УДК 532.5 Павловский В.А. Тензорная форма записи для

УДК 532.5
Павловский В.А.
Тензорная форма записи для коэффициентов присоединенных масс.
Присоединенные массы, характеризующие инерционные свойства жидкости,
ускоряющейся
вместе
с
движущимся
телом,
образуют
матрицу
из
36
коэффициентов ik , i, k  1, ,6 [1]. Эта матрица содержит элементы с разной
размерностью и не является матрицей компонент некоторого тензора 2-ого ранга
шестимерного пространства не только по причине разной размерности элементов, но и
потому, что введение в рассмотрение такого тензора не имеет физического смысла для
трехмерного евклидова пространства.
Матрица присоединенных масс тела ik характеризует изменение векторов
количества движения и кинетического момента при наличии жидкости, в которую
погружено движущееся тело по сравнению со случаем движения тела в вакууме. Эти
векторы получают некоторые добавки, связанные с воздействием сил давления жидкости
на поверхность движущегося тела. Для того, чтобы прояснить смысл коэффициентов,
полезно ik , полезно представить основные понятия общих теорем динамики
механических систем в тензорном виде.
Рассмотрим общий случай движения твердого тела в пространстве (рис. 1).
Рис.1. Схема движения тела.
Согласно теоремы Эйлера [2] произвольное движение твердого тела можно представить
как совокупность поступательного движения вместе с полюсом и вращательного
относительно полюса. Если в качестве полюса взять точку А, то скорость произвольной

точки тела, определяемой радиусом-вектором r можно зависать как


 
V  VA    r 
(1)


где VA – скорость полюса,  - угловая скорость твердого тела. Для точки С – центра
масс тела:


 
VC  VA    rC
(2)
Будем считать твердое тело механической системой, состоящей из n материальных
точек. Тогда положение центра масс определяется радиусом-вектором


 n
rC    mi ri  M
 i 1

(3)
где М – масса тела:
n
m
M
i 1
i
(4)
Прежде чем записать выражение для векторов количества движения и кинетического
момента, введем в рассмотрение тензоры, характеризующие инерционные свойства
твердого тела – тензоры 2-ого ранга
шаровой:
где M – масса тела,
прямоугольном базисе
Матрица компонент тензора
M , J ,  . Тензор M
M  MG
G - метрический

G   ij ei e j
M
– тензор массы тела –
(5)
(единичный) тензор, в декартовом
(6)
:
M

M ij   0
 0

0 

0 
M

0
M
0
Тензор моментов инерции относительно произвольной точки А определяется как:
n
2
i i
i i
i
A
i 1
Или, если масса распределена по всему объему V тела с плотностью  m :
J


(7)
2



r
G  r   r  dV
m

(8)



  m r  G  m r  r 
JA 



V
Этот тензор является симметричным.
В компонентном виде, в базисе декартовой прямоугольной системы координат


J A  J ij ei  e j
где
J ij 
  x
m
V
Матрица компонент, учитывая, что
k
xk  ij  xi x j  dV





r   xi ei  xi  yj  zk :
(9)

   m y 2  z 2 dV
V
J ij      m xydV

V

    m xzdV
V






V
V
2
2

V m x  z dV  V m yzdV 

2
2
   m yzdV
 m x  y dV 

V
V

   m xydV

   m xzdV



(10)
Антисимметричный тензор 2-ого ранга, тензор статистических моментов, 
определяется как результат скалярного произведения тензора Леви-Чивита радиус
вектор rC :

  M  3  rC
(11)

где rC - радиус-вектор центра масс. Тензор Леви-Чивита – тензор 3-ого ранга в
декартовом прямоугольном базисе можно записать в компонентном виде как:



   ijk ei  e j  ek
3
(12)
Компоненты этого тензора равны +1, если индексы расположены в циклическом порядке
(123, 231, 312), равны -1, если в антициклическом (132, 213, 321) и равны 0 в остальных
случаях. В компонентном виде


  M xC k  ijk ei  e j
т.е. компоненты антисимметричного тензора
 0

 ij    MzC
 My
C

(13)
 ij  M xC k  ijk образуют матрицу
MzC
0
 MxC
 MyC 

MxC 
0 
(14)
Теперь можно записать выражения для векторов количества движения и кинетического
момента в тензорном виде, пользуясь представлением тензора 2-ого ранга как линейного
оператора, переводящего векторы в векторы [3].


