РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики, естественных наук и информационных технологий Кафедра алгебры и математической логики Платонов М. Л. Дополнительные главы теории чисел Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения специальности 09090.62 «Информационная безопасность», профиль подготовки: «Безопасность распределённых систем» Тюменский государственный университет 2011 Платонов М. Л. Дополнительные главы теории чисел. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 090900.62 «Информационная безопасность», профиль подготовки: «Безопасность распределённых систем», форма обучения – очная. Тюмень, 2011, 14 стр. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки. Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: «Дополнительные главы теории чисел» [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой алгебры и математической логики, доктор физико-математических наук, профессор, Кутрунов В.Н. © Тюменский государственный университет, 2011. © Платонов М.Л., 2011. 2 1. Пояснительная записка. 1.1. Цели и задачи дисциплины. Дисциплина приобретение "Дополнительные знаний государственным и главы умений в теории чисел" соответствии образовательным с обеспечивает Федеральным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления. Цели дисциплины: овладение студентами математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в исследованиях; ознакомление студентов с понятиями, фактами и методами, составляющими теоретические основы информатики; развитие логического мышления; обеспечение студентов знаниями по конкретному объекту – целым числам, необходимые для понимания математики, теории вероятностей и других математических дисциплин. Задачи изучения дисциплины: изучить материал дисциплины; усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения материала дисциплины; приобрести навыки самостоятельного решения задач различной степени сложности; выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов и результатов; обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки. 1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата. Дисциплина «Дополнительные главы теории чисел» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению «Информационная безопасность» относится к вариативной части цикла 3 профессиональных дисциплин. Она является логическим продолжением базовых профессиональных курсов алгебры, математического анализа и комплексного анализа. С методической точки зрения она хорошо иллюстрирует общие теоремы и конструкции этих базовых дисциплин на примерах исследования свойств конкретных объектов – целых чисел. Знания, полученные после изучения этой дисциплины, позволяют ориентироваться в различных направлениях практической деятельности, связанных с дискретной математикой, защитой информации, компьютерными науками. В качестве входных знаний необходимы основы алгебры, действительного и комплексного анализа. Изучение этой дисциплины может сопровождаться практикумом на ЭВМ по теоретикочисловым алгоритмам с использованием пакетов прикладных программ, таких как «Математика», и практикумом по параллельным методам решения теоретико-числовых задач на кластерах. В ходе изучения дисциплины «Дополнительные главы теории чисел» студенты должны усвоить основные понятия и методы теории чисел, получить основные сведения о структурах, используемых в персональных компьютерах. Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями, монографиями, научными статьями. На основе приобретенных знаний формируются умения применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, владеть методами построения математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов. Знание теории чисел может существенно помочь в научно- исследовательской работе. 1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО. В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями: общекультурными компетенциями (ОК): 4 способностью к логически правильному мышлению, обобщению, анализу, критическому осмыслению информации, систематизации, прогнозированию, постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на основании принципов научного познания (ОК-9); профессиональными компетенциями (ПК): способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1); способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2); способностью использовать нормативные правовые документы в своей профессиональной деятельности (ПК-5). В результате освоения дисциплины студент должен: Знать: свойства простых и составных чисел, законы распределения простых чисел в натуральном ряде, свойства колец классов вычетов по натуральным модулям, основные свойства алгебраических расширений поля рациональных чисел и конечных полей, свойства арифметических функций. Уметь: решать линейные и квадратичные уравнения от нескольких переменных, системы линейных уравнений в целых числах. Устанавливать разрешимость и находить решения алгебраических сравнений и систем сравнений, показательных сравнений. Вычислять значения арифметических функций. Строить рациональные приближения к действительным числам. Владеть: современными теоретико-числовыми алгоритмами. 