задания

Математика
8 класс
Глейх вадим Антонович – учитель математики, e-mail: spb_sport91@ mail.ru
(отправляя письмо в графе «Кому», указываем «учителю математике Глейху В.А»)
Расписание консультаций: среда 15.00 – 16.00, пятница 15.00 – 16.00.
Критерии оценивания учащихся спортсменов, выполнивших задание. Для получения
положительной оценки по итогам четверти учащийся должен:
1) сдать зачёт-минимум по соответствующему предмету:
Алгебра – до 18.12.2014,
Геометрия – до 18.12.2014;
2) сдать учителю в отдельной тетради (12 листов) или прислать по электронной почте по
указанному выше адресу в указанные сроки задания и пройти по ним собеседование;
3) написать в классе плановые контрольные работы:
Алгебра: Контрольная работа № 2 до 20.11.2014
Контрольная работа № 3 до 17.12.2014
Геометрия: Контрольная работа № 2 до 10.12.2014.
По итогам выполненного обьёма работ оценки «4 и 5» ставятся за правильно выполненные не менее 70% и
90% заданий соответственно, включая задания (*). Ооценка «3» ставится за правильно выполненные не
менее 50% заданий, не включая задания (*)..
Образовательный минимум по алгебре за II четверть.
Теоретическая часть
Таблица квадратов чисел от 11 до 25.
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
число
кв.числа 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625
Уравнение вида
квадратным.
ах2 + вх + с = 0, где а (а ≠ 0), в, с некоторые действительные числа, называется
Решение неполного квадратного уравнения
Решение полного квадратного уравнения
ах2 = 0
ах2 + с = 0, с ≠ 0
ах2 + вх = 0, в ≠ 0
ах2 + вх + с = 0 , а ≠ 0
х1,2 = 0
ах2 = - с
с
х2 = а
х(ах + в) = 0
х = 0, ах + в = 0
х = 0, ах = - в
D = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 – дискриминант.
x1 = √−
x2 = -
с
а
х1 = 0,
,
х2 = -
с
с
> 0.
а
---------------х2 = d, d ≠ 0
x1 = √𝑑 , x2 = - √𝑑
Вычислить
.
5) 3 и √10
6) 2√3 и 3√2
√7
Решить неполное квадратное уравнение
16) х2 – 121 = 0
17) 4х2 = 81
18) х2 – 27 = 5
19) 25 – 16х2=0
20) 5х2 = 125
21) 4 =
.
Исключить иррациональность из
знаменателя
5
2√45
√80
12). х2 = 36
7
13) х2 = 19
14) х2 = 13
1
15) х2 = 0
3
𝟐𝒂
Замечание: если D < 0, то исходное уравнение не
имеет решений, если D = 0, то - имеет одно
решение, если D > 0, то имеет два решения.
Практическая часть.
Упростить
Сравнить
1) √21 · 6 · 7 · 8
2) √(−3)6
3) √7 ·√63
4)
𝑎
.
−𝒃 ± √𝑫
Если х1, х2 – корни уравнения ах2 + вх + с = 0,
то при всех х справедливо равенство:
ах2 + вх + с = а(х – х1)(х – х2)
________________________________________
Теорема Виета
Если х1, х2 – корни приведенного квадратного
уравнения х2 + pх + q = 0, то
х1 + х2 = - p, х1· х2 = q.
√− а
Замечание: -
𝑏
х1,2 =
х2 −5
7) 3√8 + √2 - 3√18
8) (√5 – √2 )2
9) (2 - √3 )(2 + √3 )
Решить квадратные
уравнения
2
22) х – 7х = 0 25) 2х2 – 3х + 1 = 0
23) 5х2 = 3х
26) 5х2 + 2х + 3 = 0
24) 5х + х2 =0 27) 4х2 + 4х + 1 = 0
28) 10 – 2х + х2= 0
29) 6х2 = 5х + 1
30) х(х – 1) = 72
5
10)
11)
√7
1
2+ √3
Теорема Виета
31) х2 + х - 6 = 0
32) х2 + 4х - 5 = 0
Разложить на
множители
33) х2 – 5х + 6
34) 2х2 - х - 1
5
35) Периметр прямоугольника равен 1м, а площадь 4дм2. Найти его стороны.