Так, если A - тензор 2-ого ранга, то после его воздействия на вектор a имеем вектор b
(рис.2)
Рис.2. Воздействие тензора A на вектор.
Аналитически эта операция записывается в виде:


aAb
В компонентном виде [3]:


 



a  A  ai ei  A jk e j ek  ai A jk ij ek  ai Aik ek  bk ek
Количество движения механической системы определяется как
n


Q   mi Vi
i 1
После подстановки выражения (1) и преобразований с учетом (3) можно записать




Q  MVA    MrC
(15)
Количество движения можно представить в другой форме, в тензорном виде, как сумму
двух векторов – первый, как результата воздействия на вектор скорости полюса тензора

масс M и второй как результата воздействия на вектор  транспонированного тензора
 :
T



T
Q  VA  M    
(16)
Видно, что формулы (15) и (16) идентичны.
Кинетический момент системы относительно точки А, по определению есть вектор
n
n




 





K A   rC  mi Vi  MrC  VA   rC  M  rC  rC  MVC    J A (17)
i 1
i 1
После подстановки выражения для скорости произвольной точки тела согласно (1) и
проведения преобразований с учетом формул (7) и (11):



K A  VA      J A
(18)
Тем самым кинетический момент представлен в виде суммы двух векторов – первый из

них представляет результат воздействия на вектор скорости полюса VA
антисимметричного тензора  - тензора статических моментов, а второй – результат

воздействия на вектор  тензора моментов инерции.
Тензоры
матрицу
M ,  , , J A
T
характеризуют инерционные свойства тела. Они образуют
M

 T


,
JA

которая в более подробном виде представляет матрицу инерционных коэффициентов
тела [4].
 M

 0
 0

 0
 Mz
C

 M y
C

0
0
0
M zC
M
0
 M zC
0
0
M
M yC
 M xC
 M zC
M yC
J 11
J 12
0
 M xC
J 21
J 22
M xC
0
J 31
J 32
 M yC 

M xC 
0 

J 13 
J 23 
J 33 
(19)
Эта матрица содержит 36 коэффициентов, она симметрична относительно главной
диагонали. Если в качестве полюса выступает центр масс, то

rC  0 ,
тензоры
  0.
T
Кинетическую энергию тела можно представить [2] в виде:
 
1  
T  Q  VA  K A  
2
Или, с учетом формул (16) и (18):
(20)

 1 

1
1  T 
1
T  VA  M  VA      VA  VA        J A  
2
2
2
2
Можно показать, что

 T 

    VA  VA    
(21)
Тогда вместо (21):


 1 

1
T  VA  M  VA  VA        J A  
2
2
(22)
Что совпадает с известным выражением для Т [1].
Заметим, что если в качестве полюса взять не произвольную точку А, а центр масс С, то

rC  0 , тензоры   T  0
и кинетическая энергия запишется в виде:


1
1 
T  VC  M  VC    J C  
2
2
(23)
Поскольку кинетическая энергия не зависит от выбора полюса, то выражение (22) и (23)
равны между собой. Сравнение этих выражений дает связь между моментом инерции
тела относительно произвольной точки А и центральным моментом инерции (моментом
инерции относительно центра масс):
J A  JC   M
2
(24)
В развернутом, компонентном виде добавка в правой части (24) приводит к матрице
 yC2  zC2

M   xC yC
x z
C C

 xC yC
xC2  zC2
 yC zC
 xC zC 

 yC zC 
xC2  yC2 
В бескомпонентном виде эту добавку можно записать




M rC2 G  rC  rC

(25)
(26)
Заметим, что в частном случае для моментов инерции относительно параллельных осей
формула (24) дает известную формулу Гюйгенса-Штайнера.
Следует заметить, что момент инерции тела можно определить и такой формулой
 

