Вопросы к зачету по курсу математики

Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет №1
1. Множество. Способы задания множеств. Подмножество множества. Мощность множества.
Привести примеры.
2.Аксиомы скалярного произведения. Доказать неравенство Коши-Буняковского.
α
6 sin α  7 cos α  1
3.Вычислить
, если tg  4 .
8 sin α  9 cos α  1
2
4.При каких значениях параметров a и b прямые ax  by  1  0 ,  3x  2 y  5  0 и x  1  0
проходят через одну точку?
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 2
1. Операция пересечения множеств. Доказать коммутативность и ассоциативность пересечения
множеств, а также дистрибутивность пересечения относительно объединения множеств.
2. Скалярное произведение векторов в векторной форме. Вычисление косинуса угла между
векторами. Примеры.
1cos 2α sin2α
 tg α .
1cos 2α sin2α
4.При каком значении a многочлен x1000  ax  9 делится нацело на x  1 ?
3. Доказать тождество:
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 3
1. Операция объединения множеств. Доказать коммутативность и ассоциативность объединения
множеств, а также дистрибутивность объединения относительно пересечения множеств.
Привести примеры.
2.Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата. Решение квадратных уравнений. Привести
примеры.
3.Пусть A2,1 , B1,1 , C0,2 , а точка M - основание высоты AM в ABC . Найти cos  MAC .
4.Многочлен степени m  4 при делении на x  1 дает в остатке число 2, при делении на x –
число 3, а на x  2 делится нацело. Найти остаток от деления этого многочлена на
x   x  1   x  2  .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 4
1. Универсальное множество. Операция дополнения множеств. Доказать дистрибутивность
относительно объединения множеств. Привести примеры.
2. Аффинное пространство. Доказать теорему о существовании и единственности разложения
вектора по произвольному базису.
3. Найти sin 3 α - cos3α , если sin α - cosα  a .
4.Пусть f ( x )  sin x , а g ( x )  1  2 x 2 . Найти суперпозиции f  g и g  f .Будут ли эти функции
периодичны?
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 5
1. Упорядоченная пара. Операция декартова произведения множеств. Ее свойства. Привести
примеры.
2. Аффинное пространство. Базис и размерность аффинного пространства. Привести примеры
аффинных пространств различной размерности. Доказать теорему о разложении радиуса-вектора
точки, делящей отрезок в данном отношении.
3. Доказать иррациональность tg10.

4.Решить уравнение: x 2  2 x

2
 2  2x  x2 .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 6
1. Декартов квадрат множества. Дать определение понятия отношения между элементами
множества и сформулировать свойства отношения. Привести примеры.
2. Доказать прямую и обратную теоремы Виета для квадратного трехчлена.
3. Найти уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника, параллельную стороне
[AB] треугольника ABC, если A0,1 , B 1,2, C 3,1 .
π
2π
4π
4.Вычислить значение выражения: cos  cos  cos
.
7
7
7
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 7
1. Соответствие между множествами. Способы задания соответствий. Область определения и
множество значений соответствия. Образ и прообраз элемента. Привести примеры.
2. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата. Исследование графика квадратного трехчлена по его коэффициентам. Сформулировать и доказать свойства квадратичной функции.




3. Даны векторы p и q : p  3 , q  1,  p, q  450 . Найти cos  a, b , если a  p  q , и
b pq.
4.При каких значениях а и b выполнено неравенство ( a  b ) / 2 
ab ?
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 8
1. Перечислить виды соответствий. Привести примеры. Функциональное соответствие.
2. Измерение углов. Обобщение понятия угла. Направленные углы. Числовая окружность.
Дать определения основных тригонометрических функций.
1
1
1
n

 ... 

