Труды 7-й научн. конф. по радиофизике

Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
С БИФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ
А.Т.Гаврилин
Нижегородский госуниверситет
Для определения вероятности ошибочного приема в системах передачи дискретных сообщений необходимо знать вероятностное распределение статистики
(функционала от принятого сигнала), используемой в решающей процедуре. В
рассматриваемой системе связи [1] при поэлементном приеме такой статистикой
является аргумент Ŷ (ω1, ω2) нормированного выборочного биспектра

    
 n   n   n 
b  (mod b ) eiY  1 2 3  1  1  1  2  1  3  ,
s1 s2 s3 
s1  
s2  
s3 
(1)
где (ξ1, ξ2, ξ3), (n1, n2, n3), (s1, s2, s3) с надстрочными символами – это комплексные
амплитуды (при частотах  1, 2 опорного дуплета и частоте 3= 1+2 информативной компоненты манипулируемого бота) соответственно: принятого сигнала (t),
гауссовского шума n(t) (с дисперсиями σn2), составляющих бота sk = Akexp[iφk]
(k=1,2,3); 1+2–3=. Здесь  – информационный символ, постоянный на тактовом
интервале. Далее для определенности он полагается равным нулю.
Попытка прямого вычисления распределения статистики (1) приводит к вероятностной “задаче трех тел”: необходимости находить распределение кубичного
функционала от компонент гауссовского случайного вектора. Выходом из положения может служить аппроксимация статистики (1) внешне более сложной статистикой, основывающаяся на приближенном стохастическом равенстве
2
1  z  e z  z ,
(2)
где  – положительная константа, выбираемая, однако, не по формуле Тейлора, а из
условия совпадения дисперсий левой и правой частей равенства (2). Этот прием, с
одной стороны, напоминает, а с другой, противоположен известному методу статистической линеаризации [2] и может быть назван статистическим потенцированием. В надпороговом режиме (|z|2 ≤0,5) величина  близка к 1/4. Обозначив отношения комплексных амплитуд nk ⁄sk числами zk = xk + iyk , в силу (2) имеем
3
3
3
 z k  z k
 x k  x k  y k i  y k (1 2 x k )

b  e k 1
 e k 1
e k 1
.
2
2
2
214
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
Таким образом, оценка бифазы бота, осуществляемая биспектральном приемником, может быть представлена следующим выражением

Y
3
 yk (1  2 xk ) ,
(3)
k 1
где xk, yk – условно (при фиксированных фазах k) гауссовские случайные величины
с дисперсиями (σk ⁄ Ak)2. Наличие в статистике (3) только парных произведений
случайных величин позволяет выразить ее характеристическую функцию в достаточно простом виде
3
1
Y (u )  
i 1
1
4 2 i4u 2
Ai4

 2u 2

2 2 i 2

Ai
exp  
2 4 2
 1  4  i u

Ai4




.



(4)
В рассматриваемой системе связи правильное решение ( = 0) принимается, когда cosY ≥ 0. Таким образом, вероятность ошибочного приема определяется вероятностью попадания статистики Y в объединение интервалов


   2k ,
k Z 
2
3
 2k 
2

(5)
и может быть вычислена как интегральная свертка характеристической функции (4)
и (дискретного) спектра индикаторной функции множества (5)
perr 
1
2


1
1

 1
k
 iku
 Y u   k  e du  2    2k  1 Y 2k  1 .
k  
k  

(6)
Сравнение вероятностей ошибок классификации, вычисленных, с одной стороны, по данной формуле с использованием (4) и, с другой, при помощи прямого
компьютерного моделирования, показало хорошее совпадение для широкого диапазона отношений сигнал/шум (σk ≤ Ak, k=1,2,3). Вместе с тем вряд ли стоит ожидать
столь же точной аппроксимации ошибок посредством статистического потенцирования в случае, когда передаваемая информация закладывается в модуль биспектра
передаваемого сигнала. Это сомнение продиктовано тем обстоятельством, что при
энергетическом информационном параметре “хвосты” распределений мгновенных
значений процессов более продуктивны в части воздействия на решающую схему.
[1] Гаврилин А.T. //В кн.: Тр. 6-й научн. конф. по радиофизике. 7 мая 2002 г. /Ред.
А.В.Якимов. -Н.Новгород: ТАЛАМ, 2002, с.280.
[2] Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. -М.:
Судпромгиз, 1963, 512 с.
215
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТА СТОХАСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА
В БИСТАБИЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
В.Н.Ганин, А.А.Дубков
Нижегородский госуниверситет
В работе обсуждается новый приближенный метод исследования эффекта стохастического резонанса в бистабильной системе с кусочно-линейным потенциалом
U(x)=E(1–x/L), имеющим два минимума вблизи отражающих границ x=L, где Е –
высота потенциального барьера. Уравнение движения броуновской частицы в потенциальном поле U(x) в среде с большой вязкостью при наличии слабого внешнего
гармонического воздействия частоты ω0 имеет вид
dx
dU ( x)

 A0 sin( 0t   )   (t ) ,
dt
dx
(1)
где: x(t) – координата броуновской частицы, ξ(t) – гауссов белый шум с интенсивностью 2D и нулевым средним, А0 и φ – амплитуда и фаза внешнего воздействия.
Решение стохастического уравнения (1) ищем в приближенном виде: x ≈ x0+x1,
где x0 – координата “невозмущенной” частицы (А0=0), x1 – член первого порядка
малости по А0. Из (1) легко получить дифференциальное уравнение для “поправки”
x1  U ( x0 ) x1  A0 sin(0t   ) ,
(2)
установившееся решение которого таково
x1 (t )  A0
t
t


 exp{  U ( x0 (t1 ))dt1} sin( 0   )d .
(3)
Проводя усреднение в (3) с учетом стационарности случайного процесса x0(t) и
равенства <x0>=0, приходим к следующей приближенной формуле для среднего
значения координаты броуновской частицы



x(t )  A0 Im e i0t    F ( ) e i0 d  ,


0
(4)
где
t
F (t )  exp{  U " ( x0 (t1 ))dt1} .
(5)
0
Как видно из (4), для отыскания <x> необходимо знать не саму функцию F(t), а
ее лаплас-образ. Среднее в формуле (5) можно найти через так называемую производящую функцию моментов аддитивного функционала марковского процесса x0(t)
[1], которая для нашего случая имеет вид следующего условного среднего
216
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
t
R( x,0 | y, t )  W ( x,0 | y, t ) exp(   U ( x0 (t1 ))dt1 ) x0 (0)  x, x0 (t )  y ,
(6)
0
где W(x,0|y,t) – плотность вероятности переходов x0(t). Тогда
F (t ) 




