Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
advertisement
ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Московский институт электроники и математики Факультет Прикладной математики и кибернетики Кафедра Кибернетики Дипломная работа по специальности 230401.65 «Прикладная математика» Конструирование систем управления с использованием методов многокритериальной оптимизации Студентка группы М-92 Титова Е. С. Руководитель Зотов М. Г. Зав. кафедрой профессор, д.т.н. Афанасьев В.Н. Москва 2014 2 АННОТАЦИЯ Тема: «Конструирование систем управления с использованием методов многокритериальной оптимизации». Объем дипломной работы 63 страницы, на которых размещены 28 рисунков и 5 таблиц. Объектом исследования при написании работы послужил процесс сравнения классического управляющего устройства и управляющих устройств с обратной связью. Предметом исследования работы стало моделирование систем управления многокритериальным методом в системах MATLAB – Simulink и Derive. В дипломную работу входят введение, 5 глав и заключение. Во введении раскрывается актуальность исследования по выбранному направлению, ставится проблема, цель исследования, определяются объект, предмет научных поисков, ставятся задачи, указывается металогическая база исследования, его теоретическая и практическая значимости. В главе 1 приведены общие сведения об автоматических системах. В главе 2 описывается постановка задачи сравнения классического управляющего устройства и управляющих устройств с обратной связью. В главе 3 описывается общие свойства теории управления. В главе 4 описываются методы решения задачи оптимизации системы управления. В главе 5 приведены результаты решения задачи и моделирования в системе Simulink. Заключение посвящено основным выводам по результатам сравнения методов оптимизации систем управления. 3 Содержание ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 4 1. ОБЩИЕ СВЕДЕИЯ .......................................................................................... 6 1.1 Автоматические системы ......................................................................... 6 1.2 Многокритериальные системы. ............................................................... 8 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ............................................................................. 10 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ.................................................. 12 3.1. Пространство состояний и передаточные функции ............................ 12 3.2. Соединение элементов. ........................................................................... 14 3.3. Устойчивость и другие свойства систем управления .......................... 17 3.4. Грубость системы .................................................................................... 21 3.5. Критерии качества ................................................................................... 26 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ .................................................................................... 29 4.1 Задача оптимизации ................................................................................ 29 4.2 Управляемость и наблюдаемость .......................................................... 33 4.3 Задачи теории оптимального управления ............................................. 35 4.4 Многокритериальная задача оптимизации ........................................... 36 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ...................................................................................... 40 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 63 Список литературы: .................................................................................................................... 64 4 ВВЕДЕНИЕ Теория автоматического управления — молодая наука, которая находится в процессе интенсивного развития. Нахождение оптимального решения по нескольким параметрам неизменно представляло собой важную задачу. В каждом устройстве есть характеристики, которые нужно увеличить, а есть те, которые нужно уменьшить. Но между характеристиками существует зависимость. На них наложены ограничения. Поэтому увеличение одних характеристик обязательно ведет к уменьшению других. Долгое время в таких случаях из множества рассматриваемых характеристик выбирали наиболее важную и оптимизировали ее, соблюдая определенные ограничения. Остальные характеристики или считались ограничениями или не участвовали в решении задачи и принимались такими, какие они становились после оптимизации. Если увеличение одной характеристики несет неприемлемое снижение другой, то однокритериальный подход становится несостоятельным. Но мы не можем потребовать и одновременную максимизацию нескольких функций. В этом случае используем многокритериальный подход. Этому подходу сегодня посвящено множество работ. Исследование многокритериальных задач направлены на нахождение оптимальных решений с учетом всей совокупности частных критериев и ограничений. Важным моментом в решении многокритериальных задач является понятие оптимальности. В однокритериальных задачах оптимальность характеризуется максимумом или минимумом единственной функции. В многокритериальных же задачах есть множество частных критериев, каждый из которых необходимо минимизировать или максимизировать. Здесь оптимальность представляет собой обоснованный компромисс между этими задачами. Трудность этой задачи обусловлена не вычислительными, а логическими сложностями. 5 Важность многокритериальных задач объясняется многими причинами. В их число входит сложность и дороговизна современных систем, большие сроки создания систем и перехода их в серийное производство. Оценивается не только влияние окружающей среды на систему, но и негативное влияние системы на окружающую среду, отдаленные экологические последствия серийного производства и распространения системы. 6 1. ОБЩИЕ СВЕДЕИЯ 1.1 Автоматические системы Автоматические системы применяются для управления разными физическими процессами, из-за этого в них могут использоваться весьма разнообразные устройства: механические, гидравлические, электрические и т.д. При конструировании систем управления автоматическую систему разумно изобразить как структурную схему, отвлекаясь от функциональных особенностей входящих в ее состав элементов. Автоматические системы делятся на: 1) системы, реализовывающие одноразовые или многоразовые операции; 2) системы, управляющие изменением или поддержанием неизменными разнообразных физических величин в управляемом процессе. Нас интересуют второй вид автоматических систем. Они бывают замкнутые и незамкнутые. Структурная схема незамкнутой системы показана на рис.1. Источник воздействия Контрольные приборы Промежуточные устройства Управляемый объект Промежуточные устройства Рисунок 1 Структурная схема незамкнутой системы Свяжем выход автоматической системы со входом так, чтобы контрольные приборы, замерив значения выхода, воздействовали бы на систему с такой силой, с какой различаются измеренные величины и 7 требуемые значения. Так возникает замкнутая автоматическая система (рис.2). Все звенья замкнутой системы связаны между собой. Реакция замкнутой системы на изменение входа отличается от реакции незамкнутой системы. К свойствам замкнутых систем относят точность и быстродействие для управления, измерения или для производства математических вычислений. По этой причине при организации разных замкнутых автоматических систем важными становятся динамические расчеты. Задающее или программное устройство Устройство формирования команд управления Устройство предварительной обработки информации Усилительнопреобразовательное устройство Измерительное устройство Рисунок 2 Замкнутая система Исполнительное устройство Управляемый объект Контролирующее усторойство 8 1.2 Многокритериальные системы. Последнее время ведутся поиски методов отыскания оптимальных решений в задачах многокритериальной оптимизации. Многокритериальные задачи могут быть разбиты на несколько классов. В первом классе при выборе объекта должны приниматься во внимание множество качеств технической системы. Обычно в этих задачах частные критерии имеют различную размерность