Методическое письмо о преподавании учебного предмета

Методическое письмо
О преподавании учебного предмета «Математика» в условиях введения
федерального компонента государственного стандарта общего образования
I. Общая характеристика учебного предмета
1.2. Основная школа
Математическое образование в основной школе складывается из следующих
содержательных компонентов (точные названия блоков): арифметика; алгебра;
геометрия; элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики. В
своей совокупности они отражают богатый опыт обучения математике в нашей стране,
учитывают современные тенденции отечественной и зарубежной школы и позволяют
реализовать поставленные перед школьным образованием цели на информационно
емком и практически значимом материале. Эти содержательные компоненты,
развиваясь на протяжении всех лет обучения, естественным образом переплетаются и
взаимодействуют в учебных курсах.
Арифметика призвана способствовать приобретению практических навыков,
необходимых для повседневной жизни. Она служит базой для всего дальнейшего
изучения математики, способствует логическому развитию и формированию умения
пользоваться алгоритмами.
Алгебра нацелена на формирование математического аппарата для решения
задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры
подчеркивает значение математики как языка для построения математических
моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения
алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности,
для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений.
Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие
воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной задачей
изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях
как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных
процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных, периодических и др.),
для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии
цивилизации и культуры.
Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования,
необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически
значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для
развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для
эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие
логического мышления, в формирование понятия доказательства.
Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся
обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и
практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования
функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию,
представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих
реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение
1
основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев,
перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.
При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о
современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли
статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы
вероятностного мышления.
Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают
возможность:
∙ развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике;
сформировать практические навыки выполнения устных, письменных,
инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;
∙ овладеть символическим языком алгебры, выработать формальнооперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению
математических и нематематических задач;
∙ изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать
функционально-графические представления для описания и анализа реальных
зависимостей;
∙ развить пространственные представления и изобразительные умения, освоить
основные факты и методы планиметрии, познакомиться с простейшими
пространственными телами и их свойствами;
∙ получить представления о статистических закономерностях в реальном мире
и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов,
носящих вероятностный характер;
∙ развить логическое мышление и речь – умениия логически обосновывать
суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и
контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный,
символический,
графический)
для
иллюстрации,
интерпретации,
аргументации и доказательства;
∙ сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как
важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и
явлений.
Цели
Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на
достижение следующих целей:
овладение системой математических знаний и умений, не-обходимых для
применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин,
продолжения образования;
интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых
человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных
математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления,
интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры,
пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;
формирование представлений об идеях и методах математики как
универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношения к математике как к части
общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.
2
Место предмета в федеральном базисном учебном плане
Согласно федеральному базисному учебному плану для образовательных
учреждений Российской Федерации на изучение математики на ступени основного
общего образования отводится не менее 875 ч из расчета 5 ч в неделю с V по IX класс.
Примерная программа рассчитана на 875 учебных часов. При этом в ней
предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 90 учебных часов для
реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации
учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических
технологий.
Общеучебные умения, навыки и способы деятельности.
В ходе преподавания математики в основной школе, работы над формированием
у учащихся перечисленных в программе знаний и умений, следует обращать внимание
на то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными
способами деятельности, приобретали опыт:
планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения
заданных и конструирования новых алгоритмов;
решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе
задач, требующих поиска пути и способов решения;
исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов,
обобщения, постановки и формулирования новых задач;
ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной
речи, использования различных языков математики (словесного, символического,
графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации,
интерпретации, аргументации и доказательства;
проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и
их обоснования;
поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования
разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную
литературу, современные информационные технологии.
Результаты обучения
Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и
задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все
учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является
обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы.
Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь»,
«использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по
каждому из разделов содержания.
