Тема: Понятие производной

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе
Тема: Понятие производной
Цели урока:
1. Образовательные:
 изучить задачи, приводящие к понятию производной;
 определить новую математическую модель;
 добиться понимания геометрического и физического аспектов
вопроса;
2. Воспитательные:
 продолжить формирование научного мировоззрения учащихся;
 способствовать овладению мыслительными операциями: анализом,
синтезом и др.;
3. Развивающие:
 развитие умений интегрировать знания из курсов математики и
физики и применять их на практике;
 формирование познавательного интереса.
Оборудование и материалы:
 Презентация к уроку
 Ролик «Диалог между водителем-женщиной и полицейским,
взятый из знаменитых «Фейнмановских лекций по физике»
 Книга В. Левшина «Три дня в Карликании»
Сегодня у нас не обычный урок, а урок-праздник. Знаете почему?
- а потому что будем изучать новую тему. А новое при изучении математики
– это всегда – праздник. Но начнем … со сказки. Хочу рассказать, как
начиналась математика.
Мы знаем много древних государств: Индию, Египет, Вавилон, Ассирию,
Грецию… Мы даже знаем, когда примерно каждое из них появилось. А вот
когда появилось Арифметическое государство, этого никто не знает. А что
оно очень-очень древнее, можно заключить из того, что и в Вавилоне, и в
Египте, и в Греции, и на Руси, и во всех других древних государствах
упоминается и Арифметическое. Значит, оно древнее всех.
Может быть, его основал самый-самый древний человек на земле, такой
древний, что древнее его уже никого не было? Может быть, он издал Указ об
основании Арифметического государства? Или захватил силой какую-нибудь
страну и назвал её по-своему?
Нет, этого не может быть. Указов самый-самый древний человек писать,
конечно, не умел – он вообще писать не умел, а государств в то время
никаких и не было.
Были у древнего человека жена и двое детей. Вот пошёл однажды самыйсамый древний человек на охоту и убил самого-самого древнего дикого
кабана. Пришёл домой и… что же он сделал с добычей? Ну, конечно же,
разделил её на четыре части: жене, сыну, дочке и себе.
Так появилось на свете арифметическое действие – деление. Вот как
древний человек заложил первый камень Арифметического государства!
А потом пошло! Дети, как все дети, хотели есть. Надо было запасать еду
впрок. Древний человек стал чаще ходить на охоту, а добычу складывал в
яму.
Вы понимаете, что он делал? Он складывал!
А осенью надо было собрать много орехов, ягод – ведь дети любят
лакомства. Хозяйство древнего человека всё росло и умножалось.
А когда дети выросли, они переженились с детьми другого древнего
человека. Для них надо было устраивать самостоятельные хозяйства. Тут
родители без сожаления стали отнимать от своего добра самые лучшие
шкуры зверей, самые крупные орехи, плоды и отдавать их детям. Было у
родителей, скажем, по тридцати орехов, а после свадьбы оставалось только
по восемнадцати. Значит, по двенадцати орехов они отдали.
Скажите, пожалуйста, разве это не самое обычное действие – вычитание?
Но древний человек ещё не знал, как называются арифметические
действия. Он вообще не знал арифметики.
Конечно, это было очень давно. Можно только догадываться, как всё
происходило. Людей на земле появлялось всё больше, хозяйства их росли.
Всё труднее становилось делить, складывать, умножать, вычитать.
А вот теперь – самое главное. Праздник начинается. Пусть эпиграфом к
нашему уроку будут слова английского поэта Поупа:
Был этот мир глубокой тьмой окутан.
Да будет свет! И вот явился Ньютон!
Причем здесь Ньютон? И почему свет? На эти и другие вопросы мы сегодня
и ответим.
(слайды 3-4)
Вот эти вопросы (и это серьезные вопросы):
 Что такое высшая математика?
 Когда она появилась?
 Что такое производная?
Для сырой и туманной Англии лето 1666 года было необычным. Солнце
нещадно палило, обжигая поля, дома и дороги прямыми лучами.
(Слайд5)
Казалось, все вокруг замерло, оцепенело, подчиняясь жестокой силе
солнца. Особенно душно было в городах. Отходы пищи гнили, издавая
зловонный запах. Миллионы мух вились над ними. Не хватало воды.
Только в одном Лондоне чума унесла около 100 тысяч человек.
В это тяжелое время , как ни парадоксально, и родилась высшая
математика, или, как говорят иногда, анализ бесконечно малых, или
еще – дифференциальное и интегральное исчисление.
Потребовался гений Ньютона, чтобы подвести итог предшествующей
работы десятков математиков разных лет и стран, чтобы в виде метода
флюксий преподать человечеству дифференциальное и интегральное
исчисление.
(флюэнтой Ньютон называл функцию, флюксией – ее производную.)
Ньютон пришел к понятию производной , исходя их вопросов механики
определения мгновенной скорости прямолинейного неравномерного
движения.
