  

ВАРИАНТ 1
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
1
22
n2
nn  1

 ... 

;
2n  12n  1 22n  1
1 3 3  5
2) при любом натуральном п число 55n1  45n 2  35n делится на 11.
2. Является ли указанное множество относительно заданной операции
группой?
ab
R\{0}; a * b 
.
2
3. Пользуясь определением сложения и умножения натуральных чисел,
вычислить: 2  3  1
4. Для непустых конечных множеств А и В, где A  B   докажите
формулу A  B  A  B .
5. В кольце Z , ,  выполните действия: 6,8  4,3  11,9  6,7  .
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 0,1(3);
2) десятичной дроби
29
.
31
ВАРИАНТ 2
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
1
1
1
1
n


 ... 

;
4n  34n  1 4n  1
1  5 5  9 9  13
2) при любом натуральном п число n3  3n2  5n  3 делится на 3.
2. Является ли указанное множество относительно заданной операции
группой?
R\{-1}; a * b  a  b  a  b .
3. Пользуясь свойствами натуральных чисел, поясняя каждый шаг,
решите уравнение 2x  3  7 .
4. Докажите счетность множества целых чисел.
5. В кольце Q, ,  выполните действия: 2,8  3,4  15,3.
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 3,(45);
2) десятичной дроби
28
.
23
ВАРИАНТ 3
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
1
1
1
1
n


 ... 

;
3n  23n  1 3n  1
1  4 4  7 7  10
2) при любом натуральном п число 25n3  5n  3n2 делится на 17.
2. Является ли указанное множество относительно заданной операции
группой?
ab
R\{0}; a * b 
.
3
3. Пользуясь определением сложения натуральных чисел, вычислить: 5+3
4. Для непустых конечных множеств А и В докажите формулу
A B  A  B  A B .
5. В кольце Z , ,  выполните действия: 5,3  6,7   16,12.
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 1,6(36);
2) десятичной дроби
17
.
57
ВАРИАНТ 4
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
1
1
1
1
n


 ... 

;
2n  12n  1 2n  1
1 3 3  5 5  7
2.
3.
4.
5.
2)при любом натуральном п число 2n  13  2n  1делится на 24.
Является ли указанное множество относительно заданной операции
группой?
 1
R\   ; a * b  2a  b .
 2
Пользуясь
определением
умножения
натуральных
чисел,
вычислить: 3 4
Докажите счетность множества рациональных чисел.
В кольце Q, ,  выполните действия: 3,7   21,5  2,10.
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 4,9(39);
2) десятичной дроби
15
.
17
ВАРИАНТ 5
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
nn  1n  2n  3
;
4
2) при любом натуральном п число 22n1  3n3  1 делится на 11.
1  2  3  2  3  4  ...  nn  1n  2  
2. Является ли указанное множество относительно заданной операции
группой?
ab
R\{0}; a * b 
.
4
3. Пользуясь определением сложения и умножения натуральных чисел,
вычислить: 2  3  2  1
4. Докажите, что если множество А конечно и В  А, то A  A \ B  B .
5. В кольце Z , ,  выполните действия: 10,8  13,10  10,4
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 1,1(3);
2) десятичной дроби
57
.
17
ВАРИАНТ 6
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
1  4  2  7  ...  n3n  1  nn  12 ;
2) при любом натуральном п число n3  5n делится на 6.
2. Является ли указанное множество относительно заданной операции (*)
группой?
G= x / x  a  b 2 , a, b  Q
3. Пользуясь определением сложения и умножения натуральных чисел,
вычислить: 3  3  2
4. Для непустых конечных множеств А и В, где A  B   докажите
формулу A  B  A  B .


5. В кольце Q, ,  выполните действия: 6,5  3,15  4,9
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 2,58(3);
2) десятичной дроби
13
.
19
ВАРИАНТ 7
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
1
2
n
nn  1

 ... 

;
2n  12n  12n  3 22n  12n  3
1 3  5 3  5  7
2.
3.
4.
5.
2) при любом натуральном п число 32n  26n5 делится на 11.
Является ли указанное множество относительно заданной операции
группой?
R\{0}; a * b  2  a  b .
Пользуясь свойствами натуральных чисел, поясняя каждый шаг,
решите уравнение 2  3x  8 .
Докажите счетность множества целых чисел.
В кольце Z , ,  выполните действия: 7,3  102,101  8,2  3,10 .
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 4,8(3);
2) десятичной дроби
12
.
53
ВАРИАНТ 8
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
nn  12n  1
;
6
2) при любом натуральном п число 32n1  2n2 делится на 7.
12  2 2  ...  n 2 
2. Является ли указанное множество относительно заданной операции
группой?
R\{0}; a * b  3  a  b .
3. Пользуясь определением сложения натуральных чисел, вычислить: 2+4
4. Для непустых конечных множеств А и В докажите формулу
A B  A  B  A B .
5. В кольце Q, ,  выполните действия: 8,7   16,16  3,4  2,14.
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 5,41(6);
2) десятичной дроби
113
.
17
ВАРИАНТ 9
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
n  1n  2...n  n   2 n  1  3  5  ...  2n  1;
2.
3.
4.
5.
2) при любом натуральном п число 4n  15n  1 делится на 9.
Является ли указанное множество относительно заданной операции
группой?
1 
R\   ; a * b  a  b  2a  b .
2
Пользуясь
определением
умножения
натуральных
чисел,
вычислить: 5 4
Докажите счетность множества рациональных чисел.
В кольце Z , ,  выполните действия: 12,6  12,5  12,4  17,16.
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 1,(54);
2) десятичной дроби
19
.
23
ВАРИАНТ 10
1. При помощи метода математической индукции доказать, что
1) при любом натуральном п справедливо равенство:
1  1!2  2!...  n  n! n  1!1;
2) при любом натуральном п число n3  n  13  n  23 делится на 9.
2. Является ли указанное множество относительно заданной операции
группой?
R\{0}; a * b  4  a  b .
3. Пользуясь определением сложения и умножения натуральных чисел,
вычислить: 3  4  3 1
4. Докажите, что если множество А конечно и В  А, то A  A \ B  B .
5. В кольце Q, ,  выполните действия: 12,3  14,6  1,7   4,14 .
6. Найдите представление чисел в виде:
1) обыкновенной дроби 5,7(72)
2) десятичной дроби
19
.
17