Развитие геометрического мышления школьников
advertisement
Развитие геометрического мышления школьников А.В.Боровских, Э.Рейхани, Н.Х.Розов Резюме В последние годы растущий интерес к геометрическим идеям стимулировался их новым использованием в математике и других областях науки. Важно, что мы живем в реальном мире, и реальный мир является геометрическим. Двойной характер геометрии, и как теоретической области, и как области практического опыта, дает возможность учителям математики связать теорию с каждодневным знанием их учеников. Поскольку геометрия развивается, охватывая все более широкий круг разнообразных визуальных явлений, важно понимать, что представляет собой геометрическое мышление, как оно решает математические проблемы, возникающие в визуальных явлениях, и как это мышление развивается. Цель этой статьи состоит в том, чтобы дать краткий обзор двух теоретических моделей мышления в геометрии теории Пиаже (J.Piaget) и модели Ван Хиле (D. van Hiele, P. van Hiele) – которые были выдвинуты как полезные структуры для того, чтобы описывать и понимать развитие геометрического мышления. Хотя существуют и другие теории геометрического мышления, но с точки зрения большинства педагогов- математиков эти две теории являются наиболее важными и хорошо известными. Введение Говорят, что у китайцев худшее из пожеланий звучит так: «Чтоб тебе жить в эпоху перемен». Мы живем в эпоху перемен, и трудности этой эпохи вынуждают нас жестче относиться к самим себе, к своей деятельности, к оценке своих достижений и провалов. Педагогическая деятельность здесь не является исключением, и каждый учитель, в конце концов, оказывается вынужденным самостоятельно вырабатывать свою методику, свои приемы, свои методы работы. Эффективность деятельности учителя зависит от того, насколько он находится «в контакте» со своими учениками, насколько они его воспринимают, насколько укладывается в их голове то, что учитель им преподносит. Понятно, что этот контакт зависит не столько от каких-то внешних приемов и эффектных «фокусов», которыми пользуется учитель (они, конечно, играют какую-то роль, но это – скорее «полировка» стиля, чем его основа), сколько от соответствия той деятельности, которую организует учитель в голове своих учеников, естественным законам развития человеческого, в частности, детского мышления. Эти законы, конечно, не являются чем-то трансцендентным: большинство учителей чувствуют эти законы и следуют им, в большей или меньшей степени. Однако чувства эти, как правило, не доводятся учителем до рафинированных вербальных формулировок, понятий, категорий (до того ли учителю – ему бы успеть и уроки провести, и контрольные проверить, и отчеты написать), а остаются в «подсознательной» форме, в виде комплекса реакций на те или иные ситуации, интуитивных ощущений, что и как надо делать, как излагать материал, какие задания дать детям и пр. Хотя мы ведем здесь речь именно о геометрическом мышлении, и хотя эта работа предназначена в первую очередь учителям-математикам, мы думаем, что изложенные здесь принципы будут интересны и полезны учителям и других специальностей. Во-первых, потому, что более или менее сложные геометрические образы используются практически всеми – от филологов до физиков. Во-вторых, потому, что для многих предметов пространственное мышление является важной частью задействованных при изучении этого предмета способностей – например, для географии, где установление соответствия между земной поверхностью и картой является действием, принадлежащем полностью к сфере пространственного мышления. Или для химии, где объяснение явления изомеризации основывается на различной пространственной структуре одинаковых по химическому составу молекул. Кроме того, сами постановки вопросов, которые обсуждаются в той или иной концепции, имеют несомненные параллели в других предметах и могут послужить удачной аналогией для получения полезных выводов, соображений, принципов. Проблема развития пространственного мышления в школе. К сожалению, в методической науке сейчас нет единого представления о том, что такое пространственное мышление и что такое геометрическое мышление. Тем не менее, вопрос развития пространственного и геометрического мышления стоит сейчас в центре внимания многочисленных работ по методике преподавания математики, как в нашей стране, так и за рубежом. С пространственными образами и отношениями мы сталкиваемся в жизни повсеместно, независимо от какого бы то ни было образования. По большому счету, образование лишь помогает человеку выразить в словах (понятиях, утверждениях) эти образы и отношения, систематизировать их и рафинировать аргументацию рассуждений с ними до уровня логической строгости, что позволяет сделать систему пространственных представлений максимально компактной и эффективной. Спецификой настоящего времени является невероятно быстрое расширение сферы пространственного восприятия людей и, в частности, детей. Кино и телевидение, а теперь и компьютер настолько расширили круг воспринимаемых нами пространственных образов, что в сравнении с ним треугольники и окружности выглядят почти что как посох в самолете. Использование компьютеров, цифровой фотоаппаратуры и мобильных телефонов привело к качественному изменению представлений о цвете – из физического свойства того или иного материала он превратился в «геометрический» атрибут, еще одну дополнительную характеристику пространственной фигуры. К сожалению, современная система геометрического образования не в состоянии охватить все многообразие количественных и качественных изменений в области пространственного восприятия детей, так что все это многообразие остается в результате «непереваренным», оседая просто мертвым грузом впечатлений. Поэтому современному учителю приходится практически постоянно самому разрабатывать технологию освоения новых классов пространственных отношений, чтобы, по крайней мере, на внеклассных занятиях, хоть как-то компенсировать недостаток системы. Мы думаем, что изложенные ниже концепции придутся здесь к месту, поскольку имеют общий характер и сферу применения. Отметим, кстати, что, несмотря на достаточно широкую известность этих концепций в кругу методистов, разработчики учебников этими принципами часто пренебрегают. И учителю приходится компенсировать недостатки учебника своей собственной деятельностью, добавляя, где нужно подходящий материал, упражнения, демонстрируя те или иные взгляды на предмет, аргументы и пр. Поэтому изложение ниже принципов общего характера, мы думаем, может оказаться полезным и учителю в ординарной работе, и