вещества может
иметь по меньшей мере один участок обратного хода. Она может иметь несколько таких
участков (Рисунок 3.1). Эти осцилляции связаны с оболочечной структурой атомов. Они
приводят к неоднозначной зависимости T (  ) , что может сильно усложнить
интерполирование по переменной T .
Наоборот, интерполирование по переменной  позволяет получить много пересечений
отрезков с ударной адиабатой (кружки на Рисунок 3.1). Вдобавок, задача
интерполирования
становится
однозначной.
Поэтому
такое
направление
интерполирования более выгодно, и далее мы будем его придерживаться.
Lg T
Lg 
Рисунок 3.1 Примерный вид ударной адиабаты на стандартной сетке.
41
Черновик.
Иванченко Е.С.
4
lg E
3
lg P
2
1


0
1
lg 
lg 
-1
0
1
2
Рисунок 3.2 Интерполируемые отношения для газовых условий из Таблица 1. Точки соответствуют узлам стандартной
сетки по плотности. Крестиками отмечены значения на ударной адиабате.
Правда, шаг сетки по  на глаз кажется довольно большим, а вся ударная адиабата
располагается всего на 3-4 таких шагах (т.к. максимальное сжатие в ударной волне редко
превышает 5-6 кратное). Однако известно, что изохоры P(T ) и E (T ) имеют
осциллирующий характер вследствие оболочечных эффектов в термодинамике; на
изотермах же P(  ) и E (  ) оболочечные эффекты не проявляются, так что эти кривые
являются не осциллирующими и более плавными, чем изохоры. Это повышает точность
интерполяции и является дополнительным аргументом в пользу выбранного
направления.
Уравнение Гюгонио (3.2) можно переписать как равенство единице соотношения

2  E  E0 
1
 P  P0 1/ 0  1/  
(3.3)
Выберем значение Ti и по соответствующим строкам термодинамических таблиц
составим строку  ij как функцию  j (точнее lg  j ). Интерполяцией найдем такое
значение lg  , которое отвечает   1 . Это будет значение плотности на ударной
адиабате, соответствующее выбранному Ti .
Рассмотрим пример, дающий представление о точности этого способа. В Таблица 1
приведена выборка из таблиц термодинамических функций алюминия для T  40эВ ,
вычисленных методу ТФП из предыдущей главы. Значения  , рассчитанные для газового
42
Черновик.
Иванченко Е.С.
начального состояния с параметрами P0  0 , E0  0 , 0  0.003г / см3 также представлены
в этой таблице.
Таблица 1
J
lg  j
lg Pij
lg Eij
 ij
lg  ij
1
-2.50
0.586
3.688
147.9
2.170
2
-2.25
0.822
3.660
8.857
0.947
3
-2.00
1.056
3.632
3.229
0.509
4
-1.75
1.289
3.601
1.480
0.170
5
-1.50
1.519
3.568
0.742
-0.130
6
-1.25
1.748
3.532
0.385
-0.414
7
-1.00
1.974
3.494
0.205
-0.689
lg  i , j 1  lg  ij
 ij
 i , j 1  ij
3.403
1.223
0.438
0.339
0.300
0.284
0.275
0.271
3.139
0.264
2.877
0.262
2.613
0.264
2.350
0.263
2.085
0.265
1.821
8
-0.75
2.198
3.452
0.110
-0.960
9
-0.50
2.419
3.407
0.059
-1.230
10
-0.25
2.637
3.359
0.032
-1.498
11
-0.00
2.852
3.306
0.017
-1.767
12
0.25
3.063
3.247
0.485
13
0.50
3.270
3.182
0.213
0.270
14
0.75
3.473
3.107
-0.065
0.272
15
1.00
3.671
3.017
-0.353
0.278
16
1.25
3.859
2.898
-0.660
0.288
17
1.50
4.017
2.715
-1.001
0.270
0.268
0.269
1.555
0.264
0.266
1.289
0.266
1.023
0.755
0.266
0.268
0.307
0.341
43
Черновик.
Иванченко Е.С.
Таблица 2
Линейная
интерполяция
величины
Шаг
Интервал
Результат
Ошибка
 lg 
lg  j
lg  j 1
lg 
 lg 
 %

0.25
-1.75
-1.50
-1.5874
0.0231
5.3
lg 
0.25
-1.75
-1.50
-1.6082
0.0023
0.53
lg 
0.75
-2.00
-1.25
-1.5865
0.0240
5.5

0.25
-1.75
-1.50
-1.6105
0.0000
-0.01

0.75
-2.00
-1.25
-1.6109
-0.004
-0.09
В Таблица 2 приведен результат линейной интерполяции в переменных   lg  при
стандартном шаге сетки
 lg   0.25 .
Его погрешность вдесятеро превосходит
допустимую, хотя выбранный в табл. 1 случай относится к благоприятным газовым
условиям (наиболее трудная ситуация – невысокие температуры и твердотельные
плотности). Причина видна из Рисунок 3.1: график  (lg  ) существенно отличается от
прямой.
Есть два несложных способа повышения точности. Один заключается в использовании
более сложной интерполяции – не линейной по двум узлам сетки, а кубической по
четырем узлам. Другой способ связан с тем, что графики lg P и lg E близки к прямым и
поэтому легко интерполируются. Можно локально сгустить таблицы P и E в том
интервале стандартной сетки, где  проходит через 1 (надежней в этом случае
использовать кубическую интерполяцию lg P , lg E ). Затем на сгущенной сетке вычисляют
и интерполируют  .
В нашем программном комплексе оба этих способа использовались одновременно. Это
позволило обеспечить высокую точность расчета, заведомо лучше 0.5% – даже в
наиболее неблагоприятных диапазонах температур и плотностей.
Много лучшие результаты дает интерполяция в переменных lg   lg  . Это понятно из
рисунка, поскольку график величины lg  существенно ближе к прямой.
Рассмотрим способ, который обеспечивает гораздо лучшую точность, позволяя
использовать даже редкие сетки. Основную нелинейность в величину lg  вносит скобка
44
Черновик.
Иванченко Е.С.
1/ 0 1/  
под знаком логарифма, ибо lg P и lg E практически линейны. Поэтому
построим отношение, напоминающее коэффициент Грюнайзена:
  lg
2  E  E0 
 P  P0 
(3.4)
Введение этого коэффициента позволяет свести задачу к решению следующего
уравнения:
f (lg  )   (lg  )  lg 1/ 0 1/    0
(3.5)
Из Рисунок 3.2 видно, что в газовых условиях эта величина практически линейно зависит
от lg  .
Теперь уравнение Гюгонио (3.2) можно переписать в следующем виде (имея в виду
зависимость всех величин только от lg  вдоль выбранной строки):
Примерный вид этой функции приведен на Рисунок 3.3. Она определена при   0 ,
имеет полюс при   0 , убывает и вогнута, если  (lg  ) практически линейна. При таком
поведении функции уравнение (3.5) удобно решать итерационным методом Ньютона
lg  ( k 1)  lg  ( k )  f (lg  ( k ) ) /
df (lg  ( k ) )
0
d lg  ( k )
(3.6)
Где
df
d
1
d


,
 const.
(k )
d lg 
d lg    / 0   1 d lg 
(3.7)
Если нулевое приближение выбрано слева от корня, то есть при  меньше корня, то
итерации сходятся монотонно и весьма быстро (2-4 итерации обычно достаточно).
Алгоритм имеет следующую структуру. Сначала вдоль строки вычисляются значения  ij и
f ij и перебором находят интервал ( j , j  1) в котором f меняет знак. Заменяют в нем
производную  первой разностью d / d lg   ( i , j 1   ij ) /  lg  , выбирают левую
границу этого интервала  j за нулевое приближение и выполняют итерации (3.6).
45
Черновик.
Иванченко Е.С.
f
lg 
Рисунок 3.3 Вид функции
f (lg  )
lg P
5
lg E
0