 W ( x)dx  R( x,0 | y, t )dy ,
(7)
где W(x)=c0exp{–U(x)/D} – установившаяся плотность вероятности в системе без
внешнего гармонического сигнала. Лаплас-образ производящей функции (6) удовлетворяет уравнению в обыкновенных производных
~
~
~
50
DR  U ' ( x) R  pR   ( x  x0 ) ,
(8)
xL
Подставляя в (8) выражение для потенциала
U(x), несложно рассчитать лаплас-образ производящей функции, а затем из (7) и лаплас-образ
функции F(t). После подстановки его в (4) приходим окончательно к
40
1
<x>2
которое необходимо решать со следующими
граничными условиями
~
R
0.
(9)
2
3
4
5
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
D
2
x
2

A02 1
 2 D  3 D 2  sinh 2 ( / 2)   sinh 2 (  / 2)
 2 2 3 4
,
2 i 0  0 L i 0 L
sinh 2 ( / 2)  sinh 2 (  / 2)
(10)
где безразмерные параметры  и  – корни квадратного уравнения: 2--i0L2/D=0,
=E/D – безразмерная высота потенциального барьера.
На рисунке приведены зависимости <x>2 от интенсивности шума для различных значений высоты потенциального барьера (1–E=1, 2–E=2, 3–E=3, 4–E=4, 5–
E=5) и A0=1, L=1, полученные методом стохастической линеаризации. Приведенные
кривые демонстрируют усиление сигнала при малых D, что наблюдается и в экспериментах [2-3], однако отсутствует характерный “резонансный” максимум. Это
можно объяснить тем, что применяемое приближение корректно лишь для малых
интенсивностей шума.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 02-02-17517), гранта Ведущие Научные Школы НШ-1729.2003.2 и научной программы “Университеты России” (проект УР.01.01.020).
[1] Теория связи /Пер. с англ. под ред. Б.Р.Левина. -М.: Связь, 1972, с.89.
[2] Fauve S., Heslot F. //Phys. Lett. A 1983. V.97, №1-2. P.5.
[3] McNamara B., Wiesenfeld K., Roy R. //Phys. Rev. Lett. 1988. V.60, №25. P.2626.
217
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
ЭФФЕКТ УСКОРЕНИЯ ДИФФУЗИИ В СЛУЧАЙНО ПЕРЕКЛЮЧАЮЩЕМСЯ
ПИЛООБРАЗНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
А.А.Дубков
Нижегородский госуниверситет
Ранее в работах [1,2] изучалась диффузия броуновских частиц в симметричном
периодическом потенциале, модулируемом гауссовым белым шумом, и было обнаружено ускорение диффузии по сравнению со случаем свободной диффузии при
любой форме потенциального профиля. В настоящем докладе рассматривается
более сложная задача, связанная с определением условий возникновения данного
эффекта при модуляции потенциала марковским дихотомическим шумом.
Рассмотрим одномерное передемпфированное броуновское движение в случайно переключающемся симметричном периодическом потенциале U(x), описываемое
ланжевеновским уравнением
dx
dU ( x)

 (t )   (t ) .
dt
dx
(1)
Здесь: x(t) – координата броуновской частицы, ξ(t) –гауссов белый шум с интенсивностью 2D и нулевым средним, (t) – марковский дихотомический шум со значениями 1 и средней частотой переключений . Как видно из рис.1, потенциал переключается между двумя противоположными конфигурациями в случайные моменты времени, причем в “перевернутой” конфигурации максимумы и
минимумы потенциала меняются местами. Будем
далее
полагать
выполненным
условие
суперсимметрии потенциала с пространственным
периодом L [3]
E  U ( x)  U ( x  L / 2) ,
(2)
Рис. 1
при котором отсутствует направленный поток частиц (рэтчет-эффект).
Пусть в начальный момент времени реализуется верхняя конфигурация потенциала на рис.1, а броуновская частица находится в потенциальной яме в начале
координат. Тогда процесс диффузии можно грубо описать в виде последовательных
скачкообразных переходов частицы из точек минимума потенциала xm=mL в соседние минимумы xm1. В этой скачкообразной модели диффузии время перехода из xm
в xm1 представляет собой время первого достижения частицей, стартующей из
точки x=xm, поглощающих границ x=xm1, а длина скачка является случайной величиной, принимающей с равной вероятностью значения +L и –L.
Описанная математическая модель случайного процесса x(t) позволяет просто и
в то же время строго рассчитать асимптотическое значение эффективного коэффициента диффузии Dэфф. Несложные вычисления в соответствии с определением
Dэфф дают
218
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
x 2 (t )
Dэфф  lim
2t
t 

L2
,
2
(3)
где  – среднее время между скачками модельного процесса. Учитывая, что в промежутках между переходами броуновской частицы из одного минимума в другой
потенциал может переключаться между двумя конфигурациями, и используя соответствующие уравнения для средних времен первого достижения системы (1), можно получить из (3) следующее выражение для Dэфф
Dэфф 
D
L
2
x
1   1  U ( x) ( x)dx
L 0 L 
,
(4)
где функция (x) является решением дифференциального уравнения
 ( x) 
U ( x)
D
2
x
xU ( x)
2
 U ( y) ( y)dy  D  ( x)  
D2
0
(5)
с граничными условиями  ′(0)=0,  (L)=0.
Найти решение уравнения (5) для произвольного потенциала U(x) не представляется возможным, поэтому далее подробно рассматривался пилообразный периодический потенциальный профиль, удовлетворяющий условию суперсимметрии (2),
0 x  L/2
 kx,
U ( x)  
,
k
(
L