разработчикам – как способ «превентивного» обнаружения различных грехов в проектировании учебников с точки зрения психолого-педагогических закономерностей развития. Среди теорий, которые описывают геометрическое мышление и обучение геометрии наиболее известные – это Теория Стадий Пиаже и модель Ван Хиле. В этой статье представлены эти теории и их особенности. Однако прежде, чем перейти к их изложению, нам понадобится предварительно обсудить несколько важных концептуальных идей, без которых обсуждение этих теорий не имеет никакого смысла. Речь пойдет о том, что такое геометрия и геометрическое мышление. Геометрия и геометрическое мышление. Хотя геометрия как наука насчитывает тысячелетнюю историю, проблема описания законов геометрического мышления оказывается связанной с весьма специфической проблемой: ведь с течением времени меняется как сфера пространственных восприятий, так и сама наука. Соответственно меняются и представление о том, что же такое геометрическое мышление. Если говорить о популярных определениях геометрии, то, наверное, наиболее удачное из современных определений дано британским математиком, сэром Кристофером Зиманом: «Геометрия включает те отрасли математики, которые эксплуатируют визуальную интуицию (наиболее доминирующее из наших чувств), чтобы помнить теоремы, понимать доказательство, вдохновлять догадку, чувствовать действительность и давать глобальное понимание». Хотя оно и опирается на представление о геометрии как о научной деятельности, целью которой является исследование логических связей между понятиями (что вряд ли можно считать целью и в школьной геометрии), в нем центральная роль отводится использованию визуальной интуиции, то есть пространственных представлений. Что же касается более точных определений геометрии, то, наверное, наиболее адекватным является определение Феликса Клейна: «Геометрия – это пространство с группой преобразований в себя, а геометр изучает свойства, которые инвариантны при этих преобразованиях» (1870). Работами Клейна вдохновлена большая часть развития геометрии в течение двадцатого столетия. Чтобы не заставлять читателей угадывать смысл той научной терминологии, которая здесь употребляется, мы «расшифруем» его. Понятно, что геометрия имеет дело со свойствами различных фигур. Однако действия, которые мы производим над этими фигурами – различны. Тот же треугольник можно просто передвинуть с места на место, можно растянуть в два раза, можно вообще изогнуть, сделав его криволинейным, а можно и раздуть, сгладив углы и превратив в окружность. Содержание той или иной геометрии определяется тем, какие два треугольника мы считаем «одинаковыми», или, другими словами, какой набор действий, как мы считаем, «не меняет» фигуры. Этот набор действий называется у Ф.Клейна «группой преобразований». А геометрическая фигура – это набор «одинаковых», с принятой точки зрения, фигур. Далее, если мы считаем пропорциональные треугольники «одинаковыми», то «свойством» таких треугольников не может считаться длина сторон (у каждого треугольника она ведь своя), но может считаться величина его углов. Таким образом, после фиксации допустимого набора действий и, соответственно, понятия «одинаковости», мы должны вычленить те свойства, которые являются общими для всех «одинаковых» фигур. То есть (раз «одинаковые» фигуры получаются друг из друга с помощью действий, которые мы считаем допустимыми) свойств, не меняющихся при выполнении зафиксированного нами набора действий, или, если использовать научный термин, свойств, являющихся инвариантными относительно этих действий («инвариантный» порусски означает «не меняющийся»). Различные «геометрии», связанные различными группами преобразований, формируют иерархию геометрий. В рассмотренном нами примере если одинаковыми считать треугольники, полученные друг из друга сдвигами и поворотами, то мы получим знакомую нам евклидову геометрию, если к этим действиям добавить еще и растяжения – то геометрия станет уже другой, это будет так называемая «аффинная геометрия». Если расширить класс допустимых действий за счет косых сдвигов – то речь пойдет уже о «проективной геометрии», в которой величины углов уже перестают быть инвариантными свойствами, но зато сохраняется отношение параллельности. «Проективной» она называется потому, что соответствующие преобразования можно интерпретировать как проекции фигуры с одной плоскости на другую, вообще говоря, не параллельную ей. Если же, наоборот, оставлять углы неизменными, но позволить стороны изгибать – мы получим «конформную геометрию», а уж если мы позволим себе и выпрямлять углы, то это будет уже наиболее «вольная» геометрия. Допустимыми действиями здесь являются любые, лишь бы они не были связаны с разрыванием или разрезанием фигур. Свойств же, которые сохраняются при таком широком классе действий, очень немного, и они носят название «топологических», поскольку связаны они только с взаимным расположением фигур -- внутри/вне, рядом, и т.п., а соответствующая геометрия называется «топологией» («топология» в переводе на русский язык означает «наука о местах», или, более литературно, «наука о местоположении», или «наука о расположении»). Таким образом, мы видим, что различные геометрии объединяются в «семейства», начиная от топологии, как самой общей, через проективную и аффинную геометрии, к евклидовой геометрии, которая имеет наиболее ограниченное понятие одинаковости, или равенства (и, соответственно, большое количество инвариантных свойств). Чем группа допустимых преобразований становится больше, тем меньше свойств остаются неизменными. Количество концепций, которые мы будем изучать, уменьшается, словарь упрощается, а теоремы становятся более «общими» [1],[2]. Whiteley (1999) перечисляет несколько практических принципов, которые связаны с этой иерархизацией геометрий. Например, он указывает, что преобразование является ключевым понятием геометрии и рассуждения с преобразованиями должны быть центральной темой нашего изучения геометрии. Другой принцип состоит в том, что при постановке новых геометрических проблем основная, ключевая задача состоит в том, чтобы решить: в какой геометрии она ставится? Если проблема не правильно размещена в пределах геометрической иерархии, то возникает существенный риск, поскольку снабжение предмета исследования массой излишних деталей или игнорирование существенных сторон (соответствующих в более низкой или более высокой иерархии) делают это исследование существенно менее эффективным. Отметим в заключение этого пункта, что принцип связи между той или иной наукой или