3
1.2. Старшая школа (базовый уровень)
При изучении курса математики на базовом уровне продолжаются и получают
развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства»,
«Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,
вводится линия «Начала математического анализа». В рамках указанных
содержательных линий решаются следующие задачи:
систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений
и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры,
расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в
основной школе, и его применение к решению математических и нематематических
задач;
расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса
изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и
изучения реальных зависимостей;
изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять
полученные знания для решения практических задач;
развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в
окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем
обогащения математического языка, развития логического мышления;
знакомство с основными идеями и методами математического анализа.
Цели
Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на
достижение следующих целей:
формирование представлений о математике как универсальном языке науки,
средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
развитие
логического
мышления,
пространственного
воображения,
алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для
обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей
профессиональной деятельности;
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в
повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на
базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной
математической подготовки;
воспитание средствами математики культуры личности: отношения к
математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития
математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для
общественного прогресса.
Место предмета в базисном учебном плане
Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательных
учреждений Российской Федерации для обязательного изучения математики на этапе
основного общего образования отводится не менее 280 часов из расчета 4 часа в
неделю. При этом предполагается построение курса в форме последовательности
4
тематических блоков с чередованием материала по алгебре, анализу, дискретной
математике, геометрии.
Примерная программа рассчитана на 280 учебных часов. При этом в ней
предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 30 учебных часов для
реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации
учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических
технологий.
Общеучебные умения, навыки и способы деятельности
В ходе освоения содержания математического образования учащиеся
овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют
опыт:
построения и исследования математических моделей для описания и решения
прикладных задач, задач из смежных дисциплин;
выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и
инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического
характера; использования математических формул и самостоятельного составления
формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;
самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и
систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;
проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов,
различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и
эмоционально убедительных суждений;
самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в
результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников
учебного коллектива и мнением авторитетных источников.
Результаты обучения
Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и
задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все
учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является
обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы.
Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь»,
«использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни». При этом последние две компоненты представлены отдельно по
каждому из разделов, содержания.
Очерченные стандартом рамки содержания и требований ориентированы на
развитие учащихся и не должны препятствовать достижению более высоких уровней.
5
1.3. Старшая школа (базовый уровень – 2)
В данном курсе представлены содержательные линии «Алгебра», «Функции»,
«Начала математического анализа», «Уравнения и неравенства», «Геометрия»,
«Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики». В рамках
указанных содержательных линий решаются следующие задачи:
систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений
и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры,
расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в
основной школе и его применение к решению математических и нематематических
задач;
расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса
изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и
изучения реальных зависимостей;
изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять
полученные знания для решения практических задач;
развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в
окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем
обогащения математического языка, развития логического мышления;
знакомство с основными идеями и методами математического анализа.
Цели
Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на
достижение следующих целей:
формирование представлений о математике, как универсальном языка науки,
средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
развитие
логического
мышления,
пространственного
воображения,
алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для
обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей
профессиональной деятельности;
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в
повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на
базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной
математической подготовки;
воспитание средствами математики культуры личности: отношения к
математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития
математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для
общественного прогресса.
Место предмета в базисном учебном плане
Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательных
учреждений Российской Федерации для обязательного изучения математики на этапе
основного общего образования отводится не менее 280 часов из расчета 4 часа в
неделю. При этом предполагается построение курса в форме последовательности
6
тематических блоков с чередованием материала по алгебре, анализу, дискретной
математике, геометрии.
Примерная программа рассчитана на 280 учебных часов. При этом в ней
предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 30 учебных часов для
реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации
учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических
технологий.
Общеучебные умения, навыки и способы деятельности
В ходе освоения содержания математического образования учащиеся
овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют
опыт:
построения и исследования математических моделей для описания и решения
прикладных задач, задач из смежных дисциплин;
выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и
инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического
характера; использования математических формул и самостоятельного составления
формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;
самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и
систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;
проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов,
различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и
эмоционально убедительных суждений;
самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в
результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников
учебного коллектива и мнением авторитетных источников.
Результаты обучения
Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и
задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все
учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является
обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы.
Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь»,
«использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни». При этом последние две компоненты представлены отдельно по
каждому из разделов, содержания.
Очерченные стандартом рамки содержания и требований ориентированы на
развитие учащихся и не должны препятствовать достижению более высоких уровней.
7
1.4. Старшая школа (профильный уровень)
В профильном курсе содержание образования, представленное в основной
школе, развивается в следующих направлениях:
систематизация сведений о числах; формирование представлений о расширении
числовых множеств от натуральных до комплексных как способе построения нового
математического аппарата для решения задач окружающего мира и внутренних задач
математики; совершенствование техники вычислений;
развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований,
решения уравнений, неравенств, систем;
систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование
графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического
анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать
простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;
расширение системы сведений о свойствах плоских фигур, систематическое
изучение свойств пространственных тел, развитие представлений о геометрических
измерениях;
развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в
окружающем мире;
совершенствование математического развития до уровня, позволяющего
свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных
разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;
формирование способности строить и исследовать простейшие математические
модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление
знаний об особенностях применения математических методов к исследованию
процессов и явлений в природе и обществе.
Цели
Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на
достижение следующих целей:
формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как
универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
овладение устным и письменным математическим языком, математическими
знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественно-научных
дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на
современном уровне;
развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного
воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих
способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для
самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей
профессиональной деятельности;
воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей
развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости
математики для общественного прогресса.
8
Место предмета в базисном учебном плане
Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательных
учреждений Российской Федерации для обязательного изучения математики на этапе
основного общего образования отводится не менее 420 ч из расчета 6 ч в неделю. При
этом учебное время может быть увеличено до 12 уроков в неделю за счет школьного
компонента с учетом элективных курсов. Примерная программа рассчитана на 408
учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в
объеме 50 учебных часов для реализации авторских подходов, использования
разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов
обучения и педагогических технологий.
Общеучебные умения, навыки и способы деятельности
В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся
продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и
совершенствуют опыт:
проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов,
использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации,
аргументации и доказательства;
решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и
творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых
задач;
планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и
самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на
математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на
основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов
практического характера;
построения и исследования математических моделей для описания и решения
прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки
результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным
жизненным опытом;
самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и
систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.
Результаты обучения
Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и
задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все
выпускники, изучавшие курс математики по профильному уровню, и достижение
которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс
средней (полной) школы. Эти требования структурированы по трем компонентам:
«знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в
практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние две
компоненты представлены отдельно по каждому из разделов, содержания.
Очерченные стандартом рамки содержания и требований ориентированы на
развитие учащихся и не должны препятствовать достижению более высоких уровней.
9
II. Новизна подхода к разработке стандарта
Настоящий проект федерального компонента образовательного стандарта по
математике развивает идеи действующих обязательных минимумов содержания
образования для основной и старшей школы. В то же время он характеризуется рядом
нововведений.
Одно из важнейших содержательных отличий стандарта математического
образования от действующего минимума содержания состоит во включении нового
для нашей школы материала – элементов статистики и теории вероятностей. Это
обусловлено той ролью, которую играет вероятностно-статистические знания в
общеобразовательной подготовке современного человека – без минимальной
вероятностно-статистической грамотности нельзя в наши дни адекватно воспринимать
разнообразную социальную, политическую, экономическую информацию и принимать
на ее основе обоснованные решения. Без соответствующей подготовки невозможно
полноценное изучение естественнонаучных и социально-экономических дисциплин
уже в средней школе. Стохастическая линия строится как объединение трех
взаимосвязанных составляющих – элементов комбинаторики, вероятности и
статистики и включается в обучение как в основной, так и в старшей школе.
Новым является также явное выделение в содержании образования элементов
логики, что с одной стороны, диктует необходимость усиления внимания в процессе
обучения к логическому развитию учащихся, а с другой – регламентирует требования
к системе логических понятий и логическому языку, которыми должны овладеть все
учащиеся.
