Сборник задач.
реклама
Муниципальное общеобразовательное учреждение – средняя общеобразовательная школа № 1 ЗАТО Озерный Тверской области Сборник задач по теме «Нестандартные методы решения задач по математике» Автор: Бородич Ирина Сергеевна Учитель математики МБОУ СОШ № 1 ЗАТО Озерный 2012 Примеры, которые дают возможность ознакомиться с различными методами решения математических заданий. Метод функциональной подстановки. Пример 1. Решить уравнение Решение. Первоначально убедимся, что не является корнем уравнения. Так как , то разделим обе части уравнения на . Тогда получим Пусть , тогда и из уравнения следует Последнее уравнение представим в виде что и или . . Отсюда следует, . Далее, рассмотрим три уравнения уравнения корней не имеют, уравнения , а и . Первые два корнями третьего являются Ответ: Пример 2. Решить неравенство Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства на и обозначим через . Тогда неравенство можно переписать ка и Решая Поскольку Ответ: неравенство , то с учетом того, . . 2 что , получаем . Пример 3. Решить уравнение Решение. Выполним замену переменных, пусть как и , тo . Кроме того, имеем . В таком случае из уравнения получаем систему уравнений Пусть теперь и , тогда из следует и . Отсюда с учетом того, что Следовательно, имеет место , и . Поскольку и Ответ: , то и и . Так системы уравнений , получаем и . , где --- целое число. , где --- целое число. Пример 4. Решить уравнение Решение. Введем новую переменную , тогда получаем уравнение . Поскольку обе части полученного уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение . вытекает , Рассмотрим два уравнения Отсюда и , . Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем Подстановкой в убеждаемся в том, что найденные переменной являются корнями исходного уравнения. Ответ: и . значения . Пример 5. Решить уравнение Решение. Для преобразования очевидным равенством левой части уравнения воспользуемся . Тогда из уравнения имеем и 3 Если затем положить которого равны и , то получим уравнение , корни . Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения и , т.е. и , где . Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем Ответ: . , . Метод тригонометрической подстановки. Пример 6. Решить систему уравнений Решение. тогда случае Поскольку и , и , то . Тогда и и система уравнений принимает вид Из первого уравнения системы получаем то положим и . В , таком . Поскольку , , следовательно, получаем систему Отсюда следует и . Так как и , то и . Ответ: , . Пример 7. Решить уравнение Решение. Поскольку части на . Тогда не является корнем уравнения , то разделим обе его Если или , то левая часть уравнения будет больше , а правая его часть – меньше . Следовательно, корни уравнения находятся на отрезке . Пусть , где . Тогда уравнение принимает вид тригонометрического уравнения 4 Решением уравнения Однако то , поэтому и , Ответ: являются и , . Так как , . и , , где --- целое число. . Методы, основанные на применении численных неравенств. Пример 8. Доказать, что если , то Доказательство. Тогда Используя записать Имеет обозначения . Так как место и и . Коши-Буняковского, неравенство которого следует Следовательно, что Пусть что Введем , то можно и равенство для . , доказательства . неравенства достаточно . из показать, или , где . . Для доказательства неравенства требуется показать, , где . Так как , то корни уравнения подозрительными на экстремум функции являются . Уравнение два корня: , . Поскольку то . Отсюда следует, что неравенство доказано. Пример 9. Решить уравнение , Решение. Используя неравенство Коши, можно записать т.е. имеет место неравенство 5 , точками, имеет , Отсюда и из уравнения следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда и . Следовательно, имеем и . Ответ: , ; , Пример 10. Решить уравнение ; , ; , . Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли, а к правой части – неравенство, тогда и Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда . Ответ: . Пример 11. Доказать, что где , , – стороны треугольника, a Доказательство. сторонами и . Коши , треугольника вида место и Известно, Поскольку – его площадь. что , то получаем . По верхнюю аналогии с , где – . Используя неравенство оценку площади изложенным . Тогда . Отсюда следует справедливость неравенства. Методы на основе использования монотонности функций. 