-5
6
lg 
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Рисунок 3.4 Отношение Гюгонио для низких температур.
Для условий из Таблица 1 быстрая сходимость итераций этого алгоритма иллюстрируется
в Таблица 3, а высокая точность – в Таблица 2. Видно, что даже при шаге втрое больше
стандартного алгоритм в газовой области обеспечивает хороший запас точности, т.е.
позволяет работать на редкой сетке без локального сгущения.
Не следует думать, однако, что такой запас точности является излишним. На Рисунок 3.4
приведены графики, аналогичные Рисунок 3.2, но для низкой температуры (свинец при T =
46
Черновик.
Иванченко Е.С.
0.25 эВ = 2900  К в квантово-статистической модели). Зависимость  (lg  ) прямолинейна
всюду, за исключением участка вблизи нормальной плотности свинца  0  11.34 г / см3 .
Этот искривленный участок порожден аналогичными искривлениями графиков P и E, а
физически он связан с близостью кривой фазового перехода жидкость-пар. Основная
ударная адиабата сплошного металла проходит через искривленный участок (помечено
крестом). В этих условиях для обеспечения требуемой точности приходится использовать
квадратичную или кубическую интерполяцию величины  .
Таблица 3
k
 lg 
0.25
0.75
0
-1.75
-2.00
1
-1.614
-1.6571
2
-1.6105
-1.6113
3
-1.6105
-1.6109
4
-1.6109
Представление об этом дает Рисунок 3.5, где в очень крупном масштабе изображено
начало основной ударной адиабаты свинца. Видно, что линейная и кубическая
интерполяция по  дают практически неотличимые результаты при P  3Мбар, а при P =
2.5Мбар отличаются по плотности на 1%. Правда, при нынешнем состоянии теоретических
моделей вещества эти давления лежат далеко вне границ применимости моделей, так что
для них разница степеней интерполяционного многочлена неактуальна. Но для будущих,
более точных моделей это может стать существенным фактором.
47
Черновик.
Иванченко Е.С.
0.9
lg P
0.7
0.5
lg 
0,3
1.40
1.45
Рисунок 3.5 Начало основной ударной адиабаты свинца по квантово-статистической модели. Сплошная линия кубическая интерполяция  , штриховая - линейная.
3
U км/с
2
1
D км/с
1
2
3
4
Рисунок 3.6 Ударная адиабата цезия при газовых начальных условиях. Точки соответствуют узлам начальной сетки по
температуре.
Вещество может претерпевать фазовые переходы, например, превращение жидкости в
пар. Фазовые диаграммы таких переходов хорошо известны, они лежат в области низких
48
Черновик.
Иванченко Е.С.
температур (от сотен до тысяч градусов, т.е. ниже 1 эВ) и плотностей, по порядку
величины сравнимых с нормальной. В теоретических расчетах возникают модельные
фазовые переходы, вроде так называемого кулоновского (далеко не всегда
подтверждаемые экспериментально). Диаграммы этих переходов имеют иной вид; но
если не принимать во внимание грубо ошибочные теории, то модельные переходы лежат
также в области невысоких температур и плотностей, приближающихся к нормальным.
Анализ численных расчетов, проведенный по ряду моделей, показал следующее. Если
изотерма величины (3.5) проходит вдали от кривой фазового перехода, то зависимость
f (lg  ) монотонна, и уравнение (3.5) имеет единственный корень. Если эта изотерма
близка к линии фазового перехода, наблюдалась немонотонность, но корень оставался
единственным. Однако, на изотермах, пересекавших эту линию, вблизи нее в
газопламенной фазе отмечались появления второго корня (области жидкой и твердой
фазы мы не исследовали, ибо там были неприменимы модели, на которых проводилось
исследование).
Наличие нескольких корней формально означает существование нескольких ударных
волн. Разумеется, для среды со сложными свойствами это возможно. Однако, гораздо
чаще такая ситуация вызвана неадекватностью модели. В этих случаях разумно выбирать
тот корень, который лежит дальше от линии фазового перехода, ибо там погрешность
модели меньше. Следовательно, нас интересует корень соответствующий наименьшей
плотности.
Поэтому перебор узлов сетки для определения интервала смены знака f (lg  ) надо вести
начиная со значения  0 в направлении возрастания плотности. Хотя этот алгоритм не
стопроцентно надежен (теоретически не исключен случай, когда f дважды меняет знак
внутри интервала), на практике не было отмечено ни одного сбоя при расчетах реальных
экспериментов.
Выше был описан способ определения плотности i , соответствующей определенной
температуре Ti на ударной адиабате. Зная плотность, остальные термодинамические
величины можно определить по исходным таблицам термодинамических функций,
интерполируя вдоль строки, соответствующей Ti .
Например, из Рисунок 3.2 и Рисунок 3.4 видно, что давление целесообразно
интерполировать в логарифмических координатах lg P  lg  . То же относится к энергии,
энтропии и степени ионизации. При этом в газовой области уже линейная интерполяция
дает хорошие результаты (Рисунок 3.2), но для ударного сжатия твердых тел
49
Черновик.
Иванченко Е.С.
целесообразно использовать кубическую интерполяцию (Рисунок 3.4). Последняя
применялась нами во всех программных комплексах, гарантирую высокую точность.
Определив на ударной адиабате значения Ei и Pi , скорости лучше находить не
интерполяцией, а из соотношений (3.1):
Di 
Ui 
Pi  P 0
,
 1/ 0  1/ i 
2
0
(3.8)
 Pi  P 0 1/ 0  1/ i  .
Для контроля точности полезно вычислять отношение Гюгонио (3.3). Входящие в него
величины i с одной стороны, Ei и Pi с другой, найдены разными способами, не
согласованными между собой. Поэтому их подстановка даст значение  , несколько
отличное от 1. Вряд ли возможно однозначно связать это отличие с погрешностью каждой
термодинамической величины. Ориентировочно можно считать, что если   1  0.01 , то
погрешность расчета недопустимо велика; при   1  0.001 точность вполне достаточна.
Параграф 2.
Квантово статистические ударные адиабаты.
Анализ множества квантово-статистических ударных адиабат (построенных на основе
модели Томаса-Ферми) позволил выявить простую закономерность. Если воспользоваться
скоростными переменными D(U), то в области применимости модели ТФП кривая U(D)
аппроксимируется параболой:
DТФП (U )  C  BU  AU 2 , C  0, B  1,1
A0
(3.9)
Причем с точностью 0.05%, что не уступает точности самой модели.
Помимо этого, параболическая зависимость особенно удобна тем, что ударная адиабата в
форме P(  ) записывается в явной форме:
P(  ) 
  B( 1) 
4 0C 2 (  1)
  B(  1) 
2
 4 AC (  1)
2

, 

0
(3.10)
Она описывает первую точку поворота (максимальное сжатие на ударной адиабате), ее
параметры равны:
* 
B  2 AC
C
,U* 
, P*  0U*2 B  2 AC
A
B  2 AC  1