3. Доказать формулу:
.
23 3 4
( n  1)  ( n  2) 2  ( n  2)
x
4.Найти период функции y  tg  cos3x  1 .
2
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 9
1. Обратное соответствие и обратная функция. Сформулировать необходимое и достаточное
условие обратимости функции. Доказать признак обратимости функции.
2. Сформулировать необходимые и достаточные условия (критерии) расположения корней
квадратичной функции на числовой оси относительно данного числа а: оба корня больше
числа а, оба корня меньше числа а, корни располагаются по разные стороны от числа а.
3.
Даны векторы
pи q:
p  2 , q  1,
  p, q   30 .
0
Найти площадь треугольника,
построенного на векторах a  p  q и b  p  q .
x
1
4.Найти t g , если sin x  cos x  .
2
5
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 10
1. Действительная функция одного действительного переменного. Сформулировать свойства
функции: монотонность, ограниченность, четность, периодичность. Привести примеры.
2. Доказать теорему Безу. Вывести следствия из теоремы Безу.
3. Доказать тождество: sin 6   cos6   53cos 4 .
8
4. Через точку М, лежащую на расстоянии ρ от центра окружности, радиусом R ( ρ>R) проведена
прямая, пересекающая окружность в точках А и В. Доказать, что произведение |MA|·|MB| равно
квадрату длины отрезка касательной прямой к этой окружности, проходящей через точку М.
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 11
1. Доказать теорему о графике линейной функции от одной переменной. Вывести уравнение
прямой, проходящей через две данные точки на плоскости. Вывести формулу для угла между
прямыми. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности прямых.
2. Действия над многочленами. Сформулировать алгоритм деления многочленов с остатком.
3. Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма ABCD , если заданы его вершины:
A2,1,3 , B5,2,1 , C 3,3,3 .
4.Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
условию: | x 2  xy  y 2 || x 2  xy  y 2 | .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 12
1. Дать определение периодической функции. Доказать теорему об основном периоде функции
f (ax ) , если известен основной период функции f ( x ) .
2. Аксиомы связи. Правило треугольника сложения векторов. Доказать теорему о независимости
суммы векторов от начальной точки.
3. Решить неравенство: x  1  x  1  3x  2 .
4. Пусть A(3,1), B (3,7) . Найдется ли на оси Oy такая точка M , что прямая  AM  перпендикулярна прямой BM  ? Сколько решений имеет задача?
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 13
1. Функция y  sin x . Доказать свойства и построить график.
2. Аксиомы связи. Доказать коммутативность сложения векторов. Правило параллелограмма.
3. Решить уравнение: x 6  2x 5  2x 4  2x 3  x 2  4x  4  0 .
4.При каких значениях параметра a прямые l1 : 2 x  y  1  0 и l2 : 3x  ay  0 взаимно перпендикулярны?
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 14
1. Функция y  cos x . Доказать свойства и построить график.
2. Аксиомы связи. Доказать ассоциативность сложения векторов.
3. Найти наибольшее расстояние между точками двух кругов, лежащих в общей плоскости, с
центрами в точках О1, О2 и радусами R1, R2 cоответственно, если: а) ρ(О1,О2)>R1+R2;
б) ρ(О1,О2)<R1+R2.
4.Доказать что при всех n>2 выполнено равенство: (1 
1
1
1
n 1
2
3
n
2n
)(1 
2
)...(1 
2
)
2
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
.
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 15
1. Функция y  tg x . Линия тангенсов. Доказать свойства и построить график.
2. Аксиомы умножения вектора на число. Доказать теоремы о нулевом и противоположном
векторах.
3. Найти координаты основания высоты треугольника, опущенной из вершины B , если
A 1,2,4, B 4,1,2 , C 5,6,4 .


