Ом м.

Министерство образования и науки РФ
-------------------------------------------------------Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Б.М. КОЛОМЫЦЕВ , Н.М. МИХАЙЛОВ , Н.Б. СТРАХОВ
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ, ЭЛЕКТРИЧЕСТВУ, МАГНЕТИЗМУ
Санкт-ПЕТЕРБУРГ 2014 г.
-2Данный задачник представляет сборник индивидуализированных тематических задач с параметрическими начальными данными N и 𝑘, которые
имеют ограничения: 𝑁 ≤ 30, 𝑘 = (1 ÷ 9). Использование таких данных позволяет получить в каждой задаче число ответов, а иногда и решений равное
числу сочетаний 𝐶𝑘𝑁 .
Многие задачи являются комплексными, повышенной трудности, требуют
углубленного изучения теоретического материала.
В задачнике 3 темы: ЭЛЕКТРОСТАТИКА; ЭЛЕКТРИЧЕСТВО; МАГНЕТИЗМ. В
каждой теме 25 задач.
В начале каждой темы помещен краткий перечень понятий, законов, формул, касающихся данной темы.
Все задачи решаются в системе СИ. Однако, в условиях задач используются и внесистемные единицы измерения.
Формализация входных данных в задачах дает возможность использовать
специальные компьютерные программы для формирования заданий, контроля, проверки и оценки этих задач, что, в основном, и послужило целью
разработки задачника.
Предлагаемый сборник задач предназначен для преподавателей и студентов технических вузов при организации и проведении контрольных и
самостоятельных работ, а также индивидуальных домашних заданий.
-3-
1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон Кулона:
𝐹⃗ =
𝑄1 𝑄2 𝑟⃗
1
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟 2 𝑟
,
где 𝜀0 = 8,85 10−12 Ф⁄м - электрическая постоянная; 𝜀 - диэлектрическая
проницаемость среды; 𝑟 - расстояние между зарядами 𝑄1 и 𝑄2 .
⃗⃗, созданного точечным зарядом 𝑄
Напряженность электрического поля Е
на расстоянии 𝑟 от него:
𝐸⃗⃗ =
𝑄 𝑟⃗
1
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟 2 𝑟
,
⃗
𝐹
𝐸⃗⃗ = ,
𝑞
где 𝐹⃗ - сила, действующая на положительный точечный заряд 𝑞, помещенный в данную точку поля.
Потенциал электрического поля точечного заряда 𝑄 на расстоянии 𝑟:
𝜑=
𝜑=
1
𝑄
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟
𝑊
𝑞
,
𝐴
= ,
𝑞
здесь 𝑊 – потенциальная энергия системы зарядов 𝑄 и 𝑞; 𝐴 - работа по перемещению точечного положительного заряда 𝑞 из данной точки поля с потенциалом 𝜑 в бесконечность.
Разность потенциалов и напряженность поля связаны соотношением:
𝐸⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑.
Электрическая емкость:
𝐶=
∆𝑄
∆𝜑
.
-4Энергия заряженного конденсатора:
1
1 𝑄2 1
2
𝑊 = 𝐶𝑈 =
= QU,
2
2 𝐶
2
здесь 𝑈 - разность потенциалов на обкладках конденсатора.
Объемная плотность энергии электрического поля:
𝑤𝐸 =
𝜀𝜀0 2 𝐸𝐷
𝐸 =
,
2
2
⃗⃗ = 𝜀𝜀0 𝐸⃗⃗ ).
где 𝐷 – электрическая индукция ( 𝐷
Сила взаимодействия между пластинами конденсатора:
𝐹=−
𝜕𝑊
, (𝐹⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑊).
𝜕𝑥
1.1.1. Имеется горизонтальный стержень длиной 𝑙 = 10 см, равномерно
заряженный с линейной плотностью 𝜏 = (𝑘 + 1)10−4 Кл⁄м . Определить
напряженность электрического поля и потенциал в точке, находящейся на
расстоянии 𝑎 = 𝑁 см от его левого конца под углом 𝛼 = 𝑁 30° (угол отсчитывается от стержня против часовой стрелки). Найти величину и направление
силы, действующей на заряд 𝑄 = 𝑁10−6 Кл, помещенный в рассматриваемую точку.
1.1.2. НЛО массой 𝑚 = (𝑘 + 1) 𝑄 = 𝑁10−6 Кл движется со скоростью
𝑣 = 𝑁 км/с. Какую линейную плотность заряда должно иметь неподвижное
кольцо радиусом 𝑟 = 100𝑁 м, чтобы НЛО не преодолело его, двигаясь вдоль
оси кольца? Найти максимальную силу, действующую со стороны кольца на
НЛО.
1.1.3. Диполь, состоящий из двух зарядов 𝑄1 = |−𝑄2 | = 𝑄 = 𝑁10−6 Кл
противоположных знаков на расстоянии 𝑙 = 𝑁10−3 м, может свободно вращаться вокруг оси, проходящей через центр диполя. Диполь помещают в
электрическое поле 𝐸 = 𝑁105 В/м под углом 𝛼 = 10° к направлению вектора 𝐸⃗⃗ . Ось вращения перпендикулярна дипольному моменту и вектору 𝐸⃗⃗ .
-5Найти частоту колебаний диполя вокруг оси, а также работу поля при повороте диполя на 10°. Момент инерции диполя 𝐼 = 𝑁10−6 кгм2 .
1.1.4. Две плоскопараллельные пластины площадью 𝑆 = 10𝑁 2 см2 каждая расположены горизонтально. Верхняя пластина закреплена. Какую разность потенциалов надо приложить к этим пластинам, чтобы нижняя удерживалась в равновесии на расстоянии 𝑎 = (𝑘 + 1) мм от верхней, если ее
масса 𝑚 = 0,5𝑁 г? Каким будет это равновесие ( + устойчивое, − неустойчивое) для двух случаев: а) пластины подключены постоянно к источнику напряжения 𝑈; б) после достижения напряжения 𝑈 пластины отключены от источника.
1.1.5. Полубесконечный стержень с линейной плотностью заряда
𝜏 = √2𝑁(𝑘 + 1) мкКл/м выходит из центра круга
𝜏
радиуса 𝑟 = 10𝑁 см и совпадает с его осью
r
(рис.1.1.1). Определить: а) напряженность поля Е,
Рис.1.1.1
создаваемого на периметре этого круга; б) угол нак⃗⃗ к плоскости круга; в) поток Ф вектора Е
⃗⃗ через площадь круга.
лона Е
1.1.6. Между двумя горизонтально расположенными пластинами конденсатора находится капелька ртути. Расстояние между пластинами
𝑑 = (𝑘 + 1)10−3 м, площадь каждой пластины 𝑆 = 10𝑁 см2 . Найти радиус
капли, напряжение на обкладках конденсатора и энергию электрического
поля конденсатора, если при заряде конденсатора 𝑄 = 𝑁10−9 Кл и заряде
капли 𝑞 = 𝑁10−12 Кл, капля находится в равновесии. 𝜌𝐻𝑔 = 13,7 г/см3 .