и физическую природу. Во втором классе система состоит из множества объектов. Качество функционирования каждого объекта описывается своим частным критерием. Эффективность системы определяется совокупностью этих частных критериев. Физическая природа и размерность частных критериев в этих задачах обычно одинаковы. Третий касс состоит из множества условий, для каждого из которых качество функционирования системы определяется некоторым частным критерием. Эффективность системы определяется совокупностью величины критериев для каждого из условий. Частные критерии имеют одинаковую природу и одинаковую размерность. В четвертом классе система функционирует в течение ряда этапов. Качество функционирования на каждом этапе можно охарактеризовать своим частным критерием. Эффективность системы зависит от ее функционирования на каждом этапе. Пятый класс – множество вариантов постановки задачи. В системах данного класса неопределенность появляется уже в постановке задачи, к примеру, качество функционирования системы зависит от значения некоторого параметра, о котором мы знаем только область его изменения и зависимость частного критерия от численного значения параметра. Закон распределения параметра неизвестен. Эффективность системы будет состоять из частных критериев для всех возможных значений неизвестного параметра. Размерности частных критериев в задачах этого класса равны. Задачи могут содержать черты двух или более классов. 9 В случае если задача содержит критерии различных размерностей, их необходимо нормировать. Для этого вводится отношение заданного критерия к некоторой нормирующей величине. Это может быть заданное разработчиками значение, которое мы считаем оптимальным, может быть аналогичные значения уже существующего и работающего устройства. Можно взять в качестве нормирующей величины максимальное значение параметра или разницу между максимальным и минимальным значениями. Управление заключается в том, чтобы оказывая на некоторый предмет воздействие, менять проходящие в нем процессы для достижения назначенной цели. Управление, осуществляемое без вмешательства человека, называется автоматическим. Мы рассматриваем именно автоматическое управление. Любая система управления строится на основе трех функциональных блоков. Первый блок – блок датчиков информации. Он состоит из устройств, дающих информацию о текущих значениях процессов в объекте. Этот блок выдает информационные сигналы, которые поступают во второй блок, блок преобразования и хранения информации. Этот блок на основе полученных сигналов, а также априорной информации вырабатывает сигналы управления. Алгоритм выработки сигналов управления закладывается в устройство заранее и называется законом управления. Сигнал управления демонстрирует нам, каким должно быть управляющее воздействие в данный момент времени. Чтобы исполнительное устройство. выработать это воздействие, используется 10 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Будем рассматривать управляющее устройство с обратной связью (рис.3). На вход управляющего устройства поступает воздействие g(t) и выходной сигнал y(t). По поступающей на вход информации управляющее устройство формирует в соответствии с целью управления управляющее воздействие u(t). W0 – передаточная функция объекта управления. А1, А2 – передаточные функции управляющего устройства. Сравнить различные варианты управляющих устройств в системе, где объект управления имеет передаточную функцию W0 ( s) 1 . ( s 1)( s 2) Желаемые передаточные функции относительно задающего воздействия g1 (t ) U1 ( s) 1 , относительно помехи g2 (t ) , наложенной на управление - U 2 ( s) 0 . Относительно задающего воздействия и помехи система должна обладать астатизмом второго порядка. Конфигурации структур управляющего устройства заданы в таблице 1. Таблица 1 Конфигурации структур управляющего устройства A1 A2 W1 W1 1 W1 1 W1 W1 1 W1 1 1 W1 ( s ) W1 ( s) 1 W1 ( s) W1 ( s ) 1 1 W1 ( s ) 1 1 W1 ( s ) 11 g1 А1 u g2 А2 Рисунок 3 Управляющее устройство W0 y 12 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. 3.1. Пространство состояний и передаточные функции Описание системы может быть дано путем задания дифференциальных уравнений звеньев и алгебраических соотношений, выражающих связи между звеньями. Объекты и системы управления строятся из элементов, имеющих различную физическую природу. Описание каждого элемента, как правило, дается на языке своей научной дисциплины (механики, электротехники, химической кинетики и т. д.). Для анализа их взаимодействия удобно перейти к единообразному, стандартному описанию. Наиболее часто встречается следующий способ: каждый реальный элемент рассматривается как устройство, звено системы, в котором осуществляется преобразование одного процесса, называемого входным воздействием, в другой, называемый выходной реакцией, или просто преобразование вход-выход; взаимодействие между звеньями задается путем описания связей между их входами и выходами, определяющих структуру системы. Перейдем к изучению свойств отдельных звеньев. Универсальным языком теоретического естествознания, служащим для математического моделирования взаимосвязей процессов в природе и технике, является язык уравнений — алгебраических и, в особенности, дифференциальных. Пусть для описания преобразования вход-выход, осуществляемого любым звеном, может быть использовано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: dny d n 1 y d mx d m1 x n n n1 n1 ... 0 y m m m1 m1 ... 0 x , dt dt dt dt где 0 ,..., n ; 0 ,..., m — постоянные величины, параметры звена, n и m — 13 целые числа, n 0, m 0 , а для обозначения входа и выхода (независимо от их природы) применены символы x = x(t) и y = y(t) . Число n называется порядком звена. Это уравнение удобно записывать в форме передаточных функций. Преобразованием по Лапласу функции f(t) называют функцию F (р) pt комплексной переменной р F ( p) f (t )e dt L( f (t )) . По заданной F(p) 0 можем восстановить функцию f(t) , называемую оригиналом F(p) (прообразом), если f(t) = 0 при t < 0. Использование дифференциальных преобразования уравнений Лапласа базируется на для простом исследования утверждении: df L pF ( p ) , если f(0) = 0. Из этого утверждения следует, что dt d kf L k p k F ( p) ; L[a0 f (t ) a1 f (t ) ... ak f dt (k ) ] (a0 a1 p ... ak p k ) F ( p) , для любого дифференциального уравнения степени k, если равны нулю значения f(t) и ее производных вплоть до (k-1)-й. Применим преобразование Лапласа к уравнению ( s) y (t ) ( s) x(t ) , получим ( p)Y ( p) ( p) X ( p) , при этом считаем, что равны нулю у(0) , х(0) и начальные значения производных y(t) , х(t) вплоть до (n-1)-й и (m-1)-й соответственно. Y ( p) ( p) X ( p) H ( p) X ( p) . ( p) t H ( p) X ( p) L( h( ) x(t )d ) , где функция h(t) , t 0, является 0 оригиналом передаточной функции Н(р). Если функция h(t) вычислена, то t y(t ) h( ) x(t )d . Функцию h(t) называют весовой функцией 0 преобразования вход-выход, поскольку с ее помощью взвешиваются значения входной переменной в прошлом, в моменты t , для того чтобы, 14 суммируясь, сформировать значение выхода в текущий момент t. Реакция звена на воздействие 0, t 0 x(t ) 1, t 0 называется его переходной функцией (t ) . Она является интегралом от t 1 весовой функции (t ) h( )d . ( p) H ( p) . p 0 Таким образом, звено, описываемое дифференциальным уравнением ( s) y (t ) ( s) x(t ) , может быть также описано путем задания одной из четырех характеристик: H ( s) H ( p) ( s) - операторная передаточная функция, ( s) ( p) - комплексная передаточная функция, h(t) —весовая функция, ( p) (t ) - переходная функция, любая из которых полностью характеризует функционирование звена как преобразования вход-выход при нулевых начальных условиях. 3.2. Соединение элементов. Передаточные функции могут быть соединены последовательно, параллельно или образовывать обратную связь. Последовательным соединением элементов называют такое соединение, при котором выходная величина первого элемента является входной величиной второго элемента. Для последовательного соединения X 2 W1 X 1 ; X 3 W2 X 2 . Следовательно, Х3(р) = W1(p)W2(p)X1(p) = W(p)X1(p). Отсюда W = W1W2. В общем случае при последовательном соединении n элементов W (р) = W1(p)W2(p)…Wn(p). То есть передаточная функция последовательного соединения элементов равна произведению передаточных функций отдельных элементов. Параллельным соединением элементов называется такое соединение, при котором входная величина одна и та же для всех элементов, а выходные величины их суммируются. Для параллельного соединения Х2 = W1X1, X3 = 15 W2X1, X4 = X1+X2. Отсюда X4(р)=(W1(р) + W2(р)) X1(р) = W(р) X1(р). Поэтому W = W1+W2. В общем случае при параллельном соединении п элементов W (р) = W1(р)+W2(р) +. . .