Ответ: -1

Выполнила: Ибрагимова Вилена Рашитовна, ученица 11 класса МОБУ СОШ
с. Севадыбашево, Буздякский район, Республика Башкортостан.
Руководитель: Учитель математики Рамазанова Альбина Фановна.
11 класс
1. Решить
уравнение x  2  4  x  x 2  6  x  11
Решение: a(a+1)(a+2)(a+3)+1
a4+6a3+11a?+6a+1
(a?+Xa+Y)(a?+Za+W)
a4+(Z+X)a3+(W+XZ+Y)a?+(XW+YZ)a+YW
Z+X=6
W+XZ+Y=11
XW+YZ=6
YW=1
1) Y=W=1
2) Y=W=-1
Выберем 1-ый вариант:W=1, Y=1
Y+Z=6
XZ=9
X+Z=6
ОТВЕТ:X=3, Z=3
(a?+3a+1)(a?+3a+1) что и требовалось доказать.
2. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных
чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.
Решение: Пусть это 4 последовательных числа: n;n+1;n+2;n+3;
Тогда
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n?+3n)(n?+3n+2)+1=
(n?+3n)?+2(n?+3n)+1=(n?+3n+1) ?
3. Дано четыре положительных числа a, p, c, k, произведение которых
равно 1. Доказать, что a 2  p 2  с 2  k 2  ap  ac  pc  ak  pk  ck  10
4. Без помощи таблиц установите, какое из чисел log 3 7 или log 7 27
больше?
Ответ:
log 7 27
5. Решите уравнение: 2 x  3 x 
5
6
Ответ: -1
6. Укажите момент времени, когда впервые после полуночи угол между
минутной и часовой стрелкой будет равным 1°, при том, что минутная
стрелка показывает целое число минут.
Решение. Пусть в х час у мин угол между часовой и минутной
стрелками
составляет
1 . По условию
у – это целое
положительное натуральное число, а х – целое число по смыслу
задачи. За х часов часовая стрелка повернется на угол 30 х
градусов. За у минут – еще на ( ) , ( за 1 мин часовая стрелка
повернется на ). Минутная стрелка за
у мин повернется на (6 у) , но может «обогнать» часовую или
наоборот, отстать от нее на 1 . В результате получим
уравнение:
| 30х + | = 1 или 60х – 11у = ± 2.
Требуется найти наименьшее значение х, удовлетворяющее этому
уравнению. При х = 1, 2, 3 целых значений у, удовлетворяющих
уравнению, нет, а при х = 4 получается у = 22.
Ответ: 4 часа 22 минуты
7. Существует ли многогранник с нечетным числом граней, все грани
которого – многоугольники с нечетным числом сторон?
Решение: Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1,
2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма
всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит
нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно.
Получили противоречие. Значит, такого многогранника не
существует.
ОТВЕТ: НЕТ НЕ СУЩЕСТВУЕТ!
8. Почему крупную картошку чистить быстрее, чем мелкую?
Ответ: 1 крупная картошка примерно равна 2-м маленьким.
Нужно сравнить площадь поверхности одной большой и 2-х
маленьких. Наверняка площадь поверхности 2-х маленьких будет
больше. Поэтому и чистить дольше.
9. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке M.
Известно, что АМ=1, BM=2, СМ=4. При каких значениях DM
четырехугольник ABCD является трапецией?
Решение: Четырехугольник ABCD является трапецией, если DM
равно 8 или 0,5. Возможны два варианта: основаниями трапеции
являются стороны AB и CD или AD и BC. Рассмотрим первый
случай: ∆ АМВ должен быть подобен ∆ СМD, откуда AM : MC =
BM : DM, DM = 8. Во втором случае подобными треугольниками
будут AMD и BMC. Тогда AM : MC = BM : DM, откуда DM = 0,5.
ОТВЕТ: При значении DM = 0,5.
10. Медиана ВК и биссектриса CL треугольника АВС пересекаются в
точке Р. Доказать равенство
PC AC

 1.
PL BC