Толерантная личность. Решение уравнений

МКОУ «Детский дом- школа №95»
Внеклассное мероприятие
Толерантная личность. Решение уравнений
Выполнила: учитель математики
Зайцева Александра Викторовна
Выполнила: учитель математики
Очиченко Любовь Ивановна
2013
Внеклассное мероприятие
Тема: Толерантная личность. Решение уравнений
Форма: Тематическая (беседа + диспут+ практикум )
Возраст: 8 класс, 14-15 лет.
Цель: Продемонстрировать толерантность к народам мира на примере
мирового математического наследия.
Задачи:
 Воспитательные: воспитать личность, способную на добрые поступки,
уважающую культуры народов мира;
 Образовательные: повысить мотивацию к предмету, отработать навыки
решения квадратных уравнений;
 Развивающиеся: развить представление обучающихся о становлении
математики, как науки, в древние эпохи;
Метод воспитания по С.П.Баранову: рассказ, беседа,
разъяснение, примеры;
Средства воспитания:
Идеальные: речь;
Материальные :интерактивная доска, плакаты, карточки для анкетирования;
2
План
I. Что означает слово «толерантность»?
II. Черты толерантной личности.
III. Историческое наследие. Решение квадратных уравнений
1. Древний Египет
2. Древний Вавилон
3. Древняя Греция
4. Древняя Индия
5. Средневековый Восток
6. Европа
IV.Вывод
3
Ход мероприятия
1. Организационный момент
Приветствие учащихся. Учитель сообщает тему и цель урока. Слайд 2.
Высказывание на плакате : «Воспитывать в себе нужно не столько манеры,
сколько, то, что выражается в манерах,- бережное отношение к миру: к
обществу, к природе [3].»
Д.Лихачёв
2. Основная часть
Учитель: Слайд 3.Что означает слово толерантность в буквальном переводе
с латинского языка? . (терпение)
Учитель: Слайд 4.Каковы основные черты толерантной личности?
Предполагаемые ответы:
Расположенность к другим людям
Снисходительность
Терпение
Чувство юмора
Чуткость
Альтруизм
Терпимость к различиям (национализм, религионизм)
Умение владеть собой
Доброжелательность
Умение не осуждать других
Гуманизм
Умение слушать собеседника
Способность к переживанию [4].
(Предложить учащимся анкету, в которой нужно отметить качества,
которыми, по их мнению, они обладают)
Высказывание на плакате: «Что скажут о тебе другие, коли ты сам о себе
ничего сказать не можешь [3].»
Козьма Прутков
Учитель: Каждый человек в своей жизни совершает как толерантные, так и
интолерантные поступки. Какой личностью вы будете стремиться стать, и как это
поможет вам по жизни? Какого человека можно назвать толерантным? .
Предполагаемые ответы:
4
Толерантный человек – это свободный человек, хорошо знающий
себя, с положительным отношением к окружающим и доброжелательным
отношением к миру.
Толерантные люди не перекладывают ответственность на других, они
всегда готовы отвечать за свои поступки.
Толерантный человек не делит людей на «своих» и «чужих», он видит
мир во всем его многообразии.
Толерантные люди больше ориентированы на себя в работе,
творческом процессе. В проблемных ситуациях они склонны винить себя, а
не окружающих.
Толерантный человек способен посмеяться над собой.
Толерантные люди стараются разобраться в своих достоинствах и
недостатках[4] .
Высказывание на плакате : «Город – единство непохожих [3] »
Аристотель
Учитель: Представим себе, что с помощью фантастической машины
времени и пространства мы очутились в городе, который населяют представители
различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции,
Древней Индии, Средневекового Востока, Европы. Представим, что все мы – дети
разных времен и народов – едины в одном стремлении: овладеть приемами
решения уравнений, в частности квадратных уравнений.
Древний Египет
Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта.
В одном из математических папирусов содержится задача Слайд 5:
«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь
12, а
3
длины равны ширине1[1] ».
4
Рассмотрим эту задачу Слайд 6.
Пусть х – длина поля.
Тогда
3x
– его ширина,
4
3x 2
S=
– площадь.
4
Получилось квадратное уравнение
3x 2
= 12.
4
В папирусе дано правило его решения: «Разделим 12 на
12:
3
3
=12∙ =16
4
4
5
3
».
4
Итак, х2=16.
«Длина поля равна 4» - указано в папирусе.
Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решения
уравнения х2=16, мы получаем числа: 4, -4.
Разумеется, в задаче египтян мы приняли бы х=4, так как длина поля может
быть только положительной величиной.
Древний Вавилон
Учитель: Необходимо решать уравнения не только первой, но и второй
степени еще в древности была вызвана потребность. Решать задачи, связанные с
нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного
характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Огромный шаг
вперед по сравнению с математиками Египта сделали ученые Междуречья. Они
нашли правило для решения приведенного квадратного уравнения
x 2 + px + q = 0
Где p и q – любые действительные числа.