+ Wn (p). Передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций отдельных звеньев. Обратным соединением двух элементов или соединением обратной связи называется такое соединение, при котором выход каждого из элементов соединяется со входом другого элемента. Для соединения c отрицательной обратной связью X2= W1X1, X3= W2X2, Х1= Х0-Х3. Если Х1 = Х0+Х3, то это соединение с положительной обратной связью. Отсюда X1 W1 X 0 WX 0 . 1 W1W2 W 1 Значит W 1 W W . Элемент, 1 2 характеризуемый передаточной функцией W1(p), называется прямой частью замкнутой системы, а элемент, характеризуемый передаточной функцией W2— обратной связью. Передаточная функция обратного соединения равна дроби, в числителе которой стоит передаточная функцию прямой части, а в знаменателе — произведение обоих частей со знаком минус при отрицательной обратной связи, увеличенное на единицу. Обратная передаточная функция обратного соединения W 1 W11 W2 равна алгебраической сумме обратной передаточной функции прямой части и передаточной функции элемента обратной связи. На практике используются управляющие устройства различной конфигурации. У некоторых из них есть свои названия: 1. Обычное управляющее устройство: A1 A2 W1 ; A1 W1, A2 W1W2 ; 2. Управляющее устройство с внутренней обратной связью: A1 A2 W1 ; 1 W1W2 2. Замкнуто-разомкнутое управляющее устройство: A1 W1 W2 , A2 W1 . 16 Если есть только одно звено коррекции W1, то А1 и А2 связаны. Это уменьшает возможность их минимизации. Но использование нескольких звеньев коррекции увеличивает сложность системы. Если есть хотя бы 2 звена коррекции, А1 и А2 не связны друг с другом. Действительно, если мы зададим любые значения А1 и А2, у нас получится система из двух уравнений с двумя неизвестными, которую, как правило, можно решить. Если звеньев коррекции больше двух, А1 и А2 тоже никак не связаны. Рассмотрим два звена коррекции и дополнительное единичное звено. Оно не сильно увеличит сложность, но поможет улучшить управляющее устройство. Звенья коррекции могут быть соединены последовательно или параллельно. Тогда мы можем построить 10х10 конфигураций структур управляющего устройства. Оставим из них те, которые для реализации которых хватает двух звеньев коррекции. Например, отбросим А1=W1+W2, A2=W1W2, потому что два звена коррекции не могут быть одновременно соединены последовательно и параллельно. Для этого понадобилось бы третье звено. Оставим схемы, во-первых, с точностью до знака, т. е. возьмем все функции только с положительным знаком, во-вторых, с точностью до индекса. Наконец, оставим только те схемы, где А1 и А2 независимы. Таким образом, останется только 23 схемы. Рассмотрим случаи, когда А1 и А2 могут быть вида W1, W2, W1W2, W1+W2 (рис.4). Таблица 2 Возможные конфигурации управляющих устройств без обратной связи A1 A2 W1 W2 W1W2 W1+W2 W1 - 1 2 3 W2 - - - - W1W2 - 4 - W1+W2 - 5 - 6 17 W1 W1 W2 1. W2 2. W1 W1 W2 W2 3. 4. W1 W1 W2 W2 5. 6. Рисунок 4 Управляющие устройства без обратной связи Cтруктурные схемы 2 и 3 отличаются от схем 4 и 5 только тем, что поменялись местами точки приложения входных воздействий. Теперь предположим, что передаточные функции могут иметь одну обратную связь. Тогда число возможных систем значительно увеличится. Существует 199 структур вида C1 . 1 C2 Если А1 и А2 содержат одно звено коррекции и не более чем одну обратную связь. Тогда передаточные функции А1 и А2 будут иметь вид C1 . 1 C2 При этом сами С1 и С2 имеют вид: 1, W1, W1+1. Структур с одним звеном коррекции может быть сделано 20. В целом же структур с одним и двумя звеньями коррекции, созданных по вышеоговоренным правилам - 241. 3.3. Устойчивость и другие свойства систем управления При решении задачи аналитического конструирования необходимо учитывать ряд ограничений. Мы имеем дело с приближенными значениями и 18 все вычисления тоже ведутся приближенно, поэтому малым изменениям исходных данных должны соответствовать малые изменения выхода. Еще одним ограничением будет необходимость получить работоспособную систему и реализуемость управляющего устройства системы. Группа, в которой ищем оптимальное управляющее устройство, может быть до такой степени обширна, что сделанная оптимальная система может оказаться неработоспособной, в том числе негрубой. Вследствие этого при ответе на оптимизационную задачу нужно с помощью ограничений уменьшить пространство поиска и управляющее устройство находить в классе, где обеспечиваются: устойчивость системы; грубость (малым вариациям параметров системы должны всегда соответствовать малые изменения величин, характеризующих состояние системы), реализуемость, т.е. степень числителя передаточных функций звеньев коррекции управляющего устройства не может превосходить степени знаменателя. Также необходимо ограничить максимальный размер оценок качества системы. Совокупность данных оценок характеризует качество системы в целом. Ограничения на оценки задают в пространстве проектирования определенную область, любая точка которой отвечает системе с некоторым возможным свойством. В границах этой области можно проводить оптимизацию систем по избранным критериям. К примеру, система обязана иметь степень устойчивости не меньше и колебательности не больше данных и обеспечивать минимум дисперсии ошибки воссоздания полезного элемента задающего воздействия. Главное свойство систем управления - свойство устойчивости. Если система при некоторых отклонениях параметров от их номинальных значений утрачивает это свойство, то она неработоспособна и не может нормально работать. Понятие устойчивости системы связано со способностью системы возвращаться в положение равновесия после прекращения действия сил, выведших ее из положения равновесия. 19 Звено системы управления называется устойчивым, если при любом ограниченном входном воздействии выход у(t) является ограниченным при 0t и неустойчивым в противном случае. Звено устойчиво по входу, если выполнены два условия: степень числителя передаточной функции не больше степени знаменателя и все корни знаменателя расположены слева от мнимой оси. Проверка устойчивости не требует вычисления всех его корней, о только проверки, с какой стороны от мнимой оси они расположены. Есть много эффективных методов проверки устойчивости многочленов без нахождения их корней. Необходимое условие устойчивости (критерий Стодолы): если многочлен а(х) с аn>0 устойчив, то все его коэффициенты положительны. Это условие является достаточным при n 2 . Звено называют устойчивым по начальным условиям, если вызываемое ими возмущение исчезает при t . Звено устойчиво по начальным условиям, если его характеристический полином является устойчивым. Система осуществляет устойчивое преобразование, если устойчивы все ее звенья. Линейная непрерывная система x Ax, x(t ) R , где А — матрица n x(t ) 0 для любого nxn ,не зависящая от t, называется устойчивой, если lim t х(0). Для устойчивости линейной непрерывной системы необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения i матрицы А лежали в левой полуплоскости: Re i 0, i ,...n . Такая матрица называется гурвицевой или устойчивой. При этом для всякого 0 min( Re i ) существует такое C C ( A, ) , что | x(t ) | C | x(0) | et , (1) то есть x(t) экспоненциально стремится к нулю. Если А устойчива, то величина min( Re i ) называется степенью устойчивости (матрицы или 20 соответствующей системы), то есть степень устойчивости - это минимальное из расстояний от собственных значений устойчивой матрицы до мнимой оси. Оценим решение системы при наличии внешних возмущений: x Ax u . Чтобы решение x(t) этой системы при х(0) = 0 было ограниченным для всех ограниченных внешних возмущений u(t) необходимо и достаточно, чтобы А была устойчива. Множеством достижимости системы x Ax Bu , y Cx называется