Лекция 1. Электрическое поле.

Лекция 1.
Электрическое поле.
Многие физические явления, наблюдаемые в природе и окружающей нас жизни, не
могут быть объяснены только на основе законов механики, молекулярно-кинетической
теории и термодинамики. В этих явлениях проявляются силы, действующие между телами
на расстоянии, причем эти силы не зависят от масс взаимодействующих тел и,
следовательно, не являются гравитационными. Эти силы называют электромагнитными
силами.
О существовании электромагнитных сил знали еще древние греки. Но систематическое,
количественное изучение физических явлений, в которых проявляется электромагнитное
взаимодействие тел, началось только в конце XVIII века. Трудами многих ученых в
XIX веке завершилось создание стройной науки, изучающей электрические и магнитные
явления. Эта наука, которая является одним из важнейших разделов физики, получила
название электродинамики.
Основными объектами изучения в электродинамике являются электрические и
магнитные поля, создаваемые электрическими зарядами и токами
Еще древние греки где-то в 600 годах до нашей эры обнаружили, что если потереть
янтарь об шерсть, то янтарь после этого мог притягивать некоторые объекты. Сегодня
этот эффект можно трактовать как, что янтарь приобрел некоторый электрический заряд
или он стал заряженным.
Слово электрический происходит из древнегреческого слово электрон («ἤλεκτρον»)
означающий янтарь.
Многие опыты с электростатическим эффектом показывают, что существуют два вида
электрического заряда. Бенжамин Франклин (1706-1790) предположил назвать эти два
вида заряда положительным и отрицательным.
Два положительных или два отрицательных заряда отталкиваются, а отрицательный и
положительный заряды притягиваются.
Другими словами, одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются.
Одним
из
фундаментальных
законов
природы
является
экспериментально
установленный закон сохранения электрического заряда:
В любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не
изменяется.
q1  q2  q3  ...  qn  const
Величина электрического заряда является релятивистски инвариантным: она не зависит
от системы отсчета, а значит не зависит от того, движется он или покоится.
Электрический заряд тела – дискретная величина:
q   ne (n  1, 2,...) .
Взаимодействие заряженных тел выражается особенно просто, если их размеры малы
по сравнению с взаимным расстоянием. Такие заряженные тела называются «точечными
зарядами»
Закон взаимодействия двух точечных зарядов был установлен экспериментально на
опыте Кулоном в 1785 г.
В своих опытах Кулон измерял силы притяжения и отталкивания заряженных шариков
с помощью сконструированного им прибора – крутильных весов, отличавшихся
чрезвычайно высокой чувствительностью. В ходе опытов Кулон установил, что: 1) сила
отталкивания
двух
маленьких
одноименно
заряженных
шариков
обратно
пропорциональна квадрату расстояния между центрами обоих шариков; 2)
сила
взаимодействия пропорциональна заряду каждого из шариков.
На основе этого Кулон пришел к установлению следующего закона:
Сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов направлена вдоль
прямой линии, соединяющей заряды, прямо пропорциональна произведению
модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними
Математически закон Кулона может быть выражен следующим образом
F k
q1q2
.
r2
Здесь k – коэффициент пропорциональности, q1 и q2 – величины взаимодействующих
зарядов, r – расстояние между зарядами.
Из механики известно, что сила величина векторная. Таким образом, закон Кулона в
векторном виде:
F k
q1q2
er ,
r2
где er – единичные вектор, имеющий направление от заряда q1 к заряду q2 .
В международной системе СИ за единицу заряда принят кулон (1 Кл).
Коэффициент пропорциональности k в системе СИ равен:
k  8.987551787 109 Н  м 2 / Кл 2 .
С другой стороны
k
1
4 0
,
где  0  8.854 1012 Кл 2 / Н  м 2 - электрическая постоянная.
(1.1)
Численное значение коэффициента k связано со скоростью света следующим
соотношением k  107 c 2 .
Элементарный заряд равен e  1.602176462(63) 1019 Кл .
По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга
непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве
электрическое поле. Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела.
Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой
силой.
Таким
образом,
взаимодействие
заряженных
тел
осуществляется
не
непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля,
окружающие заряженные тела.
Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так
называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не
вносит заметного перераспределения исследуемых зарядов.
Для
количественного
определения
электрического
поля
вводится
силовая
характеристика - напряженность электрического поля.
Напряженность электрического поля есть отношение силы, с которой поле действует на
пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:
E
F
.
q
(1.2)
Напряженность электрического поля – векторная физическая величина.
Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме
напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности.
n
1
i 1
4 0
E  E1  E2  E3  ...   Ei 
qi
r
2
eri .
i
Это свойство электрического поля называют принципом суперпозиции.
В соответствии с законом Кулона (1.1), напряженность электростатического поля
можно записать в виде
E
1
q
er .
4 0 r 2
(1.3)
Другими словами - это закон Кулона, но в «полевой форме». Напряженность поля в СИ –
вольт на метр (В/м).
Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется
электростатическим.
За направление напряженности поля принимают направление силы, действующей на
положительный заряд.
Поле можно описать, указав для каждой точки модуль и направление вектора E .
Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля.
Для наглядности, электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности,
которые мы будем называть сокращенно линиями E или силовыми линиями.
Линии напряженности проводят таким образом, что бы касательная к ним в каждой
точке совпадала с направлением вектора E . Густота линий выбирается так, что бы число
линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки,
было равно модулю вектора E .
Линии E поля точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых,
направленных от заряда, если он положителен и к заряду, если он отрицателен.
Линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются.
Там, где напряженность поля велика , линии проводят гуще, там, где поле слабое –
густота линий невелика.
Поле, напряженность которого во всех точках имеет одну и ту же величину и
направление, называется однородным. Силовые линии однородного поля представляют
собой параллельные прямые.
Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно
игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и
считать, что они «размазаны определенным образом в пространстве. Другими словами,
удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным
непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося
сколько-нибудь значительной ошибки.
При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов —
объемной  , поверхностной  и линейной  . По определению,

dq
dq
dq
,
, 
,
dV
dS
dl
где dq - заряд, заключенный соответственно в объеме dV , на поверхности dS и на длине
dl .
Таким образом, напряженность электрического поля можно представить в следующем
виде
E
1
4 0

 edV
r
2

1
4 0

 rdV
r3
.
Во многих задачах электростатики требуется определить электрическое поле E по
заданному распределению зарядов. Например, найти напряженность E поля в точке,
отстоящей на расстоянии x от центра, равномерно заряженной зарядом q прямой нити
длиной 2l, расположенной симметрично относительно ее концов. Данную задачу можно
решить двумя способами, но окончательным ответом будет выражение
E
q
4 0 x x 2  l 2
e.
Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют
полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако,
свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не
прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.
Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ
вектора напряженности электрического поля. Если имеется некоторая произвольная
замкнутая поверхность, то поток вектора E сквозь нее определяется как
   EdS .
(1.4)
s
Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля E , но и от
выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль n брать
наружу области, охватываемой этими поверхностями, т.е. выбирать внешнюю нормаль.
Теорема Гаусса: поток вектора E сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме зарядов внутри этой поверхности деленной на  0
1
 EdS  
qвнутр
,
.
(1.5)
0
Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность
электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов
обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.
Примером может служить задача о вычислении напряженности электрического поля
сферической
поверхности,
заряженной
равномерно
заряженной плоскости, с поверхностной плотностью  .
зарядом
q
или
равномерно
Лекция 2.
Рассмотрим поле, создаваемое точечным зарядом q . В любой точке этого поля на
пробный заряд q , как известно, будет действовать сила
F
qq
er  F (r )er .
4 0 r 2
1
(2.1)
Данная сила является центральной. Как известно из механики, любое стационарное
поле центральных сил является консервативным. Следовательно, работа, которая
совершается силами поля
неподвижного точечного заряда q над зарядом q , при
перемещении заряда из одной точки в другую, не зависит от формы пути. Найдем работу,
которая совершается этими силами при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 на
элементарном пути dl :
 A  F (r )er dl .
Тогда вся работа на пути 1-2 определяется как
qq 2 dr
1  qq qq 



.
2

4 0 r1 r
4 0  r1
r2 
r
A12 
(2.2)
Полученный результат подтверждает, что работа не зависит от формы пути, а зависит
только от начального и конечного положений заряда q . Таким образом, силы,
действующие на заряд q в поле неподвижного заряда q , являются потенциальными.
Их механики известно, что работа потенциальных сил на замкнутом пути равна нулю.
Тогда, работу, совершаемую силами поля E над зарядом q при обходе его по
замкнутому контуру, можно представить в виде
 qEdl
 0.
Сократив на постоянную величину q , получим:
 Edl
 0.
(2.3)
Данный интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора E . Поэтому
выражение (2.3) называют теоремой о циркуляции вектора E . Оно означает, что
циркуляция вектора E любого электростатического поля равна нулю. Из данной теоремы
вытекает, что линии электростатического поля E не могут быть замкнутыми.
Из механики известно, что работа сил консервативного поля равна убыли
потенциальной энергии системы. Тогда, работу (2.2) можно представить как
A12  W p1  W p 2 ,
где
(2.4)
Wp 
qq
4 0 r
1
(2.5)
потенциальная энергия заряда q в поле заряда q . Можно видеть, что разные пробные
 , qпр
 и т.д. будут обладать в одной и той же точке поля различной
заряды qпр
потенциальной энергией W р , W р и т.д. Однако отношение W р / qпр будет для всех зарядов
одинаково.
Физическую
величину,
равную
отношению
потенциальной
энергии
электрического заряда в данной точке к величине этого заряда, называют потенциалом
поля в данной точке:

Wp
qпр
.
(2.6)
В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В),
1В=1Дж/1Кл.
Стоит заметить, что когда говорят о потенциале в одной какой-либо точке, то всегда
подразумевают разность потенциалов между этой точкой и какой-либо другой, выбранной
заранее.
Учтя значение потенциальной энергии (2.5), получим для потенциала поля точечного
заряда следующее выражение

1
q
.
4 0 r
(2.7)
Рассмотрим систему, состоящую из неподвижных точечных зарядов. Потенциал поля,
создаваемого такой системой неподвижных зарядов, равен алгебраической сумме
потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

1
4 0
qi
r
,
(2.8)
i
где ri - расстояние от точечного заряда qi до интересующей нас точки поля.
Заряд q , находящийся в точке поля с потенциалом  , обладает потенциально энергией
W p  q . Следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выражена через
разность потенциалов:
A12  W p1  W p 2  q (1  2 ) .
Вместе с тем, данная работа может быть представлена в виде
2
A12   qEdl .
1
Приравнивая друг другу эти два выражения и сокращая на q , получаем:
(2.9)
2
1  2   Edl .
1
При обходе по замкнутому контуру 1  2 и данное выражение переходит в (2.3).
Найдем связь между напряженностью электрического поля и потенциалом. Из
механики известно, что сила F
связана с потенциальной энергией следующим
соотношением:
F  Wp ,
(2.10)
где  - оператор Набла.
Для заряженной частицы q , находящейся в электростатическом поле, сила F  qE , а
потенциальная энергия W p  q . Таким образом, подставляя эти выражения
в
соотношение (2.10) получаем
qE  (q ) ,
откуда находим, что
E  
(2.11)
или
E
Таким образом, напряженность



ex 
ey 
ez .
x
y
z
(2.12)
поля E равна минус градиенту потенциала  . С
помощью данной формулы можно восстановить поле E , зная функцию  (r ) .
Подобно тому, как графически изображаются линии напряженности электрического
поля, можно изобразить и разность потенциалов. Воображаемая поверхность, все точки
которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.
Если потенциал задан как функция x, y и z, то уравнение эквипотенциальной поверхности
имеет вид
 ( x, y, z )  const .
Согласно формуле (2.9), при перемещении заряда вдоль такой поверхности (или линии)
работа электрических сил равна нулю. Это может быть только в том случае, если
направление перемещения все время перпендикулярно к действующей силе, а значит,
эквипотенциальная поверхность в любой точке перпендикулярна к линиям поля E .
На чертеже изображаются не эквипотенциальные поверхности, а лишь их сечение
плоскостью чертежа, т. е. эквипотенциальные линии. С их помощью можно получить
наглядное представление о том, как изменяется разность потенциалов в данном поле.
Условимся проводить эквипотенциальные поверхности таким образом, чтобы разность
потенциалов для двух соседних поверхностей была всюду одной и тоже. Тогда по густоте
эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности поля. Действительно,
чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется
потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности. Следовательно, тем больше в
данном месте   , а значит и больше напряженность поля в данном месте.
Найдем потенциал поля создаваемый двумя точечными зарядами  q и  q ,
разделенными расстоянием d . Проведем ось z через заряды, а начало координат
поместим посредине между ними. Тогда по формуле (2.8) потенциал системы двух
зарядов дается выражением

1 
 ( x, y , z ) 
4 0 


.

2
2
2
2
2
2 
 z  d / 2  x  y
 z  d / 2  x  y 
q
q
(2.13)
Существует важный частный случай, когда заряды расположены близко друг к другу,
т.е. когда рассматривается поле на таких расстояниях r от зарядов, что по сравнению с
ним промежуток d между зарядами пренебрежимо мал ( r
d ).
Систему из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов,
находящихся на некотором расстоянии d друг от друга называют электрическим диполем.
Когда говорят о поле диполя, то предполагается сам диполь точечным.
Если расстояние d станет нулем, то два потенциала сократятся и поле исчезнет. Но
если они не совсем слились, то можно получить хорошее приближение к потенциалу,
разложив слагаемые в (2.13) в ряд по степеням малой величины d (по формуле бинома
Ньютона). Оставляя только первые степени d , получаем
 z  d / 2
2
 z 2  zd .
Тогда, учитывая, что x 2  y 2  z 2  r 2 получаем
 z  d / 2
2
 zd 
 x 2  y 2  r 2  zd  r 2 1  2 
 r 
и
1
 z  d / 2
2
 x2  y 2

1
r 2 1  zd / r 2 
1  zd 
 1  2 
r r 
1/ 2
.
(2.14)
Разлагая в биноминальный ряд полученное выражение (2.14) по d и отбрасывая члены
с высшими степенями d , получаем
1  1 zd 
1 
.
r  2 r2 
Тогда окончательно
1
zd 
 1  2  .
 z  d / 2   x 2  y 2 r  2r 
1
2
Поступая аналогичным образом, можно найти, что
1
zd 
 1  2  .
 z  d / 2   x 2  y 2 r  2r 
1
2
Подставляя последние два слагаемых в уравнение (2.13) получаем для потенциала
 ( x, y , z ) 
1
z
qd .
4 0 r 3
(2.14)
Потенциал, а значит, и поле, являющееся его производной, пропорциональны qd –
произведению заряда на расстояние между зарядами. Это произведение называется
дипольным моментом пары зарядов и обозначается символом p .
Диполь может служить электрической моделью многих молекул. Электрическим
дипольным моментом обладает, например, нейтральная молекула воды (H2O), так как
центры двух атомов водорода располагаются не на одной прямой с центром атома
кислорода, а образуют равнобедренный треугольник с углом при вершине 105°.
Дипольный момент молекулы воды p = 6,2·10–30 Кл · м.
Выражение (2.14) можно переписать в виде
 ( x, y , z ) 
p cos 
,
4 0 r 2
1
(2.15)
так как z / r  cos ,  – угол между осью диполя и радиус-вектором к точке ( x, y, z ) .
Запишем потенциал диполя в векторном виде, для этого определим p как вектор, и
направим его вдоль оси диполя от отрицательно заряда  q к положительному  q . Тогда
cos   per ,
где er – единичный радиальный вектор и p  qd .
Таким образом, дипольный потенциал можно представить в виде
 (r ) 
per
.
4 0 r 2
1
(2.16)
Стоит заметить, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием r быстрее ( ~ 1/ r 2 ),
чем потенциал поля точечного заряда ( ~ 1/ r ).
Чтобы найти напряженность поля диполя, нужно определить градиент  . Например,
z -компонента поля в соответствие с (2.12) есть Ez   / z . Для вычисления поля
диполя, ориентированного вдоль оси z , используем выражение (2.14):
Ez  

p  z
p  1 3z 2 
p 3cos 2   1
.







 
z
4 0 z  r 3 
4 0  r 3 r 5  4 0
r3
(2.17)
Соответственно x - и y -компоненты равны
Ex 
p 3zx
p 3zy
, Ey 
.
5
4 0 r
4 0 r 5
Из этих двух компонент можно составить компоненту, перпендикулярную к оси z ,
которая называется поперечной компонентой E :
E  Ex2  E y2 
p 3z 2
p 3cos  sin 
x  y2 
.
5
4 0 r
4 0
r3
(2.18)
Поперечная компонента E лежит в плоскости xy и направлена перпендикулярно оси
диполя. Полное поле диполя равно
E  Ez2  E2 
1
p
1  3cos 2  .
3
4 0 r
(2.19)
Поле диполя меняется обратно пропорционально кубу расстояния от диполя. На оси
при   0 оно вдвое сильнее, чем при   900 .
Если поместить диполь во внешнее неоднородное поле, то результирующая сила
действующая на него, будет равна
Fp
E
,
dl
(2.20)
где p - электрический момент диполя. Стоит отметить, что в однородном поле E / dl  0 ,
поэтому F  0 . Следовательно, сила действует на диполь только в неоднородном поле.
Направление вектора F в общем случае не совпадает ни с вектором E , ни с вектором p .
Предположим, что поле быстрее изменяется в направлении x. Тогда проекция силы F
на данное направление запишется как
Fx  p
E
cos  .
dx
(2.21)
Таким образом, под действием этой силы диполь будет либо втягиваться в область
более сильного поля (угол a острый), либо выталкиваться из нее (угол a тупой).
Если диполь находится в однородном поле, то заряды окажутся под действием сил
F1  qE и
F2  qE . Эти силы образуют пару, плечо которой равно l sin  .
Следовательно, модуль момента пары сил, действующих на диполь
N  qEl sin   pE sin 
или в векторном виде
N  [ pE ] .
(2.22)
Таким образом, момент (2.22) стремиться повернуть диполь так, чтобы его момент p
установился по направлению поля.
Лекция 3.
Проводники.
Истинное электрическое поле в любом веществе —его называют микрополем—
меняется весьма резко как в пространстве, так и во времени. Оно различно в разных
точках атомов и промежутках между ними.
Под электрическим полем E в веществе — его называют макрополем — мы будем
понимать пространственно усредненное микрополе. Это усреднение проводится по так
называемому физически бесконечно малому объему—объему, содержащему большое
число атомов, но имеющему размеры во много раз меньше, чем те расстояния, на которых
макрополе меняется заметно. Итак, поле в веществе
E  Eмакро  Eмикро  .
При внесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смещение
положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов), что в свою очередь
приводит к частичному разделению этих зарядов. В тех или иных местах появляются
нескомпенсированные
заряды
различного
знака.
Это
явление
называют
электростатической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды –
индуцированными зарядами.
Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое вместе
с исходным (внешним) электрическим полем образует результирующее поле. Зная
внешнее поле и распределение индуцированных зарядов, можно при нахождении
результирующего поля уже не обращать внимание на наличие самого вещества — его
роль уже учтена с помощью индуцированных зарядов.
Таким образом, результирующее поле при наличии вещества определяется просто как
суперпозиция внешнего поля и поля индуцированных зарядов:
E  E0  E .
Вещество многообразно по своим электрическим свойствам. Наиболее широкие классы
вещества составляют проводники и диэлектрики.
Основная особенность проводников – наличие свободных зарядов (электронов),
которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему
проводника. Типичные проводники – металлы
Поместим металлический однородный проводник во внешнее электрическое поле и
сообщим ему какой-нибудь заряд. На все заряды проводника будет действовать
электрическое поле, в результате чего, все отрицательные заряды сместятся против поля.
Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор, пока не установится
определенное распределение зарядов, при котором электрическое поле во всех точках
внутри проводника обратится в нуль. Если бы осталось внутри хоть какое-нибудь поле,
оно бы вынудило двигаться еще какие-нибудь заряды, таким образом, возможно только
такое электростатическое решение, когда поле внутри проводника всюду равно нулю,
отсутствует ( E  0 ).
Отсутствие поля внутри однородного проводника означает также, что потенциал  в
проводнике не меняется от точки к точке, т.к. градиент потенциала  равен нулю.
Следовательно, любой однородный проводник в электрическом поле представляет собой
эквипотенциальную область, а его поверхность – эквипотенциальна.
Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой
плотностью  , вообще говоря, различной в разных точках его поверхности. Также стоит
заметить, что электрическое поле возле самой поверхности проводника должно быть
направлено по нормали в каждой точке. Касательной составляющей у него быть не может.
Если бы она появилась, то электроны двигались по поверхности, тогда бы равновесие
зарядов было бы невозможно. Это также следует и из того, что линии электрического поля
должны всегда быть направлены перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.
Напряженность
электрического
поля
снаружи
проводника непосредственно
у
поверхности связана простым соотношением с локальной плотностью заряда на
поверхности проводника. Эту связь легко установить с помощью теоремы Гаусса. Поле у
наружной поверхности проводника равно
En 

