Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса средних общеобразовательных учреждений

Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса средних
общеобразовательных учреждений
На тему «Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости»
Цель урока:
Образовательная: ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве; доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных
прямых к третьей прямой; дать определение перпендикулярности прямой и плоскости; доказать теоремы, в которых устанавливается связь
между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Развивающая: способствовать развитию памяти, внимания, мышления,
наблюдательности учащихся;
Воспитательная: способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы, формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Методы обучения: индуктивно-репродуктивный, дедуктивно-репродукивный.
Требования к ЗУН:
учащиеся должны знать:
- определение перпендикулярных прямых в пространстве;
- лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей
прямой;
- определение прямой перпендикулярной плоскости;
- теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью
прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
учащиеся должны уметь:
- находить перпендикулярные прямые в пространстве;
- доказывать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых
к третьей прямой;
- доказывать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
- применять полученные знания в процессе решения задач.
Литература:
1. Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 17-е изд. – М.:
Просвещение, 2008. – 256 с.
2. Саакян С. М. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб. : Кн. для учителя / В. Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 222 с.
3. Саранцев Г.И. Методика обучения геометрии: учеб. Пособие для
студентов вузов по направлению «Педагогическое образование» / Г.И.
Саранцев. – Казань: Центр инновационных технологий, 2011. – 288 с.
Структура урока:
I. Организационный момент (2 мин.)
II. Актуализация знаний (5 мин.)
III. Изучение нового материала (22 мин.)
IV. Закрепление изученного материала (12 мин.)
V. Подведение итогов и Д/З (4 мин.)
Ход урока
I. Организационный момент
Приветствие
учащихся,
проверка
отсутствующих
и
готовности
помещения к уроку.
II. Актуализация знаний
Учитель: Ребята, сегодня мы начинаем изучение второй главы, которая называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей». А тема сегодняшнего урока «Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные
прямые, перпендикулярные к плоскости». Но прежде чем перейти к новой
теме, давайте вспомним материал изученный ранее. Какие прямые, на плоскости, называются перпендикулярными?
Ученик: Если две прямые пересекаются под прямым углом, то они
перпендикулярны.
Учитель: Верно. Посмотрите на куб ABCDA1B1C1D1.
Запись на доске
300
Итак, нам дано ABCDA1B1C1D1 – куб, ∠DAB=300. Найдите: 1) угол
между прямыми AB и A1D1; 2) угол между прямыми A1B1 и AD; 3) угол между прямыми AB и B1C1.
1-й ученик: Угол между прямыми AB и A1D1 равен углу между прямыми AB и AD и равен 300.
2-й ученик: Угол между прямыми A1B1 и AD равен углу между прямыми AB и AD и равен 300.
3-й ученик: Угол между прямыми AB и B1C1 равен углу между прямыми AB и BC и равен (3600 – 2*300)/2=1500 (т.к. ABCD – параллелограмм).
Учитель: Все верно. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то …?
Ученик: И другая прямая пересекает эту плоскость.
III. Изучение нового материала
Учитель: Какие три случая взаимного расположения двух прямых в
пространстве вы знаете?
Ученик: Прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо скрещиваются.
Учитель: Верно. Теперь приступим к изучению новой темы. Откройте
свои рабочие тетради и запишите число, классная работа и тему сегодняшнего урока.
Запись на доске (в тетрадях)
Дата.
Классная работа
Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые,
перпендикулярные к плоскости.
Учитель: Посмотрите, пожалуйста, еще раз на куб, изображенный на
доске. Как называются прямые AB и BC?
Запись на доске
Ученик: Перпендикулярными.
Учитель: Найдите угол между прямыми AA1 и DC, BB1 и AD.
Ученик: Угол между прямыми AA1 и DC равен углу между прямыми
BB1 и AD и равен 900.
Учитель: Что из этого следует?
Ученик: Прямая AA1 перпендикулярна прямой DC, а прямая BB1 перпендикулярна прямой AD.
Учитель: Верно. Итак, две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. Запишите определение в тетрадь.
Запись в тетрадях
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно
перпендикулярными), если угол между ними равен 900.
Учитель: Перпендикулярность прямых a и b обозначается так: a⊥b.
Запись на доске (в тетрадях)
a⊥b – обозначение перпендикулярных прямых.
Учитель: Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных
прямых третьей.
Запись в тетрадях
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей
прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
Запись на доске (в тетрадях)
Дано: a||b, а⊥с.
Доказать: b⊥с.
Доказательство:
1) Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые
МА и МС параллельные соответственно прямым a и с, то ∠AMC=90°.
2) По условию b||a, а по построению a||MA, поэтому b||MA. Итак,
прямые b и с параллельны соответственно прямым MA и MC, угол между ними равен 90°.
