Дополнительные главы теории вероятностей и математической

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Сапожникова А.В.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления
44.03.01 «Педагогическое образование»,
профиль подготовки «Математическое образование».
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Сапожникова А.В. Дополнительные главы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
направления 44.03.01 «Педагогическое образование», профиль подготовки «Математическое образование». Форма обучения очная, Тюмень, 2014, 34 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Дополнительные главы
теории вероятностей и математической статистики [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Сапожникова А.В., 2014.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целью изучения данной дисциплины является продолжение и углубленное изучение студентами понятий и методов теории вероятностей и математической статистики,
приобретение навыков решения более широкого класса задач по сравнению с дисциплиной Теория вероятностей и математическая статистика. В курсе данной дисциплины студенты овладевают знаниями по таким разделам теории вероятностей, как многомерные
случайные величины и их основные характеристики, условное распределение, характеристические функции, учатся применять полученные теоретические результаты для исследования и статистической обработки данных, проверок гипотез, решения задач оценивания, изучения корреляционно-регрессионного и дисперсионного анализов. В процессе
обучения закрепляются такие общие профессиональные умения как классификация (типов
формализованных задач), оценивание (результатов расчета), моделирование и формализация процессов и зависимостей (как типовых, так и нестандартных видов).
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы.
Учебная дисциплина «Дополнительные главы теории вероятностей и математической статистики» входит в профессиональный цикл дисциплин по выбору; требования к
входным знаниям и умениям студента – знание основных разделов математики: математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии, дискретной математики,
математической логики, теории вероятностей и математической статистики. Данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: случайные процессы, актуарная и финансовая математика.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Случайные процессы
Актуарная и финансовая математика
Педагогика
Таблица 1.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
2.2
2.1
2.3
2.4
2.5
3.1
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
ОК-1, ОК-6, ОПК-2, ПК-1.
ОК 1. владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;
ОК 6. способен логически верно выстраивать устную и письменную речь;
ОПК 2. способен использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач;
ПК 1. способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: виды многомерных случайных величин, способы их задания, условное распределение и условные характеристики, характеристические функции и их свойства, ха-
рактеристические функции известных распределений, этапы проведения корреляционнорегрессионного анализа, критерии адекватности регрессионной модели и способы их проверки, основы дисперсионного анализа.
Уметь: находить закон распределения двумерной случайной величины, числовые
характеристики, находить условное распределение и условные числовые характеристики,
находить характеристические функции случайных величин, строить парную и многофакторную регрессию, проверять построенную регрессионную модель на адекватность и точность, осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач.
Владеть: навыками решения задачи и интерпретации результатов в терминах прикладной области, методами прогнозирования поведения исследуемого процесса при изменении влияющих факторов.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6-й. Форма промежуточной аттестации - зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 академических часов, из них 52,65 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем (17 часов лекций, 34 часа практических
занятий, 1,65 – иные виды работ), 19,35 часа, выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план.
Таблица 2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Итого количество баллов
1.4
Из них в интерактивной
форме
1.3
Итого часов по теме
1.2
Самостоятельная
работа
1.1
2
Модуль 1
Многомерные случайные
величины. Виды двумерных случайных величин
Функции случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции
Условное распределение.
Условные числовые характеристики
Характеристические
функции. Характеристические функции известных
распределений
Всего
Модуль 2
Формула обращения. Теорема непрерывности, ЦПТ
Цепи Маркова
Парная регрессия и корреляция. Этапы проведения
корреляционнорегрессионного анализа
Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов
Проверка адекватности и
точности уравнения регрессии
Всего
Практические занятия
1
3
4
5
6
7
8
9
1-2
1
3
2
6
0-7
2-3
2
3
1
6
0-7
3-4
-
2
2,35
4,35
2
0-10
3-4
1
4
2
7
1
0-12
4
12
7,35
23,35
3
0-36
5-6
1
2
1
4
5-7
8-9
2
1
3
2
2
1
7
4
8-9
1
2
1
4
10-11
2
4
1,5
7,5
2
0-14
7
13
6,5
26,5
3
0-36
недели семестра
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа,
в час.
Лекции
№
0-7
1
0-7
0-4
0-4
1
3.1
3.2
3.3
2
Модуль 3
Нелинейная регрессия и
корреляция
Множественная регрессия
и корреляция
Основы дисперсионного
анализа
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме
*с учетом иных видов работ
3
4
5
6
7
8
9
12-13
2
4
2
8
1
0-12
14-16
2
2
1,5
5,5
16-17
2
3
2
7
1
0-9
6
9
0-28
34
6
20,5
1,65
72
2
17
2
5,5
1,65
21
8
0-100
0-7
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Модуль 1.
1.1. Многомерные случайные величины. Виды двумерных случайных величин
1.2. Функции случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции
1.3. Условное распределение. Условные числовые характеристики
1.4. Характеристические функции.
Характеристические функции известных распределений
Всего
Модуль 2.
2.1. Формула обращения. Теорема непрерывности, ЦПТ
2.2. Цепи Маркова
2.3. Парная регрессия и корреляция.
Этапы проведения корреляционнорегрессионного анализа
2.4. Линейная регрессия. Метод
наименьших квадратов
2.5. Проверка адекватности и точности уравнения регрессии
Всего
Модуль 3.
3.1. Нелинейная регрессия и корреляция
3.2. Множественная регрессия и корреляция
3.3. Основы дисперсионного анализа
Всего
Итого
ответ на семинаре
Итого количество баллов
2
Информационные
системы и
технологии
решение задач с
помощью пакетов прикладных
программ
1
собеседование
№ темы
коллоквиумы
Устный опрос
Письменные
работы
контрольная работа
Таблица 3.
6
7
3
4
5
0-1
0-1
0-5
0-7
0-1
0-1
0-5
0-7
0-10
0-10
0-10
0-12
0-30
0-36
0-2
0-5
0-7
0-2
0-5
0-4
0-7
0-4
0-4
0-4
0-2
0-4
0-4
0-5
0-12
0-9
0-2
0-2
0-5
0-14
0-5
0-36
0-5
0-5
0-12
0-2
0-3
0-2
0-7
0-4
0-8
0-20
0-3
0-11
0-24
0-2
0-9
0-14
0-9
0-28
0100
0-10
0-2
0-40
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1. Многомерная случайная величина, совместная функция распределения. Свойства
двумерной функции распределения. Дискретные двумерные величины, закон распределения. Непрерывные двумерные случайные величины, совместная плотность распределения,
свойства. Критерий независимости случайных величин.
1.2. Функции от одномерной случайной величины. Скалярные функции от случайного
векторного аргумента. Формула свертки. Ковариация случайных величин, свойства, ковариационная матрица. Коэффициент корреляции случайных величин, свойства, корреляционная матрица.
1.3. Условное распределение случайных величин. Критерий независимости случайных
величин. Условное математическое ожидание, свойства, линия регрессии. Условная дисперсия, свойства. Корреляционное отношение, свойства.
1.4. Характеристическая функция, свойства. Характеристические функции известных
распределений.
Модуль 2.
2.1. Формула обращения. Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема.
