Элективный курс по математике Неравенства. Методы доказательств Никифорова Н.С. г. Магнитогорск, МОУ « СОШ №5 УИМ» Пояснительная записка В общем курсе школьной математики присутствуют намеченные, но непроработанные вопросы, такие, как например свойства неравенств, их доказательство и применение. В рамках учебных занятий учащийся знакомится со свойствами неравенств и методами их решения в простейших случаях. В то время как указанные темы являются хорошим средством для обучения типичным методам научных исследований, таких как полный перебор вариантов, переход от частного к общему и др. Работа с неравенствами предполагает не только умение производить какие-то выкладки по заученным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий. На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств. В рамках данного курса, рассчитанного на учащихся 9 класса, рассматриваются неравенства Коши, Бернулли и некоторые другие, с которыми ученики не знакомы, различные методы доказательства неравенств, а также применение неравенств при решении задач различного рода (решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, задач на максимум-минимум, задач на доказательство и других). Не все рассматриваемые в курсе задачи носят алгебраический характер, присутствуют также задачи геометрического плана; задачи, связанные с комбинаторикой, теорией чисел. Весь этот набор задач подчеркивает связь различных разделов математики. Основные цели и задачи элективного курса: - повышение интереса ученика к изучению математики; - развитие математических способностей школьников; - развитие логического мышления учащихся; - формирование исследовательских навыков и умений; - формирование у учащихся умения пользоваться учебной литературой; - развитие математической интуиции при решении задач повышенной трудности; - формирование умений и навыков доказательства различного рода неравенств. О с н о в н ы е м е т о д ы о б у ч е н и я : частично-поисковый, проблемный, исследовательский. Формы учебных занятий Проблемные лекции, обзорные лекции, семинары, практические занятия, зачетные самостоятельные работы. Планируется организация разных форм деятельности учащихся: индивидуальной, групповой, коллективной. Занятия по введению нового материала могут проходить в форме обзорных лекций с разбором ключевых задач. Также предусмотрено проведение некоторых занятий в форме семинара, с предварительной подготовкой учащихся и самостоятельным поиском материалов с их последующим обсуждением. Характеристика содержания курса и его структура Программа курса состоит из ряда параграфов. Каждый параграф содержит некоторые теоретические сведения, а также набор задач на разобранные темы различных уровней сложности. Для каждого параграфа отобраны задачи для разбора подробного и обстоятельного решения, что существенно дополняет представленную теорию. Тем самым реализуется важный педагогический принцип – обучение через задачи. Отметим также, что программа курса содержит в основном новые для учащегося знания, не содержащиеся в базовой программе. Программа курса носит модульный характер. Можно менять независимые по содержанию модули-параграфы местами по усмотрению учителя. Инструментарий контроля образовательных достижений учащихся: самостоятельные зачетные работы. Планируемые результаты обучения Прошедшие курс учащиеся должны уметь доказывать как простейшие числовые неравенства, так и решать задачи повышенной сложности, в том числе геометрического содержания. Содержание и организация процесса обучения § 1. Простейшие неравенства. Основные свойства неравенств, изучаемые в курсе алгебры средней школы. Доказательство простейших неравенств. § 2. Использование метода Штурма Метод, предложенный немецким математиком Р.