08-11-01

Тема 11. Центральные и вписанные углы
Цель главы - изучить свойства центральных и вписанных углов, продемонстрировать
широкие возможности применения теоремы об измерении величины вписанного угла.
Вы изучите свойства центральных и вписанных углов в окружности, узнаете, как с
помощью дуг окружности измеряются углы, какими свойствами обладают вписанные в
окружность четырехугольники, хорды, касательные и секущие.
08-11-01. Центральные углы
1. Рассмотрим окружность S . Две различные точки A и B этой окружности
разбивают ее на две дуги. Для того чтобы различать дуги окружности с одинаковыми
концами, будем при обозначении дуги использовать стоящую на ней промежуточную
точку, а саму дугу обозначать с помощью знака . Так, на рисунке 1 можно рассмотреть
две дуги с концами A и B :
ACB и AMB
Когда точки A и B диаметрально противоположны, обе образующиеся дуги равны и
являются полуокружностями. Когда точки A и B не диаметрально противоположны,
одна из образующихся дуг меньше полуокружности, а другая — больше
полуокружности. Для удобства меньшую из дуг можно обозначать, указывая только
концы этой дуги. Например, дугу ACB на рисунке 1 можно обозначить как AB .
2. Центральный угол.
Рассмотрим окружность S с центром O . Каждый угол с вершиной O , образованный
двумя различными лучами, пересекает окружность S в двух различных точках, а
поэтому разбивает окружность на две дуги. Тем самым одному углу с вершиной O
соответствует две дуги окружности с центром O . Для того, чтобы получить однозначное
соответствие между такими углами и дугами окружности, будем рассматривать угол
вместе с одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость.
Например, угол AOB , изображенный на рисунке 2, разбивает плоскость на две части.
Одна из этих частей изображена на рисунке 3, а другая — на рисунке 4.
Пусть дана окружность с центром O . Центральным углом этой окружности
называется фигура, образованная двумя лучами с вершиной O и одной частью
плоскости, ограниченной этими лучами.
Каждому центральному углу окружности соответствует единственная дуга, которую
содержит этот угол.
3. Мера центрального угла.
Для центральных углов можно определить градусную меру таким образом, чтобы
сохранялось следующее свойство.
Если центральный угол AOB составлен из двух углов AOC и COB , то градусная
мера угла AOB равна сумме градусных мер углов AOC и COB .
Для этого рассмотрим два случая.
Первый случай. Пусть центральный угол AOB лежит в одной из полуплоскостей с
границей OA (рисунок 5). В этом случае градусная мера центрального угла равна
определенной в предыдущих классах градусной мере угла AOB , которая принимает
одно из значений от 0
до 180 . Градусную меру центрального угла
AOB будем также называть величиной центрального угла и обозначать либо
AOB либо AOB .
Второй случай. Пусть стороны угла AOB являются противоположными лучами
одной прямой. Тогда центральный угол представляет собой полуплоскость (рисунок 6).
По определению градусная мера такого угла равна 180 .
Третий случай. Пусть прямая OA разбивает центральный угол AOB на две части:
полуплоскость с границей AOC и центральный угол COB (рисунок 7). Так как
центральный угол COB лежит в одной полуплоскости с границей OC , то его величина
определена из первого случая. Градусную меру рассматриваемого центрального угла
AOB определим как сумму 180  COB , то есть
AOB  180  COB
Четвертый случай. Для удобства всю плоскость также рассматривают как один из
центральных углов окружности и называют полным углом. Полному углу соответствует
вся окружность. Так как полный угол можно составить из двух полуплоскостей, границы
которых проходят через центр окружности, то градусную меру полного угла определяют
равной 180  180  360 .
4.* Докажем, что определенная в предыдущем пункте градусная мера центральных
углов обладает основным свойством градусной меры.
Пусть центральный угол AOB составлен из углов AOC и COB .
Первый случай. Пусть AOB  180 . Тогда угол AOB лежит в одной полуплоскости с
границей OA и составлен из углов AOC и COB (рисунок 9). В данном случае равенство
AOB  AOC  COB является основным свойством градусной меры углов и
принимается без доказательства, в качестве аксиомы.
