3 - RTU DF

3-1
3 часть
КОЛЕБАНИЯ
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
3.1.Физическая сущность
Колебания как специфичный вид движения появляются тогда, когда к телу
приложена сила пропорциональная перемещению тела.
На рис.3-1.изображениа модельматериальной точки, на которую
действуют собственный вес mg и сила пружины R, которая пропорциональна
сжатию пружины (см. рис. 3-4). На рис. 3-3 изображена модель пасхальных
качелей. Движение создает момент силы mg относительно точки О. Величина
этого момента зависит от углового перемещения качелей Φ. Зависимость
изображена на рис. 3-5. В обоих примерах одна сила зависит от перемещения и
возможен колебательный процесс (см. рис.3-2.)
mg
mg
u
0

t
u
l
R
m g
Рис.3-1.
R
Рис.3-2.
R=cu
Рис.3-3.
M 0  mgl sin 
u
u
Φ
d 2u
m 2  cu  mg
dt
Рис.3-4.
(3-1)
d 2
J 2  mgl sin 
dt
Рис.3-5
3-2
3.1.1 Механические колебательные системы
F
G
R=cΔ
R=c 
F
G
W


U 

Чтобы вывести систему из
положения равновесия надо
затратить
энергию
–
совершить
работу.
Показанная
на рис.3-6
система шарик – пружина
находится в равновесии и
рпужина сжата на величину:

mg G
=
c c
Рис.3.6
Приложим дополнительную
силу F.
Пружина сожмется на величину . Совершена работа W, величина которой на
графике R- отображена заштрихованной площадью. Снимая силу F, пружина
начинает поднимать шарик вверх за счет энергии W. В момент когда шарик
проходит через положение равновесия системы, у шарика будет определенная
скорость v. Скорость v можем определить зная, что кинетическая энергия K
определяется по формуле
v2
W
K= m
2
(m-масса шарика). В момент когда
шарик проходит через положение равновесия системы работа внешней
приложенной силы W тратится на то чтобы придать шарику скорость v и
поднять его на величину . При движении шарика вверх доля кинетической
энергии уменьшается так как вверх поднимается вес G. Верхнее положение
достигается тогда, когда K=0. Это значит, что и скорость v=0.
Q
Шарик достигает верхнего
положения и его потенциальная
энергия увеличивается до G.
Система обладает только
потенциальной энергией, но она
не может находится в таком
K

1
2
положении, так как растянутая
max
s
K
пружина опускает шарик вниз.
max
min
Система достигает положения
0
u
равновесия, G теряет часть