4.Доказать, что уравнение a 2  b 2 x 2  2a  b x  2  0 не имеет действительных корней, если
a  b.
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2004-2005 учебный год
Билет № 16
1. Функция y  ctg x . Доказать свойства и построить график.
2. Аксиомы умножения вектора на число. Понятие направления. Отношения сонаправленности,
противонаправленности и коллинеарности векторов.
3. Написать уравнение прямой l, проходящей через точку пересечения прямых l1: 2 x  3 y  5  0 и
l2: x  y  1 и перпендикулярной первой прямой.
4.Определить знаки коэффициентов а и с , если уравнение ax 2  bx  c  0 не имеет действительных корней и a  b  c  0 .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 17
1. Модуль числа. Доказать неравенство о модуле суммы.
2. Аксиомы размерности. Альтернативные определения линейной зависимости векторов. Доказать
их эквивалентность.
3. Сравнить cos 6,9 π и cos 7,1 π .
4. Доказать, что для любых векторов a , b , c векторы a  b , b  c и c  a компланарны.
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 18
1. Аксиомы связи. Правило вычитания векторов. Доказать существование и единственность
разности векторов.
2. Периодические функции. Доказать теорему о периодичности сложной функции.
3. Доказать, что если А, B – множества, то A  B  Ø тогда и только тогда, когда A=Ø и B=Ø.
4.Решить уравнение: 2x 5  3x 4  5x 3  5x 2  3x  2  0 .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 19
1. Модуль числа. Доказать неравенство о модуле разности двух чисел.
2. Аксиомы размерности. Доказать теорему о линейной независимости любой подсистемы
линейно независимой системы векторов.
3. Найти значения параметра a , при которых все решения уравнения ax 2  2 1  a  x  a  0
удовлетворяют условию: x  2 .
4. Найти графически все значения а, прикоторых система уравнений
 x 2  y 2  4,
 y  a | x | имеет три

решения. Найти эти решения.
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 20
1. Четные и нечетные функции. Доказать теоремы о четности (нечетности) суммы, произведения и
частного функций.
2. Аксиомы размерности. Доказать теорему о линейной зависимости системы векторов, содержащей линейно зависимую подсистему. Сформулировать следствия.
3. Вектор x перпендикулярен векторам a1  2, 3,1 , a2 1, 2,3 . Скалярное произведение
 x, i  2 j  k   10 . Найти координаты вектора x .
4.Доказать тождество: 1  2 cos 7α 
sin10,5 α
.
sin3,5 α
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 21
1. Периодические функции. Доказать, что всякий период периодической функции кратен
основному.
2. Аффинное пространство. Координаты суммы векторов, а также вектора, умноженного на число.
3. При каком значении λ векторы a  λ,3,1 , b  5, 1,2  и c  1,5,4 компланарны?.
4. Пусть x1 и x 2 - корни уравнения x 2  a  1x  a  2  0 . Найти x14  x 24 .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 22
1. Доказать теоремы сложения для тригонометрических функций.
2. Аксиомы скалярного произведения. Длина вектора. Угол между векторами.
3. Найти числа a, b и c, если многочлен 4 x 4  21x 2  5x  9 при делении на x 2  x  а дает частное
4 x 2  bx  17 и остаток 14x  с .
4.Доказать, что для любых векторов a , b и c векторы a  b , b  c и c  a компланарны.
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 23
1. Вывести формулы универсальной тригонометрической подстановки («боевые формулы»
тригонометрии).
2. Аксиомы скалярного произведения. Понятие расстояния между точками. Доказать свойства
расстояния.
3. Определить знаки корней уравнения 3ax 2  23a  2x  3a  1  0 в зависимости от параметра.
4.В трапеции ABCD : BC    AD (λ задано). Доказать, что AC  BD  μ  AD и найти μ .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 24
1. Вывести формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
2. Проекция вектора на вектор. Доказать теоремы о проекции суммы векторов и проекции
вектора, умноженного на число.
3. При каких значениях параметра a все корни уравнения 2a  1x 2  3  a x  1  0 меньше 2?
4.Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
условию: ( x 2  y 2  9) x  0.
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 25
1. Вывести формулы для произведения тригонометрических функций.
2. Аксиоматика Г. Вейля - П.К. Рашевского построения геометрии. Основные понятия, отношения
и группы аксиом.
3. В треугольнике ABC : A3,2,1 , B3,1,5 , C4,0,3 . Вычислить расстояние от начала координат
до точки пересечения медиан треугольника ABC .
4.Сколько решений имеет уравнение x  2  ax при различных значениях параметра?
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 26
1. Вывести тригонометрические формулы понижения степени.
2. Ортогональные системы векторов. Доказать линейную независимость ортогональной системы
векторов.
3. Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон: K 2,4 ,
M 6,1 , N  2,3 .
4.Может ли уравнение 2 x  4  a  x иметь три корня? Если может, то при каких значениях
параметра a ?
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 27
1. Функциональные соответствия. Область определения и множество значений функции. Сложная
функция. Привести примеры.
2. Понятие простого корня и кратного корня многочлена. Доказать теорему о целом и рациональном корнях многочлена с целыми коэффициентами. Сформулировать основную теорему алгебры.
3. Определить координаты концов отрезка, который точками С2,0,2 и D5,2,0 разделен на три
равные части.
4.Методом математической индукции доказать, что 7 n  1 делится на 6 при любом n .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 28
1.Связь между корнем многочлена и делимостью его на линейные множители. Методом неопределенных коэффициентов вывести схему Горнера. Привести примеры.
2. Аксиоматический метод. Основные понятия и отношения. Независимость, полнота и непротиворечивость системы аксиом.
3.Найти вектор x , направленный по биссектрисе угла между векторами a  7i  4 j  4k и
b  2i  j  2k , если x  5 6 .
4.Вычислить без помощи таблицы и калькулятора tg
11π
5π
 tg
.
12
12
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 29
1. Ввывести формулу скалярного произведения векторов в ортонормированной системе
координат.
2. Вывести формулы двойных и половинных углов.
3. Методом математической индукции доказать тождество
2
 n(n  1) 
1  2  3  4  ...  n  
, n  N.
 2 
3
3
3
3
3
4. Пусть [ AM ] – медиана треугольникa ABC , причем | AM | 2 , | AB | 3 ,  MAB  300 .
Найти  MAC .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 30
1. Степень с целым показателем. Степенная функция с целым показателем. Доказать свойства и
построить графики степенной функции с четным и нечетным показателями.
2. Доказать теорему о разложении радиуса-вектора точки, делящей отрезок в данном отношении.
3. Решить уравнение: x 3 
1
1