1.1.7. Два шара массой 𝑚 = 𝑁 г каждый находятся на расстоянии
𝑙 = (𝑘 + 1) м друг от друга и могут свободно перемещаться вдоль линии,
проходящей через их центры. Шарам сообщают противоположные заряды
𝑄1 = |−𝑄2 | = 𝑁10−6 Кл, и они начинают двигаться навстречу друг к другу.
Какую скорость они будут иметь на расстоянии 𝑎 = 0,1(𝑘 + 1) м друг от
друга? Сколько тепла выделится при полном торможении в объеме воды в
форме куба со стороной 𝑎 = 0,1(𝑘 + 1) м, помещенного посередине между
шарами? На сколько градусов изменится температура воды? Размерами шаров пренебречь. Влияние воды на электрическое поле не учитывать.
-61.1.8. Внутри заряженного плоского конденсатора с диэлектриком
(𝜀 = 𝑘 + 1) объемная плотность энергии 𝑤 = 𝑁 Дж⁄м3 . Найти: а) давление,
производимое пластинами площадью 𝑆 = 𝑁 см2 на диэлектрик; б) силу,
которую надо приложить к пластинам для отрыва их от диэлектрика.
1.1.9. Диэлектрический шар с 𝜀 = (𝑘 + 1) и радиусом 𝑟1 = 2𝑁 см имеет
𝑟1
внутри концентрическую полость с 𝜀 = 1 и радиусом 𝑟2 = √𝑁 см (рис.1.1.2). Шар равномерно заря-
𝑟2
жен (𝑄 = √𝑁10−6 Кл). В полости зарядов нет. Оп-
Рис.1.1.2
ределить напряженность поля и потенциал на расстоянии 𝑙 = 𝑁 см от центра шара, а также потенциал на поверхности шара.
1.1.10. Два положительных заряда 𝑄1 = √𝑁10−6 Кл и 𝑄2 = 2√𝑁10−6 Кл
движутся навстречу друг другу, имея начальные скорости 𝑣1 = 𝑁(𝑘 + 1) м/с
и 𝑣2 = 2𝑁(𝑘 + 1) м/с. Массы зарядов 𝑚1 = 𝑁 г и 𝑚2 = 2𝑁 г. На какое наименьшее расстояние сблизятся заряды? Какова будет их скорость в этот момент?
1.1.11. Пусть в шаре из кремния (𝑆𝑖) диаметром 𝑑 = (𝑘 + 1) см на каждые 𝑀 = 𝑁109 атомов приходится один избыточный электрон. Чему равен
заряд шара, если его плотность 𝜌 = 2,5 г⁄см3 ? Каковы напряженность поля Е
и потенциал U на поверхности шара? Считать число нейтронов в атоме (14)
равным числу протонов, массу атома равным сумме масс нейтронов и протонов, массы нейтрона и протона одинаковыми (𝑚𝑛 = 𝑚𝑝 = 1,67 10−27 кг).
1.1.12. Между горизонтальными обкладками воздушного конденсатора
находится капля масла диаметром 𝑑 = 2√𝑁10−3 мм, заряженная отрицательно (𝑄 = −100𝑁𝑒 , где 𝑒 − заряд электрона). При подаче на конденсатор
напряжения 𝑈 = 500(𝑘 + 1) В капля движется вертикально с постоянной
скоростью за счет действия трех сил: силы 𝐹𝐸 электростатического поля, силы
тяжести 𝐹𝑔 и силы сопротивления воздуха (силы Стокса) 𝐹тр . Причем, если
𝐹𝐸 и 𝐹𝑔 совпадают по направлению, то путь 𝑙 = (𝑘 + 1) см капля, опускаясь,
проходит за время 𝜏1 , если они противоположно направлены, то тот же путь
она проходит, поднимаясь, за время 𝜏2 . Определить время 𝜏1 и 𝜏2 . Положить
-7коэффициент вязкости воздуха 𝜂 = 1,81 10−5 Па с, ускорение силы тяжести
𝑔 = 9,81 м⁄с2 , плотность масла 𝜌 = 900 кг⁄м3 . Расстояние между пластинами конденсатора 𝑎 = 2(𝑘 + 1) см. Выталкивающей силой Архимеда пренебречь.
1.1.13. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе находится заряженная капля масла в форме шара массой 𝑚 = 𝑁10−11 г. Когда конденсатор не заряжен, капля опускается с постоянной скоростью 𝑣1 (из-за сопротивления воздуха). Если разность потенциалов 𝑈 = 100√𝑁 В, то капля движжется в (к+2) раза быстрее. Найти заряд и скорость 𝑣2 капли. Расстояние
между пластинами 𝑎 = (𝑘 + 1) см. Вязкость воздуха 𝜂 = 1,81 10−5 Па с, плотность масла 𝜌 = 900 кг⁄м3 .
1.1.14. На плоский воздушный конденсатор с
𝑎 площадью обкладок 𝑆 = 100𝑁 см2 и расстояни-
𝑑
ем между ними 𝑎 = 0,1𝑁 мм подано постоянное
напряжение 𝑈 = 10𝑁 В. Чему будет равна энерРис.1.1.3
гия конденсатора, если внести между обкладками диэлектрик с 𝜀 = (𝑘 + 2) и толщиной 𝑑 = 0,04𝑁 мм (рис.1.1.3) для двух
случаев: а) конденсатор отключается от источника напряжения перед внесением диэлектрика; б) конденсатор не отключается от источника напряжения.
Определить емкость конденсатора после внесения диэлектрика.
1.1.15. Решить задачу 1.14, считая, что внесен-
с
ный диэлектрик, занимая часть пространства,
касается обеих обкладок. Ширина обкладок
b
Рис.1.1.4
𝑏 = √𝑁 см, ширина диэлектрика с = √𝑁 см
(рис. 1.1.4).
-81.1.16. Плоский воздушный конденсатор, раз𝑎1
𝑑1
меры пластин которого 𝑎 = 10 см, 𝑏 = 5 см
и расстояние между пластинами 𝑑 = 5 мм,
𝑑
подключают к источнику напряжения
𝑎
𝑈 = 100 В. Затем, после отключения от источ-
Рис. 1.1.5
ника , в конденсатор вносят диэлектрик с 𝜀 =
2(𝑘 + 1) длиной 𝑎1 = 0,1𝑎(4 + √𝑁), шириной 𝑏1 = 𝑏 и толщиной 𝑑1 =
0,1𝑑(4 + √𝑁) (рис.1.1.5). Определить во сколько раз при этом изме- нятся:
а) емкость конденсатора и б) энергия его электрического поля. Найти также,
во сколько раз изменится энергия поля конденсатора, если он не
отключается от источника.