5 Пример12. Решить уравнение x 5 x 42 0 . 6 угол между выше имеет Достаточно очевидно, что x 2 - корень уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду: x 42 5 x . Замечаем, что функция y x возрастает, а функция y 42 5 x убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2. 3 Пример 13. Решить уравнение 2 x 7 19 x . 3 Функция y 2 x 7 возрастает, а функция g ( x) 19 x убывает на промежутке 5 5 M ;19 - общей части областей существования этих функций. Проверка показывает, что число 10 M и является корнем уравнения. Тогда в силу утверждения выше, этот корень единственный. Ответ: 10. Пример 14. Решить уравнение Решение. Введем новую переменную уравнение принимает вид Уравнение имеет очевидный корень . Тогда , и . Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения на , тогда Так как , а , то левая часть уравнения является убывающей функцией, а правая часть – возрастающей функцией. Поэтому уравнение если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что – корень уравнения . Следовательно, этот корень единственный. Таким образом, имеем . Тогда единственным корнем уравнения является . Ответ: . Пример 15. Решить уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на , тогда Подбором нетрудно установить, что является корнем уравнения . Покажем, что других корней это уравнение не имеет. 7 Обозначим и . Очевидно, что . Следовательно, каждая из функций и является убывающей и при этом . Если , то , и . Если , то , и . Следовательно, среди 2 или корней уравнения нет. Ответ: . Пример 16. Решить уравнение 20 x 29 26 x 2 . Функция f ( x) 20 x 29 26 x возрастает на своей области определения как сумма двух возрастающих функций y1 20x 29 и y2 26 x . Следовательно, уравнение f ( x) 2 имеет не более одного корня. Непосредственной проверкой убеждаемся, что f (1) 2 . Уравнение решено: мы нашли корень и доказали, что других корней нет. Ответ: 1. x y x 2 y 2 2 2 Пример 17. Решить систему уравнений x xy y 27 . t Функция f (t ) t 2 возрастает, следовательно, f (t ) принимает каждое свое x y значение только при одном значении t . Поэтому уравнение x 2 y 2 2 2 равносильно x y . Тогда из уравнения x xy y =27 получаем, что x y 3 . Ответ: (3; 3), (-3; -3). Методы решения функциональных уравнений. x Решить уравнение 2 2 x 5 2 x 2 2 x 5 5 0 2 Пример 18. . 2 Пусть f ( x) x 2 x 5 , тогда данное уравнение можно переписать в виде f f ( x) x . Поэтому корни уравнения x 2 x 5 x , а значит, и уравнения x 2 x 5 0 являются корнями исходного уравнения. 2 x Тогда 2 2 x 5 2 x 2 2 x 5 5 x x 4 4 x3 4 x 2 17 x 10 0 . 2 2 Разделим столбиком левую часть уравнения на x x 5 . Получим: x2 x 5 0 ( x x 5)( x 3 x 2) 0 2 x 3x 2 0 . 2 2 1 21 3 17 ; 2 2 Ответ: . Пример 19. Решить уравнение 8 где квадратный корень берется раз ( ). Решение. Из условия задачи следует, что . Пусть уравнение принимает вид функционального уравнения. Так как при функция равносильно уравнению которого является , , тогда возрастает и , то уравнение , положительным решением т.е. . Ответ: . Пример 20. Решить уравнение Решение. Перепишем исходное уравнение в виде функционального уравнения типа , т.е. где . Поскольку для любого значения , то функция является возрастающей на всей числовой оси . Следовательно, вместо функционального уравнения можно рассматривать равносильное ему уравнение , для которого является решением. Ответ: . Пример 21. Решить уравнение Решение. Преобразуем уравнение следующим образом: Отсюда получаем уравнение Пусть , тогда уравнение принимает вид Так как функция является убывающей на всей числовой оси , то (согласно Следствию) уравнение равносильно уравнению , т.