(3.11)
50
Черновик.
Иванченко Е.С.
Причем в выражении (3.11) знак плюс – соответствует кривой ниже точки поворота, а
минус – выше.
Приделы применимости этих формул очень легко записываются используя скорость в
точке поворота.
0.1  U / U*  2
(3.12)
Стоит отметить, что, несмотря на то, что квадратичный член и мал, он очень важен, так как
без него не невозможно описать точку поворота. Соответственно и вычислять этот
коэффициент нужно с очень высокой точностью.
В базе ТЕФИС реализован специальная модификация МНК для поиска этой
аппроксимации сначала идет поиск точки поворота, а уже затем исходя из явного вида
уравнений, связывающих точку поворота с параметрами A,B,C построили специальную
модификацию МНК, что позволило сильно повысить точность и уменьшить время расчета
этих параметров.
Параграф 3. Расчет квантово-статистических ударных адиабат в
пористых веществах.
Многочисленные анализы кривых для пористых веществ показали, что параболическая
зависимость сохраняется даже для веществ с показателем пористости m<10 , была
выявлена зависимость коэффициентов C, B, A от m, которая имеет вот такой вид:
lg C (m)  C   lg m,
lg A(m)  a   lg m,
(3.13)
lg  B(m)  2 A(m)C (m)  1  b   lg m
коэффициенты этой зависимости легко подбираются методом наименьших квадратов.
Этот метод позволяет достаточно малыми жертвами вычислять квантово-статистические
адиабаты для веществ с любой заданной пористостью в пределах 1  m  10 . Для этого
необходимо рассчитать заранее определенные таблицы термодинамических функций и
методом наименьших квадратов определить параметры a,  , b,  . После чего можно
пользоваться аппроксимациями (3.13).
Параграф 4.
Оценка экспериментальных данных.
Зависимости (3.10) и (3.13) с рассчитанными на основе модели ТФП коэффициентами
абсолютно непригодны для давлений в несколько мегабар. Хороших моделей для
51
Черновик.
Иванченко Е.С.
описания тепловых членов при таких давлениях нет. Поэтому начальные участки кривых
D(U) необходимо описывать на основе экспериментальных данных.
Анализ экспериментальных данных показал, что если давление P  10МБар, а у вещества
отсутствуют фазовые переходы, то зависимость D(U) практически линейна:
DEXP (U )  c0  b0U
(3.14)
Обычно каждая лаборатория обрабатывала свои эксперименты по этой зависимости
методом наименьших квадратов. Константы С0 и В0 разных лабораторий ощутимо
отличаются (что вероятнее всего указывает не только на наличие систематических
ошибок, а так же на узенький диапазон с которым работают отдельные лаборатории),
поэтому мы для оценки точности в этом диапазоне поступим иначе.
Сначала обработаем всю совокупность имеющихся в диапазоне низких давлений данных,
предполагая, что точность их одинакова. Получим соответствующую прямую, и
определим отклонения всех точек от этой прямой. Таким образом, если мы возьмем все
точки одной лаборатории мы можем найти как систематическую ошибку (это среднее
уклонение), присущую этой лаборатории, так и случайную ошибку – разброс относительно
кривой.
Теперь, если при расчете параметров прямой отбросить лаборатории с большой
систематической ошибкой, а так же все точки, отклонение которых было велико, мы
получим новую прямую, отвечающую только качественным экспериментам.
Более подробно о статистической обработке экспериментальных данных будет описано в
следующей главе.
Параграф 5.
Широкодиапазонные ударные адиабаты.
Теперь перейдем к рассмотрению способа построения широкодиапазонных ударных
адиабат. Предполагая, что фазовые переходы отсутствуют, и кривая не содержит изломов.
Аппроксимируем начальный участок некоторой зависимостью. Параметры этой
зависимости подбираем таким образом, чтобы не только лучше описать эксперимент, но
и обеспечить гладкое сшивание с квантово-статистическими кривыми. Успех работы
сильно зависит от удачного выбора вида этой аппроксимации.
Согласно проведенным исследованиям широкодиапазонные
достаточно хорошо аппроксимируются следующей формулой:
D  u   Dксм  u  
C  c0
b B
,  0
2 2
1  u   u
C  c0
ударные
адиабаты
(3.15)
52
Черновик.
Иванченко Е.С.
Эта формула имеет три достоинства:
1. Она бесконечно гладко переходит в квантово-статистическую кривую.
1. Разложение при малых скоростях имеет вид: D(U )  c0  b0U  AU 2  O(  3U 3 ) и
поскольку A 1 , оно практически линейно, что необходимо для хорошего
описания диапазона малых скоростей.
2. Свободных параметров всего 2, но этого хватает для достоверного описания
экспериментов.
Этот метод может быть модернизирован, если вместо того что бы искать статистической
обработкой экспериментальных данных в области низких давлений коэффициенты b0 , c0 и
строить эту зависимость, можно сразу методом статистической обработки искать
зависимость в виде:
D  u   Dксм  u    F ( u)
(3.16)
Где
F ( x) 
1
1  x(1  x)
(3.17)
Для всей совокупности имеющихся данных, включая подземные ядерные взрывы,
условия в которых уже достаточно хорошо описываются моделью ТФП.
Несмотря на малые отличия, эта методика несколько отличается от исходной (3.15). Она
позволяет учитывать экспериментальные данные не только в области низких давлений (в
зоне линейности адиабаты) и не только данные для высоких давлений (где она
подчиняется квадратичной аппроксимации теоретической модели), но и в области
перегиба, где кривая переходит от одной аппроксимации к другой, используя
экспериментальные данные по всему диапазону.
Параметры этой аппроксимации так же достаточно просто ищутся МНК, который так же
был модифицирован исходя из вида задачи, что позволило сильно увеличить скорость
расчета.
53
Черновик.
Иванченко Е.С.
Lead (Pb)
20
D km/s
15
10
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
U km/s
Рисунок 3.7 Начальный участок ударной адиабаты свинца, звездочки – теоретически рассчитанная квантовостатистическая ударная адиабата, другие значки – экспериментальные данные полученные от различных
лабораторий, кривая – широкодиапазонная ударная адиабата.
54
Черновик.
Иванченко Е.С.
Copper (Cu)
80
70
60
D km/s
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
U km/s
40
50
60
Рисунок 3.8 Широкодиапазонная ударная адиабата меди.
Iron (Fe)
140
120
100
D km/s
80
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
U km/s
60
70
80
90
100
Рисунок 3.9 Широкодиапазонная ударная адиабата железа.
55
Черновик.
Иванченко Е.С.
Параграф 6. Широкодиапазонные ударные адиабаты в пористых
веществах.
Описанная методика довольно проста, но вместе с тем она довольно точна. И эта
точность, и простота позволили нам перейти к анализу пористых веществ в широком
диапазоне давлений и температур.
На графиках представлены ударные адиабаты нескольких металлов с различной
пористостью, видно, что предложенные методики успешно справились с аппроксимацией
поведения ударных адиабат для металлов с пористостью до m=10.
Следует признать, что главным недостатком этого метода является его зависимость от
наличия экспериментальных данных. Для многих представленных в базе веществ
проведено весьма скудное количество исследований с пористыми образцами. Все это
затрудняет построение ударных адиабат при низких давлениях. Однако, как уже было
сказано, метод позволяет строить асимптотики поведения при высоких давлениях даже
для пористых материалов.
Lead (Pb)
9
1.351
1.193
8
1.671
m=1
7
2.409
D km/s
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
U km/s
Рисунок 3.10 Широкодиапазонные ударные адиабаты для свинца с различными пористостями.
56
Черновик.
Иванченко Е.С.
Copper (Cu)
10
m=1
8
2.997
7.202
10.034
6
D km/s
1.413
2
1.221
1.131
4
2
0
0
1
2
3
U km/s
4
5
6
Рисунок 3.11 Широкодиапазонные ударные адиабаты меди с различными пористостями.
57
Черновик.
Иванченко Е.С.
Aluminum (Al)
m=1
20
1.711
18
2.009
16
7.976
14
D km/s
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
U km/s
Рисунок 3.12 Широкодиапазонные ударные адиабаты алюминия с различными пористостями.
58
Черновик.
Иванченко Е.С.
Глава 4.
Оценка экспериментальной точности.
Equation Chapter 4 Section 1Введение.
В экспериментальный подход кроме естественно проведения экспериментов и
построения математических моделей содержит еще не менее важную часть –
статистическую обработку полученных данных. От качества проведения статистических
анализов зависит то, насколько можно будет доверять этим результатам. Помимо
доверия к экспериментальным данным знания о точности позволяют проводить
уточнения при расчетах широкодиапазонных ударных адиабат.
В этой главе подробно рассмотрены все методики статистической обработки,
используемые в комплексе ТЕФИС.
Параграф 2.
Статистическая обработка.
Как отмечалось выше знания о точности помимо чисто информативного характера, так же
позволяют проводить повышения точности во время расчетов широкодиапазонных
ударных адиабат. Для этих целей разумно использовать два подхода. Первый – это
приписывать каждой точке свою погрешность, вычисляемую на основе отклонения точки
от среднего по формуле:
i  Di  f model Ui 
1
N
(4.1)
N
    M
i 1
i
(4.2)
Здесь Di и U i - экспериментальные данные, f model Ui  - модельная кривая. Выражение
(4.1) – отклонение единичного эксперимента от модельного представления, (4.2) –
значение среднего для всех отклонений, оно же в дальнейшем будет браться в качестве
математического ожидания величины  i . Строго говоря M не равно математическому
ожиданию, более того с точки зрения математической статистики эта величина может
сколь угодно отличатся от мат. ожидания. Другое дело, что вероятность такого события
ничтожно мала. Опираясь на эти формулы можно приближенно вычислить дисперсии.
1
N
N
 
i 1
 M   D
2
i
(4.3)
59
Черновик.
Иванченко Е.С.
Точность этого выражения не велика по двум причинам: во-первых, число членов суммы
обычно мало; во-вторых, использование замены M   M вносит ошибку O ( N1 ) ,
значительную при малых N. Более хорошее приближение дает так называемая
несмещенная оценка дисперсии:
1 N
2
 i  M     s 2