Учитель: Что это означает?
Ученик: Это означает, что угол между прямыми b и с также равен
90°, то есть b⊥с.
Запись на доске (в тетрадях)
Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, то
есть b⊥с. Лемма доказана.
Учитель: Рассмотрим модель куба ABCDA1B1C1D1.
Запись на доске
Учитель: Найдите угол между прямой AA1 и прямыми плоскости
(ABC): AB, AD, AC, BD, MN.
Ученик: Все эти углы прямые.
Учитель: Следовательно, прямая AA1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ABC). Запишем определение прямой перпендикулярной плоскости.
Запись в тетрадях
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Учитель: Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается
так: а⊥α. Говорят также, что плоскость α перпендикулярна к прямой а.
Запись в тетрадях
а⊥α – обозначение перпендикулярности прямой и плоскости.
Учитель: Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосивщийся столб линий электропередач стоит прямо, т.е. перпендикулярно к плоскости земли.
Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т.д. Докажем
две теоремы в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. Первая теорема звучит так:
«Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и
другая прямая перпендикулярна к этой плоскости». Запишите формулировку
в тетрадь.
Запись в тетрадях
Теорема
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Запись на доске (в тетрадях)
Дано: а||а1, а⊥α.
Доказать: а1⊥x.
Доказательство:
1) x⊂α, x – произвольная прямая. Из условия а⊥α
следует (по определению перпендикулярности
прямой и плоскости), что а⊥x; так как а1||а (по условию) и а⊥x, то (согласно
лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой)
а1⊥x.
2) Итак, прямая а перпендикулярна к произвольной прямой x, лежащей
в плоскости α. А это означает, что а1⊥α. Теорема доказана.
Учитель: Справедлива и обратная теорема: «Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны». Запишите формулировку в
тетрадь.
Запись в тетрадях
Теорема
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Учитель: Доказательство этой теоремы разберите самостоятельно.
VI. Закрепление изученного материала
Учитель: А теперь давайте приступим к решению задач. Первая задача
№117.
В тетраэдре ABCD BC⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где M и N - середины ребер AB и AC.
К доске вызывается ученик.
Запись на доске (в тетрадях)
Дано: DABC – тетраэдр; M∈AB: AM=BM; N∈AB:
AN=NC; BC⊥AD.
Доказать: AD⊥MN.
Доказательство:
1) MN – средняя линия ∆ABC, следовательно
MN||BC;
2) по лемме, так как BC⊥AD, то AD⊥MN.
Учитель: Верно. Переходим к следующей задаче. №120.
Через точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки к до вершины квадрата, если ОК=b.
К доске вызывается ученик.
Запись на доске (в тетрадях)
Дано:
ABCD
–
квадрат;
AB=a;
AC∩BD=O;
OK⊥(ABC); ОК=b.
Найти: AK, BK, CK, DK.
Решение:
1) AK=BK=CK=DK следует из равенства ∆AOK,
∆BOK, ∆COK, ∆DOK равны по двум катетам
(прямая OK перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, OK⊥OC и
OK⊥BD);
2) 𝐴𝑂 = 𝑅 =
𝑎 √2
2
;
3) Из ∆AOK: 𝐴𝐾 = √𝐾𝑂2 + 𝑂𝐴2 , 𝐴𝐾 = √𝑏 2 +
2𝑎2
4
=
√4𝑏2 +2𝑎2
2
.
Учитель: Верно. Переходим к следующей задаче. №116(а).
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите что: DC⊥B1C1 и
AB⊥A1D1, если ∠BAD=900.
К доске вызывается ученик.
Запись на доске (в тетрадях)
Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед; ∠BAD=900.
Доказать: DC⊥B1C1 и AB⊥A1D1.
Доказательство:
1) ∠BAD=900, следовательно, ABCD – прямоугольник;
DC⊥CB; DC⊥CC1, значит DC⊥(C1CB), следовательно,
DC⊥B1C1.
2) AB⊥AD; AB⊥AA1, следовательно, AB⊥ (AA1D), значит AB⊥A1D1.
V. Подведение итогов и Д/З
Учитель: Что нового вы узнали на сегодняшнем уроке?
Ученики: Определение перпендикулярных прямых в пространстве,
лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой,
определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказали теоремы, в
которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Учитель: Сформулируйте определение перпендикулярных прямых в
пространстве.
Ученики: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными
(взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.
Учитель: Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Ученики: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
Учитель: Сформулируйте теоремы, в которых устанавливается связь
между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Ученики: 1) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
2) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Учитель: Все правильно. Откройте свои дневники и запишите домашнее задание.
Домашнее задание
п.15-16, вопросы 1,2 (стр. 54)
№116(б), №118.
Выставление отметок.
Учитель: Урок окончен. Можете быть свободны.