x
),
L
/2 x L

(6)
где k=2E/L. В результате подстановки (6) в (4), (5) и
довольно громоздких расчетов было получено точное
выражение для эффективного коэффициента диффузии,
справедливое для любых значений высоты потенциальных барьеров E, интенсивности шума D и средней частоты переключений .
На рис.2 изображена область ускоренной (по сравРис. 2
нению со случаем U(x)=0) диффузии на плоскости двух
безразмерных параметров задачи: относительной высоты потенциальных барьеров
=E/D и относительного темпа переключений потенциала =L2/(2D). Как видно из
рис.2, ускорение наблюдается лишь для достаточно высоких барьеров, когда
броуновские частицы при очередном переключении достаточно быстро скатываются в ближайшие минимумы потенциала, и для достаточно частых переключений.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 02-02-17517), гранта Ведущие Научные Школы НШ-1729.2003.2 и научной программы “Университеты России” (проект УР.01.01.020).
[1] Малахов А.Н. //Письма в ЖТФ. 1998. Т.24, вып.21. С.9.
219
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
[2] Дубков А.А. //Письма в ЖТФ. 2003. Т.29, вып.3. С.18.
[3] Reimann P. //Phys. Rev. Lett. 2001. V.86, №22. P.4992.
РАСЧЕТ ЧИСЛА СИЛЬНОСВЯЗНЫХ ФЕЙНМАНОВСКИХ ДИАГРАММ
МЕТОДОМ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
А.А.Дубков, В.Ю.Семенов
Нижегородский госуниверситет
Фейнмановские диаграммы находят широкое применение во многих областях
физики: в квантовой теории поля, в теории распространения волн в турбулентных
средах, в физике высоких энергий, в эйнштейновской теории гравитации. Число
сильносвязных фейнмановских диаграмм может служить оценкой скорости сходимости рядов теории возмущений.
В настоящей работе рассматриваются только одномерные диаграммы, получаемые всевозможными попарными замыканиями 2n точек на прямой. Их можно
разбить на два вида: сильносвязные и слабосвязные. На рис.1 представлена
слабосвязная диаграмма. На ней между точками 2 и 3 можно “разломить” прямую,
не повредив связей. На рис.2, в свою очередь, приведена сильносвязная диаграмма.
Здесь нет места, где можно было бы “разломить” прямую, не повредив связей.
Рис.1
Рис.2
Число слабосвязных диаграмм вычисляется исходя из того, что у данного вида
диаграмм имеется хотя бы одна линия разрыва. Будем перемещать границу разрыва
слева направо через две точки, начиная с положения, приведенного на рис.1. Тогда
слева должны оставаться только сильносвязные диаграммы, справа же – любые.
Если обозначить общее число фейнмановских диаграмм для 2n точек на прямой
через V2n, а число сильносвязных через S2n, то для первого положения границы
получим согласно правилам комбинаторики S2V2n-2 слабосвязных диаграмм, для
следующего положения – S4V2n-4 диаграмм и т.д. Для последнего мыслимого положения границы разрыва (перед предпоследней точкой на прямой) имеем S2n-2V2
слабосвязных диаграмм. Общее число слабосвязных диаграмм находим суммированием всех вариантов.
Учитывая то, что сумма сильносвязных и слабосвязных диаграмм составляет
общее число фейнмановских диаграмм V2n=(2n-1)!!, приходим окончательно к следующему рекуррентному соотношению для числа сильносвязных диаграмм S2n
n 1
S 2 n  (2n  1)!!  S 2 k 2( n  k )  1 !!, n  2 .
k 1
220
(1)
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
Для решения соотношения (1) введем производящую функцию вида
Ф( x ) 

 S 2n
n 1
(1) n  x 2n
.
(2n)!
(2)
После подстановки соотношения (1) в равенство (2) получаем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода относительно функции (x) с разностным ядром
Ф( x )  e  x
2
/2
x
  Ф( x  t )  te  t
2
/2
dt .
(3)
0
Решая уравнение (3) методом преобразования Лапласа [1], находим лаплас-образ
производящей функции (2)
Ф( s ) 
1
1

,
2
2
s
s s  / 2 e / 2erfc ( s / 2 )
(4)
где erfc(x) - дополнительный интеграл вероятностей [2].
Из таблиц преобразований Лапласа [1] не составляет труда найти лаплас-образ
производящей функции (2), который представляет собой ряд по степеням 1/s

(1) n
n 1
s 2n 1
Ф (s) 
 S 2n
.
(5)
В аналогичный ряд (5) можно разложить и лаплас-образ (4), используя соотношение для дополнительного интеграла вероятностей [2]. В результате сравнения двух
лаплас-образов в форме степенных рядов находим явную формулу, определяющую
число сильносвязных фейнмановских диаграмм S2n через n
S 2n 
n
 (1) k 1 
k 1
m1  m2  ...  mk  n
 (2m1  1)!!  ...  (2mk
m1 , m2 ,..., mk 1
 1)!! .
(6)
Число сильносвязных фейнмановских диаграмм может быть вычислено как с
помощью рекуррентного соотношения (1), так и с помощью формулы (6). В таблице
приведены результаты расчетов для нескольких первых значений n.
n
S2n
1
1
2
2
3
10
4
74
5
706
6
8162
7
110410
[1] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Лань, 2003, 832с.
[2] Справочник по специальным функциям. -М.: Наука, 1979, 832с.
221
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
ПРОБЛЕМЫ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ НАСТРОЙКИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ
ВИБРООПОР НА ЗАДАННЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ ЧАСТОТЫ В УСЛОВИЯХ
МЕНЯЮЩЕЙСЯ НАГРУЗКИ
В.В.Бугайский, Б.А.Гордеев, С.Н.Охулков, П.Н.Морозов
Нижегородский филиал института машиноведения РАН
Концепция перестройки гидроопор на заданные частоты включает в себя построение, физической модели гидроопоры, установления вида ее переходной и
передаточной функций и определение полюсов и нулей системных передаточных
функций гидроопоры H(s) на всех частотах вибрации. В первую очередь, для перестройки гидроопоры на заданные резонансные частоты требуется учитывать определенную экспериментом зависимость динамической жесткости от частоты возбуждения.
Для определения полюсов и нулей системных передаточных функций H(s) гидроопор, установленных в [6], необходимо произвести нормировку полиномов числителя Y(s) и знаменателя X(s) функций H(s) для последующего правильного расчета их полюсов и нулей [4]. Нормировка полиномов Y(s) и X(s) функций H(s) в [6]
осуществляется таким образом, чтобы в знаменателе X(s) коэффициент при старшей
степени S был бы равен единице. Таким образом, установленные нормированные
системные передаточные функции гидравлической виброопоры на частотах вибрации вi имеют вид
H  s нji 
Y  s нji
X  s нji
b0
b
 вi  1i S
a2
a2