36) Расстояние в 400км скорый поезд прошел на час быстрее товарного. Какова скорость каждого поезда,
если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорого?
37) сумма двух чисел равна 18, а их произведение 65. Найдите эти числа.
Образовательный минимум по геометрии за II четверть.
Теоретическая часть.
Четырёхугольники
Параллелограммы
Параллелограмм
Трапеции
Прямоугольники
Ромбы
Квадраты
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника.
Признаки прямоугольника.
1.Диагонали прямоугольника равны.
1.Если один из углов параллелограмма прямой, то этот
параллелограмм – прямоугольник.
2.Если диагонали параллелограмма равны, то этот
параллелограмм – прямоугольник.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба.
Признаки ромба.
1.Диагонали ромба перпендикулярны, и
1.Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот
являются биссектрисами его углов
параллелограмм – ромб.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны; либо квадратом называется
ромб, у которого все углы прямые.
Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины
двух его сторон. Средняя линия треугольника:
M
N
1) параллельна третьей стороне; 2) равна её половине.
MN =
𝒂
a
𝟐
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны
называется четырёхугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны. Средняя линия трапеции:
1) параллельна основаниям; 2) равна их полу сумме.
b
M
MN =
𝒂+𝒃
N
a
𝟐
Площади.
a Квадрат
b
b b
Ромб
Прямоугольник
Параллелограмм
Треугольник
Трапеция
b
d1
d
d2
a
𝒅
S = aa2 =
𝟐
b
a
S a= d1·d2
𝟏
𝟐
𝟐
h
h
b
a
S =aa·b
a
S =aa·h
b
h
a
a
𝟏
Sa= a·h
𝟐
𝒂+𝒃
S =a
𝟐
·h
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Дано: АВС – треугольник, АМ = МВ, ВN = NC.
1
Доказать: а) МN ǁ AC, б) MN = 2AC.
B
М
А
N
E
С
Доказательство. а) Докажем, что АМЕС – параллелограмм. 1). На прямой МN
отметим точку Е так, что МN = EC, тогда ΔВМN = ΔNЕС ( по I-му признаку).
2) Тогда т.к. ВМ = ЕС и ВМ = АМ (по условию), то ЕС = АМ. 3) < МВN и <NCE
(накрест лежащие), то МА ǁ ЕС. Т.о. АМЕС – параллелограмм (по II-му признаку) и
1
2
1
2
следовательно МN ǁ АС. б) 1) т.к. АМЕС – параллелограмм, то МЕ = АС. 2) т.к. МN = ME, то MN = AC.
Практическая часть
Прямоугольник.
1. Перпендикуляры опущенные из точки пересечения диагоналей прямоугольника на две его соседние
стороны равны 5см и 7см. Найдите периметр прямоугольника.
2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла равна
половине гипотенузы.
3. В прямоугольнике АВСD
О – точка пересечения диагоналей. <АОD = 70°. Найдите угол OСD.
Ромб
4. Докажите, что если две соседние стороны параллелограмма равны, то он является ромбом.
5. АВСD - ромб
Найдите угол α.
6. В ромбе АВСD известно, что <С = 140°, а диагонали пересекаются в точке О.Найдите углы ΔАОВ.
Квадрат
7. Диагональ квадрата равна 4см. Его сторона является диагональю второго квадрата. Найдите сторону
второго квадрата.
8. Постройте квадрат, если известно что его периметр равен 24см.
Средняя линия треугольника
9. Стороны треугольника равны 6см, 8см и 12см. Найдите средние линии этого треугольника.
10. Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.
11. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию равна 6см. Найдите стороны.
Трапеция. Средняя линия трапеции.
12. Периметр трапеции равен 49см, боковые стороны – 5,6см и 7,8см. Найдите основание трапеции, если одно
из них на 7,7см больше другого.
13. В равнобедренной трапеции угол между боковой стороной и высотой, поведенной из вершины тупого
угла, равен 23°. Найдите углы трапеции.
14. Средняя линия трапеции равна 8см, а одно из оснований – 5см. Найдите второе основание трапеции.
15. Через вершину С трапеции АВСD проведена прямая, которая параллельна боковой стороне АB и
пересекает большее основание АD в точке Е. ВС = 8см, ЕС = 5см. Найдите среднюю линию трапеции АВСD.