1.1.17. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 𝑈1 = 𝑁 кВ,
влетает в плоский конденсатор посередине между его обкладками параллельно им. На конденсатор подано напряжение 𝑈2 = 100√𝑁 В. При какой
минимальной длине пластин электрон не выйдет из конденсатора. Какое
время электрон движется в конденсаторе? Расстояние между пластинами
𝑑 = 2(𝑘 + 1) см.
1.1.18. Тело массой 𝑚 = 10𝑁 г и имеющее заряд 𝑄 = (𝑘 + 1)10−6 Кл
свободно падает с высоты 𝐻 = 𝑁 м. С высоты ℎ = 0,5𝐻 и до конца падения
тело движется в горизонтальном электрическом однородном поле с 𝐸 =
𝑁104 В⁄м. Каковы в конце падения: а) смещение тела от первоначаль- ной
траектории движения; б) скорость и направление ее к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.1.19. Шар радиусом 𝑟 = 𝑁 см и массой 𝑚 = 100𝑁 г, несущий заряд
𝑄 = 𝑁10−6 Кл, скатывается с высоты 𝐻 = 10(𝑘 + 1) см по наклонной плоскости. У основания плоскости шар попадает во встречное горизонтальное
электрическое однородное поле 𝐸 = 𝑁104 В⁄м. Определить путь, пройденный шаром, и время движения до остановки. Трением и сопротивлением
воздуха пренебречь. Положить скорость шара у основания плоскости равной
его начальной горизонтальной скорости.
-91.1.20. Найти энергию поля, созданного зарядом 𝑄 = 𝑁10−4 Кл, равномерно распределенным в диэлектрике (𝜀 = 𝑘 + 1) в форме шара радиусом
𝑟 = 10𝑁 см. Найти также полное изменение энергии всей системы (“-“ уменьшение, “+” увеличение) для случая, когда из шара убрали сердцевину в
форме шара радиусом 𝑟1 = 𝑟⁄2 и удалили их друг от друга на бесконечность
1.1.21. Точечный заряд Q= 𝑁10−6 Кл находится на
расстоянии ℓ = (𝑘 + 1) см от бесконечной металℓ
r
Q
лической стенки, соединенной с землей. Найти:
а) поверхностную плотность зарядов, индуцирован-
Рис.1.1.6
ных на стенке в точке О, ближайшей к заряду
(рис.1.1.6); б) определить заряд, заключенный на площади, ограниченной
окружностью радиусом 𝑟 = 𝑁(𝑘 + 1) см с центром в точке О.
1.1.22. Между пластинами плоского конденсатора, площадь которого
𝑆 = 10𝑁 см2 и расстояние между которыми 𝑑 = 0,1𝑁 см, находится диэлектрик (𝜀 = 𝑘 + 2), состоящий из 𝑀 = (𝑘 + 3) одинаковых по толщине слоев.
Слои располагаются либо параллельно, либо перпендикулярно пластинам
(по выбору), заполняя конденсатор. Конденсатор заряжают до 𝑈=100𝑁 В и
отключают от источника напряжения. Затем один из слоев удаляют из конденсатора. Найти затраченную при этом работу. Во сколько раз изменится
сила притяжения между пластинами после удаления этого слоя?
1.1.23. В вакууме с высоты 𝐻 = 5𝑁(𝑘 + 3) мм вертикально вдоль оси
тонкого диска падает шарик массой 𝑚 = 𝑁 г и зарядом 𝑄 = 𝑁10−8 Кл. Диск
радиусом 𝑟 = 2𝑁 см равномерно заряжен с поверхностной плотностью 𝜎 =
(𝑘 + 3)10−5 Кл⁄м2 . Определить 𝑙𝑚𝑖𝑛 , на которое приблизится шар к диску, и
расстояние ℓ1 между шаром и диском в равновесии.
𝑟3 1.1.24. Металлический шар радиусом 𝑟1 = 𝑁 см с зарядом
rrrrrr
𝑟2 𝑄 = 𝑁10−8 Кл окружен металлической заземленной сфе𝑟1 рой радиусом 𝑟3 = 5𝑁 см, концентрической с шаром. В
Рис.1.1.7
пространстве между шаром и сферой вплотную к шару
находится сферический слой диэлектрика (𝜀 = 𝑘 + 2) с наружным радиусом
-10𝑟2 = 2𝑁 см (рис.1.1.7). Найти емкость системы, поверхностную плотность
связанных зарядов на внешней поверхности диэлектрического слоя и энергию в объеме между малой и большой металлическими сферами.
1.1.25. В коаксиальном кабеле внутренняя жила
𝑑3
диаметром 𝑑1 = 2𝑁 мм изолируется от внешней
оплетки диаметром 𝑑3 = 2𝑁(𝑘 + 2) мм двумя
слоями диэлектриков одинаковой толщины :
𝑑1
пропитанной бумагой 𝜀1 = 4 и слюдой 𝜀2 = 6
Рис.1.1.8
(рис.1.1.8). Определить пробивное напряжение
для кабеля U (между внутренней жилой и внешней оплеткой), когда ближайший слой к внутренней жиле выполнен: а) из бумаги; б) из слюды. Пробивная предельная напряженность: для бумаги 𝐸1 = 25 кВ⁄м, для слюды
𝐸2 = 100 кВ⁄м.
-11-
2. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Закон Ома для замкнутой (полной) цепи:
𝐼=
𝜀
,
𝑅+𝑟
где R – сопротивление нагрузки; r – внутреннее сопротивление источника,
𝜀 − Э.Д.С. источника.
Закон Ома в дифференциальной форме:
⃗⃗⃗⃗
𝑗⃗ = 𝛾𝐸.
Закон Джоуля-Ленца:
𝑡
2
𝑄 = 𝐼 𝑅∆𝑡; 𝑄 = ∫ 𝑅𝑖 2 𝑑𝑡.
0
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:
𝑤 = 𝛾𝐸 2 = 𝜌𝑗 2 ,
где w – удельная тепловая мощность тока; 𝛾 = е2 𝑛 𝜆⁄2𝑚𝑣⃗ – удельная проводимость металла (e, m – заряд и масса электрона; 𝜆 − средняя длина свободного пробега электронов;𝑣⃗ − средняя скорость теплового движения электронов); 𝜌 = 1⁄𝛾 − удельное сопротивление; 𝑗⃗ = 𝑒𝑛𝑢
⃗⃗ – плотность тока (n – концентрация электронов; 𝑢
⃗⃗ – их дрейфовая скорость), 𝐸 − напряженность электрического поля
Закон Видемана-Франца:
𝜘
𝑘2
= 3 2 𝑇,
𝛾
𝑒
где 𝜘 − коэффициент теплопроводности.
-122.1.1. Два алюминиевых провода диаметрами 𝑑1 = 0,1√𝑁 мм и 𝑑2 =
0,4√𝑁 мм и длиной 𝑙 = (𝑘 + 1) м каждый подключаются отдельно к
источнику Э.Д.С. 𝜀 = (𝑘 + 1) В, нагреваясь при этом до одной и той же температуры. Определить внутреннее сопротивление источника и количество
тепла, выделяющееся за 1 с в каждом проводе. Считать, что тепло, отдаваемое проводом при постоянной температуре, пропорционально площади
его поверхности.