2.2. Цепи Маркова. Основные характеристики и свойства цепей Маркова. Классификация состояний и цепей. Анализ некоторых задач и примеров.
2.3. Парная регрессия и корреляция, основные определения и понятия. этапы проведения корреляционно-регрессионного анализа. Сущность корреляционного анализа.
2.4.Линейная регрессия. Проверка значимости коэффициента корреляции. Метод
наименьших квадратов нахождения параметров линейного уравнения регрессии. Нормальная линейная регрессионная модель. Гомоскедастичность и гетероскедастичность,
автокорреляция. Теорема Гаусса-Маркова. Коэффициент эластичности и бетакоэффициент.
2.5. Проверка значимости отдельных параметров регрессии. Проверка значимости
уравнения регрессии в целом. Требования адекватности модели. критерий ГолдфельдаКвандта. Критерий Дарбина-Уотсона. Индекс корреляции. Точность модели.
Модуль 3.
3.1. Нелинейные регрессии первого класса. Нелинейные регрессии второго класса.
Нелинейная корреляция.
3.2. Уравнение множественной линейной регрессии. Частные коэффициенты эластичности, бета- и дельта-коэффициенты. Коэффициент множественной детерминации. Отбор
факторных признаков в модель. Мультиколлинеарность, причины возникновения. Методы
устранения или уменьшения мультиколлинеарности.
3.3. Однофакторный дисперсионный анализ. Основное тождество дисперсионного
анализа. Двухфакторный дисперсионный анализ.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
1.1. Многомерная случайная величина, совместная функция распределения. Дискретные двумерные величины, закон распределения. Непрерывные двумерные случайные величины, совместная плотность распределения. Маргинальные законы распределения вероятности. Критерий независимости случайных величин.
1.2. Функции от одномерной случайной величины. Скалярные функции от случайного
векторного аргумента. Формула свертки. Ковариация случайных величин, свойства. Коэффициент корреляции случайных величин, свойства.
1.3. Условное распределение случайных величин. Критерий независимости случайных
величин. Нахождение условных числовых характеристик: условное математическое ожидание, условная дисперсия, корреляционное отношение.
1.4. Характеристическая функция дискретных и непрерывных случайных величин.
Характеристические функции известных распределений.
Модуль 2.
2.1. Формула обращения. Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема.
2.2. Цепи Маркова. Основные характеристики и свойства цепей Маркова. Классификация состояний и цепей. Анализ некоторых задач и примеров.
2.3. Парная регрессия и корреляция, основные определения и понятия. этапы проведения корреляционно-регрессионного анализа. Сущность корреляционного анализа.
2.4.Линейная регрессия. Проверка значимости коэффициента корреляции. Метод
наименьших квадратов нахождения параметров линейного уравнения регрессии. Коэффициент эластичности и бета-коэффициент.
2.5. Проверка значимости отдельных параметров регрессии. Проверка значимости
уравнения регрессии в целом. Требования адекватности модели. Критерий ГолдфельдаКвандта. Критерий Дарбина-Уотсона. Индекс корреляции. Точность модели.
Модуль 3.
3.1. Нелинейные регрессии первого класса. Нелинейные регрессии второго класса.
Нелинейная корреляция.
3.2. Уравнение множественной линейной регрессии. Частные коэффициенты эластичности, бета- и дельта-коэффициенты. Коэффициент множественной детерминации. Отбор
факторных признаков в модель. Методы устранения или уменьшения мультиколлинеарности.
3.3. Однофакторный дисперсионный анализ. Основное тождество дисперсионного
анализа. Двухфакторный дисперсионный анализ.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Таблица 4.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
1
Модуль 1.
1.1
1.2
1.3
2
Многомерные случайные величины. Виды двумерных случайных величин
Функции случайных величин.
Ковариация и коэффициент корреляции
Условное распределение. Условные числовые характеристики
Характеристические функции.
Характеристические функции
известных распределений
Всего по модулю 1:
Модуль 2.
1.4
2.1
Формула обращения. Теорема
непрерывности, ЦПТ
Виды СРС
обязательные
3
работа с литературой, источниками
подготовка к занятиям, коллоквиуму, контрольной работе
дополнительные
4
Неделя Объем Кол-во
семестра часов баллов
5
6
7
1-2
2
0-7
подготовка к занятиям, коллоквиуму, контрольной работе
2-3
1
0-7
изучение теоретического материала, подготовка к занятиям, коллоквиуму, выполнение
домашней контрольной работы
подготовка к занятиям, коллоквиуму, контрольной работе
3-4
2,35
0-10
3-4
2
0-12
7,35
0-36
1
0-7
работа с литературой, источниками.
подготовка к занятиям, коллоквиуму, контрольной работе
составление тестов
разбор решения задач
краткосрочного страхования (применение ЦПТ)
5-6
1
2
2.2. Цепи Маркова
3
подготовка к занятиям, коллоквиуму, контрольной работе
2.3 Парная регрессия и корреляция.
Этапы проведения корреляционно-регрессионного анализа
2.4 Линейная регрессия. Метод
наименьших квадратов
подготовка к занятиям, коллоквиуму, опросу; работа с ППП
(Excel)
подготовка к занятиям, коллоквиуму, опросу; работа с ППП
(Excel)
подготовка к занятиям, коллоквиуму, опросу; работа с ППП
(Excel)
2.5 Проверка адекватности и точности уравнения регрессии
Всего по модулю 2:
Модуль 3.
3.1 Нелинейная регрессия и корреляция
3.2 Множественная регрессия и корреляция
3.3 Основы дисперсионного анализа
Всего по модулю 3:
Иные виды работ:
Итого
работа с литературой, источниками
подготовка к занятиям, коллоквиуму, опросу; работа с ППП
(Excel)
подготовка к занятиям, коллоквиуму, опросу; работа с ППП
(Excel)
подготовка к занятиям, коллоквиуму, опросу; работа с ППП
(Excel)
4
составление матриц переходных вероятностей
для взаимопроверки
классификации состояний
5
6-7
6
2
7
0-7
8-9
1
0-4
работа с дополнительными ППП
8-9
1
0-4
работа с дополнительными ППП
10-11
1,5
0-14
6,5
0-36
работа с дополнительными ППП
12-13
2
0-12
работа с дополнительными ППП
14-15
1,5
0-7
работа с дополнительными ППП
16-17
2
0-9
5,5
1,65
21
0-28
0-100
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студента, развитие практических и интеллектуальных умений, комплекса заявленных общекультурных и профессиональных компетенций.
Она организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении поставленных индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы;
подготовка к собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму; подготовка к контрольным
работам; составление структурно-логических схем; составление задач и тестов для взаимопроверки, выполнение индивидуальных заданий, в том числе с помощью пакетов прикладных программ и т.п.
Необходимым условием успешности обучения является систематическое выполнение обязательных видов самостоятельной работы и, по мере возможности, дополнительных.
9.1. Подготовка к собеседованиям, опросам, коллоквиуму (ОК-1, ОК-6, ОПК-2, ПК-1)
При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную
в разделе 12 данной рабочей программы. В указанном разделе расположены: список основной литературы, дополнительной литературы, необходимые интернет-ресурсы.
9.2. Подготовка к контрольным работам (ОК-1, ОК-6, ОПК-2, ПК-1)
При подготовке к контрольным работам помимо проработки материалов, представленных на лекционных и практических занятиях, дополнительной литературы, нужно
воспользоваться разделами п.2 Методических рекомендаций по организации самостоятельной работы для студентов (электронный ресурс). В них подробно указано, какие умения проверяются в ходе выполнения данной работы, представлен подробный разбор типовых вариантов, а также несколько вариантов для самостоятельного решения.
В течение семестра предусмотрены контрольные работы по следующим темам:
1. Двумерные случайные величины (0-10 баллов)
2. Условное распределение (0-10 баллов)
3. Характеристические функции (0-10 баллов)
4. ЦПТ, цепи Маркова (0-10 баллов)
9.3. Составление задач и тестовых заданий для взаимопроверки (ОК-6, ОПК-2, ПК-1)