2. Структура и трудоемкость дисциплины. Семестр 2. Форма промежуточной аттестации: зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов. 5 3. Тематический план. Таблица 1. Тематический план. № Тема Недели семестра Лекционные занятия Практические занятия Итого часов по теме Из них в интерактивной форме Итого количество баллов Виды учебной работы и 1 2 3 4 5 7 8 9 10 1–2 2 4 22 28 1 0-21 3-4 2 4 28 34 2 0-26 4 8 50 62 3 0-47 5-7 4 6 14 24 1 0-12 8 - 12 4 8 30 42 3 0-12 13 - 14 2 6 20 28 2 0-17 10 20 64 94 5 0-41 15 - 16 2 4 18 24 2 0-6 17 - 18 2 4 30 36 1 0-6 Всего: 4 8 48 60 3 0-12 Итого (часов, баллов): 18 36 162 216 11 0-100 3 8 работа Самостоятельная самостоятельная работа, в час. Модуль 1 1.1. 1.2. Теория делимости Важнейшие функции теории чисел Всего: Модуль 2 2.1. 2.2. 2.3. Сравнения Сравнения с одним неизвестным. Сравнения второй степени. Всего: Модуль 3 3.1. 3.2. Трансцендентные числа Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях. Из них часов в интерактивной форме: 6 Таблица 2. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля. реферат Итого количество баллов работа контрольная Письменные работы семинаре ответ на № собеседование Устный опрос Модуль 1 1.1. 0-1 0-20 0-21 1.2. 0-1 0-25 0-26 0-2 0-45 0-47 Всего: Модуль 2 2.1. 0-1 0-1 0-10 0-12 2.2. 0-1 0-1 0-10 0-12 2.3. 0-1 0-1 0-15 0-17 0-3 0-3 0-35 0-41 3.1. 0-1 0-1 0-4 0-6 3.2. 0-1 0-1 0-4 0-6 Всего: 0-2 0-2 0-8 0-12 Итого: 0-5 0-7 0-8 0-100 Всего: Модуль 3 0-80 7 Таблица 3. Планирование самостоятельной работы студентов. № Виды СРС Неделя Объём Кол-во дополнительные семестра часов баллов Подготовка 1–2 22 0-21 3-4 28 0-26 50 0-47 5-7 14 0-12 8-12 30 0-12 13-14 20 0-17 64 0-41 15 – 16 18 0-6 17 – 18 30 0-6 Всего по модулю 3: 48 0-12 ИТОГО: 162 0-100 Модули и темы обязательные Модуль 1 Проработка 1.1 Теория делимости лекций, работа с литературой, 1.2 Важнейшие функции решение теории чисел. типовых задач рефератов, составление задач Всего по модулю 1: Модуль 2 2.1 2.2 2.3. Сравнения. Проработка Сравнение с одним лекций, работа с неизвестным. литературой, Сравнения второй степени. решение Написание программы Всего по модулю 2: Модуль 3 3.1 Трансцендентные Проработка числа. лекций, работа с Распределение простых 3.2 чисел в арифметических прогрессиях. литературой, решение Подготовка рефератов типовых задач 8 4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами. Наименование Темы дисциплины необходимые для изучения № обеспечиваемых обеспечиваемых (последующих) дисциплин п/п (последующих) дисциплин 1. 2. 3. Электроника и схемотехника Криптографические протоколы Производственная практика 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Криптографические 4. методы защиты + + информации 5. Содержание дисциплины. Модуль 1. 5.1. Теория делимости. Свойства делимости. Алгоритм Евклида и следствия из него. НОК. Связь алгоритма Евклида с непрерывными дробями. Простые числа. Каноническое разложение целых чисел. 5.2. Важнейшие функции теории чисел. Функция [x]. Мультипликативные функции. Вывод формул для S(n) и 𝜏(𝑛). Функции Мёбиуса и Эйлера, их свойства. Модуль 2. 5.3. Сравнения. Свойства сравнений (Теорема 1 и 2). Полная и приведённая системы вычетов. Теорема Эйлера и Ферма. 5.4. Сравнение с одним неизвестным. Сравнения первой степени. Система сравнений первой степени, китайская теорема об остатках. Сравнения любой степени по простому и составному модулях. Решение сравнения 𝑓(𝑥) ≡ 𝑂(𝑚𝑜𝑑 𝑝𝛼 ). 9 5.5. Сравнения второй степени. Общие свойства сравнения 𝑥 2 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). Символы Лежандра и Якоби, их свойства. Случай составного модуля. Модуль 3. 5.6. Трансцендентные числа. Иррациональность числа е. Теорема Линдемана. Трансцендентность числа π Теорема Гельфонда (без доказательства) и следствие из неё. 5.7. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях. Теорема Дирихле. Бесконечность простых чисел вида 4t + 3, 4t + 1 и 6t + 1. 6. Планы практических занятий. Модуль 1. 6.1. Теория делимости. Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольших делителей двух чисел. Разложения рациональных чисел в непрерывные дроби с составлением таблиц подходящих дробей. Нахождение канонического разложения чисел. Применение решета Эрастосфена. 6.2. Важнейшие функции теории чисел. Нахождение канонического разложения числа вида n!. Вычисление числа и суммы делителей (𝜏(𝑛) и 𝑆(𝑛)). Составление таблиц значений для функции Мёбиуса и Эйлера (𝜇 и 𝜑). Модуль 2. 