2.1.2. Два металлических шара с одинаковыми радиусами 𝑟 = 𝑁10−3 м,
находящихся на расстоянии 𝑙 = 𝑁 м между центрами шаров и имеющих
заряды 𝑄1 = √𝑁10−9 Кл и 𝑄2 = −√𝑁10−9 Кл, помещены в однородную
среду с удельным сопротивлением 𝜌 = 103 ⁄𝑁 Ом м и 𝜀 = (𝑘 + 1). Заряды
поддерживаются постоянными неограниченно долго. Определить: а) разность потенциалов между шарами ∆𝑈; б) ток утечки (силу тока) 𝐼; в) сопротивление 𝑅 среды на участке между шарами.
2.1.3. Металлический провод диаметром 𝑑 = (𝑘 + 1) мм, намотанный
на цилиндр диаметром 𝐷 = 20 мм и длиной 𝑙 = 5 см, подключается к источнику напряжения 𝑈 = 0,1𝑁 В. Считая, что температура провода мало отличается от окружающей (Токр = 300 К), найти удельную тепловую мощность
тока 𝑤 , коэффициент теплопроводности 𝜘, силу тока в проводнике. Положить концентрацию свободных электронов 𝑛 = 𝑁1028 м−3 , длину свободного пробега электронов 𝜆 = 10Å.
2.1.4. В опыте Толмена и Стюарта по определению удельного заряда
электрона (𝑒⁄𝑚) используется катушка, намотанная медным проводом,
диаметр которого 𝑑 = 0,1(𝑘 + 1) мм, а длина 𝑙 = 100𝑁 м. Катушка приводится во вращение, а затем резко тормозится. При этом за время торможения по катушке проходит заряд 𝑄 = 𝑁10−9 Кл. Определить время торможения, плотность тока в катушке и удельную тепловую мощность тока.
Положить концентрацию свободных электронов в меди 𝑛 = 1029 м−3 , 𝜌𝐶𝑢 =
1,71 10−8 Ом м.
2.1.5. Нагревательный элемент печки намотан нихромовой проволокой
диаметром 𝑑 = (𝑘 + 1) мм в виде спирали диаметром 𝐷 = 5(𝑘 + 1) мм и
длиной 𝑙 = 50 см. При включении в электрическую цепь ток через спираль
увеличивается по линейному закону от 𝐼0 = 0 𝐴 до 𝐼1 = 2√𝑁 𝐴 за время
-13Δt = 5N с. Найти количество тепла, выделившееся в спирали за первую и
последнюю секунды, а также общее количество тепла за время включения.
2.1.6. По прямому медному проводу длиной 𝑙 = (𝑘 + 1) км течет ток 𝐼 =
50𝑁 А. Найти общий импульс электронов. Какое количество тепла выделяется ежесекундно в проводе, если этот ток предельный для данного провода? Каков при этом минимальный диаметр провода? ( По техническим
нормам предельная допустимая плотность тока для медных проводов
𝑗𝑚𝑎𝑥 = 107 А⁄м2 ).
2.1.7. Цилиндрический конденсатор подключен к источнику напряжения
𝑈 = 10𝑁 В. Радиусы обкладок 𝑟1 = 10 мм, 𝑟2 = 8 мм, длина обкладок 𝑙 =
(𝑘 + 1) см. Пространство между обкладками заполнено диэлектриком с
удельным сопротивлением 𝜌 = 𝑁106 Ом м. Определить ток утечки и сопротивление диэлектрика. Краевыми эффектами пренебречь.
2.1.8. Имеется сферический конденсатор, внешний радиус которого 𝑟1 =
2(𝑘 + 1) см, внутренний – 𝑟2 = (𝑘 + 1) см. Пространство между обклад-ками
заполнено диэлектриком (𝜀 = 4) с удельной электропроводностью 𝛾 =
𝑁10−6 Ом−1 м−1 . К обкладкам конденсатора приложено напряжение 𝑈 =
10𝑁 В. Найти ток утечки 𝐼 и сопротивление диэлектрика 𝑅.
2.1.9. По медному проводу диаметром 𝑑 = √𝑁 мм протекает ток 𝐼 =
(𝑘 + 1) А. Какова средняя дрейфовая скорость электронов проводимос-ти.
Во сколько раз средняя тепловая скорость электронов больше дрейфовой
при температуре 𝑡 = 27℃. Положить, что на каждый атом меди приходится
один электрон проводимости. Плотность меди 𝛿𝐶𝑢 = 8,9 103 кг⁄м3 , молярная масса 𝜇𝐶𝑢 = 63,6 10−3 кг⁄моль .
2.1.10. Надо изготовить нагревательный элемент в виде спирали, намотанной виток к витку, длиной 𝑙 = 10(𝑘 + 1) см, мощность 𝑃 = 100𝑁 Вт. На
элемент подается напряжение 𝑈 = 220 В. Какова длина проволоки диаметром 𝑑 = 0,1𝑁 мм, используемой в нагревательном элементе? Каков при
этом будет диаметр спирали D? 𝜌пр = 1,1 10−6 Ом м.
2.1.11. Две батареи с Э.Д.С. 𝐸1 = 5𝑁 В , 𝐸2 = 3𝑁 В и внутренними сопротивлениями 𝑟1 = 𝑟2 = (𝑘 + 1) Ом соединены параллельно. К зажимам батареи подключается реостат. Найти мощность, выделяющуюся на реостате,
-14если падение напряжения на нем равно: а) 𝑈1 = 1,5𝑁 В, б) 𝑈2 = 3𝑁 В. Какую
максимальную тепловую мощность должен рассеивать реостат, чтобы он не
вышел из строя (не перегорел) при любых значениях своего сопротивления?
2.1.12. Батарея с Э.Д.С. 𝐸, реостат и вольтметр соединены последовательно. При сопротивлении реостата 𝑅1 = 𝑁 кОм вольтметр показывает напряжение 𝑈1 = 10𝑁 В; если сопротивление реостата уменьшить в 3(𝑘 + 1) раз,
то показания вольтметра увеличатся в 2(𝑘 + 1) раз. Какое напряжение 𝑈2 покажет вольтметр при сопротивлении реостата равном 0? Чему равна Э.Д.С.
батареи? Считать внутреннее сопротивление батареи 𝑟𝑖 = 10𝑁 Ом.
2.1.13. Имеется медный диск (маховик) радиусом
V
r
𝑟 = 10(𝑘 + 1) см, вращающийся с угловой скоростью 𝜔 = 𝑁103 рад⁄с. Диск включен в элект-
Рис.2.1.9
рическую цепь при помощи скользящих контактов,
касающихся оси диска и его окружности (рис.2.1.9). Определить Э.Д.С., возникающую в диске. Найти максимальную дрейфовую скорость электронов
проводимости. Принять 𝜌𝐶𝑢 = 1,71 10−8 Ом м, концентрацию свободных
электронов 𝑛 = 1028 м−3 .