N  1 i 1
(4.4)
Где s – стандарт выборки. В дальнейшем под дисперсией будем понимать исключительно
выражение (4.4).
На самом деле, гораздо оптимальнее использовать разбиение точек по группам. Где
группа – это набор точек, полученных в результате одной серии экспериментов в одной
лаборатории. Группы эти естественно будут однотипны, то есть полученные с помощью
одинаковых методик, на однотипных установках. Такой подход позволяет оценивать
точки не разрозненно и обособленно, а с учетом способа, с помощью которого они были
получены. Таким образом, ставится задача определения характеристик лабораторий.
Естественно, на первый взгляд кажется, что систематическая погрешность лаборатории
является одной из важнейших характеристик, но на самом деле, помимо вопросов
связанных со средним отклонением точек, принадлежащих одной группе необходимо так
же решить вопрос о том, насколько сильно похоже «поведение» точек в пределах группы
на поведение широкодиапазонной ударной адиабаты. Другими словами нам надо решить
вопрос корреляции между группами точек и модельной кривой. Это даст понимание
того, насколько результаты работы этой лаборатории стыкуются с общими модельными
предположениями. Помимо этого немаловажной характеристикой будет сравнение
дисперсий групп. Эта оценка позволит понимать, насколько качественны группы, то есть –
даст фактические оценки качества условий проведения экспериментов, или вообще самих
экспериментальных методик.
Итак, перейдем к рассмотрению всех упомянутых методик.
Пусть имеется k групп, в каждой из которых k i точек, чтобы не путать обозначения,
обозначим точки, принадлежащие i-ой группе: U Gi , DGi , причем:
K
k
i 1
i
N
(4.5)
Тогда выражения (4.1), (4.2), (4.4) принимают следующий вид:
 Gj  DGj  f model U Gj 
(4.6)
60
Черновик.
Иванченко Е.С.
1
ki
ki
    M
Gj
j 1
Gi
1 ki
2
 Gi  M Gi   Gi  sGi2

ki  1 i 1
(4.7)
(4.8)
Для рассмотрения групповых характеристик нам понадобиться ввести такое понятие как
среднее в группе: M i , фактически – это отклонение точек группы относительно
аппроксимации, построенной на основе точек из этой группы. Искомую аппроксимацию
построим на основе метода наименьших квадратов. Так как группа представляет собой
точки, лежащие рядом, то их аппроксимацию будем искать в виде линейного многочлена:
fGj (U )  a j  b jU
(4.9)
Выражения (4.6), (4.7) и (4.8) вычисляемые относительно f Gj обозначим:
 Gj  DGj  fGj U Gj 
M Gi 
Gj 
1
ki
(4.10)
ki
  
j 1
Gj
2
1 ki
 Gi  M Gj 


ki  1 i 1
(4.11)
(4.12)
Таким образом, мы получили набор статистических характеристик внутри групп
безотносительно к общей кривой.
Это в свою очередь дает нам возможность определить две характеристики.
Первая – получается на основе сравнения производных f Gj и f model . Эта величина будет
характеризовать на сколько поведение кривой описываемой точками из одной группы
похоже на поведение всей широкодиапазонной адиабаты. Производная f Gj имеет
следующий вид:
dfGj
dU
 bj
(4.13)
Вид производной f model несколько сложнее: ((3.16))
61
Черновик.
Иванченко Е.С.
df model
 ( (1   X )   2 X )
 B  2 AU 
dU
(1   * X *(1   * X ))2
(4.14)
Однако, если учитывать реальные значения А,  и  , а также тот факт что
экспериментальные данные в большинстве своем имеются для области с низкими
скоростями U, в зоне линейности ударной адиабаты, то всеми членами кроме нулевой
степени можно пренебречь. Это позволяет определить следующую характеристику как
отношение:
CorrGj 
bj
B
(4.15)
Равенство единице этой величины позволяет судить об идентичности поведения точек в
одной группе с общей широкодиапазонной кривой в среднем, а отклонения о нарушении
согласованности между лабораторными результатами и теоретической кривой.
Следующим этапом будет сравнение дисперсий на основе критерия Фишера. Для этого
этапа нам надо будет сравнить дисперсию всей кривой  , взятой по формуле (4.4) с
дисперсией точек внутри группы Gj рассчитанную по формуле (4.12). Так как, согласно
центральной предельной теореме это – тоже случайные величины, то просто так взять и
сравнить эти дисперсии и сказать, что одна лучше другой мы не можем.
Проводя такое сравнение, мы можем утверждать, что дисперсия (4.4) лучше (4.12) лишь с
какой-то заранее определенной вероятностью p0 . Это утверждение мы можем сделать,
если
 Gj