е. уравнение равносильно уравнению . Отсюда следует уравнение имеет единственный действительный корень . Ответ: . Пример 22. Решить уравнение 9 , которое Решение. Поскольку при всех , то областью допустимых значений уравнения является множество всех действительных чисел. Положив принимает вид что и , , увидим, что заданное уравнение и . Так как из следует, , где то функция функций и является возрастающей на области значений . В этой связи уравнение равносильно уравнению и, следовательно, имеет два корня Ответ: . . Методы, основанные на применении векторов. Пример 23. Решить неравенство Решение. Пусть на плоскости вектор имеет координаты координаты . Тогда имеем тогда координаты вектора формулам и что . и будут треугольника , то имеет место неравенство . Если в последнее неравенство подставить выражения для , и , то получим неравенство следует равенство Равенство означает, что Отсюда следует, что векторы . Отсюда и из . и коллинеарные. Используя основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение вытекает – . Пусть , вычисляться по Отсюда следует, . Поскольку , а вектор , откуда . Ответ: . Пример 24. Решить уравнение Решение. Тогда Введем , в рассмотрение и 10 два вектора . и . Принимая во внимание уравнение, получаем равенство , наличие которого свидетельствует о том, что векторы , являются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение Из уравнения следует, что уравнения , то получим уравнение корня: и являются . и . Если возвести в квадрат обе части , которое имеет следующих три Поскольку , то решением уравнения . Ответ: , . Пример 25. Найти минимальное значение функции Решение. Представим функцию в виде Введем на плоскости векторы , с координатами соответственно. Так как и выражения следует, что Пусть , вектора являются Если найденные из . , то . Теперь необходимо показать, достижима, т.е. существуют такие принимает значение , т.е. векторы и и . Положим значения и подставить минимальное значение функции Ответ: то координатами , при которых функция следует, что , тогда и и , . Так как , то и что полученная нижняя оценка функции значения и коллинеарные. Отсюда , тогда в, то равно . . . Если . Следовательно, . Комбинированные методы. Пример 26. Решить уравнение Решение. равенства Отсюда следует Преобразуем , уравнение где , 11 тогда согласно известного . Если уравнение сложить с уравнением , то получаем . Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то . Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и . Непосредственной подстановкой в убеждаемся, что найденные значения являются его корнями. Ответ: , . Пример 27. Решить уравнение Решение. являются Очевидно, что областью допустимых . Умножим обе части уравнения на значений уравнения , тогда получаем Решением уравнения являются , и . Однако --посторонний корень для уравнения , поскольку при этом значении левая часть уравнения равна , а правая меньше . Так как , то не может быть корнем уравнения . В этой связи уравнения . Ответ: . Пример 28. Решить уравнение --- единственное решение исходного Решение. Рассмотрим уравнение с параметром вида которое совпадает с уравнением при . Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно неизвестной переменной , т.е. Решением уравнения относительно являются т.е. и . Поскольку относительно переменной вида исходного уравнения , т.е. Ответ: , и и , . Пример 29. Решить уравнение 12 то получаем два уравнения . Отсюда получаем три корня . Решение. Обозначим и , тогда из уравнения получаем систему двух уравнений относительно переменных , вида где и . Преобразуем левую часть второго уравнения системы следующим образом: Так как , то Рассмотрим две системы . Отсюда получаем Корнями первой системы являются , решения не имеет. Следовательно, получаем два переменной вида и из второго следует и . Ответ: Пример 30. Решить уравнение и или , а вторая система , или . Отсюда уравнения относительно . Первое уравнений корней не имеет, а , . Решение. Преобразуем уравнение , используя свойство пропорции: если то . , . Тогда уравнение можно переписать как Поскольку , то из уравнения т.е. и . Так как уравнения и равносильны, являются и . Ответ: , . получаем то ; решением уравнения Методы, основанные на использовании ограниченности функций 2 2 Пример 31. Решить уравнение: lg( x 2 x 2) 5 4 2 x x . Решение. Обе части неравенства определены для всех действительных чисел х. Для любого х lg( x 2 2 x 2) lg ( x 1) 2 1 0 имеем , поэтому lg( x 2 x 2) 5 5; 4 2 x x 5 ( x 1) 5 . Следовательно, исходное неравенство 2 2 lg( x 2 x 2) 5 5 lg( x 2 x 2) 0 2 2 4 2 x x 5 ( x 1) 0 2 2 2 равносильно системе уравнений . 