,
0
где En – проекция вектора E на внешнюю нормаль n (по отношению к проводнику) и 
– локальная поверхностная плотность заряда на проводнике.
Электростатическая защита
В состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет – вещество внутри
проводника электрически нейтрально. Поэтому удаление вещества из некоторого объема
проводника поля нигде не изменит, т.е. никак не отразиться на равновесном
расположении зарядов. Это значит, что избыточный заряд распределяется на проводнике с
полостью так же, как и на сплошном – по его наружной (внешней) поверхности.
Таким образом, если в полости нет электрических зарядов, электрическое поле в ней
равно нулю. Внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника
не создают в полости внутри проводника никакого электрического поля.
Именно на этом основана электростатическая защита – экранирование тел, например
измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Практически
сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой металлической
сеткой.
Ускоритель Ван-дер-Граафа
Тем обстоятельством, что заряды распределяются на внешней поверхности проводника,
часто пользуются на практике. Когда желают полностью перенести заряд кого-нибудь
проводника на электроскоп (или электрометр), то к электроскопу присоединяют по
возможности замкнутую металлическую полость и вводят заряженный проводник внутрь
этой полости. Проводник полностью разряжается и весь его заряд переходит на
электроскоп. Это приспособление, в честь Фарадея, называют «фарадеевым цилиндром»,
так как на практике эта полость чаще сего выполняется в виде металлического цилиндра.
Ван-дер-Грааф предложил использовать свойства фарадеевого цилиндра
для
получения очень высоких напряжений. Принцип действия его машины показан на рис.
Бесконечная лента из какого-нибудь изолирующего материала, например шелка, движется
при помощи мотора на двух роликах и одним своим концом заходит внутрь полого,
изолированного от Земли, металлического шара. Вне шара лента при помощи кисточки
заряжается каким-либо источником, например батареей или электрической машиной c , до
напряжения 30-50кВ относительно Земли, если второй полюс батареи или машины
заземлен. Попадая внутрь шара, заряженные участки ленты касаются кисточки в шаре и
полностью отдают шару свой заряд, который сейчас же перераспределяется по внешней
поверхности шара. Благодаря этому ничто не препятствует переносу заряда на шар.
Напряжение между шаром и Землей непрерывно увеличивается. Таким образом, можно
получить огромное напряжение в несколько миллионов вольт. Подобные машины
применяются в опытах по расщеплению атомных ядер.
Электроемкость уединенного проводника.
Рассмотрим какой-либо уединенный проводник, т.е. проводник, удаленный от других
проводников, тел, зарядов. Опыт показывает, что между зарядом q такого проводника и
его потенциалом  существует прямая пропорциональность: q  . Следовательно, q / 
не зависит от заряда q , для каждого уединенного проводника это отношение имеет свое
значение. Величину
Cq 
(3.1)
называют электроемкостью уединенного проводника (сокращенно емкостью). Стоит
заметить, что емкость зависит от размеров и формы проводника.
За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого
изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1Кл. Эту единицу емкости называют
фарадом (Ф).
Фарад – очень большая величина, емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом
9 млн. км, что в 1500 раз больше радиуса Земли ( емкость Земли С = 0,7 мФ). На практике
часто приходиться использовать емкости от 1 мкФ до 1 пФ.
Конденсаторы.
Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле
оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства.
Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор,
называются обкладками
Основной характеристикой конденсатора является его емкость. В отличие от емкости
уединенного проводника под емкостью конденсатора понимают отношение заряда
конденсатора к разности потенциалов между обкладками
Cq U,
(3.2)
где под зарядом q имеют виду заряд, который расположен на положительной обкладке
конденсатора.
Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров и формы обкладок), от
зазора между ними и от заполняющего между обкладками пространство вещества.
Емкость плоского конденсатора.
Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин,
расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин
расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским.
Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами;
однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает
сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом
ряде задач можно приближенно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что
электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками.
Если заряд конденсатора q , то напряженность поля между его обкладками E   /  0 ,
где   q / S , S – площадь каждой пластины. Следовательно, напряжение между
обкладками
U  Eh  qh /  0 S ,
где h - зазор конденсатора.
После подстановки этого выражения в C  q / U получаем
C  0S / h .
Можем видеть, что емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади
обкладок и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Поэтому при большой
поверхности обкладок и при тонком слое изоляторе между ними емкость конденсатора
очень велика, на нем можно накопить («сгустить») значительные заряды даже при
небольшом напряжение. Отсюда происходит и название «конденсатор» (от латинского
слова «конденсо» – сгущаю).
Емкость сферического конденсатора.
Пусть радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора равны соответственно a
и b . Если заряд сферического конденсатора q , то его емкость
C  4 0
ab
.
ba
Емкость цилиндрического конденсатора равна
C
2 0l
,
ln(b / a)
где l – длина конденсатора, a и b – радиусы внутренней и наружной цилиндрической
обкладок.
Самый старинный тип конденсатора – «лейденская банка». Это название происходит
от города Лейдена (Голландия), где впервые был построен в середине 18 века конденсатор
такого типа. Он представляет собой стеклянную банку, оклеенную внутри и снаружи
станиолем (станиоль – тонко раскатанный лист олова, «станум» – олово по-латински).
Соединение
с
внутренней
обкладкой
осуществляется
металлическим
стержнем,
укрепленным внутри банки. Для того чтобы зарядить лейденскую банку, ее держат в руке
за внешнюю обкладку (этим осуществляется соединение с Землей) и прикасаются
стержнем к какому-либо заряженному телу (например, к одному из полюсов
электрической машины). Емкость лейденской банки средних размеров составляет около
1/1000 мкф.
Конденсаторы могут соединяться между собой, образуя батареи конденсаторов. При
параллельном соединении двух конденсаторов напряжения на конденсаторах одинаковы:
U1  U 2  U , а заряды равны q1  C1U и q2  C2U . Такую систему можно рассматривать
как единый конденсатор электроемкости C , заряженный зарядом q  q1  q2 при
напряжении между обкладками равном U . Отсюда следует
C
q1  q2
или C  C1  C2
U
Таким образом, при параллельном соединении электроемкости складываются.
При последовательном соединении двух конденсаторов одинаковыми оказываются
заряды обоих конденсаторов: q  q1  q2 , а напряжения на них равны U1  q / C1 и
U 2  q / C2 . Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор, заряженный
зарядом q при напряжении между обкладками U1  U 2  U . Следовательно, C 
или
q
U1  U 2
1 1
1
 
C C1 C2
При последовательном соединении конденсаторов складываются обратные величины
емкостей.
Лекция 4.
Диэлектрики.
Диэлектриками (или изоляторами) называют вещества, практически непроводящие
электрического тока. В диэлектриках, в отличие от проводников, нет свободных зарядов,
способных перемещаться, создавая ток.
При внесении даже нейтрального диэлектрика во внешнее электрическое поле
обнаруживаются существенные изменения как в поле, так и в самом диэлектрике.
Чтобы понять, почему это происходит, надо прежде всего учесть, что диэлектрики
состоят либо из нейтральных молекул, либо из заряженных ионов, находящихся в узлах
кристаллической решетки (ионные кристаллы, например, типа NаС1)
Сами же молекулы могут быть полярными и неполярными. У полярных молекул центр
«тяжести» отрицательного заряда сдвинут относительно центра тяжести положительных
зарядов, в результате чего они обладают собственным дипольным моментом. Дипольным
моментом обладает, например, молекула воды, а также молекулы ряда других
диэлектриков (H2S, NO2 и т. д.). Неполярные молекулы собственным дипольным
моментом не обладают, у них центры тяжести «+» и «-» зарядов совпадают. Примером
неполярной молекулы может служить молекула метана CH4.
Поляризация.
Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация диэлектрика.
При отсутствии внешнего электрического поля оси диполей в полярных диэлектриках
ориентированы хаотично из-за теплового движения, так что на поверхности диэлектрика и
в любом элементе объема электрический заряд в среднем равен нулю
При внесении диэлектрика во внешнее поле возникает частичная ориентация диполей.
В результате на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные заряды,
создающие поле, направленное навстречу внешнему полю.
Если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то в пределах каждой молекулы
происходит смещение зарядов – положительных по полю, а отрицательных против поля. В
результате каждая молекула превращается в электрический диполь, ось которого
направлена
вдоль
внешнего
поля.
На
поверхности
диэлектрика
появляются
нескомпенсированные заряды, создающие свое поле, направленное навстречу внешнему
полю
В результате поляризации на поверхности диэлектрика, а также и в его объеме
появляются нескомпенсированные заряды. Нескомпенсированные заряды, появляющиеся
в результате поляризации диэлектрика, называют поляризационными или связанными.
Последним термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения таких зарядов
ограничена. Они могут смещаться лишь внутри электрически нейтральных молекул.
Связанные заряды отмечают штрихом, например,   ,   и   .
Заряды, которые не входят в состав диэлектрика, называют сторонними. Эти заряды
могут находится как внутри, так и вне диэлектрика.
Полем E в диэлектрике называется величина, являющейся суперпозицией поля E0
сторонних зарядов и поля E  связанных зарядов: E  E0  E .
Поляризованность.
Для количественного описания поляризации диэлектрика используют дипольный
момент единицы объема. Чтобы описать поляризацию в данной точке, мысленно
выделяют физически малый объем V , содержащий эту точку, затем находят векторную
сумму дипольных моментов молекул в этом объеме и составляют соотношение
P
1
V
N
p
– поляризованность диэлектрика.
i
i
Пусть в объеме V содержится N диполей, тогда
P  n  p ,
 N 
где n  V / N – концентрация молекул,  p    pi  / N – средний дипольный момент
 i

одной молекулы.
Как показывает опыт, для обширного класса диэлектриков поляризованность P
линейно зависит от напряженности E поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный
и E не слишком велико, то
P   0 E ,
(4.1)
где  – безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества.
Эта величина не зависит от E , она характеризует свойства самого диэлектрика, она всегда
больше нуля.
Однако существуют диэлектрики, для которых выражение (4.1) неприменимо. Это
некоторые ионные кристаллы, электреты и сегнетоэлектрики (у них связь между P и E
нелинейная и зависит от предыстории диэлектрика).
Теорема Гаусса для поля вектора P .
Поток вектора P сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с
обратным
знаком
поверхностью S , т.е.
избыточному
заряду
диэлектрика
в
объеме,
охватываемом
 PdS  q
внутр
.
(4.2)
Вектор D.
Поскольку источниками поля E являются все электрические заряды — сторонние и
связанные, теорему Гаусса для поля E можно записать так:

0
EdS  (q  q ')внутр ,
(4.3)
где q и q ' — сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью S . Появление
связанных зарядов q ' усложняет дело, и данное выражение оказывается малополезным
для нахождения поля E в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии.
Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля E через связанные
заряды q ' , которые в свою очередь определяются неизвестным полем E .
Выразим заряд q ' через поток вектора P , используя теорему Гаусса для вектора P .
Тогда выражение (4.3) можно преобразовать к такому виду:
 ( E  P)dS  q
внутр
0
.
Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой D :
D  0E  P .
(4.4)
 DdS  q
(4.5)
Таким образом,
внутр
поток вектора D сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью. Это утверждение называют
теоремой Гаусса для поля вектора D .
Вектор D представляет собой сумму двух совершенно различных величин:  0 E и P .
Поэтому он представляет собой вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо
глубокого физического смысла, его часто называют электрическим смещением или
электрической индукцией. Размерность вектора D та же, что и вектора P . Единицей
величины D служит кулон на квадратный метр (Кл/м2)
Связь между векторами D и E .
В случае изотропных диэлектриков поляризованность P   0 E . Подставив в это
соотношение D   0 E  P , получим D   0 (1   ) E , или
D   0 E ,
где  — диэлектрическая проницаемость вещества и   1   .
(4.6)
Диэлектрическая проницаемость  (как и  ) является основной электрической
характеристикой диэлектрика. Для всех веществ   1 , для вакуума   1 . Значения 
зависят от природы диэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от
единицы (газы) до нескольких тысяч (у некоторых керамик).
Условия на границе.
Рассмотрим поведение векторов E и D сначала на границе раздела двух однородных
изотропных диэлектриков. Определим условия связывающие вектора E и D
по обе
стороны границы. Пусть для большей общности на границе раздела этих диэлектриков
находится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с
помощью двух теорем: теоремы о циркуляции вектора E и теоремы Гаусса для вектора D :
 Edl
 0,
 DdS  q
in
.
Условие для вектора E . Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно E1 ,
а в диэлектрике 2 — E2 . Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур. Стороны
контура, параллельные границе раздела, должны иметь такую длину, чтобы в ее пределах
поле E в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а высота контура должна
быть пренебрежимо малой.
Тогда согласно теореме о циркуляции вектора E
E2 l  E1 ' l  0 ,
где проекции вектора E взяты на направление обхода контура. Если на нижнем участке
контура проекцию вектора E взять не на орт  ' , а на общий орт  , то E1 '   E2 и из
предыдущего уравнения следует, что
E1  E2
(4.7)
т. е. тангенциальная составляющая вектора E оказывается одинаковой по обе стороны
границы раздела (не претерпевает скачка).
Условие для вектора D . Возьмем очень малой высоты цилиндр, расположив его на
границе раздела двух диэлектриков. Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в
пределах каждого его торца вектор D был одинаков. Тогда согласно теореме Гаусса для
вектора D
D2 n S  D1n S   S ,
где  - поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе
проекции вектора D на общую нормаль n (она направлена от диэлектрика 1 к
диэлектрику 2), получим D2 n   D1n и предыдущее уравнение можно привести к виду
D2 n  D1n   .
(4.8)
Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора D , вообще говоря,
претерпевает скачок при переходе границы раздела. Однако если сторонние заряды на
границе раздела отсутствуют (   0 ), то
D2 n  D1n
(4.9)
в этом случае нормальные составляющие вектора D скачка не испытывают, они
оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела.
Таким образом, если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков
сторонних зарядов нет, то при переходе этой границы составляющие E и Dn изменяются
непрерывно, без скачка. Составляющие же En и D претерпевают скачок.
Поле в однородном диэлектрике.
Определение результирующего поля E в веществе сопряжено с большими трудностями,
поскольку мы не знаем заранее, как распределяются индуцированные заряды в веществе.
Ясно только, что распределение этих зарядов зависит от природы и формы вещества, а
также от конфигурации внешнего поля E0 .
Поэтому в общем случае решение вопроса о результирующем поле E в диэлектрике
наталкивается на серьезные трудности, исключение составляет случай, когда все
пространство, где имеется поле E0 заполнено однородным изотропным диэлектриком.
Итак, если однородный диэлектрик заполняет все пространство, занимаемое полем, то
напряженность E поля будет в  раз меньше напряженности E0 поля тех же сторонних
зарядов, но при отсутствии диэлектрика. Отсюда следует, что потенциал  во всех точках
также уменьшается в  раз:
  0 /  ,
(4.10)
где  0 — потенциал поля в отсутствие диэлектрика. Это же относится и к разности
потенциалов
U  U0 /  ,
где U 0 — разность потенциалов в вакууме, без диэлектрика
(4.11)
В простейшем случае, когда однородный диэлектрик заполняет все пространство
между обкладками конденсатора, разность потенциалов U между его обкладками будет в
 раз меньше, чем при отсутствии диэлектрика (разумеется, при том же значении заряда
на обкладках). А раз так, то емкость конденсатора ( C  q / U ) при заполнение его
диэлектриком увеличится в  раз:
C '  C ,
(4.12)
где С — емкость конденсатора без диэлектрика. Следует обратить внимание на то, что эта
формула
справедлива
при
заполнении
конденсатора и без учета краевых эффектов.
всего
пространства
между
обкладками
Лекция 5.
Электрический ток.
Электрический ток представляет собой перенос заряда через ту или иную
поверхность S .
Движущиеся упорядочено заряды называются носителями тока. Носителями тока в
проводящей среде могут быть электроны, ионы или другие частицы.
При отсутствии электрического поля носители тока, свободные носители заряда,
совершают хаотическое движение и, таким образом, через выделенную поверхность S
проходит в обе стороны одинаковое количество положительных и отрицательных зарядов,
следовательно в сумме ток через данную поверхность равен нулю. Если же электрическое
поле будет отличным от нуля, то возникнет упорядоченное движение зарядов и,
следовательно, через выделенную поверхность пойдет ток.
Количественной мерой электрического тока служит сила тока I , т.е. заряд,
переносимый сквозь рассматриваемую поверхность S в единицу времени:
I
dQ
.
dt
(5.1)
Единицей силы тока является ампер (А).
Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток называется
постоянным.
За направление электрического тока принято направление движения положительных
свободных зарядов.
Заряд Q , входящей в выражение (5.1), это суммарный заряд переносимый носителями
тока через поверхность за время t .
Плотность тока.
Рассмотрим следующий случай движения заряженных частиц в проводнике.
Предположим, что заряженные частицы движутся с одинаковой скоростью u  в одном
направлении и их концентрация равна n (число частиц в единицу объема). За интервал
времени dt каждая частица пройдет расстояние udt . Таким образом, через выделенную
поверхность dS , перпендикулярную скорости частиц, в проводнике за время dt пройдет
nudtdS частиц. При этом, если заряд каждой частице равен q , то полной заряд
протекающий через объем udtdS за время dt равен
dQ  qnudtdS
и сила тока соответственно
I  dQ / dt  qnudS .
Для более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока j . Модуль
плотности
тока
равен
отношению
силы
тока
через
элементарную
площадку,
перпендикулярно скорости носителей тока, к ее площади
j
dI
.
dS 
(5.2)
Следовательно, можно записать, что j  qnu .
Носителями зарядов являются как положительные, так и отрицательные заряды, таким
образом, плотность тока определяется:
j  qn u  qnu
где n и n - концентрация положительных и отрицательных зарядов, а u  и u 
соответственно их скорости упорядоченного движения.
Как и для тока, за направление вектора плотности тока принимают направление
движения положительных зарядов.
Зная вектор плотности тока в каждой точке интересующей нас поверхности S можно
найти силу тока через эту поверхность как поток вектора j :
I   jdS .
(5.3)
Сила тока является величиной скалярной.
Уравнение непрерывности.
dq
 jdS   dt .
(5.4)
Данное уравнение, по существу, выражает закон сохранения электрического заряда.
В случае стационарного тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться
неизменным, т.е. в правой части
dq
 0 . Следовательно, для постоянного тока
dt
 jdS  0 ,
то есть линии вектора j нигде не начинаются и нигде не заканчиваются.
Закон Ома.
В 1826 году немецкий физик Г. Ом экспериментально установил, что сила тока I,
текущего по однородному металлическому проводнику (т. е. проводнику, в котором не
действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника:
I
U
.
R
(5.5)
Величину R принято называть электрическим сопротивлением или просто
сопротивлением. Проводник, обладающий электрическим сопротивлением, называется
резистором. Данное соотношение выражает закон Ома для однородного участка цепи:
сила тока протекающего по однородному проводнику, прямо пропорциональна
напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.
Единицей сопротивления служит Ом (Ом).
Закон Ома можно записать в следующем виде
U  IR .
Из последних двух формул видно, что при неизменном напряжении на концах
проводников с различными сопротивлениями сила проходящего тока тем меньше, чем
больше сопротивление. Таким образом, увеличение сопротивления проводника означает
увеличение помех, которые испытывают носители тока при движении по проводнику.
Стоит заметить, что сопротивление зависит от формы и размеров проводника, от его
материала и температуры. В простейшем случае однородного цилиндрического
проводника сопротивление
R
l
,
S
(5.6)
где l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения и  – удельное
электрическое сопротивление, которое зависит от материала проводника и температуры.
Размерность удельного сопротивления как видно из этого соотношения - ом-мемтр (Ом м).
Типичные значения удельного сопротивления  варьируются в широком диапазоне, от
удельного сопротивления для изолятора резины (  =1-100·1013 Ом м), которое на 21
порядок больше, чем сопротивления для проводника из серебра (  =1.59·10-8Ом м).
Для проводника с удельным сопротивлением  , плотностью тока j в точке и
напряженностью E электрического поля в данной точке существует соотношение,
которое записывается в следующем виде:
j
1

