doc

Гимназия 1543, 9-В класс
Листик 16.5, 28 марта 2011.
Неравенства. Применения неравенств между средними.
 (Неравенства между средними) Для произвольных положительных чисел a1, a2, ... an
выполняется неравенство:
a12  a22  ...  an2 a1  a2  ...  an n
n

 a1a2 ...an 
1 1
1
n
n
  ... 
a1 a2
an
Равенство достигается, только если a1  a2  ...  an
Все числа в этом листике неотрицательные. Во всех неравенствах надо найти случай
равенства.
x4 y 4 z 4
   3xyz .
1. Докажите неравенство
y
z
x
2. Докажите неравенство ( x  y  z )( x 2  y 2  z 2 )( x3  y 3  x3 )  27 x 2 y 2 z 2 .
2
2
2
 a  2b   b  2c   c  2a 
 
 
  27 .
3. Докажите неравенство 
 c   a   b 
4. Найдите минимальное значение выражения x  2 y 
4
. При каких значениях x,y оно
xy
достигается?
5. Докажите неравенство a 2  b2  c 2  d 2  e2  a(b  c  d  e) .
6. а) Докажите неравенство
2x  y 3 2
 x y.
3
б) (Неравенство Коши с весами). Для натуральных чисел m1, m2, …, mk с суммой m
m a  m2 a2  ..  mn an m m1 m2 mn
 a1 a2 ...an .
докажите неравенство 1 1
m
в) Тоже самое для рациональных m1, m2, …, mk..
4
7. а) Найдите минимальное значение выражения 5x 
4
. При каком значении x оно
x5
достигается?
б) Найдите минимальное значение выражения x  y 
27
. При каком значении x, y оно
x3 y
достигается?
8. Докажите неравенство
(a  b)(c  d )  (a  c)(b  d )  (a  d )(b  c)  ab  ac  ad  bc  bd  cd .
9. Докажите, неравенство
a
b
c
3


 .
bc ca ab 2