Второй случай. Пусть AOB  180 , но AOC  180 и COB  180 . Проведем
прямую OA и обозначим вторую точку ее пересечения с окружностью через M
(рисунок 10). Как следует из первого случая, COB  COM  MOB и AOC 
COM  180 .
Поэтому
AOC  COB  AOC  COM 
MOB  180  MOB  AOB .
Третий случай. Пусть AOB  180 и AOC  180 . Проведем прямую OA и
обозначим вторую точку ее пересечения с окружностью через N (рисунок 11). Как
следует из первого случая, NOC  COB  NOB . Поэтому
AOC  COB  180  NOC  COB 
 180  NOB  AOB
Четвертый случай. Пусть AOB   180 и COB  180 . Этот случай аналогичен
предыдущему, если вместо прямой OA провести прямую OB (рисунок 12).
5.* Равенство центральных углов, соответствующих центральным дугам.
Рассмотрим окружность S . Каждому центральному углу соответствует дуга
окружности, которую содержит этот угол.
Докажем, что равным центральным углам соответствуют равные дуги окружности S .
Доказательство. Пусть центральный угол AOB равен центральному углу COD . Это
значит, что найдется перемещение плоскости, которое точку O переводит в себя, пару
лучей OA и OB переводит в пару лучей OC и OD , а часть плоскости, ограниченную
лучами OA и OB , переводит в часть плоскости, ограниченную лучами OC и OD . При
этом перемещении окружность S переходит в окружность того же радиуса с центром в
той точке, в которую переходит центр O . Но так как точка O переходит в себя, то и
окружность S также переходит в себя. Поэтому при указанном перемещении часть
окружности S , лежащая внутри центрального угла AOB , переходит в часть окружности
S , лежащую внутри центрального угла COD . Но эти части и есть дуги,
соответствующие центральным углам AOB и COD . Следовательно, эти дуги равны.
6.* Равенство дуг окружности, соответствующих равным центральным углам.
В предыдущем пункте мы доказали, что равным центральным углам соответствуют
равные дуги. Справедливо также обратное утверждение:
равным дугам окружности S соответствуют равные центральные углы.
Доказательство. Пусть дуга ACB равна дуге MLN . Это значит, что существует
перемещение, при котором первая дуга переходит во вторую. Пусть при этом
перемещении точка A переходит в точку M , точка B переходит в точку N , а точка C
переходит в точку L . Тогда серединные перпендикуляры a и b к хордам AC и CB
переходят в серединные перпендикуляры m и n к хордам ML и NL (рисунок 14).
Отсюда следует, что точка O пересечения прямых a и b переходит в эту же точку O
как точку пересечения прямых m и n . Значит, при указанном перемещении луч OA
переходит в луч OM , луч OB переходит в луч ON , а часть плоскости, ограниченная
лучами OA и OB и содержащая точку C , переходит b часть плоскости, ограниченную
лучами OM и ON и содержащую точку L . Следовательно, центральный угол AOB
переходит в центральный угол MON .
7. Угловая мера дуги. Измерение центрального угла с помощью дуг.
Пусть дана окружность S . Определим для каждой дуги этой окружности угловую
меру.
Угловой мерой дуги окружности называется величина соответствующего
центрального угла.
Из определения величины центрального угла следует:
1) угловая мера полуокружности равна 180 ;
2) угловая мера дуги, меньшей, чем полуокружность, меньше 180 ;
3) угловая мера дуги, большей, чем полуокружность, больше 180 ;
4) угловая мера всей окружности равна 360 .
Равным дугам соответствуют равные центральные углы, поэтому угловая мера
равных дуг окружности одинакова.
Важно заметить, что угловая мера дуги отличается от длины этой дуги. На рисунке 16
угловые меры дуг KL и AB .
8. Равенство хорд одной окружности, которые стягивают равные дуги.
Рассмотрим соответствие между хордами и дугами окружности.
Пусть AB — хорда окружности S , не являющаяся диаметром. Тогда эти хорды
соединяют концы двух дуг окружности S . Будем говорить, что хорда AB стягивает
меньшую дугу окружности S с концами A и B . Например, на рисунке 17 хорда AB
стягивает дугу ACB .
В том случае, когда хорда AB является диаметром окружности S , обе дуги с
концами A и B — полуокружности. В этом случае можно считать, что хорда AB
стягивает любую из этих полуокружностей.