 F  k j , N , p0 
(4.16)
Где F  k j , N , p0  - коэффициенты Фишера. Таким образом, если выражение (4.16)
истинно, то мы можем утверждать, что точки в исследуемой группе лежат достаточно
близко к широкодиапазонной ударной адиабате. Таким образом, мы можем узнать,
насколько качественно проводились эксперименты для получения этой группы.
Вероятность p0 в нашем случае будет иметь смысл доверительной вероятности, на
практике чаще всего используют p0 = 0.68, 0.95 и 0.997. На смысл расчетов выбор
конкретного значения p0 влияние, разумеется, не оказывает. В математических расчетах,
чаще всего используется доверительная вероятность p0  0.003 . В физике, особенно в
экспериментальных разделах чаще всего принимают p0  0.95 . При менее аккуратных
62
Черновик.
Иванченко Е.С.
исследованиях чаще всего ограничиваются уровнем в 32%, то есть p0  0.68 . В нашей
работе мы будем следовать рекомендациям физиков-экспериментаторов, и в комплексе
ТЕФИС доверительная вероятность принята за p0  0.95 .
Рассмотрим теперь задачу по определению грубо ошибочных точек. Следует отметить,
что такие точки далеко не всегда обозначают плохие результаты проведения
экспериментов. Эти ошибки так же могли образоваться в результате перевода из
бумажных источников в электронный вид. Поэтому определение таких точек весьма
важно. На самом же деле отличить грубую ошибку от случайной – не всегда легко. Если
число измерений мало, то широк доверительный интервал, и даже значительные
отклонения от среднего в него укладываются. Если же число измерений велико, то
возрастает вероятность того, что хотя бы одно измерение сильно отклонится от среднего
случайно, то есть на вполне «законных» основаниях. Таким образом, мы можем
дополнительно определить некоторую вероятность p1 и искать условия, позволяющие
нам утверждать, что ни одна точка, прошедшая через этот критерий не отклоняется от мат
ожидания M  более чем на некоторое  . То есть каждая отдельная точка должна
лежать в указанных пределах с вероятностью p11/ N , то есть должно выполнятся следующее
условие:
p   i  M      p11/ N
(4.17)
Дальнейшие выкладки проведем, из предположения, что величина  подчиняется
нормальному распределению. Используя критерий Стьюдента, и учитывая, что величина s
– несмещенная оценка дисперсии (4.4), вычислена по всей выборке, а применяется к
отклонению единичного измерения, выражение (4.17) может быть представлено в
следующем виде:
  t  p11/ N , N  s
(4.18)
Где t – коэффициент Стьюдента.
Вместо неизвестной величины M  мы вынуждены в (4.17) подставлять ее приближенную
оценку (4.2), имеющую доверительный интервал:
  t  p0 , N 
s
N
(4.19)
Сравним неравенства  i  M    и M  M    , поскольку они носят вероятностный
характер, то к ним надо применять не неравенство треугольника, а суммирование
квадратов, что дает:
63
Черновик.
Иванченко Е.С.
i  M   2   2
(4.20)
Подставляя в это выражение (4.18) и (4.19), можно сделать следующее утверждение:
Если для всех измеренных величин выполняется оценка
 i  M  s t 2  p11/ N , N  
1 2
t  p0 , N 
N
(4.21)
То нет никаких оснований считать одну из них грубо ошибочной. Если какое либо
измерение не укладывается в пределы (4.21), то можно считать грубо ошибочным.
Этот критерий может так же служить сигналом о том, что при внесении точки в базу
данных могла произойти опечатка.
Общепринятых критериев для выбора вероятности p1 нет; естественно полагать p1  p0 .
Параграф 3.
Метод повышения точности.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели методы оценки, как погрешностей отдельных
точек так и точности групп лабораторных исследований, на основе построенной
широкодиапазонной ударной адиабаты. Однако, из главы Глава 3 видно, что при расчете
кривой мы пользовались некоторыми эмпирическими оценками погрешности отдельных
групп. Используя же оценки полученные в предыдущем параграфе мы можем
скорректировать широкодиапазонную адиабату, для получения более точной кривой.
Для этих целей после первого вычисления кривой с применением эмпирических оценок
проведем расчеты статистик (4.2), (4.7), (4.15) и проверки критериев (4.16) и (4.21). На
основе результатов этих расчетов заново определим погрешности точек и повторим
расчет широкодиапазонной кривой, получив тем самым более точные результаты.
Вернемся к рассмотрению вопроса о переопределении точности для дальнейших
расчетов более детально. На первый взгляд может показаться, что погрешности (4.2)
будет достаточно, но надо не забывать тот факт, что вся совокупность точек представляет
собой небольшое количество групп, с очень сходными характеристиками. На основе
этого, более интересным представляется использование групповых статистик (4.7).
На равнее с приведенной методикой так же возникает вопрос о том, что делать с грубо
ошибочными точками, обнаружимыми по критерию (4.21). На первый взгляд их вполне
резонно отбрасывать из дальнейших расчетов. Однако если вспомнить вероятность того
1
что конкретная точка будет помечена как ошибочная определена нами как 1  p1 N ,
64
Черновик.
Иванченко Е.С.
величина весьма маленькая, однако если рассмотреть какова вероятность того, что
«плохими» окажутся от 1 до K точек, то она будет:
k
1
N!
1/ N l
N
p
1  p1  p1
l 1 l ! N  l  !
k
(4.22)
Видно, что при большом количестве точек вероятность того, что некоторое ощутимое
количество точек окажется ошибочным, достаточно велика. Именно этот факт не дает нам
уверенности в необходимости отбрасывания таких точек. Тем более, что при расчете
уточненной кривой используется оценка точности лабораторий куда непосредственно
входят и погрешности этих точек.
В развитии идея о повышении точности переходит в итерационный метод, когда на
каждой итерации идет переоценка погрешностей и перерасчета новой кривой. Причем в
качестве критерия выхода в этой работе предлагается брать стабилизацию общей
дисперсии (4.4).
 ( k )   ( k 1)  0.005
(4.23)
На практике этот метод требует не более 3х итераций.
Таким образом, мы получаем алгоритм Рисунок 4.1, получающий проводить
итерационное повышение точности и получать широкодиапазонную ударную адиабату,
максимально точно отвечающую как области теоретических моделей (высоких скоростей)
так и области экспериментальных исследований, в зоне низких скоростей.
65
Черновик.
Иванченко Е.С.
Рисунок 4.1 Алгоритм расчета прецизионных широкодиапазонных ударных адиабат с анализом точности
экспериментальных данных.
66
Черновик.
Иванченко Е.С.
Глава 5.
Архитектура комплекса.
Параграф 1.
Общая архитектура комплекса.
Сама идея ТЕФИС задумывалась как полный комплекс, позволяющий с большой степенью
автоматизации проводить исследования над теплофизическими свойствами веществ.
Воплощение этой идеи в жизнь потребовало значительных усилий на разработку и
совершенствование моделей и алгоритмов использованных в этом комплексе. Более того,
как упоминалось в вводной части одна из основных составных частей ТЕФИС – база
данных, содержащая в себе наибольшее количество экспериментальных данных в
области экстремальных состояний вещества, что потребовало весьма кропотливой работы
для сбора этих данных, в том числе и из бумажных источников. Таким образом комплекс
ТЕФИС заключает в себе следующие компоненты Рисунок 5.2:
1. База данных с описаниями основных свойств веществ и элементов.
2. База данных с результатами экспериментальных исследований по ударным
сжатиям веществ.
3. База данных с уровнями ионизаций для 105 элементов периодической системы.
4. Программы, реализующие математические модели, (см. Глава 2) позволяющие,
рассчитывать термодинамические величины для любого заданного вещества.
a. Модель Томаса-Ферми с квантовой и обменной поправками.
b. Модель
ионизационного
равновесия,
выполненная
в
рамках
диссертационной работы И.А. Козлитина [48].
c. К большому сожалению алгоритмы реализующие модель квазизонной
интерполяции находится на стадии разработки, кроме того, совсем недавно
появились физические соображения, теоретически позволяющие добиться
гораздо большей физической правдоподобности модели. Однако
добавление этой модели в комплекс дело недалекого будущего.
d. Модель электронного переноса для расчетов тепло и электропроводностей,
выполненная в рамках диссертационной работы И. Панина.
5. Программы расчета теоретических ударных адиабат на основе термодинамических
величин, полученных с помощью программ из пункта 4. Алгоритм описан в первой
части Глава 3.
6. Программы по совместной обработке теоретических ударных адиабат разной
пористости для получения удобного аналитического представления (3.13).
7. Программы по совместной обработке теоретических ударных адиабат и
экспериментальных данных, рассчитывающие широкодиапазонные ударные
адиабаты с помощью алгоритма описанного в Глава 3.
67
Черновик.
Иванченко Е.С.
8. Программы, проводящие статистическую обработку экспериментальных данных,
на основе методов из Глава 4. И данных о поведении широкодиапазонных ударных
адиабат.
9. Пользовательский интерфейс, интегрирующий в себя все возможности
программного комплекса по расчетам и анализу результатов. Помимо прочего
позволяющий редактировать содержимое базы данных, изменяя и добавляя
новые результаты исследований.
Рисунок 5.1 Общая архитектура комплекса ТЕФИС.
Решение каждой из описанных ранее проблем – это уже достаточно серьезная задача. Но,
как разобщенный набор модулей это решение не будет представлять серьезного
интереса. Однако будучи объединенными в единую среду, они позволяют говорить о
комплексе ТЕФИС как о полнофункциональной, пополняемой и расширяемой среде.
Параграф 2.
База данных.
Перейдем к детальному рассмотрению составных частей системы, и начнем с «сердца»
системы – с базы данных.
В предыдущих разделах для построения прецизионных ударных адиабат мы активно
пользовались совокупностью мировых экспериментальных данных, а так же свойствами
веществ, для которых проводили вычисления. Естественно эти данные где-то нужно
68
Черновик.
Иванченко Е.С.
хранить и помимо хранения обеспечить механизм доступа к этим данным. Таким
образом, появляется задача организации хранения совокупности экспериментальных
данных.
Ранее в алгоритмах построения и анализа точности широкодиапазонных адиабат активно
использовалось разбиение точек по группам, кроме этого каждой группе приписывался
рад параметров, таких как точность, оценки «качества» лабораторий и некоторые
дополнительные характеристики, как, например, ссылка на оригинальный литературный
источник, тип эксперимента (лазер, легкогазовые пушки, подземные ядерные взрывы и
т.п.). Собственно при хранении точек мы должны учитывать эту особенность
экспериментальных данных.
Помимо экспериментальных данных в комплексе ТЕФИС в алгоритмах расчета модели
ионизационного равновесия используются данные об уровнях ионизации различных
атомов. Для первых 105 элементов это составляет примерно 5000 уровней ионизации. К
этим данным тоже необходимо организовать программный доступ из соответствующих
модулей системы ТЕФИС.
Выбор базы.
База данных является одним из корневых элементов системы. Поэтому выбор
используемых систем программного обеспечения достаточно важен. Если объективно
подходить к задаче, то несколько сот тысяч записей, не смотря на кажущийся огромным
размер, не такая уж и тяжелая задача для современных систем управления базами
данных, которые рассчитаны на миллионы записей, сотни таблиц и исполнения сотен
запросов в секунду. Что собственно делает подходящими для наших целей почти все
системы. Однако у нашей задачи есть достаточно специфические аспекты,
накладывающие весьма определенные требования к выбираемой системе.
Во-первых: для наших нужд совсем не требуется столь сложного механизма как
транзакция. Что весьма расширяет круг подходящих систем управления.
Во-вторых: время на изначальную загрузку базы данных особой роли не играет, так как
будучи единожды загруженной, база остается в памяти до окончания работы
приложения.
Собственно как уже упоминалось, по меркам современных систем объем нашей базы не
более чем скромный. И действительно, можно примерно рассчитать объем базы в
памяти: таблица с уровнями ионизации – это 8+4+4 байт на запись, что в результате дает
около 80 Кб на всю таблицу, естественно если добавить служебную информацию типа
хэш-ключей индексных значений и т.п. то ее размер не превысит 200 Кб. Для таблиц с
экспериментальными данными ударных экспериментов картина похожая, для этого
69
Черновик.
Иванченко Е.С.
случая на строку приходиться около 120 байт, что для ~23000 записей дает в общей
сложности 2.6 Мб, а включая служебную, информацию эта таблица занимает около 6 Мб.
С учетом таблиц литературных ссылок, таблиц описания веществ база данных занимает в
памяти не более 64 Мб.
Помимо всего прочего необходима легкая переносимость базы с системы на систему. То
есть желательно, что бы система управления базой данных не требовала установки
дополнительного программного обеспечения.
Так же немаловажным является требование к поддержке базой доступа из различных
языковых сред, потому что даже комплекс ТЕФИС состоит из модулей написанных почти
на 4х языках, не говоря уже о планах на развитие в будущем.
И наиболее главное – это требование производительности: база должна максимально
быстро исполнять запросы на чтение данных. Без этого требования картина будет весьма
не полной. Хотя бы потому, что во время выполнения расчетов, связанных с
экспериментальными данными необходимо как можно меньше времени тратить на
издержки связанные с извлечением данных из базы.
Исходя из приведенных требований и с учетом специфики задачи, был выбран стандарт
XML (Extensible Markup Language), представляющий из себя текстовый документ со строго
определенным методом форматирования и определения и хранения данных. Схема базы
данных была определена с помощью XSD (Extensible Schema Definition) – стандарта
определения схем хранения данных для XML. Строго определенная схема позволяет
контролировать целостность базы данных и на ранних этапах устранять возникающие
ошибки, кроме этого схема является необходимым звеном для многих модулей
прикладного уровня, обеспечивающих доступ к такого рода данным. Некоторые системы
по таким схемам генерируют целый набор классов, облегчающий и ускоряющий доступ к
данным. Таким образом, одним из преимуществ использования связки XML+XSD является
простота загрузки базы в память для начала дальнейшей обработки и использования и
широкая распространенность этого формата, что позволяет использовать огромный
инструментарий уже существующий в различных системах.
Схема базы данных.
На Рисунок 5.2 представлена схема базы данных. Как видно, она состоит из 4х основных
таблиц: таблица с описаниями свойств веществ, таблица с описаниями литературных
источников, таблицы экспериментальных данных и таблицы уровней ионизации.
70
Черновик.
Иванченко Е.С.
Рисунок 5.2 Схема базы данных.
Первая таблица служит для хранения свойств веществ и связывания веществ с данными из
таблицы с экспериментальными значениями. В ней определены следующие поля:
Таблица 4 Описание таблицы Materials в базе данных.
Name
Текстовое поле, содержащее название вещества.
ChemicalAbbriviature Химическая аббревиатура вещества.
R0
E0
Z_ID
Для элементов содержит порядковый номер. В противном случае пустое.
ID
Системное поле: содержит первичный ключ – идентификационный номер
вещества.
Notes
Дополнительные замечания (носит исключительно вспомогательный и
информационный характер).
Phase
Начальная фаза исследуемого образца.
P0
Начальные давления, температуры и энтропии образцов. Эти ячейки носят
вспомогательный характер, так как все эти данные приведены в таблице с
T0
71
Черновик.
Иванченко Е.С.
S0
ListZi
ListAi
описаниями экспериментальных данных.
В случае химических элементов эти строки содержат данные о списке
элементов, их транспортных сечениях и о концентрациях этих элементов в
веществе.
ListXi
Таблица 5 Описание таблицы Points в базе данных.
MaterialID
Системное поле: идентификатор вещества в эксперименте, с которым были
сделаны измерения.
PointID
Системное поле: идентификатор точки (первичный ключ)
ArtReferenceID
Системное поле: ссылка на литературный источник.
P
Давление
U
Ударная волна
D
Ударная волна
Notes
Пометки
m
Пористость вещества.
R_R0
Начальные состояния образца.
R
E_E0
R0
P0
E0
T0
DelataD
Относительная погрешность точки в процентах. Используется на равнее с
MeanPublicationAccuracyInPercent из таблицы с литературными ссылками.
ShortFormID
Зарезервированные системные поля.
72
Черновик.
Иванченко Е.С.
RemarkID
Таблица 6 Описание таблицы ArtReferences в базе данных.
ReferenceID
PublicationData
Title
Notes
Authors
Source
ShortFormID
LaboratoryID
PublicationID
MaenPublicationAccuracyInPercent
Служебное поле: Идентификационный номер публикации.
(Первичный ключ)
Год публикации
Заголовок публикации.
Дополнительные заметки.
Список авторов.
Источник (журнал книга и т.п.).
Зарезервированные поля.
Оценка относительной погрешности данных из серии
экспериментов в этом источнике.
Таблица 7 Описание таблицы IonizationLevels в базе данных.
Z
Периодический номер элемента.
Period
Период ионизации.
Level
Уровень ионизации.
Параграф 3.
Пользовательский интерфейс.
Графический интерфейс.
Как говорилось в первом параграфе, ТЕФИС представляет собой довольно обширный
комплекс. Естественным образом такой набор программ и модулей требует достаточно
удобного как пользовательского интерфейса предоставляющего максимальный набор
возможностей, так и программного интерфейса, предоставляющего потребителям
возможность легко пользоваться всей функциональностью комплекса.
Все эти требования довольно не просто реализовать. Как показывает практика
индустриальной разработки программного обеспечения, разработка пользовательский
интерфейсов – одна из самых ресурсоемких задач.
Поэтому для реализации пользовательских компонентов был выбран язык C#, и
платформа WinForms. Хотя может показаться что, для максимальной переносимости
следовало использовать GTK, однако, во-первых, несколько лет назад она стала платной, а
73
Черновик.
Иванченко Е.С.
во-вторых, код на GTK сложнее поддается поддержке, и занимает больше времени на
разработку.
Интерфейс ТЕФИС достаточно прост. Он состоит из основного окна и дополнительных
окон просмотра данных и результатов вычислений.
На Рисунок 5.3 показано главное окно. Оно позволяет выбирать дальнейший режим
работы:



