308817651 1 Рациональные дроби Под целой рациональной функцией подразумевается многочлен п-й степени f(x) = a0x n + a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an, (1) где а0 0 и п 0. Дробно-рациональная функция или рациональная дробь – это частное двух целых рациональных функций f x . Будем рассматривать рациональные дроби с g x действительными коэффициентами. Рациональная дробь называется несократимой, если её числитель взаимно прост со знаменателем. Теорема. Всякая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, определяемой однозначно с точностью до множителя нулевой степени, общего для числителя и знаменателя. Доказательство. Всякую рациональную дробь можно сократить на наибольший делитель её числителя и знаменателя, после чего будет получена равная ей несократимая дробь. Если равны друг другу несократимые дроби f x x g x x , f x x и , то есть g x x (2) то из взаимной простоты f(x) и g(x) следует, что (х) делится на f(x), а из взаимной простоты (x) и (х) следует, что f(x) делится на (х). Отсюда f(x) = с(х), а тогда из (2) следует g(x) = с(х). Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Будем считать, что многочлен степени 0 является правильной дробью. Теорема. Всякая рациональная дробь представима притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби. Пусть дана рациональная дробь f(x)/g(x). Если, деля числитель на знаменатель, получим равенство f(x) = q(x) g(x) + r(x), 308817651 2 где степень r(x) меньше степени g(x), то очевидно, f x r x q x g x g x Если также справедливо равенство f x x , q1 x g x x где степень (х) меньше степени (х), то справедливо равенство qx q1x x r x x g x x r x x g x x g x Так как слева стоит многочлен, а справа – правильная дробь, то обязательно q(x) = q1(x) и x r x x g x Из изложенного ранее следует, что среди многочленов с действительными коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, неразложимыми на множители меньшей степени, или неприводимыми, являются лишь линейные многочлены вида х – а и квадратные многочлены вида x x a x a x 2 a a x aa (конечно, здесь a и а – комплексно сопряженные числа) Правильная рациональная дробь f(x)/g(x) называется простейшей, если её знаменатель g(x) является степенью неприводимого многочлена р(х), g(x) = рk(х), k 1, а степень числителя f(x) меньше степени р(х). Основная теорема о рациональных дробях. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей. Рассмотрим сначала правильную рациональную дробь f x , g x h x где многочлены g(x) и h(х) взаимно просты. Тогда существуют многочлены u1(х) и v1(x), такие что g(x) u1(х) + h(х) v1(x) = 1 308817651 3 Отсюда g(x)[u1(х) f(x)] + h(х)[v1(x) f(x)] = f(x) (3) Пусть остаток от деления произведения u1(х) f(x) на h(х) равен u(х), степень которого меньше степени h(х). Тогда равенство (3) можно переписать в виде g(x) u(х) + h(х) v(x) = f(x), (4) где многочлен v(x) легко определяется. Так как степень произведения g(x) u(х) меньше степени произведения g(x) h(х), и степень f(x) меньше степени произведения g(x) h(х) по условию теоремы, то и произведение h(х) v(x) имеет степень, меньшую, чем g(x) h(х). Поэтому степень v(x) меньше степени g(x). Из (3) следует равенство f x v x u x , g x hx g x h x в правой части которого стоит сумма правильных дробей. Если хотя бы одни из знаменателей g(x) или h(х) разлагается в произведение взаимно простых множителей, то можно провести дальнейшее разложение. Отсюда следует, что всякая правильная дробь разлагается в сумму нескольких правильных дробей, каждая из которых имеет знаменателем степень некоторого неприводимого многочлена. Если дана правильная дробь f(x)/ g(x), знаменатель которой разлагается на неприводимые множители g x p1 1 x p 2 2 x pl l x k (конечно, всегда можно k k считать, что старший коэффициент знаменателя рациональной дроби равен единице), причём pi(х) pj(x) при i j, то u x u x f x u1 x 2 l k g x p k1 x p k 2 x pl l x 1 2 Все слагаемые в правой части этого равенства являются правильными дробями. Рассмотрим правильную дробь вида u(х)/рk(x), где р(х) – неприводимый многочлен. Разделим u(х) на рj(x), где j – наибольшее натуральное число из тех, при которых можно осуществлять деление u(х) на рj(x) (j k – 1). Отметим, что при 308817651 4 степени многочлена и(x) равной т, если р(x) = х – а, то j = т. Если же р(x) = х2 + рх + q (p2 – 4q < 0), то при т чётном j = т/2, а при т нечётном j = (т 1)/2. Полученный остаток разделим на рj1(x) и т. д. В результате придём к равенствам u x p j x s1 x u1 x u1 x p j 1 x s2 x u 2 x u j p x s j 1 x u j 1 x При этом степень u(х) по условию меньше степени рk(x), а степень каждого из остатков ui(х) i = 1,2,,j + 1 меньше степени соответствующего делителя рj–i+1(x), то степени всех частных s1(x), s2(x),…, sj+1(x) будут строго меньше степени многочлена р(х). ux p j x s1 x p j 1 x s 2 x px s j 1 x u j 1 x . Отсюда получается искомое представление рациональной дроби u(х)/рk(x) в виде суммы простейших дробей: ux p k x u j 1 x p k x s j 1 x p k 1 x s 2 x p k j 1 x s1 x p k j x , и основная теорема доказана. Теорема единственности. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей. Пусть некоторая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей двумя способами. Вычитая одно из этих представлений из другого и приводя подобные члены, получим сумму простейших дробей, тождественно равную нулю. Пусть знаменатели простейших дробей, составляющих эту сумму, будут некоторыми степенями различных неприводимых многочленов р1(х), р2(х),, рs(х) и пусть наивысшая степень многочлена рi(х), 308817651 5 i = 1,2,,s, являющегося одним из этих знаменателей, будет p k i x . Умножим обе k 1 части рассматриваемого равенства на произведение p1 1 x p2k 2 x p sk s x . Все слагаемые полученной суммы, кроме одного, превратятся при этом в многочлены. Слагаемое ux p k1 x u x p 2 2 x p s s x k k превратится в дробь p1 x . Знаменатель этой дроби не является делителем числителя, так как многочлен р1(x) неприводим, а все множители числителя с ним взаимно просты. Выполняя деление числителя на знаменатель с остатком , в результате получим, что равна нулю сумма многочлена и отличной от нуля правильной дроби, что невозможно.