n множество S R ее возможных состояний для всех входных сигналов, ограниченных в какой-либо норме. Для устойчивых систем множества достижимости ограничены и допускают простое описание. В организации теории многокритериальной оптимизации есть несколько проблем. Первая из них заключается в нахождении области изменения частных критериев, где находится оптимальное решение. Предположим нам надо максимизировать все частные критерии. Тогда, на первый взгляд, им можно придать сколь угодно большие значения. Этому могут помешать только неизбежные в реальной системе ограничения. Обычно их бывает взаимозависимости два частных вида: абсолютные критериев. и Физическое вытекающие или из абсолютное ограничение – это такое ограничение, которое не зависит от величины других критериев. Они встречаются довольно редко. Гораздо чаще встречаются ограничения, связанные с взаимной зависимостью частных критериев. Эта взаимная зависимость возникает из-за какого-то общего ограничительного требования. Область возможных решений превышает область допустимых решений. Она определяется минимальными значениями критериев, ниже которых эффективность системы недопустимо мала. Оптимальное решение лежит в области компромисса - такой области, где увеличение одного критерия можно достичь лишь ценой уменьшения другого критерия. 21 Грубость системы 3.4. Для того чтобы сделанная система была работоспособной, она должна быть грубой. Заметим, что вопрос о математическом задании ограничений на грубость продолжает беспокоить ученых. Сформулируем понятие грубости. Пусть система характеризуется определенным набором параметров Р(р1, . . . , рn) и пусть выполняется свойство L для данного P, тогда свойство L назовем грубым, если оно выполняется в каждой точке некоторой окрестности точки Р, то есть, если функция, выражающая это свойство, непрерывна в точке Р. Таким образом, при малых отличиях характеристик реальной грубой системы от принятых при расчете ее поведение не должно существенно изменяться. Сегодня в работе с автоматическими системами выделяют понятие параметрической и структурной грубости. Рассмотрим условия, обеспечивающие параметрическую грубость системы относительно свойства устойчивости. Вначале рассмотрим случай, когда полюсы и нули передаточной функции заданной части лежат только в левой полуплоскости комплексного переменного. Построим эквивалентную структурную схему без обратной связи (рис.5). Пусть Wˆ A1W0 1 A2W0 ~ H A2W0 1 A2W0 Тогда ~ Wˆ H A1 ~ ; A2 ~ W0 (1 H ) W0 (1 H ) 22 Ŵ ~ H W0 Рисунок 5 Эквивалентная структурная схема Получим условие грубости для случая А1=W1, A2=W1W2. В этом случае Wˆ ~ W0 (1 H ) ~ A H W2 2 A1 Wˆ W1 Q R ~ RP N M 0 0 Введем обозначения W0 P ;Wˆ L ; H N . Тогда W1 LQ ( N M ) ; 0 0 W2 M L , где W1 и W2 — передаточные функции двух звеньев коррекции, N R из которых создается управляющее устройство. Физически они сделаны из разных элементов — следовательно, передаточные функции Ŵ и H~ , входящие в W1(s) и W2(s), — это передаточные функции разных устройств. На практике сделать эти устройства тождественными невозможно. На основе выше сказанного уточненные значения передаточных функций W1 и W2 имеют вид W11 R1P01N 3 L1Q01N1 L3Q03M 1 W21 M 2 L2 N 2 R2 Уточним значения А2 и А2: A11 R1P01N 3 L1Q01N1 L3Q03M 1 A21 R1P01N 3 M 2 L2 L1Q01N1 L3Q03M 1 N 2 R2 A1 и А2 - это передаточные функции реального управляющего устройства, имеющего определенную конфигурацию. Передаточные 23 функции управляющего устройства могут отличаться от расчетных не только параметрами, но и структурой. Подставим значения А1 и А2 в передаточные функции системы 0 Q 0 P01 N 2 N 3 R1R2 Wˆ 0 0 ; 0 Q01 P0 N1 N 2 L1R2 Q 0 P01M 2 N 3 R1L2 Q03 P 0 M 1 N 2 R2 L3 0 Q 0 [ L1Q01 N1 L3Q 03 M 1 ]N 2 R2 H 0 0 0 Q01 P 0 N1 N 2 L1R2 [Q 0 P01M 2 N 3 R1L2 Q03 P 0 M 1 N 2 R2 L3 ] 0 0 W0 Q0 0 ;W0i P0 Q0i R ~ M ;Wi i ; H i i P0i Li Ni Мы нашли выражения для Найдем, в 0 каком случае Wˆ (s) и H(s) и характеристическое уравнение. корни 0 характеристического 0 Q01 P 0 N1 N 2 R2 L1 [Q0 P01M 2 N3 R1L2 Q03 P 0 M1 N 2 R2 L3 ] лежат полинома только слева от мнимой оси. Обозначим соответственно назовем степени q 0 , p 0 , ri , li , mi , ni , qi , pi . квазивырожденным 0 0 Q 0 P01M 2 N 3 R1L2 Q03 P 0 M1 N 2 R2 L3 функций Wˆ (s) и 0 полиномов 0 Q0 , P 0 , Ri , Li , M i , N i , Q0i , P0i Выражение полиномом. 0 Q01 P 0 N1 N 2 R2 L1 Коэффициенты близки к нулю. Полюса передаточных H(s) лежат только в левой полуплоскости, а следовательно, Li(s) и Ni(s) имеют корни только с отрицательными действительными 0 0 частями. По условию задачи, все корни полиномов Q0 , P 0 , Q0i , P0i лежат только в левой полуплоскости. Поэтому, чтобы квазивырожденный полином имел корни только слева от мнимой оси, необходимо, чтобы полином R(s) не имел корней в правой полуплоскости комплексного переменного. Напомним, что R Wˆ L - искомая передаточная функция; обычно нули этой функции лежат только в левой полуплоскости. Пусть степень первого слагаемого в нулевом 24 0 0 полиноме Q0 P01M 2 N3 R1L2 Q03 P0 M1N 2 R2 L3 выше второго или равна ей. Введем обозначения: u1 0 Q01 P 0 M 1 N 2 R2 L1 ai s i ; i 0 u1 q1 p 0 n1 n2 r2 l1 ; 0 u2 0 Q 0 P01M 2 N 3 R1 L2 Q03 P 0 M 1 N 2 R2 L3 i s i ; i 0 u 2 q 0 p m2 n3 r1 l 21 ; Очевидно, что коэффициенты i ,- малы и могут быть разных знаков. Перепишем характеристическое уравнение au1 s u1 au1 1s u1 1 ... a1s a0 u 2 s u 2 u 2 1s u 2 1 ... 1s 0 0 Если u2>u1 u 2 s u 2 ... (au1 u1 ) s u1 ... (a1 1 ) s (a0 0 ) 0 Так как ai i , знак ai i - будет совпадать со знаком i . Коэффициенты полинома при степенях, больших чем u1, будут как положительны, так и отрицательны, по этой причине часть или все корни характеристического полинома окажутся справа от мнимой оси. Система является негрубой. Если u1 > u2, характеристическое au1 s u1 ... (au 2 u 2 ) s u 2 ... (a1 1 ) s (a0 0 ) 0 . корни квазивырожденного полинома уравнение запишем так: В связи с тем, что i ai , а лежат в левой полуплоскости комплексного переменного на достаточном удалении от мнимой оси, корни характеристического полинома также лежат в левой полуплоскости, следовательно, система в этом случае будет грубой. В случае u1 = u2 система также будет грубой. Система будет грубой при u1 u2 и достаточно маленьких коэффициентах ai. Нам известны лишь приближенные значения исходных данных. Поэтому функции А1 и А2 мы тоже можем найти лишь приближенно. И даже это приближенное значение мы не можем точно реализовать на физических элементах. Поэтому передаточное устройство будет иметь функции только приблизительно равные расчетным. Но если точное значение не имеет нулей 25 и полюсов в правой полуплоскости, то их не будет иметь и сконструированное нами приблизительное значение. При постановке задачи необходимо учитывать практическую реализацию системы управления. Необходимо решить, какие ограничения надо наложить на передаточные функции звеньев коррекции и на передаточные функции Ŵ и ~ H в эквивалентной схеме. Для реализуемости управляющего устройства степень числителя его передаточных функций должна быть не выше степени знаменателя. Рассмотрим два случая: степень числителя не больше степени знаменателя и степень числителя меньше степени знаменателя. Например звено с единичной передаточной функцией имеет степень числителя равную степени знаменателя. Это звено реализуемо, если верхний предел полосы пропускания намного ниже того же предела для звена с единичной передаточной функцией. Найдем условия, при которых передаточные функции А1, А2 реализуемы. Пусть нули и полюса передаточной функции лежат слева от оси в плоскости комплексного переменного. Передаточные функции А1 и A2 определяются следующими соотношениями: Wˆ ~ ; W0 (1 H ) ~ H A2 ~ W0 (1 H ) A1 ~ H меньше степени ~ 1 H равна степени Пусть степень числителя передаточной функции знаменателя. Тогда степень числителя функции знаменателя. Таким образом реализуемость функции А1 следует из реализуемости функции ~ H W0 . Wˆ W0 , а реализуемость А2 следует из реализуемости 26 3.5. Критерии качества Качество системы определяет размер ошибки, равный отклонению настоящего значения регулируемой величины от требуемого. Мгновенная величина ошибки дает возможность максимально подробно понимать свойства системы регулирования. Но случайность входной