Штурмом, кроме различных приложений дает возможность провести оценку неравенств при наличии определенных условий. С помощью этого метода можно доказать ряд неравенств, а также решать задачи на оптимизацию с геометрическим содержанием. § 3. Метод использования соотношений между средними арифметическими, геометрическими, гармоническими и квадратичными Среднее геометрическое. Среднее гармоническое. Среднее арифметическое. Среднее квадратичное. Соотношения между указанными средними, обоснование этих соотношений. Использование рассмотренных соотношений при доказательстве неравенств. Задачи на нахождение максимальных и минимальных значений. Наибольшее и наименьшее значения функций. § 4. Применение метода математической индукции В данном параграфе рассматриваются различные схемы математической индукции применительно к доказательству неравенств. § 5. Метод использования свойств функции Наибольшее (наименьшее) значение функции на интервале (отрезке), возрастание (убывание) функции. Использование свойств функций при доказательстве неравенств. § 6. Геометрические неравенства Решение геометрических задач с использованием изученных тем, доказательство соотношений геометрического плана. Примерное распределение учебной нагрузки по темам 9 класс (1 час в неделю) . Всего 34 часа 3 4 5 6 Простейшие неравенства Использование метода Штурма Метод использования соотношений между средними арифметическими, геометрическими, гармоническими и квадратичными Применение метода математической индукции Метод использования свойств функции Геометрические неравенства Самостоят ельная зачетная работа 1 2 Содержание практикум № п/п лекция Учебное время 1 2 5 1 1 1 5 1 1 5 1 1 - 3 4 1 1 Дидактические материалы § 1. Простейшие неравенства. Дидактические цели и задачи: обобщить и систематизировать знания о неравенствах, их свойствах. Повторить способы доказательства простейших неравенств. Подготовить учащихся к изучению планируемых тем курса. Задачи для разбора. 1. a 2 b 2 2ab. 2. ab ab , где a, b 0. 2 3. ab 1 1 a b , где a, b > 0. a2 b2 a b . 2 2 4. 5. 2 ab 2 , где a,b > 0. 1 1 2 a b a2 b2 a b . 2 2 2 6. 7. a+b>1+ab, где a>1, b<1. 8. a 2 b 2 c 2 (a b c) 2 , где a>с, b<c. 9. a) a b 2 , где ab>0; b a б) a b 2 , где ab<0. b a § 2. Использование метода Штурма. Дидактические цели и задачи: дать учащимся представление о методе Штурма его и о возможностях применения, рассмотренный метод при доказательстве неравенств. научить применять Задачи для общего разбора Пример 1. Доказать, что если произведение положительных чисел x1, x2,…,xn равно 1, то x1+x2+…+xn n. Пример 2. Доказать, что если сумма положительных чисел x1, x2,…,xn равно 1, то x12 x22 ... xn2 1. 2. 3. 4. 1 n x1 ... xn n x1 ... xn , где х1, …, хn 0 n х12 ... х n2 x ... x n 1 . n n 1 x1 1 x2 ... 1 xn x1 ... xn n 1 , где х1, …, хn 0 и х1 + … + хn = 1. n 1 1 n , где х1, …, хn 1, n 2. ... n 1 х1 1 xn 1 x1 ... xn 5. abc bcd cda dab 1 176 abcd , где a, b, c, d 0 и a + b + c + d = 1. 27 27 § 3. Метод использования соотношений между средними арифметическими, геометрическими, гармоническими и квадратичными Дидактические цели и задачи: повторить понятия среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического и среднего квадратичного, показать возможности применения указанных средних для доказательства различных неравенств, выработать у учащихся необходимые навыки. Задачи для общего разбора 1. a ba cb c 8abc , где a, b, c > 0 2. a b c d b c d ac d a bd a b c a bb cc d d a, где a, b, c, d >0 3. abc a b ca c bb c a , где a, b, c >0 4. x 8 y 8 1 , если x+y=1 128 2 2 1 1 25 5. a b , если a, b >0 и a+b=1. a b 2 2 2 1 1 n2 1 6. x1 ... xn , если x1,…,xn>0 и x1+…+xn=1 x1 xn n 2 7. a 4 b 4 c 4 abc(a b c) 8. x 2 y 2 2 2 ( x y ) , если xy=1. 9. 6a1 1 ... 6a5 1 55 , если a1,…,a5>0 и a1+…+a5=1 10. 6a 4b 5c 5 ab 7 ac 3 bc , где a, b, c 0 3.13. 2(a 4 b 4 ) 17 16ab § 4. Применение метода математической индукции Дидактические цели и задачи: повторить метод математической индукции, рассмотреть различные схемы математической индукции, рассмотреть неравенства, при доказательстве которых удобно пользоваться методом МИ, формировать у учащихся умение использовать ММИ при доказательстве неравенств. Задачи для общего разбора 1. 