Теория однородных нестационарных сред

УДК 531.16
ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕД
(НЕГРАВИТИРУЮЩИЕ СРЕДЫ)
Юровицкий В.М., Российский государственный социальный
университет, Москва
Рассматривается новый объект механики ─ однородные нестационарные среды. В данной работе
рассматриваются негравитирующие среды свободных тел. Выводятся критерии однородности
нестационарных сред. Показывается, что важнейшим критерием однородности является хаббловское
распределение скорости. Рассматриваются среды трех, двух и одной размерности. Показывается
возможности применения данной теории к описанию и исследованию макровзрывных процессов. Получены
выражения для предельные скоростей взрывных фронтов. Обнаружены неизвестные, повидимому,
механизмы взрыва прецессирующих тел вдоль оси прецессии.
Ключевые слова: однородная нестационарная среда, хабблиан, одно-, двух- и трхмерные среды,
негравитирующая среда, свободное тело, вращение, прецессия, взрыв, фазы взрыва
Однородные среды наиболее часто встречающийся и используемый физический
объект. Это газ, жидкость, твердые тела и т.д. Но это все есть стационарные среды. В них
характеристики всех элементов среды одинаковые. Но есть и другой класса однородных
сред, которые мы назовем нестационарными средами. В этих средах значение
характеристик среды в разных местах среды разное.
Но тогда что же в них однородное?
Однородность этого класса сред является нестационарной. Это означает, что
характеристика сред различна в различных точках пространства, но они одинаковы для
любого наблюдателя, связанного со средой. Например, пусть мы имеем распределение
скоростей среды в системе отсчета, связанного с элементом среды (средовым
наблюдателем). Перейдем к другому средовому наблюдателю,. т.е. наблюдателю,
связанному с другим элементом среды. Если распределение скоростей и иных
характеристик среды в системе отсчета нового наблюдателя совпадает с распределением
этих же характеристик предыдущего наблюдателя, то мы будем говорить об однородной
нестационарной среде.
Критерии нестационарной однородности сред
Рассмотрим текучую среду, в которой скорость течения элементов среды зависит
линейно от расстояния:.


v  Hr .
(1)


где v ─ скорость точек среды, r ─ радиус-вектор среды, H ─ линейный коэффициент,
H  0. Этот коэффициент назовем хабблианом1. Хабблиан может быть функцией
времени, т.е. H  H (t ).
Покажем, что это распределение скоростей является кинематически однородным.
Пусть мы имеем некоторую систему тел с линейным распределением скорости



движения частиц v  Hr с хабблианом H. Пусть имеется точка с координатой r0 , скорость



которой v0  Hr0 . Перейдем в систему отсчета с началом в точке r0 . Тогда в новой

системе отсчета новая координата произвольной точки r ' будет связана со старой ее

  
r
координатой
соотношением:
и
ее
скорость
r   r  r0
  


 

v   v  v0  Hr  Hr0  H (r  r0 )  Hr . Итак, мы видим, что в новой системе отсчета
распределение скоростей не отличается от распределения скоростей в первичной системе
отсчета.
Второй критерий нестационарной однородности есть критерий вещественной
однородности. Так как вещество в механике характеризуется массой, то это означает, что
плотность массы должна быть одинакова во всем пространстве, т.е.   0. Однако, она
тоже может зависеть от времени    (t ).
Однородная трехмерная нестационарная среда
Рассмотрим
однородную
негравитирующую
невзаимодействующую
нестационарную систему тел. Наличие (электромагнитного) взаимодействия однозначно
нарушает однородность среды.
Среда состоит из невесомых тел. Поэтому уравнение движения тел в такой системе
есть:

v  0.
(2)
Это уравнение субстанционального движения, т.е. движения одной частицы. Но при
рассмотрении движения сред гораздо интереснее конвенциональное движение, т.е.
движение частиц через данную точку пространства с течением времени. Для
конвенциональной скорости имеем уравнение:

 
dv v (r , t )  

 (v  )v  0
dt
t
Подставляя выражение для скорости из (1), получаем:
В честь знаменитого американского астронома Эдвина Пауэлла Хаббла (1889 -1953), впервые
экспериментально обнаружившего среду с линейной зависимостью скорости от расстояния.
1






 ( Hr )
 ( Hr ) Hr  H r  H 2 r  ( H  H 2 )r  0.
t
(3)
Окончательно получаем уравнение для хабблиана:
H  H 2  0.
Второе
уравнение,
которое
необходимо
(4)
использовать,
есть
уравнение
неразрывности, которое выражает закон сохранения массы:


 div( v )  0.
t
Подставляя значение скорости (1), получаем
 1  2

(r Hr )    3H  0.
t r 2 r
Окончательно получаем полную систему уравнений для трехмерной однородной
нестационарной негравитирующей среды с невзаимодействующими друг с другом
элементами:
  3Н ;
H   H 2 .
(5)
Анализируем систему (5). Из второго уравнения следует:
1
H   C.
t
Константу С полагаем равной 0. Т.е. начало процесса отнесем ко времени t=0. В
начальный момент имеем сингулярность. Но мы покажем далее, что это устранимая
сингулярность.
Подставляя значение хабблиана в первое уравнение системы (5), получаем для
плотности:

A
.
t3
Итак, полное решение системы (5) есть:
A
;
t3
1
H .
t

(6)
Проверим, действительно ли наше решение описывает поток частиц с постоянной
скоростью. Для скорости имеем


 r
v  Hr  .
t
Это соотношение можно интепретировать и как субстанциональнгое, т.е. как
 
отношение r  v t , уравнение движения частицы с постоянной скоростью.
Однородная нестационарная негравитирующая среда может явиться достаточно
адекватной моделью макровзрыва в свободном пространстве в инерциальной системе
отсчета. Такой взрыв, например, твердого взрывчатого вещества происходит в две стадии:
1.
Преобразование
однородного
взрывчатого
вещества
в
однородную
нестационарную среду (инициация взрыва).
2.
Расширение (разлет) нестационарной среды.
Первая фаза есть предмет физики взрыва и этой фазе посвящено Большое
количество исследований и научных работ. Второй этап есть предмет механики взрыва.
Наконец, на практике взрыв используется для осуществления определенных действий в
окружающем пространстве, являющиеся результатом воздействия нестационарной
системы на окружающее пространство, что явится уже предметом техники взрыва.
Третьей фазе посвящено также громадное количество научных и практических
исследований. Но вторая фаза, которая в той или иной степени присутствует во всех
взрывных процессах, до сих пор ускользала от исследователей. Причина в том, что при
взрыве внутри твердой или жидкой среды эта фаза очень краткая. При взрыве в атмосфере
она более длительна, но также достаточно быстро преобразуется в движения иной
механической природы, например, ударные волны. И лишь при взрыве в вакууме она
будет наиболее выражена, но такие взрывные процессы на практике достаточно редко
используются.
Рассмотрим процесс создания нестационарной системы. Пусть имеется шар
взрывчатого вещества радиусом r0 плотностью 0 и удельной энергоемкостью w. Полная
потенциальная энергия этого шара есть:
W
4
 0 r03 w.
3
(7)
Мгновенно ( с точки зрения характерных времен существования нестационарной
системы) в этом же объеме образуется однородная нестационарная среда с линейным
распределением радиальной скорости от 0 в центре до максимального значения v0 на
внешней поверхности шара. Кинетическая энергия этой системы будет:
2
1 r
4
T  4  r   0  v02     dr 
0 r03v02 .
2  r0 
10
0
r0
2
(8)
Считая, что в процессе трансформации однородной статической среды в нестационарную
высвободилась вся потенциальная энергия, мы можем приравнять потенциальную
энергию из (7) и кинетическую из (8), и из закона сохранения энергии следует:
W  T,
откуда для максимальной скорости получаем отношение, связывающее ее с удельной
энергоемкостью взрывчатого вещества:
v0 
10
w  1.83 w.
3
(9)
Так как в дальнейшем частицы среды распространяются свободно, то эта скорость и есть
скорость распространения фронта взрыва v f  v0  1.83 w. Интересно, что от массы
взрывчатого эта скорость не зависит. Результат далеко не тривиальный.
Например, для тринитротолуола w = 4.2 Мдж и скорость распространения фронта
составляет 2.8 км/с. А для иных взрывчатых веществ скорость распространения фронта
взрыва можно вычислить по формуле:
v f  2.8 TE км / с,
где TE есть энергоемкость ВВ в тротиловом эквиваленте.
Для H0 получаем значение:
H0 

v0 1
 :
r0 
r0
.
v0
Здесь  есть временной сдвиг. Если использовать время t   t   , где t есть время,
прошедшее от момента истинного взрыва, то мы можем пользоваться выражениями для
идеального взрыва с сингулярным началом. Для константы А имеем:
0 
A
3
;
A   0 3 
0 r03
v03
где M ─ масса взрывчатого вещества.


3M
4  1.833 w
3
2
 0.04 Mw 3 ,
2
Двухмерные однородные нестационарные среды
Рассмотрим плоское двухмерное нестационарную движение свободных тел.
Оказывается, существует такая система этих тел и их движений, которые будут
представлять однородную двухмерную нестационарную среду.
Такая
плоская
система
может
характеризоваться
однородной
двухмерной
плотностью    (t ). Для плоской системы дивергенция в уравнении неразрывности
является двухмерной, и соответствующее уравнение неразрывности будет иметь вид:
  2H.
(10)
Для движения плоской системы тел можно ввести вращающуюся систему отсчета и
такую, что движение всех тел будет происходить в радиальном направлении и иметь
линейное распределение скоростей с хабблианом H. Для движения в радиальном
направлении в неинерциальной вращающейся системе отсчета
надо
учитывать
центробежную силу инерции и учитывая уравнение (3), получаем:
v   2 r ;
( H  H 2 )r   2 r.
Однако,
ввиду
переменной
скорости
вращения
(11)
возникают
инерциальные
тангенциальные удельные силы весомости и компонента кориолисовых ускорений.
Соотвентствующее уравнение есть:
 r.
 2v  
  2H .