Попробуйте ответить на вопрос: что такое скорость? А мгновенная
скорость?оказывается, объяснить это не так просто. Прочитаем диалог
между водителем-женщиной и полицейским, взятый из знаменитых
«Фейнмановских лекций по физике»:
(Можно прочитать самой, а можно использовать специальный ролик)
-Мадам, Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со
скоростью 90 км в час.
-Простите, но это невозможно. Как я могла проехать 90 км за час, если я
еду всего лишь 7 минут!
- Я имею в виду, мадам, что если бы продолжали ехать таким же
образом, то через час Вы проехали 90 км.
-Если бы я продолжала ехать, как ехала , еще час, то налетела бы на
стенку в конце улицы!.
-Ваш спидометр показывает 90 км/час.
-Мой спидометр давно сломан и не работает.
Как видите, полицейский не смог объяснить, что такое скорость 90
км/час. А вы смогли бы?
Пробуем ответить на вопрос: что такое скорость? Что такое мгновенная
скорость?
Именно над этим вопросом задумался Ньютон и… открыл высшую
математику.
Возможно, он рассуждая так.
Так как это объяснил Ньютон?
Возможно, это было так…
 Пусть точка движется вдоль прямой
по закону S(t).
Тогда за промежуток времени t точка
проходит расстояние S(t).
Пусть ∆t – малый промежуток времени.
Путь, пройденный за время t+ ∆t, равен
S(t+ ∆t ).
Тогда средняя скорость
vср. 
S (t  t )  S (t )
t
 Очевидно, если ∆t
Значит,
0, то Vср.
Vмгн.
S (t  t )  S (t )
t  0
t
S
или v м гн.  lim
,
t  0 t
где t  приращение времени
S - приращение пути.
v м гн.  lim
Запомните этот предел: мгновенная скорость – это предел отношения
приращения пути к приращению времени.
А в это время…
 Лейбниц Готфрид Вильгельм,
немецкий математик , физик,
философ.
Лейбниц – прямая противоположность
И.Ньютону
Если Ньютон с детства увлекался математикой, то Лейбниц – философией и
поэзией. Если первый все-таки прошел систематический курс обучения, то
второй – скорее самоучка. У Ньютона математика была орудием физики, а у
Лейбница – орудием философии и логики. Ньютон не разбрасывался в науке
и творил в основном в области физики и математики, Лейбниц же – личность
разносторонняя, увлекающаяся: он был политиком, историком, юристом,
дипломатом, философом и, наконец, математиком. Один жил в Англии и не
выезжал из нее, Лейбниц – в Германии, но бывал во многих других странах
Европы.
Единственное сходство между ними, пожалуй в том, что творили они почти в
одно время, прожив по 70 с лишним лет, оставаясь всю жизнь убежденными
холостяками. И еще: одновременно, но независимо друг от друга подошли к
открытию анализа бесконечно малых.
Но и тут различия. Первый подошел к открытию через понятие флюксий,
решая задачу механики, а второй – через дифференциал, решая задачу о
касательной к кривой.
И возможно, это было
Возможно, это было так…
 Началось все с касательной!!!
так…
А что такое касательная?
y
М(х ,у)
y = f(x)
∆f(x) = f(x) - f(x0)
М0(х0 ,у0)
С
∆х=х-х0
β
А
x0
Предельное положение секущей при
∆х
0
и называется касательной.
Причем,
f ( x  x)  f ( x)
x
ккас.  lim
x
x 0
Или
f
x 0 x
к кас.  lim
Сравните:
S к  lim f
v мгн.  lim
, кас. x0 x
t 0 t
По секрету:
это и есть
производная!
Сравните:
S к  lim f
v мгн.  lim
, кас. x0 x
t 0 t
По секрету:
это и есть
производная!
Определение:
Производной функции y= f(x), заданной на
интервале (a, b), в точке х этого
интервала называется предел
отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к
нулю.
f
y  f ( x)  lim
x 0 x
'
'
Итак,
Ньютон, а затем Лейбниц,
независимо друг от друга,
пришли к открытию
дифференциального и
интегрального исчислений.
История сделала выбор из двух методов, предпочтя обозначение
дифференциалов и интегралов, а также порядок расчетов, которые дал
Лейбниц, но придав им в практическом применении направленность мыслей
Ньютона. Это открытие стало поворотным пунктом в истории
естествознания. Оказалось, что связь между количественными
характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой,
химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путем и
скоростью. А самый короткий ответ на вопрос: что такое производная таков:
производная – это скорость.
А теперь я беру мел и еще раз объясняю, что такое производная.
В тетрадях для конспектов получается вот такой конспект.
Это надо выучить + еще два предложения.
Механический смысл
производной:
Производная пути по
времени есть скорость
V(t) = S’(t)
Геометрический смысл
производной:
 Тангенс угла наклона
касательной, проведенной к
кривой в точке хо, равен
значению производной в этой
точке.
К кас.= f’(хо )
Праздник закончился. Начинаются трудовые будни.
Записываем в тетради для теории примеры вычисления производных с
помощью определения:
Пример 1:
Найти производную функции f(x) = x
Решение:
1) Найдем приращение функции
f  f ( x  x)  f ( x)  ( x  x)  x  x
2) Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента
f x

