Тема урока: Решение дробных рациональных уравнений

Тема урока: Решение дробных рациональных уравнений. (8 класс)
Цели урока:
Обучающая:
формирование понятия дробного рационального уравнения;
рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений;
обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
проверка уровня усвоения темы путем проведения работы в парах.
Развивающая:
развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически
мыслить;
развитие интеллектуальных умений;
развитие инициативы, умения принимать решения;
развитие критического мышления.
Воспитательная:
воспитание познавательного интереса к предмету;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Тип урока: урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! Посмотрите на уравнения, записанные на доске. С
решением каких из них вы знакомы, а чьи решения вызывают у вас
затруднения?
x2  9
x  x  3 x
 0
6
2
x2  2x  4  0
x4
x9

2x  1
x
Ответы детей.
Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными
выражениями, называются рациональными уравнениями. А уравнения, в
которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями,
называются дробными рациональными уравнениями.
С решением каких уравнений мы ещё не сталкивались на уроках?
Ответы детей.
Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем число и
тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
Что такое уравнение? Какое уравнение называется линейным? Способ решения
линейных уравнений. Какое уравнение называется квадратным? Способы
решения квадратных уравнений. Что такое пропорция? Основное свойство
пропорции. Какие свойства используются при решении уравнений? Когда дробь
имеет смысл?
3. Объяснение нового материала.
2x2  x 4x  2

Решим уравнение
; Один ученик у доски, остальные в
5
3
тетрадях.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в
него дробей, т.е. число 15. Получим уравнение, равносильное данному, не
содержащее дробей:
6 x 2  3 x  20 x  10 ;
Перенесём правую часть уравнения в левую его часть:
6 x 2  3x  20 x  10  0 ;
Приведём подобные слагаемые:
6 x 2  17 x  10  0 ;
Так как коэффициент перед х нечётный, воспользуемся первой формулой
2
дискриминанта D  b  4ac ;
D  49 ;
x1  2
x2 
5
6
Решим теперь дробное рациональное уравнение
x3 1
x5
;
 
x  5 x x  x  5
(1)
По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на общий
знаменатель дробей, т.е. на выражение xx  5 . Получим целое уравнение
(2)
xx  3  x  5  x  5 .
Каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2)
может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не
на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое
может обращаться в нуль. Поэтому не каждый корень уравнения (2)
обязательно окажется корнем исходного уравнения. Упростив уравнение (2),
получим квадратное уравнение
x 2  3x  10  0 .
Его корни – числа -2 и 5.
Проверим, являются ли числа -2 и 5 корнями уравнения (1). При х=-2 общий
знаменатель xx  5 не обращается в нуль. Значит, число -2 – корень исходного
уравнения.
При х=5 общий знаменатель обращается в нуль и выражения
x3
x5
и
x5
x  x  5
теряют смысл. Поэтому число 5 не является корнем уравнения (1).
Итак, корнем исходного уравнения служит только число -2.
Кто ещё раз может объяснить почему так получилось?
До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им
действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе
никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает
наводящие вопросы.
Чем отличается уравнение, которое мы решали первым от второго примера? Что
такое корень уравнения? Как выяснить является ли число корнем уравнения?
При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится
делить на нуль. Они делают вывод, что число 5 не является корнем данного
уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных
рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это
способ основан на условие равенства дроби нулю.
Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных
уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:
Перенести все в левую часть.
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Решить полученное целое уравнение.
Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Записать ответ.
4. Первичное осмысление нового материала.
Работа в тетрадях. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2008: №
600(а, г, ж); № 601(а - г). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает
на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам.
Самопроверка: ответы записаны на доске.
№ 600
а) Ответ: 0; 1.
г) Ответ: 1.
ж) Ответ: 2,5; -2.
№ 601
а) Ответ: -12,5.
б) Ответ: 3; 4.
в) Ответ: 6.
г) Ответ: -1; 3,25.
5. Постановка домашнего задания.
Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
Решить в тетрадях № 600(б, в, д, е, з, и); №601(д - з), №606(а,б).
6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.
Работа в парах. Выполняется на листочках.
Примерное задание:
Решите уравнения. Используя ответы, узнайте дословные переводы названий
стран:
Панама
Испания
x2
5x  6

x3
x3
6
x5
x
Уругвай
2x
3
x2


x  2 x  1 x  2x  1
«Страна бегемотов» - _____________________
-2, 3
«Бабочка» - _______________________________
2
«Птичий хвост» -__________________________
3
«Страна кроликов» -________________________
2, 3
Оставшееся название – дословный перевод государства Мали.
Критерии оценивания задания:
«5» ставится, если учащиеся выполнили правильно более 90% задания.
«4» - 75%-89%
«3» - 50%-74%
«2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.
Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.
7. Рефлексия.
На листочках с самостоятельной работой поставьте:
1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
2 – интересно, но не понятно;
3 – не интересно, но понятно;
4 – не интересно, не понятно.
8. Подведение итогов урока.
Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными
уравнениями, научились решать эти уравнения, проверили свои знания с
помощью самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы
узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить
полученные знания.
Всем спасибо, урок окончен.