потенциальной энергии, которая
переходит в кинетическуюНа рис.
-
+
3-7 показан колебательный
процесс в энергетической
плоскости.
Рис. 3-7
Шарик выведен из положения равновесия О и затратив дополнительную
энергию переходит в положение 1. Потенциальная энергия системы
максимальна  max , а кинетичесая энергия K=0.
3-3
Освобождаем систему и она стремится к своему положению равновесия. Если
энергия Q нигде не была затрачена, тогда она только преобразуется
Q=+K.(см. рис. 3-7 точка s). Приближаясь к положению равновесия
потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая возрастает. Проходя
положение 0 (статическое положение равновесия) потенцальная энергия
минимальна, а кинетическая максимальна (Q=min+Kmax), скорость шарика
максимальна. Далее K уменьшается, скорость падает, увеличивается . Во
втором конечном положении (точка 2 рис. 3-7) Q=max , K=0, скорость v=0.
После этого шарик опять стремится к положению равновесия и т. д. Такова
физическа сущность колебательного процесса.
3.2 Собственные колебания
В предыдущем параграфе мы рассмотрели физическую сущность
собственных колебаний. Собственными колебаниями называют такие
колебания, которые затухают после снятия внешнего воздействия. Система
получила дозу дополнительной энергии и колеблется до ее израсходования.
A
d 2u
m 2  cu
dt
u( t 0 )  A ; v ( t 0 )  0
v0
(3-2)
u( t 0 )  0 ;
v( t 0 )  v o
Рис.3.8
Рис.3.9
На рис. 3-8 и 3-9 показаны два варианта как системе сообщается энергия
в зависимости от начальных условий. Точку начала координат выбираем в
статическом положении равновесия, то есть пружина сжата на величину,
которая соответствует собственному весу mg. Это позволяет упростить запись
уравнения движения и записать (3-2). По сравненю с (3-1) нет силы mg и
перемещение отсчитывается не от недеформированного, а деформированного
положения. Разность перемещения в обеих системах отсчета умножаем на
коэффициент пружины и приравниваем к силе mg.
На рис. 3-8 показан случай когда начальное воздействие сообщено
сжимая пружину на величину A и отпуская ее. Есть начальное перемещение A ,
но нет начальной скорости.
На рис. 3-9 нет начального перемещения, но есть скорость v 0 . Такая
формулировка начальных условий соответствует случаю когда по массе
ударяют, например, молотком.
Решим уравнения (3-2), используя различные начальные условия. Эти решения
показаны на рис. 3-10 и 3-11.
3-4
d 2u
m 2  cu
dt
d 2u
----->
 p 2 u ;
2
dt
p
c
m
u  C1 sin pt  C 2 cos pt
u
u  A sin pt
u
v0
cos pt
p
u
A
t
t
Рис.3.10
Рис.3.11
В колебательной системе всегда существеют полери энергии. В каждом
периоде колебаний теряется определенное количество энергии, например на
возмущение окружающей среды. В упругих системах тоже теряется часть
энергии сжатия и растяжения на изменение структуры матенриала (см. раздел
Долговечность). Поэтому реальные собственные колебания всегда затухающие,
в каждом следующем периоде амплитуда колебаний всегда меньше (см. рис.312 и 3-13).
A
u
u
t
t
Рис.3.12
Рис.3.13
3-5
3.3.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Стационарные колебания (такие, параметры которых неизменны)
возможны только тогда, если на каждом периоде колебаний компенсировать
потери энергии. Это возможно только в том случае, если на систему действуют
периодически изменяющиеся силы, котороые могут внести в систему энергию
только в том случае, если направление их воздействия совпадает с
направлением перемещения точки их приложения. Если это не так. то энергия
не вводится, а теряется. Поэтому, если к системе приложить внешнюю
переодическую силу, то система через некоторое время начнет колебаться с
частотой внешней силы, сохранив направление силы и перемещения,
стремящаяся к наилучшему ввду энергии. Колебания, при которых система
колеблется с частотой внешних сил, называют вынужденными, а силы –
вынуждающими.
F(t
)
y
u
m
x
Fy
Fx
Рис.3.14
Рис.3.15.
На рис.3.14 изображен двигатель, который прикреплен к балке.Как бы
точно не был изготовлен двигатель, у вала всегда будет какой-то
эксцентриситет, т.е. масса вала m не находится в центре вращения. Появляется
центробежная сила (см. раздел 1.4).
F  mr 2
Разделим ее на две составляющие Fx и Fy. Горизонтальная составляющая Fx
балку растягивает, а вертикальная Fy – изгибает. Одна и та же сила вызывает
удлинение при изгибе во много раз большее, чем при растяжении. Поэтому
инженеры такую систему рассматривают как систему с одной степенью
свободы – изгибные колебания, котовые вызываются вертикальной
составляющей Fy  F sin t . Для системы, изображенной на рис.3.15
уравнение движения будет такое же как для балки в случае колебаний, если
F(t )  F sin t
d 2u
m 2  cu  F sin t
dt
Решение ищется как сумма двух решений:
u(t )  up  u F
.
3-6
Физически одно – собственные колебания
up ,
а второе
uF
- вынужденные
колебания, которые вызваны вынуждающей силой. Математически эту
физическую сущность записывают в соответствии с формальными
требованиями записи уравнений – члены, содержащие неизвестные величины
пишутся слева, а известные функции – справа:
d 2u
m 2  cu  F sin t
dt
Решение уравнения – это сумма решений однородных уравнений (правая часть
равна нулю) и решений, удовлетворяющих уравнения справа.
up
A
m
t
d 2u p
dt 2
 cup  0
up  A sin pt
+
d 2u F
m 2  cuF  F sin t
dt
uF
t
uF 
F
sin t
c  m2
Рис.3.16
В инженерной практике нас интересуют стационарные колебания, т.е. у
которых с течением времени не меняется ни амплитуда, ни частота.Решение
уравнения собственных колебаний u p  A sin pt вроде бы во времени не
меняется, но это только тогда, когда не учитываем неизбежную потерю энергии.
В реальной системе это решение гасит потери внесенной в начальный момент
энергии (см.рис.3.16. верхний график). Вынуждающая сила, не совпадая с
собственными колебаниями тоже уменьшает начальную энергию.
Вторая часть решения
uF 
F
sint
c  m2
непрерывно получает
новую энергию от вынуждающей силы, поэтому она не гасится и становится
стационарным решением уравнения.
u  uF
3-7
3.4.Резонанс.
Решение вынужденных колебаний показывает, что при совпадении
частоты вынуждающей силы ω с частотой собственных колебаний p амплитуда
колебаний A стремится к бесконечности A   .
F
sin t
2
c  m
u
u  A sin t ;
F
-----> u 
c(1 
A
F
2
c(1  2 )
p
;