 6 x   .
3
x
x

4.Доказать неравенство cos 2  cos 8  0 .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 31
1. Арифметический и алгебраический корень. Привести обоснование их существования.
Степенная функция y  n x , сформулировать ее свойства и построить график в случае четного
и нечетного n.
2. Дробно-рациональная функция. Правильная и простейшая рациональные дроби. Теорема о
представлении рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Записать
общий вид разложения правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Привести
примеры.
3. Найти промежутки монотонности функции y  x  1.
4. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
условию: ( x 2  y 2  9)  ( xy  6)  0.
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 32
1. Степенная функция с рациональным показателем.Сформулировать свойства степени с рациональным показателем.
2. Декартова система координат. Доказать, что в декартовой системе координаты вектора суть
проекции этого вектора на оси.
3. Найти высоту AM в треугольнике ABC , если AB  (3,0, 2) , а AC  (1,1,1) .
4. Доказать неравенство: sin 6 x  cos6 x  0,25 .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 33
1. Доказать теорему о разложении на линейные множители квадратного трехчлена.
2. Периодические функции. Доказать теорему о периодичности суммы, произведения и частного
периодических функций.
3. Изобразить геометрическое место точек М(p,q) на координатной плоскости Opq, для которых
уравнение x 2  2 px  q  0 имеет корни x1, x2, такие, что x12  x22  2.
4.Решить неравенство: 3x 3  2x 2  2x  3  0 .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.
Зачет по общему курсу математики в 10 классе
1-й семестр
2006-2007 учебный год
Билет № 34
1. Показательная функция. Сформулировать ее свойства и построить график.
2. Векторное произведение векторов. Сформулировать свойства векторного произведения.
3. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x 2  8x  2a  0 втрое меньше
другого.
4.Вычислить sin 2000  sin 3100  cos 3400  cos 500 .
Зав. кафедры «Основы математики и информатики»
Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 7 декабря 2006 года
Граськин С.С.