Докажем следующее утверждение.
Равные хорды одной окружности стягивают равные дуги.
Доказательство.
AB и CD равны и AB является диаметром. Тогда  AB  2 R , где R — радиус
окружности. Так как  CD  AB  , то  CD  2 R , а поэтому хорда CD также является
диаметром. Поэтому диаметры AB и CD стягивают полуокружности, а значит
стягивают равные дуги.
Второй случай. Пусть хорды AB и CD не являются диаметрами. Рассмотрим
треугольники AOB и COD (рисунок 18). Так как AB  CD и AO  BO  CO 
 DO , то эти треугольники равны. Поэтому AOB  COD .
Рассмотрим центральный угол AOB , содержащий хорду AB (рисунок 19). Этот
центральный угол меньше 180 и содержит меньшую из дуг с концами A и B , то есть
хорда AB стягивает дугу, соответствующую рисунку 19. Аналогично получаем, что
меньшая из дуг с концами C и D соответствует центральному углу СОD на рисунке 20.
Так как AOB  COD , то отсюда получаем равенство дуг, стягиваемых хордами AB и
CD .
9. Рассмотрим две параллельные хорды AB и CD окружности S (рисунок 21).
Проведем через центр окружности прямую m , перпендикулярную как к AB , так и к
CD , и пересекающую хорду AB в точке M , а хорду CD в точке N . По свойству
диаметра, перпендикулярного к хорде, получаем, что AM  MB , CN  ND .
Следовательно, при симметрии относительно прямой m точка A переходит в точку B ,
точка C переходит в точку D . Но так как при этой симметрии окружность переходит в
себя, то дуга AC переходит в дугу BD . Следовательно, дуги AC и BD симметричны
относительно прямой, а значит равны.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
Пример 1. Рассмотрим трапецию PQRS , вписанную в окружность (рисунок 21). Так
как основания QR и PS трапеции являются параллельными хордами окружности, то
дуги PQ и RS этой окружности равны. Поэтому из пункта 1.7 следует, что хорды PQ и
RS равны. Таким образом, боковые стороны трапеции PQRS равны, а значит трапеция
равнобедренная.
Контрольные вопросы
1. Что такое дуга окружности?
2. Как определяется равенство двух дуг одной окружности?
3. Как определяется центральный угол?
4. В каком случае центральный угол является выпуклым, а в каком — невыпуклым?
5. Как определяется градусная мера центрального угла?
6. Сформулируйте основное свойство градусной меры центральных углов.
7. Докажите основное свойство градусной меры центральных углов.
8. Сформулируйте основное свойство, отражающее связь между центральными углами и
дугами окружности.
9. Какие перемещения можно использовать при доказательстве утверждений о
центральных углах и дугах одной окружности?
10. Как определяется угловая мера дуги окружности?
11. Что означают слова «хорда стягивает дугу»?
12. Сформулируйте и докажите основное свойство хорд и стягиваемых ими дуг.
13. Сформулируйте и докажите свойство параллельных хорд окружности.
Задачи и упражнения
1. На бумаге нарисована дуга окружности. С помощью циркуля и линейки восстановите ее
центр.
2. В круге радиуса R даны два взаимно перпендикулярных диаметра и произвольная точка
окружности спроектирована на эти диаметры. Найдите расстояние между проекциями
этой точки.
3. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые
удалены от центра на 6 и 10. Определите длину хорд.
4. С помощью линейки начертите угол, равный данному и имеющий с ним общую
вершину.
5. Постройте прямоугольник по радиусу описанной около него окружности и углу между
диагоналями.
6. Выразите в градусах, минутах и секундах центральный угол, соответствующий
следующей части окружности:
а)
ж)
н)
1
27
;
з) 23 ;
и) 94 ;
к)
7
27
;
д)
л)
11
12
;
о)
п)
р)
109
144
;
с)
1
8
;
б) 34 ;
в)
;
г)
27
32
;
13
24
;
5
16
17
72
;
11
16
;
1
;
34
1
1000
;
е)
3
32
;
м)
5
6
;
т) 0,136.
7. Выразите с точностью до секунды центральный угол, соответствующий следующей
части окружности:
3 12
а) 115б); 14в)
; 17 .