В качестве одного из видов самостоятельной работы, студентам предлагается составление тестов и задач по различным разделам дисциплины. Они послужат хорошим
инструментом для проверки собственного уровня усвоения содержательной учебной информации по дисциплине, так как для их составления необходимо проработать весь материал по конкретной теме (лекционный, материал практических занятий, вопросы, выносимые на самостоятельное изучение) и в дальнейшем будут использованы при взаимооценке студентов.
9.4. Составление структурно-логических схем по теме, модулю (ОК-1, ОК-6, ОПК-2,
ПК-1)
В качестве одного из видов самостоятельной работы, в результате которой студенты учатся анализировать и систематизировать учебный материал, выделять в нем основное, предлагается построение структурно-логических схем по модулям и темам дисциплины: случайные события, случайные величины, математическая статистика и по всему
курсу дисциплины.
9.5. Выполнение индивидуальных заданий с помощью пакетов прикладных программ (ППП) (ОК-1, ОПК-2, ПК-1)
Компетентностный подход акцентирует внимание на результате образования, причем в качестве результата рассматривается не сумма усвоенной информации, а способность человека действовать в различных проблемных ситуациях. Важнейшим условием
подготовки компетентных специалистов является применение новых информационных
технологий в обучении.
Компьютерные программы, автоматизируя выполнение часто довольно трудоёмких
методов расчетов, помогают студенту приобрести практические навыки, высвобождая
время для расширения круга решаемых задач.
Методы прикладной статистики реализовываются с помощью пакетов прикладных
математических (MathCad, MatLab и др.), статистических (STATISTICA, STATGRAPHICS
и др.) и других программ, в которых предусматриваются средства обработки данных.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы
+ + +
+ + + + +
ОК-6
+ + +
+
ОПК-2
+ + +
ПК-1
* отмечены дисциплины базового цикла
Геометрия*
Математический анализ*
+
+
+
+
Математический анализ*
Геометрическое построение на плоскос
ти и в пространстве
Конструктивная геометрия и методы
изображения
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Геометрия*
Математический анализ*
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Теория чисел
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Теоретико-множественная
топология
3 семестр
Внеклассная работа по математике
в школе
Дополнительные главы алгебры
Социальная педагогика*
Возрастная психология*
Элементарная математика*
+
Математический анализ*
+
Дифференциальные уравнения*
+
Иностранный язык в профессиональной
сфере*
Алгебра*
+
Основы дидактики*
2 семестр
Естественнонаучная картина мира*
Иностранный язык в профессиональной
сфере*
Иностранный язык*
Практикум по воспитательной работе
классного руководителя
Педагогическая режиссура
Избранные вопросы дифференциального
и интегрального исчисления
Геометрия*
1 семестр
Действительные числа
Алгебра*
Основы воспитания*
Иностранный язык в профессиональной
сфере*
Иностранный язык*
Алгебра *
Иностранный язык в профессиональной
сфере*
Циклы, дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Общие основы педагогики*
компетенОК-1
ции
Иностранный язык*
Культура речи*
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Б.1-Б.3 Дисциплины
4 семестр
+
+
компетенции
ОК-1
ОК-6
ОПК-2
ПК-1
Теория вероятностей и математическая
статистика*
Философия*
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+ +
+
+
Компетенции
ОК-1
ОК-6
ОПК-2
ПК-1
* отмечены дисциплины базового цикла
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
7 семестр
+
+
+
+
+
+
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ОП
Б.5
Б.6
Педагогическая практика
Учебная практика
Выпускная квалификационная
работа
+
История развития
математических понятий
Преподавание математики в
профильных классах
Проектирование и реализация
элективных курсов по математике
Доп.главы теории и методики
обучения математики
Методика подготовки к государственной аттестации по математике
История математики
Практикум по решению
математических задач*
Числовые системы*
Функциональный анализ
+
Избранные вопросы ТФДП
Теория экстремальных и
оптимизационных задач
Методология и методы психологопедагогических исследований
Практикум по решению
математических задач*
Основы вариационного исчисления
Дискретная математика*
Методы обучения и воспитания*
Методика обучения учащихся
стереометрии посредством решения
задач
Обучение учащихся доказательству
теорем
Экономика образования*
6 семестр
Педагогическая инноватика
+
Дополнительные главы ТВиМС
5 семестр
Практикум по решению
математических задач*
Теория функций комплексного
переменного*
Элементарная математика*
Основы математической обработки
Информации*
Методы обучения и воспитания*
Неевклидовы геометрии
Физика
Математическая логика и теория
автоматов*
Теория функций действительного
переменного*
Элементарная математика*
Теоретическая механика
+
Основания геометрии
+
Педагогическая психология*
Методы обучения и воспитания*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.1-Б.3 Дисциплины
8 семестр
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 5.
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
ОК-1
ОК-6
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: основные типы задач, связанные
с изучением теории вероятностей и математической статистики; стандартную
форму записи обрабатываемых данных;
методы решения типовых задач анализируемого класса реальных задач.
Знает: отличительные особенности различных типов задач, рассматриваемых в
курсе изучения теории вероятностей и
математической статистики, методы
анализа реальных исходных данных для
представления их в стандартной форме
записи обрабатываемых данных.
Знает: о применении модельных допущений к выяснению сущности поставленной задачи; методы анализа и моделирования реальных исходных данных.
Умеет: определять задачи для достижения поставленной цели, определять тип
каждой поставленной задачи, ее основные характеристики.
Умеет: определять задачи для достижения поставленной цели, определять тип
каждой поставленной задачи, ее основные характеристики, набор данных, необходимый для представления задачи в
терминах и понятиях изучаемой дисциплины.
Владеет: необходимым инструментарием и знаниями, чтобы понять поставленную цель и пути ее достижения.
Владеет: математическим инструментарием в соответствии со спецификой анализируемого класса реальных задач, необходимых для достижения поставленной цели; методами анализа и моделирования реальных исходных данных.
Умеет: глубоко вникать в содержательную сущность поставленной цели; адекватно применять модельные допущения
к выяснению сущности реальной задачи;
решать задачу преобразования имеющейся исходной информации к унифицированной форме записи исходных
данных.
Владеет: математическим инструментарием в соответствии со спецификой анализируемого класса реальных задач, необходимых для достижения поставленной цели; методами анализа и моделирования реальных исходных данных;
методами преобразования разнообразных форм исходных данных с целью их
удобного представления для дальнейшего анализа и моделирования и, как следствие, достижения поставленной цели.
Знает: способы и приемы логически
Знает: способы и приемы логически
Знает: способы и приемы логически
Виды
занятий
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Оценочные
средства
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Лекции,
практические занятия
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Лекции,
Аудиторные
верно выстраивать письменную и устную речь в профессиональной сфере с
внешней помощью.
Умеет: сообщать идеи, проблемы и решения простейших задач, как специалистам, так и неспециалистам.
ОПК
-2
верно выстраивать письменную и устную речь в профессиональной сфере в
стандартной ситуации.
Умеет: сообщать идеи, проблемы и решения стандартных задач, как специалистам, так и неспециалистам, используя
