Сборник задач.

Муниципальное общеобразовательное учреждение – средняя
общеобразовательная школа № 1 ЗАТО Озерный Тверской области
Сборник задач по теме
«Нестандартные методы решения
задач по математике»
Автор:
Бородич Ирина Сергеевна
Учитель математики МБОУ
СОШ № 1 ЗАТО Озерный
2012
Примеры, которые дают возможность ознакомиться с различными методами
решения математических заданий.
Метод функциональной подстановки.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Первоначально убедимся, что
не является корнем уравнения.
Так как
, то разделим обе части уравнения на . Тогда получим
Пусть
, тогда
и
из
уравнения
следует
Последнее уравнение представим в виде
что
и
или
.
. Отсюда следует,
.
Далее, рассмотрим три уравнения
уравнения
корней
не
имеют,
уравнения
,
а
и
. Первые два
корнями
третьего
являются
Ответ:
Пример 2. Решить неравенство
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства
на
и
обозначим
через
.
Тогда
неравенство
можно
переписать
ка
и
Решая
Поскольку
Ответ:
неравенство
, то
с
учетом
того,
.
.
2
что
,
получаем
.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Выполним замену переменных, пусть
как
и
, тo
. Кроме того, имеем
.
В таком случае из уравнения получаем систему уравнений
Пусть
теперь
и
,
тогда
из
следует
и
. Отсюда с учетом того, что
Следовательно, имеет место
,
и
.
Поскольку
и
Ответ:
, то
и
и
. Так
системы
уравнений
, получаем
и
.
, где --- целое число.
, где --- целое число.
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
Введем
новую
переменную
,
тогда
получаем
уравнение
. Поскольку обе части полученного уравнения
неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное
уравнение
.
вытекает
,
Рассмотрим два уравнения
Отсюда
и
,
.
Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем
Подстановкой
в
убеждаемся
в
том,
что
найденные
переменной являются корнями исходного уравнения.
Ответ:
и
.
значения
.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Для преобразования
очевидным равенством
левой части уравнения воспользуемся
. Тогда из уравнения имеем
и
3
Если затем положить
которого равны
и
, то получим уравнение
, корни
.
Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения
и
,
т.е.
и
, где
. Первое уравнение корней не имеет, а
из второго получаем
Ответ:
.
,
.
Метод тригонометрической подстановки.
Пример 6. Решить систему уравнений
Решение.
тогда
случае
Поскольку
и
,
и
,
то
.
Тогда
и
и система уравнений принимает вид
Из первого уравнения системы получаем
то
положим
и
.
В
,
таком
. Поскольку
,
, следовательно, получаем систему
Отсюда следует
и
. Так как
и
, то
и
.
Ответ:
,
.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Поскольку
части на . Тогда
не является корнем уравнения , то разделим обе его
Если
или
, то левая часть уравнения будет больше , а правая его
часть – меньше . Следовательно, корни уравнения находятся на
отрезке
.
Пусть
,
где
.
Тогда
уравнение
принимает
вид
тригонометрического уравнения
4
Решением уравнения
Однако
то
,
поэтому
и
,
Ответ:
являются
и
,
.
Так
как
,
.
и
,
, где --- целое число.
.
Методы, основанные на применении численных неравенств.
Пример 8. Доказать, что если
, то
Доказательство.
Тогда
Используя
записать
Имеет
обозначения
. Так как
место
и
и
.
Коши-Буняковского,
неравенство