величины не дает возможность реализовать этот подход. Из-за этого качество системы управления оценивается по некоторым признакам, возникающим при разнообразных стандартных воздействиях. Для нахождения качественных показателей системы управления используются критерии качества. Все критерии качества делятся на четыре группы. Первая группа – это критерии точности. Они используют для оценки качества системы величину ошибки в различных типовых режимах. Ко второй группе относятся критерии, задающие размер запаса устойчивости, то есть критерии, показывающие, насколько близко к границам устойчивости располагается система управления. Как правило, наиболее часто нарушается колебательная граница устойчивости. Дело в том, что желание увеличить общий коэффициент усиления вызывает приближение к колебательной границе устойчивости системы, а потом – к появлению незатухающих автоколебаний. Третья группа процессов определяет быстродействие системы регулирования. Быстродействие – это скорость реакции системы на внешнее воздействие. Легче всего быстродействие оценивается по времени затухания переходного процесса. К четвертой группе критериев качества можно отнести комплексные критерии, складывающиеся из оценок первых трех групп. Как правило, это делается с помощью изучения интегральных характеристик кривой переходного процесса. При анализе понятий запаса устойчивости и быстродействия будем отталкиваться из двух принятых сейчас точек зрения. Первая точка зрения опирается на изменении хода процесса со временем. Тогда для образования 27 критерия качества будем употреблять переходную или весовую функцию, расположение нулей и полюсов передаточной функции и так далее. Мы будем применять именно этот метод. Во втором случае будем изучать частотные свойства системы, от которых зависит поведение системы в установившемся режиме при получении на вход гармонического сигнала. К ним относится полоса пропускания, относительная высота резонансного пика и так далее. Оба этих варианта сейчас очень распространены и применяются одновременно. Взаимоотношения данных характеристик имеет сложную связь и находится только в простейших случаях, например для систем, определяемых дифференциальным уравнением второго порядка. Управляющее устройство вместе с управляемым объектом является сложной системой. Исчерпывающе оценить ее возможно только с применением многих показателей. Главные показатели: качество процесса в переходном режиме, качество процесса в установившемся режиме (точность), сложность управляющего устройства, чувствительность системы к изменению динамических свойств ее составных частей. В свой черед, каждый из вышеназванных показателей обусловливается сразу несколькими оценками. Например, качество процесса в переходном режиме характеризуется временем нарастания, временем переходного процесса, перерегулированием, декрементом затухания, числом колебаний и т.д. О качестве процесса в переходном режиме можем судить также по расположению полюсов передаточной функции системы на плоскости комплексного переменного. При этом здесь можем выделить две оценки: степень устойчивости и колебательность. Употребляются также интегральные оценки. Качество процесса в установившемся режиме по случайной составляющей характеризуется дисперсией ошибки, а по регулярной — коэффициентами ошибок. Для нахождения вышеназванных показателей качества стационарных линейных систем можно рассматривать следующие показатели: степень 28 устойчивости – модуль действительной части ближайшего к мнимой оси отрицательного корня и колебательность - отношение расстояний до мнимой и действительной оси для ближайшей (слева) к мнимой оси пары комплексно-сопряженных корней. 29 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 4.1 Задача оптимизации Выбор структуры и параметров автоматической системы обусловливает ее динамические свойства. Задача оптимизации заключается в выборе наилучшей структуры и параметров системы. Показатели качества можно рассматривать как функциональные выражения, в которых роль независимых переменных играют функции, кривые, векторы, характеризующие варианты структуры и параметров системы. Приведем несколько примеров показателей качества. Первым примером будет максимальное отклонение, то есть максимальный модуль I max | (t ) | . ошибки Второй вариант показателя качества – это интегральное абсолютное отклонение I | (t ) |dt и интегральное 0 квадратическое отклонение I 2 (t )dt . Чем меньше I, тем лучше система. 0 Для идеальных систем I = 0. Но поскольку идеальные системы реализовать невозможно, этого тождества добиться нельзя. Поэтому для оптимальных систем показатель качества I достигает минимума, вообще говоря, отличного от нуля. Бывает что, помимо показателя качества, надо учитывать ограничения, наложенные на переменные системы. Ограничения вида | (t ) | 0 | или d (t ) | 0 требуют, чтобы отклонение или его производная по абсолютной dt величине не превосходили заданных значений. Что же касается ограничения 2 d (t ) dt 0 , то оно не допускает быстрых изменений отклонения dt 0 (t ) . 30 Для устойчивой системы показатель качества 2 (t ) dt 0 существует и 0 конечен. Кроме этих показателей оптимальности можно рассматривать более общие показатели. В общем случае показатель оптимальности I является функцией неких конкретных параметров системы. Обозначим их через ci, i = 1, 2, . . . , N. Тогда I = I(с1 ..., cN). Оптимальные параметры отвечают таким значениям ci = с*, при которых I достигает минимума. Предположим, что минимум функционала качества I существует и он единственный. Часто это предположение вытекает из физических соображений. В этом случае условие минимума получается приравниванием частных производных I по С1,…,CN I 0, i 1,..., N . ci нулю: dI (c) dI (c) I (c) gradI ,... dcN dc1 Запишем это условие в векторной форме. - градиент функции I. I (c) 0 . Решение этого уравнения определяет оптимальные параметры системы. Стационарная непрерывная линейная управляемая система описывается обыкновенным векторным линейным дифференциальным уравнением первого порядка: x Ax Bu D1w (1) y Cx D2 w n Состояние системы x R , y Rl , w R m1 - m управление u R , выход системы задающее A Rnn , B Rnm , D1 Rnm1 , C Rl n , D2 Rl m1 . воздействие. Матрицы Системы, в которых данные матрицы меняются со временем, называют нестационарными, мы не будем рассматривать этот случай. Указанную форму записи системы принято называть описанием в пространстве состояний. В большинстве случаев предполагают, что разработчику известен лишь выход системы y(t); в некоторых случаях у = х, то есть мы знаем и состояние системы. 31 Цель управления заключается в выборе таких u(t) (или u(х)), которые придадут системе (1) нужные нам свойства. Если в системе отсутствует управление, она может быть записана без члена Вu. x Ax D1w (2) y Cx D2 w Назовем такую систему открытой. При этом если в (1) управление u уже выбрано в форме u(t) или u = Кх, то есть как программное управление или в форме обратной связи по состоянию, то мы также получаем уравнение в форме (2), но с другим внешним возмущением равным Bu(t) + D1w, если задано u(t) или другой матрицей А, равной А+ВК в случае u = Кх. Такая система называется замкнутой. Решение открытой системы (2) может быть записано в явном виде: t x(t ) e x(0) e A(t ) D1w( )d . Из этой формулы, можно найти х(t) для всех At 0 моментов t, если x(0) и w(t) известны. Проведя преобразование Лапласа и выразив Х из первого уравнения, получим X = (sI-A)-l(Bu + D1w) а для выхода у получим выражение у = C(sIA)-1Bu+ [С(sI-A)-1D1+D2]w. Матрица Нu(s) = С(sI-А)-1В называется передаточной функцией от управления и к выходу у, а аналогичная функция Hw = С(sI-А)-1D1+D2 называется передаточной функцией от возмущения w к выходу у. Характеристический полином матрицы А от переменной s будем называть характеристическим полиномом системы, так как от расположения его корней зависят важные свойства системы, например устойчивость. Hu и Hw представимы в виде H (s) W (s) , det(sI A) где W(s) — матрица, элементы которой — полиномы от s. Нули si характеристического полинома P(s) называются полюсами передаточной функции H(s). Из этого следует, что 32 полюса H(s) совпадают с собственными числами матрицы А; для всех остальных s матрица H(s) определена. На