,
a
 a2 2 a1i
0 ji 
2

  S 2   вi
S 
S
a2
a2 
 a2


(1)
где: j – номер гидроопоры; i – номер частоты возбуждения гидроопоры, при
i=0,1,2…n; индекс н перед индексами ji в обозначении функции H(s) указывает, что
она нормирована; a2 – нормировочный коэффициент, равный a2 по абсолютной
величине и является безразмерной величиной; a2 = m – масса нагрузки; a1i = bzi –
гидравлический коэффициент трения гидроопоры; a0ji = cji – динамическая жесткость данного номера гидроопоры на данной частоте возбуждения; b0 = Fz – сила
воздействия на гидроопору; b1i = Bzi = z0iвibzi – многомерный параметр гидроопоры, входящий в определение гидравлической составляющей гидроопоры; pi Sпор=
z0iвibzi cos вit – сила, действующая на жидкость при pi – перепаде давления между рабочей и компенсационными камерами гидроопоры и Sпор – поршневая площадь опорной платы.
Нормированные системные функции H(s)нji вида (1) полностью характеризуют
собственное движение элементов гидроопоры и определяют ее динамическую
жесткость и, являясь рациональными функциями, полностью определяются корнями полиномов числителя и знаменателя – нулями Szi и полюсами Spi. Расположение
222
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
нулей и полюсов на комплексной плоскости S обуславливается как типом системной функции H(s)нji, так и элементами, входящими в состав гидроопоры. Положение
нулей и полюсов содержит значительную информацию – как качественного, так и
количественного характера – относительно свойств гидравлической виброопоры.
Тип используемых элементов гидравлической виброопоры, ее конструкция или
ее динамическая жесткость ограничивают область комплексной S-плоскости, в
которой могут располагаться нули и полюса функций H(s)нji. Расположение полюсов и нулей функций H(s)нji на частотах возбуждения гидроопоры характеризуется
“диаграммами полюсов-нулей”. Ввиду того, что расположение полюсов и нулей
функций H(s)нji гидропоры на каждой частоте возбуждения вi различно, то для
настройки гидроопоры на заданную частоту вибрации вi необходимы следующие
требования (условия):
- для перестройки гидроопоры на заданные резонансные частоты требуется
учитывать определенную экспериментом зависимость динамической жесткости от
частоты возбуждения;
- необходимо, чтобы расположение полюсов и нулей на заданной частоте вибрации вi, до настройки гидроопоры, перешло при ее настройке на расположение
полюсов и нулей, соответствующее собственной частоте гидроопоры в0 при ее
минимальной динамической жесткости C0;
- динамическая жесткость настроенной гидроопоры на заданной частоте вi
должна соответствовать динамической жесткости C0 ненастроенной гидроопоры с
собственной частотой в0.
Работа выполняется при финансовой поддержке гранта РФФИ 03-02-16924 и
ФПЦ "Интеграция" гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ.
[1] Ложкин Ф.В. Исследование гидроопор для виброзащиты транспортных средств.
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических
наук. -Н. Новгород, 2002.
[2] Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы
теории, методы расчета и справочный материал). -М.: Машиностроение, 1982,
504с.
[3] Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления. /Под общей ред. Е.А. Сашковского. -Минск: Вышэйш. школа, 1973, 584с.
[4] Сибирт У.М. Цепи, сигналы, системы. Ч.1. -М.: Мир, 1988, 336с.
[5] Введение в теорию и расчет активных фильтров. -М.: Радио и связь, 1984, 384с.
[6] Гордеев Б.А., Охулков С.Н. Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов /Ред. В.И. Ерофеева, С.И. Смирнова и Г.К. Сорокина. -Н. Новгород: Интелсервис, 2003, вып.2(6), с.112.
223
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА
ЭНЕРГИИ В МАГНИТОРЕОЛОГИЧЕСКОМ ТРАНСФОРМАТОРЕ
Б.А.Гордеев, П.Н.Морозов
Нижегородский филиал института машиноведения РАН
Сложность и нелинейность поведения электро- и магнитореологических жидкостей (ЭРЖ и МРЖ), а также относительно высокие напряженности полей, необходимых для управления вязкостью этих составов сыграли свою роль в том, что на
протяжении почти полувека это явление не получило распространения на практике.
Только в последнее время, используя новые технологии, начинают находить применение ЭРЖ и МРЖ в системах гашения вибраций и демпфирования ударов [1,2].
Применение гидравлических виброопор предполагает использование гидравлических трансформаторов, настроенных на определенные частоты, которые являются
их основными элементами. Гидравлические трансформаторы по сути являются
дроссельными каналами, соединяющими рабочие и компенсационные камеры гидроопоры. Настройка гидравлических трансформаторов связана с проведением
большого объема экспериментальных работ, а при эксплуатации гидроопоры собственные частоты настройки всегда смещаются. Исследования, проводимые с различными реологическими заполнителями, позволили выбрать наиболее оптимальные по своим характеристикам на частотах ниже резонансных.
Одной из возможных модернизаций гидроопоры является применение электрореологических жидкостей, заполняющих рабочую и компенсационную камеры,
впервые предложенная в 1989 г. в Нф ИМАШ РАН [1]. Пусть напряженность
внешнего магнитного поля Н изменяется по гармоническому закону:
H  x 0 H 0 e ikx ,
(1)
тогда
rotH 
2
x
2
H   k 2 H 0 e  ikx и H rot H  k 2 H 02 e i 2kx .
(2)
Рассмотрим движение жидкости в центре канала при x=0, тогда v=v0=const и
v x v y v z v x v y v x v z v y v z








0,
x
y
z
y
x
z
x
z
y
(3)
аналогично
(div v)=0.
(4)
Пусть напряженность магнитного поля ортогональна направлению скорости в
канале H  v, тогда
vH   v0 H 0 .
(5)
224
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
С учетом параметров реологического заполнителя и внешнего магнитного поля
плотность потока энергии можно представить в виде
W
x 0
   v0 (u 
p


v02

1 2
)  kT 
H 0 v0  m H 02 .
2
4
4
(6)
Коэффициент поглощения  альфеновской волны (т.е. электромагнитной волны
направление распространения которой, понимаемое как направление ее групповой
скорости, совпадает с направлением поля H ) можно найти из формулы
 
2

(  m ) .
2U 3A 
(7)
где  - частота магнитного поля, UA – скорость распространения альфеновской
волны. Подставляя (7) в (6), получим
W
x 0
   v0 (u 
H 05
p v02
1 2


 )  kT 
H 0 v0 


H 02 .