диапазон качественной и количественной информации.
Владеет: способами и методами составления сообщений в случае простейших
задач.
Владеет: способами и методами составления сообщений в стандартной ситуации.
Знает: основные законы теории вероятностей и методы математической статистики.
Знает: об основных закономерностях в
поведении случайных величин, сумм
большого числа случайных слагаемых;
основные выборочные характеристики и
их свойства; основные типы статистических гипотез.
Умеет: выявлять и анализировать основные закономерности в поведении
случайных величин, проводить статистическую обработку и анализ данных,
дать количественную и качественную
оценку полученного результата, применять естественнонаучные знания в учебной и профессиональной деятельности.
Умеет: анализировать основные закономерности в поведении случайной величины, проводить статистическую обработку данных, применять естественнонаучные знания в учебной и профессиональной деятельности.
верно выстраивать письменную и устную речь в профессиональной сфере для
выявления хронологически- итерационных взаимосвязей основных этапов статистического анализа, конечных прикладных целей исследования
Умеет: сообщать идеи, проблемы и решения, как специалистам, так и неспециалистам, используя диапазон качественной и количественной информации; выделять типы основных результатов теории вероятностей: доасимптотический, асимптотический, относящийся
к теории преобразования случайных
величин; обоснованно сопоставить полученный результат с имеющимися данными, сопроводив полученный результат количественной оценкой степени
достоверности.
Владеет: на высоком уровне способами
и методами составления сообщений в
любой ситуации.
Знает: основные процедуры математико-статистического анализа данных,
прикладные возможности вероятностных моделей.
Умеет: выделять типы основных результатов теории вероятностей: доасимптотический,
асимптотический,
относящийся к теории преобразования
случайных величин; обоснованно сопоставить полученный результат с имеющимися данными, сопроводив полученный результат количественной оценкой
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования , коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, коллоквиум
ПК-1
степени достоверности, применять естественнонаучные знания в учебной и
профессиональной деятельности.
Владеет: на высоком уровне методами
математического аппарата теории вероятностей и математической статистики
для математической обработки различной информации
Владеет: основными методами математической обработки информации: статистическое оценивание и проверка гипотез
Владеет: методами математической обработки информации: методами математического аппарата теории вероятностей
и математической статистики.
Знает: необходимый минимум учебной
программы теории вероятностей и математической статистики.
Знает: на хорошем уровне учебную программу теории вероятностей и математической статистики.
Знает: на высоком уровне учебную программу теории вероятностей и математической статистики.
Умеет: реализовывать учебные программы курса теории вероятностей и
математической статистики, опираясь на
помощь извне.
Умеет: самостоятельно реализовывать
учебные программы курса теории вероятностей и математической статистики в
некоторых образовательных учреждениях.
Владеет: необходимыми навыками и
инструментарием для реализации учебных программ курса теории вероятностей и математической статистики;
навыками работы с программными средствами общего и профессионального
назначения.
Владеет: необходимыми навыками и
инструментарием для самостоятельной
реализации учебных программ курса
теории вероятностей и математической
статистики в некоторых образовательных учреждениях; методами построения
учебного курса; навыками работы с программными средствами общего и профессионального назначения.
Умеет: самостоятельно реализовывать и
выбирать наилучшие учебные программы курса теории вероятностей и математической статистики в различных образовательных учреждениях, исходя из их
специфики.
Владеет: на высоком уровне навыками,
знаниями и инструментарием для самостоятельной реализации и выбора
наилучших учебных программ курса
теории вероятностей и математической
статистики в различных образовательных учреждениях, исходя из их специфики; навыками работы с программными средствами общего и профессионального назначения.
Лекции,
практические занятия
Аудиторные
контрольные
работы, выполнение индивидуальных заданий
Лекции,
практические занятия
Коллоквиум,
индивидуальные задания
Лекции,
практические занятия
Коллоквиум,
индивидуальные задания
Лекции,
практические занятия
Коллоквиум,
индивидуальные задания
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Билеты для коллоквиума
Билет №1
1)
Понятие корреляционной зависимости между переменными. Этапы проведения
корреляционного анализа.
2)
Проверка требования случайного характера остатков.
3)
Основная гипотеза однофакторного дисперсионного анализа.
Билет №2
1)
Этапы проведения регрессионного анализа.
2)
Определение меры точности модели.
3)
Проверка основной гипотезы однофакторного дисперсионного анализа.
Билет №3
1)
Парный коэффициент корреляции. Проверка значимости парного коэффициента
корреляции.
2)
Понятие гомоскедастичности и гетероскедастичности модели.
3)
Статистические оценки среднего значения и дисперсии отклика в однофакторном
дисперсионном анализе и их свойства.
Билет №4
1)
Метод наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров уравнения
парной линейной регрессии.
2)
Проверка равенства нулю мат. ожидания остатков.
3)
Задачи и содержание дисперсионного анализа.
Билет №5
1)
Определение линейной регрессионной модели.
2)
Индекс корреляции. Проверка значимости уравнения регрессии.
3)
Основное тождество дисперсионного анализа.
Билет №6
1)
Определение нормальной регрессионной модели.
2)
Понятие автокорреляции остатков. Проверка отсутствия автокорреляции регрессионной модели.
3)
Задачи и содержание дисперсионного анализа.
Билет №7
1)
Формулировка теоремы Гаусса-Маркова.
2)
Примеры нелинейных моделей регрессии по включенным переменным и методы их
линеаризации.
3)
Проверка основной гипотезы однофакторного дисперсионного анализа.
Билет №8
1)
Проверка значимости коэффициентов (параметров) регрессии.
2)
Понятие мультиколлинеарности. Причины возникновения мультиколлинеарности
между признаками.
3)
Основное тождество дисперсионного анализа.
Билет №9
1)
Понятие мультиколлинеарности. Способы определения наличия или отсутствия
мультиколлинеарности.
2)
Понятие гомоскедастичности и гетероскедастичности модели. Проверка условия
гомоскедастичности модели.
3)
Основная гипотеза однофакторного дисперсионного анализа.
Билет №10
1)
Требования, при которых регрессионная модель считается адекватной.
2)
Примеры нелинейных моделей регрессии по оцениваемым параметрам и методы их
линеаризации.
3)
Статистические оценки среднего значения и дисперсии отклика в однофакторном
дисперсионном анализе и их свойства.
Билет №11
1)
Проверка соответствия распределения остатков нормальному закону.
2)
Способы отбора факторных признаков в регрессионную модель.
3)
Основная гипотеза однофакторного дисперсионного анализа.
Билет №12
1)
Множественная линейная регрессия. Нахождение неизвестных параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов.
2)
Формулировка теоремы Гаусса-Маркова.
3)
Основная гипотеза однофакторного дисперсионного анализа.
Билет №13
1)
Коэффициент множественной детерминации. Скорректированный коэффициент
детерминации. Проверка значимости уравнения регрессии.
2)
Определение линейной регрессионной модели.
3)
Основная гипотеза однофакторного дисперсионного анализа.
Вариант контрольной работы «Двумерные случайные величины»
Образец и решение типового варианта контрольной работы
Условия заданий.
1. Непрерывная двумерная случайная величина  ,  задана совместной плотностью распределения вероятностей


