В отличие от учебника

Государственное бюджетное образовательное учреждение
Гимназия №1567
Проектная работа по геометрии.
В отличие от учебника.
Новые доказательства теорем школьного курса.
Автор работы: Леликов Филипп Сергеевич
9 биолого- математический класс
Научный руководитель: Такуш Елена Валентиновна,
заместитель директора по учебной работе,
преподаватель математики.
Москва 2012
1
Оглавление
Тезисы…………………………………………………………….3
Доказательства теорем…………………………………………..5
Заключение……………………………………………………….14
2
Тезисы
Тип работы: Проект.
Актуальность проекта состоит в возможности развитияличностныхнавыков
нахождения геометрических доказательств, нестандартного применения
знаний по геометрии.
Область исследования: геометрия.
Предмет исследования: теоремы школьного курса геометрии (учебник
авторского коллектива под ред.Л.С. Атанасяна).
Цель исследования: нахождение новых доказательств теорем школьного
курса геометрии.
Задачи исследования:
 повторить доказательства теорем в учебнике геометрии (авторы
Атанасян Л.С и др.);
 рассмотреть теоремы об окружностях и дугах окружности,
треугольниках, площадях и т.д., найти новые доказательства теорем;
Методы исследования:
 знаковое моделирование,
 анализ и синтез;
 сравнение;
 обобщение понятий.
Использованная литература:
1) Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 класс, учебник для общеобразовательных
учреждений. - М.: Дрофа, 2004.
2) Антанасян Л.С. и др.Геометрия 7-9 класс:, учебник для
общеобразовательных учреждений. Просвещение 2010.
3) АнтанасянЛ.С. и др. Геометрия: дополнительные главы к школьному
учебнику 8 класс: М.:Просвещение, 1996.
3
Доказательства теорем.
1. Теорема об угле между пересекающимися хордами.
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг,
которые высекают эти хорды.
Доказательство:
Дополнительное построение: проведуHB∥CD(хорды)
1
Рассмотрю  ABH-вписанный;  ABH=2 ∪HCA
Тогда ∪HCA=∪CA+∪CH;
1
2
1
1
2
2
∪HCA= ∪CA+ ∪CH
1
Значит  CОA= (∪HC+∪CA)
2
∪CH=∪DB (по свойству параллельных хорд)
1
Следовательно,  CОA=2(∪CA+∪BD)
4
2. Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике.
Квадрат высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к
гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
Доказательство:
Продлим высоту AHдо пересечения сокружностью.
Тогда AH=HK (по свойству диаметра, перпендикулярного хорде)
иAH∙HK=BH∙HC (по свойству пересекающихся хорд)
Из этого следует, что AK=HK.
Значит, BH ∙ CH = 𝐴𝐻2
5
3.Теорема о точке пересечении высот треугольника.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Дополнительное построение СН1, АН2, ВН3– высоты.
Рассмотрю ∆ABH3~∆AH1C (∠A-общий; ∠Н1=∠Н3)
Запишу отношение сходственных сторон:
𝐴𝐵 𝐻3𝐵 𝐴𝐻1
=
=
𝐴𝐶 𝐻1𝐶 𝐴𝐻3
a) Рассмотрю∆AH1H3~∆ABC (по двум углам)
Запишу отношение сходственных сторон:
𝐴𝐻1 𝐴𝐻3 𝐻1𝐻2
𝐴𝐶
=
𝐴𝐻1
=
𝐵𝐶
Значит, ∠A=∠Aи∠H1H3A=∠Bи∠AH1H3=∠C
б)Рассмотрю ∆BH2H1~∆ABC (∠B=∠B;∠BH1H2=∠C) Запишу отношение
сходственных сторон:
𝐵𝐻2 𝐵𝐻1
=
𝐴𝐵
𝐵𝐶
в)Рассмотрю∆H2H3C=∆ABC(∠C=∠C;∠CH2H3=∠A)
6
Аналогичнозапишу отношение сходственных сторон:
𝐶𝐻3 𝐻2𝐶
=
𝐵𝐶
𝐴𝐶
г)∠BH1H2=∠H3H1A. Следовательно,∠H2H1C=∠B
∠BH2H1=∠CH2H3. Следовательно,∠H1H2A=∠H3H2A
∠H2H3C=∠H1H3A. Следовательно,∠H1H2A=∠H3H2B
Значит, высоты данного треугольника для ортоцентрического треугольника
являются биссектрисами, следовательно, они пересекаются в одной точке.
7
4. Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторон.
Доказательство:
1)Дополнительное построение DH2 и DH1–высоты.
По свойству биссектриссы углаDH1=DH2
𝒮∆ABD=0.5DH1∙AB
𝒮∆ADC=0.5DH2∙AC
𝒮∆𝐴𝐵𝐷 0.5𝐷𝐻1 ∙ 𝐵𝐷 𝐵𝐷
=
=
𝒮∆𝐴𝐷𝐶 0.5𝐷𝐻2 ∙ 𝐴𝐶 𝐴𝐶
2)Дополнительное построение AH3 – высота.
𝒮∆ADB=0.5AH3∙BD
𝒮∆ADC=0.5AH3∙DC
𝒮∆ADB
𝒮∆ADC
0.5AH3∙BD
𝐵𝐷
= 0.5AH3∙DC = 𝐷𝐶 ; Итак,
𝐵𝐷
𝐶𝐷
𝐴𝐵
= 𝐴𝐶 .