2
4
2  2 (4 ) 3 / 2 4
(8)
Из (8) следует, что плотность потока энергии зависит от Н0 как функция пятой
степени. Следует отметить, что даже в простейшем случае совпадения частот внешних вибрационных и электромагнитных полей плотность переноса энергии существенно нелинейна.
В докладе показано, что на частотах свыше 50 Гц начинается радиальное движение частиц электрореологического заполнителя в дроссельных каналах. Причем,
в отличие от обычных реологических заполнителей, эпюры скоростей в каналах не
будут соответствовать параболическому закону. На частотах свыше 100 Гц скорость
частиц электрореологического заполнителя в пристеночной области будет даже
выше чем на осевой линии. Это свидетельствует о том, что на высоких частотах
динамическая жесткость гидроопоры имеет тенденцию к понижению и, следовательно, к возрастанию диссипации энергии внешнего вибросигнала. При расчетах
вязкостного сопротивления движению рабочей жидкости на частотах свыше 100 Гц
необходимо произвести оценку влияния внутреннего индуктивного сопротивления.
Частота входного вибросигнала 100 Гц является критической для электрореологического заполнителя с приведенными выше параметрами. На частотах ниже 100 Гц
влиянием комплексного сопротивления можно пренебречь, а на более высоких
частотах начинает превалировать индуктивное сопротивление.
Работа выполняется при финансовой поддержке Гранта РФФИ 03-02-16924 и
ФЦП “Интеграция” гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ.
[1] А.С. № 17799843 (СССР) Виброизолирующее устройство. //Гордеев Б.А., Образцов Д.И., Юдин В.А., Поташев О.А. кл. F 16 F 6/00. 07.12.92. Бюл. № 45.
[2] Гордеев Б.А., Ерофеев В.И., Синев А.В. //Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. №6. С.22.
225
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУМЕРНОЙ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ
С ДВИЖУЩЕЙСЯ НАГРУЗКОЙ
О.А.Волкова, Е.Е.Лисенкова
Нижегородский госуниверситет
Рассматривается упругая система, представляющая собой пластину модели
Кирхгофа-Лява на упругом основании. Вдоль нее безотрывно по некоторому закону
x=l(y,t) движется объект (нагрузка), совершающий изгибно-крутильные колебания.
Предполагается, что на объект действует источник сил, изменяющийся по гармоническому закону P(y,t)=P0∙eiΩt∙cos kyy.
Исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, на основе
разработанной в [1,2] процедуры постановок краевых задач о согласованном динамическом поведении упругих систем с движущимися нагрузками получим, что
изгибные колебания пластины определяются решением уравнения
U tt  D(U xxxx  2U xxyy  U yyyy )  hU  0,
(1)
удовлетворяющим при x=l(y,t) условиям непрерывности
U 0 ( y, t )  U (l ( y, t )  0, y, t )  U (l ( y, t )  0, y, t ),
(2)
отсутствия излома
 0 ( y, t )  U x (l ( y, t )  0, y, t )  U x (l ( y, t )  0, y, t ),
(3)
уравнениям баланса изгибающих моментов и поперечных сил
 0 J 0 tt0  G0 J 0 0yy  [ N 2 ],
 0U tt0  E0 JU 0yyyy  U 0  [ N 1 ]  P( y, t ).
(4)
Здесь:
N 1  ltU t  D(U xxx  (2  )U xyy  l y (U xxy  U yyy ) 
 l yy (U xx  U yy )  l y2 (U xxx  U xyy )),
(5)
N 2  D(U xx  U yy )  2(1  )l yU xy  l y2 (U yy  U xx ),
0ltt  E0 Jl yyyy  [ F ]  ql ,
φ0(y,t)
(6)
- изгибные,
– крутильные колебания нагрузки, l(y,t) – закон движения
нагрузки, [N]=N(l(y,t)+0,y,t)-N(l(y,t)-0,y,t), F – сила давления волн, ql – плотность
внешней обобщенной силы, ρ – поверхностная плотность, ρ0 – погонная плотность,
h – толщина пластины, J0, J – полярный момент инерции и момент инерции попеU0(y,t)
226
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
речного сечения относительно осей, перпендикулярных оси стержня, α, h’ – коэффициенты упругости нагрузки и основания пластины соответственно.
Ограничиваясь случаем равномерного движения объекта x=Vt и рассматривая
лишь вынужденные установившиеся колебания в данной системе, численно и аналитически решались задачи кинематики и динамики излучения волн.
Найдены частоты и волновые вектора излучения волн источником в диапазоне частот
0÷100Гц, движущимся по стальной пластине
толщины 1,5мм, ширины 1м, коэффициент
жесткости
упругого
основания
которой
5107 м∕н3. Определены критические скорости
движения нагрузки, при переходе через которые качественно меняется картина волнообразования. На плоскости параметров (Ω,V) им
соответствуют кривые (рис.), разбивающие ее
на области, в которых характер возбуждения
волн различен.
Так если частота внешней силы не превосходит наименьшую частоту возбуждаемых в пластине волн (Ω<ω´), а скорость движения объекта меньше первой критической (V<V1*), то движущаяся нагрузка волн не излучает. В сопутствующей
системе координат прогиб пластины экспоненциально спадает по обе стороны от
нагрузки. С увеличением скорости движения (V1*<V<V2*) наряду с собственным
полем, представляющим собой спадающие по экспоненте осцилляции, излучается
по одной волне справа и слева от объекта. При переходе через вторую критическую
скорость, (V>V2*) источник собственного поля не создает, но излучаются слева и
справа по две волны. Исследован был также случай при Ω >ω´.
Найдены амплитуды колебаний пластины, сила сопротивления движению объекта и исследованы их зависимости от скорости движения источника при различных значениях частот внешнего воздействия.
Исследовано влияние распределенных диссипативных потерь в основании пластины на кинематику и динамику излучения волн источником нулевой частоты.
Наличие малых диссипативных потерь приводит к отличной от нуля силе сопротивления при малых скоростях движения объекта, а также к уменьшению максимума
амплитудной характеристики.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03-01-00664).
[1] Болдин В.П., Весницкий А.И. //Машиноведение. 1989. №1. С.70.
[2] Болдин В.П., Маланов С.Б., Уткин Г.А. //ПММ. 1992. Т.56, вып.1. С.34.
227
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ВАЛОВОГО
РЕГИОНАЛЬНОГО ПРОДУКТА
Е.В.Кошелев
Волжская государственная инженерно-педагогическая академия
Современные методы математического прогнозирования экономических процессов позволяют получить примерное представление о том, как будет изменяться в
ближайшей перспективе та или иная исследуемая функция. Такие зависимости на
практике обычно получают на основе регрессионного анализа. Недостатком подобного подхода является то, что всегда существует отличная от нуля погрешность
отклонения значения исследуемой функции от ее прогнозной оценки. При этом
неясно, какой знак будет иметь эта погрешность в будущий момент времени.
В финансовой практике эта задача приобретает особую актуальность в связи с
необходимостью оценки инвестиционной привлекательности той или иной альтернативы. В качестве таких альтернатив можно рассматривать денежные потоки
предприятия или фондового рынка либо, например, сальдированные финансовые
результаты деятельности отраслей народного хозяйства.
В настоящей работе решается следующая задача. Известна динамика и структура валового регионального продукта (ВРП) Нижегородской области (без налогов)