работа с описаниями материалов и результатами экспериментов.
работа с ударными адиабатами и статистическая обработка данных.
расчеты термодинамических таблиц.
В каждом из этих пунктов открывается соответствующее окно, позволяющее проводить
дальнейшие действия.
Рисунок 5.3 Основное окно менеджера ТЕФИС. И окно выдачи системных и информационных сообщений.
Окно просмотра и редактирования свойств веществ показано на Рисунок 5.4. оно
позволяет добавлять, модифицировать и удалять записи с описаниями материалов.
На каждое поле приводится всплывающая подсказка с описанием того, что в этом поле
должно быть записано.
74
Черновик.
Иванченко Е.С.
Рисунок 5.4 Таблица веществ.
При двойном клике в левой колонке открывается таблица, содержащая описания
результатов экспериментов для выбранного материала Рисунок 5.5.
Эта таблица содержит все экспериментальные данные для материала, включая
различные пористости и т.п., а также ссылки на источники, которые открываются по
двойному клику на соответствующей ячейку.
75
Черновик.
Иванченко Е.С.
Рисунок 5.5 Таблица с результатами экспериментов.
Так же программа позволяет просматривать и добавлять ссылки на литературу, а так же
править их для приведения к единообразному формату, что, к сожалению, еще не до
конца сделано.
Из основного окна, как оговаривалось выше, можно открыть окна для проведения
расчетов термодинамики Рисунок 5.6. и ударных адиабат см Рисунок 5.7.
Рисунок 5.6 Окно расчетов и обработки ударных адиабат. И оценки точности экспериментальных данных.
76
Черновик.
Иванченко Е.С.
Рисунок 5.7 Окно термодинамических расчетов для модели Томаса-Ферми.
Результаты расчетов система позволяет сохранять в стандартизированном формате CSV
(Comma separated values), что делает комплекс весьма удобным для решения широкого
круга прикладных озадачь требующих различного рода термодинамических данных.
Программный интерфейс.
Программный интерфейс базы ТЕФИС весьма прост:
С одной стороны это открытый и специфицированный формат самой базы, с жестко
определенной схемой. С другой это открытые .NET и COM интерфейсы программного
доступа см листинг в приложении.
Все это позволяет использовать ТЕФИС в максимальном объеме, расширяя его
функциональность, добавляя новые модели, проверяя модели на огромном наборе
экспериментальных данных и т.п.
77
Черновик.
Иванченко Е.С.
Параграф 4.
Реализации моделей.
Для реализации алгоритмов вычисления моделей из Глава 2 в комплексе ТЕФИС
применяется множество языков программирования:
Основной задачей при выборе языков реализации алгоритмов являлись:



Прозрачность реализации алгоритма. Это означает, что язык своей структурой не
должен засорять код программы.
Легкая переносимость.
Распространенность.
Под такие критерии подходят множество языков и нами были выбраны Fortran, MATLAB и
С++. Последний использовался для наиболее сложных с точки зрения вычислений
моделей – (МИР). Модели ТФП, расчет транспортных коэффициентов, а так же
вычисления ударных адиабат был реализован на MATLAB. Основным преимуществом
платформы MATLAB является простота управления памятью и максимальная простота
полученного кода. Для улучшения требований переносимости кода нами было принято
решения отказаться от использования встроенных функций MATLAB. Такие функции как,
например, вычисление обратных матриц, функции интерполяций были реализованы нами
в отдельных библиотеках, что гарантирует независимость точности от среды исполнения.
Кроме того, не смотря на соблазн использовать 80 битный тип данных для увеличения
точности промежуточных вычислений мы используем 64 битные типы с плавающей
точкой, опять таки для сохранения преемственности кода и результатов в случае переноса
программного комплекса на другую платформу.
Для связки модулей реализации алгоритмов и основной управляющей программы ТЕФИС
нами используется MATLAB .NET Compiler, который позволяет компилировать M-files и
создает механизмы оберток к внешним функциям в виде сборок (.NET Assemblies).
Использование MATLAB .NET Compiler позволил решить еще одну весьма важную
проблему – проблему развертывания системы. Ведь для запуска MAT файлов нужна среда
MATLAB. Использование откомпилированных моделей позволило избежать этого
требования. Таким образом, из системных требований комплекса выпадает требование о
наличии системы MATLAB.
В заключение раздела приведу необходимые системные требования:





Microsoft Windows 2000 (SP 5), XP (SP 2), Vista.
Microsoft .NET Framework 3.5
100 MB дискового пространства.
150 МВ свободной оперативной памяти.
Экран с минимальным разрешением 1024х768.
78
Черновик.
Иванченко Е.С.