1 1 1 11 ... , где n 1, n N 2n 1 2n 2 2n n 30 2. 1 1 1 2 ... 2 1 , где n 2,3,... 2 2 3 n 3. 4. x1 ...xn x1 ... xn n 1 x1 ...1 xn , где 1 x1 ... 1 xn n 0 xi 1 i 1,..., n 2 1 3 2n 1 1 , где n N ... 2 4 2n 3n 1 ... a 5. aa n 1 4a 1 , где a 0 2 6. 2 3 4... n 3 , где n 2 , n N § 5. Метод использования свойств функции Дидактические цели и задачи: обобщить и систематизировать имеющиеся теоретические знания о функциях и их свойствах, формировать умения использовать свойства функций при доказательстве неравенств. Задачи для общего разбора 1. a 2 b 2 c 2 a 2 b b 2 c c 2 a 1 , где 0 a, b, c 1 . 2. x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 1 , где 0 xi 1, i 1,2,3... 3. Докажите, что если неравенство ax 2 bx c 1 имеет место для всех чисел отрезка 1,1,то для этих x имеет место также неравенство cx 2 bx a 2 . 4. a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 1 4 a b 4 c 4 , где a, b, c - стороны некоторого 2 треугольника. 5. 1 a1 1 a2 ...1 an 1 a1 a2 ... an , где a1 , a 2 , …, a n 2 и числа a1 , a 2 , …, a n одного знака. § 6. Геометрические неравенства Дидактические цели и задачи: показать возможность применения изученных тем при решении задач с геометрическим содержанием, показать учащимся связь различных разделов математики, совершенствовать навыки решения задач. Задачи для общего разбора 1. На сторонах BC , AB и AC треугольника ABC даны соответственно точки D , E и F . При этом около четырехугольника AFDE можно описать окружность. Докажите, что 4 S DEF EF 2 . S ABC AD 2 2. Докажите неравенство ab bc ac 4 3S , где S - площадь треугольника со сторонами a , b , c . 3. Докажите неравенство: A2 A3 An1 An A1 An A1 A2 , где ... MA1 MA2 MA2 MA3 MAn1 MAn MA1 MAn M , A1 ,..., An - отличные друг от друга точки и n 3 . Когда имеет место равенство? 4. На плоскости даны два произвольных треугольника. Пусть P - сумма их периметров, а Q - сумма расстояний вершин одного треугольника от вершин другого. Докажите, что P Q . 5. Внутри квадрата с единичной стороной даны 1998 взаимно не пересекающихся кругов. Известно, что сумма их площадей не меньше 1 . 2 Докажите, что существует такая прямая, что сумма длин хорд, образовавшихся при пересечении этой прямой с кругами, не меньше 1 . 2 Задачи повышенной сложности 1. Для любых положительных чисел a1 , a2 ,..., an докажите неравенство: n 1 1 1 1 1 1 1 ...1 , где p n a1a 2 ...a n . p1 p a1 1 a1 a 2 1 a 2 a n 1 a n 2. Докажите для чисел a, b, c 0,1 неравенство a17 a10b 7 b17 b10 c 7 c17 c10 a 7 1 . 3. Даны положительные числа a, b, c и x, y, z , удовлетворяющие условию 1 1 1 a x b y c z 1 . Докажите неравенство abc xyz 3 . ay bz cx 4. Докажите, что для любого положительного числа x справедливо неравенство 2 x 9 9 x 8 9 x10 2 . 5. Для чисел a1 ,..., a10 и b1 ,...,b10 докажите неравенство a 2 1 a 22 ... a102 b12 b22 ... b102 a1b1 a 2 b2 ... a10b10 2 a1b2 a 2 b1 a3 b4 a 4 b3 a5 b6 a 6 b5 a 7 b8 a8 b7 a9 b10 a10b9 2 . Требования к результатам обучения §1. Простейшие неравенства Знать: основные свойства неравенств, понятие эквивалентных неравенств Уметь: доказывать простейшие неравенства. §2. Использование метода Штурма Знать: о методе Штурма, о различных приложениях метода Штурма. Уметь: проводить оценку неравенств с помощью метода Штурма, применять рассмотренный метод для доказательства неравенств, решать задачи с геометрическим содержанием. §3. Метод использования соотношений между средними арифметическими, геометрическими, гармоническими и квадратичными Знать: понятия среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического, среднего квадратичного, о соотношениях между рассмотренными средними. Уметь: доказывать соотношения между рассматриваемыми средними, использовать данные соотношения при решении задач. §4. Применение метода математической индукции Знать: принцип математической