6.3. Сравнения. Использование свойств сравнений для их упрощения. 6.4. Сравнение с одним неизвестным. Решение сравнений вида: 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚). 𝑓(𝑥) ≡ 𝑂(𝑚𝑜𝑑 𝑚) и систем сравнений. 6.5. Сравнения второй степени. Решение сравнений второй степени вида: х2 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚). Вычисление символов Лагранжа и Якоби. Модуль 3. 6.6. Трансцендентные числа. 10 Использование критериев для определения по числу его алгебраичность или иррациональность. Иллюстрация теорем численными примерами. 6.7. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях. Использование формул для оценки числа простых чисел, меньших данного ( возможно применение персональных компьютеров). 7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум). Не предусмотрены. 8. Темы курсовых работ. 9. Не предусмотрены 10. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины. Текущая аттестация: Три контрольные работы ( примеры контрольных работ указаны ниже). Промежуточная аттестация: Зачет (письменно-устная форма). Зачет выставляется после решения задач всех контрольных работ и выполнения самостоятельной работы. Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) системы оценок. Варианты контрольных работ. Контрольная работа № 1. Найти НОД (6188,4709). Разложить в непрерывную дробь 𝛼 = 125 92 . Найти каноническое разложение числа 125! Вычислить 𝜏(𝛼) и S(α), α =2800. Найти φ (5040), µ(147) и µ(143). Контрольная работа № 2. Решить сравнение 256х ≡ 179 (𝑚𝑜𝑑 337). Решить систему сравнений 11 х ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 8), х ≡ 11 (𝑚𝑜𝑑 20), х ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 15). Решить сравнение 9х2 +29х +62 ≡ О (𝑚𝑜𝑑 64). Контрольная работа № 3. Указать число решений сравнения: а) х2 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 73), б) х2 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 75), в) х2 ≡ 226(𝑚𝑜𝑑 563), г) х2 ≡ 429(𝑚𝑜𝑑 563). Темы рефератов: Теорема Дирихле. Работа П.Л.Чебышева о функции π(х). Теорема Мертенса. Трансцендентность числа π. Трансцендентность числа е. Вопросы к зачету: Алгоритм Евклида, НОД и НОК. Непрерывные дроби. Таблицы подходящих дробей. Функции [x] и {x}. Мультипликативная функция. Формулы S(n) и 𝜏(𝑛). Функция Мёбиуса. Функция Эйлера. Предложения 1 о сравнениях (5 свойств). Предложения 2 о сравнениях (6 свойств). Полная и приведённая система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнение 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚). Система сравнений первой степени. Сравнения 𝑓(𝑥) ≡ 𝑂(𝑚𝑜𝑑 𝑝) . Теорема Вильсона. Сравнения 𝑓(𝑥) ≡ 𝑂(𝑚𝑜𝑑 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑘 ) . Сравнения х2 ≡ 𝛼(𝑚𝑜𝑑 𝑝). Свойства символа Лежандра. Свойства символа Якоби. Сравнения вида х2 ≡ 𝛼(𝑚𝑜𝑑 𝑝𝑛 ) и х2 ≡ 𝛼(𝑚𝑜𝑑 2𝑛 ). Показатели и первообразные корни. 12 Бесконечность простых чисел вида 4t + 1 и 6t + 1. 11. Образовательные технологии. При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями обучения (различные демонстрации с использованием проекционного и мультимедийного оборудования). При проведении практических занятий применяются технологии проблемного обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения (самостоятельное изучение студентами учебных материалов в электронной форме, выполнение студентами электронных практикумов, различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования). При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном дифференцированного современные изучении обучения, информационные части теоретического репродуктивного технологии материала), обучения, обучения а (системы также поиска информации, работа с учебно-методическими материалами, размещенными на сайте университета). В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное практическое занятие, работа в малых группах, практические занятия в диалоговом режиме, самостоятельная работа с учебными материалами. 12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины. Основная литература: 1. Виноградов И.М. «Основы теории чисел», Санкт-Петербург: Издательство ООО «Издательство «Лань», 2009. 2. Нестеренко Ю.В. «Теория чисел», Издательство «Академия», 2000. 13 3. Вейль Г. «Алгебраическая теория чисел», - М.: Едиториал УРСС, 2004. 4. Ильин В.А. Основы математического анализа: учебник для студентов физической специальности в 2 частях. – М. ФИЗМАТЛИТ. 2005. 5. Бухштаб А. А. «Теория чисел», Санкт –Петербург: Издательство ООО «Издательство «Лань», 2009. Дополнительная литература: 1. Вся высшая математика: учеб. для студ. втузов: в 6 т. / М. Л. Краснов [и др.]. – М.: УРСС, 2005. 2. Хинчин А.Я. Три жемчужины теории чисел – М.: Едиториал УРСС,2004. 13. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины. Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютеру с Microsoft Office. 14