13 Единственное решение второго уравнения последней системы есть число х = 1, которое удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, и равносильное ей неравенство имеет решение. Ответ: - 1. 2 2 2 Пример 32. Решить уравнение 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x 2 2 2 Решение. Перепишем уравнение в виде 3( x 1) 4 5( x 1) 9 5 ( x 1) . 3( x 1) 2 4 5( x 1) 2 9 5 Поскольку 2 и 5 ( x 1) 5 , следовательно, данное 3( x 1)2 4 5( x 1)2 9 5 2 уравнение равносильно системе 5 ( x 1) 5 . Откуда х = -1. Ответ: - 1. Пример 33. Решить уравнение 4 x 2 4 x 17 12 x x 1 . 2 2 Решение. Преобразовав уравнение, получим 1 4 x 4 2 2 4 1 x 1 3 2 . 2 Очевидно, что для любого х справедливы неравенства g ( x) 4 2 4 1 x 1 3 2 1 f ( x) x 4 4 2 и 4 . Следовательно, исходное уравнение равносильно системе 1 x 4 4 2 4 4 2 4 1 x 1 уравнений 3 2 . 2 Эта система не имеет решений, значит, и равносильное ей уравнение тоже не имеет решений. Ответ: нет решений. Пример 34. Решить уравнение Решение. т.е. этом Выделим полный квадрат . Отсюда следует, , то получаем систему уравнений 14 в что правой части . Так уравнения, как при Решением второго уравнения системы является . Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение является решением системы уравнений и уравнения. Ответ: . Методы решения симметрических систем уравнений. Пример 35. Решить систему уравнений Решение. Если к обеим частям каждого уравнения системы прибавить 1, то получаем Из последней системы уравнений следует Пусть , тогда и , , . Если , то по получаем , , . Ответ: , , ; , , Пример 36. Решить систему уравнений Решение. тогда получим Из первого аналогии с предыдущим . уравнения системы вычем второе уравнение, . Умножим на обе части последнего уравнения и откуда следует . В таком случае первое уравнение системы принимает вид . Следовательно, .Так как , то Ответ: , , ; , , . Пример 37. Решить систему уравнений 15 Решение. Обозначим и . Тогда из первого уравнения системы следует, что . Преобразуем второе и третье уравнения системы следующим образом: Из второго уравнения системы следует, что необходимо рассмотреть два случая. 1) Пусть . Тогда , а из первого уравнения системы получаем . Так как и , то имеет место система уравнений из которой следует , , и , , . 2) Пусть , тогда . Если данное выражение для подставить в первое уравнение сиcтемы, то получим квадратное уравнение относительно переменной вида , которое имеет два корня и . Если , то и из первого уравнения системы получаем . В таком случае и Если , , , , то , , , , , , , , , . , , , и , Отсюда следует Ответ: , , , , , , , . и , , , , . Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа. Пример 38. Решить уравнение Решение. Поскольку число. Следовательно, является целым числом, то --- тоже целое число также является целым. В таком 16 случае и уравнение принимает вид Целыми корнями последнего уравнения являются Ответ: и . Пример 39. Решить уравнение или и . . Решение. Рассмотрим последовательно три случая. Если , то и , т.е. решением уравнения могут быть только . Пусть , тогда из уравнения следует, что . Так как и , то получаем систему неравенств Решением данной системы неравенств являются . Если , то и . Следовательно, уравнение не имеет корней среди . Ответ: . Пример 40. Решить уравнение Решение. Используя свойство , можно записать Так как , то, складывая почленно три приведенные выше неравенства, получим Отсюда, принимая во внимание уравнение , следуют неравенства Поскольку в этом случае следует, что или . Так как --- целое число, то отсюда получаем, что или . Следовательно, имеем . Из уравнения следует, что --- целое число. Так как , то остается лишь проверить целые значения от до . Нетрудно установить, что решениями уравнения являются , и . Ответ: , , . Пример 41. Решить уравнение 17 Решение. Из формулы следует, что переписать, как . Отсюда следует уравнение . В этой связи уравнение можно Очевидно, что является корнем уравнения . Положим, что разделим обе части уравнения на и получим уравнение . Тогда Рассмотрим последовательно несколько случаев. Если , то и . В таком случае . Если , то и . Если , то и , тогда . Если , то , и . Отсюда следует, что уравнение корней не имеет. Следовательно, уравнение имеет единственный корень . Ответ: . 18