отраслью науки, набором действий, который этой наукой используется и набором свойств, которые при этих действиях сохраняются, не является чисто математическим. На самом деле это принцип общенаучный. Так, химия допускает в качестве набора действий любое изменение температуры веществ, не изменяющее их химический состав, поэтому с точки зрения химии вода, пар и лед – это одно и то же. Внутри самой химии ограничение круга допустимых действий, связанное с запретом изменений в структуре молекулы, пусть даже и сохраняющих ее химический состав, приводит к разделу, называемому теорией изомеров. Так что иерархическое устройство имеется и здесь. В биологии один из основных признаков, позволяющих относить двух животных к одному виду, является возможность скрещивания – то есть опять же некоторое действие. Думаем, список можно продолжать, так что высказанные выше принципы могут найти аналогии и в других науках. Пространственное и геометрическое мышление в школьном образовании. Как мы видим, полноценное геометрическое рассуждение связано с оперированием не отдельными пространственными объектами, а классами этих объектов, образованными по тому или иному принципу «одинаковости». Нет никакого сомнения в том, что такое мышление – это мышление «понятиями», это мышление достаточно высокой степени абстракции, и мы не можем рассчитывать на то, что школьники будут прямо сразу осваивать этот тип мышления. Школьное образование может на самом деле лишь отчасти, на примере одной или нескольких геометрий, приблизиться к этому типу мышления. Поэтому имеет смысл различать «пространственное мышление», как оперирование пространственными образами и отношениями между ними в той конкретности, в которой они даны нам в восприятии, без формирования абстрактных понятий. Под «геометрическим» же мышлением имеет смысл понимать как раз мышление с помощью понятий, которое формируется на основе мышления пространственного с помощью тех или иных операций абстрагирования. А обучение школьников, по существу, состоит из двух компонент. Первая – это формирование у школьников, на основе их же пространственных восприятий, пространственного мышления, достаточно полно отражающего окружающую их реальность. Вторая – это уже процесс создания, на базе пространственного мышления, мышления геометрического, ассоциированного с соответствующей системой понятий. Теория стадий Пиаже Работы Пиаже (см., напр., [14[ , ]15[) посвящены двум главным проблемам. Первая проблема связана с обоснованием того, что мысленное представление учеником пространства не совпадает с восприятием того, что находится вокруг них. Обучаясь, мы развиваем наше мысленное представление об окружающем мире через прогрессивную реорганизацию нашей предшествующей активной деятельности в окружающей среде. Эта тема остается в центре внимания и других исследователей. Вторая проблема, которую исследует Пиаже, связана с тем, что прогрессивная организация геометрических идей школьника следует определенному порядку, и что этот порядок, будучи основанным на опыте, существенно отличается от исторического пути развития геометрии. Формальная история геометрии началась с евклидовой геометрии, затем она развивалась в проективную геометрию и потом возникла топология. Согласно Пиаже ребенок начинает геометрически мыслить с топологических идей, затем эти идеи перемещаются в проективные концепции, и уже потом он приходит к евклидовой геометрии. Это могло быть сформулировано как «обращение» исторического развития геометрии. С точки зрения Пиаже, основные топологические отношения, которые воспринимаются ребенком непосредственно, следующие: это близость, разделение, порядок и вложение. Близость обращается к относительному местоположению объектов в пространстве и событий во времени – насколько близок или далек один объект от другого. Другими словами, близость у Пиаже – это относительная близость объекта или события к любому другому объекту или событию. Естественно, очень маленькие дети интересуются только вещами, расположенными рядом с ними, потому что они находятся в зоне достижимости, их можно потрогать, подержать в руках, осуществить какие-то манипуляции с ними. Постепенно дети обнаруживают, что интересующие их объекты существуют сами по себе и идентифицируют местоположение объектов в пространстве. Первые ощущения пространственного расположения, сопровождаемые словарем (рядом, далеко, близко, под, над, выше, ниже, около, между, рядом и так далее), постепенно расширяются в детском каждодневном опыте и в действиях свободной игры. Разделение – объект, событие или «пространство», пребывающее между другими объектами или событиями. Оно также включает различение между объектами и частями объектов. Пока дети не освоят разделение, они не могут ясно визуализировать объект как состоящий из отдельных частей. Детские рисунки, особенно рисунки человеческих фигур, демонстрируют их бедное понимание разделения. Постепенно дети дифференцируют части тела и добавляют отдельно голову, туловище, и члены. Наконец, они рисуют детали типа пальцев, рук и ног, и всех частей лица и головы в надлежащих местах. Разделение класса на две отдельных команды, разделение страны на различные районы и так далее - полезная деятельность для того, чтобы понять разделение. Действия классификации также помогают детям познавать отношение частей и целого. Осознание того, что такое множество и подмножество – важный аспект разделения, которое ведет к пониманию концепций числа и общих частей. Классификация - также важный аспект организации понимания различных геометрических форм и их отношений. Порядок - последовательность объектов или событий (во времени) согласно размеру, цвету или какому-то другому признаку. Последовательность событий имеет два порядка: от начала к концу и наоборот, или вперед и назад. Развитие ощущения обратимости, или противоположного порядка, является важным навыком мышления. Младшие школьники не удерживают порядок расположения событий или объектов. Повторение действий в некоторый последовательности помогает детям устанавливать правильный порядок событий и объектов. Словарь для порядка развивается одновременно с действиями: сначала, спереди, последний, средний, предпоследний, и так далее. Мышление вперед вообще легче, чем мышление назад, так что учителя должны тренировать школьников в освоении не только прямых, но и обратных действий. В самых простых терминах вложение идентифицирует местоположение внутри, снаружи, в и между. Другими словами, вложение – объект или случай, окруженный другими объектами или событиями. Идея относительно простой замкнутой