которого следует
Следовательно,
что
Пусть
что
Введем
, то
можно
и
равенство
для
.
,
доказательства
.
неравенства
достаточно
.
из
показать,
или
, где
.
. Для доказательства неравенства требуется показать,
, где
.
Так как
, то корни уравнения
подозрительными на экстремум функции
являются
. Уравнение
два
корня:
,
.
Поскольку
то
.
Отсюда следует, что неравенство доказано.
Пример 9. Решить уравнение
,
Решение. Используя неравенство Коши, можно записать
т.е. имеет место неравенство
5
,
точками,
имеет
,
Отсюда и из уравнения следует, что приведенные выше неравенства Коши
обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае,
когда
и
.
Следовательно, имеем
и
.
Ответ:
,
;
,
Пример 10. Решить уравнение
;
,
;
,
.
Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли, а к
правой части – неравенство, тогда
и
Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям
уравнения, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае,
когда
.
Ответ:
.
Пример 11. Доказать, что
где , ,
– стороны треугольника, a
Доказательство.
сторонами и .
Коши
,
треугольника
вида
место
и
Известно,
Поскольку
– его площадь.
что
,
то
получаем
.
По
верхнюю
аналогии
с
,
где
–
.
Используя
неравенство
оценку
площади
изложенным
.
Тогда
.
Отсюда следует справедливость неравенства.
Методы на основе использования монотонности функций.
5
Пример12. Решить уравнение x  5 x  42  0 .
6
угол
между
выше
имеет
Достаточно очевидно, что x  2 - корень уравнения. Докажем, что это
единственный корень.
Преобразуем уравнение к виду: x  42  5 x . Замечаем, что функция y  x
возрастает, а функция y  42  5 x убывает. Значит, уравнение имеет только один
корень.
Ответ: 2.
3
Пример 13. Решить уравнение 2 x  7  19  x .
3
Функция y  2 x  7 возрастает, а функция g ( x)  19  x убывает на промежутке
5
5
M   ;19
- общей части областей существования этих функций. Проверка
показывает, что число 10  M и является корнем уравнения. Тогда в силу
утверждения выше, этот корень единственный.
Ответ: 10.
Пример 14. Решить уравнение
Решение. Введем новую переменную
уравнение принимает вид
Уравнение имеет очевидный корень
. Тогда
,
и
. Покажем, что других корней нет.
Для этого разделим обе части уравнения на
, тогда
Так как
, а
, то левая часть уравнения является убывающей
функцией, а правая часть – возрастающей функцией. Поэтому уравнение если
имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что
– корень
уравнения . Следовательно, этот корень единственный.
Таким образом, имеем
. Тогда единственным корнем уравнения
является
.
Ответ:
.
Пример 15. Решить уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на
, тогда
Подбором нетрудно установить, что
является корнем уравнения .
Покажем, что других корней это уравнение не имеет.
7
Обозначим
и
.
Очевидно,
что
.
Следовательно, каждая из функций
и
является убывающей и при
этом
.
Если
, то
,
и
.
Если
, то
,
и
.
Следовательно, среди
2 или
корней уравнения нет.
Ответ:
.
Пример 16. Решить уравнение 20 x  29  26  x  2 .
Функция f ( x)  20 x  29  26  x возрастает на своей области определения как
сумма двух возрастающих функций y1  20x  29 и y2   26  x . Следовательно,
уравнение f ( x)  2 имеет не более одного корня. Непосредственной проверкой
убеждаемся, что f (1)  2 . Уравнение решено: мы нашли корень и доказали, что