в период с 1994 г. по 2000 г. (в млн. руб.) (до 1998 г. – в млрд. руб.) (табл.1) [1].
Зная структуру ВРП (без налогов) в период с 1994 г. по 1998 г., оценим, как она
изменится в последующие два года, и сравним прогнозные оценки с имеющимися
реальными данными.
Табл. 1
Отрасли
1. Промышленность
2. Сельское хозяйство
3. Строительство
4. Рыночные услуги
5. Нерыночные услуги
ВРП (без налогов)
1994 г.
5902,9
721,7
1186,3
4962,3
951,2
13724,4
Периоды наблюдения
1995 г.
1996 г.
1997 г.
13763,6
15197,7 16836,7
1941,6
2707,9
2295,8
2575,9
3047,4
3969,2
9918,4
10165,3 16760,9
2353,2
4854,6
4808
30552,7
35972,9 44670,6
1998 г.
17383,6
2183,3
3340,2
19303,1
4855,3
47065,5
Рассматривая каждую из представленных в табл. 1 отраслей как инвестиционную альтернативу и проводя сравнение альтернатив согласно методике [2], использующей критерии стохастического доминирования и элементы теории голосований,
получаем следующие предпочтения инвестора: 1  2  3  4  5. Это означает, что в
ближайшие год-два капитал, задействованный во всей экономике Нижегородской
области, перераспределится таким образом, что наибольший приток инвестиционных средств будет наблюдаться в промышленности, а наибольший отток средств – в
сфере нерыночных услуг. При этом уже в 1999 г. и 2000 г. в наиболее перспектив228
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
ных с точки зрения инвестора отраслях будет наблюдаться отдача от инвестиций,
т.к. инвестор уже в 1998 г. реагирует на изменения в рыночной конъюнктуре.
Далее необходимо сопоставить полученные прогнозные оценки с реальными
изменениями структуры ВРП, имевшими место в 1999 г. и 2000 г. Для этого на
основе реальных данных 1999 г. и 2000 г. рассчитывается удельный вес валовой
добавленной стоимости (ВДС) каждой отрасли в общей величине ВРП (без налогов), затем производим подобные расчеты для периода с 1994 г. по 1998 г. После
этого, используя метод наименьших квадратов, можем установить зависимость
удельного веса ВДС каждой отрасли от порядкового номера года в виде уравнения
линейной регрессии y= +x. Далее сравнивается реальный удельный вес ВДС
каждой отрасли с прогнозным, т.е. рассчитанным по уравнению регрессии (табл.2).
Отрасли
1. Промышленность
2. Сельское хозяйство
3. Строительство
4. Рыночные услуги
5. Нерыночные услуги
Доминирование
Отклонение от прогноза
в 1999 г.
3,34
2,78
-1,58
-1,74
-2,67
12345
Табл. 2
Отклонение от прогноза
в 2000 г.
5,25
2,65
-2,18
-1,97
-3,6
12435
Как видно из табл.2, прогноз возможностей перелива капитала между отраслями ВРП (без налогов) с помощью методики, использующей критерии стохастического доминирования и элементы теории голосований, позволяет получить точные
оценки на один период (в нашем случае на один год) вперед.
Прогноз на период в два года тоже достаточно точен. Искажения оценок проявляются лишь по отраслям 3 и 4, причем искажения незначительны. Поэтому в
целях повышения точности прогноза перелива капитала между отраслями необходимо каждый период (в нашем случае каждый год) проводить анализ, представленный в работе [2] и в настоящей статье.
Кроме того, из данных табл.2 следует, что влияние кризиса 1998 г. не сказалось
на справедливости результатов прогноза, что свидетельствует о значительной
устойчивости полученных прогнозных оценок даже в условиях существования
опасности шоковых явлений в экономике страны.
[1] Статистические материалы “Нижегородская область 1991-2001 гг.” (электронный вариант) -Н.Новгород: Нижегородский областной комитет государственной
статистики, 2002, с.105.
[2] Данилова Т.Н., Кошелев Е.В. //Ученые записки. Т.6. -Н.Новгород: Изд-во
ВВАГС, 2003, с.74.
229
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
БИФУРКАЦИЯ РОЖДЕНИЯ ИНВАРИАНТНОГО ТОРА В СЛУЧАЕ
ГОМОКЛИНИЧЕСКОГО КАСАНИЯ МНОГООБРАЗИЙ СЕДЛО-ФОКУСА
И.И.Овсянников
Нижегородский госуниверситет
В данной работе рассматривается трехмерный диффеоморфизм, имеющий неподвижную точку типа седло-фокус, устойчивое и неустойчивое многообразия
которой касаются квадратичным образом. При этом, якобиан отображения J=2
(где  и  – абсолютные величины устойчивых и неустойчивого мультипликаторов)
равен 1. Целью работы является изучение основных бифуркаций однообходных
периодических траекторий в системах, близких к исходной особое внимание следует уделить бифуркации рождения инвариантного тора из периодической траектории.
Наличие негрубой гомоклинической траектории влечет за собой нетривиальную динамику, в том числе, возникновение странных аттракторов, квазиаттракторов
и др. [1,2]. Переход через границу J=1 означает смену глобальной устойчивости
(сжатия) на неустойчивость и, возможно, рождение инвариантного тора. В физической системе рождение тора – это срыв с периодического режима на биения.
Исследование проводится в трехпараметрическом семействе диффеоморфизмов. Один из параметров отвечает за расщепление многообразий седла, второй - за
отклонение величины J от 1, а третий – это аргумент устойчивых мультипликаторов
.
С помощью перемасштабирования координат и параметров отображение первого возвращения можно привести к следующему виду:
X  Y,
Y  Z,
Z  M  BY  CX  Z 2 .
(1)
Здесь M, B и C – перемасштабированные исходные параметры.
Для исследования бифуркации рождения инвариантного тора необходимо вычислить первую ляпуновскую величину в сложном фокусе и определить ее знак.
Были получены бифуркационные условия на параметры, при этом двумерные
объемы локально сохраняются, а по третьей координате происходит либо сжатие,
либо растяжение, в зависимости от величины параметра C. По теореме о центральном многообразии, существует двумерное инвариантное многообразие, имеющее
вид
Z  aX 2  bXY  cY 2 ,
(2)
на котором и происходит определяющая динамика. Коэффициенты в формуле (2)
вычисляются из условия инвариантности многообразия. После ограничения на
центральном многообразии была вычислена первая ляпуновская величина, исследо230
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
вание которой показало, что при различных значениях параметров она может менять знак, поэтому в исходной системе возможно рождение как устойчивых, так и
неустойчивых торов. Также важно определить границу, где она обращается в 0, на
которой необходимо дополнительное исследование.
Таким образом, изучение однообходных периодических траекторий в изначально поставленной задаче свелось к исследованию неподвижных точек отображения (1). Показано, что при разрушении негрубой гомоклинической орбиты могут
рождаться торы различных топологических типов.
Работа поддержана грантами “Ведущие научные школы” №НШ-838.2003.2;
РФФИ №02-01-00273.
[1] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. //Computers Math. Applic. 1997. V.34,
№2-4. P.195.
[2] Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. //Матем. сб. 1972. Т.88, №4. C.475.
МНОГОМЕРНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
О.Н.Репин, А.И.Саичев
Нижегородский госуниверситет
Рассмотрим краевую задачу для системы стохастических дифференциальных
уравнений (СДУ) вида
dx i (t )  a i ( x1 ,, x n )dt  dW i (t )