C x  y 2 , 0  x  2, 0  y  1,
f x, y   
иначе.
 0,
Найти коэффициент C , маргинальные плотности f   x  и f  y  случайных величин  и 
. Зависимы ли случайные величины  и  ?
2. Непрерывная случайная величина

имеет равномерное распределение на отрезке 1, 3 .
Найти плотность распределения функции    2 .
Решение.
1.
Найдем
неизвестный
коэффициент
C
из
условия
1
2

y3 
1

1  C  dx  x  y dy  C   xy   dx  C   x   dx 
3 0
3
0
0
0
0
2
1

2

2
2
 x2 x 
8
3
 C     C ,  C  .
8
 2 30 3
Найдем маргинальные плотности f   x  и f  y  :
f x  



f  x, y dy , f  y  

 f x, y dx .

 f x, y  dxdy  1,
тогда
1
1
3
3
y3 
3x  1
, окончательно получим
f x    x  y 2 dy   xy   
80
8
3 0
8


 3x  1

, 0  x  2,
f x    8
 0,
иначе.
Аналогично


 3 2
y  1 , 0  y  1,
f  y    4
 0,
иначе.
Поскольку равенство f ( x, y )  f  ( x)  f ( y ) не выполняется, то случайные величины  и  зависимы.
2. Функция    2 на отрезке возможных значений случайной величины  монотонна.
Поэтому обратная ей функция    ( )   существует и также монотонна на отрезке
1, 9 (так как 1  x  3 , то 1     2  9 ).
Использую формулу g ( y)  f ( ( y))   ( y) , получаем:
1 1
, 1  y  9,
 
g ( y )   2 2 y
0,
y  1, 9.

Домашняя контрольная работа «Условное распределение»
Образец и решение типового варианта контрольной работы
Условия заданий.
1. Распределение дискретной двумерной случайной величины  ,  задано с помощью таблицы


1
1
1
0,15
0,05
0

0,05
0,15

1
0,1
0,3
2
0,05
0,15
Найти условное математическое ожидание E   2 .
2. Непрерывная двумерная случайная величина  ,  задана совместной плотностью распределения вероятностей


C x  y 2 , 0  x  2, 0  y  1,
f x, y   
иначе.
 0,
Найти:
a)
b)
условную плотность распределения вероятностей случайной величины  ;
условное математическое ожидание E   ;
c)
условную дисперсию D   ;
d)
корреляционное отношение   .
Решение.


1. а) Найдем распределение случайной величины  , 2 :
2

0
1
1
0,05
0,15
1
0,25
0,35
4
0,05
0,15
b) Найдем распределение случайной величины  2 :
2
0
1
4
0,2
0,6
0,2
c) Найдем условные законы распределения случайной величины  :
p
 2  0
pxi 0
2 1
1
1
1
3
4
1
pxi 1
5
12
 2  4
1
pxi 4
4
1
7
12
1
3
4
4
d) Найдем значения условного математического ожидания E   2 :
1



1
3 1
 1  ,
4
4 2


5
7 1
 1  ,
12
12 6


1
3 1
 1  .
4
4 2
E   2  0  E  0  1 
E   2  1  E  1  1 
E   2  4  E  4   1 
Ответ: E  0 
1
1
1
, E  1  , E  4  .
2
6
2
2. а) Найдем C .
 f x, y  dxdy  1, тогда
1
2

y3 
1

1  C  dx  x  y dy  C   xy   dx  C   x   dx 
3 0
3
0
0
0
0
2
1

2

2
2
 x2 x 
8
3
 C     C ,  C  .
8
 2 30 3
Найдем маргинальные плотности f   x  и f  y  .