8. Большое колесо зубчатой передачи имеет 72 зубца. Сколько градусов окружности
колеса занимает один зубец колеса вместе со впадиной?
9. Меньшее колесо зубчатой передачи имеет 24 зубца. Сколько градусов содержит дуга,
занимаемая одним зубцом колеса вместе со впадиной?
10. Какую часть оборота сделает большее колесо с 72 зубцами, когда сцепленное с ним
меньшее колесо, имеющее 24 зубца, сделает:
а) один оборот; б) половину оборота; в) 5 оборотов?
11. Сколько градусов содержит угол между двумя спицами колеса (не обязательно
соседними), если по колесу равномерно распределены:
а) 18 спиц; б) 36 спиц; в) 16 спиц;
г) 32 спицы?
12. Составьте формулу для величины угла от часовой до минутной стрелки, который
отсчитывается по ходу часовой стрелки, в зависимости от показаний времени суток.
13. Постройте угол, равный данному.
14. Постройте угол:
а ) в 60 ;
е) в 15 ;
б) в 75 ;
ж) в 30 ;
в) в 125 ;
з) в 45 ;
г) в 135 ;
и) в 120
д) в 150 ;
.
15. Проверьте правильность построения с помощью транспортира.
16. Постройте угол, равный сумме двух заданных острых углов.
17. Постройте угол, равный сумме трех заданных острых углов.
18. Постройте угол, равный разности двух заданных острых углов.
19. По данным сумме и разности двух углов постройте эти углы.
20. Данный острый угол, меньший 60 , увеличьте в три раза.
21. Данный острый угол, больший 60 , увеличьте в три раза.
22. Данный тупой угол, меньший 180 , увеличьте вдвое.
23. Данный тупой угол, меньший 120 , увеличьте втрое.
24. Данный острый угол увеличьте в четыре раза.
25. Разделите данный угол:
а) на 2 части;
в) на 8 частей;
б) на 4 части;
г) на 16 частей.
26. Угол между двумя радиусами содержит 102 37  . Определите угол между
касательными, проведенными в концы этих радиусов. Хорда делит окружность на две
дуги, отношение которых равно 11:16. Определите угол между касательными,
проведенными в концах этой хорды.
27. Окружность разделена на три дуги, отношение длин которых равно 5:9:10. Через точки
деления к окружности проведены касательные. Определите углы в треугольнике с
вершинами в точках пересечения касательных.
28. Хорда AB окружности составляет с радиусом OA угол 37 23  . Чему равна угловая
мера дуги, стягиваемой хордой AB ?
29. Дуга окружности в 117 17  стягивается хордой AB . Чему равен угол между хордой
AB и продолжением радиуса OA за точку A ?
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 1. Указание. Можно построить серединные перпендикуляры к двум
непараллельным хордам окружности и найти точку пересечения этих прямых.
Задача 4. Указание. Надо продолжить стороны угла.
Задача 10. Указание. При перемещении большого колеса на один зубец угол
поворота составляет 721 часть полной окружности. Отсюда следует, что если малое
колесо перемещает большое колесо на n зубцов, то угол поворота соответствует  360
72  n 
градусов.
Задача 12. Указание. Пусть m — время суток, отсчитываемое в минутах. Тогда
угол с учетом полных поворотов, который проходит минутная стрелка, в градусах равен
360
60  m  6m . Аналогично угол с учетом полных поворотов, который проходит часовая
m
m
стрелка, в градусах равен 360
12  60  2 . Чтобы получить ответ на вопрос задачи, нужно из
разности
 6m  m2 
удалить целое число полных поворотов. Для этого нужно
использовать функцию [ x ] (целая часть x ). Искомый угол в градусах равен
11m
11
2  m 
 2360  360 .
Задача 26. Указание. Меньший из центральных углов, соответствующих данной
хорде, равен 11
и больше 90 . Поэтому угол между касательными равен
27  360
100
1
180  11
27  360   3   33 3 .
Задача 27. Указание. Соединив центр окружности с точками деления, получим три
центральных угла, равные 245  360 , 249  360 , 10
24  360 . Углы треугольника равны углам,
дополняющим найденные углы до 180 .