языке передаточных функций выход системы можно записать как функцию от управления и внешних входов: Y = Hu(s)U+Hw(s)W. Описание системы при помощи передаточных функций может быть и изначальным; временами такое описание появляется более естественно, чем указанное ранее. В ситуации, когда внешние возмущения и ошибки измерения выхода отсутствуют: у = H(s)u. Передаточная функция H(s) представляет собой матрицу lхm состоящую из дробно-рациональных W (s) функций от s, то есть H ( s ) det(sI A) , где элементы матрицы W(s) являются полиномами от s. Полином P(s)=det(sI-A) — общий знаменатель элементов матрицы H(s) — называется характеристическим полиномом системы, а его корни — полюсами передаточной функции системы. На элементы матрицы H(s) обычно накладывают дополнительное условие реализуемости: степень полинома в числителе меньше или равна степени полинома в знаменателе. Если это условие выполнено, то подобные передаточные функции будем называть реализуемыми или правильными. Тогда, вводя новые переменные — состояния, можно привести уравнение состояния к виду, аналогичному (1). Таким образом, от записи системы при помощи реализуемой передаточной функции можем перейти к реализации передаточной функции в пространстве состояний. На класс управлений, как правило, накладывают дополнительные условия u(t ) U . Второй T разновидностью 2 интегральные, такие как I (u ) | u (t ) | dt c . 0 Рассмотрим систему x Ax Bu . y Cx ограничений бывают 33 4.2 Управляемость и наблюдаемость Систему x Ax Bu, x R n , u R m называют управляемой, если для любого конечного х(0) и 0 T найдется такое ограниченное кусочнонепрерывное управление u(t) на интервале [0, Т], что решение этой системы принимает нулевое значение в момент времени T. Другими словами, в управляемой системе начальное отклонение может быть устранено за любое конечное время. Из этого следует, что поменяв направление времени, мы можем перевести управляемую систему из х(0) = 0 в любое заданное х(Т). В общем случае система управляема, если для любых x0 , x1 Rn и любого Т > 0 найдется управление u(t), переводящее систему из х(0) = х0 в х (Т) = х1. Система не обязательно будет управляема потому, что размерность управления u меньше размерности управляемого процесса х. Система управляема, если rank[B AB … An-1B]=n. Если rank B=r > 1, то вышеназванное условие можно заменить условием rank [B AB… An-rB]=n. При r=n условие сводится к det B 0 , необходимость которого очевидна. Сформулируем проблему управляемости в более общем виде. Пусть кроме управляющего воздействия u есть помеха w. Система записана в виде x Ax Bu Dw . Над перевести систему за время Т из первоначального состояния х0 в состояние хТ. Эта задача может быть нерешаемой даже при выполнении критерия управляемости. Она будет решаемой, когда rank B = n и мы можем найти решение u системы xT AxT Bu Dw при известных хТ, w. Идея обратной связи предполагает, что управление не выбирается заранее, а зависит в каждый текущий момент от информации о состоянии системы. Выбор управления в форме функции от состояния и момента времени называется синтезом управления: u u( x, t ) . Функция u(x,t), в принципе, может быть нелинейной по х, но чаще находится в виде u=Kx. 34 Часто такие управления обеспечивают наилучшее значение критерия оптимальности среди любых управлений, таким образом, переход к нелинейным нестационарным обратным связям не улучшит критерия качества. Состояние системы иногда бывает не доступно измерению, тогда единственная информация о системе дается ее выходом у. Часто не удается построить регулятор в форме статической линейной обратной связи по выходу u = Ку, К — матрица mхl, удовлетворяющий заданным условиям. По этой причине часто делают по-другому. К примеру, в простейшей ситуации без внешних возмущений x Ax Bu, y Cx управление ищется в виде, аналогичном обратной связи по состоянию: u Kxˆ , только взамен неизвестного состояния х берется его оценка x̂ по наблюдаемым значениям выхода системы. Если зная выход y, управление u и их производные, мы можем найти вход х, то система называется наблюдаемой. Система является наблюдаемой, если rank[CT ATCT … (AT)n-1CT]=n. Если система наблюдаема, то мы можем точно восстановить значение х(t) по значениям y(t),y’(t),. . .y(n-1)(t), то есть достаточно знать значения выхода у и всех его производных в тот момент времени, когда производится оценка состояния. Но мы не всегда знаем все n-1 производную. В этом случае построим наблюдатель, являющийся решением уравнения xˆ (t ) Axˆ Bu L( y Cxˆ ) , где L — некоторая матрица размера nхl, которую можно выбирать. Из этого следует, что невязка e(t ) x(t ) xˆ (t ) задается линейным дифференциальным уравнением e ( A LC )e . Матрицу L можно выбрать e(t ) 0 для любого е(0). Таким образом, xˆ (t ) x(t ) и оценку так, что lim t xˆ (t ) можно применять для конструирования обратной связи u = Кх. 35 Задачи теории оптимального управления 4.3 Задача стабилизации заключается в том, чтобы для объекта x Ax Bu, x(0) x0 выбрать обратную связь u=-Kx, так, чтобы обеспечить устойчивость системы x ( A BK ) x . Мы можем выбрать К так, чтобы собственные числа матрицы А-ВК размещались слева от мнимой оси. Ищем х с помощью xˆ Axˆ Bu L( y Cxˆ ), x(0) x0 . системы асимптотической Перейдем от переменных х и оценки x̂ к x, ˆ x xˆ . Они обозначают ошибку управления и ошибку оценивания. Такое преобразование координат не меняет характеристическое уравнение системы. A BK ( x xˆ ) BKx ˆ Aˆ LCˆ ( A BK ) BK ˆ ( A LC )ˆ d AC dt ˆ ˆ A BK AC 0 BK A LC Матрица имеет блочно-диагональную структуру. Ее собственные числа совпадают с собственными числами элементов, стоящих на диагонали. При выполнении условий невырожденности К и L могут быть выбраны так, чтобы произвольно разместить собственные числа этих матриц. Выбор обратной связи может обеспечивать качество процесса стабилизации, то есть перехода из начального состояния х0 в окрестность устойчивого положения равновесия х = 0 замкнутой системы x ( A BK ) x . n x(t ) e( A BK )t x0 ei t Ci x0 , где i — собственные числа матрицы А-ВК, а i 1 36 Сi — матрицы, состоящие из постоянных элементов, если все i различны. Для любого Т > 0 и 0 можно обеспечить выполнение условия | x(t ) | , t T . Рассмотрим более широкую задачу. Пусть система описывается уравнением x f ( x, u, t ), t0 t t1 . Нам необходимо обеспечить экстремум t1 J (u ) функционала качества g ( x, u, t )dt G ( x(t ), x(t )) . 0 0 0 1 Необходимо t0 соблюсти ограничивающие t1 условия t1 g ( x, u, t )dt G ( x(t ), x(t )) 0, i 1, r , g ( x, u, t )dt G ( x(t ), x(t )) 0, i r 1, r . i i 0 1 t0 1 i i 0 1 1 t0 Функции gi, Gi, i=0,…,r – непрерывно дифференцируемы; u U . Мы сформулировали общую задачу теории оптимального управления. В задаче об оптимальном быстродействии зафиксирован начальный момент t0 и состояние системы в этот момент x(t0) = x0. Нам надо найти u такое, что x(t1) = x1; t1 произвольно и t1-t0 должно быть наименьшим; u U ; t0 t t1 . Задача оптимального быстродействия является частым случаем t1 0 общей задачи при g0 = 1, G0 = 0. J (u ) dt t1 t0 , xi (t0 ) xi 0, i 1, n; t0 xi (t1 ) xi0 0, i 1, n - ограничивающие условия. Задача оптимального быстродействия имеет вариации. Начальные условия тоже не обязательно будут фиксированными. В ряде задач начальные условия могут быть предварительно выбраны желаемым образом. 4.4 Многокритериальная задача оптимизации Оптимальное решение находится путем минимизации одного составного критерия, каким либо способом объединяющего все частные 37 критерии. Составной критерий не требуется, если решение ищется на основе безусловного критерия предпочтения, т. е. есть система, в который все частные критерии не больше и хотя бы один из них меньше, чем во всех остальных системах. В общем случае безусловный критерий предпочтительности позволяет не решить задачу, а только найти область компромисса. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной означает решение проблемы. Методы решения однокритериальных задач нам известны. Если найдена зависимость обобщенного критерия от частных X=f(xi) i =1,…n, то оптимальным будет решение, обеспечивающее его минимум при выполнении F j ( xi ) C j , ограничений j=1,…m. Для его нахождения воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Образуем вспомогательную функцию Ф(x i ) f ( xi ) где - (F ( x ) C ) , j j i (3) j неопределенный множитель, а затем приравнивают к нулю все частные производные этой функции по хi Ф f x i xi j F j xi 0 (4) У нас получилось n уравнений вида (4) и m ограничений вида неравенство с n+m неизвестными xi, i=1,…n и j , j=1,…m. Из них мы находим оптимальное решение. Часто применяются формальные методы нахождения связи между частными критериями. Один из них заключается в принципе равенства. В нормированном виде все частные критерии изменяются от 0 до 1. Предположим, что мы хотим, чтобы значения всех частных критериев были наиболее близки к своему максимальному значению – единице. Все критерии одинаково важны для нас. Пусть тогда они будут равны. Оптимальное 38 решение будет на пересечении кривой, обозначающей область компромисса и прямой х1н=х2н. Рассмотрим наиболее развитый принцип многокритериальной оптимизации – принцип справедливой уступки. Обозначим x1(i ) , x2(i ) ,...,xn(i ) - значения нормированных частных критериев, i – номер решения. Так как в области компромисса уменьшение одного частного критерия достигается лишь ценой увеличения второго, то если все критерии одинаково важны, то справедливым будем считать такой компромисс, при котором увеличение одного критерия не больше суммарного уменьшения всех остальных критериев. Пусть мы перешли от первого решения ко второму. Тогда вычислим n x n ( xi( 2) xi(1) ) i 1 i 1 n xi( 2) x (1) i i 1 В случае если x 0 , считаем, что второе решение лучше первого. Если же x 0 , лучшим будет первое решение. Тогда оптимальным решением будет такое, для которого x 0 при переходе к любому другому решению. То есть по принципу справедливой уступки оптимальное решение минимизирует сумму всех частных критериев. Этот обобщенный критерий называется аддитивным критерием оптимальности. В большинстве задач критерии не являются одинаково важными. Эту особенность n X i 1 i xi , можно учесть, вводя весовые коэффициенты: n i 1. i 1 Аддитивный критерий имеет ряд существенных недостатков. Весовые критерии слабо связаны с действительной ролью частных критериев. Нет объективного способа нормирования частных критериев. Большая величина одного критерия компенсируется малой величиной другого. Общая величина критерия мало зависит от изменения величин частных критериев, особенно, если их много. 39 Кроме абсолютной уступки имеет смысл рассмотреть относительную уступку, выражаемую в долях тех величин, которые первоначально имели частные критерии. формулируется Принцип следующим справедливой образом: относительной справедливым уступки считаем такой компромисс, при котором суммарный уровень относительного увеличения одного или нескольких критериев не превышает относительного уменьшения других критериев: n i 1 xi 0 xi xi xi , тогда n i 1 xi xi n n n d (ln x ) d ( ln x ) d (ln x ) 0 i i 1 i i i 1 i 1 Так как логарифм монотонно возрастает, то минимума должна n достигнуть функция, стоящая под знаком логарифма - x . Этот критерий, i i 1 называемый обобщенным мультипликативным критерием, не требует нормировки частных критериев, в отличие от аддитивного критерия. Однако, мультипликативный критерий тоже имеет ряд недостатков. Он компенсирует большую величину одного критерия маленькой величиной другого. Мультипликативный критерий сглаживает уровни частных критериев, так как по принципу относительной уступки, изменение критерия при оптимизации тем больше, чем больше его первоначальная величина. В случае, если частные критерии имеют разную важность, n мультипликативный критерий X важности. x i i 1 i , где i - весовые коэффициенты 40 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ При сравнении разных конфигураций управляющих устройств, мы выяснили, что есть структуры, показатель качества которых превосходит классическую структуру А1=А2=W1. Например, структура А1 W1 1 , А2 1 W1 1 W1 лучше классической по основному критерию качества, полулогарифмической 2 j 1 d ln Wˆ ˆ W ds и степени устойчивости. функции чувствительности 2j j d ln W1 Результаты моделирования в Simulink показывают, что выходные значения довольно быстро достигают требуемых значений (рис. 6 17). В случаях A1 1 W1 , 1 W1 A2 W1 1 W1 и A1 W ( s) 1 1 , A2 1 из 1 W1 ( s ) 1 W1 ( s) выполнимости условия на астатизм по задающему воздействию не следует выполнимость этого условия и относительно помехи g2 . Для того, чтобы система обладала астатизмом относительно входного воздействия, нужно, чтобы уравнение 1 Wˆ S a1 O1 имело a1 нулевых корней. Возьмем Wˆ R1 H R2 ; H W0 1 A2W0 Нужно показать, что из уравнения 1 Wˆ 1 R1 H R2 следовало, что H имеет следующий вид: H S a1 O2 Выразим Ŵ через H. Для этого сначала выразим A1 через A2: 41 A2 W1 A2 W1 1 W1 1 A2 A 1 2 1 W1 1 A2 1 A2 1 A2 A2 A1 1 2 A2 A2 1 W1 1 A 1 A A 2 2 2 1 1 A2 Подставим A1 и A2 в Ŵ : 1 2 A2 W0 W0 2 A2W0 1 H W 2H W H W 2 AW Wˆ 1 0 0 0 0 1 A2W0 1 A2W0 1 A2W0 1 A2W0 W0 1 HW01 W0 2 W0 W0 2 H 2 HW01 2 H 1 2W01 A2 A1 W1 ( s) 1 A 1 , W1 2 1 W1 ( s) A2 1 1 1 A2 1 W1 ( s ) Подставим А1 и А2 в Ŵ : A1W0 (1 A2 )W0 W0 A2W0 ~ ~ (1 H )W0 H 1 A2W0 1 A2W0 1 A2W0 1 A2W0 ~ W0 H (W0 1) W0 (1 HW01 )(W0 1) 1 H (1 W01 ) Wˆ Но отсюда видно, что 1 Wˆ S 1 O1 . Поэтому в обоих случаях имеет место только астатизм относительно задающего воздействия. Астатизма относительно помехи нет. 42 Таблица 3 Результаты j A1 A2 W1 j 2 1 ˆ s )) 1 ds ( 1 W( 2j j s a1 0.01 2 1 s i H( s ) ds 2j j j 1 1 ~ (1 H )W0 2 ds 2j j s I Dc 0 Dc 1 степень время устой- затухания чивости 1(t) 1(t)+t W1 W1 1 W1 1 W1 1 1 W1 ( s ) W1 ( s) 1 W1 ( s) 0.142 0.159 0.013 0.075 0.081 W1 ( s ) 1 1 W1 ( s ) 0.852s 5 5.87 s 4 16.55s 3 s 5 6.759s 4 17.18s 3 23.698s 2 17.083s 5.172 20.363s 2 11.431s 2.217 0.32 1 1 W1 ( s ) 1.11s 5 7.83s 4 20.638s 3 s 5 7.025s 4 19.002s 3 25.343s 2 14.568s 3.144 24.401s 2 14.568s 3.144 0,13 W1 1 W1 9.588s 4 58.4s 3 s 4 6.379s 3 8.758s 2 130.258s 2 125.2s 44.72 1.1s 5 8.6s 4 25.5s 3 s 5 7 s 4 19.5s 3 22 s 2 9s 38.5s 2 28.9 s 9 0.313 21.63 21.63 1.07 5.8 3.2 - 0.156 97.84 0.637 6.3 4.2 0.334 - 0.654 55.80 848.9 0.851 9.5 6 0,0197 0,14 0.289 22.21 0.031 0.546 6.1 4.5 36.7 Рисунок 6. А1 = А2 = W1. Входное воздействие g1(t)=1(t) Рисунок 7. А1 = А2 = W1. Входное воздействие g1(t)=1(t)+t 44 Рисунок 8 А1 = А2 = W1. Помеха g2(t)=1(t) Рисунок 9 А1 = А2 = W1. Помеха g2(t)=1(t)+t 45 Рисунок 10 A1 = Рисунок 11 A1 = 1 W1 1 W1 1 W1 1 W1 ; A2 = ; A2 = W1 1 W1 W1 1 W1 . Входное воздействие g1(t)=1(t). . Входное воздействие g1(t)=1(t)+t. 46 Рисунок 12 А1 W 1 1 , А2 1 . Входное воздействие g1(t)=1(t). 1 W1 1 W1 Рисунок 13 А1 W 1 1 , А2 1 . Входное воздействие g1(t)=1(t)+t. 1 W1 1 W1 47 Рисунок 14 А1 W1 1 , А2 . Входное воздействие g1(t)=1(t). 1 W1 1 W1 Рисунок 15 А1 W1 1 , А2 . Входное воздействие g1(t)=1(t)+t. 1 W1 1 W1 48 Рисунок 16 А1 Рисунок 17 А1 Рассмотрим A1 1 W1 ; 1 W1 A2 W1 1 , А2 . Помеха g2(t)=1(t). 1 W1 1 W1 W1 1 , А2 . Помеха g2(t)=1(t)+t. 1 W1 1 W1 решение задачи на примере случая W1 ; 1 W1 Вначале по математической модели построим структуру управляющего устройства для A1 вход – g1, для A2 вход - y(рис.18). 49 g1 u W1 y Рисунок 18 Структура управляющего устройства Теперь проведем проверку адекватности структуры управляющего устройства его математической модели. Проверим для A1 , для этого пойдем от выхода к входу: u g1 W1 g1 u uW1 g1W1 g1 u u W1 1 A1 g1 1 W1 Теперь проверим аналогично для A2 : u u y W1 u uW1 yW1 W1 u A2 y 1 W1 Построим структурную схему системы в составе объект управления + управляющее устройство (рис. 19). g2 g1 А1 А2 u W0 y 50 g1 u W1 y g2 y W0 Рисунок 19 Структурная схема системы управления Найдем ограничения на реализуемость звена коррекции W1 ( s) . Выразим W1 через A2 : A2 W1 1 W1 A2 1 W1 W1 W1 A2 1 A2 Видно, что у W1 степень числителя меньше или равна степени знаменателя, поэтому реализуемость звена коррекции зависит от реализуемости A2, а поскольку A2 реализуема, из этого следует, что W1 также реализуемо. Wˆ A1W0 1 A2W0 ~ H A1W0 1 A2W0 Мы рассматриваем систему с недостаточным числом ~ коррекции Ŵ и H зависят друг от друга. Ŵ R1H R2 Построим эквивалентную структурную схему системы (рис. 20) звеньев 51 R1 H R2 y H W0 Рисунок 20 Эквивалентная структурная схема системы Запишем функционал качества. Для этого запишем интегральные критерии оценки качества: j j j 1 1 1 1 I1 | u1 ( s) Wˆ ( s) | 2 ds | s iWˆ ( s) | 2 ds 1 | (u1 ( s) Wˆ ( s)) 2 | 2 ds 2j j 2j j 2j j s a2 I 2 2i i 0 1 j 2 j j b2 s H s ds 2i i 2 i 0 1 j 2 j j 2 1 1 H s W0 b2 ds s Рассмотрим первый критерий. Третий интеграл характеризует близость Ŵ к желаемой функции u1 и характеризует астатизм в системе и ее качество. Поэтому первый интеграл можно убрать. Учитывая, что 1, 0.01 , u1 =1. i=1 получим: j j 2 1 ˆ s )) 1 ds 0.01 1 ˆ s ) 2 ds, I1 ( 1 W( sW( 2j j s2 2j j j 2 j 2 1 1 1 I2 ( 1 H( s ))W ( s ) ds 0 . 