кривой также важна и помогает объяснять, почему очень маленькие дети чувствуют формы типа кругов, квадратов и треугольников, как являющихся по существу той же самой формой, особенно когда они рисуют их сами. Подобно относительному положению, вложение относится к: (a) положению одной точки между двумя другими на линии (b) точке в пределах замкнутой кривой на плоскости (c) точки в пределах замкнутой трехмерной фигуры в пространстве . . . Обсуждая освоение детьми проективных концепций, Пиаже отмечает, что дети начинают представлять пространственные особенности через рисунок и моделирование. Топологический характер их размышления проявляется в их рисунках. Например, в рисунке, сделанном самыми маленькими детьми, небо и земля часто представляются как отдельные объекты, но нет никакого понимания горизонта. Или, например, оба глаза нарисованы на одной стороне головы собаки, потому что, ребенку, важно то, что они находятся внутри главной формы. Типично для этого возраста то, что ребенок еще не обладает типом мышления, которое может быть ассоциировано проективной геометрией, и которое позволило бы ему/ей вообразить другую сторону головы собаки. Постепенно, в возрасте от 4 до 9 лет, ребенок начинает чувствовать и представлять объекты с различных точек зрения и включает идеи, связанные с перспективой. Размещение особенностей или объектов друг относительно друга и принятие во внимание вертикальных и горизонтальных отношений становится частью способа ребенка рассмотреть мир. Эти виды идей могут классифицироваться как принадлежность к типу геометрии, называемому «проективной». Это – отрасль геометрии, имеющая дело со свойствами и инвариантами геометрических фигур, возникающими при проектировании. Детей в возрасте от 4 лет до 10 просили нарисовать жидкость в наклоненной фляге на столе, и нарисовать людей или деревья на склоне. Самые младшие ясно демонстрировали топологическое мышление, с жидкостью, просто показанной внутри фляги, и людей, приложенных к холмам. Постепенно, поскольку пространственное мышление развиваются, может быть замечена и координация вертикального и горизонтального [10] . С точки зрения Пиаже внимание на метрические и евклидовы отношения дети обращают лишь на заключительной стадии освоения пространственных отношений. Евклидовы характеристики, которые описывают углы, подобие, и длину, могут быть признаны последними в этом ряду. Отметим, что в то время как Пиаже считает, что развитие восприятия геометрии последовательно (то есть, топологический, проективный, евклидов), другие исследователи полагают, что все типы геометрического мышления продолжают развиваться в течение какого-то времени, все более и более объединяясь (Clements и Battista, 1992, см. ткж. [7, 10]). Следует отметить, что в отличие от способностей к проективному и евклидовому пространственному мышлению, которые хорошо исследовались, топологическое пространственное мышление еще не получило достаточного внимания (McArthur и Wellner, 1996) [9]. Заключая обсуждение концепций Пиаже, можно заметить, что, с точки зрения введенного нами разделения понятий «пространственного» и «геометрического» мышления Пиаже обсуждает именно первое, причем обсуждает даже не стадии развития пространственного мышления, а стадии развития пространственного восприятия. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения, безусловно, должно следовать законам развития пространственного восприятия для того, чтобы это обучение было наиболее эффективным. Удивительным оказывается то, что, несмотря на достаточную очевидность этого принципа, он достаточно регулярно нарушается авторами школьных учебников. Так, во многих учебниках для младшей школы геометрия начинается с … понятия прямой! Просто удивительно, что авторы не задумываются о том, что термин «прямая» – это уже результат формализации, геометрическое понятие. Если хотите, это – сленг, сокращение. Полное название объекта – «бесконечная прямая линия», то есть линия, бесконечно продолженная в обе стороны и обладающая свойством прямизны. Очевидно, что «прямизна» есть свойство «проективное», что «бесконечно продолжаемая» есть дополнительная идеализация этого свойства, в то время как «линия» есть объект топологический, который и воспринимается и понимаемается детьми, в соответствии с концепцией Пиаже, гораздо раньше, чем свойство «прямизны». Другой пример – понятие площади, которое многие авторы вводят, грубо говоря, как «количество квадратных сантиметров». При этом игнорируется тот факт, что формирование представления о площади начинается с топологического по существу отношения вложения фигур. Это отношение сначала ограничивается только движением фигур, в результате формируется отношение больше/меньше, а затем это отношение «уточняется» разрешением разрезания фигур на части и движения частей по отдельности, что позволяет сформировать представление о «специальном» равенстве фигур, которое и формализуется как равенство их площадей. Уже на основе этих представлений о равенстве формируется понятие о кратных и дробных отношениях площадей, приводящее к численному выражению отношений площадей, и только на последнем, заключительном этапе числовое отношение разделяется на понятие единицы измерения и на числовое значение площади, выраженной в тех или иных единицах измерения. Аналогичная ситуация имеет место и с измерением длин, и с измерением углов. Наконец, обсудим вопрос, можно ли интерпретировать как противоречие противоположность исторического развития геометрии (евклидова – проективная топологическая) и индивидуального процесса освоения ребенком пространственных отношений (топологические – проективные - евклидовы). На наш взгляд, так интерпретировать результаты Пиаже неверно. Представим себе, что мы решаем какую-то сложную задачу. Она не решается, мы даже не знаем, как к ней подступиться. Тогда мы эту задачу упрощаем, и пытаемся решить более простую. Тут у нас кое-что получается, но мы наталкиваемся на достаточно существенные трудности. Тогда мы еще упрощаем задачу, делаем ее совсем тривиальной. И решаем, полностью, до конца. Имея это решение, мы, например, догадываемся, каково должно быть решение «промежуточной» задачи и проверкой убеждаемся, что это действительно решение. Наконец, мы возвращаемся к исходной задаче и, имея в запасе уже целых две решенных задачи, находим путь решения задачи сложной. Например, путем сведения ее с помощью переобозначений или какихто других преобразований к задаче «промежуточной». Что мы видим? Последовательность постановки задач оказывается противоположной последовательности получения