E.
Данное выражения можно перезаписывать в следующем виде
j E ,
где  
1

(5.7)
– удельная электропроводимость среды. Единица измерения  - сименс (См).
Данное соотношение выражает закон Ома в дифференциальной форме и означает,
что плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности электрического поля.
Электродвижущая сила.
Постоянный электрический ток может быть создан только в замкнутой цепи, в которой
свободные носители заряда циркулируют по замкнутым траекториям. Пусть существует
проводник, в котором создано поле напряженностью E1 , под действием данного поля
заряды одного знака дрейфуют в одну сторону, в то время как заряды противоположного
знака двигаются в
обратном направлении, создавая поле E2 . В результате этого в
проводнике течет ток. Через некоторое время все свободные заряды протекут, и
суммарное электрическое поле станет равным нулю E1  E2  0 , а тогда и плотность тока
j  0 , следовательно, ток прекратится.
Из приведенного примера видно, что для поддержания в проводнике постоянного тока
необходимо
наличие
в
электрической
цепи
устройства,
способного
разделять
электрические заряды и тем самым поддерживать разность потенциалов за счет работы
сил неэлектростатического происхождения. Такие устройства называются источниками
или генераторами постоянного тока. Силы неэлектростатического происхождения,
обуславливающие разделение носителей заряда со стороны источников тока, называются
сторонними силами Fст .
Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают над
перемещением зарядов по цепи. Величина, равная отношению работы сторонних сил,
при перемещении единичного положительного заряда, к величине этого заряда,
называется электродвижущей силой (э.д.с.)  .

A
.
q
(5.8)
э.д.с. измеряется в тех же единицах, что и потенциал.
Действие сторонней силы Fст на заряд q характеризуется напряженностью поля
сторонних сил Eст  Fcт / q . Учитывая что работа по определению A   Fdl , то э.д.с
можно представить в следующем виде

1
Fcт dl   Eст dl .
q
Таким образом, если в проводнике действуют сторонние силы и под действием
напряженности E возникает ток, то плотность тока определяется следующем образом:
j   ( E  Eст ) .
(5.9)
Рассмотрим участок проводника, по которому вдоль него течет ток I , и в котором
действуют сторонние силы Fст . Выразим  через  в выражении (5.9), и умножим
левую и правую части на элемент длины проводника dl , взятый в том же направлении,
что и плотность тока j и затем проинтегрируем по длине проводника
2
2
2
1
1
1
  jdl   Edl   E
ст
dl .
(5.10)
Если выразить плотность тока через силы тока j  I / S и учесть, что
  dl / S
есть
ничто иное, как полное сопротивление, то левая часть выражения преобразуется в IR .
Перейдем к правой части выражения, первой интеграл представляет разность потенциалов
1  2 , в то время как второй интеграл выражает э.д.с  . Таким образом получаем, что
выражение (5.10) преобразуется к виду
IR  1  2   .
Данное выражение называется законом Ома для неоднородного участка цепи в
интегральной форме.
Рассмотрим замкнутую цепь постоянного тока, состоящую из э.д.с.  источника, и
двух сопротивлений r и R , соединенных последовательно. Участок цепи, содержащий
сопротивление R , является однородным.
По закону Ома,
  IR .
Участок цепи, содержащий источник тока с э.д.с  и сопротивление r - неоднородный.
По закону Ома для неоднородного участка,
  Ir   .
Сравнивая два этих выражения, можно записать, что:
Сопротивление r неоднородного участка можно рассматривать как внутреннее
сопротивление источника тока.
Часто проводники в электрических цепях соединяются последовательно и параллельно.
При последовательном соединении проводников сила тока во всех проводниках
одинакова. Рассмотрим последовательное соединение трех проводников с разными
сопротивлениями R1 , R2 и R3 . По закону Ома, напряжения на проводниках равны. Общее
напряжение U на трех проводниках равно сумме напряжений U1, U2 и U3:
U  U1  U 2  U3  I ( R1  R2  R3 )
где R – электрическое сопротивление всей цепи, R  R1  R2  R3 . Отсюда следует, что при
последовательном
соединении
полное
сопротивлений отдельных проводников.
сопротивление
цепи
равно
сумме
Этот результат справедлив для любого числа последовательно соединенных
проводников.
R  R1  R2  R3  ...
(5.11)
Рассмотрим теперь параллельное соединении трех проводников.
При
параллельном
соединении
напряжения
на
проводниках
одинаковы,
U1  U 2  U 3  U . На основании закона Ома: I1  U / R1 , I 2  U / R2 и I3  U / R3 .
Сумма токов, протекающих по проводникам, равна току в неразветвленной цепи
1 1
U
1 
I  I1  I 2  I3 . Данное выражение можно представить, как I  U     или I  ,
R
 R1 R2 R3 
где R – электрическое сопротивление всей цепи
1 1
1
1
 
 . Получаем, что при
R R1 R2 R3
параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению
цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных
проводников.
Этот результат справедлив для любого числа параллельно включенных проводников:
1 1
1
1
 
  ... .
R R1 R2 R3
(5.12)
Формулы для последовательного и параллельного соединения проводников позволяют
во многих случаях рассчитывать сопротивление сложной цепи, состоящей из многих
резисторов.
Следует отметить, что сопротивления далеко не всех сложных цепей, состоящих из
проводников с различными сопротивлениями, могут быть рассчитаны с помощью формул
для последовательного и параллельного соединения.
Цепи с разветвлениями, содержащие несколько источников, рассчитываются с
помощью правил Кирхгофа.
Правила Кирхгофа
Для упрощения расчетов сложных электрических цепей, например, нахождения токов в
отдельных участках, используются правила Кирхгофа.
Первое правило Кирхгофа – оно относится к узлам цепи: алгебраическая сумма токов,
сходящихся в узле, равна нулю
I1  I 2  I 3  ...  I n  0 .
(5.13)
Узловые точки, это точки в которых сходятся не менее трех проводников. При этом,
принято считать, что токи идущие к узел - положительные, а токи, исходящие из узла –
отрицательные.
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического
заряда.
Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома.
Второе правило Кирхгофа относится к любому выделенному в разветвленной цепи
замкнутому контуру: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках
произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме
ЭДС, действующих в этом контуре
 I R  
k
k
j
.
(5.14)
Контурами называют замкнутые пути в разветвленной цепи, состоящих, как из
однородных, так и неоднородных участков. Стоит также заметить, что на разных участках
выделенного контура могут протекать различные токи
Первое и второе правила Кирхгофа позволяют записать необходимое и достаточное
число алгебраических уравнений для расчета электрической цепи. Число уравнений
должно быть равно числу искомых величин. При одни уравнения должны быть
следствием других.
При составлении уравнений следует придерживаться следующих правил:
Обозначить стрелками предположительные направления токов. Если в результате
решения сила тока на каком-то участке оказывается отрицательной, это означает, что его
истинное направление противоположно выбранному направлению стрелки.
Выбрав произвольно замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном
направлении обхода. Если направление тока совпадает при этом с направлением обхода,
то слагаемое нужно брать со знаком «+», в противном случае со знаком «-». Это относится
и к эдс.
Лекция 6.
Магнитное поле.
Магнитные явления были известны еще в древнем мире. Магнитный феномен впервые
наблюдался по крайне мере 2500 лет назад, фрагменты намагниченного железа были
найдены около античного города Магнезия. Было замечено, что если поднести к куску не
намагниченного железа постоянный (природный) магнит, то железо тоже становиться
намагниченным.
После удаления магнита намагнитившийся под его действием кусок железа или стали
теряет значительную часть своих магнитных свойств, но все же остается в большей или
меньшей мере намагниченным. Он превращается, таким образом, в искусственный магнит,
обладающий всеми теми же свойствами, что и магнит естественный.
Поэтому постоянные искусственные магниты всегда изготавливают из специальных
сортов стали, а не из железа.
Одно из других проявлений магнитных свойств это компас, который был изобретен,
как утверждается, около 4500 лет назад.
Наша планета также магнит. Как известно, северный географический полюс находится
близко к южному магнитному полюсу, и наоборот, южный географический полюс близко
к северному магнитному полюсу.
При объяснении магнитных свойств ученые предлагали трактовать действия
магнитных явлений по аналогии электричеству и ввести понятия магнитного заряда, как
северный и южный заряд, аналогично полюсам магнита. Однако экспериментально не
было получено доказательств существования изолированных магнитных зарядов, которые
называются магнитным монополем. В тоже время в 19 веке была обнаружена связь между
электричеством и магнетизмом.
Одни из первых экспериментов, которые указали на существование взаимосвязи между
электрическими и магнитными явлениями – это опыты Эрстеда. Из этих опытов следовало,
что на магнитную стрелку, расположенную вблизи проводника с током, действуют силы,
которые стремятся повернуть стрелку.
Из анализа экспериментальных данных было установлено, что магнитное поле
создается электрическими токами, т.е. при движении заряженных частиц.
Магнитное поле возникает в пространстве, окружающем проводники с током, подобно
тому, как в пространстве, окружающем неподвижные электрические заряды, возникает
электрическое
поле.
Магнитное
поле
постоянных
магнитов
также
создается
электрическими микротоками, циркулирующими внутри молекул, об этом подробно в
следующей лекции.
Аналогично вектору E , характеризующему силовое действие электрического поля, для
описания магнитного поля вводят вектор B характеризующий силовое действие
магнитного поля на движущийся заряд.
Исторически основным индикатором магнитного поля считается магнитная стрелка.
Магнитная стрелка - это маленький линейный природный магнит (например, стрелка
компаса, намагниченный кусочек железа и т.д.). Назовем его пробным магнитом по
аналогии с пробным зарядом в электростатике.
За положительное направление вектора B принимается направление от южного
полюса S к северному полюсу N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в
магнитном поле. Таким образом, исследуя магнитное поле, создаваемое током или
постоянным магнитом, с помощью маленькой магнитной стрелки, можно в каждой точке
пространства определить направление вектора B . Аналогично силовым линиям в
электростатике можно построить линии магнитного поля, в каждой точке которых вектор
B направлен по касательной к этим линиям.
Расположение в пространстве линий магнитного поля, созданного токовыми системами
и природными магнитами, Эрстед, а затем Био (1820-1822) демонстрировали в опыте с
продолговатыми железными опилками, играющими роль пробных магнитов. Линии
магнитной индукции всегда замкнуты, они нигде не обрываются. Это означает, что
магнитное поле не имеет источников – магнитных зарядов.
В любой точке пространства направление и модуль магнитной силы действующий на
заряд со стороны магнитного поля, зависит от скорости заряда. На покоящийся
электрический заряд магнитное поле не действует.
Выражение для этой силы (которая называется силой Лоренца)
F  q  v B  .
(6.1)
Из-за того, что сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости заряда, она способна
только искривить траекторию заряда, но не может изменить величину его скорости.
Работа силы Лоренца всегда равна нулю.
В системе единиц СИ единице магнитной индукции служит тесла (Тл).
Тесла – очень крупная единица. Магнитное поле Земли приблизительно равно
0,5·10–4 Тл. Большой лабораторный электромагнит может создать поле не более 5 Тл.
Когда заряженная частица движется через электрическое и магнитное поля, то на нее
будут действовать соответствующие силы. Тогда полная сила, действующая на заряд
запишется в следующем в виде:
F  qE  q[v B] .
(6.2)
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Как было раньше сказано, магнитное поле порождается движущимися зарядами.
Эксперименты
показывают,
что
величина
B
магнитного
поля,
оказывается
пропорциональна заряду | q | и обратно пропорциональна r 2 . Кроме того, линии вектора
B направлены не вдоль прямой от источника (заряда) к точке поля (точке наблюдения), а
перпендикулярно плоскости содержащей эту линию и вектор скорости. Обобщая
полученные данные, был установлен закон, определяющий магнитное поле B ,
создаваемое точечным зарядом | q | , движущимся с постоянной нерелятивистской
скоростью v
B
0 q[v r ]
.
4 r 3
(6.3)
Закон Био-Савара.
При изучении магнитных полей, создаваемых постоянными токами различных
конфигураций, Био и Савар пришли к выводу, что, как и для электрического поля,
существует принцип суперпозиции и для магнитного поля, то есть установили, что
магнитное поле - векторное. Магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися
зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым
зарядом или током в отдельности,
B   Bi .
(6.4)
В 1820-1822 г.г. Био и Савар также установили, что при удалении точки наблюдения от
оси длинного прямолинейного провода, величина индукции магнитного поля изменяется
обратно пропорционально расстоянию от тчки до провода, к тому же она оказывается
прямо пропорциональна току. Изучив данные экспериментов Био и Савара, а также
Ампера, Лаплас обнаружил, что во всех случаях, когда магнитное поле создается током I ,
текущим вдоль тонкого провода (в том числе криволинейного) dl , магнитная индукция B
может быть вычислена как суперпозиция элементарных векторов dB , созданных каждым
элементарным участком провода с током. Вычислим магнитное поле dB создаваемое
небольшим элементом провода длины dl . Через поперечное сечение S данного провода
течет ток I , учитывая, что q   dV , где dV  Sdl и  v  j , можно записать
j Sdl  jdV  Idl , или в векторном виде jdV  Idl , где dl вектор направлен вдоль
направления тока I . Таким образом, формулу ( B 
следующем виде
0 q[v r ]
) можно переписать в
4 r 3
dB 
0 I [dl , r ]
.
4 r 3
(6.5)
Данное выражение называется законом Био-Савара.
Магнитное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в
результате интегрирования выражения ( dB 
B
0 I [dl , r ]
) по всем элементам тока
4 r 3
0 I [dl , r ]
.
4  r 3
(6.6)
Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных
конфигураций. Нетрудно рассчитать магнитное поле прямого тока, текущего по тонкому
прямому проводу бесконечной длины и поле на оси кругового тока. В первом случае,
B
0 2 I
, где b расстояние (перпендикуляр) от провода с током до точки наблюдения.
4 b
Во втором случае, для поля в центре витка с током Bz  0 
z
R B
0 2 I
и на расстоянии
4 R
0 2 R 2 I
, где R - радиус витка и z - расстояние от центра витка до точки
4 z 3
наблюдения.
Одним
из
взаимодействие
важных
примеров
параллельных
магнитного
токов.
взаимодействия
Закономерности
этого
токов
является
явления
были
экспериментально установлены Ампером. Если по двум параллельным проводникам
электрические токи текут в одну и ту же сторону, то наблюдается взаимное притяжение
проводников. В случае, когда токи текут в противоположных направлениях, проводники
отталкиваются.
Получим выражение для магнитной силы, действующей на элементарный отрезок
провода длиной dl в магнитном поле с индукцией B . Пусть объемная плотность заряда,
являющегося носителем тока, равна  . Тогда в элементе проводника dl в объеме
dV находится заряд, равный  dV . Сила, действующая на элемент проводника dl , на
основании формулы F  q[v B ] может быть записана в виде:
dF  [v B]dV .
(6.7)
Учитывая, что плотность тока j   v , можно написать
dF  [ jB ]dV .
(6.8)
Если ток течет по тонкому проводу, то jdV  Idl и
dF  I [dl , B ] ,
(6.9)
где dl - вектор, совпадающий по направлению с током.
Последние две формулы выражают закон Ампера.
Применяя закон Ампера, можно рассчитать силу взаимодействия между двумя
бесконечно длинными параллельными проводами расположенными на расстояние b друг
от друга, по которым течет ток I1 и I 2 . Несложные расчеты, позволяют найти, что сила
действующая на единицу длины проводника равна
F
0 2 I1 I 2
.
2 b
Для произвольных токовых систем (суперпозиций токовых элементов) картины
силовых линий могут быть весьма разнообразными, но главное свойство остается
неизменным: каждая силовая линия магнитного поля замкнута сама на себя. Силовые
линии природных магнитов не заканчиваются на их поверхности, а уходят внутрь магнита,
и, в конечном счете, также являются замкнутыми.
Замкнутость силовых линий указывает на то, что выполняется следующая теорема
Гаусса для магнитного поля. Поток вектора магнитной индукции через любую
замкнутую поверхность равен нулю.
 BdS  0
Эта теорема является, по существу, обобщением экспериментальных данных. Из
которых следует, что в природе отсутствуют магнитные заряды (магнитные силовой
линии ни на чем не начинаются и ни на чем не заканчиваются).
В некоторых случаях расчеты магнитного поля токов часто упрощаются при учете
симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае расчеты можно
выполнять с помощью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции, которая в
теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов E и
D.
Теорема о циркуляции вектора B гласит, что
циркуляция вектора B
по
произвольному замкнутому контору  равна произведению 0 на алгебраическую сумму
токов, охватываемых контуром  :
 Bdl
 0 I , где I   I k .
Токи считаются положительными, если его направление
(6.10)
связано с направлением
обхода по контору правилом правого винта.
Тот факт, что циркуляция вектора B не равна нулю, означает, что поле B не
потенциально и является вихревым.
Рассмотрим несколько примером расчета магнитных полей с помощью теоремы о
циркуляции.
Магнитное поле соленоида. Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по
винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют
соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводника. Если
шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно
заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника
настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле
практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает
густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида
однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри соленоида.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены
вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде
правовинтовую систему.
Выберем прямоугольный контур. Циркуляция вектора B по данному контуру равна Bl ,
и контур охватывает ток nlI . Согласно теореме о циркуляции Bl  0 nlI , откуда следует,
что внутри длинного соленоида
B  0 nI
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно. Произведение nl называют числом
ампервитков.
Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас,
имеющий форму тора.
Из соображений симметрии видно, что линии вектора B представляют собой
концентрические окружности, центры которых расположены на оси 00’ тороида. Поэтому
ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток NI , где N — число
витков в тороидальной катушке, I - ток в проводе. Пусть радиус контура r , тогда по
теореме о циркуляции B2 r  0 NI , откуда следует, что внутри тороида
B  ( 0 / 2 ) NI / r .
Таким образом, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной катушке зависит
от радиуса r.
Лекция 7.
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле.
Пусть заряженная частица q движется в однородном магнитном поле B со скоростью
v , при этом вектор скорости перпендикулярен вектору B . В магнитном поле на частицу
будет действовать
сила Лоренца, которая в данном случае будет играть роль
центростремительной силы. Следовательно, под действием этой силы частица приобретет
нормальное ускорение w n 
Fl q v B