2.1.14. Сколько стоит электрическая энергия в месяц (30 дней), если
ежедневно в сеть U = 220 В в течение ∆𝜏 = 2(𝑘 + 1) ч включают 𝑀 = 𝑁+1
электрических лампочек при токе через них 𝐼 = 0,5 𝐴? Рассмотреть: а) последовательное и б) параллельное включение одинаковых лампочек. Кроме
того, ежедневно кипятится 𝑉 = 𝑁 л воды (начальная температура воды 𝑡0 =
10℃ ). Стоимость 1 кВт.ч – 4 коп., К.П.Д. нагревателя 80%. Сколько угля
надо сжечь на тепловой электростанции, К.П.Д. которой 35%, чтобы
обеспечить помещение электроэнергией в течение года. Теплотворная
способность угля 𝜘 = 3 104 кДж⁄кг.
2.1.15. Батарея состоит из 𝑛 = (𝑘 + 1) одинаковых элементов с Э.Д.С.
𝐸 = 1,6 В и внутренним сопротивлением 𝑟𝑖 = 0,1 Ом каждый. Элементы
соединены последовательно. Батарею подключают на внешнее сопротивление 𝑅 = 10𝑁 Ом медными проводами диаметром 𝑑 = 1 мм. Определить, сколько электронов покидают батарею за 1 мин. Какова при этом напряженность электрического поля в проводниках?
-152.1.16. В электрической лампе имеется 𝑛 = (𝑘 + 1) одинаковых нитей
накала из вольфрама, включенных параллельно. При 𝑡0 = 0℃ лампа имеет
сопротивление 𝑅0 = 10𝑁 Ом, а во включенном состоянии (при полном накале) 𝑅1 = 100𝑁 Ом. Определить температуру нитей накала включенной лампы с учетом изменения длины и площади сечения нитей из-за теплового
расширения (𝛽 = 5 10−6 ℃−1 ). Насколько полученная температура будет
отличаться от температуры, вычисленной без учета теплового расширения
нитей.
2.1.17. В цепь из медного провода диаметром 𝑑1 = √𝑁 мм включен
свинцовый предохранитель диаметром 𝑑2 = 0,1(𝑘 + 1) мм. Какой максимальный ток может быть в цепи? На сколько изменится при этом температура
медного провода? 𝑡окр = 27℃, 𝑐𝑃𝑏 = 130 Дж⁄(кг. К), 𝛿𝑃𝑏 = 11400 кг⁄м3 ,
𝑡пл𝑃𝑏 = 327℃, 𝜌𝑃𝑏 = 21 10−8 Ом м, 𝑐𝐶𝑢 = 380 Дж⁄(кг. К), 𝛿𝐶𝑢 =8800 кг⁄м3 .
2.1.18. В помещении площадью 𝑆 = 20√𝑁 м2 и высоте потолка h=3 м
температура воздуха должна быть 𝑡1 = 20℃. Потери тепла через стены составляют 𝑄 = (𝑘 + 1)103 кВт.ч. В течение получаса через дверь, форточки воздух в комнате полностью обновляется уличным с температурой 𝑡2 = 0℃ .
Какую мощность должны иметь нагреватели для поддержания заданной
температуры? Сколько их должно быть, если при напряжении в сети 220 В
максимальный потребляемый ток электронагревателя 6 А? Удельная теплоемкость воздуха с = 710 Дж⁄(кг. К), плотность воздуха 𝛿 = 1,29 кг⁄м3 .
2.1.19. Сила тока в проводнике меняется от 𝐼1 = 𝑁 А до 𝐼2 = 0,5𝑁 А за
время ∆𝜏 = 2(𝑘 + 1) с. Какой заряд пройдет по проводнику для случаев:
а) сила тока уменьшается равномерно; б) сопротивление проводника равномерно увеличивается при постоянном напряжении на концах проводника.
2.1.20. Имеется 𝐺 = 20𝑁 одинаковых гальванических элементов с Э.Д.С.
Е = 1,3 В и внутренним сопротивлением 𝑟𝑖 = 0,1(𝑘 + 1) Ом каждый. Эти
элементы соединяют в батарею так, что она состоит из М параллельных
групп, каждая из которых содержит 𝑛 последовательно включенных элементов. Батарея замкнута на внешнее сопротивление 𝑅 = 1 Ом. Каким должно
быть значение 𝑛 , чтобы сила тока во внешней цепи была максимальной?
Сколько при этом будет параллельных М групп в батареи? Какое действите-
-16льное число гальванических элементов 𝐺 в батарее? ( 𝑀 и 𝑛 округлять до
ближайшего целого)
2.1.21. Конденсатор емкостью 𝐶 = 𝑁 мкФ подключается для зарядки к
источнику Э.Д.С. 𝐸 = 100(𝑘 + 1) В через сопротивление 𝑅 = 100𝑁 Ом. Определить количество тепла Q, выделившееся на сопротивлении за время зарядки. Сравнить это количество тепла с энергией 𝑊 заряженного конденсатора
(через их отношение 𝑄⁄𝑊 ). Сопротивлением источника и подводящих провводов пренебречь.
2.1.22. Необходимо подвести ток к потребителю. Каким диаметром провода надо сделать электропроводку, чтобы при максимальном токе 𝐼=N А на
одном погонном метре провода выделялось не более 𝑃 = (𝑘 + 1) Вт, а температура провода повышалась бы не более чем на ∆𝑡 = 30℃ относительно
температуры окружающей среды 𝑡0 = 20℃? Расчет сделать для медного и
алюминиевого проводов. 𝜌𝐶𝑢 = 1,71 10−8 Ом м, 𝜌𝐴𝑙 = 2,9 10−8 Ом м.
2.1.23. Электростанция снабжает завод, находящийся на расстоянии 𝑙 =
(𝑘 + 1) км, электроэнергией по проводам из меди. Потребляемая заво- дом
мощность 𝑃 = 100𝑁 кВт при напряжении на входе завода 𝑈 = 𝑁103 В. Каков
диаметр подводимых проводов, если на них теряется до 10% потреб- ляемой
мощности? На сколько уменьшатся эти потери, если напряжение питания
завода увеличить в 10 раз?
2.1.24. При охлаждении обмотки электромагнита используют масло.
Электромагнит включен в сеть с U=220 В. Сила тока в его обмотках 𝐼=(𝑘+1) А.
Определить расход масла в л/с, если температура масла может повышаться
не более чем на ∆𝑡 = 10 √𝑁 ℃. 𝛿масло =0,85 г/см3 , смасло =1,7 103 Дж⁄(кг К).