(12)
Отсюда получаем из соотношений (10), (11), (12):
  2H ;
H   2  H 2 ;
   2 H .

(13)
Такова полная система уравнений двухмерной однородной нестационарной системы
свободных тел. Переходим к решению системы (13). Деля первое уравнение на третье,
получаем:
d 
 ;
d 

  0
.
0
Делим теперь второе уравнение на третье и преобразовываем:
dH

H


:
d
2 H 2
dH 1 2
2H
 H  ;
d 
dH 2 1 2
 H  .
d 
Имеем линейное уравнение первого порядка с правой частью. Решение его стандартно.
Получаем:
H  (0  ) .
Подставляя значения H в третье уравнение, получаем:
1
0
0
1  t .

И окончательно:


H
0
;
1  ( 0t ) 2
0
1  ( 0t ) 2
;
(14)
 02t
.
1  ( 0t ) 2
Итак, в двухмерной геометрии сингулярность не существует. Условию Н=0
соответствует состояние с максимальными начальными угловой скоростью и плотностью
массы. На бесконечности угловая скорость стремится к нулю и процесс приближается к
трехмерному взрыву.
Отметим еще раз. Все элементы среды не имеют никакого вращательного движения.
Все они движутся по прямой и равномерно. Вращательными свойствами обладает только
ансамбль частиц. Это можно образно сравнить с башней Шухова. Каждый стержень в ней
прямой, а ансамбль стержней является криволинейной фигурой.
Характерно, что найти это решение классическая ньютоновская механика не смогла.
Это показывает ограниченность языка ньютоновской механики.
Двухмерная однородная вращающаяся среда является, к примеру, хорошей моделью
механики разрыва вращающегося ротора.
Одномерная нестационарная среда
Одномерная нестационарная среда характеризуется одномерной плотностью  и
обладает еще большим количеством степеней свободы, чем двухмерная. Если мы
предположим, что тело движется вдоль одной оси ─ оси Ox, то ось вращения может иметь
произвольное и меняющееся направление и величину. Соответственно с учетом
кориолисовых
компонент
движения, а также
центробежных
и
тангенциальных
инерционных компонент, уравнение свободного движения точки имеет вид:
x  ( 2y   2z ) x;
    ) x;
2 z x  (
z
y
x
    ) x.
2 x  (
y
y
z
(15)
x
Полагая
 y    cos  ;
 z    sin .
Получаем систему уравнений одномерной нестационарной (прецессирующей) системы
свободных тел:
   H ;
H   2  H 2 ;
   2 H ;



(16)
   x .
Решение системы (16) несложно.

0
1  ( 0 t ) 2
;
 0 t
H  
;
1  ( 0 t ) 2
0
 
(17)
 0
;
1  (0 t ) 2
   xt.
Таким образом, получаем совершенно новый неизвестный ранее факт ─ прецессирующая
система может взрываться по одномерному типу, причем вдоль оси прецессии. Заметим,
что этот факт находит подтверждение в астрономических наблюдениях. Наблюдаются
струйные выбросы из звезд по оси их вращения. На самом деле речь идет, видимо, об оси
прецессии, а не вращения.
Одномерные
взрывные
процессы
широко
используются
в
практической
деятельности, например, в стрелковом и пушечном оружии. Поэтому было бы интересно
получить предельно возможные скорости движения фронта распространения одномерной
нестационарной системы, ибо это и есть предельные скорости начального движения пули
или снаряда. Проделывая те же самые расчеты, что и в случае трехмерного взрыва,
получаем:
v f  6w  2.45 w.
Заключение
В газодинамической литературе встречается рассмотрение течений газа с линейной
скоростью.
Но суть в том, что рассмотренные системы не есть газ. В них нет главного ─
стохастичности, столкновений частиц среды друг с другом. В этих системах невозможно
ввести понятие температуры, энтропии, и многих других фундаментальных газовых
понятий. Это действительно новое состояние вещества, новый класс физических сред
наряду с твердой, жидкой и газообразной. Причем сред, имеющих большую практическую
значимость.
Юровицкий Владимир Михайлович ─ к.э.н., доцент, член-корреспондент Международной
академии информатизации, Российский государственный социальный университет, в.н.с.
Почтовый адрес: 125171 Москва, 1-я Радиаторская ул., д.9, кв.28
E-mail: [email protected]
Контактный телефон^ +7-926-314-9817