и она будет равномерно двигаться по окружности
m
m
радиуса
R
Период обращения частицы ( T 
mv
.
q B
(7.1)
2 R
) в однородном магнитном поле равен
v
T
2 m
.
B q
(7.2)
Видно, что период обращения частицы в магнитном поле B не зависит от её скорости,
а определяется отношением
Рассмотрим
теперь
q
, которое называется удельным зарядом.
m
движение
заряженной
частица,
когда
её
скорость
не
перпендикулярна магнитному полю, а составляет с ним угол  . Тогда сила Лоренца равна
F  q v B sin  .
Раскладывая скорость на две составляющие, v  vsin  - поперечную и
v  v cos  -
продольную, силу Лоренца можно записать в виде
F  q v B .
Видно, что сила лежит в плоскости перпендикулярной к вектору B .
Таким образом, движение частицы можно представить как наложение двух движений,
перемещением вдоль направления B с постоянной скоростью v
движения
со
скоростью
v
по
перпендикулярной к вектору B .
окружности
радиусом
R
m v
q B
и равномерного
в
плоскости,
То есть, траектория движения представляет собой
спираль, ось которой совпадает с направлением B .
В качестве примера можно привести траекторию движения заряженной частицы в
магнитной «бутылке», где частицы двигаются по спиралеобразным траекториям между
двумя катушками с током. Это явление используется в технике для магнитной
термоизоляции высокотемпературной плазмы.
Аналогичное явление происходит в магнитном поле Земли, которое является защитой
для всего живого от потоков заряженных частиц из космического пространства. Быстрые
заряженные частицы из космоса (главным образом от Солнца) «захватываются»
магнитным полем Земли и образуют так называемые радиационные пояса, в которых
частицы, как в магнитных ловушках, перемещаются туда и обратно по спиралеобразным
траекториям между северным и южным магнитными полюсами. Одно колебание вдоль
силовой линии из Северного полушария в Южное протон с энергией ~ 100 Мэв совершает
за время ~ 0,3 сек. Время нахождения такого протона в геомагнитной ловушке может
достигать 100 лет, за это время он может совершить до 1010 колебаний. В среднем
захваченные частицы большой энергии совершают до нескольких сотен миллионов
колебаний из одного полушария в другое. В основном частицы покидают радиационные
пояса из-за потери своей энергии на ионизацию, из-за рассеяния частиц при взаимных
столкновениях и рассеяния на магнитных неоднородностях и плазменных волнах
различного происхождения.
Тот факт, что период обращения заряженной частицы не зависит от её скорости,
положено в основу устройства циклотрона – ускорителя заряженных частиц.
Между полюсами сильного электромагнита помещается вакуумная камера, в которой
находятся два электрода в виде полых металлических полуцилиндров (дуантов). К
дуантам приложено переменное электрическое напряжение, частота которого равна
циклотронной частоте. Заряженные частицы инжектируются в центре вакуумной камеры.
Частицы ускоряются электрическим полем в промежутке между дуантами. Внутри
дуантов частицы движутся под действием силы Лоренца по полуокружностям, радиус
которых растет по мере увеличения энергии частиц. Каждый раз, когда частица пролетает
через зазор между дуантами, она ускоряется электрическим полем. Таким образом, в
циклотроне, как и во всех других ускорителях, заряженная частица ускоряется
электрическим полем, а удерживается на траектории магнитным полем. Циклотроны
позволяют ускорять протоны до энергии порядка 20 МэВ.
При увеличении энергии необходимо учитывать зависимость массы от скорости частиц.
Прибор, в котором в процессе ускорения каждой порции частиц соответствующим
образом уменьшается частота ускоряющего напряжения, называется фазотроном (либо
синхроциклотроном). Ускоритель, в котором частота не меняется, а индукция магнитного
поля
изменяется
так,
чтобы
отношение
m
B
оставалось
постоянным,
называют
синхротроном. В ускорителе, названном синхрофазотроном изменяются и частота
ускоряющего напряжения, и магнитное поле. Ускоряемые частицы движутся в
синхрофазотроне не по спирали, а по круговой траектории постоянного радиуса.
Так как отношение
q
не зависит от скорости, Дж. Дж. Томсон использовал это для
m
измерения удельного заряда электрона. Идея эксперимента заключалась в следующем: в
вакуумной трубке электроны из катода ускорялись, проходя разность потенциалов U
через два анода, далее проходили через пластины плоского конденсатора и попадали на
флуоресцирующий экран. Трубка располагалась между полюсами электромагнита так,
чтобы пластины конденсатора находились в магнитном поле.
Таким образом, частицы двигались в скрещенных однородных электрическом и
магнитном полях. Электрическое поле создавалось между пластинами плоского
конденсатора, магнитное поле же в зазоре между полюсами электромагнита. Начальная
скорость v заряженных частиц была направлена перпендикулярно векторам E и B .
На частицу, движущуюся в скрещенных электрическом и магнитном полях, действуют
электрическая сила qE и сила Лоренца. Если qE  q v B , то магнитные и электрические
силы будут уравновешивать друг друга. При выполнении этого условия, частица будет
двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью
v
E
(на этом основан селектор скоростей).
B
С другой стороны скорость электронов определяется разностью потенциалов U . На
выходе из анодов кинетическая энергия электронов равняется потенциальной энергии
1
m v 2  qU .
2
Откуда, скорость электронов, соответственно,
v
2eU
.
m
Таким образом, получаем, что
E
2eU

B
m
или
q
E2

.
m 2UB 2
Отношение
q
можно определить, так как все параметры с правой части уравнения m
величины измеряемые.
В опыте Томсона было получено, что
e / m  1.7588 1011 Кл / кг .
50 лет спустя Милликен в своем знаменитом эксперименте измерил величину
элементарного заряда
q  1.6 1019 Кл .
Таким образом, на основание полученных результатов с этих экспериментов, можно
было вычислить массу электрона, которая оказалась равна
m  9.109 1031 кг .
Однородные магнитные поля используются во многих приборах и, в частности, в массспектрометрах – устройствах, с помощью которых можно измерять массы заряженных
частиц – ионов или ядер различных атомов. Масс-спектрометры используются для
разделения изотопов, то есть ядер атомов с одинаковым зарядом, но разными массами.
Ионы, вылетающие из источника, проходят через несколько небольших отверстий,
формирующих узкий пучок. Затем они попадают в селектор скоростей.
Далее частицы с одним и тем же значением скорости попадают в камеру массспектрометра, в которой создано однородное магнитное поле B  . Частицы движутся в
камере в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, под действием силы Лоренца.
Траектории частиц представляют собой окружности радиусов R 
mv
. Измеряя радиусы
qB
траекторий при известных значениях υ и B' можно определить отношение
q
. В случае
m
изотопов (q1 = q2) масс-спектрометр позволяет разделить частицы с разными массами.
Современные масс-спектрометры позволяют измерять массы заряженных частиц с
точностью выше 10–4.
Лекция 8.
Магнитное поле в веществе.
Если в магнитное поле, образованное токами в проводах, ввести то или иное вещество,
поле изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е.
способно под действием магнитного поля намагничиваться — приобретать магнитный
момент.
Для объяснения намагничивания тел Ампер предложил, что в молекулах веществ
циркулируют круговые токи. Токи, связанные с каждой молекулой
называют
молекулярными токами. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в
окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, молекулу вещества можно
представить в виде элементарного контура с током, характеризующегося некоторым
магнитным моментом
pm  I m Sn ,
(8.1)
где I m - элементарные молекулярный ток, S - площадь, ограниченная контуром и n нормаль к контору, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом
правого винта.
Если внешнее магнитное поле отсутствует, то молекулярные токи магнетика
ориентированы беспорядочно, поэтому суммарный магнитный момент вещества равен
нулю.
Если же магнетик
находится под действием внешнего магнитного поля  0 , то
магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном
направлении, вследствие чего магнетик намагничивается - его суммарный магнитный
момент становится отличным от нуля и при этом возникает поле   . Таким образом,
результирующее поле будет:
   0  .
Здесь под   и  имеются в виду поля, усредненные по физически бесконечно малому
объему.
В результате намагничивания вещества некоторые молекулярные токи остаются
нескомпенсированными, вследствие чего появляются макроскопические токи I  ,
называемые токами намагничивания
Обычные токи, текущие по проводникам, связаны с перемещением в веществе
носителей тока, их называют токами проводимости I.
Степень намагничения магнетика характеризуют магнитным моментом единицы
объема. Эту величину называют намагниченностью и обозначают J . По определению
J
1
V
P
,
m
где V — физически бесконечно малый объем в окрестности данной точки, Pm —
магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование проводится по всем молекулам в
объеме V .
Оказывается, что для стационарного случая циркуляция намагниченности J
по
произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов намагничивания  ,
охватываемых контуром Г:
 Jdl
 I ,
(8.2)
где    j dS , причем интегрирование проводится по произвольной поверхности,
натянутой на контур Г.
Вектор H .
Если магнетики поместить во внешнее магнитное поле, то циркуляция вектора B будет
определяться
не
только
токами
проводимости,
но
и
возникающими
токами
намагничивания:
 Bdl   I  I  ,
(8.3)
0
где I и I  - токи проводимости и намагничивания, охватываемые заданным контуром Г.
Учитывая, что
 Jdl
 I  , и предполагая, что циркуляция векторов B и J берется по
одному и тому же контуру Г, выражение можно преобразовать к виду:
 B
  
Вводя,
вспомогательный
0

 J  dI  I .

вектор
H
B
0
J
,
который
иногда
называют
напряженностью магнитного поля, можно записать, что
 Hdl
I.
(8.4)
Последние два соотношения справедливы для любых магнетиков, в том числе и
анизотропных.
Единицей величины Н является ампер на метр (А/м).
Связь между векторами J и H и B . Намагниченность J зависит от магнитной
индукции B в данной точке вещества, однако J принято связывать с вектором H . Для
многих
однородных
изотропных
веществ,
как
показывает
эксперимент,
намагниченностью и напряженностью магнитного поля есть прямая связь:
между
J  H ,
(8.5)
где  — магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характерная для каждого
данного магнетика.
Следовательно, выражение ( H 
B
0
 J ) можно записать в виде
 I    H  B  . Отсюда
0
B  0 H ,
(8.6)
где  — магнитная проницаемость среды и   I   .
Измерения показывают, что для большинства веществ магнитная проницаемость 
близка к единице и не зависит от величины магнитного поля. Почти все вещества
подчиняются зависимости B  0 H (или J   H ) и могут быть разбиты на два класса:
1)
  1 – парамагнетики, в которых намагниченность вещества увеличивает
суммарное магнитное поле; парамагнетики втягиваются в область сильного
неоднородного магнитного поля. У парамагнетиков    0 и J  H
2)
  1 – диамагнетики, в которых намагниченность уменьшает суммарное поле;
диамагнетики
выталкиваются
из
области
сильного
неоднородного
поля.
У
диамагнетиков    0 и J  H .
У обоих типов магнетиков магнитная проницаемость очень слабо отличается от
единицы. Например, у алюминия, который относится к парамагнетикам, μ – 1 ≈ 2,1·10–5, у
хлористого железа (FeCl3) μ – 1 ≈ 2,5·10–3. К парамагнетикам относятся также платина,
воздух и многие другие вещества. К диамагнетикам относятся медь (μ – 1 ≈ –3·10–6), вода
(μ – 1 ≈ –9·10–6), висмут (μ – 1 ≈ –1,7·10–3) и другие вещества.
 
Кроме этих двух классов имеется класс веществ, у которых зависимость J H имеет
весьма сложный характер (наблюдается гистерезис) и величина магнитной проницаемости
(и магнитной восприимчивости) может быть очень большой и сильно зависит от
величины магнитного поля, а также от температуры вещества. Это, так называемые,
магнитоупорядоченные
состояния
–
ферромагнетики,
антиферромагнетики
и
ферримагнетики. Магнитная проницаемость ферромагнетиков по порядку величины
лежит в пределах 102–105. Например, у стали μ ≈ 8000, у сплава железа с никелем
магнитная проницаемость достигает значений 250000.
Ферромагнетиками называют вещества (твердые), которые могут обладать спонтанной
намагниченностью, т. е. намагничены уже при отсутствии внешнего магнитного поля.
Для каждого ферромагнетика существует определенная температура (так называемая
температура или точка Кюри), выше которой ферромагнитные свойства исчезают, и
вещество становится парамагнетиком. У железа, например, температура Кюри равна
770 °C, у кобальта 1130 °C, у никеля 360 °C.
Характерной
особенностью
ферромагнетиков
является
сложная
нелинейная
зависимость J ( H ) или B( H ) . Величина индукции B  0  H  J  растет с увеличением
Н, а после достижения состояния насыщения В продолжает расти с увеличением Н по
линейному закону: B  0 H  const , где const  0 J нас . Ввиду нелинейной зависимости
B( H ) для
ферромагнетиков
нельзя
ввести
магнитную
проницаемость

как
определенную постоянную величину, характеризующую магнитные свойства каждого
данного ферромагнетика. Однако по-прежнему считают, что   B / 0 H , при этом  , как
видно, является функцией Н. В таблицах обычно приводятся значения максимальной
магнитной проницаемости.
Кроме нелинейной зависимости В(Н) или J(Н) для ферромагнетиков характерно также
явление магнитного гистерезиса: связь между В и Н или J и Н оказывается неоднозначной,
а определяется предшествующей историей намагничивания ферромагнетика.
Кривую намагниченности В(Н) сложной формы называют петлей гистерезиса. Когда
H  0 намагничивание не исчезает и характеризуется величиной Br , называемой
остаточной индукцией. Ей соответствует остаточная намагниченность J r . С наличием
такого остаточного намагничивания связано существование постоянных магнитов.
Величина В обращается в нуль лишь под действием поля H c , имеющего направление,
противоположное
полю,
вызвавшему намагничивание.
Величина
Hc
называется
коэрцитивной силой.
Граничные условия для B и H .
Найдем соотношения для векторов B и H на границе раздела двух однородных
магнетиков. Эти условия получим с помощью теоремы Гаусса
циркуляции
 Hdl
 BdS  0 и
теоремы о
I.
Представим очень малой высоты цилиндрик, расположенный на границе раздела
магнетиков, основания
S которого лежат по разные стороны от границы. Тогда, с
помощью теоремы Гаусса, поток вектора B наружу из этого цилиндрика (потоком через
боковую поверхность пренебрегаем) можно записать так:
B2 n S  B1n S  0 .
Взяв обе проекции вектора B на общую нормаль n , получим B1n   B1n , и предыдущее
уравнение можно записать в следующем виде:
B2 n  B1n ,
(8.7)
т. е. нормальная составляющая вектора B не изменятся при переходе через границу
раздела двух сред.
Рассмотрим теперь условие для вектора H . Предположим, что вдоль поверхности
раздела магнетиков течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i .
Возьмем небольшой прямоугольному контуру, высота которого пренебрежимо мала по
сравнению с его длиной l , и стороны которого параллельны вектору  - касательной
вдоль границе раздела сред. Пренебрегая вкладом в циркуляцию на боковых сторонах
контура, запишем для всего контура:
H 2 l  H1 l  iN l ,
где iN — проекция вектора
i на нормаль N к контуру (вектор N образует с
направлением обхода по контуру правовинтовую систему). Взяв обе проекции вектора Н
на общий орт касательной  (в среде 2), получим H1    H1 и после сокращения на l
предыдущее уравнение примет вид
H 2  H1  iN ,
(8.7)
т. е. тангенциальная составляющая вектора H претерпевает скачок при переходе границы
раздела магнетиков, связанный с наличием поверхностных токов проводимости.
Однако если на границе раздела магнетиков токов проводимости нет  i  0  , то
тангенциальная составляющая вектора Н не изменяется при переходе из одной среды в
другую.
Лекция 9.
Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим
и возникающим магнитным молями Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток
смещения.
Плотность тока смещения записывается в следующем виде:
jсм  D / t .
Согласно этому уравнению ток смещения имеется везде, где есть изменяющееся
электрическое поле. Следовательно, он существует и внутри проводника, по которому
течет переменный электрический ток. Однако внутри проводов jсм обычно бывает
пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости j .
Сумму же тока проводимости и тока смещения называют полным током. Его плотность
jполн  j  D / t .
С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была