других корней нет.
Ответ: 1.
x
y
 x  2  y  2
 2
2
Пример 17. Решить систему уравнений  x  xy  y  27 .
t
Функция f (t )  t  2 возрастает, следовательно, f (t ) принимает каждое свое
x
y
значение только при одном значении t . Поэтому уравнение x  2  y  2
2
2
равносильно x  y . Тогда из уравнения x  xy  y =27 получаем, что x  y  3 .
Ответ: (3; 3), (-3; -3).
Методы решения функциональных уравнений.
x
Решить уравнение 
2
 2 x  5  2  x 2  2 x  5  5  0
2
Пример 18.
.
2
Пусть f ( x)  x  2 x  5 , тогда данное уравнение можно переписать в виде
f  f ( x)   x
. Поэтому корни уравнения x  2 x  5  x , а значит, и уравнения
x 2  x  5  0 являются корнями исходного уравнения.
2
x
Тогда 
2
 2 x  5  2  x 2  2 x  5  5  x  x 4  4 x3  4 x 2  17 x  10  0
.
2
2
Разделим столбиком левую часть уравнения на x  x  5 .
Получим:
 x2  x  5  0
( x  x  5)( x  3 x  2)  0   2
 x  3x  2  0 .
2
2
1  21 3  17
;
2
2
Ответ:
.
Пример 19. Решить уравнение
8
где квадратный корень берется раз (
).
Решение. Из условия задачи следует, что
. Пусть
уравнение принимает вид функционального уравнения.
Так как при
функция
равносильно уравнению
которого является
,
, тогда
возрастает и
, то уравнение
, положительным решением
т.е.
.
Ответ:
.
Пример 20. Решить уравнение
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде функционального уравнения
типа , т.е.
где
.
Поскольку
для
любого
значения ,
то
функция
является возрастающей на всей числовой оси
. Следовательно,
вместо функционального уравнения можно рассматривать равносильное ему
уравнение
, для которого
является решением.
Ответ:
.
Пример 21. Решить уравнение
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
Отсюда получаем уравнение
Пусть
, тогда уравнение принимает вид
Так как функция
является убывающей на всей числовой оси
, то
(согласно Следствию) уравнение равносильно уравнению
, т.е. уравнение
равносильно уравнению
. Отсюда следует уравнение
имеет единственный действительный корень
.
Ответ:
.
Пример 22. Решить уравнение
9
, которое
Решение. Поскольку
при всех , то областью допустимых значений
уравнения является множество всех действительных чисел.
Положив
принимает вид
что
и
,
, увидим, что заданное уравнение
и
. Так как из
следует,
, где
то функция
функций
и
является возрастающей на области значений
.
В
этой
связи
уравнение
равносильно
уравнению
и, следовательно, имеет два корня
Ответ:
.
.
Методы, основанные на применении векторов.
Пример 23. Решить неравенство
Решение. Пусть на плоскости вектор имеет координаты
координаты
. Тогда имеем
тогда
координаты
вектора
формулам
и
что
.
и
будут
треугольника
,
то
имеет
место
неравенство
. Если в последнее неравенство подставить выражения
для
,
и
, то получим неравенство
следует равенство
Равенство означает, что
Отсюда следует, что векторы
. Отсюда и из
.
и
коллинеарные. Используя
основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение
вытекает
–
. Пусть
,
вычисляться
по
Отсюда
следует,
.
Поскольку
, а вектор
, откуда
.
Ответ:
.
Пример 24. Решить уравнение
Решение.
Тогда
Введем
,
в
рассмотрение
и
10
два
вектора
.
и
.
Принимая во внимание уравнение, получаем равенство
, наличие
которого свидетельствует о том, что векторы , являются коллинеарными.
Следовательно, имеет место уравнение