решений задач. А как же иначе? На наш взгляд, эффект, обнаруженный Пиаже – того же сорта. Если рассматривать процесс развития геометрии как решение задачи формализации того или иного класса отношений, то становится понятным, что задача формализации наиболее непосредственно воспринимаемых отношений – топологических – является наиболее трудной. А в промежуток между «постановкой» задачи (то есть восприятием этого класса отношений) и ее решением (формализацией) вложены, как матрешки, промежутки между постановкой и решением более «легких» для формализации задач. Возвращаясь к предложенному нами разделению понятий «пространственного» и «геометрического» мышления, можно результаты Пиаже сформулировать так: развитие пространственного мышления ребенка должно идти от освоения отношений топологических к освоению отношений евклидовых. А развитие геометрического мышления человека (оно происходит большей частью уже в недетском возрасте) – в обратном порядке: от понятий и свойств евклидовой геометрии к понятиям и свойствам геометрии топологической. Модель Ван Хиле (van Hiele). Голландские педагоги, супруги Pierre и Dina Hiele-Geldolf, обратили внимание на трудности, возникающие у их учеников при изучении геометрии. Анализируя эти трудности, они создали теорию, которая выделяет уровни геометрического мышления, через которые школьники проходят в течение их продвижения от простой фигуры к развитию способности писать формальное геометрическое доказательство. Их теоретическая модель объясняет, почему школьниками испытывают трудности в изучении геометрии вообще и формальных доказательств в частности. Модель Ван Хиле геометрической мысли появилась в докторских работах Dina van HieleGeldof и Pierre van Hiele. Дина умерла вскоре после окончания ее диссертации, а Пьер разъяснил, уточнил и развил теорию. Примечательно, что работа van Hiele, начатая в 1959 году, немедленно привлекла к себе внимание в Советском Союзе. Однако за исключением этой страны, где учебный план геометрии был пересмотрен в 1960-ых годах в соответствии с моделью van Hiele, получение этой моделью международного признания шло медленно. Интерес к этой работе и в СССР быстро рассеялся, и в течение почти двух десятилетий этой теме уделялось крайне мало внимания. Только в 1970-ых годах Izaak Wirszup (1976) начал систематически писать и говорить о ней [6, 12] . Настоящую известность теория Ван Хиле геометрического размышления и стадий обучения приобрела, начиная с начала 1980-ых годов, когда она стала предметом детальных исследований [7]. На сегодня теория van Hiele стала наиболее влиятельным фактором уже в Американском учебном плане геометрии [5]. Модель Ван Хиле состоит из двух частей: Первая – это описание уровней мышления, а вторая – описание стадий изучения. Эти две части позволяют описать тот характер мышления, который проявляется школьниками в процессе изучения геометрии. Уровни развития – описания не того что дети знают, а описания ступеней развития, которые проходит детское мышление и различные инструменты размышления, которые используются, чтобы изучить геометрию. Другими словами, уровни описывают, как каждый человек думает и о каких типах геометрических идей каждый думает, а не то, сколько знаний он имеет. Модель предлагает преподавателям схему организации обучения геометрии, такую, чтобы облегчить развитие школьников, их переход от текущего уровня мышления следующему. Уровни мышления в модели van Hiele. Этих уровней пять: 1-й уровень – визуальный (опознание) Этот уровень начинается с идентификации и осуществления тех действий с формами, которые основаны на суждении об их внешности и обычно видимой как «целое», без сосредоточения внимания на их составных частях. Школьники на этом уровне используют прямое визуальное наблюдение как первый инструмент размышления. Они способны опознавать и называть фигуры, однако они не дают свойства фигур, даже притом, что фигуры могут быть определены по свойствам. Школьники обычно не дают никакого объяснения, основанного на свойствах, но могут связывать новые формы со знакомыми. Например, могут говорить, «это – прямоугольник, потому что это напоминает дверь». Хотя они могут быть знакомы с различными свойствами геометрических объектов, могут знать, что прямоугольник имеет четыре стороны, и четыре правильных угла, но такое понимание может быть разрушено другими факторами. Например, школьник может сказать, что это уже не квадрат, а ромб, когда квадрат повернут на некоторый угол. Школьники на этом уровне обращают внимание на вид, и классифицируют формы, основанные на их появлениях – «я помещаю их вместе, потому что они все выглядят подобно». Объекты мысли на уровне 1 – формы и то, что они «напоминают». Изделия мысли на уровне 1– классы или группировки форм, которые кажутся «подобными». 2-й уровень – аналитический, на этом уровне, дети способны идентифицировать, описывать и объяснять составные части и свойства форм. Например, равносторонний треугольник может быть отличен от других треугольников его тремя равными сторонами, равными углами и симметрией. Школьники на аналитическом уровне способны рассмотреть все формы в пределах класса не хуже, чем единственную (отдельную) форму. Вместо разговора об "этом" прямоугольнике можно говорить "обо всех" прямоугольниках. Фокусируя внимание на классе форм, школьники способны думать о том, что делает прямоугольник прямоугольником (четыре стороны, противоположные параллельные стороны, противоположные стороны одинаковый длины, четыре правильных угла, равные диагонали, и т.д.). Идеи, использовавшиеся для индивидуальной формы, могут теперь быть обобщены и применены ко всем формам, которые соответствуют тому или иному классу. Если форма принадлежит специфическому классу типа кубов, она имеет соответствующие свойства этого класса. «Все кубы имеют шесть плоских граней и каждая из этих граней – квадрат». На этой стадии у детей появляется потребность в развитии соответствующего языка, чтобы осваивать новые определенные концепции. Однако на этой стадии у детей ещё не сформированы логические представления, так что школьники не способны чувствовать важные отношения между свойствами. Следовательно, согласно L.J. Sheffield (1999), в случае равностороннего треугольника они, например, могут не понимать, что если треугольник имеет три равных стороны, то он должен иметь три равных угла [7]. Для ребенка, который думает на аналитическом уровне, полагать, что фигура может принадлежать нескольким общим классам и иметь несколько имен может быть трудно. Например, квадрат – является прямоугольником благодаря