блестяще завершена. Открытие тока смещения D / t позволило Максвеллу создать
единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только
объяснила все разрозненные явления электричества и магнетизма (причем с единой точки
зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось
впоследствии.
В интегральной форме система уравнений Максвелла имеет следующий вид:
B
 Edl   t dS ,  DdS    dV ,
(9.1)
 D 
Hdl



 1  t  dS ,
(9.2)
 BdS  0 ,
где  - объемная плотность сторонних зарядов, j — плотность тока проводимости.
Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об
электромагнитном поле. Содержание этих уравнений заключается в следующем:
1. Циркуляция вектора E по любому замкнутому контуру равна со знаком минус
производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную
данным контуром. При этом под E понимается не только вихревое электрическое поле,
но и электростатическое (циркуляция последнего, как известно, равна нулю).
2. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме
сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.
3. Циркуляция вектора H по любому замкнутому контуру равна полному току (току
проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным
контуром.
4. Поток вектора B сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю.
Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов E и H следует, что электрическое
и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из
этих полей приводит к появлению другого. По этому имеет смысл лишь совокупность
этих полей, описывающая единое электромагнитное поле.
Если же поля стационарны
 E  const  и  B  const 
, то уравнения Максвелла
распадаются на две группы независимых уравнений:
 Edl
 0,
 DdS  0 ,
(9.3)
 Hdl
I
 BdS  0 .
(9.4)
В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга, что
позволяет изучить сначала постоянное электрическое поле, а затем независимо от него и
постоянное магнитное поле.
Уравнения (9.1) и (9.2) можно представить в дифференциальной форме:
 E  B / t ,   D   ,
(9.5)
  H  j  D / t ,  B  0 .
(9.6)
Уравнения (9.5) говорят о том, что электрическое поле может возникнуть по двум
причинам. Во-первых, его источником являются электрические заряды, как сторонние, так
и связанные. Во-вторых, поле E образуется всегда, когда меняется во времени магнитное
поле.
Уравнения же (9.6) говорят о том, что магнитное поле B может возбуждаться либо
движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными
электрическими полями, либо тем и другим одновременно (это следует из уравнения
  H  j  D / t ). Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим
зарядам, в природе не существует, это показывает уравнение  B  0 .
Значение уравнений Максвелла в дифференциальной форме не только в том, что они
выражают основные законы электромагнитного поля, но и в том, что путем их решения
(интегрирования) могут быть найдены сами поля Е и В.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме совместно с уравнением движения
заряженных частиц под действием силы Лоренца
dp / dt  qE  q vB
(9.7)
составляют фундаментальную систему уравнений. Эта система в принципе достаточна для
описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые эффекты.
Фундаментальные уравнения Максвелла еще не составляют полной системы уравнений
электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по
заданным распределениям зарядов и токов.
Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, в которые входили бы
величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения
называют материальными уравнениями. Вообще говоря, эти уравнения достаточно
сложны и не обладают той общностью и фундаментальностью, которые свойственны
уравнениям Максвелла.
Материальные
уравнения
наиболее
просты
в
случае
достаточно
слабых
электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во
времени. В этом случае для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и
ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид:
D   0 E , B  0 H ,


j   E  E* ,
(9.8)
где  ,  ,  — постоянные, характеризующие электрические и магнитные свойства среды
(диэлектрическая
и
магнитная
проницаемости
и
электропроводимость),
E* —
напряженность поля сторонних сил, обусловленная химическими или тепловыми
процессами.
Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они
являются релятивистски инвариантными. Это есть следствие принципа относительности,
согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг
другу. Факт инвариантности уравнений Максвелла (относительно преобразований
Лоренца) подтверждается многочисленными опытными данными. Вид уравнений
Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется,
однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам.
Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного
полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет
зарядов магнитных (насколько известно в настоящее время). Вместе с тем в нейтральной
однородной непроводящей среде, где   0 и j  0 , уравнения Максвелла приобретают
симметричный вид, т. е. E так связано с B / t , как B с E / t :
 E  B / t ,  D  0 ,
(9.9)
 H  D / t ,  B  0 .
Симметрия
уравнений
относительно
(9.10)
электрического
и
магнитного полей
не
распространяется лишь на знак перед производными B / t и D / t . Различие в знаках
перед этими производными показывает, что линии вихревого электрического поля,
индуцированного изменением поля B , образуют с вектором B / t левовинтовую
систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением D , образуют
с вектором D / t правовинтовую систему.
Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально
нового
физического
явления:
электромагнитное
поле
способно
существовать
самостоятельно — без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния
обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными
волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света с.
Ток смещения D / t играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его
присутствие
наряду
с
величиной
B / t и
означает
возможность
появления
электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле
электрическое, изменение же поля электрического, в свою очередь, возбуждает магнитное
поле. За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны
сохраняться — электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве.
Теория
Максвелла
не
только
предсказала
возможность
существования
электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства, а именно:
любая электромагнитная волна независимо от ее конкретной формы (это может быть
гармоническая
волна
или
электромагнитное
возмущение
произвольной
формы)
характеризуется следующими общими свойствами:
1) ее скорость распространения в непроводящей нейтральной неферромагнитной среде
v  c /  , где c  1/  0 0
(9.11)
2) векторы E , B и v (скорость волны) взаимноперпендикулярны и образуют
правовинтовую систему. Такое правовинтовое соотношение является внутренним
свойством электромагнитной волны, не зависящим ни от какой координатной системы;
З) в электромагнитной волне векторы E и B всегда колеблются в одинаковых фазах,
причем между мгновенными значениями E и B в любой точке существует определенная
связь, а именно E  v B , или
 0 E  0 H .
(9.12)
Это значит, что Е и Н (или В) одновременно достигают максимума, одновременно
обращаются в нуль и т. д.
Понимание того, что из дифференциальных уравнений (9.9-9.10) вытекала возможность
существования электромагнитных волн, позволило Максвеллу с блестящим успехом
развить электромагнитную теорию света.
Лекция 10.
Электрические колебания.
Условие квазистационарности. Когда происходят электрические колебания, ток в цепи
изменяется во времени и, вообще говоря, в каждый момент ток оказывается не
одинаковым на разных участках цепи (из-за того что электромагнитные возмущения
распространяются хотя и с очень большой, но конечной скоростью). Однако имеется
много случаев, когда мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми
на всех участках цепи (такой ток называют квазистационарным). Для этого все изменения
во
времени
должны происходить
настолько
медленно,
чтобы
распространение
электромагнитных возмущений можно было считать мгновенным. Если l — длина цепи,
то на прохождение длины l электромагнитное возмущение затрачивает время порядка
  l / c . Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет
выполнено, если
 l /c
T,
где T — период изменений.
В этой главе мы всюду будем предполагать, что в рассматриваемых нами случаях
условие квазистационарности выполняется, и токи будем считать квазистационарными.
Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В частности,
мы будем использовать тот факт, что мгновенные значения квазистационарных токов
подчиняются закону Ома.
Колебательный контур. В цепи, содержащей катушку индуктивности L и конденсатор
емкости C , могут возникнуть электрические колебания. Поэтому такую цепь называют
колебательным контуром.
Уравнение
колебательного
контура.
Рассмотрим
сначала
последовательный
колебательный контур, в которую включены последовательно конденсатор С, катушка
индуктивности L, активное сопротивление R, а также источник тока с э. д. с.  . Составим
уравнение колебаний для данного контура.
Закон Ома для замкнутой RLC-цепи запишется в следующем виде:
RI  1  2   s   ,
(10.1)
где  s   LdI / dt — э. д. с. самоиндукции, а 2  1  q / C - напряжение на конденсаторе,
I  dq / dt - ток в цепи.
Тогда данное уравнение можно переписать в следующем виде
L
d 2q
dq 1
R  q 
2
dt
dt C
Это и есть уравнение колебательного контура — линейное дифференциальное
неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя с
помощью этого уравнения q(t), мы можем легко вычислить напряжение на конденсаторе
как U c  2  1  q / C и силу тока I .
Уравнению колебательного контура можно придать иной вид:
q  2  q  02 q   / L ,
(10.2)
2   R / L , 02  1/ LC .
(10.3)
где введены обозначения
Величину 0 называют собственной частотой контура,  —коэффициентом затухания.
Смысл этих названий мы выясним ниже.
Если   0 , то колебания принято называть свободными. При R  0 они будут
незатухающими, при R  0 — затухающими. Рассмотрим последовательно все эти случаи.
Свободные незатухающие колебания. Если в контуре нет внешней э, д. с.  и
активное сопротивление R  0 , то колебания в таком контуре являются свободными
незатухающими. Тогда уравнение описывающие свободные колебания в LC-контуре в
отсутствие затухания будет иметь вид:
q  02 q  0 .
(10.4)
Решением этого уравнения является функция
q  qm cos 0t    ,
(10.5)
где qm — амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора и  —начальная фаза
определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого
система была выведена из состояния равновесия; 0 — собственная частота контура
определяется только свойствами самого контура. Так как 0  1/ LC , то, период
свободных незатухающих колебаний равен
T0  2 LC
(формула Томсона).
(10.6)
Найдя ток I и имея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом
q , нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток I опережает по
фазе напряжение на конденсаторе на  / 2 .
Свободные затухающие колебания. Все реальные контуры содержат электрическое
сопротивление R, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание.
Свободные колебания будут затухающими.
Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид
q  2  q  02 q  0 .
(10.7)
Решение данного однородного дифференциального уравнения имеет вид (при  2  02 ):
q  qme  l cos t    ,
(10.8)
где
2
    
2
0
2
1  R 

 ,
LC  2 L 
(10.9)
а qm и  — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. Множитель
qm e   l называют амплитудой затухающих колебаний. Период затухающих колебаний:
T
2
 
2
0
2

T0
1    / 0 
2
,
(10.10)
где T0 — период свободных незатухающих колебаний.
Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал
времени  , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз, называется
временем затухания(релаксации) -   1/  .
Добротность Q колебательной системы:
Q   /    Ne ,
(10.11)
где Ne – число полных колебаний, совершаемых системой за время релаксации τ,  логарифмический декремент затухания. Он определяется как натуральный логарифм
отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания Т:
  ln
A t 
 T ,
A t  T 
где A — амплитуда соответствующей величины (q,U,I).
Если
затухание
мало

    2 / 0   R C / L , а Q 
При
 2  02
вместо
2
02 
,
то
  0  1 LC
и,
следовательно,
1 L
.
R C
колебаний
будет
происходить
апериодический
разряд
конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический
процесс, называют критическим Rкр  2 L / C .
Зная q  t  , можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Напряжение на
конденсаторе
Uc 
q qm   t

e cos t    .
C C
Ток в контуре
I
dq
 qm e   t    cos t      sin t     .
dt
После преобразования выражения в квадратных скобках можно получить:
I  qme  t cos t      ,
угол  связан с
 / 0  cos  ,  / 0  sin  .
Из этого следует, что угол  лежит во второй четверти  / 2      . Это означает,
что при наличии активного сопротивления R ток в контуре опережает по фазе напряжение
на конденсаторе более чем на  / 2 .
Вынужденные электрические колебания. Процессы, возникающие в электрических
цепях
под
действием
внешнего
периодического
источника
тока,
называются
вынужденными колебаниями.
Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях,
являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток
энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных
потерь.
Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания
под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.
Рассмотрим последовательный колебательный контур, в которой включен источник
тока (э. д. с.  ), напряжение которого изменяется по периодическому закону
   m cos t .
Тогда уравнение колебательного контура записывается как
L
dI
q
 RI    m cos t ,
dt
C
или
q  2 q  02q   m / L  cos t .
Частное решение этого уравнения имеет вид
q  qm cos t   ,
где qm — амплитуда заряда на конденсаторе;  — разность фаз между колебаниями
заряда и внешней э. д. с.  , где qm и  определяются только свойствами самого контура
и вынуждающей э. д. с.  , причем оказывается, что   0 , поэтому изменение заряда
всегда отстает по фазе от  .
Если продифференцировав данное выражение по t, можно найти ток:
I  qm sin t    qm cos t    / 2
или
I  I m cos t    ,
где I m — амплитуда тока;  —сдвиг по фазе между током и внешней э. д. с.  ,
I m   qm ,
    / 2 .
Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде
U L  U R  U C   m cos t ,
где слева записана сумма напряжений на индуктивности L, сопротивлении R и емкости С.
Таким образом, мы видим, что сумма этих напряжений равна в каждый момент внешней э.
д. с.  . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с
частотой ω внешнего источника переменного тока. Учитывая соотношения для тока,
запишем:
U R  RI  RI m cos t    ,
UC 
I
q qm



cos t    m cos  t     ,
C C
C
2

UL  L
dI


  LI m sin t      LI m cos  t     .
dt
2

Из последних трех формул видно, что U R находится в фазе с током I, U C отстает по
фазе от I на  / 2 , а U L опережает I на  / 2 . Все это можно наглядно представить с
помощью векторной диаграммы, изобразив амплитуды напряжений
U Rm  RI m , U Cm  I m / C , U Lm   LI m
и их векторную сумму, равную согласно вектору величины  m .
Из векторной диаграммы легко получить следующие выражения для I m и  :
Im 
tg 
m
R 2   L  1/ C 
 L  1/ C
R
2
,
(10.12)
.
Как видно из выражения для Im , амплитуда тока принимает максимальное значение
при условии L 1/ C  0
Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой
контура:
Iрез  0  1/ LC .
(10.13)
Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чем меньше коэффициент
затухания   R / 2 L .
Максимум амплитуды заряда достигается при резонансной частоте
qрез  02  2 2 ,
(10.14)
которая по мере уменьшения  все больше приближается к 0 .
Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω внешнего
источника с собственной частотой ω0 электрической цепи называется электрическим
резонансом.
Форма резонансных кривых определенным образом связана с добротностью Q контура.
Особенно простой эта связь оказывается для случая слабого затухания. При  2
02
величина  рез  0 и U Cрез  I m / 0C   m / 0CR , или U Cmрез /  m  LC / CR  1/ R  L / C ,
а это, как показывает сравнение с формулой Q 
1 L
, и есть Q .
R C
Таким образом, добротность контура (при  2
02 показывает, во сколько раз
максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе (и на индуктивности)
превышает амплитуду внешней э. д. с.
Лекция 11.
Оптика – раздел физики, изучающий свойства и физическую природу света, а также
его взаимодействие с веществом. Учение о свете принято делить на три части:

геометрическая
или
лучевая
оптика,
в
основе
которой
лежит
представление о световых лучах;

волновая оптика, изучающая явления, в которых проявляются волновые
свойства света;

квантовая оптика, изучающая взаимодействие света с веществом, при
котором проявляются корпускулярные свойства света.
С давних времен известны четыре основных закона геометрической оптики:
Закон

закон прямолинейного распространения света;

закон независимости световых лучей;

закон отражения света;

закон преломления света.
прямолинейного
распространения
света:
в
однородной
среде
свет
распространяется прямолинейно. Это вытекает из того, что непрозрачные предметы при
освещении их источниками малых размеров («точечный источник») отбрасывают тени с
резко
очерченными
границами.
Следует
отметить,
что
закон
прямолинейного
распространения является приближенным. При прохождении света через очень малые
отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны, наблюдаются отклонения от
прямолинейности, тем большие, чем меньше отверстие. Таким образом, при   0
геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики.
Закон независимости световых лучей заключается в том, что при пересечении они не
возмущают друг друга. Пересечения лучей не мешают каждому из них распространяться
независимо друг от друга. Стоит отметить, что это соблюдается только при небольших
интенсивностях света.
При прохождении света через границу двух прозрачных сред падающий луч может
частично отразиться или преломиться.
Направления распространения новых лучей
определяются законами отражения и преломления света.
Закон отражения света: отраженный луч лежит в одной плоскости (плоскость падения)
с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения луча. Угол отражения
 равен углу падения  .
 
Закон преломления света: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим
лучом и нормалью, восстановленной в точке падения. Отношение синуса угла падения 
к синусу угла преломления  есть величина постоянная для данных веществ:
sin 
 n12 .
sin 
Закон
преломления
был
экспериментально
(11.1)
установлен
голландским
ученым
В. Снеллиусом (1621 г.). Хотя первые попытки экспериментально установить этот закон
были сделаны еще Птолемеем во II в н.э.
Величину n12 называют относительным показателем преломления второго вещества
по отношению к первому.
Показатель преломления вещества по отношению к вакууму называется абсолютным
показателем преломления (или просто показателем преломления) данного вещества.
Вещество с большим показателем преломления называют оптически более плотным.
Относительный показатель преломления двух веществ равен
отношению их
абсолютных показателей преломления:
n12 
n2
.
n1
Опыт показывает, что луч, прошедший через плоскопараллельную пластину,
погруженную в другое вещество, оказывается параллельным падающему лучу.
Закон обратимости (или взаимности) световых лучей: если навстречу лучу,
претерпевшему ряд отражений и преломлений, пустить другой луч, то он пойдет по тому
же пути, что и первый (прямой) луч, но в обратном направлении.
На основание n12  n2 / n1 , закон преломления можно записать в следующем виде:
n1 sin   n2 sin  .
Отсюда видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически
менее плотную n2 < n1, луч будет удаляться от нормали к поверхности. И при превышении
некоторого критического угла  кр можно будет наблюдать явление полного отражения, то
есть исчезновение преломленного луча (при этом    / 2 ). Угол  кр называется
предельным углом и определяется как:
 кр  arcsin n12 .
(11.2)
Для границы раздела стекло–воздух (n = 1,5) критический угол равен αпр = 42°, для
границы вода–воздух (n = 1,33) – αпр = 48,7°.
Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических
устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является
создание волоконных световодов, которые представляют собой тонкие (от нескольких
микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного
материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться
по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых
поверхностей.
Применим закон преломления для рассмотрения прохождения света через призму.
Проходя через призму, луч света не только преломляется, но и разлагается на
различные цвета. Угол 
между преломляющими гранями призмы называется
преломляющим углом. Линия пересечения граней называется преломляющим ребром, а
плоскость, перпендикулярная к преломляющему ребру называется главным сечением
призмы. Если падающий луч лежит в главном сечении, вышедший из призмы луч также
будет находиться в этом сечении. Угол  между направлениями падающего и вышедшего
лучей называют углом отклонения.
При симметричном ходе лучей угол отклонения минимален и равен
amin  2arcsin(n sin  / 2)   .
Отсюда можно найти показатель преломления призмы
n
sin((   min ) / 2))
.
sin  / 2
(11.3)
Если преломляющий угол призмы мал, то независимо от хода лучей, угол отклонения
можно вычислить, используя формулу
  (n  1) .
(11.4)
Преломление лучей в призме используется на практике в некоторых видах
рефрактометров. Так называются оптические приборы для измерения показателя
преломления света. При этом исследуемое вещество должно иметь форму призмы с
полированными преломляющими поверхностями.
Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой физике, где
распространение света рассматривается как волновой процесс.
В основу волновой теории был положен принцип Гюйгенса, согласно которому каждая
точка, до которой доходит волна, становится центром вторичных волн, а огибающая этих
волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени. С помощью
принципа Гюйгенса были объяснены законы отражения и преломления.
Из принципа Гюйгенса вытекает, что в случае преломления света на границе двух сред:
sin  v1

