«Центр дополнительного образования для детей»

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр
дополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:[email protected]
КРАЕВЫЕЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 8 класс
ответы и решения к работе № 4,
2013-2014 уч. год
Критерии оценки заданий:
 За ответ на каждый из вопросов максимальная оценка была 5 баллов.
Таким образом, максимально возможное число баллов -30.
1. Найдите три попарно различных простых числа, произведение которых в 3
раза больше их суммы. Докажите, что решение задачи единственно.
Ответ: 2, 3, 5. Очевидно, что один из сомножителей – тройка. Тогда два
других удовлетворяют равенству kn  3  k  n , откуда n 
3 k
, что меньше 2 при
k 1
k  5 . Для k  2 , 4 и 5 равенство проверяется непосредственно.
2. Имеется пять плиток шоколада. Можно ли получить 100 кусочков, поделив
каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков?
Ответ: нет. Решение. Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна.
При делении каждой плитки на 9, 15 или 25 кусочков каждая плитка будет
разделена на нечетное число кусочков, а сумма 5 нечетных чисел нечетна.
3. Если некоторое двузначное число разделить на произведение его цифр, то в
частном будет 4, а в остатке 1. Если это число разделить на сумму его цифр, то в
частном будет 3, а в остатке 1. Найдите это число.
Ответ: 13. Решение.
Пусть x — первая цифра числа, y — вторая цифра,
тогда из условия получаем 10x + y = 4xy + 1 и 10x + y= 3(x + y) + 1. Отсюда
получаем 7x= 2y + 1 или x =(2y + 1)/7. Подбором находим x =1, y = 3. Проверяем
первое условие: 10 1 + 3 = 413 +1 — верно.
4. Конь сделал 8 ходов и вернулся последним ходом на исходное поле. Мог ли
он при этом побывать на всех вертикалях и горизонталях шахматной доски? Ответ
обосновать.
Решение. Нет. Чтобы побывать на каждой вертикали и вернуться на
исходную, надо пройти 14 границ между вертикалями. Аналогично надо преодолеть
14 границ между горизонталями. За один ход конь преодолевает 3 границы. Значит,
за 8 ходов он пересечет не более 24 границ.
5. В прямоугольный треугольник впишите прямоугольник с вершиной в
вершине прямого угла и наименьшей диагональю.
Решение. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Так
как наименьшей диагональю будет перпендикуляр, опущенный из вершины прямого
угла на гипотенузу, то для построения прямоугольника необходимо опустить
перпендикуляр из точки C на гипотенузу AB, обозначим точку пересечения этого
перпендикуляра с гипотенузой через D и опустим из этой точки перпендикуляры на
катеты AC и BC. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с катетами
AC и BC через M и N соответственно. Прямоугольник MNDC — искомый.
6. На доске написано число 98.Каждую минуту число стирают и вместо него
записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на
доске через час?
Решение. С четвертой минуты образуется периодическая последовательность
с длиной периода 6: 98, 87, 71, 22, 19, 24, 23, 21.17, 22,…
На 60-й минуте так же как и на 6-й минуте на доске появится число 24, а значит,
через час, то есть на 61-й минуте на доске будет число 23.