Требование на процессор как такового нет, однако для приемлемо времени
расчета термодинамики следует иметь процессор с тактовой частотой не менее 1.5
GHz.
79
Черновик.
Иванченко Е.С.
Заключение.
В заключение еще раз перечислю основные результаты работы:






Создана пополняемая база данных ТЕФИС, объединившая в себя все доступные на
сегодняшний день компендиумы. С открытым и форматом с жестко определенной
схемой.
Реализован, а главное объединен в один комплекс, целый ряд алгоритмов расчета
математических моделей теплофизических свойств веществ в экстремальных
состояниях.
Разработаны методы и реализованы алгоритмы прецизионного вычисления
ударных адиабат на основе таблиц термодинамических велечин.
Разработаны методы и реализованы алгоритмы прецизионного расчета
широкодиапазонных ударных адиабат на основе заранее рассчитанных
теоретических ударных адиабат и совокупности экспериментальных данных..
Разработка методов статистического анализа экспериментальных данных с
объективной оценкой их фактической точности.
Создана единая система управления комплексом, позволяющая проводить все
расчеты и операции с данными в интегрированной системе.
Напоследок хочется отметить, что работы над комплексом ТЕФИС еще далеки от
завершения. В планах авторов имеется огромное количество усовершенствований и
нововведений, которые ждут своего часа.