 

J A    m ei  r   e j  r  ei  e j dV ,
(27)
V
т.е. компоненты тензора моментов инерции можно вычислять по формуле
 


J ij    m ei  r   e j  r dV
(28)
V
или, используя понятие тензора Леви-Чивита:
J ij    m xl x p  sil sjp dV
(29)
V
Произвольное движение твердого тела в пространстве, как известно из
теоретической механики [2] описывается с помощью двух общих теорем динамики –
теорем об изменении количества движения и кинетического момента, Согласно теоремы
об изменении количества движения механической системы производная количества

движения по времени равна главному вектору внешних сил F e , приложенных к этой
системе:

dQ
 Fe
dt
(30)
Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно
произвольной точки (полюса) А связывает производную по времени этой величины с
главным моментом внешних сил относительно той же точки:

e
dK A
 MA
dt
(31)
Уравнения (30) и (31) позволяют описать произвольное движение твердого тела в
вакууме. При движении в жидкости появляются дополнительные силы воздействия
жидкости на движущееся тело. Нахождение этих сил представляет сложную задачу,
решение которой базируется на принятии некоторых упрощающих предположений. Вопервых, считается, что жидкость является идеальной несжимаемой, во-вторых, тело
обладает обтекаемой формой и течение жидкости можно считать плавным, бехвихревым,

потенциальным. Тогда, если   r , t  - потенциальная функция, то поле скоростей
определяется как градиент этой скалярной функции [5]:

V  
Здесь

– векторный дифференциальный оператор – вектор Гамильтона (набла):
 
  ek
 xk
Потенциал  должен удовлетворять двум условиям – стремиться к нулю на
бесконечности и приводить к условию равенства на поверхности тела скоростей тела и
жидкости в направлении нормали к поверхности. Этот потенциал подчиняется уравнению
Лапласа   0 , которое дает уравнение неразрывности. Уравнение движения –
уравнение Эйлера – приводит к интегралу Коши-Лагранжа, который позволяет выразить
давление через потенциальную функцию. Тем самым силовое воздействие окружающей
жидкости на тело можно выразить через потенциальную функцию  . В итоге теоремы об
изменении количества движения и кинетического момента (30) и (31) для тела,
движущегося в жидкости, принимают вид [1]:



e 
d 
QB  F

dt

 e
d 
K A  CA  M A 
dt


Здесь векторы

(32)


B и C A определяются интегралами по поверхности тела S:


B     ndS
(33)
S

 
C A     r   n dS
(34)
S

где  - плотность жидкости, n - вектор нормали, внешний по отношению к объему
жидкости.


B и C A – добавочные векторы количества движения и кинетического
Векторы
момента, соответственно. Их можно, по аналогии с выражениями (16) и (18) для

Q
и




K A представить в тензорном виде через присоединенные тензоры M , J ,  . Так

добавочный вектор количества движения B можно записать в виде:
 
 T

B  VA  M    
(35)

T
где M
- симметричный тензор присоединенных масс, 
- антисимметричный
транспонированный тензор присоединенных статических моментов. В компонентном виде



M  M ij ei  e j ,


T
  ji ei  e j ,
M ij  M ji

  
T
Матрицы их компонент:

 M 11
 

M ij   M 21
M 
 31

M 12

M 22

M 32


M 13


M 23  ;
 
M 33

ijT
 0

   12T
  T
13

13T 

T
 23 
0 
12T
0
T
 23
Аналогичным образом добавочный вектор кинетического момента относительно
точки А можно записать в виде:



 

C A  VA    VA    J A
(36)

где  - антисимметричный тензор присоединенных статических моментов,
присоединенных моментов инерции. В компонентном виде:



  ij ei  e j ;