i  1,..., n

(1)
x i (0)  x i (T ) ,
(2)
с граничными условиями
где W(t) =
– n-мерный винеровский процесс.
Обозначим через Lt(,z) – решение задачи Коши для СДУ (3) с начальным
условием x(0)=z. Аналогично [1] решением краевой задачи (1),(2) назовем случайный процесс x(t)=Lt(,z*), где z* – неподвижная точка оператора LT(,z), т.е. решение уравнения LT(,z)=z.
Цель настоящей работы заключается в нахождении условий, при которых стохастическая краевая задача (СКЗ) (1),(2) имеет единственное решение.
Запишем СКЗ в интегральном векторном виде
{W1(t),…,Wn(t)}
t
x(t )  z   A(x( ))d  W(t ) ,
(3)
0
x(t )  z .
(Lit(,z)/zj),
(4)
Введем матрицу Y(t)=
полученную дифференцированием решения Lt(,z) по начальным данным, уравнение для которой имеет вид
231
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
t
Y(t )  exp{ B( )d } ,
(5)
0
где B()=(Ai(x)/xj) – матрица Якоби функции A(x). Матричное уравнение (5) линейно по Y и его решение имеет вид
t
Y(t )  exp{ B( )d } .
(6)
0
Пусть 1,…,n, собственные числа матрицы B, а 1,…,n – собственные числа
матрицы Y. Тогда справедлива оценка I exp{tmaxI}, используя которую оценим
спектральную норму матрицы
Y
2
 max  i  exp{t max  i } .
(7)
Пусть max i0, тогда Y2 <1. Применяя формулу Лагранжа, получим
LT ( , z1 )  LT ( , z 2 )
2
 exp{T } z1  z 2 .
(8)
Так как exp{t}<1, то LT(,z) – оператор сжатия. По теореме о сжатых отображениях для случайных операторов [2] уравнение LT(,z)=z имеет единственное
решение, и x(t)= Lt(,z*) – решение исходной СКЗ.
[1] Репин О.Н., Саичев А.И. //Дифференциальные и интегральные уравнения. 1986.
С.82.
[2] Кириллов П.В. Случайные уравнения. -Кишинев: Штиинца, 1982.
ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АНОМАЛЬНАЯ ДИФФУЗИЯ.
МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
А.И.Саичев, С.Г.Уткин
Нижегородский госуниверситет
Аномальной диффузии, отличие которой от линейной заключается в нелинейном росте среднего квадрата диффузионного процесса со временем, в последние годы проявляется особое внимание [1]. Явления аномальной диффузии затрагивают
широкий спектр физических проблем, таких как перенос заряда в аморфных полупроводниках [2-4], геометрия фракталов [5], квантовая оптика [6], турбулентная
диффузия [7], хаотическая динамика гамильтоновых систем [8] и т.д.
Чаще всего зависимость среднего квадрата удовлетворяет степенному закону
<X2(t)> ~ tγ,
возникающему из-за нарушения закона больших чисел (ЗБЧ) и (или) центральной
предельной теоремы (ЦПТ). Для описания асимптотического (на больших временах
и в больших пространственных масштабах) поведения подобных стохастических
процессов применяют аппарат дробных производных. Зачастую решение уравнений
232
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
в частных дробных производных затруднено, или возможно только в частных случаях.
Кроме “чисто” аномально-диффузионных процессов, для многочисленных приложений представляют интерес, до сих пор практически неизученные, “суб-аномальные” случайные процессы, до некоторого момента подчиняющиеся аномальнодиффузионным закономерностям, а на очень больших временах удовлетворяющие
ЗБЧ и ЦПТ. В данной работе исследуются подобные процессы случайных блужданий, проявляющие промежуточный аномально-диффузионный характер, и подчиняющиеся линейному закону диффузии при t→∞.
Был рассмотрен процесс многомерных случайных блужданий, подчиняющийся
стохастическому уравнению
dX(t )
  h k   (t  t k ) ,
dt
k
и описывающий скачки радиус-вектора частицы X на случайные величины hk в
случайные моменты времени tk. За распределение случайных интервалов между
скачками была выбрана функция с Лаплас-образом
fˆ ( s ) 
1  
,
(s   )   
родственная дробно-экспоненциальному [9], здесь δ – малый параметр, а 0<β<1. А
многомерная характеристическая функция величин скачков имеет асимптотику
2 2
~ (u )  1   u .
w
2
Найдены решения уравнений для плотности вероятностей процесса в двумерном и трехмерном случаях. На больших временах – это гауссово распределение
W2 D (x; t ) 
W3D (x; t ) 