01 sH( s ) ds, 0 2j j s2 2j j I = I1+I2 - наш общий функционал качества 52 j j 2 2 1 1 ~ ˆ ( s)) 1 ds 1 I ( 1 W ( 1 H ( s )) W ( s ) ds 0 2 2j j 2j j s s2 j 1 ~ 2 0.01 s H ( s) ds 2j j В данном функционале первый член отвечает за близость к желаемому управлению u = 1, а также за удовлетворение свойства астатизма 2-го порядка относительно задаваемого воздействия. Второй член отвечает за реализуемость передаточной функции, третий функционал отвечает за близость к желаемому управлению u = 0, а также за удовлетворение свойства астатизма 2-го порядка относительно задаваемой помехи. j 2 j 2 j 1 1 1 ~ ~ 2 ˆ ( s )) 1 ds 1 I ( 1 W ( 1 H ( s )) W ( s ) ds 0 . 01 s H ( s ) ds 0 2j j 2j j 2j j s2 s2 Покажем, что из выполнимости условия на астатизм по задающему воздействию не следует выполнимость этого условия и относительно помехи g2 . Для того, чтобы система обладала астатизмом относительно входного воздействия, нужно, чтобы уравнение 1 Wˆ S a1 O1 имело a1 нулевых корней. Возьмем Wˆ R1 H R2 ; H W0 1 A2W0 Нужно показать, что из уравнения 1 Wˆ 1 R1 H R2 следовало, что H имеет следующий вид: H S a1 O2 Выразим Ŵ через H. Для этого сначала выразим A1 через A2: 53 A2 W1 A2 W1 1 W1 1 A2 A 1 2 1 W1 1 A2 1 A2 1 A2 A2 A1 1 2 A2 A2 1 W1 1 A 1 A A 2 2 2 1 1 A2 Подставим A1 и A2 в Ŵ : 1 2 A2 W0 W0 2 A2W0 1 H W 2H W H W 2 AW Wˆ 1 0 0 0 0 1 A2W0 1 A2W0 1 A2W0 1 A2W0 W0 1 HW01 W0 2 W0 W0 2 H 2 HW01 2 H 1 2W01 Но отсюда видно, что 1 Wˆ S 1 O1 . Поэтому имеет место только астатизм относительно задающего воздействия. Астатизма относительно помехи нет. Скорректируем функционал: 1 j j 1 1 | (1 (W0 W0 2 H )) 2 | ds | sH | ds 2 j j s 2 j j Проверим сконструированный функционал на совместимость исходных данных. Wˆ H (W0 2) W0 1 j j 1 1 | (1 (W0 W0 2 H )) 2 | ds | sH | ds 2 j j s 2 j j j Учитывая, что j 1 1 | A( s) | 2 ds A( s) A( s)ds 2j j 2j j полученное значение в подынтегральное выражение: подставим 54 1 W (s) W (s) 2 H (s) s1 1 W (s) W (s) 2 H (s) (1s) 0 0 2 0 0 sH ( s )( s ) H ( s ) 1 H ( s ) H ( s ) 4 W0 ( s ) 2 W0 ( s ) 2 s 2 s 1 H ( s ) 4 2 W0 ( s) 1 W0 ( s) s 1 H ( s ) 4 2 W0 ( s ) 1 W0 ( s) s 1 4 1 W0 ( s ) 1 W0 ( s) s Запишем S1 ( s), S2 ( s), S 2 ( s), S3 ( s) : 1 W ( s ) 2 W0 ( s) 2 s 2 4 0 s 1 S2 ( s) 4 2 W0 ( s) 1 W0 ( s) s 1 S2 ( s) 4 2 W0 ( s) 1 W0 ( s) s 1 S3 ( s ) 4 1 W0 ( s) 1 W0 ( s) s S1 ( s) Запишем критерий совместимости: S2 ( s) S2 ( s) I S3 ( s ) S1 ( s) I s 2 s 2 3s 3 s 2 3s 3 s10 5s8 4s 6 400s 4 2400s 2 900 Найдём корни знаменателя: 2 55 Нет мнимых корней - значит, исходные данные совместимы. Функционал в коррекции не нуждается. Из функционала запишем уравнение Винера-Хопфа. H s S1 s S2 s s 2 2 s10 5s8 4s 6 400s 4 2400s 2 900 s 3s 3 2s 6s 3 H s 4 s 100s 4 ( s 1)(1 s)( s 2)( s 2) s ( s 1)( s 1)( s 2)( s 2) Решим уравнение Винера-Хопфа. Для этого найдем корни S1 s и выделим правые: ( s 2.49 0.254i)( s 2.49 0.254i )( s 1.363 2.386i)( s 1.363 2.386i )( s 0.634) (1 s )( s 2) s 2 Подсчитаем значение выражения S2 s S1 s . Получим: 56 S2 s S1 s Выберем : S 2 ( s) ~ S1 ( s ) H S1 ( s) и преобразовав получим: Посчитаем ~ H ( s) 7.74s 3 34.615s 2 52.001s 30 s 5 8.34s 4 32.284s 3 72.07 s 2 82.001s 30 Степень числителя на 2 меньше степени знаменателя. Отсюда видно, что имеет место астатизм первого порядка. Проверим правильность решения уравнения Винера-Хопфа. 1 Необходимо проверить, что интеграл j 2 j j 1 W0 H (W0 2) 2 1 ds s2 сходится. Для этого посчитаем подынтегральное выражение 1 W0 H (W0 2) : s 7 11.34s 6 44.826s 5 78.274s 4 60.151s 3 16.362s 2 9.9 10 7 s 2.7 10 7 s 7 11.34s 6 59.306s 5 185.603s 4 362.78s 3 420.146s 2 254.003s 60 Заметим, что коэффициенты числителя при двух младших членах пренебрежимо малы: Поэтому выражение делится на j s 2 , а значит интеграл сходится. 2 1 1 ~ 1 W H ( W 2 ) ds 0.075 0 0 2j j s2 57 Найдем численное значение коэффициентов передаточной функции звена коррекции. W1 W0 A2 A2 H 1 ;H A2 ;W0 1 A2 1 A2W0 s 1 s 2 W0 1 H Подставив найденое H , получим W1 1.148s 5 8.601s 4 25.494s 3 37.798s 2 28.785s 8.928 s 5 7.351s 4 19.538s 3 22.104s 2 8.928s Используя Simulink построим систему и переходные процессы в ней относительно задающего воздействия g1(t) = 1(t), g1(t) = 1(t)+t и помехи g2(t) = 1(t), g2(t) = 1(t)+t (рис. 21 28). Переходные процессы системы относительно воздействия g1 (t ) 1(t ) : Рисунок 21 Схема Simulink относительно воздействия g1(t)=1(t)+t 58 Рисунок 22 Воздействие g1(t)=1(t)+t. Рисунок 23 Схема Simulink относительно воздействия g1(t)=1(t) 59 Рисунок 24 Воздействие g1(t)=1(t). Рисунок 25 Схема Simulink относительно помехи g2(t)=1(t)+t 60 Рисунок 26 Помеха g2(t) = 1(t)+t Рисунок 27 Схема Simulink относительно помехи g2(t)=1(t) 61 Рисунок 28 Помеха g2(t) = 1(t)+t Найдем интегральные полулогарифмические функции чувствительности всей системы относительно ее составных частей, выразив ˆ их через передаточные функции W (s), H (s), W0 (s) . Сначала найдем полулогарифмические функции чувствительности: d ln A1 d ln H d ln Wˆ d ln W1 d ln W1 d ln W1 d ln A1 2 d ln W1 (1 W1 )(1 W1 ) ~ d ln H d ln H dA2 d ln A2 dW1 H d ln W1 dA2 d ln A2 dW1 d ln W1 1 W1 ~ d ln Wˆ 2 H d ln W1 (1 W1 )(1 W1 ) 1 W1 d ln Wˆ d (ln A1 ln W0 ln( 1 A2W0 ) ~ 1 H d ln W0 d ln W0 Интегральные полулогарифмические функции чувствительности будут иметь вид: 2 2 ~ j j 1 d ln Wˆ ˆ 1 2 H ~ W ds W ds 2j j d ln W1 2j j (1 W1 )(1 W1 ) 1 W1 62 2 j j 1 d ln Wˆ ˆ 1 ~ ~2 W ds 1 H W ds 2j j d ln W0 2j j Посчитаем численные значения интегральных полулогарифмических функций чувствительности системы. ~ Подставим Wˆ H (W0 2) W0 , W0 1 ~ , ранее найденное H и ( s 1)( s 2) посчитаем значение интеграла. Полученное значение умножим на 1 . 2 Получили значение интегральных полулогарифмических функций 2 2 j j 1 d ln Wˆ ˆ 1 d ln Wˆ ˆ W ds 97 . 837 W ds 36.7 . чувствительности: ; 2j j d ln W1 2j j d ln W0 Мы получили следующие значения критериев качества. Таблица 4 Критерии качества I 0.15639 j 2 1 1 ( 1 Wˆ ( s )) a1 ds 2j j s 0.075231 j 0.01 1 2 1 s i H( s ) ds 2j j j 2 j j 1 j 2 j j 0.081155 2 d ln Wˆ ˆ W ds d ln W1 97.8370 2 d ln Wˆ ˆ W ds d ln W0 Степень устойчивости 36.7 0.637 63 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной дипломной работе сравнили несколько вариантов управляющих устройств. При их сравнении, выяснено, что есть структуры, показатель качества которых превосходит А1 W1 , 1 W1 параметрам: по Например, структура следующим классическую А2 1 1 W1 структуру А1=А2=W1. лучше классической по основному критерию качества, 2 полулогарифмической функции чувствительности j 1 d ln Wˆ ˆ W ds 2j j d ln W1 и степени устойчивости. Таблица 5 Сравнение различных структур. A1 A2 W1 W1 1 W1 1 W1 1 1 W1 ( s ) W1 ( s) 1 W1 ( s) I Dc 0 Dc 1 степень устойчивости время затухания 1(t) 1(t)+t 0.313 21.63 21.63 1.07 5.8 3.2 W1 1 W1 0.156 97.84 0.637 6.3 4.2 W1 ( s ) 1 1 W1 ( s ) 0.654 55.80 848.9 0.851 9.5 6 1 1 W1 ( s ) 0.289 22.21 0.031 0.546 6.1 4.5 36.7 64 Список литературы: 1. В. А. Бесекерский, Е. Л. Попов. Теория систем автоматического регулирования. Москва, Издательство «Наука», 1975 2. Т. Р. Брахман. Многокритериальность и выбор альтернативы в технике. Москва, «Радио и связь», 1984 3. М. Г. Зотов. Аналитическое конструирование стационарных управляющих устройств. Москва, Энергоатомиздат, 1987 4. М. Г. Зотов. Многокритериальное конструирование систем управления. Москва, МИЭМ, 1999 5. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления: Учеб. л особ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— 616 с. 6. Робастная устойчивость и управление / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. М.: Наука, 2002. - 303 с. 7. Я. 3. Цыпкин. Основы теории автоматических систем. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977, 560 стр.