Площадь прямоугольника и квадрата.
16. Найдите площадь прямоугольника ABCD,
17. Найдите площадь прямоугольника
ше другой.
считая стороны квадратных клеток равными 1.
, если его периметр равен 18, и одна сторона на 3 боль-
18. Найдите диагональ квадрата
, если его площадь равна 2.
19. Как изменится площадь и периметр квадрата, если его диагональ увеличить в 4 раза?
20. Середины сторон прямоугольника
, диагональ которого равна 5, последовательно соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
Алгебра
Задание 4(а).
Задание 6(а).
Действия с арифметическим квадратным корнем. Решение квадратных уравнений. (см. Алимов 8.
(см. Алимов 8. Гл.III, § 22-24).
Гл.IV, § 28). Сдать до 6.12.2014
1. № 429*(2,4,6).
Сдать до 18.11.2014
1. № 329(1), 331(4), 332(2), 334(2), 335*(4), 336*(2)
2. № 340(2), 341(4), 342(4), 343(4),344(2), 345(2), 346(2),
347(4), 348(4), 349(2), 350(2), 351(3), 352(1)
354(2), 355*(2), 357*(1),358*(2), 361*(2).
3. № 362(2), 363(2), 364(4), 365(4), 366(2,6), 369(2),
371*(2,4), 373*(2,4),376*(2).
2. № 433(3), 438(2,4), 434(2.4,6), 436(2,4), 437(2,4),
439(2,6), 440(2,4), 440*(6),441*(2,4), 442*.
Задание 7(а).
Теорема Виета. Уравнения, сводящиеся к
квадратным. (см. Алимов 8. Гл.IV, § 29, § 30).
Сдать до 13.12.2014
1. № 450(2,4,6), 456(2,4,6), 455(2,4), 457(2,4,6,8), 458(4,6),
459*(2), 460*(4), 461*(4), 462*(2,4), 466*(1).
2. № 468(2), 469(4), 470(2), 471(2), 471*(4), 474*(2).
Задание 5(а).
Неполные квадратные уравнения. (см. Алимов 8.
Гл.IV, § 25-27). Сдать до 29.12.2014
Задание 8(а).
Решение задач с помощью квадратных
уравнений. (см. Алимов 8. Гл.IV, § 31).
1. № 402(4,6), 403(2), 407(3,6), 408(3,6), 417(2,3), 419(5,6). Сдать до 20.12.2014
2. № 409(2,6), 417(5,6), 410(3,6), 412*(2).
3. № 417(2,3.5).
4. № 418(5,6), 419(2), 420(2,4), 404(2,4), 406(2,5),
421*(2,4), 423*(2), 427*(2).
1. № 477, 478, 480, 481, 482, 483*, 484*, 485*, 486*, 491*.
Задание 9(а).
Решение простейших систем, содержащих
уравнение второй степени. (см. Алимов 8. Гл.IV,
§ 31). Сдать до 18.12.2014
1. № 492(4) – 497(4), 501*(2,4,6), 502*(2,4), 503*(2).
2. № 498, 499, 504*, 507*.
Диагностическая контрольная работа № 3.
Диагностическая контрольная работа № 4.
Геометрия
Задание 4g.
Прямоугольник. Гл.V, §1. п.39-41, §2. п.45.
Сдать до 15.11.2014
1.В прямоугольнике АВСD О - точка пересечения
диагоналей АС и ВD, < АОD = 60°, меньшая сторона ВС =
8см. Найдите: 1) < ОСD; 2) диагональ ВD.
2. В окружности с центром в точке О проведены диаметры
АС и ВD.
Докажите, что четырёхугольник
АВСD – прямоугольник.
3. Периметр прямоугольника АВСD равен 30см.
Биссектрисы углов А и D пересекаются в точке М,
принадлежащей стороне ВС. Найдите стороны
прямоугольника.
4. Перпендикуляры опущенные из точки пересечения
диагоналей прямоугольника на две его соседние стороны
равны 5см и 7см. Найдите периметр прямоугольника.
5. Расстояние от точки пересечения диагоналей
прямоугольника до его большей стороны на 5см меньше,
чем до меньшей стороны. Найдите стороны
прямоугольника, если его периметр равен 44см.
6. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана,
проведённая из вершины прямого угла равна половине
гипотенузы.
7*. В треугольнике АВС известно, что <С = 90°, АС = ВС
= 6см. Прямоугольник СМКN построен так, что точка М
принадлежит катету АС, точка N – катету ВС, а точка К –
гипотенузе АВ. Найдите РСМКN.
Задание 6(g).
Квадрат. Гл.V, §3. п.46. Сдать до 28.11.2014
1. Докажите, что прямоугольник, диагонали которого
перпендикулярны, является квадратом
2. На стороне ВС квадрата АВСD отметили точку К так,
что АК = 2ВК. Найдите <КАD.
3. Диагональ квадрата равна 4см. Его сторона
является диагональю второго квадрата. Найдите
сторону второго квадрата.
4. В прямоугольнике АВСD биссектрисы углов А и В
пересекают стороны ВС и АD в точках Е и К
соответственно. Докажите, что четырёхугольник АВЕК –
квадрат.
5. Постройте квадрат по его периметру.
6*. Вершины М и К равностороннего треугольника АМК
принадлежат сторонам ВС и СD квадрата АВСD.
Докажите что МК ǁ ВD.
Задание 7(g).
Средняя линия треугольника. Гл.VII, §3. п.62.
Сдать до 6.12.2014
1. Стороны треугольника равны 6см, 8см и 12см.
Найдите средние линии этого треугольника.
2. Докажите, что периметр треугольника, стороны
которого являются средними линиями треугольника АВС,
равен половине периметра АВС.
3. Докажите, что средние линии треугольника разбивают
его на четыре равных треугольника.
4. Докажите, что высота АМ ΔАВС перпендикулярна его
средней линии, соединяющей середины сторон АВ и АС.
5. Средняя линия равнобедренного треугольника,
параллельная основанию равна 6см. Найдите стороны
Задание 5(g).
Ромб. Гл.V, §3. п.46. Сдать до 22.11.2014
1. Докажите, что если две соседние стороны
параллелограмма равны, то он является ромбом.
2. В ромбе АВСD известно, что <С = 140°, а
диагонали пересекаются в точке О. Найдите углы
ΔАОВ.
3. Найдите периметр ромба АВСD,<А=60°, ВD=9см.
4. Найдите углы ромба, если его сторона образует с
диагоналями углы, которые относятся как 2 : 7.
5. Отрезки ВF и DЕ – высоты ромба АВСD.
данного треугольника, если его периметр равен 46.
6. Докажите, что середины сторон четырёхугольника
являются вершинами параллелограмма.
7*. Через вершины ΔАВС проведены прямые,
параллельные его сторонам. Эти прямые пересекаются в
точках А1, В1, С1. Докажите, что точки А , В, С делят
Стороны Δ А1В1С1 пополам.
Докажите, что BF = DE.
6. В ромбе АВСD точки Е и F – середины сторон ВС
и СD. Докажите, что <АЕ = <АF.
7. Угол между высотой и диагональю ромба,
проведенными из одной вершины, равен 42°. Найдите
углы ромба.
8*. На сторонах АВ и АD ромба АВСD отложены
равные отрезки АE и АF. Докажите, что <СЕF=<CFE.
Задание 7(g)
Трапеция. Средняя линия трапеции. Гл.V, §2. п.44.
Сдать до 13.12.2014
1. Периметр трапеции равен 49см, боковые стороны –
5,6см и 7,8см. Найдите основание трапеции, если одно из
них на 7,7см больше другого.
2. Найдите углы трапеции АВСD, прилежащие к боковой
стороне СD, если <С :< D = 8 : 7.
3. В равнобедренной трапеции угол между боковой
стороной и высотой, поведенной из вершины тупого угла,
равен 23°. Найдите углы трапеции.
4. Один из углов равнобедренной трапеции равен 60°,
боковая сторона равна 18см, а сумма оснований – 50см.
Найдите основания трапеции.
5. Диагональ равнобедренной трапеции образует с
основанием угол 32°, а ее боковая сторона равна
меньшему основанию. Найдите углы трапеции.
Задание 8(g)
Площадь прямоугольника и квадрата. Гл.VI, §1.