1
1
3
3
y3 
3x  1
, окончательно получим
f x    x  y 2 dy   xy   
80
8
3 0
8


 3x  1

, 0  x  2,
f x    8
 0,
иначе.
Аналогично


 3 2
y  1 , 0  y  1,
f  y    4
 0,
иначе.
Найдем f y x  .


2

f x, y   3 x  y , 0  x  2, 0  y  1,
f y x 

f x   3x0, 1
иначе.

b) Найдем условное математическое ожидание E   .



3 x  y2
3
E  x    y f  y x  dy   y 
dy 
xy  y 3 dy 

3x  1
3x  1 0

0
1
1


3  y2 y4 
32 x  1
 x

  
.
3x  1  2
4  0 43x  1
1
Тогда E    
32  1
.
43  1
c) Найдем условную дисперсию D   .
 



3 x  y2
3
E  x   y f  y x  dy   y 
dy 
xy2  y 4 dy 

3
x

1
3
x

1

0
0
2
1
2
2
1


1
3  y3 y5 
5x  3
 x   

.
3x  1  3
5  0 53x  1
5 x  3  32 x  1 
60 x 2  44 x  3
 
D x   E  x  E  x  
 
.
2
53x  1  43x  1 
803x  1
 
2
2
2
60 2  44  3
.
Тогда D   
2
803  1
d) Найдем E .



1
3 y2 1
3  y4 y2 
9
E   yf  y  dy   y
dy      .
4
4 4
2  0 16

0
1



1
3 y2 1
3  y5 y3 
2
E   y f  y  dy   y
dy      .
4
4 5
3 0 5

0
1
2
2
2
Найдем D .
D  E  E 
2
2
2
2 9
107
   
.
5  16  1280
Найдем E D   .
E D   

60 x 2  44 x  3 3x  1

dx 
2
8
803x  1
0
2
 D x f x  dx  


1 60 x  44 x  3
1 
5 
dx 
 20 x  8 
 dx 


640 0
3x  1
640 0 
3x  1 

1 
5
1 
5


2
10 x  8 x  ln 3x  1  
 56  ln 7 .
640 
3
3
 0 640 

2
2
2
2
Найдем
  .
   1 
1
1280 1 
5

E D    1 

 56  ln 7   0,118.
D
107 640 
3

Ответ:

a)
b)
c)
d)

3 x  y 2

f  y x    3x  1 , 0  x  2, 0  y  1,

0,
иначе.
32  1
.
E    
43  1
60 2  44  3
D   
.
2
803  1
   0,118.
Контрольная работа «Характеристические функции»
Образец и решение типового варианта контрольной работы
Условия заданий
Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины  , ряд рас  3 1 0 1 3
пределения которой
.
P 0,1 0,1 0,6 0,1 0,1
2.
Найти характеристическую функцию непрерывной случайной величины  , плот1.
 0,
x  2,

ность распределения вероятностей которой f x    1
12 x  3, x  2.
 
Выяснить, является ли функция  t   cos t 4 характеристической.
Решение.
3.
1. Характеристическая функция дискретной случайной величины вычисляется по формуле
 t    eitx  pk .
k
k
Тогда
 t   e 3ti  0,1  e  ti  0,1  0,6  e ti  0,1  e 3ti  0,1 
 e 3ti  e 3ti 
 e ti  e ti 
  0,2
  0,6  0,2cos 3t  cos t   0,6.
 0,2
2
2 



Ответ:  t   0,2cos 3t  cos t   0,6.
2. Характеристическая функция непрерывной случайной величины вычисляется по формуле

 t    eitx  f  x dx.

Тогда имеем
2
 u  x  3, du  dx 
1
itx



e

x

3
dx

1 itx  
itx
12 2
dv  e , v  e 
it


 t  
2
2
1  x  3 itx
1 itx  1  itx  x  3 1 
 
e
  e dx   e 
 2  
12  it
it 2
t  2
2
 12   it
2



1
i
5e 2it  e 2it  2 sin 2t.
12it
6t
Ответ:  t  


1
i
5e 2it  e 2it  2 sin 2t.
12it
6t
3. Поскольку условия:  t  – непрерывная функция,  t   1 и  0   1 для функции
 t   cost 4  выполняются, то в предположении, что  t  – характеристическая функция
случайной величины с конечным математическим ожиданием и дисперсией, дважды продифференцируем  t  .
 t    4t 3 sin t 4 t 0  0 и  t    12t 2 sin t 4   16t 6 cost 4 t 0  0 .
С другой стороны
 0  iE ,  0   E 2 , откуда получим E  0 , D  0 .
Однако случайная величина с нулевой дисперсией является постоянной величиной
  Const , и ее характеристическая функция равна  t   eitConst . Таким образом, пришли
 
к противоречию, следовательно, функция  t   cos t 4 характеристической не является.
Контрольная работа «ЦПТ. Цепи Маркова»
Образец и решение типового варианта контрольной работы
Условия заданий
1.
Контрольная работа по теории вероятностей состоит из трех заданий. Первое задание оценивается на 6 баллов, второе на 10 баллов и последнее – 4 балла. Вероятность того,
что студент специальности КБ решит правильно первое задание, равна p1  0,6 ; второе –
p2  0,5 ; третье – p3  0,9 . Какова вероятность того, что средний балл за контрольную
работу в потоке из 60 человек будет меньше 13?
2.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,002. Цель уничтожается
при условии двух и более попаданий. Найти вероятность уничтожения цели, если произведено 1000 независимых выстрелов.
3.
Охарактеризовать цепь Маркова (классифицировать состояния и цепь Маркова),
1 
 0
0 1

2
2
 0 1
0 1 
3
3.
матрица переходных вероятностей которой равна 
1
1
1 
1
4
4
4
 4
0
1
0
0


4.
Эргодична ли цепь Маркова, матрица переходных вероятностей которой имеет вид
 1
0
0 