,
sin  v 2
где v1 и v1 - скорости распространения света в первой и во второй среде соответственно.
Сопоставление с формулой (11.1), дает n12  v1/v2 . В случае, если первое вещество вакуум,
то абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света c в вакууме к
скорости света v в среде:
n  c/v.
(11.5)
Принцип Ферма
В конце 17 века П. Ферма предложил общий принцип, позволяющий объяснить, ход
световых лучей в различный ситуациях и, в частности, при прохождении через границу
двух сред. Этот принцип известен как принцип Ферма и гласит, что свет распространяется
по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.
Для прохождения участка пути ds свету нужно время dt  ds / v , где v - скорость света
в данной точке среды. Так как v  c / n , то dt  nds / c . Следовательно, время  ,
затрачиваемое светом на прохождение пути от начальной точки 1 до конечной 2, можно
вычислить по формуле:

2
1
L
nds  ,

c1
c
(11.6)
2
где L   nds оптическая длина пути. В однородной среде оптическая длина пути равна
1
L  ns .
Из принципа Ферма также вытекают законы отражения и преломления света.
Рассмотрим распространение света в неоднородной среде. В оптически неоднородной
среде световой луч искривляется так, что его траектория всегда обращена выпуклостью в
сторону уменьшения показателя преломления среды. Данное явление называется
рефракцией света. Так как земная атмосфера представляет собой неоднородную среду
(плотность воздуха изменяется с высотой), лучи света распространяются в ней не
прямолинейно, а по некоторой кривой линии. Наблюдатель видит, таким образом,
объекты не в направлении их действительного положения, а вдоль касательной к
траектории луча в точке наблюдения. Различают астрономическую и геодезическую
(земную) рефракцию.
Предположим, что луч приходит к наблюдателю от некоторого небесного объекта. Если
бы не было рефракции света в атмосфере, то этот объект был бы виден наблюдателю под
углом  (угол  рассматривается по отношению к вертикали; его называют зенитным
расстоянием объекта). Вследствие рефракции наблюдатель видит объект не под углом  ,
а под углом  . Поскольку    , то объект кажется находящимся выше над горизонтом,
чем это есть на самом деле. Иначе говоря, наблюдаемое зенитное расстояние объекта
меньше действительного зенитного расстояния. Разность     называют углом
рефракции.
Земная рефракция может приводить к своеобразным обманам зрения, таких как,
сплюснутая форма дисков Солнца и Луны у горизонта, огромное солнце на закате,
миражи.
Рефракцию испытывают также и радиоволны при прохождении через слои атмосферы с
различными диэлектрическими проницаемостями или с различной степенью ионизации.
Рефракция радиоволн в ионосфере является причиной распространения коротких волн на
большие расстояния.
Эффект Вавилова-Черенкова. Открытый в 1934 г. эффект Вавилова-Черенкова,
заключается в том, что электрон, движущийся в некоторой среде со скоростью,
превышающей скорость света в этой среде, порождает специфическое излучение.
Полное теоретическое объяснение этого явления, получившего название эффекта
Вавилова—Черенкова, было дано в 1937 г.
Согласно электромагнитной теории заряд, движущийся без ускорения, не излучает
электромагнитных волн. Однако, это справедливо лишь в том случае, если скорость
заряженной частицы не превышает фазовую скорость u  c / n электромагнитных волн в
той среде, в которой движется частица. При условии, что скорость заряженной частицы
v  u , даже двигаясь равномерно, частица будет излучать электромагнитные волны.
В излучении Вавилова-Черенкова преобладают короткие волны, поэтому оно имеет
голубую окраску. Наиболее характерным свойством этого излучения является то, что оно
испускается не по всем направлениям, а лишь вдоль образующих конуса, ось которого
совпадает
с
направлением
скорости
частицы.
Угол 
между
направлениями
распространения излучения и вектором скорости частицы определяется следующим
соотношением:
cos  
u
c

.
v nv
(11.7)
Фронт данного излучения можно построить, используя принцип Гюйгенса.
Существует аналогия между явлением излучения Вавилова-Черенкова и явлениями
отражения и преломления света на границе двух сред. Отраженная и преломленная
световые волны могут рассматриваться как излучение Вавилова-Черенкова, порождаемое
в граничащих друг с другом средах «сверхсветовым» источником, представляющим собой
быстро перемещающуюся линию пересечения фронта падающей световой волны с
границей раздела сред.
Лекция 12.
Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся, например, вдоль оси x ,
описывается уравнениями:
E  Em cos(t  kx   )
(12.1)
B  Bm cos(t  kx   )
Значение начальной фазы  определяется выбором начал отсчета t и x .
В электромагнитной волне колеблются два вектора— напряженности электрического и
напряженности
магнитного
полей.
Как
показывает
опыт,
физиологическое,
фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями
электрического вектора. В соответствии с этим будем в дальнейшем говорить о световом
векторе, подразумевая под ним вектор напряженности электрического поля. О магнитном
векторе световой волны мы упоминать почти не будем.
Закон, по которому изменяется во времени и пространстве проекция светового вектора,
A cos(t  kx   )
будем называть уравнением световой волны, а величину A - амплитудой световой волны.
Частота видимых световых волн лежит в пределах:   (0.75  0.40) 1015 Гц .
Ни глаз, ни какой-либо иной приемник световой энергии не может уследить за столь
частыми изменениями потока энергии, вследствие чего они регистрируют усредненный по
времени световой поток. Наблюдаемой величиной является усредненный по времени
световой поток, который прямо пропорционален квадрату амплитуды световой волны.
Среднее по времени значение плотности светового потока, т. е. средний по времени
световой поток через единицу поверхности площадки, перпендикулярной к направлению
распространения волны, носит название интенсивности I ~ A2 .
В 17 веке Ньютон провел интересный эксперимент, в ходе которого он наблюдал
чередование светлых и темных концентрических колец, возникающих при отражении
света в тонкой воздушной прослойке между плоской стеклянной пластиной и
плосковыпуклой линзой большого радиуса кривизны. Это было первое наблюдение
интерференции света. Данное явление наблюдается при определенных условиях при
наложении двух или нескольких световых пучков. Рассмотрим его более подробно.
Пусть две волны одинаковый частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в
некоторой точке пространства колебания одинакового направления с амплитудами A1 и
A2 . При сложении двух волн амплитуда результирующего колебания в данной точке
записывается как:
A2  A12  A22  2 A1 A2 cos( 2  1 ) .
Если оба колебания не согласованы друг с другом, т.е. разность фаз    2  1
хаотически изменяется со временем, то такие колебание называют некогерентными. В
таком случае разность фаз принимает с равной вероятностью любые значения, вследствие
чего среднее по времени
значение cos( 2  1 ) равно нулю. Тогда при сложении
некогерентных волн
I  I1  I 2
Если разность фаз    2  1 возбуждаемых волнами колебаний постоянна во времени,
то такие волны (колебания) называются когерентными. Источники таких волн также
называются когерентными. В случае суперпозиции когерентных волн интенсивность
результирующего колебания
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos  .
Последнее слагаемое в этом выражение называют интерференционным членом.
Таким
образом,
при
наложении
когерентных
световых
волн
происходит
перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах
возникают максимумы, а в других — минимумы интенсивности. Это явление называется
интерференцией волн.
Испускаемый обычными источниками свет никогда не бывает монохроматическим.
Такой свет можно рассматривать как хаотическую последовательность отдельных цугов
синусоидальных волн. Длительность отдельного цуга не превышает 10 -8 с даже в тех
случаях, когда атомы источника не взаимодействуют.
За время когерентности  , за которое случайное изменение фазы достигает значения  ,
колебание как бы забывает свою первоначальную фазу и становится некогерентным по
отношению к самому себе. Таким образом, время когерентности -
временная
продолжительность цуга волн. За время  (~10-8) волна проходит путь c (~3м), который
представляет собой длину когерентности. Колебания в разных цугах не согласованы
между
собой.
Таким
образом,
реальная
световая
волна
представляет
собой
последовательность волновых цугов с беспорядочно меняющейся фазой. Принято
говорить, что колебания в разных цугах некогерентны.
Интерференция может возникнуть только при сложении когерентных колебаний, т. е.
колебаний, относящихся к одному и тому же цугу.
Для наблюдения интерференции свет от одного и того же источника нужно разделить
на два пучка (или несколько пучков) и затем наложить их друг на друга подходящим
способом. Разность хода этих пучков от источника до точки наблюдения должна не
превышать длины отдельного цуга, так как складывающие колебания должны
принадлежать одному и тому же цугу волн. В интерференционных опытах по методу
деления волнового фронта два когерентных световых пучка возникают как вторичные
волны от близких участков волновой поверхности излучения, исходящего из одного и
того же источника малых размеров.
Пусть в некоторой точке О происходит разделение на две когерентные волны и фаза
колебаний равны t . До точки Р первая волна проходит в среде с показателем
преломления n1 путь s1 , вторая волна проходит путь s2 в среде с n2 . Тогда первая волна в
точке Р возбудит колебания A1 cos  (t  s1 / v1 ) , а вторая волна - A2 cos  (t  s2 / v2 ) , где
v1  c / n1 и v2  c / n2 - фазовая скорость первой и второй волны. Таким образом разность
фаз колебаний в точке Р будет:
   ( s2 / v 2  s1 / v1 ) 

c
(n2 s2  n1s1 ) .
Учтя, что   2 и   c /  выражение для разности фаз можно записать в виде:

2

,
(12.2)
где   n2 s 2  n1s1  L2  L1 - оптическая разность хода.
Видно, что если оптическая разность хода  равна целому числу длин волн в вакууме
   m (m  0,1, 2,....) ,
(12.3)
где m - порядок интерференции, то разность фаз оказывается кратной 2 и колебания,
возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в фазе. Следовательно,
условие (12.3) есть условие интерференционного максимума.
В точках, для которых  равно полуцелому числу длин волн
  (m  1/ 2) (m  0,1, 2,....)
(12.4)
колебания находятся в противофазе. Это есть условие интерференционного минимума.
Рассмотрим световые волны, исходящие из когерентных источников S1 и S 2 ,
расположенных на расстоянии d друг от друга. Область, в которой эти волны
перекрываются, называется зоной интерференции, в ней наблюдается чередование мест с
максимальной и минимальной интенсивностью света. Это явление можно наблюдать на
экране Е, расположенном на расстоянии l от источников света, в виде чередования
светлых и темных прямолинейных полос. Вычислим ширину этих полос. Положение
точки на экране будем характеризовать координатой х. Начало отсчета выберем в точке О,
относительно которой
S1 и S 2 расположены симметрично. Источники будем считать
колеблющимися в одинаковой фазе. Для получения различимой интерференционной
картины расстояние между источниками d должно быть значительно меньше расстояния
до экрана l и расстояние x , в пределах которого образуются интерференционные полосы,
также бывает значительно меньше l . При этих условиях оптическую разность хода 
можно записать в виде:

xd
.
l
Подставив это значение в условие   m , получим, что максимумы интенсивности
будут наблюдаться при значениях x , равных
xmax  ml / d
(12.5)
Координаты минимумов интенсивности соответственно:
xmin  (m  1/ 2)l / d .
(12.6)
Шириной интерференционной полосы x называется расстояние между двумя
соседними минимумами интенсивности
x  l / d .
Расстояние между двумя соседними
(12.7)
максимумами
интенсивности
называется
расстоянием между интерференционными полосами.
Рассмотри несколько интерференционных схем.
Зеркала Френеля.
Здесь для разделения исходной световой волны используют систему зеркал, при
отражении от которых получают две когерентные световые волны. Плоскости зеркал
образуют между собой небольшой угол  . Источник — узкая ярко освещенная щель S на
расстоянии r от точки пересечения зеркал. Отраженные от зеркал пучки падают на экран
Э, и там, где они перекрываются, возникает интерференционная картина в виде полос.
Экран Э расположен на расстоянии b от системы зеркал. От прямого попадания лучей от
источника S экран защищен непрозрачным экраном.
Отраженные от зеркал волны
распространяются так, как если бы они исходили из мнимых источников S1 и S 2 ,
являющихся изображениями щели S . Мнимые источники расположены на расстоянии a
от точки соприкосновения зеркал.
Ширина наблюдаемых интерференционных полос на экране
x 
r b
,
2ar
а число возможных интерференционных полос
N
Бипризма Френеля.
4a 2br
.
 ( r  b)
(12.8)
Здесь для разделения исходной световой волны используют две призмы, имеющие
общее основание (бипризму) с малым преломляющим углом  . Источником света служит
ярко освещенная узкая щель S , параллельная преломляющему ребру бипризмы.
Поскольку преломляющий угол бипризмы очень мал, все лучи отклоняются бипризмой
на практически одинаковый угол    (n  1) . В результате образуются две когерентные
волны, как бы исходящие из мнимых источников S1 и S 2 , расположенных на расстоянии
a от бипризмы, лежащих в одной плоскости со щелью S . Расстояние между источниками
равно d .
Ширина интерференционных полос равна
x 
ab
,
2a(n  1)
(12.9)
где b - расстояние от бипризмы до экрана.
Число наблюдаемых полос
N
4ab(n  1) 2 2
.
 ( a  b)
При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку или пленку происходит
отражение от верхней и нижней поверхностей пластинки. В результате возникают
когерентные световые волны, которые могут интерферировать.
Пусть параллельный пучок света падает на плоскопараллельную пластину под углом  .
Толщина пластины b и показатель преломления вещества пластины n . Тогда разность
хода волн запишется как:
  2b n2  sin 2  .
Правда, следует заметить, что при отражении от оптически более плотной среды
происходит скачок фазы на величину  . Данное обстоятельство нужно учесть, изменив 
на половину длины волны. В результате получим
  2b n2  sin 2    / 2 .
(12.10)
Условие наблюдения максимума интенсивности имеет вид:
2b n2  sin 2    / 2  m ,
где m - целое число (порядок интерференции).
Как говорилось в самом начале, классическим примером интерференционных полос
являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся
друг с другом плоскопараллельной толстой стеклянной пластины и плосковыпуклой
линзы с большим радиусом кривизны R . Роль тонкой пленки, от поверхностей которой
отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластиной и линзой.
При нормальном падении света светлые и темные полосы имеют вид концентрических
окружностей, при наклонном падении – эллипсов.
Если зазор между линзой и пластиной равен b , то оптическая разность хода равна
r2 
  ,
R 2
где r - радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор b , а
слагаемое  / 2 связано с изменением фазы волны при отражении от пластинки. Можно
видеть, что при r  0 ,    / 2 , таким образом, в центре колец Ньютона, наблюдаемых в
отраженном свете, всегда наблюдается интерференционный минимум – темное пятно.
В точках, для которых   2m

2
возникают максимумы, а при   (2m  1)

2
-
минимумы интенсивности.
Радиусы светлых полос Ньютона определяются как
r  R (2m 1) / 2 ,
а радиусы темных колец
r  R m .
Таким образом, если известен радиус кривизны R линзы, то можно определить длину
волны падающего света  .
Явление интерференции используется, например, для определения показателей
преломления газообразных веществ, для весьма точного измерения длин и углов, для
контроля качества обработки поверхности.
Лекция 13.
Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении
света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов
геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми
волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Если на
пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск,
шарик или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на
достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина –
система чередующихся светлых и темных колец. Если препятствие имеет линейный
характер (щель, нить, край экрана), то на экране возникает система параллельных
дифракционных полос.
Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий.
Это обусловлено тем, что масштабы дифракции сильно зависят от соотношения размеров
препятствия и длины волны.
Явление дифракции волн может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса.
Однако принцип Гюйгенса не дает никаких указаний об амплитуде, а, следовательно, и об
интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Этот недостаток
был устранен французским ученым Френелем, который развил количественную теорию
дифракционных
явлений.
Он
дополнил
принцип
Гюйгенса
представлением
об
интерференции вторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти
амплитуду результирующей волны в любой точке пространства.
Амплитуда вторичной волны зависит от амплитуды падающей волны a0 в месте
нахождения элемента поверхности dS , угла  между нормалью к поверхности n и
направлением в точку наблюдения P, а так же от расстояния между элементом
поверхности и любой точкой наблюдения r .
Результирующая
амплитуда
колебаний
в
данной
точке
представляет
собой
суперпозицию элементарных амплитуд с учетом их взаимных фазовых соотношений:
E   K ( )
S
a0
cos(t  kr   o )d ,
r
(13.1)
где интегрирование проводится по всей волновой поверхности S, K ( ) - коэффициент,
зависящий от угла  .
Данная формула выражает математически принцип Гюйгенса-Френеля.
Вычисление по этой формуле представляет собой довольно сложную задачу. Однако, в
некоторых случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего
колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим
суммированием.
В качестве примера рассмотрим задачу о нахождении амплитуды световых колебаний
от точечного источника S в точке P за небольшим круглым отверстием.
Волновая поверхность такой волны симметрична относительно прямой SP.
Френель предложил разбить волновую поверхность падающей волны в месте
расположения препятствия на кольцевые зоны (зоны Френеля), построенные так, что
расстояние от краев каждой зоны до точки P отличаются на полдлины волны,  / 2 .
Расстояние bm от внешнего края m -й зоны до точки Р можно представить следующим
образом:
bm  b  m