2.1.25. В кипятильнике объемом 𝑉 = 𝑁 л используется спираль из нихромовой проволоки диаметром 𝑑 = 0,5 мм. Диаметр спирали 𝐷 = 1 см. Напряжение в сети U=220 В. Определить мощность кипятильника и длину спирали,
намотанной виток к витку, если вода в кипятильнике, имея начальную
температуру 𝑡0 = 2(𝑘 + 1)℃, закипает через 10 мин. после включения. К.П.Д.
кипятильника 65%.
-17-
3. МАГНЕТИЗМ
Закон Био-Савара-Лапласа:
𝜇𝜇
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐵 = 0
𝐼
4𝜋 𝑟 3
𝑑𝐵 =
⃗⃗⃗⃗ 𝑟⃗],
[𝑑𝑙
̂𝑟⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝜇𝜇0 𝐼𝑑𝑙 sin(𝑑𝑙
𝑟2
4𝜋
;
⃗⃗⃗⃗ к точке опрегде 𝑟⃗ – радиус-вектор, проведенный от элемента с током 𝐼𝑑𝑙
⃗⃗⃗⃗⃗⃗; 𝜇 - магнитная проницаемость среды;
деления вектора индукции поля 𝑑𝐵
𝜇0 = 4𝜋10−7 Гн/м – магнитная постоянная.
⃗⃗ связана с напряженностью магнитного поля 𝐻
⃗⃗
Магнитная индукция 𝐵
соотношением:
⃗⃗ = 𝜇𝜇0 𝐻
⃗⃗.
𝐵
Магнитная индукция поля в центре кругового тока радиусом R:
𝐵=
𝜑2
Магнитная индукция поля в произвольной точке
𝑟⃗2
𝐼
𝑎
𝜑1
𝜇𝜇0 𝐼
2𝑅
𝐴, созданного проводником конечной длины
𝐴
𝑟⃗1
(рис.3.1.1):
𝐵=
𝜇𝜇0 𝐼
4𝜋 𝑎
(cos 𝜑1 − cos 𝜑2 ),
Рис.3.1.1
здесь 𝑎 расстояние от точки 𝐴 до проводника, 𝜑1
и 𝜑2 - углы, образованные радиусом-векторами 𝑟⃗1 и 𝑟⃗2 , проведенными в
точку 𝐴 из начала и конца проводника в соответствии с направлением тока.
Магнитная индукция поля, созданного бесконечным прямым проводником с током 𝐼:
𝐵=
𝜇𝜇0 2𝐼
4𝜋 𝑎
.
Магнитная индукция на оси бесконечно длинного соленоида с током 𝐼
или тороида:
-18𝐵 = 𝜇𝜇0
𝑁𝐼
= 𝜇𝜇0 𝑛𝐼,
𝑙
где 𝑛 = 𝑁/𝑙 – число витков на единицу длины соленоида; 𝑛𝐼 − число ампервитков на метр.
Закон Ампера:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝐵
⃗⃗],
𝑑𝐹 = 𝐼[𝑑𝑙
̂⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐹 = 𝐵𝐼𝑑𝑙 sin (𝑑𝑙
𝐵),
где ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑙 - вектор элемента длины проводника, совпадающий с направлением
тока 𝐼.
Магнитный момент контура с током:
𝑝м = 𝐼𝑆𝑛⃗⃗,
⃗⃗⃗⃗⃗
где 𝑆 - площадь, охватываемая током 𝐼; 𝑛⃗⃗ - положительная нормаль к контуру.
Механический момент, действующий на контур с током в однородном
⃗⃗:
магнитном поле с индукцией 𝐵
⃗⃗⃗ = [𝑝
⃗⃗
𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗𝐵
м ].
Сила, действующая на контур с током в магнитном поле:
𝐹 = 𝑝м
𝜕𝐵
̂⃗⃗) .
cos (𝑝
⃗⃗⃗⃗⃗𝐵
м
𝜕𝑥
Сила Лоренца, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью 𝑣⃗ в
магнитном поле:
⃗⃗].
𝐹⃗ = 𝑄[𝑣⃗𝐵
⃗⃗ вдоль замкнутого контура 𝐿:
Циркуляция вектора магнитной индукции 𝐵
𝑛
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗̂
∮(𝐵
𝑑𝑙 ) = ∮ 𝐵𝑑𝑙 cos (𝐵
𝑑𝑙 ) = 𝜇𝜇0 ∑ 𝐼𝑖 ,
𝑖=1
-19где ∑𝑛𝑖=1 𝐼𝑖 - алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром 𝐿.
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток):
⃗⃗ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝑆 = ∫ 𝐵𝑛 𝑑𝑆,
Ф = ∫(𝐵
⃗⃗ на напрагде 𝑛⃗⃗ - нормаль к элементу площадки 𝑑𝑆; 𝐵𝑛 – проекция вектора 𝐵
вление 𝑛⃗⃗.
Основной закон электромагнитной индукции (закон индукции Фарадея):
𝜀𝑖 = −
𝑑Ф
𝑑𝑡
,
если не один контур, а N контуров то:
𝜀𝑖 = −𝑁
𝑑Ф
𝑑Ψ
=−
,
𝑑𝑡
𝑑𝑡
здесь 𝜀𝑖 - Э.Д.С. индукции, Ψ = 𝑁Ф - потокосцепление.
Разность потенциалов на концах проводника длиной 𝑙, движущегося со
⃗⃗:
скоростью 𝑣⃗ в однородном поле с индукцией 𝐵
⃗⃗).
𝑈 = 𝐵𝑙𝑣 sin (𝑣̂
⃗𝐵
Э.Д.С. самоиндукции в замкнутом контуре с индуктивностью L:
𝜀𝑖 = −𝐿
𝑑𝑖
.
𝑑𝑡
Индуктивность соленоида (тороида):
𝑁2
𝐿 = 𝜇𝜇0
𝑆 = 𝜇𝜇0 𝑛2 𝑉,
𝑙
где 𝑛 = 𝑁⁄𝑙 – число витков на единицу длины соленоида; V – объем соленоида; S – его площадь поперечного сечения.
Энергия магнитного поля тока 𝐼 в контуре с индуктивностью 𝐿:
𝐿𝐼 2
𝑊=
.
2
-20Объемная плотность энергии магнитного поля:
𝜇𝜇0 𝐻2 𝐵𝐻
𝐵2
𝑤=
=
=
.
2
2
2𝜇𝜇0
3.1.1. Однородное и равномерно заряженное кольцо массой
𝑚 = 10−3 ⁄𝑁 кг и зарядом 𝑄 = 10−3 ⁄𝑁 Кл вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 𝜔 = (𝑘 + 1) рад/с. Внутренний радиус кольца 𝑟1 = 𝑁 см, внешний 𝑟2 = (70 − 𝑁) см. Найти: а) момент импульса кольца L; б) магнитный
момент 𝜇 кольца; в) отношение 𝜇⁄𝐿.