)
2
p
2
sin t ----->
p
c
m
Физически это можно понять, рассматривая рис. 3.16 и рис.3.17. В правой части
изображены пасхальные качели. Мы их раскачиваем, прикладывая собственную
силу только в те моменты, когда направление движения совпадает с
направлением приложенной силы. На рис. 3-16 показано, как в случае резонанса
при совпадении направления силы и перемещения неизбежно увеличивается
амплитуда колебаний.
up
uF
F(t)
F(t)
v
v
Рис.3.16
Рис.3.17
Зависимость амплитуды от частоты колебаний изображена на рис.3-18.
A
EKSPERIMENTS
0
2
P2
1
Рис.3-18
3-8

1
p2
2
Заштрихованная зона резонанса
реализуется тогда, когда в
колебательной системе потеря энергии не очень значительна. Реальная
экспериментальная кривая отличается, т.к. часть энергии уходит на потери и
системе не хватает энергии на реализацию огромной амплитуды.
Совпадение теоретической и экспериментальной кривой получим, если в
уравнении колебаний учтем потерю энергии, т.е. введем в правую часть
уравнения член

du
.
dt
Так усложнять аналитическое решение не имеет
смесла в связи с тем, что в инженерной практике встречаются две отдельные
ситуации:
- Вредные колебания
- Полезные колебания.
В основном пренобладают вредные колебания.Из-за этого происходят
90% поломок деталей машин иосновная часть разрушения строительных
конструкций. Чтобы уменьшить влияние колебаний на технологическое
оборудование и т.д. стремятся уменьшить амплитуду вынужденных колебаний.
Этого можно достичь, проектируя систему так, чтобы она работала вдали от
резонанса (меняя собственную частоту системы, т.е. меняя c и m, т.к. в
технологическом оборудовании изменить ω часто не представляется
возможным.). Если мы точно знаем, что сможем спроектировать оборудование,
которое не будет работать при резонансе, тогда потери энергии можем не
учитывать. Их учет вне зоны резонанса не внесет сильное отличие в сравнении
с уравнением без учета потерь. (см. рис.3.18.)
Устройства, в которых вибрации обеспечивают исполнение самого
технологического процесса (бетономешалка, вибромолот, ориентировка
деталей, качели и т.д.) вибрации должны быть по возможности большими, т.е.
работать в зоне резонанса. В этом случае потерю энергии нада учитывать.
Т.к. вредные колебания наиболее распространены, далее рассматриваем
только их.
u1
u2
3.4.Система с двумя степенями свободы.
Система с двумя степенями (обе массы могут перемещаться только в
Fsin t
вертикальном
направлении)
Ri
показана на рис.3.19. Собственный
Ri= c i u i
m1
вес не учитываем – он меняет
только статическое положение
равновесия, а мы рассмотрим
ui
перемещение u1 и u2 масс m1 и m2
от положения равновесия.
m2
На первую массу действует
вынуждающая сила F sint и сила
R1 пружины с жесткостьюc.
Пружинящая
сила
пропорциональна не перемещению
u1, а удлинению пружины u1-u2
Рис. 3.19
3-9
Дифференциальное уравнение движения первой массы следующее:
 1  R 1  F sin t
m 1u
1  c1 (u1  u 2 )  F sin t .
m 1u
или
На вторую массу m2 действует сила пружины
R 2  c 2u 2
и
R1
с
 c1 (u1  u 2 ) поэтому уравнение имеет вид
 2  c 2u 2  c1 (u1  u 2 )
m 2u
противоположным знаком R 1
Решение системы дифференциальных уравнений
1  c1 (u1  u 2 )  F sin t
m 1u
 2  c 2u 2  c1 (u1  u 2 )
m 2u
(3-1)
ищем в виде
u1  A1 sin t
;
(3-2)
u 2  A 2 sin t ;
т.к. нас не интересуют другие процессы, а интересует только режим
вынужденных колебаний. Помещая (3-2) в систему (3-1), видим , что все члены
 i   Ai  sin t ) . Сокращая на sinωt , получаем
содержат sinωt (т.к. u
алгебраическую систему уравнений для определения амплитуды A1 и A2.
Запишем это в стандартной математической фонрме (неизвестные – слева,
известные - справа):
2
A1 (c1  m2 )  A 2c 2  F
 A1c1  A 2 (c 2 c1 m2 )  0
Из этой системы можем найти A1 и A2 просто исключая переменные, а
можем использовать общий метод решения линейных уравнений, в котором
решение записывается в следующей форме:
D1
;
D
c1  m1  2
A1 
 c1
A2 
D2
,
D
 c1
c 2  c1  m 2 
c1  m2
 c1
F
0
2
(3-3), где
=D;
F
0
 c1
c 2  c1  m2
=D1
=D2
Из (3-3) видно, что обе амплитуды A1 и A2 одновременно становятся бесконечно
большими, когда детерминант системы D  0 .
D  0 --- >
(c1  m12 )(c1  c 2  m 2 2 )  c12  0 .
3-10
В этом уравнении в качестве неизвестного надо рассматривать  , т.к. в
системе известны все c и m, а мы ищем резонансную частоту. Это уравнение
2
 2 с двумя корнями:
22  p22 ;
второй степени относительно
12  p12 ;
Ai