2
,
(13.2)
где b - расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р.
Если смотреть на волновую поверхность из точки P, то границы зон Френеля будут
представлять собой концентрические окружности.
Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон, будут
находиться в противофазе. Поэтому результирующие колебания, создаваемые каждой из
зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на  .
Возьмем границу m -й зоны, которая выделяет на волновой поверхности сферический
сегмент высоты hm . Если радиус волновой поверхности обозначить a , а радиус внешней
границы m -й зоны - rm , тогда, используя теорему Пифагора можно записать:
rm2  a 2  (a  hm ) 2  (b  m / 2) 2  (b  hm ) 2
.
(13.3)
Откуда, пренебрегая слагаемым, содержащим  2 в виду рассмотрения не слишком
больших m , высота сегмента:
hm 
bm
.
2(a  b)
Так как при не слишком больших m высота сегмента hm
(13.4)
a , то из (13.3) rm2  2ahm .
Таким образом, внешний радиус m -й зоны Френеля
rm 
ab
m .
ab
Стоит заметить, что если падающая нормально волна плоская ( a   ), то
rm  bm .
(13.5)
Несложно получить, что при не слишком больших m зоны Френеля имеют
одинаковую площадь и не зависят от m . Таким образом, одинаковые по площади зоны
должны были бы возбуждать в точке наблюдения колебания с одинаковой амплитудой.
Но так как расстояние bm от зоны до точки наблюдения увеличивается с ростом m и угол
 между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р растет с увеличением
m , то амплитуды колебаний, возбуждаемых зонами Френеля в точке Р, образуют
монотонно убывающую последовательность:
A1  A2  A3  ...  Am  Am1  ...
где Am – амплитуда колебаний, вызванных m-й зоной.
Так как фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на  , то
результирующая амплитуда в точке наблюдения:
A  A1  A2  A3  A4  ... .
(13.6)
Вследствие монотонного убывания амплитуды можно приближенно считать, что
Am 
Am 1  Am 1
.
2
(13.7)
Таким образом, выражение (13.6) можно упростить
A
A1
.
2
(13.8)
Следовательно, суммарная амплитуда колебаний в точке P, вызванная всем волновым
фронтом, равна половине амплитуды одной первой (центральной) зоны.
Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и,
следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если поставить непрозрачный диск на пути
волны и открыть отверстие только в одну зону Френеля, то амплитуда колебаний в точке
наблюдения возрастает в 2 раза (а интенсивность в 4 раза) по сравнению с действием
невозмущенной волны. Если открыть две зоны, то амплитуда колебаний обращается в
нуль. Если изготовить непрозрачный экран, который оставлял бы открытыми только
несколько нечетных (или только несколько четных) зон, то амплитуда колебаний резко
возрастет. Такие пластинки, обладающие свойством фокусировать свет, называются
зонными пластинками.
Рассмотрим графический метод сложения амплитуд. Волновую поверхность мысленно
разбивают на весьма узкие кольцевые зоны. Амплитуду колебаний, создаваемых каждой
из таких зон, изображают в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а
угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, дает начальную
фазу колебания. Амплитуда колебаний, создаваемых каждой следующей узкой кольцевой
зоной, будет убывать по модулю и отставать по фазе от колебаний, создаваемых
предыдущей зоной. Изобразив отставание по фазе поворотом каждого вектора против
часовой стрелки на соответствующий угол, получим цепочку векторов, векторная сумма
которых и есть результирующая амплитуда колебаний в данной точке. В пределе, при
стремлении ширины зон к нулю, векторная диаграмма принимает вид спирали.
Если на пути сферической волны поставить непрозрачный экран с вырезанным в нем
круглым отверстием радиуса r0 , то амплитуда колебаний в точке Р будет равна:
A
A1 Am

,
2
2
где знак зависит от числа открытых зон
(13.9)
Френеля, «плюс» берется для нечетных m
«минус» – для четных. Число открытых зон Френеля m равно
m
r02  1 1 
 .
  a b 
(13.10)
Дифракционная картина от круглого отверстия – чередование светлых и темных
концентрических колец.
Если же на пути волны поставить непрозрачный диск радиуса r0 , то амплитуда
колебаний в точке Р будет равна
A
Am
.
2
(13.11)
В случае непрозрачного диска дифракционная картина имеет вид чередование светлых
и темных концентрических полос, при этом в центре при любом числе m всегда светлое
пятно, это – так называемое пятно Пуассона.
Рассмотрим теперь дифракцию в случае, когда параллельный пучок света падает на
щель. Это дифракция Фраунгофера.
Пусть на длинную щель шириной b падает плоская монохроматическая волна с длиной
.
Поместим за щелью линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран. Линза позволяет
наблюдать на экране дифракцию в параллельных лучах.
Амплитуда световых волн в точке Р на экране, которая находится под углом  к
оптической оси линзы задается формулой:
A  A0
sin[( /  )b sin  ]
,
( /  )b sin 
(13.12)
где A0 - амплитуда при угле   0 .
При значениях  , удовлетворяющих условию ( /  )b sin    m , т.е. в случае, если
b sin    m ,
m  1, 2,...
амплитуда A обращается в нуль. Таким образом, данное соотношение определяет
положение минимумов интенсивности. Стоит заметить, что m  0 , поскольку при m  0
образуется центральный максимум. В промежутках между минимумами наблюдаются
максимумы.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно:
I  I 0
sin 2 [( /  )b sin  ]
,
[( /  )b sin  ]2
(13.13)
где I 0 - интенсивность света в середине дифракционной картины. Из данного выражения
вытекает, что дифракционная картина будет симметрична относительно центра линзы
( I   I ). Стоит отметить, что при дифракции Фраунгофера в середине дифракционной
картины образуется максимум освещенности.
Количество минимумов интенсивности определяется шириной щели и длиной
падающей волны:
m  b/ .
Видно, что если ширина щели меньше длины волны, минимумы не возникают.
Дифракция тем ярче выражена, чем уже щель и чем больше длина волны.
При практическом использовании дифракции света большой интерес представляет
дифракционная решетка. Дифракционной решеткой называется совокупность большого
числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и тоже расстояние щелей. Расстояние
d между серединами соседних щелей называется постоянной или периодом решетки.
Пусть на дифракционную решетку с числом щелей N падает нормально плоская
монохроматическая волна с длиной  . Между экраном и решеткой поместим
собирающую линзу. Экран расположим в фокальной плоскости линзы. Если свет будет
когерентным, то световые волны от всех щелей будут интерферировать друг с другом и
будет наблюдаться система максимумов и минимумов.
Разность хода лучей от соседних щелей равна   d sin  .
Учитывая условия интерференционного максимума    m (m  0,1, 2,....) ,
получаем условие главного максимума для дифракционной решетки
d sin    m ,
(13.14)
где m - порядок главного максимума. Колебания от соседних щелей при выполнении
условия максимума будут приходить в одинаковой фазе и усиливать друг друга.
Следовательно, результирующая амплитуда создаваемая решеткой в соответствующей
точке экрана будет в N раз больше амплитуды от одной щели:
Amax  NA ,
где A - амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом  . Учтя, что I ~ A2 ,
получим
I max  N 2 I .
Минимумы интенсивности будут наблюдаться при условии:
b sin    k  ,
(13.15)
где b - ширина щели. Кроме дифракционных минимумов, определяемых данным
выражением, возникают еще добавочные минимумы (интерференционные минимумы)
между соседними главными максимумами,
d sin   
m
,
N
(13.16)
где m принимает целочисленные значения кроме 0, N, 2N … Между двумя соседними
главными максимумами расположены N-1 интерференционных минимумов, между
которыми в сою очередь располагаются слабые вторичные максимумы.
Как следует из формулы дифракционной решетки, положение главных максимумов
(кроме нулевого) зависит от длины волны λ. Поэтому решетка способна разлагать
излучение в спектр, то есть она является спектральным прибором. Если на решетку
падает немонохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции (т. е. при
каждом значении m) возникает спектр исследуемого излучения.
С помощью дифракционной решетки можно производить очень точные измерения
длины волны. Если период d решетки известен, то определение длины сводится к
измерению угла  , соответствующего направлению на выбранную линию в спектре m-го
порядка.
У хороших решеток параллельные друг другу штрихи имеют длину порядка 10 см, а на
каждый миллиметр приходится до 2000 штрихов. При этом общая длина решетки
достигает 10–15 см. На практике применяются также и более грубые решетки с 50 – 100
штрихами на миллиметр, нанесенными на поверхность прозрачной пленки. В качестве
дифракционной решетки может быть использован кусочек компакт-диска.
Обычный компакт-диск, оказывается, может работать как оптический прибор дифракционная решетка. Концентрические дорожки, на которых записаны данные,
расположены друг к другу настолько близко, что на них происходит дифракция света. При
этом лучи разных цветов дифрагируют по-разному, и на диске можно видеть спектр
падающего света
Лекция 14.
Как известно электромагнитные волны поперечны, и векторы E и B перпендикулярны
друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной распространению волны. Как уже
говорилось, во всех процессах взаимодействия света с веществом основную роль играет
электрический вектор E , его еще называют световым вектором. Вместе с тем световые
волны от обычных источников излучения обычно не обнаруживают асимметрии
направления вектора
E относительно направления
распространения (луча). Это
обусловлено тем, что в естественном свете имеются колебания, совершающиеся в самых
различных направлениях, перпендикулярных к лучу. Свет, в котором направления
колебаний упорядочены каким-либо образом, называется поляризованным.
Если колебания светового вектора происходят только в одной плоскости, свет
называют плоско- (или линейно-) поляризованным. Линейно-поляризованный свет
испускается лазерными источниками. Свет может оказаться поляризованным при
отражении или рассеянии. Неполяризованный свет, после падения на некоторые
поверхности, такие как листва, кожа, стекло, дерево, фарфор, пластмасса, водная
поверхность, поляризуется, в частности, голубой свет от неба частично или полностью
поляризован. Свет, испускаемый обычными источниками (например, солнечный свет,
излучение ламп накаливания и т. п.), неполяризован.
Плоскость, в которой колеблется световой вектор (т. е. вектор напряженности
электрического поля E ) называется плоскостью колебаний. По историческим причинам
плоскостью поляризации была названа не плоскость, в которой колеблется вектор E , а
перпендикулярная к ней плоскость, в которой совершает колебания вектор H .
В результате сложения двух когерентных плоскополяризованных
световых волн,
плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны, возникает эллиптическиполяризованная волна. В такой волне световой вектор (вектор E ) изменяется со
временем таким образом, что его конец данного вектора описывает эллипс за один период
светового
колебания.
Форма
и
размер
эллипса
определяется
амплитудами
линейнополяризованных волн и фазовым сдвигом между ними  .
При разности фаз  , кратной  , эллипс вырождается в прямую и получается
плоскополяризованный свет. При разности фаз, равной нечетному числу  / 2 , и
равенстве амплитуд складываемых волн эллипс превращается в окружность. В этом
случае получается свет, поляризованный по кругу.
Плоскополяризованный свет можно получить из неполяризованного света с помощью
приборов, называемых поляризаторами. Эти приборы свободно пропускают колебания,
параллельные плоскости, которая называется плоскостью поляризатора, и полностью
задерживают колебания, перпендикулярные к этой плоскости.
Пусть на поляризатор падает плоскополяризованный свет с интенсивностью I 0 и
амплитудой A0 , вектор которого составляет угол  с плоскостью поляризатора.
Колебание амплитуды A0 , можно разложить на два колебания с амплитудами
A0  A0 cos  и A0  A0 sin  . Первое колебание пройдет через поляризатор, второе будет
задержано. Таким образом, сквозь прибор пройдет составляющая колебания с амплитудой
A  A0 cos  .
Следовательно,
интенсивность
прошедшего
света
I
определяется
выражением:
I  I 0 cos 2  .
(14.1)
Данное соотношение носит название закона Малюса.
При вращении поляризатора вокруг направления распространения неполяризованного
луча интенсивность прошедшего света остается одной и той же, изменяется лишь
ориентация плоскости колебаний света, выходящего из прибора.
Рассмотрим прохождения неполяризованного света через два поляризатора, плоскости
которых образуют угол  . Из первого поляризатора выйдет плоскополяризованный свет,
интенсивность которого I 0 составит половину интенсивности неполяризованного света
I ест . Согласно закону Малюса из второго поляризатора (он играет роль анализатора)
выйдет свет интенсивности I 0 cos 2  . Таким образом, интенсивность света, прошедшего
через два поляризатора, равна
I
Максимальная интенсивность, равная
1
I ест cos 2  .
2
1/ 2 I ест получается при   0 (поляризаторы
параллельны). При    / 2 интенсивность равна нулю—скрещенные поляризаторы свет
не пропускают.
Помимо плоскополяризованного света и неполяризованного света существует еще
частично поляризованный свет. Это свет, в котором колебания одного направления
преобладают над колебаниями других направлений. Такой свет можно рассматривать как
смесь
неполяризованного
и
плоскополяризованного.
Если
пропустить
частично
поляризованный свет через поляризатор, то при вращении прибора вокруг направления
распространения луча интенсивность прошедшего света будет изменяться в пределах от
I max до I min , причем переход от одного из этих значений к другому будет совершаться при
повороте на угол    / 2 . Частично–поляризованный свет характеризуют степенью
поляризации, которую определяют как:
P
I max  I min
,
I max  I min
(14.2)
I min  0 и P  1 ; для неполяризованного света
для плосксполяризованного света
I max  I min и P  0 . Стоит заметить, что для эллиптически-поляризованного света понятие
«степень поляризации» не применима.
Если угол падения
неполяризованного света на границу раздела двух прозрачных
диэлектриков не равен нулю, то отраженный и преломленный лучи оказываются частично
поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные к
плоскости падения, а в преломленном луче - колебания, параллельные плоскости падения.
Степень поляризации обоих волн
зависит от угла падения. При угле падения,
удовлетворяющем условию
tan  бр  n2 / n1 ,
(14.3)
отраженный луч становиться полностью поляризован (он содержит только колебания,
перпендикулярные к плоскости падения). Данное соотношение носит название закона
Брюстера. Степень же поляризации преломленного луча при угле падения равном  бр
достигает наибольшего значения, однако этот луч остается поляризованным только
частично. При падении света под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи
взаимно перпендикулярны.
При прохождении света через некоторые кристаллы световой луч разделяется на два
луча. Это явление называется двойным лучепреломлением. При таком преломлении один
из лучей удовлетворяет обычному закону преломлению и лежит в одной плоскости с
падающим лучом. Его называют обыкновенным и обозначают буквой или индексом (о).
Другой луч необыкновенный (е),
для него показатель преломления не является
постоянной величиной, он зависит от направления распространения луча. Как правило,
необыкновенный луч не лежит в одной плоскости с падающим и обыкновенным лучами.
Существуют кристаллы одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов имеется
направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются
не разделяясь и с одинаковой скоростью. Это направление называется оптической осью
кристалла.
Любая плоскость, содержащая оптическую ось, называется главным сечением или
главной плоскостью кристалла.
Обыкновенные и необыкновенные лучи линейно поляризованы. При этом плоскости
поляризации
обоих
лучей
взаимно
перпендикулярны.
Плоскость
колебаний
обыкновенного луча перпендикулярна к главному сечению кристалла. В необыкновенном
луче колебания светового вектора совершаются в плоскости, совпадающей с главным
сечением. По выходе из кристалла оба луча отличаются друг от друга только
направлением поляризации, так что названия обыкновенный и необыкновенный луч
имеют смысл только внутри кристалла.
В некоторых кристаллах один из лучей поглощается сильнее другого. Это явление
называется дихроизмом. Очень сильным дихроизмом в видимых лучах обладает кристалл
турмалина. В нем обыкновенный луч практически полностью поглощается на длине 1 мм.
Данное явление используется для изготовления поляризаторов в виде светофильтров. Их
называют поляроидами.
Они представляют собой тонкую пленку из целлулоида, в
которую введено большое количество одинаково ориентированных кристалликов
сульфата йодистого хинина (в этих кристаллах один из лучей поглощается на пути
примерно в 0,1 мм). Поляроиды почти полностью пропускают волну разрешенной
поляризации и не пропускают волну, поляризованную в перпендикулярном направлении.
С помощью поляризационного светофильтра в цветной фотографии можно изменить
тональность неба, а именно, притемнить небо синего цвета, не оказывая влияния на
другие цвета, что
придает дополнительную насыщенность всему фотоснимку. Также
такие светофильтры используются в солнечных очках, для предотвращения бликов.
Помимо одноосных кристаллов (таких как исландский шпат, турмалин, кварц)
существуют двуосные кристаллы (например, слюда, гипс), у которых имеется два
направления, в которых свет не разделяется на два луча. В таких кристаллах оба луча
необыкновенные — показатели преломления для них зависят от направления в кристалле.
Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов, вследствие чего это
сказывается на скоростях распространения обыкновенного и необыкновенного лучей. В то
время как
скорость
vo
обыкновенного луча не зависит от направления
его
распространения в кристалле, скорость v e необыкновенного луча по мере отклонения
направления его от распространения направления оптической оси (вдоль которой
скорости обоих лучей одинаковы) будет все больше отличаться от v o , достигая
максимального различия в направлении, перпендикулярном оптической оси.
Зависимость скорости необыкновенного луча от направления связана с анизотропией
кристалла, приводящей к тому, что диэлектрическая постоянная  , а значит и показатель
преломления n - оказываются разными для обыкновенного и необыкновенного лучей и
существенно зависят от направления распространения луча относительно оптической оси
кристалла.
Одноосные кристаллы характеризуются показателем преломления обыкновенного луча
no  c / v o и показателем преломления необыкновенного луча, перпендикулярного
оптической оси, ne  c / ve .
При
прохождении
плоскополяризованного
света
через
некоторые
вещества
наблюдается вращение плоскости колебаний светового вектора или, как принято говорить,
вращение
плоскости
поляризации.
Вещества,
обладающие
такой
способностью,
называются оптически активными. Это некоторые кристаллические тела (кварц, киноварь),
чистые жидкости (скипидар, никотин) и растворы оптически активных веществ в
неактивных растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты и др.).
Опыт показывает, что все оптически активные вещества поворачивают плоскость
поляризации падающего на них света на угол
  l ,
(14.4)
где l - толщина оптически активного слоя,  - постоянная вращения, различная для
разных веществ. Она зависит от частоты волны света.
В зависимости от направления вращения плоскости поляризации, оптически активные
вещества подразделяют на право- и левовращающие, т.е. вращение по или против часовой
стрелки, если смотреть навстречу световому пучку.
Каждые оптически активное вещество существет в двух разновидностях — право- и
левовращающие.
Измерение угла поворота плоскости поляризации лежит в основе методов определения
концентрации оптически активных веществ. Этим пользуются, в частности, для
определения концентрации сахара в производственных растворах и биологических
объектах (кровь, моча).
Лекция 15.
Зрение является одним из важнейших органов чувств, поскольку именно оно дает
наибольшую
информацию
об
окружающем
мире.
Зрительная
информация
воспринимается глазом человека и обрабатывается мозгом. Однако время, необходимое
для обработки может превышать возможное время наблюдения. Кроме того, часто
возникает необходимость передачи этой информации другому человеку, не получившему
ее непосредственно из собственных наблюдений.
Зрительную информацию можно получить и сохранить с помощью фотографии. При
фотографическом
способе
формирования
изображения
объекта
световая
волна,
рассеянная на объекте, с помощью оптических элементов образует действительное
изображение на светочувствительном материале. Плотность зачернения каждой точки
изображения на негативе пропорциональна интенсивности свечения соответствующей
точки объекта.
В свою очередь, интенсивность световой волны пропорциональна квадрату ее
амплитуды ( I
E 2 ). Но световая волна характеризуется не только амплитудой, но и фазой,
которую фотография не регистрирует. Таким образом, фотографическая информация об
объекте не является полной. Например, перспектива на фотографии видна лишь по
изменению относительных размеров предметов и четкости их изображения.
Правда, оценивая размеры предметов и учитывая форму и направление теней от этих
предметов, мы создаем в нашем сознании общее представление об объемных свойствах
изображенной на фотографии сцены. Но если размеры предметов одинаковы и теней нет,
то объемное содержание сфотографированной сцены полностью теряется. Примером
этого может послужить фотография снежинок на темном фоне. На такой фотографии мы
не можем определить, какая из снежинок находится ближе, а какая - дальше.
В 1948 году Деннисом Габором был предложен новый принцип записи изображений,
который позволяет фиксировать не только амплитудные, но и фазовые характеристики
электромагнитных волн и получать, таким образом, более полную информацию об
объекте – источнике этой волны. Этот метод получил название «голография».
Открытие голографии было сделано Деннисом Габором в ходе экспериментов по
увеличению разрешающей способности электронного микроскопа.
Принцип получения голографического изображения
Рассмотрим принцип голографии на простейшем примере. Предметная волна 1
распространяется под углом  к перпендикуляру, восстановленному к плоскости A .
Опорная волна 2 распространяется перпендикулярно к этой пломкости. Волны 1 и 2
характеризуются одной и той же длиной волны  и являются когерентными.
В
результате
интерференции
этих
волн
на
плоскости
будет
наблюдаться
интерференционная картина в виде эквидистантных полос. Пространственный период
этой картины определяется разностью хода между участками волнового фронта в волнах 1
и 2. Поверхность одинаковой фазы в волне 2 совпадает с плоскостью A . В точке
плоскости A с координатой y разность хода
  y sin  .
(15.1)
Максимум интенсивности интерференционной картины в плоскости A соответствует
значениям   n , где n  0,1, 2, ... Расстояние d между максимумами
d  yn  yn1 