Из уравнения следует, что
уравнения , то получим уравнение
корня:
и
являются
.
и
. Если возвести в квадрат обе части
, которое имеет следующих три
Поскольку
,
то
решением
уравнения
.
Ответ:
,
.
Пример 25. Найти минимальное значение функции
Решение. Представим функцию
в виде
Введем на плоскости векторы ,
с координатами
соответственно.
Так
как
и
выражения следует, что
Пусть
,
вектора являются
Если
найденные
из
.
, то
. Теперь необходимо показать,
достижима, т.е. существуют такие
принимает значение
, т.е. векторы и
и
. Положим
значения и подставить
минимальное значение функции
Ответ:
то
координатами
, при которых функция
следует, что
,
тогда
и
и
,
.
Так как
, то
и
что полученная нижняя оценка функции
значения
и
коллинеарные. Отсюда
, тогда
в,
то
равно
.
.
. Если
.
Следовательно,
.
Комбинированные методы.
Пример 26. Решить уравнение
Решение.
равенства
Отсюда следует
Преобразуем
,
уравнение
где
,
11
тогда
согласно
известного
.
Если уравнение сложить с уравнением , то получаем
.
Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то
. Возведем обе части
уравнения в квадрат, тогда получаем квадратное уравнение
,
корнями которого являются
и
. Непосредственной подстановкой в
убеждаемся, что найденные значения являются его корнями.
Ответ:
,
.
Пример 27. Решить уравнение
Решение.
являются
Очевидно,
что
областью
допустимых
. Умножим обе части уравнения на
значений
уравнения
, тогда получаем
Решением
уравнения
являются
,
и
.
Однако
--посторонний корень для уравнения , поскольку при этом значении левая часть
уравнения равна , а правая меньше . Так как
, то
не может быть
корнем уравнения . В этой связи
уравнения .
Ответ:
.
Пример 28. Решить уравнение
--- единственное решение исходного
Решение. Рассмотрим уравнение с параметром вида
которое совпадает с уравнением при
. Перепишем уравнение в виде
квадратного уравнения относительно неизвестной переменной , т.е.
Решением уравнения относительно являются
т.е.
и
. Поскольку
относительно переменной вида
исходного уравнения , т.е.
Ответ:
,
и
и
,
.
Пример 29. Решить уравнение
12
то
получаем два уравнения
. Отсюда получаем три корня
.
Решение. Обозначим
и
, тогда из уравнения
получаем систему двух уравнений относительно переменных , вида
где
и
.
Преобразуем левую часть второго уравнения системы следующим образом:
Так как
, то
Рассмотрим две системы
. Отсюда получаем
Корнями первой системы являются
,
решения не имеет. Следовательно,
получаем
два
переменной вида
и
из второго следует
и
. Ответ:
Пример 30. Решить уравнение
и
или
, а вторая система
,
или
. Отсюда
уравнения
относительно
. Первое уравнений корней не имеет, а
,
.
Решение. Преобразуем уравнение , используя свойство пропорции: если
то
.
,
. Тогда уравнение можно переписать как
Поскольку
, то из уравнения
т.е.
и
.
Так
как
уравнения
и
равносильны,
являются
и
.
Ответ:
,
.
получаем
то
;
решением
уравнения
Методы, основанные на использовании ограниченности функций
2
2
Пример 31. Решить уравнение: lg( x  2 x  2)  5  4  2 x  x .
Решение. Обе части неравенства определены для всех действительных чисел х.
Для
любого
х
lg( x 2  2 x  2)  lg  ( x  1) 2  1  0
имеем
,
поэтому
lg( x  2 x  2)  5  5; 4  2 x  x  5  ( x  1)  5 . Следовательно, исходное неравенство
2
2
lg( x  2 x  2)  5  5
lg( x  2 x  2)  0