тому, что, как и любой другой прямоугольник, имеет 4 стороны и 4 прямых угла. Однако школьники могут отказываться принимать, что квадрат – также прямоугольник. Они могут думать, что эти две геометрических фигуры полностью различны даже притом, что имеют много общих свойств. Школьники на этом уровне могут описать фигуру по ее свойствам; например, прямоугольник имеет четыре правильных угла с конгруэнтными диагоналями и противоположными сторонами, равными и параллельными. Они могут быть способны увидеть, что параллелограммы и прямоугольники имеют равные и параллельные противоположные стороны, но оказываются не способными заключить, что прямоугольник – параллелограмм. При описании объекта школьник, который действует на этом уровне, мог бы вносить в список все свойства, которые он знает, но он не различает, какие свойства являются необходимыми, а какие – достаточными для описания объекта. Объекты мысли на уровне 2 – классы форм, а не индивидуальные формы. Изделия мысли на уровне 2 – свойства форм. 3 уровень – неформальная дедукция, на этом уровне школьники способны описывать свойства фигур логически и соединять фигуры и их свойства по определениям. Они способны замечать, что одна особенность предшествует или следует за другой, и, таким образом, они способны вывести одну особенность из другой. Но они не имеют никакого понимания о важности аксиом и не могут интерпретировать логическую связь между утверждениями. Их рассуждение основано на экспериментально полученных свойствах. Не имеется никакого понимания формального отрицания, роли аксиом, формальных определений, теорем и их обратимости. Ученики понимают отношения внутри и между фигурами, например, «противоположные стороны параллелограмма параллельны, поэтому противоположные углы равны», и «квадрат имеет все свойства прямоугольника, поэтому это – также прямоугольник». Ученики способны к рассуждению вида «если … то» (но не к формальным доказательствам). «Если все четыре угла – прямые, то фигура должна быть прямоугольником. Если это – квадрат, то все углы – прямые. Если это – квадрат, то это должен быть и прямоугольник». Объекты мысли на уровне 3 – свойства форм. Продукция мысли на уровне 3– отношения среди свойств геометрических объектов. 4 уровень – формальная дедукция, это может быть уровень геометрии средней школы, которая включает аксиомы, формальные определения и постулаты, теоремы, и пр. Школьники способны понять важность дедукции. Они также способны понять необходимость аксиом, определений, и теорем, среди которых школьники устанавливают логические отношения. Школьники на этом уровне могут понимать и оценивать необходимость более строгой системы причинно - следственных связей и логики, они могут работать с абстрактными утверждениями и способны делать заключения на основе рассуждения и логики, а не на основе простой интуиции. На этом уровне значение дедукции как пути установления геометрической теории понято в пределах аксиоматической системы. Понято взаимное отношение необходимого и достаточного условия; могут быть сделаны различия между утверждением и обратным к нему. Объекты мысли на уровне 4 - отношения среди свойств геометрических объектов. Изделия мысли на уровне 4 дедуктивные аксиоматические системы для геометрии. 5-й уровень – строгость, на этом уровне школьники (хотя на самом деле это уже уровень студенческого или даже аспирантского понимания) сосредотачиваются на системе как целом, без акцентирования внимания на деталях выводов в данной системе. На уровне 5 геометрия видится с высокой абстрактностью, вне непосредственной связи с конкретными и наглядными образами и реальными моделями. Школьники на этом уровне способны сравнить различные системы аксиом и постулатов, и они способны формулировать теоремы. Они могут изучать геометрию без ссылок на реальные модели, и они могут рассуждать, формально управляя геометрическими утверждениями типа аксиом, определений и теорем. На этом уровне ученик может работать с разнообразными аксиоматическими системами, то есть могут быть изучены неевклидовые геометрии, и различные системы могут быть сравнены. Объект мысли на уровне 5 – дедуктивные аксиоматические системы для геометрии. Изделия мысли на уровне 5 – сравнение и противопоставление различных аксиоматических систем геометрии. Это – вообще уровень математики в колледже или университете, где изучают геометрию как область математической науки. Этот последний уровень наименее развит в первоначальных работах (van Hiele) и ему уделялось очень небольшое внимание от других исследователей. P.M.van Hiele подтвердил, что он особенно заинтересован первыми тремя уровнями. Поскольку большинство курсов геометрии средней школы преподается на уровне 4, не удивительно, что большинство исследований также сосредоточивалось на более низких уровнях. Возможно, модель van Hiele может быть распространена и на другие области (она применяется к экономике и химии в Голландии), что дает возможность изучить этот последний уровень, который, на наш взгляд, должен занять достойное положение среди других [6]. Clements и Battista (1992) предположили существование Уровня 0, который они называют пред-опознанием. Школьники на этом уровне замечают только подмножество визуальных характеристик формы, заканчивающейся неспособностью различать фигуры. Например, они могут различать треугольники и четырехугольники, но не могут различить ромб и параллелограмм. В своих работах van Hiele считали уровни от 0 до 4. Часто начинают считать уровни от 1 до 5. В этой схеме уровень пред – опознания, нужно считать уровнем 0 [4]. Свойства модели van Hiele. Первое свойство – это последовательность. Согласно модели van Hiele, ученик не может достигать ни одного уровня понимания, не справившись со всеми предыдущими уровнями. Чтобы функционировать успешно на специфическом уровне, ученик должен освоить стратегии предшествующих уровней. Исследования во многих странах поддерживают это представление с одним исключением. Некоторые математически талантливые школьники, кажется, перескакивают уровни, возможно потому, что они развивают логические рассуждающие навыки другими способами. Второе свойство – независимость от возраста. Процесс развития от одного уровня до другого зависит не от возраста, а от преподавания. Действительно, некоторые ученики и взрослые остаются навсегда на уровне 0, и существенное число взрослых никогда не достигает уровня 2. Но возраст, конечно, связан с количеством и типом накопленного геометрического опыта. Третье свойство – переход внутреннего свойства во внешнее. Внутренние объекты одного уровня становится