3.1.2. В магнитное поле с 𝐵 = 𝑁 Тл влетает заряд 𝑄 = 𝑁 10−6 Кл, массой
𝑚 = (𝑘 + 1)10−3 г со скоростью 𝑣 = 𝑁 м/с под углом 𝜑 = 30𝑁° (угол отсчи⃗⃗). Определить:
тывается против часовой стрелки от направления вектора В
а) шаг h и радиус 𝑟 винтовой линии и время полного оборота Т; б) как будет
вращаться заряд: «+» против часовой стрелки, «-« по часовой стрелке или
⃗⃗.
«0» вращения не будет, если смотреть с конца вектора В
b
3.1.3. Прямоугольная рамка со сторонами
𝑙
а=0,1 𝑁 м и b=0,01𝑁 м, по которой течет ток
𝐼1
𝐼
а
𝐼1 = 0,1 𝑁 А, находится в одной плоскости с
бесконечно длинным прямым проводом с
Рис. 3.1.2
током 𝐼 = 𝑁 А (рис.3.1.2). Большие стороны
рамки параллельны проводу, ближайшая из них находится на расстоянии
𝑙 = (𝑘 + 1)10−2 м. Токи в проводе и рамке поддерживаются постоянными,
причем в рамке ток течет против часовой стрелки, а в проводе ток 𝐼 противоположно направлен току 𝐼1 в ближайшей к проводу стороне рамки. Найти силу, действующую на рамку со стороны провода и работу этой силы при удалении рамки на бесконечность.
3.1.4. Вдоль оси длинного соленоида проходит раскаленная нить, испускающая электроны. Внутренний диаметр соленоида 𝑑 = 5(𝑘 + 1) см. Соленоид имеет 𝑛 = 𝑁 103 вит/м. Температура нити 1400 К. Считать, что все электроны вылетают с поверхности нити перпендикулярно оси соленоида с одинаковой скоростью, равной среднеквадратичной скорости теплового движе-
-21ния. Найти минимальный ток соленоида, при котором электроны не достигают внутренней поверхности соленоида.
3.1.5. Используя условие задачи 3.1.3., найти работу, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку на 180° вокруг дальней от провода стороны.
R
3.1.6. Тонкая лента шириной L=𝑁 см свернута в
трубку радиусом 𝑅 = 10(𝑘 + 1) см (рис.3.1.3).
𝐼
L По ленте течет ток 𝐼 = 10𝑁 А, равномерно расп-
Рис.3.1.3
ределенный по ее ширине. Определить магнитную индукцию В на оси трубки: а) в середине трубки; б) в конце трубки.
3.1.7. Тонкий металлический стержень длиной 𝑙 = √𝑁 м вращается в
однородном магнитном поле вокруг перпендикулярной к стержню оси, отстоящей от одного из его концов на расстоянии 𝑎 = 0,1𝑁 м, делая
⃗⃗ = (𝑘 + 1)10−3 Тл параллелен оси вращения.
𝑛 = 100(𝑘 + 1) об/мин. 𝐵
Найти разность потенциалов ∆𝑈, возникающую между концами стержня.
x
x r x Ax
x
x
x
x
x
x
x 𝐼 x
3.1.8. Медный диск вращается с угловой скоростью 𝜔 = 𝑁 рад/с в магнитном поле с
Ox x
x
x
x
⃗⃗
x x 𝐵
𝐵 = 𝑁10−3 Тл так, что плоскость диска перпен-
x x
дикулярна магнитному полю. Ток 𝐼 = (𝑘 + 1) А
Рис.3.1.4
протекает вдоль радиуса диска ОА (О и А – скользящие контакты, соединенные с источником напряжения, рис.3.1.4). Радиус диска 𝑟 = 𝑁 см. Найти вращающий момент, действующий на диск и работу, затраченную на вращение диска за 1 мин.
d
3.1.9. По длинному прямому проводу диаметром
𝑑 = 𝑁 мм, расположенному вдоль оси цилиндри-
𝐼
D
ческой проводящей оболочки (рис.3.1.5), течет
ток 𝐼 = (𝑘 + 1) А, который затем возвращается
Рис.3.1.5
по оболочке. Диаметр оболочки 𝐷 = 𝑁 см. Найти:
-22а) индукцию магнитного поля В на расстояниях от оси оболочки 𝑙1 = 𝐷/4 и
𝑙2 = 𝐷, б) магнитный поток единицы длины (1м) такой системы.
a
3.1.10. Металлическая рамка в форме квадрата, сторона которого 𝑎 = 𝑁 см, падает в магнитное поле
.
.
⃗⃗ .
.𝐵
.
.
.
.
.
.
.
. 𝑣⃗ .
.
.
с B = N Тл так, что плоскость рамки перпендикуляр⃗⃗ (рис.3.1.6). Масса единицы длины прона вектору В
вода 𝑚𝑙 = (𝑘 + 1) г/см, сопротивление рамки
Рис.3.1.6
𝑅 = 0,1𝑁 Ом. Действующая на рамку магнитная сила противоположна силе тяжести рамки. Определить скорость установившегося движения рамки и направление тока индукции в ней.
3.1.11. По двум параллельным горизонталь𝑙
𝑣⃗
𝑅
ным проводникам, замкнутым на сопротивление 𝑅 = 𝑁 кОм, расстояние между которыми
𝑎
𝐼
𝑙 = 0,1𝑁 м, поступательно движется проводя-
Рис.3.1.7
щая перемычка со скоростью 𝑣 = 𝑁 м/с, направленной вдоль проводников. Параллельно проводникам и в одной плоскости с ними на расстоянии 𝑎 = (𝑘 + 1) см от одного из проводников находится еще один очень длинный прямой проводник с током 𝐼 = 𝑁 А
(рис.3.1.7). Найти Э.Д.С. индукции, количество электричества, протекшего по
цепи за 1 мин. и выделившееся за это время количество теплоты.
3.1.12. Используя условие задачи 3.1.11., найти силу, которую надо приложить к перемычке, чтобы она двигалась с постоянной скоростью 𝑣=N м/с.
3.1.13. В середине длинной катушки (соленоида)
находится плоская рамка площадью 𝑆 = 𝑁 см2 ,
имеющая 𝑀 = 10𝑁 витков. Катушка содержит
𝐼
𝑛 = 103 𝑁 витков на метр. Рамка удерживается
Рис.3.1.8
в катушке упругими растяжками так, что ее плоскость параллельна оси катушки (рис.3.1.8). Жесткость растяжек (величина,
-23равная вращательному моменту, закручивающему растяжки на 1 рад)
𝑓 = (𝑘 + 1)10−9 Нм⁄рад. Рамка и катушка соединены последовательно.
Определить, какой ток надо через них пропустить, чтобы рамка повернулась
на угол 𝛼 = (𝑘 + 1)°.