индукции, различные схемы метода математической индукции. Уметь: доказывать неравенства, используя метод математической индукции. §5. Метод использования свойств функции Знать: свойства функций, теоремы о свойствах возрастающей и убывающей на промежутке функции. Уметь: применять изученный материал при решении различного рода задач. §5. Геометрические неравенства Знать: свойства геометрических фигур, теоремы планиметрии курса 7-9 классов. Уметь: решать задачи геометрического содержания, сводящиеся к доказательству неравенств. Инструментарий контроля образовательных достижений учащихся. Самостоятельные зачетные работы Самостоятельная зачетная работа №1. Простейшие неравенства. 1. 1 2 1 2 4 1 2 4 6 100 1 ... ... 1 3 3 5 3 5 7 3 5 7 101 103 2. 1 a 1 b a b 1 1 , где 0 a , 0 b 1 b 1 a b a 2 2 3. 1 a (1 a ) a a n i 1 1 n i i 1 n i i 1 1 n i i 1 i , где 0 ai 1 2 4. x y 1 xy , где x 1, y 1 5. a b c 2 2 2 , где a, b, c > 0 bc ca ab a b c Самостоятельная зачетная работа №2. Использование метода Штурма. 9 x2 y2 z2 , где x y z xyz , x, y, z 0 . 4 1 x1 1 x2 1 xn n 2. ... n 1 . x1 x2 1 xn 1. 9 xy yz zx 3. Докажите, что из всех выпуклых n -угольников, вписанных в данную окружность, наибольшей будет площадь правильного n угольника. 4. Докажите, что из всех выпуклых многоугольников, вписанных в данную окружность, наибольшей является сумма квадратов сторон правильного треугольника. Самостоятельная зачетная работа №3. Метод использования соотношений между средними арифметическими, геометрическими, гармоническими и квадратичными. Докажите следующие неравенства: 1. a ba cb c 8abc , где a, b, c 0 . 1 , если x y 1 . 128 3. a 4 b 4 c 4 abca b c . 2. x 8 y 8 x y 2, 4. Решать систему уравнений: 2 xy z 1 xy xz yz 5. Решить в целых числах уравнение 3. z y x Самостоятельная зачетная работа №4. Применение метода математической индукции. Доказать следующие неравенства: x2 x3 x 2k 1. 1 x ... 0, k N . 2k ! 2! 3! 2. 1 2 2 33 ...n n 2n!, где n 5 , n N . 1 1 1 n 3. , где a, b 0 и n N . ... a b a 2b a nb aa nb n 1 4. n nk 2 k 1 1 k 1 4 , где n 2 , n N . k 1 k k2 5. 1 1 2 , где k , n N и k 12 n . n 2n n Самостоятельная зачетная работа №5. Метод использования свойств функций. 1. Известно, что 0 p 1 , 0 r 1 и что также имеет место тождество px 1 p y rx 1 r y ax 2 bxy cy 2 . Докажите, что одно из чисел a , b , c не меньше 4 . 9 2. Доказать неравенство a 2 b 2 c 2 a 2 b b 2 c c 2 a 1. 3. Докажите неравенство a b c 2 4ab bc ac , где a , b , c - стороны некоторого треугольника. Самостоятельная зачетная работа №6. Геометрические неравенства. 1. Внутри угла задана точка M . Проведите через точку M прямую так, чтобы площадь треугольника, ограниченного этой прямой и сторонами угла, была наименьшей. 2. Докажите, что если длины трех биссектрис треугольника меньше 1, то его площадь меньше 3 . 3 3. Внутри квадрата со сторонами равными 1 заданы квадраты со сторонами a и b , не имеющие общих точек. Докажите, что a b 1 . 4. Докажите, что для любых точек A , B , C , D , E , F имеет место неравенство 2AB 2 BC 2 CD 2 DE 2 EF 2 FA2 AD 2 BE 2 CF 2 . Критерии оценки Самостоятельные зачетные работы оцениваются по системе «зачет» «незачет». «Зачет» выставляется при решении 2 и более задач по каждой теме. При необходимости можно предусмотреть и выставление оценок. Информационное обеспечение 1. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. – М.: МЦНМО, 2002 2. Берлов С.Л., Иванов С.В. Кохась К.П. Петербургские математические олимпиады. – СПб.: Издательство «Лань», 2003 3. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Задачник-практикум по алгебре. – М.:Школа-Пресс, 1995 4. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 5. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. – Мн.:Полымя, 1998 6. Школьные математические олимпиады/ Сост. Н.Х.Агаханов, Д.А.Терешин, Г.М.Кузнецова. – М.: Дрофа, 2002 7. Журналы «Квант», «Математика в школе». 8. Ресурсы Internet: сайт mccme.ru.