В одной из вавилонской задач так же требовалось определить длину
прямоугольного поля (х) и его ширину (у) Слайд 7:
«Сложив длину и две ширины прямоугольного поля, получим 14, а площадь
поля 24. Найти его стороны».
Составим систему уравнений Слайд 8:
 x  2 y  14,

 xy  24.
Из второго уравнения находим у =
24
и подставляем в первое уравнение.
x
Получаем
x
48
 14
x
Отсюда получаем квадратное уравнение
x 2 -14х+48= 0
Для его решения прибавим к выражению x 2 -14 некоторое число, чтобы
получить полный квадрат:
x 2  14 x  x 2  2  7  x = x 2  2  7  x + 7 2  7 2  ( x  7) 2  49
Мы пришли к квадратному уравнению, которое умели решать и египтяне. Не
зная отрицательных чисел, древние математики получали Слайд 9 х-7= 1, х=8.
24
=3, то есть длина поля равна 8, а ширина равна 3.
8
Вообще же квадратное уравнение x  7 2  1 имеет два корня:
Следовательно у=
6
х-7= 1, откуда х=8, у=3;
х-7= -1, откуда х=6, у=4.
Учитель: Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние
ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными
величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в
вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно,
каким образом вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных
папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями.
Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми
комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел! [1].».
Древняя Греция
Учитель: Я расскажу вам, как составлял и решал квадратные уравнения
греческий математик Диофант. В «Арифметике» Диофанта нет систематического
изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач,
сопровождаемый объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений
разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело
выбирает неизвестные .
Рассмотрим одну из его задач Слайд 10.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96».
Диофант рассуждает следующим образом Слайд 11:
Из условия задачи вытекает, искомые числа не равны, так как бы они были
равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них
будет больше половины их суммы, то есть 10+х, другое же меньше, то есть 10-х.
Разность между ними 2х. Отсюда уравнение
(10+х)(10-х)= 96
или
100- x 2 = 96, х2-4= 0.
Отсюда х= 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. решение х= -2 для
Диофанта не существует, так как греческая математика знала только
положительные числа [1].
Учитель: Задачи на составление квадратных уравнений встречается уже в
астрономическом трактате «Ариабхатиам», составленном в 499 г. Индийским
математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый Брахмагупа
(VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений вида слайд 12.
ax 2  bx  c  0
Древняя Индия
Учитель: В Древней Индии были распространены публичные соревнования
в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких
7
соревнований говорится следующее: «человек затмит славу другого в народных
собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в
стихотворную форму [2]..
Задача знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары Слайд 13:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекались.
Их в квадрат часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары Слайд 14 свидетельствует о том, что он знал о
двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее решение уравнения
2
 x
   12  x ,
8
Бхаскара записывает в виде x 2  64 x  768 и, чтобы дополнить левую часть
этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая
x 2  64 x  32 2  768  1024,
x  32 2  256,
x  32  16;16
x1  16,
x 2  48.
Средневековый Восток
Первым руководством по решению задач, получившим широкую
известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы альХорезми Слайд 15. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата —
«Хитаб
аль-джебр
валь-мука-бала»
(«Книга
о
восстановлении
и
противопоставлении») — со временем превратилось в хорошо знакомое всем
слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми стало отправной точкой в
становлении науки о решении уравнений Слайд 16. Восстановлением («альджебр») аль-Хорезми называл операцию исключения из обеих частей уравнения
отрицательных членов путем добавления разных членов, но противоположных по
знаку. Противопоставление («аль-мукабала») - сокращение в частях уравнения
одинаковых членов [2]..
Некий математик так выразил правило «Аль-Джебр» Слайд 17:
При решении уравнения,
Если в части одной,
Безразлично какой,
8
Встретится член отрицательный,
Мы к обеим частям
Равный член придадим,
Только с знаком другим,
И найдем результат положительный.
Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах
которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень
плодотворным. Равенство не нарушается и тогда, когда обе части умножаются
или делятся на одно И то же число (разумеется, если оно не нуль). Главный
принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в
результате снова получатся одинаковые количества, стал своеобразной
«волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели аль-Хорезми.
Рассмотрим подробно квадратные уравнения у аль-Хорезми.
В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и
квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений, выражая их
следующим образом Слайд 18:
1)квадраты равны корням, то есть ax 2  bx ;
2)квадраты равны числу, то есть ax 2  c
3)корни равны числу, то есть ах=с;
4) квадраты и числа равны корням, то есть ax 2  c  bx; ;
5) квадраты и корни равны числу, то есть ax 2  bx  c ;
6) корни и числа равны квадратам,, то есть bx  c  ax 2 ;
Для аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены
каждого из этих уравнений - слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не
принимаются во внимание уравнения, которых нет положительных решений.
Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами
«аль-джебр» и «аль-мукабала». Его решения уравнений, конечно, не совпадают
полностью с нашим (уже не говоря о том, что они чисто риторические). Следует
отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого
вида аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого
решения, вероятно потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет
значения. При решении полных квадратных уравнений аль-Хорезми на частных
числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические
доказательства.
Задача. Слайд 19 Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень
(подразумевается корень уравнения х2+21=10х).
Решение автора звучит примерно так:
Раздели пополам число корней - получишь 5, умножь 5 на само себя, от
произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4 – получишь 2. Отними
от 2 5 – получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь к 5, что даст 7,
это тоже есть искомый корень.
Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой
систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы
их решения. Трактаты аль-Хорезми были в числе первых сочинений по
математике переведены в Европе с арабского на латынь. До XVI в. математику в
Европе называли искусством алгебры и мукабалы. Унаследованное от восточных
9
математиков учение о линейных и квадратных уравнениях стало основой
развития алгебры в Европе [2].
Европа
Учитель: Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми
в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г.
итальянским математиком Леонарде Фибоначчи Слайд 20. Этот объемистый труд,
в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции,
отличается и полнотой, и яркостью изложения. Автор самостоятельно разработал
некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первым в Европе
подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала
распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Гермами,
Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» были
включены почти во все европейские учебники ХVI-ХVII вв. и частично XVIII в.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому
каноническому виду
х2+bх=с
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было
сформулировано в Европе лишь в 1544г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у
Виета, однако он также признавал только положительные корни. Итальянские
математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают
помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря
трудам Жирара, Декарта, Нюьтона и других ученых, способ решения квадратных
уравнений принимает современный вид [2].
Учитель: Перейдем теперь к практической части урока. Обратимся к
квадратным уравнениям, которые умели решать вавилоняне (ок. 2000 лет до
н.э.). Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в
клинописных текстах встречаются такие квадратные уравнения, как например
x2  x 
3
4
Учитель: Вы являетесь современными учениками 9-го класса, обладая
запасом знаний, накопленным нашими предками, какими способами вы можете
решить это уравнение?
Способ 1 Слайд 21.
3
4
2
4x  4x  3  0
D  b 2  4ac
D= 4 2  4  4  ( 3)  64
x2  x 
x1 
b D
2a
x2 
b D
2a
10
x1 
1
2
x2  - 1
1
2
Высказывание на плакате: «Силу уму придают упражнения, а не покой [3]»
А. Поп
(Учащиеся представляют различные способы решения этого уравнения).
Способ 2.(учитывая четность второго коэффициента).
Способ 3.(выделение квадрата двучлена).
Способ 4.(графический)
Учитель: Расскажите алгоритм решения квадратного уравнения ? [3]. Слайд
22.
1.
2.
Выделить в квадратном уравнении коэффициенты.
Вычислить дискриминант D
D  b 2  4ac
3.
Если D>0, то уравнение имеет два действительных корня. Корни
можно вычислить по формуле
x1, 2 
b D
2a
Если D=0, то уравнение имеет один единственный корень
Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней.
Учитель Слайд 23:
 Как «узнать» квадратное уравнение?
 Всякое ли квадратное уравнение можно решить?
 Как узнать имеет ли квадратное уравнение корни и сколько?
Обязательно ли для этого решать уравнение?
 Что нового вносят квадратные уравнения в знания об
уравнениях?
Учитель: Закончилось путешествие в наш фантастическим городам. Мы
увидели, что все народы мира в разные эпохи занимались вопросами решения
квадратных уравнений, пользовались достижениями ученых разных
национальностей, вырабатывали единые пути решения, в том числе и те же
методы решения квадратных уравнений, которыми пользуемся мы.
III. Вывод обучающихся: (предполагаемый ответ)
Мы должны с уважением относиться к различным мировым культурам,
сотрудничать с людьми различающимися по внешнему виду, убеждениям,
обычаям и верованиям. Современное человечество должно осознать, что
необходимо объединение всех народов в борьбе против неизлечимых болезней
для сохранения живой природы, рационального использования природных
ресурсов, и т.д.
11
Литература
1. Ван дер Варден Б.А. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта,
Вавилона и Греции. [Текст] Б.А. Ван дер Варден - М., ГИФМЛ, 1959. - 462
с.
2. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. [Текст] М.Я.
Выгодский - М., Наука, Гл.ред. ФИЗМАТЛИТ, 1967. - 368 с.
3. Гельфман Э.Г. Квадратные уравнения. [Текст] Э.Г. Гельфман- Москва,
1997. 273с.
4. Ильинская С.Г.. Толерантность. [Текст] С. Г. Ильинская- Праксис, 2007.288с.
12