3.1.14. Изолированный металлический диск радиусом 𝑟 = 0,1𝑁 м вращается, делая 𝑛 = (𝑘 + 1)103 об⁄мин. Найти разность потенциалов U между
центром и краем диска, возникающую: а)когда отсутствует магнитное поле
(U1 ); б) имеется перпендикулярное к плоскости диска однородное магнитное поле с индукцией 𝐵 = 0,01𝑁 Тл (𝑈2 ).
3.1.15. Два длинных параллельных проводника диаметром 𝑑=(𝑘 + 1) мм
каждый расположены на расстоянии (между осями проводников) 𝑙 = 𝑁 см
друг от друга. По ним в противоположные стороны протекают равные токи
𝐼 = 𝑁 А. Определить индуктивность системы и ее энергию на 1 м длины.
3.1.16. Квадратная рамка со стороной 𝑎=𝑁 см,
⃗⃗
В
𝐷
𝑎
содержащая 𝑀 =100𝑁 витков тонкого провода диаметром 𝑑 = 0,1(𝑘 + 1) мм, может свободно вращаться вокруг оси, проходящей че-
Рис.3.1.9
рез середины противоположных сторон. На
этой же оси располагается маховик в форме диска диаметром 𝐷 = 10𝑁 см и
массой 𝑚 = 0,1𝑁 кг. Рамку с диском помещают в постоянное магнитное поле 𝐵 = √𝑁103 Тл, перпендикулярное оси вращения (рис.3.1.9). Раскрутив
рамку с диском до 𝜔 = 10𝜋𝑁 рад⁄с, оставляют их свободно вращаться.
Сколько оборотов сделает рамка до остановки? 𝜌пр = 1,71 10−8 Ом м.
3.1.17. Маленькая рамочка площадью 𝑆 = 𝑁 см2 содержит 𝑀 = 100𝑁
витков. Она вращается в центре плоской круглой рамки вокруг одного из ее
диаметров, делая 𝑛 = 100(𝑘 + 1) об⁄мин. По большой рамке, радиусом
𝑟1 = 20𝑁 см и имеющей 𝑀1 = 50𝑁 витков, протекает ток 𝐼1 = (𝑘 + 1) А. Найти максимальное значение Э.Д.С., возникающее в маленькой рамке.
3.1.18. Квадратная рамка со стороной 𝑎 = 0,01√𝑁 м, намотанная тонким
медным проводом 𝑑 = 0,1(𝑘 + 1) мм, имеет 𝑀 = √𝑁103 витков. Она враща-
-24ется в магнитном поле с 𝐵 = 0,1√𝑁 Тл, причем ось вращения перпендикуля⃗⃗. Период вращения рамки 𝑇 = 1⁄𝑁 с. Определить амплитудное
рна вектору В
значение Э.Д.С. катушки и максимальное значение полезной мощности, которое может выделиться в нагрузке. 𝜌𝐶𝑢 = 1,71 10−8 Ом м.
3.1.19. Катушка диаметром 𝐷 = 10(𝑘 + 1) см, имеющая 𝑀 = 1000√𝑁
витков медного провода диаметром 𝑑 = 1 мм, подключена к источнику
Э.Д.С. 𝜀 = 𝑁 В. После отключения от источника Э.Д.С. она замыкается накоротко. Через какое время после отключения сила тока в катушке уменьшится в 2 раза? Чему равен при этом ток? Какой заряд пройдет за это время?
𝜌𝐶𝑢 = 1,71 10−8 Ом м.
3.1.20. Имеется длинная катушка (соленоид) диаметром 𝐷 = 10𝑁 мм,
намотанная виток к витку медным проводом диаметром 𝑑 = 0,2(𝑘 + 1) мм.
Число витков 𝑀 = 1000𝑁. Катушку подключают к источнику напряжения
𝑈 = 𝑁 В. Определить разность в количестве тепла, выделившегося при установившемся токе и в течение всего процесса установления тока. Искажениями магнитного поля на краях катушки пренебречь. 𝜌𝐶𝑢 = 1,71 10−8 Ом м.
3.1.21. Используя условия задачи 3.1.20. определить при установившемся токе механическую работу, которую надо совершить при медленном удлинении соленоида в 2 раза (механическими силами упругости пренебречь).
3.1.22. Закороченная катушка диаметром 𝐷 = 2𝑁 см, состоящая из
𝑀1 = 100𝑁 витков медного провода диаметром 𝑑 = 0,1(𝑘 + 1) мм, находится внутри очень длинного соленоида. Ось катушки совпадает с осью соленоида. Соленоид содержит 𝑛 = 100𝑁 витков на 1 метр. По соленоиду пропускают ток 𝐼, который линейно увеличивается от 0 до 𝑁 А за 1секунду. Определить силу тока в закороченной катушке и выделяемую в ней мощность.
𝜌𝐶𝑢 = 1,71 10−8 Ом м.
3.1.23. Катушка в форме длинного цилиндра состоит из 𝑀 = (𝑘 + 1) рядов медной проволоки диаметром 𝑑 = 0,1(𝑘 + 1) мм. Длина катушки
𝑙 = 10𝑁 см, ее диаметр 𝐷 = 𝑁 см. Катушку подключают к источнику напряжения 𝑈 = 𝑁 В, а затем отключают от него и замыкают накоротко. Через какое время после отключения ток в катушке уменьшится в 𝑒 раз? Какое коли-
-25чество тепла 𝑄 выделится в катушке за это время? Чему равна энергия 𝑊
катушки до отключения? 𝜌𝐶𝑢 = 1,71 10−8 Ом м.
3.1.24. На краю длинного соленоида на его оси расположена маленькая
плоская рамка площадью 𝑆 = 𝑁 см2 , имеющая 𝑀 = 𝑁 витков. Соленоид
имеет 𝑛 = 𝑁 витков на 1 сантиметр, и по нему протекает ток 𝐼 = (𝑘 + 1) А.
Какой заряд пройдет по рамке, если ее перенести в центр соленоида? Сопротивление рамки 𝑅 = 𝑁 Ом. Рамка перемещается равномерно и медленно.
3.1.25. Тороид без сердечника имеет две обмотки, каждая из которых
содержит по 𝑀 = 100𝑁 витков, и одна из них намотана поверх другой. Обмотки соединены согласно (последовательно, т.е. их магнитные поля имеют
одно направление).Ток, текущий по обмоткам 𝐼 = (𝑘 + 1) А, средняя длина
тороида по (оси) 𝑙 = 20𝑁 см, поперечное сечение 𝑆 = (𝑘 + 1) см2 . Найти
энергию магнитного поля тороида и его энергию при отключении одной из
обмоток.
-26ЛИТЕРАТУРА
Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. – СПб. «Лань», 2007.
Орир Дж. Физика. Т.1. –М. «Мир», 1981.
Фиргант Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики:
Учебное пособие для втузов. –М. «Высш. шк.», 1978.
Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. –М. «Наука»,
1982.
Коломыцев Б.М., Михайлов Н.М., Страхов Н.Б. Сборник
индивидуальных задач по курсу общей физике. –Л. «ЛЭТИ», 1991.