Реализация метода квазизонной интерполяции.
Добавление возможности пересчета базовых таблиц для квантово-статистических
моделей на более частые сетки.
Пересмотр пользовательского интерфейса комплекса, и переделка его под более
современные системы разработки пользовательского интерфейса – Windows
Presentation Foundation.
Разработка WEB версии приложения, для проведения On-Line операций над базой
данных. (кстати сказать, уже разработана demo версия такого приложения [66]).
Приведение всех литературных ссылок к единому формату, для упрощения поиска.
Добавления информации о свойствах вещества ко всем веществам в базе.
И многое другое.
80
Черновик.
Иванченко Е.С.
Опубликованная литература.
[A1]
Е. С. Иванченко, Н. Н. Калиткин, Л.В. Кузьмина “Главные ударные адиабаты в
базе теплофизических свойств веществ (ТЕФИС).”, Москва, Математическое
моделирование том 20. Номер 6, стр. 99-110. 2008.
[A2]
Е. С. Иванченко, Н. Н. Калиткин, Л.В. Кузьмина “Квантово-статистический
расчет термодинамики и ударных адиабат.”, Москва, Математическое
моделирование том 20. Номер 7, стр. 30-44. 2008.
81
Черновик.
Иванченко Е.С.
Список литературы
[1] Бриджмен, П.В., Твердые тела под высоким давлением., Д. Варшауэра and В. Пол,
Eds. Москва, СССР: Мир, 1966.
[2] Н. Н. Калиткин and Л. В. Кузьмина, "Проверка моделей вещества в экспериментах по
сжатию.," АН СССР, Москва, препринт №116 1985.
[3] F. P. Bundy, "Design and development of apparatuses to achieve the highest possible static
pressure.," in X AIRAPT International high pressures conference, 1986, pp. 42-51.
[4] "Тезисы докладов," in Всесоюзное совещание "Координато чувствительные
фотоприемники и оптико-электронные устройства на их основе", Барнаул, 1985.
[5] Н. Н. Калиткин, В. Б. Леонас, and И. Д. Родионов, "Сжимаемость водорода при
высоких давлениях," АН СССР, Москва, препринт №127 1985.
[6] I. F. Silvera, "New phases of molecular and atomic hydrogen under extreme conditions.,"
Europ. Phys. News., vol. 13, no. 8-9, pp. 4-6, 1982.
[7] Ф. В. Григорьев, С. Б. Кормер, О. Л. Михайлова, А. П. Толочко, and В. Д. Урлин,
"Уравнение состояния молекулярного водорода; о фазовом переходе в
металлическое состояние.," ЖЭТФ, vol. 75, no. 5(II), pp. 1683-1692, 1978.
[8] В. Б. Леонас and И. Д. Родионов, "Исследования высокоэнергетического рассеяния
атомов и молекул.," УФН, vol. 146, no. 1, pp. 7-34, 1985.
[9] M. Ross, F. H. Ree, and D. A. Young, "The equations of state of molecular hydrogen at very
high densith," J. Chem. Phys., vol. 79, no. 3, pp. 1487-1494, 1983.
[10] Жирков В.Н., Динамическин исследования твердых тел при высоких давлениях.
Москва: Мир, 1965, Сборник.
[11] Л. В. Альтшулер, "Приминение ударных волн в физике высоких давлений.," УФН, vol.
85, no. 2, pp. 197-258, 1965.
82
Черновик.
Иванченко Е.С.
[12] Л. В. Альтшулер, Б. Н. Моисеев, Л. В. Попов, Г. В. Симаков, and Р. Ф. Трунин,
"Сравнительная сжимаемость железа и свинца при давлениях 31-34 Мбар.," ЖЭТФ,
vol. 34, no. 3, pp. 785-789, 1968.
[13] Р. Ф. Трунин, М. А. Подурец, Г. В. Симаков, Л. В. Попов, and Б. Н. Моисеев,
"Экспериментальная проверка модели Томаса-Ферми для металлов при высоких
давлениях," ЖЭТФ, vol. 62, no. 3, pp. 1043-1048, 1972.
[14] Е. Н. Аврорин, Б. К. Водолага, Л. П. Волков, А. С. Владимиров, В. А. Симоненко, and Б.
Т. Черноволюк, "Ударная сжимаемость свинца, кварца, аллюминия и воды при
давлении ~100Мбар," ЖЭТФ, vol. 31, no. 12, pp. 727-729, 1980.
[15] Е. Н. Аврорин, Б. К. Водолага, Н. П. Волошин, В. Ф. Куропатенко, Г. В. Коваленко, В. А.
Симоненко, and Б. Т. Черноволюк, "Экспериментальное подтверждение оболочечных
эффектов на ударных адиабатах аллюминия и свинца.," ЖЭТФ, vol. 43, no. 5, pp. 241244, 1986.
[16] В. А. Симоненко, Н. П. Волошин, А. С. Владимиров, А. П. Нагибин, В. Н. Когин, В. А.
Попов, В. А. Сальников, and Ю. А. Шойдин, "Абсолютное изменение сжимаемости
алюминия при давлениях ~1ТПа," ЖЭТФ, vol. 88, no. 4, pp. 1452-1459, 1985.
[17] M. van. Thiel, "Compendium of shock wave data.," Lawrence Livwermore National
laboratory, CA, Report 50108, 1977.
[18] S.P. Marsh, LASL shock Hugoniot data. Los Angeles - London: University of California Press,
Berkley, 1980.
[19] J. P. Romain, F. Cottet, M. Hallouin, R. Fabbro, B. Faral, and H. Pepin, "Laser shock
experiments at pressures above 100 Mbar," in X AIRAPT International high pressure
conference, 1986, pp. 595-598.
[20] В. Е. Фортов and И. Т. Якубов, Физика неидеальной плазмы. Черноголовка, СССР:
ОИХФ АН СССР, 1984.
[21] W. J. Nellis, A. C. Mitchell, M. van Thiel, G. J. Devine, and R. J. Trainor, "Equations-of-state
data for molecular hydrogen and deuterium at shock pressure in range 2-76 Gpa (20-760
Kbar)," J. Chem. Phys., vol. 79, no. 3, pp. 1480-1486, 1983.
83
Черновик.
Иванченко Е.С.
[22] W. J. Nellis, N. C. Holmes, A. C. Mitchell, R. J. Trainor, G. K. Governo, M. Ross, and D. A.
Young, "Shock compression of liquid helium to 56 Gpa (560 kbar)," Phys. Rev. Letters, vol.
53, no. 13, pp. 1248-1251, 1984.
[23] E. al., in X AIRAPT International high pressure conference, vol. 139-140, 1986.
[24] Я. Б. Зельдович, "Об исследовании уравнения состояния с помощью мезанических
измерений," ЖЭТФ, vol. 32, no. 2, pp. 1577-1578, 1957.
[25] В. Е. Фортов, "Уравнения состояния конденсированных сред," ПМТФ, no. 6, pp. 156166, 1972.
[26] [Online]. http://en.wikipedia.org/wiki/Los_Alamos_National_Laboratory
[27] [Online]. http://en.wikipedia.org/wiki/Lawrence_Livermore_National_Laboratory
[28] Л. В. Альтшулер and К. К. Крупников, "История советского атомного проекта: (40-е и
50-е годы)," in Международный научный симпозиум ИСАП-96, Москва, 1997, pp. 184191.
[29] Р. Ф. Трунин, Ed., Экспериментальные данные по ударно-волновому сжатию и
адиабатическому расширению конденсированных веществ., 2th ed. Саров, Россия,
2006.
[30] База данных Института Теплофизики
http://www.ihed.ras.ru/rusbank/
Экстремальных
Состояний.
[Online].
[31] Н. Н. Калиткин and Л. В. Кузьмина, "Ударные адиабаты 83 веществ.," Химическая
физика., vol. 18, no. 10, pp. 74-78, 1999.
[32] Н. Н. Калиткин and Л. В. Кузьмина, "Таблицы термодинамических функций вещества
при высоких концентрациях энергий.," ИПМ, Москва, Препринт 1975.
[33] S. P. Rothman, A. M. Evans, R. T. Eagleton, and L. B. Pearson, "Material properties
experiments using AWE high power laser," Int. J. Impact Eng., vol. 20, p. 803, 1999.
[34] Н. Н. Калиткин, "Модели вещества в экстремальном состоянии.," Математическое
Моделирование; Физикохимические свойства веществ., pp. 114-167, 1989.
84
Черновик.
Иванченко Е.С.
[35] Д. А. Киржниц, "О границе применимости квазиклассического уравнения сотстояния
вещества.," ЖЭТФ, vol. 35, no. 6(12), pp. 1545-1557, 1958.
[36] А. Ф. Никифоров, В. Г. Новиков, and В. Б. Уваров, Квантово-статистические модели
высокотемпературной плазмы. Методы расчета росселандовых пробегов и
уравнений состояния. Москва: Физматлит, 2000.
[37] Д. А. Киржниц, "Квантовые поправки к уравнению Томаса-Ферми," ЖЭТФ, vol. 32, no.
1, pp. 115-123, 1957.
[38] Н. Н. Калиткин and Л. В. Кузьмина, "Квантово-статистическое уравнение состояния и
ударные адиабаты," ИПМат, Москва, препринт №14 1976.
[39] Д. А. Киржниц and Г. В. Шпатаковская, ЖЭТФ, vol. 102, p. 1238, 1995.
[40] Н. Н. Калиткин and Л. В. Кузьмина, "Квантово статистическое уравнение состояния,"
Физика плазмы, vol. 2, no. 5, pp. 858-868, 1976.
[41] Н. Н. Калиткин and И. А. Козлитин, "Компенсированная микрополевая модель
неидеальности плазмы.," ДАН, vol. 411, p. 36–40, 2006.
[42] Н. Н. Калиткин and К. И. А., "Модель квазинезависимых частиц для плазменного
микрополя.," ДАН, vol. 418, no. 5, p. 614–618, 2008.
[43] Н. Н. Калиткин and И. А. Козлитин, "Самосогласованная компенсированная
микрополевая модель неидеальности плазмы.," Математическое моделирование,
vol. 20, no. 1, pp. 61-76, 2008.
[44] Н. Н. Калиткин and И. А. Козлитин, "Сравнение детального состава плазмы в
различных моделях.," Математическое моделирование, vol. 20, no. 4, pp. 69-77,
2008.
[45] И. А. Козлитин, "Моделирование распределения Хольцмарка методом МонтеКарло.," Математическое моделирование, 2008, принято в печать.
[46] Н. Н. Калиткин and И. А. Козлитин, "Микрополевое обрезание статистических сумм в
плазме.," in Труды VIII Харитоновских чтений, Саров, 2006, pp. 252-258.
85
Черновик.
Иванченко Е.С.
[47] Н. Н. Калиткин and И. А. Козлитин, "Микрополе и компенсированная модель
неидеальности плазмы.," in Труды IX Харитоновских чтений, Саров, 2008, pp. 253258.
[48] И. А. Козлитин, "Микрополевая модель квазинезависимых частиц и неидеальная
плазма.," ИММ, Москва, Диссертационная работа. 2008.
[49] А. Ф. Никифоров, В. Г. Новиков, and В. Б. Уваров, "Модифицированная модель ХартриФока-Слетера для вещества с заданной температурой и плотностью.," ВАНТ, серия:
методики и программы., vol. 4, no. 6, pp. 16-35, 1979.
[50] В. Г. Новиков, "Модифицированная модель Хартри-Фока-Слетера и ее применение
для расчетов уравнения состояния вещества.," ИПМат, Москва, Кандидатская
диссертация. 1981.
[51] Н. Н. Калиткин, Л. В. Кузьмина, and И. В. Ритус, "Табличное и графическое
представление теплофизических свойств веществ (проект стандарта)," ИПМат,
Москва, Препринт 1987.
[52] Holtsmark, J. Ann. Phys., vol. 577 , no. 58, 1919.
[53] Г. Грим, Уширение спектральных линий в плазме. Москва, СССР: Мир, 1978.
[54] И. О. Голосной, "Аналитические аппроксимации для уширения спектральных линий
водородоподобных ионов.," Физика плазмы, vol. 27, no. 2, pp. 526-535, 2001.
[55] Ю. К. Куриленков and В. С. Филинов, "К теории микрополя в неидеальной плазме.,"
Теплофизика высоких температур., vol. 14, no. 4, pp. 886-888, 1976.
[56] C. A. Iglesias and J. T. Lebowitz, "Electric microfield distribution in multicomponent
plasmas.," Phys.Rev.A, vol. 30, no. 4, pp. 2001-2004, 1984.
[57] J. W. Dufty, D. B. Boercker, and C. A. Iglesias, "Electric field distributions in strongly coupled
plasmas.," Phys.Rev.A., vol. 31, no. 3, pp. 1681-1686, 1985.
[58] C. A. Iglesias, H. E. DeWitt, J. T. Lebowitz, D. McGowan, and W. B. Hubbard, "Lowfrequency electric microfield distribution in plasmas.," Phys.Rev.A., vol. 31, no. 3, pp. 16981702, 1985.
86
Черновик.
Иванченко Е.С.
[59] A. A. Broyles, "Stark fields from ions in plasmas.," Phys.Rev.A., vol. 100, no. 1181-1190,
1955.
[60] M. Barange and B. Mozer, "Electric field distributions in an ionized gas.," Phys.Rev., vol.
115, no. 3, pp. 521-525, 1959.
[61] Н. Н. Калиткин, И. В. Ритус, and А. М. Миронов, "Ионизационное равновесие с учетом
вырождения электронов.," ИПМат, Москва, Препринт 46, 1983.
[62] М. М. Баско, "Уравнение состояния металлов в приближении среднего иона.," ИТЭФ,
Москва, Препринт 57, 1982.
[63] Н. Н. Калиткин, "Квазизонное уравнение
Моделирование, vol. 1, no. 2, pp. 64-108, 1989.
состояния.,"
Математическое
[64] Н. Н. Калиткин, Л. В. Кузьмина, and И. В. Ритус, "Квазизонная интерполяция
термодинамических функций.," ИПМат, Москва, Препринт 1988.
[65] Н. Н. Калиткин and Л. В. Кузьмина, "Программы расчета теплофизических свойств
веществ ТФП1-6," ИПМ, Москва, Препринт 153, 1984.
[66] Демо версия WEB ресурса ТЕФИС. [Online]. http://
[67] R. W. Goranson, D. Bancroft, and B. L. Burton, Ibid, vol. 26, pp. 1472-1479, 1955.
[68] Саров. [Online]. http://ru.wikipedia.org/wiki/Саров
87
Черновик.
Иванченко Е.С.
Приложение.
88
Черновик.