п.50. Сдать до 20.12.2014
1.Найдите площадь прямоугольника ABCD,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
2. Площадь прямоугольника равна 270см2, а его стороны
относятся как 5:6. Чему равны стороны прямоугольника?
3. Найдите площадь прямоугольника
,
если его периметр равен 18, и одна сторона на 3 больше
другой.
4. Найдите диагональ квадрата
, если его площадь равна 2.
5. Как изменится площадь и периметр квадрата, если его
6. Диагонали трапеции АВСD
диагональ увеличить в 4 раза?
пересекаются в точке О. Отрезки ОА и ОD равны.
6. Постройте квадрат, площадь которого равна сумме
Докажите, что АВ = СВ.
площадей двух данных квадратов.
7. Средняя линия трапеции равна 8см, а одно из оснований
7. Найдите периметр квадрата равновеликого (имеющего
– 5см. Найдите второе основание трапеции.
равную площадь) прямоугольнику со сторонами 2см и
8. Через вершину С трапеции АВСD проведена прямая,
32см.
которая параллельна боковой стороне АB и пересекает
8. Расход эмалевой краски на однослойное покрытие
большее основание АD в точке Е. ВС = 8см, ЕС = 5см.
составляет 180г на 1м2. Хватит ли 5л банки эмали, чтобы
Найдите среднюю линию трапеции АВСD.
покрасить стену длиной 6м и высотой 2,5м?
9. Средняя линия трапеции в 2 раза больше меньшего
9. Сторона прямоугольника равна 15см и образует с
основания и на 8см меньше большего основания. Найдите
диагональю угол 30°. Найдите площадь прямоугольника.
основания трапеции
10* .Средняя линия прямоугольной трапеции равна 12 см,
а высота, проведенная из вершины тупого угла трапеции,
делит ее основание на отрезки, длины которых относятся
как 3:2, считая от вершины прямого угла. Найдите
основание трапеции.
11*. Диагональ равнобедренной трапеции равна 14см и
образует с основанием угол 60°. Найдите среднюю линию
трапеции.
12*. Докажите, что если высота равнобедренной трапеции
равна ее средней линии, то диагонали трапеции
перпендикулярны.
__________________________________________________
Диагностическая контрольная работа № 2
1. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в
точкен О. Найдите угол между диагоналями, если
<АВО = 30°.
2. Диагонали ромба пересекаются в точке О. Найдите
углы ΔКОМ, если <МNP =80°.
3. Найдите периметр ромба АВСD, если <В = 120°.
4. В прямоугольной трапеции АВСD
диагональ АС перпендикулярна к
боковой стороне СD, <D = 30°. Найдите меньшее
основание трапеции, если большее основание равно
24см.
10. Середины сторон прямоугольника
,
диагональ которого равна 5, последовательно соединены
отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
11*. Как изменится площадь прямоугольника, если две его
противолежащие стороны уменьшить в 4 раза, а две
другие - в 2 раза.
12* В прямоугольнике
расстояние от
точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1
больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону
прямоугольника.
13*. Четырёхугольник АВСD – квадрат.
Отрезки МК и РЕ параллельны его сторонам. Пользуясь
рисунком, докажите формулу (а + в)2 = а2 + 2ав + в2.
Список литературы.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра 7. – М. «Просвещение» 2010.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра 8. – М. «Просвещение» 2010.
Атанасян Л.С. Геометрия 7 – 9. М. «Просвещение» 2010.
Мерзляк Г.А. Геометрия 7.-М. «Вентана-Граф» 2013.
Мерзляк Г.А. Геометрия 8.-М. «Вентана-Граф» 2013.
Мерзляк Г.А. Сборник задач и заданий для тематического оценивания
для 7 класса. Харьков. «Гимназия» 2010.
7. Мерзляк Г.А. Сборник задач и заданий для тематического оценивания
геометрии для 7 класса. Харьков. «Гимназия» 2010.
8. Мерзляк Г.А. Сборник задач и заданий для тематического оценивания
для 8 класса. Харьков. «Гимназия» 2010.
9. Мерзляк Г.А. Сборник задач и заданий для тематического оценивания
геометрии для 8 класса. Харьков. «Гимназия» 2010.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
по алгебре
по
по алгебре
по