.
sin 
(15.2)
Поместим в плоскости A фотопластинку и засветим ее. При правильном выборе
экспозиции и режима обработки (проявление и закрепление) на пластине получится
изображение
интерференционных
равностоящих
полос.
Полученный
фотоснимок
представляет собой дифракционную решетку с периодом d . При освещении решетки
опорным излучением (волна 2) в результате дифракции опорного пучка на решетке
возникают несколько волн. Направление волны на максимум дифракции порядка m
определяется условием d sin   m . Для m  1
d sin    .
(15.3)
Сравнение (15.3) с (15.2) для периода дифракционной решетки дает    , т.е. свет на
решетке дифрагирует под углом  , что аналогично восстановлению предметной волны.
Таким образом, фотографическая запись интерференционной картины двух плоских волн
при последующем освещении изображения опорной волной позволяет восстановить
другую волну - предметную.
Пусть
теперь
перед
фотопластинкой
Ф
находится
точечный
источник
S
монохроматического и когерентного излучения. Одновременно пластинка освещается
параллельным пучком лучей I , также монохроматических и когерентных. Условие
когерентности этих двух световых потоков приводит к тому, что на фотопластинке
образуется система интерференционных полос, представляющая собой совокупность
концентрических колец.
Расстояние между соседними полосами вдоль радиуса будет зависеть от угла, под
которым падают на фотопластинку лучи точечного источника и фонового пучка в данную
точку пластинки. Условие максимума интенсивности, т.е. образование черного кольца на
негативе, определяется соотношением
Rk sin k  k  .
Тогда расстояние между соседними темными полосами
R 

,
sin k
(15.4)
при этом считаем, что углы для соседних колец примерно равны.
Экспонированная и обработанная фотопластинка фактически представляет собой
дифракционную решетку, у которой штрихи – это темные кольца, а промежутки между
ними – светлые прозрачные кольца. Если эту пластинку осветить пучком параллельных
когерентных лучей (тем же пучком, который служил фоном при экспонировании) то лучи,
проходящие через прозрачные кольца, будут дифрагировать, т.е. отклоняться.
Для дифракционных решеток угол, под которым виден максимум k -того порядка
определяется соотношением:
d sin  k  k  ,
(15.5)
где d – расстояние между соседними штрихами (постоянная решетки).
Если вместо d подставить в эту формулу R из формулы (15.4), то из сравнения
формул (15.4) и (15.5) видно, что промежуток между двумя соседними кольцами будет
отклонять падающее на пластинку излучение под тем же углом к оси симметрии, под
которым на место этого промежутка падало излучение от точечного источника при
экспонировании. (Это справедливо для k  1 – в этом направлении при дифракции идет
максимальная часть излучения).
Таким образом, лучи, дифрагирующие в направлении оси, пересекутся в одной точке на
оси на том же расстоянии от пластины, на котором был расположен точечный источник,
но с другой стороны. Продолжения лучей, отклоненных от оси, также пересекутся в одной
точке, причем в том же месте, где находился точечный источник. Если посмотреть сквозь
пластинку вдоль пучка падающих на нее лучей, то можно увидеть изображение
светящейся точки в том месте, где она находилась при экспонировании. Эта операция
называется «восстановлением голографического изображения объекта». В данном случае
записан простейший объект – точка.
Можно ли записать и восстановить изображение реального объемного предмета?
Очевидно, что это возможно, поскольку объект в оптике – это совокупность светящихся
точек. Необходимо иметь источник излучения, обладающий высокой степенью
когерентности и монохроматичности. Таким источником является оптический квантовый
генератор – лазер.
Для получения изображения предмета как совокупности светящихся точек необходимо
чтобы каждая точка создала на фотопластинке свою систему интерференционных полос.
Следовательно, фотоэмульсия должна иметь очень высокую разрешающую способность,
т.е. на единице площади поверхности фотоэмульсии должно помещаться очень большое
количество раздельных, несливающихся полос.
В 1962 г. И. Лейт и Ю. Упатниекс получили первые пропускающие голограммы
объемных объектов, выполненные с помощью лазера. Схема, предложенная ими,
используется в изобразительной голографии повсеместно. При записи голограммы
используется один лазер, так как только так можно обеспечить когерентность двух
световых пучков. Пучок когерентного излучения лазера направляется на полупрозрачное
зеркало, с помощью которого получают два пучка - предметный и опорный. Опорный
пучок направляют непосредственно на фотопластинку. Предметный пучок освещает
объект, голограмму которого регистрируют. Отраженный от объекта световой пучок объектный пучок попадает на фотопластинку. В плоскости пластинки два пучка объектный и опорный образуют сложную интерференционную картину, которая
вследствие когерентности двух пучков света остается неизменной во времени и
представляет собой изображение стоячей волны. Остается только зарегистрировать ее
обычным фотографическим путем.
После обработки фотопластинки она помещается в пучок когерентного излучения,
которое, дифрагируя на системе полос, формирует действительное и мнимое изображения
предмета. Мнимое изображение можно увидеть сквозь голограмму. Наиболее интересное
свойство этого изображения – его «объемность». Изменяя угол зрения, можно увидеть
предмет в разных ракурсах так же, как и его прототип.
Отражательные объемные голограммы записываются по иной схеме. Идея создания
данных голограмм принадлежит Ю.Н. Денисюку. Поэтому голограммы этого типа
известны под именем их создателя.
Опорный и предметный световые пучки образуются с помощью делителя и
посредством зеркала направляются на пластину с двух сторон. Предметная волна
освещает фотографическую пластину со стороны эмульсионного слоя, опорный - со
стороны стеклянной подложки. Плоскости Брэгга в таких условиях записи располагаются
почти параллельно плоскости фотопластины. Таким образом, толщина фотослоя может
быть сравнительно небольшой.
Основное свойство отражательных голограмм - это возможность восстановления
записанного изображения с помощью источника белого света, например, лампы
накаливания или Солнца. Не менее важным свойством является цветовая избирательность
голограммы. Это значит, что при восстановлении изображения белым светом оно
восстановится в том цвете, в каком было записано. Если для записи был использован,
например, рубиновый лазер, то восстановленное изображение объекта будет красным.
Но голография используется не только для создания «объемных» изображений
реальных объектов. Она широко применяется в научных исследованиях. В частности, на
принципе голографии был создан метод лазерной интерферометрии поверхности,
позволяющий измерить малые деформации поверхности твердых объектов с точностью до
долей микрона. Для решения таких задач этот метод оказывается наиболее эффективным.
Для того чтобы получить интерферограмму исследуемой поверхности, необходимо
записать
на
одну
и
ту
же
фотопластинку
голографические
изображения
недеформированной пластины и пластины после деформации. Тогда при восстановлении
этой
«двойной»
деформированной
голограммы
и
световые
недеформированной
потоки,
пластин,
формирующие
являясь
изображения
когерентными,
будут
интерферировать, и по этой картине можно определить профиль деформированной
пластины.
Лекция 16.
Энергия, расходуемая светящимся телом на излучение, может пополняться из
различных источников. Окисляющийся на воздухе фосфор светится за счет энергии,
выделяемой
при
химическом
превращении.
Такой
вид
свечения
называется
хемилюминесценцией. Свечение, возникающее при различных видах самостоятельного
газового разряда, носит название электролюминесценции. Свечение твердых тел,
вызванное
бомбардировкой
их
электронами,
называют
катодолюминесценцией.
Испускание телом излучения некоторой характерной для него длины волны 1 можно
вызвать, облучая это тело (или облучив предварительно) излучением длины волны 2
меньшей чем 1 . Такие процессы объединяются под названием фотолюминесценции.
Люминесценцией называется излучение, избыточное над тепловым излучением тела
при данной температуре и имеющее длительность, значительно превосходящую период
излучаемых волн. Люминесцирующие вещества называются люминофорами
Самым распространенным является свечение тел, обусловленное их нагреванием. Этот
вид свечения называется тепловым излучением. Тепловое излучение имеет место при
любой температуре, однако при невысоких температурах излучаются практически лишь
длинные (инфракрасные) электромагнитные волны.
Окружим излучающее тело непроницаемой оболочкой с идеально отражающей
поверхностью. Воздух из оболочки удалим. Отраженное оболочкой излучение, упав на
тело, поглотится им (частично или полностью). Следовательно, будет происходить
непрерывный обмен энергией между телом и заполняющим оболочку излучением. Если
распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой
длины волны, состояние системы «тело — излучение» будет равновесным. Опыт
показывает, что единственным видом излучения, которое может находиться в равновесии
с излучающими телами, является тепловое излучение. Все остальные виды излучения
оказываются неравновесными.
Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучающими телами
обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры.
Допустим, что равновесие между телом и излучением нарушено и тело излучает энергии
больше, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к
понижению температуры. Это в свою очередь обусловит уменьшение количества
излучаемой телом энергии. Температура тела будет понижаться до тех пор, пока
количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энергии.
Если равновесие нарушится в другую сторону, т. е. количество излучаемой энергии
окажется меньше, чем поглощаемой, температура тела будет возрастать до тех пор, пока
снова не установится равновесие. Таким образом, нарушение равновесия в системе «тело
излучение» вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие.
Иначе обстоит дело в случае любого из видов люминесценции. Покажем это на
примере хемилюминесценции. Пока протекает обусловливающая излучение химическая
реакция, излучающее тело все больше и больше удаляется от первоначального состояния.
Поглощение телом излучения не изменит направления реакции, а на оборот приведет к
более быстрому (вследствие нагревания) протеканию реакции в первоначальном
направлении. Равновесие установится лишь тогда, когда будет израсходован весь запас
реагирующих веществ и свечение, обусловленное химическими процессами, заменится
тепловым излучением.
Итак, из всех видов излучения равновесным может быть только тепловое излучение. К
равновесным состояниям и процессам применимы законы термодинамики. Следовательно,
и тепловое излучение должно подчиняться некоторым общим закономерностям,
вытекающим из принципов термодинамики. К рассмотрению этих закономерностей мы и
перейдем.
Поток энергии, испускаемый единицей поверхности тела излучающей по всем
направлениям (в пределах телесного угла 2 ), называется энергетической светимостью
тела R .
Излучение состоит из волн различных частот  (или длин  ). Обозначим поток
энергии, испускаемый единицей поверхности тела в интервале частот d , через dR . При
малой величине интервала d поток будет пропорционален dR :
dR  r ( )d
(16.1)
Величина r ( ) называется испускательной способностью тела. Опыт показывает, что
испускательная способность сильно зависит от температуры тела. Таким образом, r ( )
есть функция частоты и температуры - r ( , T ) .
Зная испускательную способность, можно вычислить энергетическую светимость:

R (T )   dR ( )   r ( , T )d  .
(16.2)
0
Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии
d ( ) обусловленный электромагнитными волнами, частота которых заключена в
интервале d . Часть этого потока d ( ) будет поглощена телом. Безразмерная
величина
a( , T ) 
d ( )
d ( )
(16.3)
называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность зависит от
температуры тела. Следовательно, a ( , T ) есть функция частоты и температуры.
По определению a ( , T ) не может быть больше единицы. Для тела, полностью
поглощающего упавшее на него излучение всех частот, a( , T )  1 . Такое тело называют
абсолютно черным. Тело, для которого a( , T )  const  1 , называется серым.
Между испускательной и поглощательной способностью любого тела имеется
определенная связь. Опыт показывает, что чем больше испускательная способность тела,
тем больше и его поглощательная способность.
Кирхгоф
сформулировал
следующий
закон:
отношение
испускательной
и
поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел
одной о той же (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:
r ( , T )
 f ( , T )
a( , T )
(16.4)
Сами величины r ( , T ) и a ( , T ) взятые отдельно, могут меняться чрезвычайно сильно
при переходе от одного тела к другому. Отношение же их оказывается одинаковым для
всех тел. Это означает, что тело, которое сильнее поглощает какие-либо лучи, будет эти
лучи сильнее и испускать.
Для абсолютно черного тела по определению a( , T )  1 . Следовательно, из формулы
(16.4) вытекает, что r ( , T ) для такого тела равна f ( , T ) . Таким образом, универсальная
функция Кирхгофа f ( , T ) есть не что иное, как испускательная способность абсолютно
черного тела.
Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа или платиновая чернь имеют
поглощательную способность a ( , T ) , близкую к единице, лишь в ограниченном
интервале частот; в далекой инфракрасной области их поглощательная способность
заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, сколь угодно близкое по
своим свойствам к абсолютно черному телу. Хорошей моделью такого тела является
почти замкнутая полость, снабженная малым отверстием. Излучение, проникшее внутрь
через отверстие, прежде чем выйти обратно из отверстия, претерпевает многократные
отражения. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего
практически все излучение любой частоты поглощается такой полостью. Согласно закону
Кирхгофа испускательная способность такого устройства очень близка к f ( , T ) , причем
Т означает температуру стенок полости. Но, если стенки полости нагреть до температуры
Т, и внутри установилось тепловое равновесие, то из отверстия выходит излучение,
весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той
же температуре. Именно таким образом моделируется абсолютно черное тело во всех
экспериментах по исследованию теплового излучения.
С увеличением температуры внутри полости будет возрастать энергия выходящего из
отверстия излучения и изменяться его спектральный состав.
Разлагая это излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измеряя
интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментальный вид
функции f ( , T ) .
При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава
равновесного теплового изучения удобнее пользоваться функцией частоты - f ( , T ) . В
экспериментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны -  ( , T ) . Обе
функции связаны друг с другом формулой
f ( , T ) 
К концу XIX
2 c
3
 ( , T ) 
2
 ( , T ) .
2 c
(16.5)
века излучение абсолютно черного тела было хорошо изучено
экспериментально.
В 1879 году Йозеф Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к
заключению, что интегральная светимость R(T) абсолютно черного тела пропорциональна
четвертой степени абсолютной температуры T.
Несколько позднее, в 1884 году, Л. Больцман из термодинамических соображений
получил для энергетической светимости абсолютно черного тела следующее соотношение

R   f ( , T )d   T 4 ,
(16.6)
0
где  - постоянная величина, T - абсолютная температура.
Этот закон получил название закона Стефана–Больцмана. Константу  называют
постоянной Стефана-Больцмана и ее числовое значение, по современным измерениям,
составляет
  5.7 108 Вт /( м2  град4 ) .
К концу 90-х годов XIX века были выполнены тщательные экспериментальные
измерения спектрального распределения  ( , T ) излучения абсолютно черного тела.
Кривые спектрального распределения  ( , T ) излучения абсолютно черного тела для
более низких температур целиком лежат внутри кривых, соответствующих более высоким
температурам. При каждом значении температуры T зависимость  ( , T ) имеет ярко
выраженный максимум.
С увеличением температуры максимум смещается в область коротких длин волн,
причем произведение температуры T на длину волны λm, соответствующую максимуму,
остается постоянным:
T m  b .
(16.7)
Это соотношение ранее было получено Вином, который воспользовался, кроме
термодинамики, электромагнитной теорией. Данное выражение носит название закон
смещения Вина: длина волны λm, на которую приходится максимум энергии излучения
абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре T. Значение
постоянной Вина
b  2.90 107 A  град  2.90 103 мк  град .
Успехи термодинамики, позволившие теоретически вывести законы Стефана–
Больцмана и Вина, вселяли надежду, что из термодинамических соображений удастся
получить всю кривую спектрального распределения излучения черного тела f ( , T ) .
В 1900 году эту проблему пытался решить знаменитый английский физик Д. Релей,
который в основу своих рассуждений положил теорему классической статистической
механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в состоянии
термодинамического равновесия. Эта теорема была применена Релеем к равновесному
излучению в полости. Несколько позже эту идею подробно развил Джинс. Таким путем
удалось получить зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от 
и температуры T:
f ( , T ) 
2
kT ,
4 2 c 2
(16.8)
где k - постоянная Больцмана. Это выражение называется формулой Релея–Джинса. Она
удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь только в области
больших длин волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн. Кроме того, из нее
следует, что интегральная светимость R(T) черного тела должна обращаться в
бесконечность, а, следовательно, равновесие между нагретым телом и излучением в
замкнутой полости может установиться только при абсолютном нуле температуры. Этот
результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в
противоречии с опытом.
Таким образом, безупречный с точки зрения классической физики вывод приводит к
формуле, которая находится в резком противоречии с опытом. Стало ясно, что решить
задачу о спектральном распределении излучения абсолютно черного тела в рамках
существующих теорий невозможно. Эта задача была успешно решена М. Планком. В 1900
году Планку удалось найти вид функции f ( , T ) в точности соответствующей опытным
данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершено чуждое
классической физике, что процессы излучения и поглощения нагретым телом
электромагнитной энергии, происходят не непрерывно, а происходят в виде отдельных
порцией энергии E (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:
E  ,
где
(16.9)
– коэффициент пропорциональности, называемый постоянной Планка.
Определенное из опыта значение равно
 1.054 1034 Дж  сек .
На основе гипотезы о прерывистом характере процессов излучения и поглощения
телами электромагнитного излучения Планк получил формулу для спектральной
светимости абсолютно черного тела
f ( , T ) 
3
1
.
2 2
 / kT
4 c e
1
(16.10)
Эта формула хорошо описывает спектральное распределение излучения черного тела
при любых частотах. Она прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Из
формулы Планка можно вывести законы Стефана–Больцмана и Вина. При условии
 / kT
1 формула Планка переходит в формулу Релея–Джинса.