объектами изучения на следующем уровне. Например, на уровне 0 воспринята только форма фигуры. Фигура, конечно, определена ее свойствами. Но только на уровне 1 фигура проанализирована и обнаружены и ее компоненты, и ее свойства. Четвертое свойство – развитие языка. Хотя и учитель, и школьники на разных уровнях используют одно и то же слово, все же их интерпретация оказывается весьма различной. Например, если ученик – на первом уровне, слово «квадрат» означает форму, которая напоминает квадрат, и ни что иное. Ученики, которые находятся на втором уровне, думают о квадрате в терминах свойств, но они не знают необходимых и достаточных условий для определения квадрата. Они могут думать, что для доказательства того, что фигура является квадратом, должны быть доказаны все свойства. Учитель же, который думает на более высоком уровне, знает не только свойства квадрата, но также и знает свойства, которые нужно использовать для доказательства, что фигура является квадратом. Пятое свойство – распознавание несоответствий. Если ученик – на одном уровне, а преподавание – на другом уровне, то желаемого прогресса в изучении мы не сможем достигнуть. В частности, если преподаватель, учебный материал, содержание, словарь, и так далее, относится к более высокому уровню, чем ученик, то школьник будет не способен следовать за используемыми процессами мысли [6]. Шестое свойство – объяснение роли учителя. Роль учителей состоит в том, чтобы мотивировать продвижение школьников, с обеспечением управления этим процессом, используя правильный и соответствующий язык в соответствии с уровнями. Именно эта роль является жизненной и важной, именно она делает учителя не просто «говорящей книгой», а именно учителем, человеком, без которого обучение не было бы эффективным. Большинство учителей геометрии средней школы думает на четвертом или пятом уровнях. Исследование указывает, что большинство из школьников, которые начинают курс геометрии средней школы, думает на первом или втором уровне. Учитель обязан помнить, что, хотя преподаватель и ученик могут использовать одно и то же слово, они могут интерпретировать его весьма по-разному. Стадии изучения в модели van Hiele. Согласно van Hiele, развитие учеников от одного уровня к другому включает пять стадий. Стадия 1 – информациия: учитель и школьники включаются в беседу и деятельность относительно объектов изучения, и ученики знакомятся с содержанием предмета обучения. Делаются наблюдения, задаются вопросы, представляются специфические термины. Все это предоставляет школьникам возможность начать работать с новым объектом. Обсуждение помогает преподавателю понять интерпретацию школьниками языка, понять их мышление, и, учитывать, эту информацию направляя действия школьников к достижению нужного понимания. Через обсуждение учитель идентифицирует, что школьники уже знают по теме, и школьники ориентируются на новый предмет. Например, учитель спрашивает школьников, что является ромбом? Квадратом? Параллелограммом? Чем они похожи? Отличны? Думаете ли Вы, что квадрат может быть ромбом? Что ромб может быть квадратом? Почему Вы говорите это? ... Цель этой деятельности двойная: (1) учитель изучает то, какое предшествующее знание школьники имеют по теме, и (2), школьники изучают то, по какому направлению далее будет идти работа. Стадия 2 – управляемая ориентация: ученики знают объекты изучения, и они исследуют их средствами, которые тщательно отобраны учителем, используя различные действия, которые должны быть освоены, например, складывание и изгибание листа бумаги, измерение, поиск симметрии и т.д. Эти действия должны постепенно показать ученикам характеристику структур этого уровня. Таким образом, большая часть материала будет состоять из коротких задач, предназначенных, для того чтобы выявить определенные ответы. Ученики работают с объектами, чтобы почувствовать и исследовать концепции и методы геометрии соответственно. Роль учителя на этой стадии состоит в руководстве деятельностью учеников, дающей надлежащее направление, чтобы помочь школьникам в исследовании тщательно подобранных задач. Выбор материала и задач должен быть такой, чтобы и концепции, и процедуры стали заметными, чтобы быть воспринятыми и понятыми. Стадия 3 – разъяснение: ученики на этой стадии знают отношения и стараются описать на своем собственном языке. Учитель разъясняет термины, которые школьники используют, и представляет новые термины. Другим словами, ученики описывают то, что они узнали о теме своими собственными словами. Стадия 4 – свободная ориентация: школьники заняты в деятельности по решению задач, которые могут быть решены различными способами, используя знания концепций и отношений, которые изучены, и навыки, которые приобретены ранее. Они сталкиваются с более сложными задачами – задачами со многими шагами, задачами, которые могут быть решены разными способами. Учитель должен подобрать соответствующие и подходящие геометрические проблемы, которые могут быть решены различным способом и средство для их решения. Очень важно для учителя дать информацию о возможности различных процедур, и учитель должен мотивировать учеников для объяснения описания их проблем и решений. Стадия 5 – интеграция: школьники способны усваивать и объединять отношения и новое знание в новую мысль. Другими словами, они суммируют все, что они узнали о предмете. Учитель может помогать ученикам в синтезе, давая обзор того, что ученики уже узнали. После завершения этой стадии, школьники достигают нового уровня мысли для изученной темы. Новая область мышления заменяет старую, и ученики готовы повторить стадии изучения на следующем уровне. Сравнение двух теорий. Как мы видим, и теория Ван Хиле, и теория Пиаже – это теория уровней. И та, и другая теория выделяет некоторые фундаментальные характеристики. Они обе описывают дискретные стадии, через который человек развивается во времени. Человек или находится на конкретном уровне или нет, и он может быть только на одном уровне в каждый момент времени. Стадии устроены иерархически, от более ранней стадии к более поздней. Человек должен пройти каждый уровень прежде, чем он достигнет следующего, и он не может возвращаться к более раннему уровню. Но имеются значительные различия между этими двумя теориями. В то время как теория Пиаже охватывает более широкий спектр вопросов, уровни Ван Хиле детально описывают развитие геометрического мышления. Кроме того, теория Пиаже – это универсальная теория развития. Все дети, независимо от подготовки, перейдут через эти периоды приблизительно в одинаковом возрасте. Теория Ван