XIV Магнитогорский турнир юных математиков «Кубок Управления Образования» РЕШЕНИЯ КОМАНДНОЙ ОЛИМПИАДЫ

XIV Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок Управления Образования»
РЕШЕНИЯ КОМАНДНОЙ ОЛИМПИАДЫ
1. Покрасьте 16 клеток доски 7  7 так, чтобы во всех квадратах 3  3, кроме одного, было три
закрашенные клетки.
(Устинов А.В.)
Решение. Например, так:
Возможны другие решения.
(В первом варианте, который раздавался детям, в решении первой задачи была допущена ошибка.
Приносим свои извинения).
2. Точка C - середина отрезка AB . На отрезках AC и BC взяты соответственно точки M и N , причем
AM : MC  CN : NB . Докажите, что отрезок MN равен половине отрезка AB .
(Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы. – М.: МЦНМО, 2004)
Доказательство.
Из равенства AM : MC  CN : NB следует равенство AM : AC  CN : CB . Обозначим
AM : AC  CN : CB  k , AC  CB  a . Тогда AM  kAC  ka , MC  AC  AM  a  ka , CN  kCB  ka .
1
Следовательно, MN  MC  CN  a  ka  ka  a  AB .
2
3. На месте единиц в трехзначном числе стоит цифра 2. Если эту цифру мы перенесем на первое место,
то получится число, больше заданного на одну треть. Какое задано число?
(И.Огнев. Мозгодробилки и прикольные задачи для детей и взрослых)
Ответ. 162.
Решение.
4
4
Пусть задано число xy2 . По условию задачи: 2 xy   xy2 , т.е. 2 100  10 x  y  100 x  10 y  2 . Из
3
3
этого: 370 x  37 y  592 , 10 x  y  16 , y  16  10 x . Если x  2 , то y  0 , чего не может быть.
Следовательно, x  1 , y  6 .
4. В архипелаге каждый остров соединен мостом ровно с семью другими. Сколько в этом архипелаге
островов, если мостов 84?
(Московская регата, Турнир Архимеда)
Ответ. 24 острова.
Решение.
Пусть в архипелаге x островов. Построим около каждого моста по две таможни – у выхода на каждый
из двух островов, которые соединяет этот мост. Тогда всего будет построено 84  2  168 таможен. С
другой стороны, так как каждый остров соединен с семью другими, то на каждом острове – по 7
168
 24 .
таможен, т.е. всего их 7 x . Следовательно, x 
7
5. Какое наименьшее количество чисел нужно исключить из набора 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так,
чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в
группах?
(МО)
Ответ. 3 числа (например 3, 7, 11).
Решение.
Очевидно, что числа 7 и 11 должны быть исключены. Произведение остальных чисел есть 210  35  5 2 ,
поэтому еще необходимо исключить число 3 или 12. Подойдут, например, такие группы: (4, 5, 8, 9) и (2,
6, 10, 12).
6. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла
АМС проходит через точку D. Найдите углы параллелограмма, если известно, что MDC  45 .
(Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. – М. Изд-во
МФТИ, 2003)
Ответ. А  60 , В  120 .
Решение.
Пусть DAM   (см. рисунок), тогда AMB   (ВС || AD),
В
С
M

AMC  180   , поэтому CMD  90  .
2

Отсюда MDA  90  и, значит,
2
А
D

3

MDC  CDA  MDA  180  2    90    90   .
2
2

3
Итак, 90    45 , откуда   30 .
2
7. В банановой республике прошли выборы в парламент. Все голосовавшие за партию «Мандарин»
любят мандарины. Среди голосовавших за другие партии 90% не любят мандарины. Сколько процентов
голосов набрала партия «Мандарин» на выборах, если ровно 46% участвовавших в голосовании любят
мандарины?
(мат. праздник)
Ответ. 40%.
Решение.
Пусть x - количество всех голосовавших, y - количество голосовавших за партию «Мандарин».
Найдем количество любителей мандаринов. С одной стороны их 0,46 x (46% всех участвовавших в
голосовании), с другой стороны их y  0,1x  y  (все голосовавшие за партию «Мандарин» и 10%
голосовавших за другие партии).
Получили:
y  0,1x  y   0,46 x ,
0,9 y  0,36 x ,
y  0,4 x ,
т.е. за партию «Мандарин» голосовала 40%.
8. Учитель проверил работы трех учеников – Алексеева, Васильева и Сергеева, но не захватил их с
собой. Ученикам он сказал: «Вы написали работу на различные оценки («3», «4», «5»). У Сергеева не
«5», а у Васильева не «4», а вот у Алексеева, по-моему, «4».» Впоследствии оказалось, что учитель
ошибся и одному ученику сказал верно, а двум другим неверно. Каковы оценки учеников?
(Костромской турнир математических боев)
Ответ. Алексеев – «5», Васильев – «4», Сергеев – «3».
Решение.
Рассмотрим три варианта, какое из утверждений оказалось верным.
1) Если у Сергеева действительно не «5», то у Васильева – «4». Значит, у Сергеева – «3», а у Алексеева
– «5». Этот вариант не противоречит условию.
2) Если у Васильева не «4», то у Сергеева – «5». Значит, у Васильева – «3», а у Алексеева – «4».
Противоречие.
3) Если у Алексеева действительно «4», то остальные сведения не верны, откуда у Васильева также «4».
Этот вариант не подходит.