J A  J ij ei  e j ,
J

A
- тензор
 ij   ji
J ij   J ji
Матрицы компонент
 0


 ij    12
  
13

12
0
 23
13 


 23  ;
0 
Компоненты присоединенных тензоров
 J 11

J ij   J 21
J
 31


M ,J ,

J 12
J 22
J 32
J 13 

J 23 
J 33 
можно найти, используя


C
B
выражения (33) и (34) для добавочных векторов
и
A и следуя Кирхгофу,
представляя потенциал  как сумму потенциалов поступательного движения тела
1 ,  2 , 3
и вращательного движения
1 ,  2 ,  3 . Запишем, как обычно, потенциал
в виде [1,5]
  VAx1  VAy 2  VAz3   x 1   y  2   z  3
или, обозначая, для краткости, проекции на оси цифровыми индексами:
  VA11  VA22  VA33  11  2  2  3 3  VAkk  s  s
(37)
Здесь имеет место суммирование по повторяющемуся индексу. Поскольку на границе
тела скорость жидкости должны быть равна скорости точек поверхности тела по

направлению нормали n , то потенциал  удовлетворяет на границе тела условию
     
  VA  n    r   n 
n
 VA1n1  VA2 n2  VA3 n3  1  yn3  zn2   2 zn1  xn3   3  xn2  yn1 
Для выполнения этого условия необходимо, как известно [5]:
1
  n1 ;
n
2
  n2 ;
n
1
  yn3  zn2 ;
n
3
  n3
n
 2
  zn1  xn3 ;
n

 3
  xn2  yn1
n
Тогда, согласно выражению (33) компонента вектора B в направлении оси
в виде:
x
запишется

B1     VAkk  s  s  1 dS
n
S
(38)

Видно, что проекция вектора B - величина B1 имеет шесть слагаемых:









B1  VA1     1 1 dS   VA2      2 1 dS   VA3     3 1 dS  
n
n
n
S
S
S















 1     1 1 dS   2      2 1 dS   3      3 1 dS 
n
n
n
S
S
S






(39)
В то же время, согласно формулы (35):



T
T
B1  VA1M 11
 VA 2 M 21
 VA3 M 31
 111T  2 21
 3 31
(40)
Сравнение выражений (39) и (40) дает следующие формулы для компонент тензоров
присоединенных масс и присоединенных статических моментов:
M 11     1
S
11T     1
S
1




 dS ; M 21      2 1 dS ; M 31     3 1 dS
n
n
n
S
S
1


T
T
 dS ;  21      2 1 dS ;  31      3 1 dS
n
n
n
S
S
Аналогичные формулы можно записать и для проекций вектора B2 и B3 . В итоге
компоненты тензора присоединенных масс можно записать в виде:
M ij     i
S
 j
 dS
n
(41)
Видно, что они совпадают с выражениями для ij дл индексов i, j  1,2,3 и имеют
размерность массы.
Тензор присоединенных статических моментов,
добавочный вектор количества движения имеет
ijT      i
S
переводящий
вектор


 j
 dS
n
в
(42)
Видно, что это фактически коэффициенты ij , когда i  4,5,6, j  1,2,3 .
Согласно выражению (34) для добавочного вектора кинетического момента проекция его
на ось x :

C A1     VAkk  k  k  1 dS
n
S
Этим
шести
слагаемым
соответствуют

присоединенные тензоры

и
J

A
шесть
слагаемых,
выраженных
через
согласно выражения (36):
C A1  VAi Ai1  k J k 1
Сравнение этих двух последних выражений дает:
11    1
S
1
1

 dS ,  21     2  dS
n
n
S
J11     1
S
1
1
dS
,
J





21
S 2 n dS
n
Аналогичные выражения можно записать и для других проекций добавочного вектора
кинетического момента и в итоге получить все остальные компоненты присоединенных