1
0 1 ?
2
 2
1
1 
1
3
3
 3
Решение.
1. Случайная величина  k
k  1, 60 – количество баллов, полученных за контрольную
работу студентом специальности КБ.  k  – последовательность независимых, одинаково
распределенных случайных величин. Составим ряд распределения этой случайной величины и найдем ее числовые характеристики – математическое ожидание E k  a  и среднее квадратическое отклонение k    .
P k  0  q1  q2  q3  0,02 ;
P k  4  q1  q2  p3  0,18 ;
P k  6  p1  q2  q3  0,03 ;
P k  10  q1  p2  q3  p1  q2  p3  0,29 ;
P k  14  q1  p2  p3  0,18 ;
P k  16  p1  p2  q3  0,03 ;
P k  20  p1  p2  p3  0,27 .
k
P
0
0,02
4
0,18
6
0,03
10
0,29
14
0,18
16
0,03
20
0,27
E k  a   xi  pi  12,2 ;
i
k    D k  E k2  E 2 k  35,08  5,923 .
Используя центральную предельную теорему, найдем вероятность того, что средний балл за контрольную работу в потоке будет меньше 13.
 n

   k  an

n
1

13  n  an 
 13  n  an 
k 1

P   k  13   P

 

  n
 n 
  n 
 n k 1





 1,046  0,85.
1 n

Ответ: P   k  13   0,85.
 n k 1

2. Поскольку число испытаний (количество независимых выстрелов) n  1000 достаточно
велико, вероятность успеха (попадание в цель) p  0,001 достаточно мала ( npq  10 ), то
для вычисления вероятности хотя бы двух попаданий в цель воспользуемся приближенной формулой Пуассона:
PS n  k  
k  e  
k!
.
Тогда имеем
PS1000  2  1  PS1000  0  PS1000  1 
 20  e 2 21  e 2 
 1 