Рис.3.20.
p1
p2
3.5.Система с N степенями свободы.
N степеней свободы системы твердых тел могут быть как перемещения u r , так
и углы поворота  s . Обозначим все степени свободы движения q r ,т.е.
q r = u r ; mr  mr ;
qr  s ; mr  J r ;
r=1,2,….n;
r=n+1, n+2, …N.
Это дает возможность записать в одном виде все дифференциальные уравнения
N движений в одном виде, т.е. записать всю систему уравнений:
 r   c rjq j  Fr sin r t ; j=1,2......N ; r=1,2,...N
mr q
j
Стационарное решение дает функцию, которая удовлетворяет правую часть
системы (вынужденные колебания). Решение ищем как сумму решений для
каждой частоты sin  k t
q r   q kr   A kr sin k t
k
k
Решение, соответствующее одной вынуждающей силе Fk sin k t ищем как и
для системы с двумя степенями свободы:
q kr  A kr sin k t ;
r=1,2,..N.
Помещая это решение в систему дифференциальных уравнений, снова можем
сократить на sin  k t и получим систему алгебраических уравнений. И для
этой системы решение ищется в форме
A kr 
Dr
;
D
3-11
 )
Резонансы ( A kr
при таких
детерминант системы к нулю
2 ,
которые дают
D  0.
Приравнивая
D  0 , получаем алгебраическое уравнение N-ой
степени относительно  . У этого уравнения
N корней, т.е. N
собственныхчастот и им соответствующих резонансов. Амплитудно-частотная
характеристика в N местах стремится к бесконечности (см. рис. 3.21.)
2
A1
p1
p2
p3
p4
Рис.3.21
3.6. Формы колебаний.
Если в системе возможны несколько частот собственных колебаний
(несколько степеней свободы), тогда в каждом из резонансов она движется по
разному. Поясним это на примере балки.
m2
m1
p
1
p
2
Рис. 3.22
Упростим
модель
балки,
концентрируя всю массу балки в
двух точках (см. рис. 3-22). У
системы есть две степени свободы ее
движение
определяет
вертикальные перемещения масс m1
и m2. Самой низкой собственной
частоте p1 соответствует средний
рисунок
- обе массы движутся в одном
направлении
Второй рисунок соответствует наивысшей частоте p2 - массы
движутся в разных направлениях. Если колебания балки вынуждаются
(например, балкуизгибают) и не совпадают ни с одной из форм (Рис. 3-22),
собственных колебаний, тогда фактические колебания являются суммой этих
двух колебаний.
ω
3-11
У деформируемого тела формы колебаний также могут быть связаны с
различными видами деформации.
Рис.3.23
Так на рис. 3.23 показана с одной стороны защемленная балка, которая может
колебаться как в форме изгиба, так и в форме кручения.
Вопросы для проверки.
1.В каких системах могут быть колебания?
2.Нарисуйте реальный объект, у которого могут быть колебания.
3.Какая сила вызывает колебание качелей?
4.Колебания как процесс обмена энергии.
5.Как получаются собственные колебания?
6.Какие начальные условия должны быть в случае?
7.Как отличаются графики перемещений при различных начальных условиях в
системах в случае собственных колебаний?
8.Составьте уравнения колебаний и решите их для следующих случаев:
a)система сначала выведена из положения равновесия;
b)системе сообщен удар;
c) системе сообщен удар и она выведена из положения равновесия.
9.Почему в реальных системах собственные колебания всегда затухающие?
10.Дайте рисунок реальной системы с вынужденными колебаниями.
11.Составьте систему дифференциальных уравнений вынужденных колебаний
для выбранной вами системы и решите ее.
12.Как появляются стационарные (вынужденные) колебания?
13.Что такое резонанс и как он появляется?
14.Пасхальные качели как пример системы с резонансом.
15.Вредные и полезные колебания.
16.Почему в реальных системах резонансные амплитуды оказываются
ограниченными по высоте?
17. Составьте систему дифференциальных уравнений колебаний для
выбранного вами реального объекта и решите ее.
18.Как найти собственную частоту системы
a)с двумя степенями свободы
b)с N степенями свободы?
19.Нарисуйте амплитудно-частотную характеристику (учитывая и неучитывая
потери)
a) системы с одной степенью свободы;
b) системы с двумя степенями свободы;
c) системы с N степенями свободы.
20.Что такое формы колебаний? Дать свой пример.
21.Какие формы колебаний могут быть у жестко защемленной с одной стороны
балки?