075_Зимин

Международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии»
ИСТ-2014
СЕКЦИЯ 2 ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ ВЧ- И СВЧ- ДИАПАЗОНОВ
В.В. ЗИМИН (к.т.н., доц.)
(Дзержинский политехнический институт НГТУ им. Р.Е. Алексеева)
ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В УГЛОВОМ КОНДЕНСАТОРЕ С ДИЭЛЕКТРИКОМ
Рассмотрение вопросов прохождения электромагнитных волн из одной среды в другую требует
использования граничных условий по нормальной и тангенциальной составляющим вектора электрического поля. Традиционно считается, что на границе раздела двух диэлектриков сохраняется
неизменной плотность свободных зарядов, что подразумевает сохранение значения напряженности электрического поля E0  4 0 . Другими словами, предполагается, что в системе нет дополнительных источников энергии, которые могли бы внести изменения в эти начальные условия.
Система считается изолированной от внешних влияний.
Однако имеются практические случаи, когда требуется учитывать наличие внешних источников. Граничные условия, которые были выведены для изолированных систем, в новой постановке
прохождения электрического поля через границу двух диэлектриков не работают.
Простейшим примером неизолированной системы может служить конденсатор, на котором
поддерживается постоянная разность потенциалов при введении в воздушный зазор диэлектрика.
В такой среде поведение нормальной и тангенциальной составляющей вектора электрического
поля после преломления не могут описываться стандартными граничными условиями.
Учет этих обстоятельств открывает новые перспективы по применению неизолированных систем. Пусть мы имеем плоский конденсатор емкостью C0 с воздушным промежутком между обкладками
 0  1 , с зарядом Q , напряжением u
0
0
, расстоянием между обкладками d и электри-
u0
. Поместим между обкладками конденсатора диэлектрик с диэлектрической
d
проницаемостью  1 и рассмотрим, как изменится электрическое поле в конденсаторе при внесении диэлектрика. Зафиксируем напряжение u1 на емкости (обкладки конденсатора подключены к
источнику напряжения). Увеличение емкости конденсатора в  1 раз при выполнении условия
неизменности напряжения на конденсаторе при введении диэлектрика u1  u0 возможно только
ческим полем E0 
при возрастании в  1 раз заряда Q0 на пластинах конденсатора за счет энергии внешнего источника питания  Q1  1 Q0  . При этом напряженность электрического поля в конденсаторе с диэлектриком  1  1 будет совпадать с полем конденсатора с воздушным промежутком (  0  1 ).
u0
u
, а E1n  1 . Однако u0  u1 , следовательно,
d
d
u u
E1n  1  0  E0 n
(1)
d d
Из выражения (1) следует, что на границе раздела двух сред с диэлектрическими постоянными
 0 и  1 при неизменности напряжения на конденсаторе после введении диэлектрика u1  u0 , то
есть увеличении свободных зарядов в  1 раз, нормальные составляющие электрического поля
разрыва не имеют. Известно, что при введении в конденсатор диэлектрика энергия конденсатора
увеличивается. Энергия конденсатора – это энергия электрического поля. Для того чтобы энергия
конденсатора возросла, необходимо увеличить напряженность электрического поля.
Если напряжение на конденсаторе после введении диэлектрика поддерживается постоянным,
то Q1  1Q0 , поскольку u1  u0 , поэтому энергия конденсатора при заполнении его диэлектриком
возрастает в  1 раз:
1
W1  1Q0u0  1W0
(2)
2
Действительно, E0n 
75
Международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии»
ИСТ-2014
СЕКЦИЯ 2 ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ ВЧ- И СВЧ- ДИАПАЗОНОВ
Увеличение энергии конденсатора обусловлено действием внешнего источника, поддерживающего неизменной разность потенциалов на обкладках при введении диэлектрика.
После преобразований выражение для энергии конденсатора можно записать как:

1
W1  Q1u1  1 E02 Sd  1W0 .
(3)
2
8
Здесь: S - площадь поверхности конденсатора, а d - расстояние между обкладками.
Выражение (3) позволяет утверждать, что вектор электрического поля E1 в конденсаторе с диэлектриком при выполнении условия u1  u0 будет равен:
(4)
E1  1 E0 .
Из выражения (4) следует, что в конденсаторе с диэлектриком увеличивается величина вектора
электрического поля. Поскольку нормальная составляющая электрического поля в конденсаторе
при выполнении условия u1  u0 не меняется E0 n  E1n , следовательно, будет увеличиваться тангенциальная составляющая электрического поля.
Пусть  - угол падения вектора электрического поля E0 в конденсаторе с воздушным промежутком, а  - угол преломления вектора электрического поля E1 в диэлектрике. После несложных
расчетов получаются следующие соотношения:
(5)
(6)
.
(7)
Равенство (7) является для неизолированных систем аналогом закона Снеллиуса, где одна среда представляет собой воздух  0  1 . Выражение показывает, как связан угол падения  вектора
электрического E0 в конденсаторе с воздушным промежутком с углом преломления  вектора
E1 в диэлектрике.
Величина тангенциальной составляющей вектора электрического поля зависит от диэлектрической проницаемости заполнения  1 . Для выполнения условия (7) угол  должен быть намного
больше угла  .
E
Поскольку угол    , то из выражения (5) следует, что 1t  1 . Тангенциальная составляющая
E0t
вектора напряженности электрического поля в конденсаторе с диэлектриком больше, чем в конденсаторе с воздушным промежутком.
Если в равенстве (5) угол  выразить через  , то получим следующее соотношение:
(8)
Тангенциальная составляющая вектора электрического поля в конденсаторе с диэлектриком
E1t значительно больше, чем в конденсаторе с воздушным промежутком и превышает величину
исходного поля в
раз.
С точки зрения применения полученных результатов выявление в электрическом поле углового
конденсатора большой тангенциальной составляющей позволяет использовать такие конденсаторы в широком спектре радиотехнических изделий.
E-mail [email protected]
76