1
x x
3) Найдем предел этого отношения при x  0
lim 1  1
x 0
Значит, производная равна 1!
(x)’ = 1
Пример 2:
Найти производную постоянной, функции f(x) = C
1) f  C  C  0
f
0

0
x x
3) lim 0  0
2)
x  0
Значит, предел постоянной равен 0!
С’ =0.
Пример 3:
Найти производную функции: f(x) =kx+b
Решение:
1) x  k ( x  x)  b  (kx  b)  kx  kx  b  kx  b  kx
f kx

k
x
x
3) lim k  k
2)
x  0
(kx +b)’ =k.
Пример 4:
Найти производную функции f(x) = x2
1) f  ( x  x) 2  x 2  x 2  2 xx  (x) 2  x 2  2 xx  (x) 2  x(2 x  x)
f x(2 x  x)

 2 x  x
x
x
3) lim (2 x  x)  2 x
2)
x 0
(x2)’ = 2x.
Далее подвести итог урока.
Для этого еще раз прочитать получившийся конспект в тетради
(приложение Конспект в тетрадях учеников) и ответить на вопросы,
поставленные в начале урока
(слайд 4)
И на два таких вопроса
Геометрический смысл производной (слайд 23)
Механический смысл производной (слайд 22)
Домашнее задание:
По учебнику п. 4.1
Приготовиться писать конспект и уметь решать примеры, записанные в
тетради по теории.