Разгрузка содержания математического образования основной школы не
значительна, она обеспечена выделением материала, подлежащего изучению, но не
включаемого в требования к уровню подготовки выпускников (выделен курсивом);
доля такого материала в стандарте составляет около 12%. Это не приведет к ломке
системы обучения математике, сложившейся в многолетней практике работы
отечественной школы.
Стандарт математического образования для третьей ступени школы
предусматривает существенное различие уровней освоения математики. Базовый курс
обеспечивает потребности учащихся в изучении других предметов и получения
высшего образования в областях, где не предъявляются высокие требования к
владению математическим аппаратом. Базовый курс сформирован как продолжение
курса основной школы и имеет общеобразовательный характер со значительным
вниманием к интеллектуальному и общекультурному развитию учащихся. В
частности, в него также включены такие вопросы как элементы статистики и теории
вероятностей. По сравнению с действующим содержание образования разгружено за
счет явного выделения вопросов, изучаемых в ознакомительном плане (вопросы,
выделенные курсивом), а также приведения требований к подготовке в соответствие с
реальными возможностями большинства учащихся.
Профильный курс ориентирован на продолжение учащимися образования в
высшей школе по специальностям, требующим достаточно высокой математической
подготовки и в плане интеллектуального развития, и в плане владения математическим
аппаратом, обеспечивающие знакомство с особенностями математического метода, а
также с особенностями применения математики к решению прикладных задач. Его
содержание в целом расширено по сравнению с действующим обязательным
10
минимумом. В частности, оно дополнено алгебраическим материалом, входящим в
программу углубленного изучения математики в старших классах: делимость,
многочлены, комплексные числа.
В современной российской школе математика изучается на трех уровнях,
которые условно обозначаются как «углубленный», общий (курс В) и «гуманитарный»
(курс А). Эта традиция сохраняется и в настоящем стандарте по математике. Создание
курса, ориентированного на учащихся, для которых математика является
востребованным предметом, позволило значительно разгрузить курс математики для
тех, кто в ближайшей перспективе не планирует связывать свою профессиональную
деятельность с математикой. С помощью требований в базовом курсе выделяется еще
один уровень стандарта математического образования, условно названный базовым
уровнем-2. Он предназначен для тех учащихся, которые не предполагают сдавать
вступительные экзамены по математике.
Основной акцент в нем делается на идейную и прикладную сторону изучаемых
вопросов и существенно ограничен объем используемого математического аппарата.
Так, в него включен минимальный набор тригонометрических формул, позволяющий
выражать одни функции через другие и познакомиться с примерами решения
тригонометрических уравнений. Содержание, связанное со степенями и логарифмами,
ограничено
лишь
основными
свойствами,
позволяющими
завершить
соответствующую линию. При изучении функций основное внимание направлено на
ознакомление со свойствами конкретных числовых функций, их графической
интерпретацией, с примерами функциональных зависимостей в реальных процессах и
явлениях. Учащиеся знакомятся с историей создания дифференциального и
интегрального исчисления, его практической значимостью. На его изучение отводится
то же учебное время, что и собственно на базовый курс, но при организации
государственного контроля уровня математической подготовки требования,
выделенные в стандарте курсивом, к этим учащимся не предъявляются.
В методическом отношении новизна стандарта диктуется изменениями в целях
обучения математике. Так, минимум содержания обучения математике в основной
школе отличается от существующего общеобразовательным характером, он
ориентирован на интеллектуальное развитие учащихся и на возможности применения
математики в повседневной жизни. Конкретные математические знания,
приобретаемые учащимися в этом курсе, обеспечивают возможность изучения других
предметов и продолжения обучения в любом из профилей старшей школы.
В настоящем документе более четко определены границы между минимумом
содержания образования и требованиями к уровню подготовки выпускников основной
и средней школы. Это позволяет обеспечить дифференциацию процесса обучения, при
этом общий уровень образования не снижается.
В стандарте усилена прикладная, практико-ориентированная направленность
стандарта путем включения в требования знаний, умений и навыков, востребованных в
повседневной жизни ученика.
11