Площади многоугольников

-1–
Проектная работа: ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
Площади многоугольников.
В данной исследовательской работе рассматриваются факты, связанные с
площадью многоугольника. При выполнении первого этапа будут рассмотрены задачи,
для решения которых не требуется применения аналитического аппарата, достаточно
знания основных свойств площадей: равные плоские фигуры имеют равные площади,
площадь фигуры равна сумме площадей частей, из которых она составлена.
Выполнение второго этапа основано на свойстве медианы: медиана делит
треугольник на два равновеликих треугольника.
Решение задач третьего этапа опирается на формулу вычисления площади
треугольника.
Понятие площади многоугольника.
Каждому многоугольнику можно поставить в соответствие положительное число
S(площадь) так, чтобы выполнялись следующие условия:
I. Равные многоугольники имеют равные площади.
II. Если многоугольник составлен из двух многоугольников, не имеющих внутренних
общих точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
III.Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна 1 (единице
измерения площадей)
Иными словами, площадь – это функция, заданная на множестве многоугольников,
принимающая только положительные значения и удовлетворяющая вышеперечисленным
условиям.
I этап.
1.Используя свойства площадей, докажите, что площадь прямоугольника равна
произведению длин его сторон. Рассмотрите три случая: а) стороны прямоугольника
выражены целыми числами; б) стороны выражены конечными десятичными дробями; в)
стороны – бесконечные десятичные дроби.
2. Используя формулу площади прямоугольника, выведите формулы площадей
треугольника, параллелограмма( через треугольник), трапеции.
3. Решите задачи о равновеликих фигурах.
Задача 1. На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка М. Площадь ΔВМС равна S.
Площади какие фигур могут быть выражены через S? Выразите их.
Задача 2. Пусть точка М взята внутри параллелограмма и соединена со всеми его
вершинами. Сумма площадей треугольников, прилежащих к параллельными сторонам
параллелограмма, равна S. Найдите площадь параллелограмма. А еще какие площади
можно выразить через S?
Задача 3. Даны параллелограммы АВСD и МВСК, причем стороны АD и МК лежат на
одной прямой. Что можно доказать? Докажите?
Задача 4. Дан параллелограмм АВСD. Рассмотрим новый параллелограмм, у которого
одна вершина совпадает с вершиной В, соседняя с ней вершина М лежит на стороне АD, а
сторона КL, противоположная стороне ВМ, лежит на прямой, проходящей через вершину
С. Докажите, что параллелограммы АВСD и ВКLМ равновелики. Есть ли еще
равновеликие многоугольники?
Задача 5. Докажите, что медиана треугольника делит его на два равновеликих
треугольника.
-2–
Проектная работа: ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
Задача 6. Докажите, что медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
Задача 7. Каждая сторона ΔАВС продолжена на свою длину, так что точка В- середина
отрезка АВ', С – середина отрезка ВС', точка А – середина отрезка СА'. Площадь ΔАВС
равна S. Найдите площадь ΔА'В'С'.
Задача 8. А если дан выпуклый четырехугольник АВСD площади S?? Рассмотрите
задачу, аналогичную задаче 7.
.
II этап.
Решите задачи о разрезании фигур.
Задача 9. (вспомогательная) Пусть диагонали трапеции АВСD (АВ и СD – основания)
пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОВ и DОС равновелики.
Задача 10. Через произвольную точку на стороне треугольника провести прямую, которая
делит его на две равновеликие части.
Задача 11. Через вершину выпуклого четырехугольника провести прямую, которая делит
его на две равновеликие части.
Задача 12. На стороне треугольника как на диаметре построен полукруг. Провести
прямую, которая делит эту фигуру (объединение треугольника и полукруга) на 2
равновеликие части.
Задача 13. Через точку на стороне выпуклого четырехугольника провести прямую,
которая делит его на две равновеликие части.
Составьте/найдите в задачниках еще 7 задач по Вашей теме.
Этап III
Все изученное, доказанное и рассмотренное надо собрать в одном документе с рисунками
и оформить в соответствии с требованиями к исследовательской работе.