8
5. Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторон.
Доказательство:
1)Дополнительное построениеBH2=CH1 (высоты).
2)Рассмотрю ∆ABH2~∆AH1C (по двум улам: ∠H1=∠H2(так как BH2=CH1
высоты).
Отношение сходственных сторон:
𝐵𝐻2
𝐶𝐻1
=
𝐴𝐵
𝐴𝐶
Рассмотрю ∆BH2D~∆DH1C (подвумуглам:∠H2=∠H1 и ∠BDH2=∠H1DC
(вертикальные))
𝐵𝐻2
Отношение сходственных сторон :
Так как
𝐵𝐻2
𝐶𝐻1
=
𝐵𝐻2
𝐶𝐻1
𝐴𝐵
, то
𝐴𝐶
=
𝐶𝐻1
=
𝐵𝐷
𝐷𝐶
𝐵𝐷
𝐷𝐶
То есть, AB∙BD=AC∙DC.
9
6. Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторон.
Доказательство:
1)Дополнительное построение AK,ВК,КС - хорды.
По свойствупересекающихся хорд AD∙DK=BD∙DC
2)Рассмотрю ∆ABK~∆DBK (по двум углам: ∠𝐾 = ∠𝐾, ∠𝐶𝐵𝐾 = ∠𝐵𝐴𝐾)
Значит,
𝐵𝐷
𝐴𝐵
=
𝐾𝐷
𝐶𝐾
Рассмотрю ∆KDC~∆AKC(по двум углам: ∠К = ∠К, ∠𝐾𝐶𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐶)
Значит,
𝐵𝐷
Тогда
𝐴𝐵
𝐷𝐶
𝐴𝐶
=
=
𝐾𝐷
𝐾𝐶
𝐷𝐶
𝐴𝐶
То есть AB∙BD=AC∙DC.
10
7. Свойство медиан треугольника.
Медианы треугольника, пересекаясь делятся в отношении 2:1, считая от
вершины.
Доказательство:
1) Отмечу точки Т и S– середины ОА и ОС соответственно.
2) Рассмотрю ∆AOC: ТS– средняя линия по определению.
1
Следовательно TS∥ACи TC= AC(по свойству средней линии
2
треугольника)
2)Аналогично в ∆ABC: RD – средняя линия треугольника (по
определению)
1
Следовательно,RD∥ACиRD= CA (по свойству средней линии
2
треугольника).
Из этого следует что, RD∥TSиRD=TS.
Значит, RTSD – параллелограмм по признаку.
3)Так как RTSD– параллелограмм, то по свойству параллелограмма
RO=OS, но OS=SC.
Значит, RO=OS=SC.
11
8.Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
Доказательство:
1)Дополнительное построение: CH высота к гипотенузе АВ.
2)Рассмотрю ∆СНА и ∆АВС, они пободны по двум углам:∠𝐻 = ∠𝐶, ∠𝐴 = ∠𝐴
𝑎
𝑐
=
𝐻𝐵
𝑎
Значит, 𝑎2 = 𝐻𝐵 ∙ 𝑐
Рассмотрю ∆CHBи ∆ABC, они подобны по двум углам: ∠𝐻 = ∠𝐶, ∠𝐵 = ∠𝐵
𝑏
𝑐
=
𝐴𝐻
𝑏
. Значит, 𝑏 2 = 𝐴𝐻 ∙ 𝑐
Сложу два последних преобразованных равенства:
𝑎2 + 𝑏 2 = с ∙ (НВ + АН)
В свою очередь, НВ+АН=с
Значит, 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 .
12
10. Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство:
Дополнительное построение: построю на сторонах треугольника со
сторонами a, b, c–квадраты, а на сторонах квадратов – треугольники,
равные данному. T – площадь теугольника со сторонами a,b,c.
𝒮ABCDE=b2 +2 T +a∙c∙Sin(ß+90°)
𝒮ABCDE=a2+c2+2Т-с∙a∙Sin(ß+90°)
Приравняем два равенства,
b2+2T+a∙c∙Sin(ß+90°)=a2+c2+2T-a∙с∙Sin(ß+90)
Из этого получаем:
b2= a2+c2-2a∙с∙Cos(ß+90°)
13
Заключение.
В своей работе я нашел доказательства теорем школьного курса
геометрии, отличные от доказательств, предложенных в учебнике. Были
рассмотрены: теорема об угле между пересекающимися хордами, о высоте
прямоугольного треугольника, о биссектрисе треугольника, о точке
пересечения высот треугольника, о точке пересечения медиан треугольника,
теорема косинусов.
Полученные результаты могут быть использованы на уроках
геометрии. Приемы, рассматриваемые при доказательстве теорем, можно
применять при решении задач. В процессе выполнения работы я научился
находить различные подходы к решению задачи, что поможет мне при
подготовке к экзаменам.
Главный вывод, который можно сделать из результатов моей
работы, состоит в том, что большинство теорем имеет не одно
доказательство. При нестандартном подходе при рассмотрении условия,
можно найти несколько способов доказательства теоремы, решения задачи.
Продуктом моей работы являются новые доказательства теорем
школьного курса геометрии, файл в формате Word, презентация.
Результатами моей работы стали не только доказанные теоремы, но так
же я расширил свои знания о таких программах, как Microsoft Word, Math
Type, Power Point.
14