IX Международная дистанционная олимпиада «Эрудит» Математика 9 класс 1 тур

IX Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»
Математика
9 класс
1 тур
Ответы
1.
,
.
По условию m – целое число, тогда
n ≥ 0.
1) При
2) При
- уравнение
не имеет решений в целых числах;
- уравнение имеем
и m =± 3.
не имеет решений в целых числах.
3)При
4) При
– тоже целое число. Поэтому
можем переписать уравнение в виде
- которое
решений в целых числах не имеет.
2.
Преобразуем выражение
Рассмотрим сумму
равенства на
. получим, что
(по условию), разделим обе части этого
. Аналогично доказывается, что
(путем деления обеих частей равенства
).
3. Очевидно, что
(т.к. данные треугольники имеют общее основание
и равные высоты).
. Следовательно,
Аналогично доказывается, что
.
.
Получаем, что
. Что и требовалось доказать.
4. Наибольшее значение - 15.
Рассмотрим таблицу (один из возможных вариантов) распределения
баллов трех судей для каждого из выступающих фигуристов.
Судьи
I
II
III
Сумма
мест
1-й
1
10
6
2-й
2
8
7
3-й
3
9
4
4-й
4
3
9
Места
5-й
6-й
5
6
5
1
5
10
17
17
16
16
15
17
7-й
7
2
8
8-й
8
7
2
9-й
9
4
3
10-й
10
6
1
17
17
16
17
5. 6 чисел.
На доске должно остаться число 5 и 2 (чтобы получить в произведении
число, оканчивающееся нулем). Цифры 1 и 9 могут быть получены только в
произведениях 3 • 7 и 1 • 9, значит, все нечётные числа были оставлены. Ещё
необходимо одно чётное число - им и будет являться число 2, значит, на доске
было оставлено не менее шести чисел. Легко убедиться в том, что парные
произведения шести чисел 1, 2, 3, 5, 7, 9 оканчиваются на все цифры от 0 до 9.
6. Друзья успеют на регистрацию, т.е. успеют преодолеть расстояние в 21 км
за 3 часа.
Можно рассмотреть несколько ситуаций передвижения мальчиков. Мы
рассмотрим один из них - когда двое мальчиков проедут часть пути на
двуместном велосипеде, затем пойдут пешком; третий мальчик эту же часть пути
пройдет пешком, а затем сядет на велосипед и догонит первых двух мальчиков.
Пусть а км - часть пути из намеченных 21 км, который двое проедут на
велосипеде и потратят на это расстояние ч. Тогда пешком им придется пройти
21-а км, за
ч. И на весь путь первые два мальчика потратят
-
которое должно быть меньше либо равно трем часам.
Рассмотрим ситуацию с третьим другом.
Расстояние а км он пройдет пешком за ч, а оставшиеся 21- а км он доедет на
велосипеде за
ч. И на весь путь он потратит
- и это время должно
быть меньше или равно трем часам. Получается, что следует решить систему
неравенств
Данному неравенству удовлетворяет
а=12 км - именно тогда три друга успеют преодолеть расстояние в 21 км за 3
часа.
7. 30; 195.
Следует рассмотреть два случая расположения
биссектрис
(когда
они
пересекаются
внутри
параллелограмма и вне параллелограмма)
Первый случай точка пересечения - точка Q лежит
внутри параллелограмма.
Рассмотрим треугольник AKF:
биссектриса по условию,
, т.к. AF - как накрест лежащие
при параллельных прямых АМ и КР.
Следовательно, AK=KF.
Аналогично доказывается, что треугольник MPT - равнобедренный и в нем
MP=PT.
Введем обозначения: PF=x, FT=y, TK=z. Тогда MP=PT=x+y=26 см,
AK=KF=y+z=26. По условию
, тогда x=4, y=22, z=4. Следовательно,
AM=x+y+z=4+22+4=30.
Второй случай - точка Q - лежит вне
параллелограмма.
Треугольники MPF и AKT равнобедренные
(доказывается аналогично).
Тогда МР=х=26, АК=z=26,
, тогда у=143.
АМ=РК=x+y+z=26+143+26=195.