Упражнения по вект. алгебре(без линейных пространств)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Доказать тождество:
( x, a ) ( x, b) ( x, c )
а) ( a, b, c )  ( x , y, z )  (y, a) ( y, b ) ( y, c ) ;
( z, a ) ( z, b ) ( z, c )
( a, a ) ( a, b ) ( a, c )
б) ( a, b, c )  (b, a) ( b, b ) ( b, c ) .
( c, a ) ( c, b ) ( c, c )
2
a1 a2 a3
2. Доказать, что b1 b2 b3  ( a12  a22  a32 )  ( b12  b22  b32 )  ( c12  c22  c32 )
c1 c2 c3
3. Даны ненулевой вектор a и скаляр p . Найти любое решение уравнения ( x , a )  p . (Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной; так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).
Ответ: x  pa / | a |2 .
4. Даны два вектора a и b . Представить вектор b в виде суммы двух
векторов x и y , так, чтобы вектор x был коллинеарен вектору a , а
вектор y был ортогонален вектору a .
5. Даны два неколлинеарных вектора a и b . Найти вектор x , компланарный векторам a и b и удовлетворяющий условиям ( a, x )  1,
( b, x )  0 .
6. Даны три некомпланарных вектора a , b и c . Найти вектор x , удовлетворяющий системе уравнений ( a, x )   , ( b, x )   , ( c, x )   .
 [b, c ]   [c, a ]   [a, b]
Ответ: x 
.
( a, b, c )
7. Даны неколлинеарные векторы a и b и скаляр p . Найти любое решение уравнения ( x , a, b)  p . (Подсказка: вектор характеризуется
направлением и длиной; так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).
Ответ: x  p[a, b] / | [a, b] |2 .
1
8. Доказать, что векторы a , b , c ,
[a, b]  [b, c ]  [c, a ]  0 , компланарны.
удовлетворяющие условию
9. Векторы a , b и c удовлетворяют условию a  b  c  0 . Доказать,
что [a, b]  [b, c]  [c, a].
10. Доказать, что если три вектора a , b и c попарно неколлинеарные и
[a, b]  [b, c]  [c, a], то они удовлетворяют соотношению a  b  c  0 .
(Подсказка: покажите сначала, что векторы a , b и c компланарны).
11. Даны произвольные векторы p , q , r , n . Доказать, что векторы
a  [p, n] , b  [q, n] и c  [r, n] компланарны.
12. Доказать, что если векторы [a, b] , [b, c] , [c, a] компланарны, то они
коллинеарны.
130. Три вектора a , b и c связаны соотношением a  [b, c], b  [c, a] ,
c  [a, b]. Найти длины векторов и углы между ними.
Ответ: векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.
14. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням тетраэдра,
равных по модулю площадям этих граней и направленных в сторону
вершин, противолежащих граням, равна нулю.
15. Могут ли отличные от нуля числа x 1 , x 2 , x 3 , y1 , y 2 , y 3 , z1 , z 2 . z3
удовлетворять системе уравнений
x 1x 2  y1 y 2  z1z2  0
x 1x 3  y1 y 3  z1z3  0

x 3 x 2  y 3 y 2  z 3 z 2  0

 x 1 y1 z1
 x 2 y2 z2  0
 x 3 y 3 z3
16. Даны три некомпланарных вектора OA  a , OB  b , OC  c , отложенных от одной точки O . Выразить через a , b и c вектор OH ,
где H – ортогональная проекция точки O на плоскость ABC .
( a, b, c )
 [b, c ]  [c, a ]  [a, b] .
Ответ: OH 
([b, c ]  [c, a ]  [a, b])2
2
17. Решить уравнение [b, c ]x  [c, a ]y  [a, b]z  d  0 .
Ответ: x  ( d, a ) /( a, b, c ) , y  ( d, b) /( a, b, c ) , z  ( d, c ) /( a, b, c ) .
18. Доказать тождество ([a, b],[c, d]) 
( a, c ) ( a, d )
.
( b, c ) ( b, d )
19. Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах a
( a, a ) ( a, b )
и b равна
.
S
( b, a ) ( b, b)
20. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b
и c равен
( a, a ) ( a, b ) ( a, c )
V  (b, a) ( b, b) ( b, c ) .
( c, a ) ( c, b) ( c, c )
3