  1 x 2 
exp 
,
2 2 (1    )t
 2 2 (1    )t 
  1
1
2 2 (1    )t 3 / 2


x2
exp 
.
2
 
 2 (1   )t 
А на промежуточных временах они могут быть записаны через функции Миттаг-Леффлера [9,10], либо в интегральном виде
W2 D (x; t ) 



 e  yt dy 
x 2
Ime i  K 0  
e i / 2 y  / 2 
,
  (1    )
 y1  
 2 2 (1    ) 
0



1
233
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
W3D (x; t ) 



 dy 
x 2
Imei  exp   yt 
e i / 2 y  / 2 
.


 y1  
2  (1   ) x
 (1   )
0




1
2 2

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов Ведущие
Научные Школы НШ-838.2003.2, РФФИ 03-02-16680, а также гранта Минобразования РФ Е02-3.5-232.
Metzler R., Klafter J. //Phys. Rep. 2000. V.339, №1. P.1.
Учайкин В.В. //ЖТФ. 1998. T.68, вып.1. С.138.
Учайкин В.В. //ТМФ. 1998. Т.115, №1. С.154.
Учайкин В.В., Саенко В.В. //ЖТФ. 2001. T.71, вып.2. С.8.
Rinn B., Dieteich W., Maass P. //Phil. Mag. 1998. V.77, №.5. P.1283.
Schaufler M.F., Schleich W.P., Yakovlev V.P. //Phys. Rev. Lett. 1997. V.39. P.383.
Zaslavsky G.M., Benkanda S. Chaos, Kinetics and Nonlinear Dynamics in Fluids and
Plasmas. -Berlin: Springer, 1998.
[8] Zaslavsky G.M., Edelman M., Niyazov B.A. //Chaos. 1997. V.7, №1. P.159.
[9] Саичев А.И., Уткин С.Г. //Актуальные проблемы статистической радиофизики
(малаховский сборник). 2002. Т.1, №1. С.5.
[10] Saichev A.I., Woyczynski W.A. Distributions in the Physical and Engineering Sciences. Volume I. –Boston: Birkhäuser, 1997, 336p.
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
ДЛЯ ОСНОВНЫХ ИЗОТОПОМЕРОВ МОЛЕКУЛЫ ВОДЫ
С.В.Ширин, О.Л.Полянский, Н.Ф.Зобов
Институт прикладной физики РАН
Вариационные расчеты заключаются в численном решении уравнения Шредингера с точным оператором кинетической энергии в приближении БорнаОппенгеймера. Для получения наиболее точных расчетов используют полуэмпирические поверхности потенциальной энергии, параметры которых определяются из
критерия наилучшего описания экспериментальных данных.
Колебательно-вращательные уровни Е находятся из решения системы алгебраических уравнений
N
 i H  E  j C j  0 ,
j 1
где число N определяет размерность базиса волновых функций фi, Сj – константы
разложения собственных функций гамильтониана H по этому базису.
Поверхность потенциальной энергии – это значительный фактор, определяющий точность вариационных расчетов колебательно-вращательных спектров. При
расчетах, в основе потенциальной поверхности обычно используется высококачественная ab initio поверхность, рассчитанная методами квантовой химии. Для по234
Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2004
вышения точности расчетов проводят оптимизацию поверхности потенциальной
энергии. Обычно она осуществляется умножением потенциальной функции на
некий морфический полином, параметры которого подбираются из условия минимизации стандартного отклонения. Интраполяционные свойства оптимизированного потенциала, как правило, получаются довольно высокими как по энергии, так и
по квантовым числам. Экстраполяционные – несколько хуже.
Авторами были проведены совместные оптимизации поверхностей потенциальной энергии для молекул – H216O, H217O и H218O. При оптимизации в основу
была положена высококачественная, недавно рассчитанная нами ab initio поверхность потенциальной энергии молекулы воды [1]. К ней были добавлены поправки к
приближению Борна-Оппенгеймера: адиабатическая [2], релятивистская [3,4], поправка, учитывающая лэмбовский сдвиг [5] и неадиабатическая поправка [2]. Оптимизации производилась до энергий 25000 см-1.
Первая оптимизация проводилась для J=0, 2 и 5. Она включала 1788 уровней
энергии. При оптимизации было использовано 27 параметров. Получено стандартное отклонение рассчитанных уровней от экспериментальных 0,071 см-1. Во вторую
оптимизацию были добавлены уровни энергии с J=10. Было получено стандартное
отклонение 0,077 см-1. При третьей оптимизации были взяты лишь те экспериментальные уровни энергии, которые дают не большую ошибку по сравнению с расчетом. Было использовано 1004 уровня, что позволило достигнуть точности расчетов
0,028 см-1.
В таблице приведены результаты расчета уровней энергии с полученными поверхностями потенциальной энергии. N – это количество уровней, использованное
при вычислении стандартного отклонения. При J=20 и N=334 все уровни с v22 и
Ka>15 были исключены.
J
N
стандартное отклонение
опт. 1
опт. 2
опт. 3
20
352
0.312
0.206
0.37
20
334
0.204
0.159
0.23
39
10
0.087
0.047
–
40
6
0.055
0.063
–
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 03-02-16125).
[1] Polyansy O., Csaszar A., Shirin S., Zobov N., Barletta P., Tennyson J., Schwenke D.,
Knowles P. //Science. 2003. V.299. P.539.
[2] Schwenke D. //J. Phys. Chem. A. 2001. V.105. P.2352.
[3] Csaszar A., Kain J., Polyansky O., Zobov N., Tennyson J. //Chem. Phys. Let. 1998.
V.293. P.317.
[4] Quiney H., Barletta P., Tarczay G., Csaszar A., Polyansky O., Tennyson J. //Chem.
Phys. Let. 2001. V.344. P.413.
[5] Pyykko P., Dyall K.G., Csaszar A., Tarczay G., Polyansky O., Tennyson J. //Phys.
Rev. A. 2001. V.63. P.024502.
235