 0,592.
1! 
 0!
Ответ: 0,592.
3. Цепь Маркова состоит из четырех состояний, 2, 4 – поглощающее множество состояний, состояния 1 и 3 несущественные. Цепь не является неприводимой (разложимой), непериодическая.
4. Конечная цепь Маркова эргодична тогда, когда она неприводима и непериодична. Данная же цепь Маркова неэргодична, поскольку цепь не является неприводимой и периодической – состояние 1 поглощающее.
Индивидуальное задание №1 (линейная регрессия)
Имеются следующие выборочные данные – выборка 20% случайная бесповторная.
Среднедушевые денежные доходы населения и среднедушевой оборот розничной торговли по городам региона (месяц/ руб.)
Среднедушевой денежный
Среднедушевой оборот роз№ города
доход
ничной торговли
1
3357
2425
2
3135
2050
3
2842
1683
4
3991
2375
5
2293
1167
6
3340
1925
7
3089
1042
8
4372
2925
9
3563
2200
10
3219
1892
11
3308
2008
12
3724
2225
13
3416
1983
14
3022
2342
15
3383
2458
16
4267
2125
Построить уравнение регрессии, оценить его адекватность и точность, сделать выводы.
Индивидуальное задание №2 (нелинейная регрессия)
Изучается зависимость стоимости одного экземпляра книг (руб. Y ) от тиража (тыс. экземпляров X ) по следующим данным:
1
2
3
5
1
2
3
5
X
9,10
5,30
4,11
2,83
2,11
1,62
1,41
1,30
Y
Сделайте предположение о характере зависимости. Постройте модели, выберите лучшую, оцените значимость коэффициентов регрессии. Проверьте модель на адекватность и
найдите ее точность.
Вопросы для зачета
1.
Многомерная случайная величина, совместная функция распределения. Свойства
двумерной функции распределения.
2.
Дискретные двумерные величины, закон распределения.
3.
Непрерывные двумерные случайные величины, совместная плотность распределения, свойства. Критерий независимости случайных величин.
4.
Функции от одномерной случайной величины. Скалярные функции от случайного
векторного аргумента. Формула свертки.
5.
Ковариация случайных величин, свойства, ковариационная матрица.
6.
Коэффициент корреляции случайных величин, свойства, корреляционная матрица.
7.
Условное распределение случайных величин. Критерий независимости случайных
величин.
8.
Условное математическое ожидание, свойства, линия регрессии.
9.
Условная дисперсия, свойства.
10.
Корреляционное отношение, свойства.
11.
Характеристическая функция, свойства. Характеристические функции известных
распределений.
12.
Формула обращения. Теорема непрерывности.
13.
Центральная предельная теорема.
14.
Цепи Маркова. Основные характеристики и свойства цепей Маркова.
15.
Классификация состояний и цепей.
16.
Понятие корреляционной зависимости между переменными.
17.
Этапы проведения корреляционного анализа.
18.
Этапы проведения регрессионного анализа.
19.
Парный коэффициент корреляции. Проверка значимости парного коэффициента
корреляции.
20.
Метод наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров уравнения
парной линейной регрессии.
21.
Определение линейной регрессионной модели.
22.
Определение нормальной регрессионной модели.
23.
Понятие гомоскедастичности и гетероскедастичности модели.
24.
Формулировка теоремы Гаусса-Маркова.
25.
Проверка значимости коэффициентов (параметров) регрессии.
26.
Проверка значимости уравнения регрессии.
27.
Требования, при которых регрессионная модель считается адекватной.
28.
Проверка требования случайного характера остатков.
29.
Проверка равенства нулю мат. ожидания остатков.
30.
Проверка условия гомоскедастичности модели.
31.
Проверка отсутствия автокорреляции регрессионной модели.
32.
Проверка соответствия распределения остатков нормальному закону.
33.
Индекс корреляции. Проверка значимости уравнения регрессии.
34.
Коэффициент детерминации. Проверка значимости уравнения регрессии.
35.
Определение меры точности модели.
36.
Примеры нелинейных моделей регрессии по включенным переменным и методы их
линеаризации.
37.
Примеры нелинейных моделей регрессии по оцениваемым параметрам и методы их
линеаризации.
38.
Множественная линейная регрессия. Нахождение неизвестных параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов.
39.
Коэффициент множественной детерминации. Скорректированный коэффициент
детерминации. Проверка значимости уравнения регрессии.
40.
Понятие мультиколлинеарности. Причины возникновения мультиколлинеарности
между признаками.
41.
Понятие мультиколлинеарности. Способы определения наличия или отсутствия
мультиколлинеарности.
42.
Способы отбора факторных признаков в регрессионную модель.
43.
Задачи и содержание дисперсионного анализа.
44.
Основная гипотеза однофакторного дисперсионного анализа.
45.
Основное тождество дисперсионного анализа.
46.
Проверка основной гипотезы однофакторного дисперсионного анализа.
47.
Статистические оценки среднего значения и дисперсии отклика в однофакторном
дисперсионном анализе и их свойства.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку
Таблица 6.
Баллы
0 – 60
61 – 100
Неуспевающие студенты должны сдать зачет.
Зачет
Не зачтено
Зачтено
Билеты для зачета включают: один теоретический вопрос по курсу дисциплины и
три практических задачи.
Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
5 баллов ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике, указанной в билете.
При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа
при условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно делает необходимые уточнения и дополнения.
4 балла ставится в случае, если
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
3 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах экзаменатора были частично исправлены;
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата
и терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
2 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить
даже с помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
1 балл ставится в случае, если:
- хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна;
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом
они частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос.
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Критерии оценивания решения практической задачи:
5 баллов ставится в случае, если решение содержит
- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;
- развернутые ответы и грамотные комментарии,
- правильно используется терминология и математические символы.
При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе решения.
4 балла ставится в случае, если
- решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на
дальнейшее решение;
- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и переходов от одного этапа решения к другому;
- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном решении.
3 балла ставится в случае, если:
- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;
- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.
- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует
постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.
2 балла ставится в случае, если:
- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но
этапы решения содержали существенные ошибки.
1 балл ставится в случае, если:
- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из
этапов выполнен верно;
- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один
из этапов не был выполнен правильно;
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Шкала перевода экзаменационных баллов в оценку
Таблица 7.
Баллы
0-8
9-20
Зачет
Не зачтено
Зачтено
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения
запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют
пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике,
программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка
выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение
навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую активность.
Таблица 8.
Количество часов
Тема
1.3. Условное распределение. Условные числовые характеристики
Лекции
Семинарские
(практические)
занятия
Форма проведения
2
Решение задач в малых группах.
1.4. Характеристические функции.
Характеристические
функции известных
распределений
2.2. Цепи Маркова
2.5. Проверка адекватности и точности
уравнения регрессии
3.1.Нелинейная регрессия и корреляция
Составление студентами задач по
изучаемой теме
1
Решение задач в малых группах.
Лекция с запрограммированными
ошибками.
2
3.3.Основы дисперсионного анализа
Итого
1
2
1
Составление студентами задач по
изучаемой теме
1
Проведение устного опроса в виде
взаимопроверки студентов.
6
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / К.В.
Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. - 2-е изд. - М.: Дашков и Ко, 2014. - 473 с.: [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=253787(дата
обращения 10.10.2014).
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие
для бакалавров. 12-е изд.. - Москва: Юрайт, 2012. - 479 с.
12.2Дополнительная литература:
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: учебник / Б.В. Гнеденко – М.: Либроком, 2011.- 488 c.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб.пособие / В.Е. Гмурман. – М.: Юрайт, 2011. - 404 c.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие. 11-е изд., перераб. - Москва: Высшее образование, 2009.
– 404с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие
для студ. вузов/ В. Е.Гмурман. - 12-е изд., перераб.. - Москва: Высшее образование, 2007. 479 с.
5. Кельберт, М.Я. Вероятность и статистика в примерах и задачах / М.Я. Кельберт,
Ю.М. Сухов; пер. Л. Сахно, В. Кнопова, Ю. Мишура. - М.: МЦНМО, 2010. - Т. 1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики. - 486 с. [Электронный
ресурс]. - Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=69109 (дата обращения: 10.10.2014).
6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / Н.Ш.
Кремер.– М.: Юнити-Дана, 2007. - 551 с.
7. Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для студ.
вузов, обуч. по эконом. спец./ В. А. Колемаев, В. Н. Калинина. - 3-е изд., перераб. и доп.. Москва: КноРус, 2009. - 384 с.
8. Пыткеев Е.Г., Хохлов А.Г. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебное пособие, Тюм. гос. ун-т. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2012. - 536 с.
9. Сапожникова А.В., Кузнецова Н.Л. Теория вероятностей: учебно-методическое
пособие для студентов очной формы обучения направлений 230400.62 "Информационные
системы и технологии", 230700.62 "Прикладная информатика (в экономике)", 010500.62
"Математическое обеспечение и администрирование информационных систем"; Тюм. гос.
ун-т, Ин-т мат. и компьютерных наук, Каф. мат. анализа и теории функций. - Тюмень:
Изд-во ТюмГУ, 2013. - 80 с.
12.3Интернет-ресурсы:
1. http://teorver-online.narod.ru/ (А.Д.Манита, МГУ, Интернет-учебник «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов естественных факультетов)
2. http://www.ksu.ru/infres/volodin/ (И.Н.Володин, Казанский ГУ, лекции по теории вероятностей и математической статистике)
3. http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/tv/examples.asp (Примеры решения
типовых задач курса теории вероятностей, решенные в среде математического пакета
Mathcad)
4. http://dfe3300.karelia.ru/koi/posob/PT/ (Web-версия учебного курса «Теория вероятностей»)
5. http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm (Электронный учебник по статистике.Москва, StatSoft, Inc.)
6. http://www.astro.spbu.ru/staff/nsot/Teaching/tver/zadachi.html (Первоапрельский задачник
по теории вероятностей)
7. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/probability.htm (Книги по теории вероятностей и математической статистике).
8. Единое окно доступа к образовательным ресурсам
http://window.edu.ru/window/library
9. Сайт, посвященный математике и математикам http://math.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)
Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
 микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях с многочисленными группами студентов).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях, оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Дополнительные главы теории вероятностей и математической статистики» содержит 3 модуля. Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность по отношению к установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а непрерывно складываются на протяжении одного семестра. Комплексность означает учет всех
форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине.
Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Опросы проводятся на семинарах по содержанию лекционного материала, а также
по базовым знаниям, полученным на практических занятиях.
Промежуточный контроль – это проверка знаний студентов по разделу программы,
проводится в виде регулярных контрольных мероприятий. В разделе 10.3 данного УМК
приведены списки контрольных мероприятий вместе с примерными вариантами контрольных. Прорешивая указанные варианты, студент выявляет пробелы в знаниях, которые имеет возможность восполнить, обращаясь с вопросами к преподавателю в консультационные часы. Образцовые решения основных задач контрольных мероприятий можно
найти в учебных и методических изданиях [7] раздела 12.2.
Итоговый контроль по дисциплине – это проверка уровня учебных достижений
студентов по всей дисциплине за семестр.
Форма контроля – итоговая работа, содержащая задания по всем разделам семестра. Образцы контрольных работ приведены в разделе 10.3.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Полученное суммарное количество баллов в конце каждого семестра переводится в оценку. Шкала перевода приведена в разделе 10.4 в таблице 6. В этом же разделе можно найти информацию о том, что происходит в тех случаях, если студент не доволен полученной оценкой либо его работа и знания за семестр признаны «неудовлетворительными».
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной
работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические задания. Результаты решения задач, а также возникшие при решении трудности студент может
обсудить с преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.