2
2
4  2 x  x  5
( x  1)  0
2
2
2
равносильно системе уравнений
.
13
Единственное решение второго уравнения последней системы есть число х = 1, которое удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, и
равносильное ей неравенство имеет решение.
Ответ: - 1.
2
2
2
Пример 32. Решить уравнение 3x  6x  7  5x  10x  14  4  2x  x
2
2
2
Решение. Перепишем уравнение в виде 3( x  1)  4  5( x  1)  9  5  ( x  1) .
3( x  1) 2  4  5( x  1) 2  9  5
Поскольку
2
и 5  ( x  1)  5 , следовательно, данное
 3( x  1)2  4  5( x  1)2  9  5

2
уравнение равносильно системе 5  ( x  1)  5
. Откуда х = -1.
Ответ: - 1.
Пример 33. Решить уравнение
4 x 2  4 x  17 
12
x  x 1 .
2
2
Решение.
Преобразовав
уравнение,
получим
1
4

x  4
2
2

4
1
x


 1
3
2
.
2
Очевидно, что для любого х справедливы неравенства
g ( x) 
4
2
4
1
 x   1
3
2
1

f ( x)   x    4  4
2

и
4
. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе

1
 x    4  4
2

4

4
2

4
1


  x   1
уравнений  3  2 
.
2
Эта система не имеет решений, значит, и равносильное ей уравнение тоже не
имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 34. Решить уравнение
Решение.
т.е.
этом
Выделим
полный
квадрат
. Отсюда следует,
, то получаем систему уравнений
14
в
что
правой
части
.
Так
уравнения,
как
при
Решением второго уравнения системы является
. Подстановкой в первое
уравнение убеждаемся, что найденное значение является решением системы
уравнений и уравнения.
Ответ:
.
Методы решения симметрических систем уравнений.
Пример 35. Решить систему уравнений
Решение. Если к обеим частям каждого уравнения системы прибавить 1, то
получаем
Из последней системы уравнений следует
Пусть
, тогда
и
,
,
.
Если
,
то
по
получаем
,
,
.
Ответ:
,
,
;
,
,
Пример 36. Решить систему уравнений
Решение.
тогда
получим
Из
первого
аналогии
с
предыдущим
.
уравнения системы вычем второе уравнение,
. Умножим на обе части последнего уравнения и
откуда следует
. В таком случае первое уравнение системы принимает
вид
. Следовательно,
.Так как
, то
Ответ:
,
,
;
,
,
.
Пример 37. Решить систему уравнений
15
Решение. Обозначим
и
. Тогда из первого уравнения системы
следует, что
.
Преобразуем второе и третье уравнения системы следующим образом:
Из второго уравнения системы следует, что необходимо рассмотреть два
случая.
1) Пусть
. Тогда
, а из первого уравнения системы
получаем
. Так как
и
, то имеет место система уравнений
из которой следует
,
,
и
,
,
.
2)
Пусть
,
тогда
.
Если
данное
выражение
для подставить в первое уравнение сиcтемы, то получим квадратное уравнение
относительно
переменной вида
,
которое
имеет
два
корня
и
.
Если
, то
и из первого уравнения системы получаем
. В
таком случае
и
Если
,
,
,
, то
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
и
,
Отсюда следует
Ответ:
,
,
,
,
,
,
,
.
и
,
,
,
,
.
Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части
числа.
Пример 38. Решить уравнение
Решение. Поскольку
число.
Следовательно,
является целым числом, то
--- тоже целое
число также
является
целым.
В
таком
16
случае
и уравнение принимает вид
Целыми корнями последнего уравнения являются
Ответ:
и
.
Пример 39. Решить уравнение
или
и
.
.
Решение. Рассмотрим последовательно три случая.
Если
, то
и
, т.е. решением уравнения могут быть
только
.
Пусть
, тогда из уравнения следует, что
. Так
как
и
, то получаем систему неравенств
Решением данной системы неравенств являются
.
Если
, то
и
. Следовательно, уравнение не имеет корней
среди
.
Ответ:
.
Пример 40. Решить уравнение
Решение. Используя свойство , можно записать
Так как
, то, складывая почленно три приведенные выше
неравенства, получим
Отсюда, принимая во внимание уравнение , следуют неравенства
Поскольку в этом случае
следует, что
или
. Так
как
--- целое число, то отсюда получаем, что
или
.
Следовательно, имеем
.
Из уравнения следует, что --- целое число. Так как
, то остается лишь
проверить целые значения от до . Нетрудно установить, что решениями
уравнения являются
,
и
.
Ответ:
,
,
.
Пример 41. Решить уравнение
17
Решение. Из формулы следует, что
переписать, как
.
Отсюда следует уравнение
. В этой связи уравнение можно
Очевидно, что
является корнем уравнения . Положим, что
разделим обе части уравнения на
и получим уравнение
. Тогда
Рассмотрим последовательно несколько случаев.
Если
, то
и
. В таком случае
.
Если
, то
и
.
Если
, то
и
, тогда
.
Если
, то
,
и
. Отсюда следует, что уравнение
корней не имеет.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень
.
Ответ:
.
18