векторов 
и J A . В результате компоненты антисимметричного
присоединенных статических моментов записываются в виде
ij     i
S
тензора
 j
 dS , i, j  1,2,3
n
(43)
Видно, что это коэффициенты ij , когда i  1,2,3, j  4,5,6 .
Формула для присоединенных моментов инерции имеет вид
J ij      i
S
 j
 dS
n
(44)
Фактически это коэффициенты ij , когда i, j  4,5,6
Все результаты, касающиеся свойств матрицы коэффициентов ij , справедливы и
компонент тензоров
J



M , J A ,  . Можно показать симметричность тензоров 

A

и
, а также антисимметричность тензора присоединенных статических моментов.
Отсюда следует, что:

T

T

T
11  11   22   22   33   33  0 ,
т.е.
 1
S
1

 dS   1 1 dS 
n
n
S
   2
S
   3
S
Антисимметричность тензора

 i
S
 2

 dS    2 2 dS 
n
n
S
3
 3
 dS   3  dS
n
n
S

приводит к тому что:
 j

 dS    j i dS
n
n
S
В итоге, вместо матрицы коэффициентов ij , содержащей элементы с разной
размерностью и не имеющей четкого физического смысла, здесь вводятся тензоры 2-го
ранга


M ,J ,

, имеющие четкий физический смысл и соответствующие

компоненты этих тензоров. Тензор присоединенных масс M
переводит вектор
скорости полюса тела в слагаемое вектора количества движения жидкости, увлекаемой
телом. Второе слагаемое этого вектора есть результат перевода вектора угловой
скорости тела с помощью антисимметричного транспонированного тензора
присоединенных статических моментов

T
. Тензор присоединенных статических


моментов инерции J 0 переводит вектор угловой скорости тела  в составляющую
вектора кинетического момента окружающей жидкости движущегося тела. Другую
составляющую дает антисимметричный тензор присоединенных моментов инерции,
переводящий вектор скорости полюса в вектор кинетического момента относительно
полюса.
В итоге, движение тела будет описываться системой уравнений, которая учитывает,
что тело движется не в вакууме, а в жидкости:
d
dt
d
dt
 

V  
 
   J




V0  M  M      
0
T

T
0



0
e
F

e
 M0
(45)
(46)
Присоединенные тензоры 2-го ранга образуют матрицу тензоров:
M
 


которая,
дает
матрицу
компонент,
коэффициентов ik , i, k  1, ,6 :


 
J0
являющейся,
(47)
по
существу,
матрицей
 M 11

 M 21
M
 31
 0
 
 12
 
 13
M 12
M 13
0
12
M 22
M 23
 21
0
M 32
M 33
 31
 32
21
31
J 11
J 12
0
32
J 21
J 22
23
0
J 31
J 32
13 

 23 
0 
J 13 

J 23 
J 33 
(48)
Кинетическая энергия движущегося тела может быть вычислена как [1]:
 


2T  Q  VA  K A  


После подстановки выражений для Q и K A для тела, движущегося в жидкости:












Q  VA  M  M      



T
T

K A  VA    
  J A  J A
имеем:






2T  VA  M  M  VA        VA 




T
T

 VA    
    J A  J A 
или, учитывая, что





      VA  VA   T   T  

 1


1



T  VA  M  M  VA        VA    J A  J A  
2
2








Более подробно, в терминах компонент:









(49)






(50)

(51)

(52)
1
1
T  Vi  M ij  M ij  Vj  i   ij  ij  Vj  i  J ij  J ij   j
2
2
Присоединенные тензоры зависят только от геометрии тела.
Из выражения для Т согласно (49) градиент кинетической энергии по направлению

вектора VA есть вектор количества движения, а градиент Т по направлению вектора
есть кинетический момент системы относительно точки А:

T
 Q
VA

T
  KA



(53)
(54)
Литература
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.-Наука. 1987
2. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М. Изд-во МГУ. 1992
3. Павловский В.А. Краткий курс механики сплошных сред. Учебное пособие/СПб ГТУ
РП. СПб. 1993
4. Ньюмен Дж. Морская гидродинамика. Л. Судостроение. 1985
5. Ламб Р. Гидродинамика. ОГИЗ. Гостехиздат. М.-Л. 1947