Хиле описывает процессы, которые зависят от преподавания. Для того чтобы человек достиг нового уровня в иерархии Ван Хиле, ему нужно дать опыт и указания, необходимые для освоения новых путей мышления. Иначе он не достигнет следующего уровня, независимо от его возраста. Наконец, две теории, по-видимому, описывают различные процессы в целом. Уровни Ван Хиле описывают различные способы мышления в терминах геометрических форм, то есть то, что мы назвали «геометрическим мышлением», в то время как Пиаже описывает различные виды ответов на различные ситуации, свидетельствующие о той или иной степени развития «пространственного мышления». Эти две теории действуют только как модели процесса изучения геометрии школьниками и не могут считаться точными представлениями того, что фактически происходит в процессе обучения. И хотя идеи Пиаже в свое время вызвали большое количество исследований, подтвердивших их справедливость, все-таки маловероятно, что развитие ребенка точно соответствует какой-то формальной схеме развития. Например, исследования показали, что маленькие дети способны к ориентированию горизонтальных или вертикальных линий в пространстве (евклидовая концепция) в более раннем возрасте, чем это утверждал Пиаже (Rosser et al, 1984). Хотя многие исследования поддерживают модель van Hiele, но существуют и вопросы. Например, мы называем первый уровень «визуальным», хотя конечно, визуализация требуется на всех уровнях. Четвертый уровень, скорее всего, имеет смысл разделить на два, поскольку мышление детей никогда не «перескакивает» с элементарного соположения свойств фигуры сразу на уровень аксиоматической системы. Между ними имеется еще как минимум один уровень, на котором дети формируют некие «логические кластеры», объединяющие группы взаимосвязанных друг с другом свойств (как, например, свойства и признаки равных треугольников). И только на следующем уровне развития эти кластеры объединяются в единую систему с выделением недоказанных (и недоказуемых) утверждений – аксиом. Еще не ясны полезность и работоспособность модели в новых отраслях геометрии. Эти модели, конечно, не отвечают на все вопросы относительно изучения геометрии. Имеются ли другие уровни помимо них, или подуровни, которые могут быть достигнуты в некотором порядке сначала? Как можно убедиться, что кто-то достиг некоторого уровня во всех областях? Это только некоторые из вопросов. Все- таки можно сказать, что в отсутствие чего-то лучшего модель van Hiele удобна для описания геометрического развития мышления школьников и, с другой стороны, нужны серьезные исследования по совершенствованию этой модели и созданию новых моделей. Отметим, что, хотя, как уже говорилось, в 60-х годах в Советском Союзе и была предпринята попытка формирования учебного плана геометрии в соответствии с моделью Ван Хиле, тем не менее, уже в 70-х годах в рамках «Колмогоровской» школьной реформы (по словам учеников Колмогорова, Андрей Николаевич сам был категорически против этой реформы, поскольку его разработки учебников были предназначены для старшеклассников, обучающихся в ФМШ при МГУ и рассчитаны на систематизацию их знаний, а не на обучение школьников среднего уровня в гораздо более раннем возрасте) эти принципы были отвергнуты и уступили место «аксиоматическому» подходу, при котором изучение геометрии выстраивалось в соответствии с ее формально-логической структурой. Опыт показал бесперспективность такого построения обучения, однако, несмотря на это, многие авторы современных школьных учебников оказываются не в силах преодолеть инерцию собственного мышления и постоянно «скатываются» на аксиоматическое изложение тех или иных разделов геометрии. Думаем, что проработка учебников в соответствии с концепциями van Hiele существенно улучшила бы их содержание, поскольку эта методика позволяет выявлять главную причину, вызывающую трудности в освоении геометрии – несоответствие уровня представлений, которые используются в преподавании и уровня представлений, на котором в данный момент находится ученик. Литература [1] Jones K. Critical Issues in the Design of the School Geometry Curriculum // Invited paper in Bill Barton (Ed) (2000), Readings in Mathematics Education. Auckland, New Zealand: University of Auckland. http://www.soton.ac.uk/~dkj/geompub.html [2] Whiteley W. The Decline and Rise of Geometry in 20th Century North America // Proceedings of the 1999 CMESG Conference, to appear http://www.math.yorku.ca/Who/Faculty/Whiteley/cmesg.pdf [3] Geometry Working Group, A report on the meeting at the King’s College, University of London, 28’t’ February 1998 Convener: Keith Jones, University of Southampton, UK, Theoretical Frameworks for the Learning of Geometrical Reasoning http://www.soton.ac.uk/~dkj/bsrlmgeom/reports/K_Jones_Jan_Feb_1998.pdf [4] Mason M. The van Hiele Levels of Geometric Understanding http://www.mcdougallittell.com/state/tx/corr/levels.pdf [5] van de Walle, J.A. Geometric Thinking and Geometric Concepts in Elementary and Middle School mathematics // Teaching Developmentally, 4th ed. Boston: Allyn and Bacon, 2001. [6] Crowley M.L. The van Hiele Model of the Development of Geometric Thought // National Council of Teachers Mathematics ,Yearbook Learning and Teaching Geometry . K – 12. [7] Sutherland J. Deborah Trzinski-Becker, Duggyal Tsering // Teaching and Learning Geometry C & I 811 May 1, 2001 http://www.math.wisc.edu/~weinberg/MathEd/Geometry_and_Space.doc [8] Developing Geometric Concepts and Systems http://64.78.63.75/samples/04EDKennedyGuidingChildrens10Ch9.pdf [9] Everett S. Spatial Thinking Strategies // Science and Children (2000), 37, (7), 36-39 [10] Way J. The Development of Spatial and Geometric Thinking http://nrich.maths.org/public/ [11] Christman A. Geometric Shapes // Math Molding For Teachers, December 10, 2001, http://myweb.loras.edu/dw078774/christman.pdf [12] Gutierrez A. Exploring the links between Van Hiele Levels and 3-dimensional geometry. http://www.uv.es/~gutierre/archivos1/textospdf/Gut92a.pdf [13] ReinHold S. Topology in Elementary School Mathematics - A contribution the Improvement of Children’s Spatial Ability? http://yerme2002.uni-klu.ac.at/papers/participants/sr_reinhold.pdf [14] Piaget J., Inhelder B. The Childs Conception of Space .New York: Norton, (1967). [15] Piaget J., Inhelder B., Szeminski A. The Childs Conception of Geometry. London: Routledge &Kegan Paul, (1960). [16] Conceptualizing geometric objects: from doodles to deductions http://homepage.mac.com/davidtall/davidtallhome/mathematical-growth/7.geometric-objects.pdf
